集合数列极坐标基础知识复习(附答案)

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高中极坐标试题及答案

高中极坐标试题及答案一、选择题1. 在极坐标系中，点P的极坐标为(ρ,θ)，则点P的直角坐标为：A. (ρcosθ, ρsinθ)B. (ρsinθ, ρcosθ)C. (ρcosθ, -ρsinθ)D. (-ρcosθ, ρsinθ)答案：A2. 极坐标方程ρ = 2cosθ表示的曲线是：A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线答案：A二、填空题3. 已知点A的极坐标为(3, π/3)，求点A的直角坐标。

答案：(3/2, 3√3/2)4. 将极坐标方程ρ= 4sinθ转化为直角坐标方程。

答案：x² + (y - 2)² = 4三、解答题5. 已知极坐标方程ρ = 6cosθ，求该曲线的圆心和半径。

答案：圆心为(3, 0)，半径为3。

6. 将极坐标方程ρ = 2θ转换为直角坐标方程，并说明其代表的图形。

答案：直角坐标方程为x² + y² - 2y = 0，代表的图形是一个圆心在(0, 1)，半径为1的圆。

四、计算题7. 已知点P的极坐标为(5, π/4)，求点P到原点O的距离。

答案：58. 已知极坐标方程ρ = 4sinθ + 2cosθ，求该曲线与极坐标轴的交点。

答案：交点为(2, π/4)和(2, 5π/4)。

五、证明题9. 证明极坐标方程ρ² = 2ρcosθ表示的曲线是一条直线。

答案：将极坐标方程ρ² = 2ρcosθ转换为直角坐标方程，得到x²+ y² = 2x，即(x - 1)² + y² = 1，这是一个以(1, 0)为圆心，半径为1的圆的方程，因此原极坐标方程表示的曲线是一条直线。

六、应用题10. 一个圆的极坐标方程为ρ = 4，求该圆的面积。

答案：圆的面积为16π。

极坐标系理论考题及答案

极坐标系理论考题及答案极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系统，由一个极径和一个极角组成。

在数学和物理学中，对于掌握极坐标系的理论是非常重要的。

以下是一些常见的极坐标系理论考题及其答案。

1. 什么是极坐标系？答案：极坐标系是一种通过距离和方向来表示平面上点位置的坐标系统。

它由极径（即点到原点的距离）和极角（即点到极轴的方向角）两个参数组成。

2. 如何将一个点从直角坐标系转换为极坐标系？答案：要将一个点从直角坐标系转换为极坐标系，首先需要计算点到原点的距离（即极径）。

使用勾股定理，将直角坐标系中点的横纵坐标作为直角三角形的直角边，计算出点到原点的距离。

然后，计算点与原点连线的夹角（即极角）。

可以使用反正切函数来计算夹角，即 $\theta = \arctan(\frac{y}{x})$。

3. 如何将一个点从极坐标系转换为直角坐标系？答案：要将一个点从极坐标系转换为直角坐标系，需要使用以下公式进行计算：$x = r\cos(\theta)$$y = r\sin(\theta)$其中，$r$为极径，$\theta$为极角。

4. 极坐标系中的极轴和极角的定义是什么？答案：极坐标系中，极轴是从原点开始，并沿着极径的正方向延伸的射线或线段。

极轴的方向通常被指定为0度或360度，并且可以逆时针或顺时针增加。

极角是从极轴到点连线的方向，逆时针方向被定义为正数，顺时针方向被定义为负数。

5. 极坐标系和直角坐标系之间的关系是什么？答案：极坐标系和直角坐标系是两种用于描述点在平面上位置的坐标系统。

它们之间的关系可以通过转换公式相互转换。

使用转换公式，可以将一个点的直角坐标转换为极坐标，也可以将一个点的极坐标转换为直角坐标。

以上是一些关于极坐标系理论的常见考题及答案。

了解极坐标系的概念和转换方法对于数学和物理学领域的学习非常重要。

极坐标参数方程和数列(学)

坐标系与参数方程第1课时坐标系1.伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，λ>0，y ′＝μ·y ，μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2.极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O 称为极点，射线Ox 称为极轴.平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标.ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角.(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面关系式成立：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)，这就是极坐标与直角坐标的互化公式.3.图形概念方法微思考由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗？提示平面上的点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝⎛⎭⎫2，－π3.( ) (2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( )(3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( )(4)tan θ＝1与θ＝π4表示同一条曲线.( )题组二教材改编2.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π43.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫1，π2B.⎝⎛⎭⎫1，－π2 C.(1,0) D.(1，π)题组三易错自纠4.在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( ) A.ρsin θ＝1 B.ρsin θ＝3 C.ρcos θ＝1 D.ρcos θ＝35.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为 .6.在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点.当△AOB 是等边三角形时，求a 的值.极坐标与直角坐标的互化例1 将直角坐标方程与极坐标方程互化． (1)y 2＝4x ；(2)y 2＋x 2－2x －1＝0；(3)θ＝π3(ρ∈R )．跟踪训练1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点. (1)求C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程.求曲线的极坐标方程例2 圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，且圆C 经过极点. (1)求圆C 的极坐标方程；(2)求过圆心C 和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程.跟踪训练2 已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＝0，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t (t 为参数)，射线OM 的极坐标方程为θ＝3π4.(1)求圆C 和直线l 的极坐标方程；(2)已知射线OM 与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．极坐标方程的应用例3 (·江西师范大学附属中学模拟)在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋r cos φ，y ＝r sin φ(r >0，φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1经过点P ⎝⎛⎭⎫23，π6，曲线C 2的极坐标方程为ρ2(2＋cos 2θ)＝6.(1)求曲线C 1的极坐标方程；(2)若A ⎝⎛⎭⎫ρ1，α－π6，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，α＋π3是曲线C 2上两点，求1|OA |2＋1|OB |2的值．为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝3 3.(1)求曲线C 1的极坐标方程；(2)已知点M (2,0)，直线l 的极坐标方程为θ＝π6，它与曲线C 1的交点为O ，P ，与曲线C 2的交点为Q ，求△MPQ 的面积．1．在以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程．(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |的值.3．(辽宁省朝阳市重点高中模拟)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1. (1)求圆C 的极坐标方程；(2)已知射线m ：θ＝α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若m 与圆C 交于点A (异于点O )，m 与直线l 交于点B ，求|OA ||OB |的最大值．4.如图，在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝2＋7cos α，y ＝7sin α(α为参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8cos θ，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R ).(1)求曲线C 1的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与C 1，C 2在第一象限分别交于A ，B 两点，P 为C 2上的动点，求△PAB 面积的最大值.5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线C 1上的点M ⎝⎛⎭⎫1，22对应的参数φ＝π4，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎫1，π3. (1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程；(2)若点A ，B 为曲线C 1上的两个点且OA ⊥OB ，求1|OA |2＋1|OB |2的值.第2课时参数方程1.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程.2.概念方法微思考1.在直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)中，(1)t 的几何意义是什么？(2)如何利用t 的几何意义求直线上任意两点P 1，P 2的距离？提示 (1)t 表示在直线上过定点P 0(x 0，y 0)与直线上的任一点P (x ，y )构成的有向线段P 0P 的数量. (2)|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2.2.圆的参数方程中参数θ的几何意义是什么？提示 θ的几何意义为该圆的圆心角.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数.( )(2)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.( )(3)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )(4)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝5sin θ⎝⎛⎭⎫θ为参数且θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2表示的曲线为椭圆.( )题组二教材改编2.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上3.直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝t (t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的位置关系为( )A.相离B.相切C.相交且直线过圆心D.相交但直线不过圆心题组三易错自纠4.(2019·北京市西城区模拟)下列直线中，与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝－2＋4t (t 为参数)没有公共点的是( )A.2x ＋y ＝0B.2x ＋y －4＝0C.2x －y ＝0D.2x －y －4＝05.已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，若l 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则直线l 的斜率为 .6.设P (x ，y )是曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[0,2π))上任意一点，求yx 的取值范围.参数方程与普通方程的互化例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s 2，y ＝22s (s 为参数)，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.跟踪训练1 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)，以O 为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值.参数方程的应用例2 (南省八市重点高中联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝5cos α，y ＝2＋5sin α(α为参数).以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2＝4ρcos θ－3. (1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1与C 2交于A ，B 两点，A ，B 的中点为M ，点P (0，－1)，求|PM |·|AB |的值.跟踪训练2 (河南省八市重点高中联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α＋3sin α，y ＝sin α－3cos α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝2. (1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；(2)直线l 与y 轴交点为P ，经过点P 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，证明：|P A |·|PB |为定值．极坐标方程和参数方程的例3 (淄博模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).在以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝21＋3cos 2θ，直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π6，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若|OP |为|P A |与|PB |的等比中项，其中P (3，2)，求直线l 的斜率.跟踪训练3 (1)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ，C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝2－22t (t 为参数).①将曲线C 1与C 2的方程化为直角坐标系下的普通方程；②若C 1与C 2相交于A ，B 两点，求|AB |.(2)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.①将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；②设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值.1.已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数).(1)求曲线C 的普通方程；(2)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，12(平面直角坐标系xOy 中的点)作直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若P 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：x 23＋y 24＝1，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(2cos θ－sin θ)＝6. (1)试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 1的参数方程；(2)在曲线C 1上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值.3．在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P (1,0)，倾斜角为π6.以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3. (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |的值．4.在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 经过点A (－2,1).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1ρ＝ρ＋2sin θ3.(1)写出曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 有两个不同的交点M ，N ，求|AM |＋|AN |的取值范围.5.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 1上的点按坐标变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝32x ＋23，y ′＝3y ＋2得到曲线C 2，以原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. (1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若直线θ＝π4(ρ∈R )与曲线C 1交于M ，N 两点，与曲线C 2交于P ，Q 两点，求|PQ ||MN |的值.等差数列及其前n 项和1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差为12d .5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．概念方法微思考1．“a ，A ，b 是等差数列”是“A ＝a ＋b2”的什么条件？提示充要条件．2．等差数列的前n 项和S n 是项数n 的二次函数吗？提示不一定．当公差d ＝0时，S n ＝na 1，不是关于n 的二次函数．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) 题组二教材改编2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．343．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.题组三易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤3255．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．6．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面．等差数列1．(全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．122．(·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n3．(·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．4．(全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________.等差数列的判定与证明例1 (·日照模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *.求证：数列{b n }是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式．跟踪训练1 在数列{a n }中，a 1＝2，a n 是1与a n a n ＋1的等差中项．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并求{}a n 的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 2a n 的前n 项和S n .等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质例2 (江西省南昌江西师范大学附属中学模拟)已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，2＋a 5＝a 6＋a 3，则S 7等于( )A ．2B ．7C ．14D ．28命题点2 等差数列前n 项和的性质例3 (1)(漳州质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15等于( ) A ．35 B ．42 C ．49 D ．63(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 018，S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6，则S 2 020＝________.跟踪训练2 (1)(2019·遵义联考)已知数列{a n }，{b n }均为等差数列，且前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n ＋2n ＋1，则a 5b 5等于( ) A.295 B.2910 C.285 D.2810(2)(·莆田质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14<0，则S n 取最大值时n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．13由数列的递推关系求通项公式命题点1 累加法例1 设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则a n ＝________.命题点2累乘法例2设数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝nn＋1a n，则a n＝________.思维升华已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现a n＝a n－1＋f (n)时，用累加法求解．(2)当出现a na n－1＝f (n)时，用累乘法求解．跟踪训练(1)(·龙岩质检)若数列{a n}满足a1＝1，a n＋1－a n－1＝2n，则a n＝________.(2)已知数列{a n}满足a1＝23，a n＋1＝nn＋2a n，求通项公式a n.1．(·四川省成都市石室中学模拟)在等差数列{a n}中，a1＝2，a5＝3a3，则a3等于()A．－2 B．0 C．3 D．62．(晋城模拟)记等差数列{a n}的前n项和为S n.若a6＝16，S5＝35，则{a n}的公差为()A．3 B．2 C．－2 D．－33．(·贵州省凯里第一中学模拟)在等差数列{a n}中，已知a1 011＝1，则该数列前2 021项的和S2 021等于() A．2 020 B．2 021 C．4 040 D．4 0424．(江西省名校学术联盟联考)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7＝a4，则()A．S3＝S4B．S4＝S5C．S5＝S6D．S6＝S75．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为()A．65 B．176 C．183 D．1846．在等差数列{a n}中，若a9a8<－1，且它的前n项和S n有最小值，则当S n>0时，n的最小值为()A．14 B．15 C．16 D．177．(北京)设{a n}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{a n}的通项公式为____________．8．(三明质检)在等差数列{a n}中，若a7＝π2，则sin 2a1＋cos a1＋sin 2a13＋cos a13＝________.9．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且S nT n＝3n－12n＋3，则a10b10＝________.10．已知数列{a n＋1－a n}是公差为2的等差数列，且a1＝1，a3＝9，则a n＝________.11．已知数列{a n}满足(a n＋1－1)(a n－1)＝3(a n－a n＋1)，a1＝2，令b n＝1a n－1.(1)证明：数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．12．已知等差数列{a n}的公差d>0，设{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S2S3＝36.(1)求d及S n；(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得a m＋a m＋1＋a m＋2＋…＋a m＋k＝65.13．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，b n＝2n a且b1＋b3＝17，b2＋b4＝68，则S10等于() A．90 B．100 C．110 D．12014．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 均为等差数列(n ∈N *)，且a 1＝2，则a 20＝________.15．(黑龙江省哈尔滨市第三中学模拟)已知x 2＋y 2＝4，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为( )A ．210 B.1210 C.10 D.3210答案 D16．记m ＝d 1a 1＋d 2a 2＋…＋d n a nn，若{}d n 是等差数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等差均值”；若{}d n 是等比数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等比均值”．已知数列{a n }的“2n －1等差均值”为2，数列{b n }的“3n －1等比均值”为3.记c n ＝2a n＋k log 3b n ，数列{}c n 的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，求实数k 的取值范围．等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n (λ≠0)仍然是等比数列． (4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .4．在等比数列{a n }中，若S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外)．概念方法微思考1．将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？提示仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数． 2．任意两个实数都有等比中项吗？提示不是．只有同号的两个非零实数才有等比中项． 3．“b 2＝ac ”是“a ，b ，c ”成等比数列的什么条件？提示必要不充分条件．因为b 2＝ac 时不一定有a ，b ，c 成等比数列，比如a ＝0，b ＝0，c ＝1.但a ，b ，c 成等比数列一定有b 2＝ac .题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( ) 题组二教材改编2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______.3．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11题组三易错自纠4．若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则a1－a2b2的值为________．5．设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝________.6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB.(1 GB＝210 MB)等比数列基本量的运算1．(·晋城模拟)设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝3，S4＝15，则公比q等于()A．5 B．4 C．3 D．22．(全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于()A．16 B．8 C．4 D．23．(全国Ⅰ)记S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1＝1，S3＝34，则S4＝________.4．(·全国Ⅲ)等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{a n}的通项公式；(2)记S n为{a n}的前n项和，若S m＝63，求m.等比数列的判定与证明例1 (·四川省名校联盟模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝－a n ＋n (n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12为等比数列；(2)求数列{a n －1}的前n 项和T n .跟踪训练1 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．等比数列性质的应用例2 (1)(黑龙江省大庆第一中学模拟)在各项不为零的等差数列{a n }中，2a 2 019－a 22 020＋2a 2 021＝0，数列{b n }是等比数列，且b 2 020＝a 2 020，则log 2(b 2 019·b 2 021)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8(2)已知等比数列{a n }的首项a 1＝－1，其前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.跟踪训练2 (1)(安徽省江淮十校月考)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，该数列前9项的乘积为1，则a 1等于( )A ．8B ．16C ．32D ．64(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N *)．对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习的方法以外，根据所给递推公式的特点，还有以下几种构造方式．构造法1 形如a n ＋1＝ca n ＋d (c ≠0，其中a 1＝a )型 (1)若c ＝1，数列{a n }为等差数列. (2)若d ＝0，数列{a n }为等比数列.(3)若c ≠1且d ≠0，数列{a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法如下：设a n ＋1＋λ＝c (a n ＋λ)，得a n ＋1＝ca n ＋(c －1)λ，与题设a n ＋1＝ca n ＋d 比较系数得λ＝dc －1(c ≠1)，所以a n ＋dc －1＝c ⎝⎛⎭⎫a n －1＋d c －1(n ≥2)，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋d c －1构成以a 1＋dc －1为首项，以c 为公比的等比数列．例1 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则通项a n ＝________.构造法2 形如 a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)型a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)的求解方法是两端同时除以p n ＋1，即得a n ＋1p n ＋1－a n p n ＝q ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n p n 为等差数列．例2 (1)已知正项数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，则a n 等于( )A ．n ·2n －1 B ．(n ＋1)·2nC ．n ·2n ＋1 D ．(n －1)·2n(2)(2019·武汉市二中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项a n 等于( )A ．－3×2n －1B ．3×2n －1C ．5n ＋3×2n －1D ．5n －3×2n －1构造法3 相邻项的差为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ＋qa n －1，其中a 1＝a ，a 2＝b 型) 可化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两根．例3 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝23a n ＋1＋13a n ，求数列{a n }的通项公式．构造法4 倒数为特殊数列(形如a n ＝pa n －1ra n －1＋s型)例4 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．1．(·韶关模拟)若等比数列{a n }的各项均为正数，a 2＝3,4a 23＝a 1a 7，则a 5等于( ) A.34 B.38 C ．12 D ．242．等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－193．(天津市河西区月考)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于( )A ．93B ．189 C.18916D ．3785．(·永州模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( ) A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 的等比数列 B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列 C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列6．若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)，则a 6－a 5的值是( ) A. 2 B ．－162 C ．2 D ．1627．已知各项为正数的等比数列{a n }中， a 2a 3＝16，则数列{log 2a n }的前四项和等于________．8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2 020，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2 021＝________.9.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．10．(呼伦贝尔模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a n ＝1n (n ＋1)，若S 1，S m ，S n 成等比数列(m >1)，则正整数n 的值为________．11．(全国Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn.(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．12．淄博模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝34，S n ＝S n －1＋a n －1＋12(n ∈N *且n ≥2)，数列{b n }满足：b 1＝－374，且3b n －b n －1＝n ＋1(n ∈N *且n ≥2)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{b n －a n }为等比数列．13．(山西省太原第五中学月考)各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1 成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________．14．(·江西省上饶横峰中学模拟)已知在等比数列{a n }中，a n >0，a 22＋a 24＝900－2a 1a 5，a 5＝9a 3，则a 2 020的个位数字是________．15．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2，….设第n 次“扩展”后得到的数列为1，x 1，x 2，…，x t ,2，并记a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2)，其中t ＝2n －1，n ∈N *，求数列{a n }的通项公式．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为3，公差为2的等差数列，若b n ＝a 2n ，数列{b n }的前n项和为T n ，求使得S n ＋T n ≥268成立的n 的最小值．高考专题突破三高考中的数列问题等差数列、等比数列基本量命题点1数列与数学文化例1(1)(乐山模拟)《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织多少尺布？()A.1631 B.1629 C.12 D.815(2)(淄博模拟)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”意思为：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天恰好到达目的地，则第三天走了() A．192里B．48里C．24里D．96里跟踪训练1(1)(·潮州模拟)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重()A．6斤B．7斤C．9斤D．15斤(2)(江西省抚州市临川第一中学模拟)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还粟()A.253升 B.503升 C.507升 D.1007升命题点2等差数列、等比数列的交汇例2记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并判断S n＋1，S n，S n＋2是否成等差数列．。

极坐标与参数方程题型总结归纳附答案

《极坐标与参数方程》高考高频题型除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及（一）有关圆的题型题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较相离，无交点；:r d > 个交点；相切，1:r d = 个交点；相交，2:r d <用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=，算出d ，在与半径比较。

题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=第二步：判断直线与圆的位置关系第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min 相切、相交：r d d +=max min 0d =题型三：直线与圆的弦长问题弦长公式222d r l -=，d 是圆心到直线的距离延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题（弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长）弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义”（二）距离的最值： ---用“参数法”1.曲线上的点到直线距离的最值问题2.点与点的最值问题“参数法”：设点---套公式--三角辅助角①设点：设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ①套公式：利用点到线的距离公式①辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一例如：【2016高考新课标3理数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（I ）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II ）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标的直角坐标方程为.这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边（①）由题意，可设点的直角坐标为因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，xOy 1C ()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数x 2C sin()4ρθπ+=1C 2C P 1C Q 2C PQ P 2C 40x y +-=P ,sin )αα2C ||PQ P 2C ()d α.（欧萌说：利用点到直接的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一）当时）（13sin =+πα即当时，，此时的直角坐标为.（三）直线参数方程的几何意义1.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0=t 1＋t 22； (2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22； (3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |=|t 1·t 2|（5）⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+=-=+=+0,0,4)(212121212212121t t t t t t t t t t t t t t PB PA 当当（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上）【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |.直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； 2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程()sin()2|3d παα==+-2()6k k Z παπ=+∈()d αP 31(,)22第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at第三步：韦达定理：a ct t a b t t =-=+2121,第四步：选择公式代入计算。

全国统一高考数学试卷(新课标ⅰ)(含解析版)(1)

全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．23．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．974．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．811．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；4O：定义法；5J：集合．【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．2【考点】A8：复数的模．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键．3．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．97【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】5I：概率与统计．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：B．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【考点】R3：不等式的基本性质．【专题】33：函数思想；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）=x c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．8【考点】K8：抛物线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f （x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=﹣2．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5A：平面向量及应用．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是10．（用数字填写答案）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展开式中x3的系数．【解答】解：（2x+）5的展开式中，通项公式为：T r==25﹣r，+1令5﹣=3，解得r=4∴x3的系数2=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为64．【考点】87：等比数列的性质；8I：数列与函数的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…a n，然后求解最值．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】HU：解三角形．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5H：空间向量及应用；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P（X≤n）≥0.5中n的最小值．（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）==，P（X=20）===，P（X=21）==，P（X=22）=，∴X的分布列为：X16171819202122P（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20个所需费用期望：EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，∴买19个更合适．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【考点】J2：圆的一般方程；KL：直线与椭圆的综合．【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•=•=12•，A到PQ的距离为d==，|PQ|=2=2=，则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24，当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=，设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e x=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0恒成立，当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；当x＜1时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1存在一个零点；即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R上单调递增，函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）=，m＞0，则h′（m）=＞0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a 值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。

2023年高考数学真题分训练极坐标系与参数方程(含答案含解析)

专题34 极坐标系与参数方程2⎩2 2考点 116 平面直角坐标系中的伸缩变换考点 117 极坐标和直角坐标的互化⎧x = t + 1,⎪x = 4cos 2θ, 1．(2023 全国Ⅱ文理 21)已知曲线C 1 , C 2 的参数方程分别为C 1 : ⎨ (θ为参数)，C : ⎪ t ( t 为 ⎩ y = 4sin 2θ⎪ y = t - 1参数)．(1) 将C 1 , C 2 的参数方程化为一般方程；⎪ t(2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1 , C 2 的交点为 P ，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程．（解析）(1)由cos 2 θ+ sin 2 θ= 1得C 1 的一般方程为： x + y = 4 ，⎧x = t + 1 ⎧x 2= t 2 + 1 + 2 ⎪ t ⎪ t 2 C 2 2由⎨ 1 得： ⎨1 ，两式作差可得2 的一般方程为： x - y = 4 ． ⎪ y = t - ⎪ y 2 = t 2 + - 2 ⎪ t ⎪ t 2⎧x = 5 ⎧x + y = 4 ⎪ (2)由得： 2 ，即 P ⎛ 5 , 3 ⎫． ⎨x 2 - y 2= 4 ⎨ ⎪ y = 3 ⎩ 2 ⎪ ⎝ ⎭⎛ 5 ⎫2⎛3 ⎫217设所求圆圆心的直角坐标为(a , 0)，其中 a > 0 ，则 a - ⎪ + 0 - ⎪ = a 2 ，解得：a = ，⎝2 ⎭⎝2 ⎭10∴ 17 ∴⎛ 17 ⎫2⎛ 17 ⎫222 2 17 所求圆的半径 r = ， 10 所求圆的直角坐标方程为： x - 10 ⎪ + y = 10 ⎪ ，即 x + y = x ，5 ∴所求圆的极坐标方程为ρ= 17cos θ．5⎝ ⎭ ⎝ ⎭103⎩⎪x = 2 - t - t 2, 2．(2023 全国Ⅲ文理 22)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪ y = 2 - 3t + t 2( t 为参数且t ≠ 1)，C与坐标轴交于 A , B 两点．(1) 求 AB ；(2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程．（解析）(1)令 x = 0 ，则t 2 + t - 2 = 0 ，解得t = -2 或t =1(舍)，则 y = 2 + 6 + 4 = 12 ，即 A (0,12) ．令 y = 0 ，则t 2 - 3t + 2 = 0 ，解得t = 2 或t =1(舍)，则 x = 2 - 2 - 4 = -4 ，即 B (-4, 0) ．∴ AB == 4 ．(2)由(1)可知 k AB =12 - 00 - (-4)= 3 ，则直线 AB 的方程为 y = 3(x + 4) ，即3x - y +12 = 0 ．由 x = ρcos θ, y = ρsin θ可得，直线 AB 的极坐标方程为3ρcos θ- ρsin θ+12 = 0 ．3．(2023 江苏 22)在极坐标系中，已知点 A (ρ, π) 在直线l : ρcos θ= 2 上，点 B (ρ , π) 在圆C : ρ= 4 sin θ上1 32 6(其中ρ≥ 0 ， 0 ≤θ< 2π)．(1)求ρ1 ， ρ2 的值(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．（解析）(1) Q ρ cos π = 2∴ρ = 4; Q ρ = 4 s inπ2 ．131 26 ∴ρ2 = (2) Q ρcos θ= 2, ρ= 4 sin θ∴ 4 sin θcos θ= 2,∴sin 2θ= 1 Q θ∈0, 2π)∴θ= π, 5π，4 4当θ= π时ρ= 2 4；当θ= 5π 时ρ= -2 4 < 0 (舍)；即所求交点坐标为当π (2 2, ) ． 4 4．(2023 全国 II 文理 22)在极坐标系中，O 为极点，点 M (ρ0 ,θ0 )(ρ0 > 0)在曲线C : ρ= 4 s in θ上，直线 l 过点 A (4, 0) 且与OM 垂直，垂足为 P ． (1)当θ = π时，求ρ 及 l 的极坐标方程；3(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程．（解析）(1)因为 M (ρ,θ ) 在C 上，当θ = π 时，ρ = 4 s in π= 2 ．0 0 0 3 03由已知得| OP |=| OA | cos π= 2 ．322333⎢⎥⎢⎥设Q (ρ,θ) 为l 上除P 的任意一点．在Rt △OPQ 中ρcos⎛θ-π ⎫=| OP |= 2 ， 3 ⎪ ⎝ ⎭π ⎛ π ⎫经检验，点P (2, ) 在曲线ρcos θ- ⎪ = 2 上． ⎝ ⎭所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎛θ- π ⎫= 2 ．3 ⎪ ⎝ ⎭(2)设 P (ρ,θ) ，在Rt △OAP 中， | OP |=| OA | cos θ= 4 cos θ,即 ρ= 4 cos θ．．因为P 在线段OM 上，且 AP ⊥ OM ，故θ的取值范围是⎡π , π⎤． ⎣ 4 2 ⎦所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ= 4 cos θ,θ∈ ⎡π , π⎤ ．⎣4 2 ⎦5．(2023 全国 III 文理 22)如图，在极坐标系 Ox 中， A (2, 0) ， B ( 2, π) ，C ( 2, 3π) ， D (2, π) ，弧 AB ，4 4 A ， A 所在圆的圆心分别是(1, 0) ，π， (1, π) ，曲线 M 是弧 A ，曲线 M 是弧 A ，曲线 M 是BC CD(1, ) 21 AB2 BC3 弧C D ．(1) 分别写出 M 1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；(2) 曲线 M 由 M 1 ， M 2 ， M 3 构成，假设点 P 在 M 上，且| OP |= ，求P 的极坐标．（解析）(1)由题设可得，弧 AB , B C ,C D 所在圆的极坐标方程分别为ρ= 2 cos θ，ρ= 2 s in θ，ρ= -2 cos θ，所以 M 的极坐标方程为ρ= 2 cos θ⎛0 θ π ⎫ ， M 的极坐标方程为 1 4⎪ 2⎝⎭ρ= 2 sin θ⎛ π θ3π ⎫ ， M 的极坐标方程为ρ= -2 cos θ⎛ 3πθ π ⎫ ． 4 4 ⎪ 34 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭(2)设 P (ρ,θ) ，由题设及(1)知3332⎩⎩⎩⎩⎩θ假设0 θπ，则 2 cos θ=，解得θ=π；4 6假设 π θ 3π ，则 2 sin θ= ，解得θ= π 或θ= 2π ； 4 4 3 3 假设 3π θ π ，则-2 cos θ= ，解得θ= 5π ．4 ⎛ 综上，P 的极坐标为3, π ⎫ 或⎛3, π ⎫ 或⎛63,2π ⎫ 或⎛3, 5π ⎫ ．6⎪ 3⎪ 3 ⎪ 6 ⎪ ⎝⎭ ⎝⎭ ⎝⎭ ⎝ ⎭考点 118 参数方程与一般方程的互化6．(2023 上海 14)已知直线方程3x + 4 y +1 = 0 的一个参数方程可以是()⎧x = 1+ 3t A ． ⎨ y = -1+ 4t ⎧x = 1- 4tB ． ⎨y = -1- 3t⎧x = 1- 3tC ． ⎨y = -1+ 4t ⎧x = 1+ 4t D ． ⎨y = -1- 3t（答案）D（解析）A ．参数方程可化简为 4x - 3y - 7 = 0 ，故 A 不正确；B ．参数方程可化简为3x - 4 y - 7 = 0 ，故B 不正确；C ．参数方程可化简为 4x + 3y -1 = 0 ，故 C 不正确；D ．参数方程可化简为3x + 4 y +1 = 0 ，故 D 正确．应选 D ．7．(2023 全国Ⅲ)选修 4—4：坐标系与参数方程](10 分)在平面直角坐标系 xOy 中， A O 的参数方程为⎧x = cos θ(θ为参数)，过点(0, -2) 且倾斜角为α的直线l 与A O 交于 A ， B 两点．(1) 求α的取值范围；(2) 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．⎨ y = sin ，（解析）(1) A O 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 = 1．当α= π时， l 与A O 交于两点．2当α≠ π时，记 tan α= k ，则l 的方程为 y = kx -．l 与A O 交于两点当且仅当< 1 ，解得 k < -1 或2α∈π ππ 3πk > 1，即( , ) 或α∈ ( , ) ．4 2 2 4α π 3π 综上，的取值范围是( , ) ． 4 4222222⎨(2) l 的参数方程为⎪x = t cos α, (t 为参数， π < α< 3π) ． ⎨⎩ y = - + t sin α 4 4 设 A ， B ， P 对应的参数分别为 t ， t ， t ，则t =t A + t B，且t ， t 满足t 2 - 2 2t sin α+ 1 = 0 ．ABPP2A B于是t A + t B= 2 2 sin α， t P =2 sin α．又点 P 的坐标(x , y ) 满足 ⎪x = t P cos α,y = - + t sin α.⎧ ⎪x =2sin 2α, 2 ⎩P π 3π 所以点 P 的轨迹的参数方程是⎨ ⎪ y = - 2 - 2 cos 2α (α为参数， < α< ) ． 4 4 ⎪ 2 2考点 119 极坐标方程与参数方程的综合应用8．(2023 北京文理)在极坐标系中，直线ρcos θ+ ρsin θ= a (a > 0) 与圆ρ=2 cos θ相切，则 a =．（答案）1+ （解析）利用 x = ρcos θ， y = ρsin θ，可得直线的方程为 x + y - a = 0 ，圆的方程为(x -1)2 + y 2 = 1 ，所以圆心(1, 0) ，半径 r = 1，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1- a |= 1 ，∴ a = 1+ 或1- ，又 a > 0 ，∴ a = 1+ ．9．(2023 北京文理)在极坐标系中，点 A 在圆ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 上，点 P 的坐标为(1, 0) )，则| AP | 的最小值为．（答案）1（解析）圆的一般方程为 x 2 + y 2 - 2x - 4y + 4 = 0 ，即(x -1)2 + ( y - 2)2 = 1 ．设圆心为C (1, 2) ，所以| AP |min =| PC | -r = 2 -1 = 1 ．10．(2023 天津文理)在极坐标系中，直线4ρcos(θ- π) +1 = 0 与圆ρ= 2 s in θ的公共点的个数为．6（答案）2（解析）直线的一般方程为 2 3x + 2 y +1 = 0 ，圆的一般方程为 x 2 + ( y -1)2= 1 ，因为圆心到直 3线的距离 d = < 1 4，所以有两个交点．11．(2023 北京文理)在极坐标系中，直线ρcos θ- | AB |= ．3ρsin θ-1 = 0 与圆ρ= 2 cos θ交于 A , B 两点，则（答案）2（解析）将ρcos θ-3ρsin θ-1 = 0 化为直角坐标方程为 x - 3y -1 = 0 ，将ρ=2cos θ化为直角坐标方程为(x -1)2+ y 2= 1 ，圆心坐标为(1，0)，半径 r=1，又(1，0)在直线 x - 3y -1 = 0 上，所以|AB|=2r=2．222234y x ⎩⎩⎩)⎩12．(2023 广东文理)已知直线l 的极坐标方程为 2ρsin(θ- π= 47πA (2 2,) ，则点 Α 到直线l 的距离为．42 ，点 Α 的极坐标为（答案）（解析）由 2ρsin(θ- 2π ) = 得2ρ´ 4 2 7π(sin θ- cos θ) = ，所以 y - x = 1，故直线l 的直角坐标方程为 x - y +1 = 0 ，而点 A (2 2, ) 对应的直角坐标为4 A (2,-2) ，所以点 A (2,-2) 到直线l ： x - y +1 = 0 的距离为| 2 + 2 +1| = 5 2． 213．(2023 安徽文理)在极坐标系中，圆ρ= 8sin θ上的点到直线θ=是．π(ρ∈ R ) 距离的最大值 3（答案）6（解析）圆ρ= 8sin θ即ρ2= 8ρsin θ，化为直角坐标方程为 x 2+ ( y - 4)2= 16 ，π直线θ=，则tan θ=，化为直角坐标方程为 3x - y = 0 ，圆心(0, 4) 到直线3的距离为| -4 |= 2 ，所以圆上的点到直线距离的最大值为 6．14．(2023 全国Ⅰ文理 21)⎧x = cos k t ,在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = sin k t(t 为参数) ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程为 4ρcos θ-16ρsin θ+ 3 = 0 ．(1) 当 k = 1时， C 1 是什么曲线？(2) 当 k = 4 时，求C 1 与C 2 的公共点的直角坐标．（解析）(1)当 k = 1时，曲线C 的参数方程为⎧x = cos t ,( t 为参数)，两式平方相加得 x 2 + y 2 = 1 ，1⎨y = sin t∴曲线C 1 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆．⎧x = cos 4 t ,(2)当 k = 4 时，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = sin 4t ( t 为参数)，∴ x ≥ 0, y ≥ 0 ，曲线C 1 的参数方程化为⎧ x = cos 2 t ⎨ y = sin 2t(t 为参数)，两式相加得曲线C 1 方程为 + = 1，得 = 1 - ，平方得 5 22x yx 77⎩2y = x - 2 + 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 ，曲线C 2 的极坐标方程为4ρcos θ-16ρsin θ+ 3 = 0 ，曲线C 2 直角坐标方程为4x -16 y + 3 = 0 ，联立C , C 方程⎪ y = x - 2 +1 , ，整理得12 x - 32 + 13 = 0 ，解得 x = 1 或 = 13(舍去)，1 2⎨ ⎩4x -16 y + 3 = 02 6 ∴ x = 1 , y = 1 ，∴C ,C 1 1 公共点的直角坐标为( , ) ．4 4 1 24 4⎧ 1- t 2 ⎪x =1+ t 215．(2023 全国 1 文理 22)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为⎨ ⎪ y = ⎩ 4t 1+ t 2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcos θ+ 3ρsin θ+11 = 0 ．(1) 求 C 和 l 的直角坐标方程；(2) 求 C 上的点到 l 距离的最小值．1- t 2⎛ y ⎫2⎛ 1- t 2 ⎫24t 2 （解析）(1)因为-1 < ≤ 1 ，且 x 2 + ⎪ = ⎪ + = 1，所以C 的直角坐标方程为2y 2 1+ t 2⎝ 2 ⎭ ⎝1 + t 2 ⎭ (1+ t 2 )2x += 1(x ≠ -1) ．4l 的直角坐标方程为 2x + 3y +11 = 0 ．⎧x = cos α, (2)由(1)可设C 的参数方程为 (α为参数， -π <α< π )．⎨y = 2sin α4 cos ⎛α- π ⎫ +113 ⎪ C 上的点到l 的距离为 = ⎝ ⎭．当α= - 2π 时， 4 c os ⎛α- π ⎫+11 取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为． 3 3 ⎪ ⎝ ⎭16．(2023 全国Ⅰ文理) 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的方程为 y = k |x | + 2 ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2+ 2ρcos θ- 3 = 0 ． (1) 求C 2 的直角坐标方程；x x x | 2 c os α+ 2 3 sin α+11|7⎨y = 4 s in θ,⎩(2) 假设C 1 与C 2 有且仅有三个公共点，求C 1 的方程．（解析）(1)由 x = ρcos θ， y = ρsin θ得C 2 的直角坐标方程为(x +1)2 + y 2 = 4 ．(2)由(1)知C 2 是圆心为 A (-1, 0) ，半径为 2 的圆．由题设知，C 1 是过点 B (0, 2) 且关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线为l 1 ，y 轴左边的射线为l 2 ．由于 B 在圆C 2 的外面，故C 1 与C 2 有且仅有三个公共点等价于l 1 与C 2 只有一个公共点且l 2 与C 2 有两个公共点，或l 2 与C 2 只有一个公共点且l 1 与C 2 有两个公共点．当l 与C 只有一个公共点时， A 到l 所在直线的距离为 2 ，所以| -k + 2 |= 2 ，故 k = - 4 或 k = 0 ．1213经检验，当k = 0 时， l 与C 没有公共点；当 k = - 4时， l 与C 只有一个公共点， l 与C 有两个公共点．1231 2 2 2| k + 2 | 当l 与C 只有一个公共点时， A 到l 所在直线的距离为2 ，所以= 2 ，故 k = 0 或 k = 4 ．2 2 23经检验，当k = 0 时， l 与C 没有公共点；当 k = 4时， l 与C 没有公共点．1 2 32 2综上，所求C 的方程为 y = - 4| x | +2 ．1317．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎧x = 2 cos θ,( θ 为参数)，直线l 的参数⎩⎧x = 1+ t cos α 方程为⎨ y = 2 + t sin α ( t 为参数)．(1) 求C 和l 的直角坐标方程；(2) 假设曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1, 2) ，求l 的斜率．x 2 + y 2 =（解析）(1)曲线C 的直角坐标方程为 1． 4 16当cos α≠ 0 时， l 的直角坐标方程为 y = tan α⋅ x + 2 - tan α；当cos α= 0 时， l 的直角坐标方程为 x = 1 ．(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1+ 3cos 2 α)t 2 + 4(2 cos α+ sin α)t - 8 = 0 ．①3317⎩⎨ y = 1- ty 因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1, 2) 在C 内，所以①有两个解，设为t 1 ， t 2 ，则t 1 + t 2 = 0 ．4(2 cos α+ sin α)又由①得t 1 + t 2 = -1+ 3cos 2α，故 2 cos α+ sin α= 0 ，于是直线l 的斜率 k = tan α= -2 ．18．(2023 江苏)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin( π-θ) = 2 ，曲线C 的方程为ρ= 4 cos θ，求直线l 被曲6 线C 截得的弦长．（解析）因为曲线C 的极坐标方程为ρ=4 cos θ，所以曲线C 的圆心为(2, 0) ，直径为 4 的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin( π -θ) = 2 ，则直线l 过 A (4, 0) ，倾斜角为 π，所以 A 为直线l 与圆C 的一6 6 个交点．设另一个交点为 B ，则∠OAB= π ，连结 OB ，因为 OA 为直径，从而∠OBA= π ，所以 AB = 4 c os π= 2 ．6 因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为 2 ．2 6⎧x = 3cos θ19．(2023 全国Ⅰ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎨ y = sin θ ，(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎧x = a + 4t( t 为参数)．⎩ (1) 假设 a = -1，求C 与l 的交点坐标；(2) 假设C 上的点到l 距离的最大值为，求 a ．（解析）(1)曲线C 的一般方程为 x 2 + 29= 1．当a = -1时，直线l 的一般方程为 x + 4 y - 3 = 0 ．⎧x + 4 y - 3 = 0⎧x = - 21 ⎪ ⎧x = 3 ⎪25 21 24由⎨ x 2 2解得⎨ y = 0 或⎨ ，从而C 与l 的交点坐标为(3, 0) ， (- 24 , ) ． ⎩ 9+ y = 1 ⎩⎪ y = ⎩ 25 25 25171717171733342⎩(2)直线l 的一般方程为 x + 4 y - a - 4 = 0 ，故C 上的点(3cos θ, sin θ) 到l 的距离为| 3cos θ+ 4 sin θ- a - 4 |d =．当a ≥-4 时， d 的最大值为a + 9．由题设得a + 9= ，所以a = 8 ；当a < -4 时， d 的最大值为 -a + 1 ．由题设得 -a + 1= ，所以 a = -16 ．综上， a = 8 或 a = -16 ．20．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1 的极坐标方程为ρcos θ= 4 ．(1) M 为曲线C 1 上的动点，点 P 在线段OM 上，且满足| OM | ⋅ | OP |= 16 ，求点 P 的轨迹C 2 的直角坐标方程；π(2) 设点 A 的极坐标为(2, 3) ，点 B 在曲线C 2 上，求∆OAB 面积的最大值．（解析）(1)设 P 的极坐标为(ρ,θ) (ρ> 0) ， M 的极坐标为(ρ1 ,θ) (ρ1 > 0) ．由椭圆知| OP |= ρ， | OM |= ρ1 =cos θ．由| OM | ⋅ | OP |= 16 得C 2 的极坐标方程ρ= 4 cos θ(ρ> 0) ，因此C 的直角坐标方程为(x - 2)2 + y 2= 4(x ≠ 0) ．(2)设点 B 的极坐标为(ρB ,α) (ρB > 0) ．由题设知| OA |= 2 ， ρB = 4cos α，于是∆OAB 面积1 π π 3S = 2 | OA | ⋅ρB ⋅sin ∠AOB = 4cos α| sin(α- 3 ) | = 2 | sin(2α- 3 ) - | ≤ 2 + ． 2 当α= - π时， S 取得最大值 2 + ，所以∆OAB 面积的最大值为 2 + ．1221．(2023 全国Ⅲ文理)在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为⎧x = 2 + t( t 为参数)，直线l 的参数方⎧x = -2 + m⎪1 ⎨ y = kt 2程为⎨ ⎩ y = m k( m 为参数)．设l 1 与l 2 的交点为 P ，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线C ．(1) 写出C 的一般方程；17175224 5⎨t⎩(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3 ：ρ(cosθ+ sinθ) -交点，求M 的极径．= 0 ，M 为l3与C 的（解析）(1)消去参数t 得l 的一般方程l : y =k (x -2)，消去参数m 得l 的一般方程l : y =1 (x+2)．11⎧y =k (x-2)22k⎪设P(x, y) ，由题设得⎨⎩y=1 (x+2)k，消去k 得x2-y2=4 (y ≠0)，所以C 的一般方程为x2-y2=4 (y ≠0)．⎪ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0＜θ＜2π,θ≠π)，联立⎨得⎩ρ(cosθ+sinθ)-2=0cosθ- sinθ=2 (cosθ+sinθ)，故tanθ=-1，从而cos2θ=9，sin2θ=1，代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得3ρ2=5，所以交点M的极径为．10 10⎧x =-8 +t22．(2023 江苏)在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为⎪y = ( t 为参数)，曲线C 的参数方⎧x=2s2⎪2程为⎨⎩y=22s( s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．（解析）直线l 的一般方程为x - 2 y + 8 = 0 ．因为点P 在曲线C 上，设P(2s2 , 2 2s) ，从而点P 到直线l 的的距离4 5d == ，当s =时，dmin=5．因此当点P 的坐标为(4, 4) 时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值．5⎧x =a cos t23．(2023 全国I 文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为⎨y = 1+a sin t(t 为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 ：ρ= 4 cosθ．(I)说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；(II)直线C3 的极坐标方程为θ=a0 ，其中a0 满足tan a0 =2 ，假设曲线C1 与C2 的公共点都在C3上，求a．22(s -2)2 +4510 10 ⎫2152⎩1123⎩⎨⎩=⎧x = a cos t （解析）(1) ⎨ y = 1 + a sin t( t 均为参数)，∴x 2 + ( y - 1)2= a 2 ①∴ C 为以(0 ，1) 为圆心， a 为半径的圆．方程为 x 2 + y 2 - 2 y +1 - a 2 = 0 ．∵ x 2 + y 2 = ρ2 ，y = ρsin θ，∴ ρ2- 2ρsin θ+ 1 - a 2 = 0 ，即为C 的极坐标方程．(2) C ：ρ= 4cos θ，两边同乘ρ得ρ2 = 4ρcos θ ρ2= x 2 + y 2 ，ρcos θ= x ，∴ x 2 + y 2 = 4x ，即( x - 2)2+ y 2 = 4 ②C 3 ：化为一般方程为 y = 2x ，由题意： C 1 和C 2 的公共方程所在直线即为C 3 ，①—②得： 4x - 2 y + 1 - a 2 = 0 ，即为C ，∴1 - a 2 = 0 ，∴ a = 1 ．24．(2023 全国 II 文理)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为( x + 6)2+ y 2 = 25 ．(I) 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；⎧x = t cos α(II)直线 l 的参数方程是⎨ y = t sin α(t 为参数)，l 与 C 交于 A 、B 两点， AB = ，求 l 的斜率．⎧ρ2 = x 2 + y 2 （解析）(Ⅰ)整理圆的方程得 x 2 + y 2 + 12 + 11 = 0 ，由⎪ρcos θ= x ⎪ρsin θ= y 可知圆C 的极坐标方程为ρ2 + 12ρcos θ+ 11 = 0 ．(Ⅱ)记直线的斜率为 k ，则直线的方程为 kx - y = 0 ，由垂径定理及点到直线距离公式知：= 36k 2 290 ，整理得 k 2 = 5 ，则 k = ± ． 1 + k 4 3 3⎪x =3 cos α25．(2023 全国 III 文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ ⎩ y = sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin(θ+ π) = 2．24(Ⅰ)写出C 1 的一般方程和C 2 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点 P 在C 1 上，点 Q 在C 2 上，求| PQ |的最小值及此时 P 的直角坐标．x 2 2（解析）(Ⅰ) C 1 的一般方程为 3+ y = 1， C 2 的直角坐标方程为 x + y - 4 = 0 ．(Ⅱ)由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3 cos α, sin α) ，因为C 2 是直线，所以| PQ | 的最小值，即为 P 到C 2| 3 cos α+sin α- 4 |2222⎨⎩⎪=1⎩的距离d (α) 的最小值， d (α) ==π2 | sin(α+ π ) - 2 | ．3 3 1当且仅当α= 2k π+(k ∈ Z ) 时， d (α) 取得最小值，最小值为 6，此时 P 的直角坐标为( , ) ． 2 2 ⎧x = 1 + 1t , 26．(2023 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪ ⎪ y = ⎩ 2 3 t , 2(t 为参数) ，椭圆C 的参数⎧x = cos θ,方程为⎨ y = 2sin θ, (θ为参数) ，设直线l 与椭圆C 相交于 A , B 两点，求线段 AB 的长．⎧x = 1+ 1t（解析）椭圆C 的一般方程为 x 2 + y 4 = 1，将直线l 的参数方程⎨ ⎪ y = ⎩2 3 t2 ，代入 x 2 + y 4 = 1，得(1+ 1 t )2 + 3 t )22 = 1，即7t 2 +16t = 0 ，解得t = 0 ， t = - 16 ，所以 AB =| t - t | 16 ．2 4 1 2 71 2727．(2023 全国Ⅰ文理)在直角坐标系 xOy 中，直线C ： x = -2 ，圆C ：(x -1)2 + ( y - 2)2= 1 ，以坐标原12点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求C 1 ， C 2 的极坐标方程；(Ⅱ)假设直线C 3 的极坐标方程为θ=(ρ∈ R ) ，设C 2 与C 3 的交点为 M ， N ，求∆C 2MN 的面积．4（解析）(Ⅰ)因为 x = ρcos θ, y = ρsin θ，∴ C 的极坐标方程为ρcos θ= -2 ， C 的极坐标方程为ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 ．12(Ⅱ)将θ= π代入ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 ，得ρ2- 3 2ρ+ 4 = 0 ，解得ρ = 2， ρ = ， 4|MN|= ρ － ρ = ，因为C 的半径为 1，则A C MN 的面积 ⨯ 122 ⨯1⨯sin 45o = 1 ． 1 2 22 2 2 ⎧x = t cos α,28．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 ： ⎨ y = t sin α, ( t 为参数，t ≠0)其中0 ≤α<π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2 ： ρ= 2 sin θ， C 3 ： ρ= 2 3 cos θ． (Ⅰ)求C 2 与C 3 交点的直角坐标；(Ⅱ)假设C 1 与C 2 相交于点 A ， C 1 与C 3 相交于点 B ，求| AB | 的最大值．222(π3623)( x -1+ y +1= )()⎨（解析）(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2 y = 0 ，曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2- 2 3x = 0 ．联⎪x 2+ y 2- 2 y = 0,⎧x = 0, ⎧ 3 ⎪x = 2 , 立⎨x 2 + y 2 - 2 3x = 0,解得⎨ y = 0, 或⎨ 3 ⎪ ⎩ ⎪ y = ,⎩ 23所以C 2 与C 1 交点的直角坐标为(0, 0) 和( , ) ．2 2(Ⅱ)曲线C 1 的极坐标方程为θ= α(ρ∈ R , ρ≠ 0) ，其中0 ≤α<π．因此 A 得到极坐标为(2 sin α,α) ， B 的极坐标为(2 3 cos α,α) ． π5π所以 AB = 2 sin α- 2 3 cos α = 4 s in(α-) ，当α= 时， AB 取得最大值，最大值为 4 ． 3 629．(2023 江苏) 已知圆 C 的极坐标方程为ρ2+ 2 2ρsin(θ- π- 4 = 0 ，求圆 C 的半径．4（解析）以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xoy ．圆C 的极坐标方程为ρ2 + 2⎛ 2 sin θ- 2cos ⎫4 = 0 ，化简，得ρ2 + 2ρsin θ- 2ρcos θ- 4 = 0 ． ρ 22 θ⎪⎪ - ⎝ ⎭则圆C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2x + 2 y - 4 = 0 ，即2 2，所以圆C 的半径为． ⎧x = 3 + 1 t 30．(2023 陕西文理)在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为⎪2⎪ y = 3 t ⎩ 2 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙ C 的极坐标方程为ρ= 2 3 sin θ． (Ⅰ)写出⊙ C 的直角坐标方程；( t 为参数)．以原点为极点， x(Ⅱ) P 为直线l 上一动点，当 P 到圆心C 的距离最小时，求 P 的直角坐标．（解析）(Ⅰ) 由ρ= 2 3 sin θ, 得ρ2= 2 3ρsin θ，从而有 x 2+y 2= 2 3y , 所以x 2+ (y -3 )2= 3 ．(Ⅱ)设P (3 += ，故当t =0 时，| PC |取最小值，此时 P 点的直角坐标为(3, 0) ．21t,3t), 又C(0, 3) ，则| PC |=3222 3 ⎪55⎨y = 2 - 2t⎩⎩31．(2023 全国Ⅰ文理)已知曲线C ： x 4 + y 29 = 1，直线l ： ⎧x = 2 + t ( t 为参数)． ⎩(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的一般方程；(Ⅱ)过曲线C 上任一点 P 作与l 夹角为30o的直线，交l 于点 A ，求| PA |的最大值与最小值．⎧x = 2 cos θ.（解析）〔I 〕曲线C 的参数方程为⎨ y = 3sin θ. (θ为参数).直线l 的一般方程为2x + y - 6 = 0. ……5 分(Ⅱ)曲线C 上任意一点P(2cos θ.3sin θ)到l 的距离为d =4 cos θ+ 3sin θ- 6 .则 PA =d = sin 30︒ 5sin(θ+α) - 6 , 其中α为锐角，且tan α= 4 . 3当sin (θ+α)=-1时，PA 取得最大值，最大值为22 5 .5当sin(θ+α) = 1时，PA 取得最小值，最小值为2 5 .532．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为ρ= 2 cos θ，θ∈ ⎡0,π⎤ ．(Ⅰ)求 C 的参数方程；⎣⎢ 2 ⎥⎦(Ⅱ)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线l : y = 3x + 2 垂直，依据(Ⅰ)中你得到的参数方程，确定 D 的坐标．（解析）(I)C 的一般方程为(x -1)0 ≤ t ≤ x )．2 + y 2⎧x = 1+ cos t , = 1(0 ≤ y ≤ 1) ，可得 C 的参数方程为⎨ y = sin t ,(t 为参数，(Ⅱ)设 D (1+ cos t , sin t ) ．由(I)知 C 是以 G(1，0)为圆心，1 为半径的上半圆． π因为 C 在点D 处的切线与 t 垂直，所以直线 GD 与 t 的斜率相同， tan t = 3, t =．32 5523⎩⎩⎩1⎩⎩ππ 3故D 的直角坐标为(1+ cos , s in ) ，即( , ) ．3 3 2 233．(2023 全国Ⅰ文理)已知曲线C 的参数方程为⎧x = 4 + 5 cos t( t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正1 ⎨y = 5 + 5sin t半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为ρ= 2 s inθ．(Ⅰ)把C1 的参数方程化为极坐标方程；(Ⅱ)求C1 与C2 交点的极坐标( ρ≥0 ，0 ≤θ≤2π)．⎧x = 4 + 5 c os t2 2（解析）将⎨y = 5 + 5sin t消去参数t ，化为一般方程(x - 4) + ( y -5) = 25 ，即C1 ：x 2 +y2⎧x =ρcosθ-8x -10 y+16 = 0 ，将⎨y =ρsinθ代入x 2 +y2- 8x -10 y + 16 = 0 得，ρ2 - 8ρcosθ-10ρsinθ+16 = 0 ，∴C 的极坐标方程为ρ2 - 8ρcosθ-10ρsinθ+16 = 0 ．⎪x2+y2-8x-10y+16=0(Ⅱ) C 的一般方程为x2 +y2 - 2 y = 0 ，由⎨⎧x =1解得⎨⎧x = 0或⎨，2∴C1 与C2 的交点的极坐标分别为(⎩x2+y2-2y=0π)，(2, ) ．4 2⎩y =1 ⎩y = 2 34．(2023 全国Ⅱ文理)已知动点P ，Q 都在曲线C与β= 2α( 0 <α< 2π) M 为PQ 的中点．⎧x = 2 c os β：⎨y = 2 s in β(β为参数)上，对应参数分别为β=α(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并推断M 的轨迹是否过坐标原点．（解析）(Ⅰ)由题意有P(2c osα,2sinα),Q(2c os2α,2sin2α),因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α)，⎧x = cosα+ cos 2α,M 的轨迹的参数方程为⎨y = sinα+ sin 2α, (0 <α< 2π)．(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d ==0 <α< 2π)，当α=π时，d = 0 ，故M 的轨迹过坐标原点．2,π3⎩100⎩135．(2023 全国文理)已知曲线C 的参数方程是⎧x = 2 cos ϕϕ为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴1⎨y = 3sin ϕ(为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程是ρ= 2 ．正方形 ABCD 的顶点都在C 2 上，且 A 、 B 、C 、πD 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为(2, ) ． 3(Ⅰ)求点 A 、 B 、C 、 D 的直角坐标；(Ⅱ)设 P 为C 上任意一点，求| PA |2 + | PB |2 + | PC |2 + | PD |2 的取值范围．π5π 4π 11π（解析）(1)点 A , B , C , D 的极坐标为(2, ), (2, ), (2, ), (2, ) ，3 6 3 6点 A , B , C , D 的直角坐标为(1, 3),(-⎧x 0 = 2cos ϕ3,1), (-1, - 3),( 3, -1) ．(2)设 P (x 0 , y 0 ) ；则⎨ y = 3sin (ϕ为参数) ， ⎩ 0ϕt = PA 2+ PB 2+ PC 2+ PD 2= 4x 2 + 4 y 2 +16 = 32 + 20 sin 2ϕ∈32, 52．⎧x = 2 c os α 36．(2011 全国文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = 2 + 2 s in(α为参数)，M 是C 上 α的动点， P 点满足OP = 2OM ， P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2 的方程(Ⅱ)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ= π与C 的异于极点的交点为 A ，与C 的异于极点的交点为 B ，求 AB ．31 2（解析）(I)设 P (x , y ) ，则由条件知 M( x , y)．由于 M 点在C 上，⎧ x = 2 cos α ⎪ 2 2 2⎧ x = 4 cos α 1⎧ x = 4 cos α 所以⎨ y ，即⎨y = 4 + 4 s in ，从而C 2 的参数方程为⎨y = 4 + 4 s in (α为参数)， ⎪ = 2 + 2 s in α ⎩ α ⎩ α⎩ 2(Ⅱ)曲线C 1 的极坐标方程为ρ= 4sin θ，曲线C 2 的极坐标方程为ρ= 8sin θ．射线θ= π与C 的交点 A 的极径为ρ = 4sin π，射线θ= π与C 的交点 B 的极径为ρ = 8sin π．3 1 1 3 32 23所以| AB |=| ρ2 - ρ1 |= 2 ．。

极坐标与参数方程大题及答案

极坐标与参数方程大题及答案一、极坐标问题1.求解方程$r = 2\\cos(\\theta)$的直角坐标方程。

首先，根据极坐标到直角坐标的转换公式：$$x = r\\cos(\\theta)$$$$y = r\\sin(\\theta)$$将$r = 2\\cos(\\theta)$代入上述两式，得到：$$x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = 2\\cos^2(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$2.将直角坐标方程x2+y2−4x=0转换为极坐标方程。

首先，我们可以将直角坐标方程中的x2和y2替换成r2，从而得到：r2+y2−4x=0然后，将直角坐标方程中的x和y替换成$r\\cos(\\theta)$和$r\\sin(\\theta)$，得到：$$r^2 + (r\\sin(\\theta))^2 - 4(r\\cos(\\theta)) = 0$$将上述方程化简，得到极坐标方程为：$$r^2 + r^2\\sin^2(\\theta) - 4r\\cos(\\theta) = 0$$3.将极坐标方程$r = \\sin(\\theta)$转换为直角坐标方程。

使用极坐标到直角坐标的转换公式，将$r = \\sin(\\theta)$代入，得到：$$x = \\sin(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = \\frac{1}{2}\\sin(2\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$二、参数方程问题1.求解方程$\\frac{x + y}{x - y} = 2$的参数方程。

高中数学基础知识大全

高中数学基础知识大全高中数学基础知识包括以下几个方面：（一）集合与常用逻辑用语：集合的基本概念、集合的运算、命题及其关系、充分必要条件的判断等。

（二）函数与方程：函数的定义域与值域、函数的单调性、奇偶性与周期性、二次函数、指数函数与对数函数等。

（三）数列：等差数列与等比数列的定义、性质与通项公式等。

（四）三角函数与平面向量：三角函数的定义、图象与性质，平面向量的基本概念与运算等。

（五）解析几何：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义、图象与性质等。

（六）立体几何：平面、空间直线与平面的位置关系，空间几何体的定义、性质与面积体积的计算等。

（七）计数原理与二项式定理：排列组合的定义、性质与计算，二项式定理及其展开式的通项公式等。

（八）概率与统计：概率的基本概念、随机变量的分布，统计的基本概念与数据处理方法等。

（九）导数及其应用：导数的定义、性质与计算，利用导数研究函数的单调性、极值与最值等。

（十）复数：复数的定义、表示法与运算等。

（十一）不等式：不等式的性质、不等式的解法、不等式的证明等。

（十二）平面直角坐标系与极坐标系：平面直角坐标系的基本概念、点的坐标的确定、图形与坐标的关系等，极坐标系的概念、表示法与转换等。

（十三）推理与证明：合情推理与演绎推理的概念、方法与步骤，证明的基本方法与技巧等。

（十四）数据建模与决策：数据的收集、整理、分析与建模，决策的基本概念与方法等。

（十五）数学建模与实际问题：数学建模的基本方法与步骤，实际问题中数学模型的应用等。

（十六）常用工具：计算器、函数图像器等常用数学工具的使用方法与技巧等。

这些基础知识是高中数学的重要组成部分，学生需要熟练掌握并能够灵活运用，以便更好地应对数学考试和实际问题。

同时，学生还需要注重数学思想方法的运用，培养自己的数学思维能力和解决问题的能力。

极坐标系-高中数学知识点讲解(含答案)

极坐标系（北京习题集）（教师版）一．选择题（共8小题）1．（2014•丰台区一模）在极坐标系中，点(1,)A π到直线cos 2ρθ=的距离是( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．（2018秋•西城区期末）在极坐标系中，点(2,)2P π到直线cos 1ρθ=-的距离等于( )A ．1B ．2C ．3D3．（2019•通州区三模）在平面直角坐标系中，记曲线C 为点(2cos 1,2sin 1)P θθ-+的轨迹，直线20x ty -+=与曲线C 交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为( )A ．2B ．C ．D ．44．（2019•西城区二模）在极坐标系中，直线cos 2ρθ=与圆4cos ρθ=交于A ，B 两点，则||(AB = )A ．4B ．C ．2D 5．（2018秋•东城区期末）在极坐标系中，下列方程为圆2sin ρθ=的切线方程的是( ) A ．cos 2ρθ=B ．2cos ρθ=C ．cos 1ρθ=-D ．sin 1ρθ=-6．（2019•通州区一模）在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是( ) A ．(2π，1) B ．(1,)2πC ．(0,1)D ．(1,0)7．（2019春•海淀区校级期中）在极坐标系中，直线sin cos 1ρθρθ-=被曲线ρ=截得的线段长为( )A B C D ．28．（2019•平谷区一模）在极坐标系中，点(2,)3π到直线(cos )6ρθθ+=的距离为( )A ．1B ．3C 3D ．5二．填空题（共7小题）9．（2019•昌平区二模）在极坐标系中，极点到直线cos sin 2ρθρθ+=的距离为．10．（2013秋•大兴区期末）点P 的极坐标为3)4π与其对应的直角坐标是． 11．（2019•大兴区一模）在极坐标系下，点(1,)2P π与曲线2cos ρθ=上的动点Q 距离的最小值为．12．（2019•石景山区一模）在极坐标系中，直线sin 2ρθ=与圆4sin ρθ=的位置关系为．（填“相交”、“相切”或“相离” )13．（2019•通州区三模）在极坐标系中，若点A 在圆:1C ρ=上，则点A 到直线:(cos sin )2l ρθθ+=距离的最大值为．14．（2019•门头沟区一模）已知直线l 的参数方程为(1x tt y t =⎧⎨=-⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0(0,02)ρθθρθπ-=<，若直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，则||AB = ．15．（2019•西城区校级模拟）在极坐标系中，若点(,)(0)3A m m π>在圆2cos ρθ=外，则m 的取值范围为．极坐标系（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2014•丰台区一模）在极坐标系中，点(1,)A π到直线cos 2ρθ=的距离是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】利用极坐标与直角坐标的互化公式化为直角坐标系下的坐标与方程，即可得出．【解答】解：点(1,)A π与直线cos 2ρθ=分别化为直角坐标系下的坐标与方程：(1,0)A -，直线2x =．点(1,0)A -到直线2x =的距离2(1)3d =--=，∴点(1,)A π到直线cos 2ρθ=的距离为3．故选：C ．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、点到直线的距离，属于基础题．2．（2018秋•西城区期末）在极坐标系中，点(2,)2P π到直线cos 1ρθ=-的距离等于( )A ．1B ．2C ．3D【分析】求出点P 的直角坐标方程为(0,2)P ，直线的直角坐标方程为10x +=，由此能求出点(2,)2P π到直线cos 1ρθ=-的距离．【解答】解：在极坐标系中，点(2,)2P π，2cos02x π∴==，2sin22y π==，∴点P 的直角坐标方程为(0,2)P ，直线cos 1ρθ=-，∴直线的直角坐标方程为10x +=， ∴点(2,)2P π到直线cos 1ρθ=-的距离1d ==．故选：A ．【点评】本题考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（2019•通州区三模）在平面直角坐标系中，记曲线C 为点(2cos 1,2sin 1)P θθ-+的轨迹，直线20x ty -+=与曲线C 交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为( )A ．2B ．C ．D ．4【分析】由2cos 12sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得22(1)(1)4x y ++-=，∴曲线C 的轨迹是以(1,1)-为圆心，2为半径的圆，再根据勾股定理以及基本不等式可得．【解答】解：由2cos 12sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩消去θ得22(1)(1)4x y ++-=，∴曲线C 的轨迹是以(1,1)-为圆心，2为半径的圆，圆心(1,1)-到直线20x ty -+=的距离d ==，||231AB ∴==-=，当且仅当1t =-时取等．故选：B ．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．4．（2019•西城区二模）在极坐标系中，直线cos 2ρθ=与圆4cos ρθ=交于A ，B 两点，则||(AB = )A ．4B ．C ．2D 【分析】将直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程后，根据直线过圆心可得AB 为圆的直径，所以||4AB =．【解答】解：由cos 2ρθ=得2x =；由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，得2240x y x +-=即22(2)4x y -+=，显然直线过圆心，所以||4AB =．故选：A ．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．5．（2018秋•东城区期末）在极坐标系中，下列方程为圆2sin ρθ=的切线方程的是( ) A ．cos 2ρθ=B ．2cos ρθ=C ．cos 1ρθ=-D ．sin 1ρθ=-【分析】求出圆的直角坐标方程为222x y y +=，即22(1)1x y +-=，圆心为(0,1)，半径1r =，由此能求出结果．【解答】解：圆2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，∴圆的直角坐标方程为222x y y +=，即22(1)1x y +-=，圆心为(0,1)，半径1r =，在A 中，cos 2ρθ=即2x =，圆心(0,1)到2x =的距离21d r =>=，故cos 2ρθ=不是圆的切线，故A 错误；在B 中，2cos ρθ=是圆，不是直线，故B 错误；在C 中，cos 1ρθ=-即1x =-，圆心(0,1)到1x =-的距离11d r ===，故cos 1ρθ=-是圆的切线，故C 正确；在D 中，sin 1ρθ=-即1y =-，圆心(0,1)到1y =-的距离21d r =>=，故sin 1ρθ=-不是圆的切线，故D 错误．故选：C ．【点评】本题考查圆的切线方程的判断，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（2019•通州区一模）在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是( ) A ．(2π，1) B ．(1,)2πC ．(0,1)D ．(1,0)【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心的直角坐标，再化为极坐标即可．【解答】解：圆2sin ρθ=化为22sin ρρθ=，222x y y ∴+=，配方为22(1)1x y +-=，因此圆心直角坐标为(0,1)，可得圆心的极坐标为(1,)2π．故选：B ．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标的互化，属于基础题．7．（2019春•海淀区校级期中）在极坐标系中，直线sin cos 1ρθρθ-=被曲线ρ=截得的线段长为( )A B C D ．2【分析】首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．【解答】解：直线sin cos 1ρθρθ-=转换为直角坐标方程为：10x y -+=．曲线ρ转换为直角坐标方程为222x y +=，所以圆心(0,0)到直线10x y -+=的距离d ==所以l =．故选：C ．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．（2019•平谷区一模）在极坐标系中，点(2,)3π到直线(cos )6ρθθ+=的距离为( )A ．1B ．3C 3D ．5【分析】把点的坐标与极坐标方程分别化为直角坐标及其方程，利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点(2,)3P π化为：(2cos ,2sin )33P ππ，即P ．直线(cos )6ρθθ+=化为直角坐标方程：60x +-=，∴点P 到直线的距离212d ===．故选：A ．【点评】本题考查了极坐标方程分别化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二．填空题（共7小题）9．（2019•昌平区二模）在极坐标系中，极点到直线cos sin 2ρθρθ+=【分析】先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，进行代换将直线cos sin 2ρθρθ+=的化成直角坐标方程，再在直角坐标系中算出极点到直线的距离即可．【解答】解：直线cos sin 2ρθρθ+=的极坐标方程为： 20x y +-=，∴极点到直线cos sin 2ρθρθ+=的距离等于：=【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．10．（2013秋•大兴区期末）点P 的极坐标为3)4π与其对应的直角坐标是 (1,1)- ．【分析】利用极坐标化为直角坐标的公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩即可得出．【解答】解：设点P 的直角坐标为(,)x y ，则3cos cos14x πρθ==-，3sin 14y πρθ===． ∴点P 的直角坐标为(1,1)-．故答案为：(1,1)-．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，属于基础题．11．（2019•大兴区一模）在极坐标系下，点(1,)2P π与曲线2cos ρθ=上的动点Q 1 ．【分析】将点P 的极坐标化成直角坐标，圆的极坐标方程化成直角坐标后，PQ 的最小值等于点P 到圆心的距离减去半径．【解答】解：点(1,)2P π的直角坐标为(0,1)，曲线2cos ρθ=的直角坐标方程为：22(1)1x y -+=，其圆心为(1,0)，半径为1，点(0,1)P 与圆心(1,0)||1min PQ ∴=．1．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．12．（2019•石景山区一模）在极坐标系中，直线sin 2ρθ=与圆4sin ρθ=的位置关系为相交．（填“相交”、“相切”或“相离” )【分析】将直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程后可得相交．【解答】解：由sin 2ρθ=得2y =；由4sin ρθ=得24sin ρρθ=得22(2)4x y +-=，所以直线与圆相交．故答案为：相交．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．13．（2019•通州区三模）在极坐标系中，若点A 在圆:1C ρ=上，则点A 到直线:(cos sin )2l ρθθ+=距离的最大值为1 ．【分析】圆C 的直角坐标方程为：221x y +=，直线l 的直角坐标方程为：20x y +-=，问题转化为求圆心C 到直线l 的距离加上圆的半径，由点到直线的距离公式可得．【解答】解：圆C 的直角坐标方程为：221x y +=，直线l 的直角坐标方程为：20x y +-=，问题转化为求圆心C 到直线l 的距离加上圆的半径，11+．1．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中挡题．14．（2019•门头沟区一模）已知直线l 的参数方程为(1x tt y t =⎧⎨=-⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0(0,02)ρθθρθπ-=<，若直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，则||AB = 8 ．【分析】利用直线参数方程中参数t 的几何意义可得．【解答】解：由1x t y t =⎧⎨=-⎩消去t 可得1y x =-，其参数方程的标准形式为：1(x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩为参数），由2sin 4cos 0ρθθ-=得22sin 4cos 0ρθρθ-=，得24y x =，联立2124x y y x ⎧=+⎪⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎪⎩得280t --=，设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，则12t t +=128t t =-，所以12||||8AB t t =-===．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．15．（2019•西城区校级模拟）在极坐标系中，若点(,)(0)3A m m π>在圆2cos ρθ=外，则m 的取值范围为 (1,)+∞ ．【分析】首先把点的极坐标转化为直角坐标，进一步利用点和圆的位置关系求出结果．【解答】解：极坐标(,)(0)3A m m π>，转化为直角坐标为：(2m A ，圆圆2cos ρθ=，转化为：2220x y x +-=，整理得：22(1)1x y -+=，由于：点A 在圆的外部，1，解得：1m >或0m <，由于：0m >，所以：1m >．即：(1,)m ∈+∞．故答案为：(1,)+∞．【点评】本题考查的知识要点：极坐标和直角坐标的转化，点与圆的位置关系的应用．。

高三数学专项训练：极坐标与参数方程(附答案)

x 中，⊙ 的参数方程为cos ，（为参数）， xOy O过点 0， 2 且倾斜角为的直线与⊙ 交于，两点．l O AB Ptl,（为参数），设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线． m l l P k P Cm y , k（1）写出的普通方程： C（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l : (co s s in ) ，为与 M lxC3 cosx 3、（2016 全国 I I I 卷高考）在直角坐标系s in1坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线) 2 2 . 41（II ）设点 P 在上，点 Q 在上，求|P Q |的最小值及此时 P 的直角坐标.4、（成都市 2018 届高三第二次诊断）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x.在以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标2s ins in ( ) 5 2 0 ，直线的极坐标方程为 . 44（1）求直线的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；5、（成都市 2018 届高三第三次诊断）在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是，直线l 的2 s in 在直线l 上.以极点为坐标原点 O ，极轴为 x 轴的4正半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度.（I ）求曲线C 及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于不同的两点 A，求 Q A Q B 的值.6、（达州市 2017 届高三第一次诊断）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴2tx 2建立极坐标系，直线l 的参数方程为.t 2y 2 t2 2（1）若l 的参数方程中的t1 1(0, 2) l （2）若点 P，和曲线C 交于两点，求.7、（德阳市 2018 届高三二诊考试）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：（t 为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C ：x.0,0l与直线和曲线C 的交点分别为点M 和点 N （异于点O ）， 2 O N 求的最大值.O M8、（广元市 2018 届高三第一次高考适应性统考）在平面直角坐标系x Oy4cos a 2(a 为参数），以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方y程为 ( ) .R 6C（2）设直线与曲线相交于 , 两点，求的值.ABC A B 轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 3 c os s inC3 0 ，的极坐标方程为．4s in( ) 6（I ）求直线 l 和的普通方程；C （II ）直线 l 与有两个公共点 A 、B ，定点 P (2, 3) ，求|||| 的值．C 10、（绵阳市 2018 届高三第一次诊断）在直角坐标系中，曲线C 的参数方程是yx（1）求曲线C 的极坐标方程；C, AOB与曲线分别交于异于原点的 A B 两点，求的面积.（2）设l，，若631211、（南充市 2018 届高三第二次高考适应性考试）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1:1 ，以坐标原点O 为极点，以轴正半轴y1x22 2(Ⅰ)求曲线C 的普通方程和曲线C 的极坐标方程；12C C,与曲线，分别交于 A B 两点，求61 212、（仁寿县 2018 届高三上学期零诊）在平面直角坐标系xoy 中，圆 C 的参数方程为l3）=7． 43 t 2 (t 为参数)，以坐标原 1224 c os(3（1）求圆C 的直角坐标方程； 2（2）若 P(x, y )是直线l 与圆面 4cos( )的公共点，求 3x y的取值范围.32 0（ PQ （1）求点的轨迹C 的直角坐标方程；3 （2）若C 上点 M 处的切线斜率的取值范围是，求点 M 横坐标的取值范围. 315、（雅安市 2018 届高三下学期三诊）在直角坐标系中，已知圆的圆心坐标为(2,0) ，半径为CXCl（2）点的极坐标为 1,，直线与圆相交于，，求 PAC 的值.P l A B 235 cos16、（宜宾市 2018 届高三第一次诊断）在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为xOy 5 s iny(其中参数 ).xCx 1 t c os （2）直线l 的参数方程为(其中参数 , 是常数)，直线l 与曲线交于t RC y点，且，求直线l 的斜率．AB2 3 l2t ， x 2 y 4 t的极坐标方程为 4cos ．（1）写出直线 l 普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）过点 M (1，0) 且与直线平行的直线交于 A ， B 两点，求| AB | .l l C 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴x si n 2 cos ( 0) ，过点的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为 a a2x 2 （为 t参数），直线与曲线相交于两点. 的直线的参数方程为2 y 42 (1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； 2 PA PB AB 求的值 (2)若 ,. a 1、解答：的参数方程为的普通方程为 22yl : x 0 与e O有两个交点，当| 0 0 2 |t an2 ，由直线l 与e O时，设直线l 的方程为 y x1 两个交点有，得，∴或，综上时，点P 坐标为 (0,0)ly 22A22为 y， 1 1 2 2③2 2k 2(1 k )x 2 2kx 1 0 2 2 ，∴，∴得121222y ④2xk 代入④得 x y 2y 0 .当点 P(0,0) 时满足方程 x y 2y 0 ，∴ AB 中点的 P2 2 2 2 y22 2 的轨迹方程是 x，即 xy2 22 2 2 222 2 22B (y 0 ，故点 P 的参数方程为，则22 2 2 2y s in2 2 0）.2、【解析】⑴将参数方程转化为一般方程l : y k x 2 112k① ②消可得： 4k x 2 y 2 即的轨迹方程为 4 ；P ⑵将参数方程转化为一般方程……③Cl3422x 2y2 c os解得 5y．5s in c os 10 0.4c oss in ，可得直线的直角坐标方程为y ， 2 3 c osx x 2 y 2 将曲线C 的参数方程C12 4（2）设Q(2 3cos ,2s in ) (0 ).(4 2, ) 化为直角坐标为(4, 4).4则 M.2s in( ) 103 cos s in 103.225s in ( ) 1，即当 3 6∴点 M 到直线的距离的最大值为6 25、.316C242 2 t ) (2 2 22 2121 21121 121 2，4. s in c os2由得：2，所以 x 2 y 2 y ，所以曲线C 的直角坐标方程为： x .224 2s in， s in c oss in s in cos 2O N所以，4 4 23由于0 ，所以当时，取得最大值：.2844cos a 2得曲线的普通方程：C所以曲线的极坐标方程为： 4 c os 12 C 2（2）设 , 两点的极坐标方程分别为( , ),( , ) ,661224 c os 12 0 的两根2是 C2∴ 2 3, 12121 29、解：（I ）直线 l 的普通方程为： 3 3 0， ·································································· 1 分x y因为圆的极坐标方程为， C 63 1所以 2 4( s i n cos ) ， ··············································································· 3 分2 2所以圆的普通方程 22 3 0 ；·························································· 4 分 C x 2 y 2 x y （II ）直线 l ： 3 3 0的参数方程为： x y3 y 3 t2代入圆的普通方程 22 3 0 消去 x 、y 整理得： x 2 y 2 x y 2 9 17 0 ， ··········································································································· 6 分t t | | | ，| | | |，··························································································· 7 分PB tPA t 1 2|| PA | | PB |||| t | | t ||| t t | (t t ) ······························································· 8 分2 12122 12219 417 13 .··································································································· 10 分2 10、解：（Ⅰ）将 C 的参数方程化为普通方程为(x -3) +(y -4) =25，2 2 22．（Ⅱ）把代入 6 c os 8s in ，得，6 1∴ ． ……………………………………………………………6 分A66 c os 8s in32∴ ． ……………………………………………………………8 分B31s in AOB2 1 21225 3． 4211、解：（Ⅰ）由2.3yx 2所以曲线的普通方程为C 2.13 c os1 s i n 1，得到，化简得到曲线把 x，代入22的极坐标方程为2 cos.C 2（Ⅱ）依题意可设 A,曲线C 的极坐标方程为 2.2 261211代入C 的极坐标方程得 2 2，解得 .621.622.12）=7．根据 ρcosθ=x ，ρsinθ=y 可得：﹣y+x=7．即直线 l 的直角坐标方程为 x．---------------------------5 分（θ 为参数），其圆心为（﹣1，2），半径r=4．----6 分5 2．---------------------8 分2∴ AB 的最小值为圆心到直线的距离 d ﹣r ，即 AB min4 c os( )13、【解析】（1）∵圆C 的极坐标方程为323 14 c os ( cos )∴ ， 322又∵ 2222∴圆C 的普通方程为 x 22（2）设 z，y 2x 2 3y 0 (x 1) (y 3) 4 ，22 2 2 ∴圆C 的圆心是(1, 3)3 t2 3x y 得 z t ，代入 z 12，圆C 的半径是，2 3，即 x y 的取值范围是∴，∴.……10 分 2 0 14、解：（1）由，得22设，，1 1x 2 yx 2x 2, y 2y则 x ，122111 1得22，∴221,0 为圆心，1半径的半圆，如图所示，，设点处切线的倾斜角为 lM设253 由l 斜率范围， …………7 分3 3 63 而，∴，∴ ，26 3 22M , 所以，点横坐标的取值范围是． …………10 分22，，化简得圆的极坐标方程：，:由l 得，y1l 的极坐标方程为.4(1,0)，（2）由 PP22 t x2直线的参数的标准方程可写成2y 1 t2 2 2t 2) (1 t) 2 ，2 2 2 2，，.3 5 cosx Q 16、解：（1）5 s iny 的普通方程 x 22x 1t c osQ1 直线l 的普通方程 y k xy3k 0 k k 122 t ，217、（1）由2y 4 t2 又由 4cos 得 4cos ，则的直角坐标方程为 0 ． ··············5 分2C x 2 y 22 t , x2 （2）过点 M ( 1，0) 且与直线平行的直线的参数方程为l l 2 y t .2 将其代入 4 0 得 2 23 0 ，则 t t，x 2 y 2 x tt 1 2 所以| AB ||t t | (t t ) 4t t14 ． ······················································10 分2 1212(1)由整理得= ,,(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程 = 得,.设两点对应的参数分别为,则有∵=,即=,解得或者(舍去),。

高考数学基础知识点归纳总结

高考数学基础知识点归纳总结（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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2024年鲁教新版高二数学上册月考试卷含答案

2024年鲁教新版高二数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、设集合A={x|2＜x＜5}，B={x|x＜b}，若A⊆B，则b的取值范围是（）A. b≤2B. b≤5C. b≥2D. b≥52、若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A. 至多等于3B. 至多等于4C. 等于5D. 大于53、已知集合M={x|1+x＞0}，N={x|y=lg（1-x）}，则M∩N=（）A. {x|-1≤x＜1}B. {x|x＞1}C. {x|-1＜x＜1}D. {x|x≥-1}4、已知sin（45°+α）=则sin 2α等于（）A. -B. -C.D.5、命题p：∀x＜0，2x＞x，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则下列命题正确的是（）A. （￢p）∨q为真B. p∨q为真C. p∧（￢q）为假D. （￢p）∧（￢q）为真6、下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项；那么可以写出这个数列的任何一项；②数列的通项公式是a n=③数列的图象是一群孤立的点；④数列1；-1，1，-1，与数列-1，1，-1，1，是同一数列．其中正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)7、等差数列{a n}，公差d=2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n等于____．8、复数+i2014对应的点位于复平面的第____象限．9、复平面内的点A，B，C对应的复数分别为i，1，4+2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD，则||=____．10、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆心为（）且过极点的圆的极坐标方程是____．11、在极坐标系中，O为极点，已知两点M，N的极坐标分别为则△OMN的面积为____．12、设函数f（lgx）的定义域为[0.1，100]，则函数f（）的定义域为____．13、【题文】已知动点P在曲线上移动，则点A（0，– 1）与点P连线中点的轨迹方程是_____________14、【题文】已知函数且）若实数使得函数在定义域上有零点，则的最小值为__________．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)15、画出下列不等式所表示的平面区域．（1）y≥|x|+1；（2）|x|＞|y|；（3）x≥|y|．16、如图根据下列三视图，想象物体原形，并画出物体的实物草图．17、x0是x的方程a x=log a x（a＞0，且a≠1）的解，则x0，1，a这三个数的大小关系是____．18、设函数f（x）=2sinxcosx-sin2x+cos2x．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）若g（x）=f（x）-m在x∈[0，]上有两个不同的零点，求实数m的取值范围．19、作出下列函数图象．（1）y=x2-2x+3；x∈（-1，3]；（2）．20、平面内两定点的距离为6，一动点M到两定点的距离之和等于10，建立适当的直角坐标系，写出动点M满足的轨迹方程，并画出草图．21、按下列叙述画出图形（不必写作法）：直线a，b相交于点M，点N不在直线a，b上，点N分别与直线a，b确定平面α，β．评卷人得分四、解答题(共2题，共14分)22、如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，求BF的长．23、【题文】设且满足：求证：评卷人得分五、计算题(共1题，共9分)24、函数y=log a（2x-3）+2的图象恒过定点P，点P在指数函数f（x）的图象上，则f（-1）=____．评卷人得分六、综合题(共2题，共10分)25、直线y=kx+1（k∈R）与曲线恒有公共点．则非负实数m的取值范围____．26、（备用）已知函数．（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；（2）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，有f（1-t）+f（1-t2）＜0，求实数t的集合A．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、D【分析】【分析】由集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，A⊆B，即可得出2≤a．【解析】【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜5}，B={x|x＜b}；若A⊆B，则5≤b．∴b的取值范围是b≥5．故选：D2、B【分析】【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．【解析】【解答】解：考虑平面上；3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等；由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4；也不成立；在空间中；4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4；由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体；第五个点；与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心；且球的半径等于边长；即有球心与正四面体的底面的中心重合，故不成立；同理n＞5；不成立．故选：B．3、C【分析】【分析】由题设条件先求集合A和B，再由交集的运算法则计算A∩B．【解析】【解答】解：∵集合M={x|1+x＞0}={x|x＞-1}；N={x|y=lg（1-x）}={x|x＜1}；∴M∩N={x|-1＜x＜1}．故选C．4、B【分析】∵sin（α+45°）=sinαcos45°+cosαsin45°=（sinα+cosα）=∴sinα+cosα=两边平方得：1+sin2α=∴sin2α=-．故选B【解析】【答案】先根据两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后；得到sinα+cosα的值，然后两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简后，即可求出sin2α的值．5、B【分析】解：命题p：∀x＜0，2x＞0＞x；恒成立；故命题p是真命题；命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0；不成立；故命题q是假命题；故p∨q为真；故选：B．分别判断出p；q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．本题考查了指数函数的性质，考查二次函数的性质以及复合命题的判断，是一道基础题．【解析】【答案】 B6、A【分析】解：①错误，a n+2=a n+a n+1，a1=1，就无法写出a2；②错误，a n=③正确；④两数列是不同的有序数列；故不正确．故选：A．递推公式是描述某一项与前一项或前几项关系的，由此易判断①的真假；由数列的前几项为我们易归纳推理出数列的通项公式，进而判断②的对错；根据数列是定义域为正整数的函数，我们可以判断③的正误；根据数列的定义，可判断④的真假．本题考查的知识点是数列的概念及表示方法，根据数列的基本概念逐一分析四个结论即可得到答案，故解答本题的关键是熟练掌握数列的基本概念．【解析】【答案】 A二、填空题(共8题，共16分)7、略【分析】【分析】直接利用等差数列以及等比数列求出等差数列的首项然后求解数列的S n．【解析】【解答】解：等差数列{a n}，公差d=2，若a2，a4，a8成等比数列；所以（a4）2=a2•a8，可得（a1+6）2=（a1+2）（a1+14），解得a1=2．则{a n}的前n项和S n=2n+ =n2+n．故答案为：n2+n．8、略【分析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解析】【解答】解：∵i4=1，∴i2014=（i4）503•i2=-1．∴复数+i2014= -1= -1=-1+i对应的点（-1；1）位于复平面的第二象限．故答案为：二．9、略【分析】【分析】依题意，可求得= + =2+3i，从而可得答案．【解答】解：依题意知，= + =（i-1）+（4+2i-1）=2+3i；∴| |= = ．故答案为：．10、ρ=-2 cosθ【分析】【分析】先在直角坐标系下求出圆心在（，π）且过极点的圆的直角坐标方程，再利用直角坐标与极坐标的互化公式化成极坐标方程即可．【解析】【解答】解：∵在极坐标系中，圆心在（；π）且过极点的圆的直角坐标方程是：（x+ ）2+y2=2，即x2+y2+2 x=0；它的极坐标方程为：ρ=-2 cosθ．故答案为：ρ=-2 cosθ．11、略【分析】因为M，N的极坐标分别为所以|OM|=4，|0N|=所以三角形为直角三角形，所以△OMN的面积为．故答案为：2．【解析】【答案】由题意知|OM|=4，|0N|= 然后利用面积公式求面积．【分析】因为函数f（lgx）的定义域为[0.1；100]，由0.1≤x≤100，得：-1≤lgx≤2，所以函数f（x）的定义域为[-1，2]；再由得：-2≤x≤4；所以函数f（）的定义域为[-2；4]．故答案为[-2；4]．【解析】【答案】先由函数f（lgx）的定义域求出函数f（x）的定义域，然后求得函数f（）的定义域．13、略【分析】【解析】设点设点A（0，– 1）与点P连线中点为由终点坐标公式得：代入（*）得。

2020届成都市高三文科数学复习—极坐标参数方程与空间几何

2020届成都市高三文科数学复习—解答题专练重点：极坐标与参数方程空间几何三角函数数列概率统计1、在直角坐标系xOy中，过点32P ⎫⎪⎪⎭作倾斜角为α的直线l 与曲线22:1C x y +=相交于不同的两点,M N 。

（1）写出直线l 的参数方程；（2）求11PM PN+的取值范围。

2.在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为2παα⎛⎫≠⎪⎝⎭的直线l的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）与曲线C ：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）相交于不同的两点A,B.（1）若3πα=，求线段AB 的中点M 的坐标；（2）已知点(P .若2PA PB PO ⋅=，求直线l 的斜率.3. 在平面直角坐标系xOy 中曲线221:1C x y +=经伸缩变换222x xy y⎧=⎨=⎩后得到曲线2C ，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线3C 的极坐标方程为86sin ρρθ-=-.（1）求曲线2C 的参数方程和3C 的直角坐标方程；（2）设M 为曲线2C 上的一点，又M 向曲线3C 引切线，切点为N ，求||MN 的最大值.4．以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为()2213sin 4ρθ+=.(1)求曲线C 的参数方程；(2)若曲线与x 轴的正半轴及y 轴的正半轴分别交于点A ,B ,在曲线C 上任取一点P ,且点P 在第一象限,求四边形OAPB 面积的最大值.5．已知直线l的参数方程为3 2.x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ,[0,2)ρθθ=∈π．（Ⅰ）求直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使得它到直线l 的距离最短．6.已知曲线C的参数方程为21x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)设12::63l l ππθθ==，，若l 1 、l 2与曲线C 相交于异于原点的两点 A 、B ，求△AOB 的面积.7.在直角坐标坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系, 圆C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.（Ⅰ）M 为曲线C16OP ⋅=,求点P 的轨迹方程C 1；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线C 1上，求三角形OAB 面积的最大值；8.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为2cos 324sin3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是4ρ=。

高中数学全部知识点

高中数学全部知识点高中数学作为一门基础学科，其知识点广泛且深入，涵盖了代数、几何、概率统计等多个领域。

以下是高中数学的全部知识点总结：1. 集合论- 集合的概念和表示方法- 集合的运算（交集、并集、补集）- 子集和幂集- 集合恒等式和德摩根定律2. 函数- 函数的概念和表示方法- 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）- 基本初等函数（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数）- 函数的图像和变换（平移、伸缩、对称）3. 不等式- 不等式的基本性质- 解一元一次不等式和一元二次不等式- 解绝对值不等式- 线性规划和不等式的应用4. 数列- 数列的概念和分类- 等差数列和等比数列- 数列的求和（等差数列求和公式、等比数列求和公式）- 数列的极限和收敛性5. 三角学- 三角函数的定义和性质- 三角恒等式（和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式）- 三角函数的图像和变换- 解三角形（正弦定理、余弦定理）6. 向量- 向量的概念和表示方法- 向量的运算（加法、减法、数乘、点积、叉积）- 向量在几何中的应用（向量投影、向量旋转、向量在平面和空间的表示）7. 解析几何- 直线和圆的方程- 椭圆、双曲线和抛物线的方程- 极坐标和参数方程- 圆锥曲线的性质和应用8. 微积分- 极限的概念和性质- 导数的定义和运算法则- 微分的应用（切线、速度、加速度）- 积分的定义和基本定理- 不定积分和定积分的计算9. 概率与统计- 随机事件和概率- 条件概率和独立性- 离散型和连续型随机变量- 概率分布（二项分布、正态分布、泊松分布）- 统计量（均值、方差、标准差、中位数）- 统计图表（条形图、折线图、饼图）10. 空间几何- 空间直线和平面的方程- 空间几何体（多面体、旋转体）- 空间向量的应用- 空间几何的证明这些知识点构成了高中数学的主体框架，是理解和掌握高中数学的基础。

通过系统学习这些知识点，学生可以建立起扎实的数学基础，为进一步的数学学习和应用打下坚实的基础。

极坐标(含答案 )

极坐标x cos sin y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222x y ρ+= 考点一。

直角坐标化极坐标(1)点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为______. 解：点M 极坐标为：2(2,2),()3k k Z ππ+∈. （2）求直线3x-2y+1=0的极坐标方程。

解：极坐标方程为01sin 2cos 3=+-θρθρ。

(3)在极坐标系中，圆心在π）且过极点的圆的极坐标方程为______.解：圆心:)02(，-,22(2x y +=。

圆的极坐标方程为ρθ。

考点二。

极坐标化直角坐标（1）求普通方程)3R ∈=ρπθ（。

解：y=kx,且k=33tan=π,则直线方程为x 3y =。

（2）将曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化成直角坐标方程。

解：将ρ=22y x +，sin θ=22y x y +代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2=4.(3)求过圆4cos =ρθ的圆心，且垂直于极轴的直线极坐标方程．解：由θρcos 4=得θρρcos 42=．所以x y x 422=+，22(2)4x y -+=圆心坐标(2,0)直线方程为2=x ．直线的极坐标方程为2cos =θρ。

(4)将极坐标方程4sin 2θ=3化为普通方程。

解：由4sin 2θ=3,得4·222yx y +＝3,即y 2=3 x 2，y=±x 3. （5）化极坐标方程24sin 52θρ⋅=为普通方程。

解：21cos 4sin422cos 522θθρρρρθ-⋅=⋅=-=，即25x =，化简22554y x =+.表示抛物线.(6)求点 (,)π23到圆2cos ρθ= 的圆心的距离。

解：)3,2(π化为)3,1(，圆θρcos 2=化为0222=-+x y x ，圆心的坐标是)0,1(，故距离为3。

（7）求点M （4，）到直线l ：ρ（2cos θ+sin θ）=4的距离．（8）已知21,C C 极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（20,0θρ<≤≥），求曲线1C 与2C 交点极坐标.解:21,C C 分别为4)2(,322=+-=y x x ,且0≥y ，两曲线交点为（3，3）. 所以，交点的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛6,32π。

极坐标练习题(含详细答案)

1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧ x ′＝5x ，y ′＝3y后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( ) A ．25x 2＋9y 2＝1 B ．9x 2＋25y 2＝1 C ．25x ＋9y ＝1 D.x 225＋y 29＝12．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( )A ．(x ＋12)2＋y 2＝14B ．x 2＋(y ＋12)2＝14C ．x 2＋(y －12)2＝14D ．(x －12)2＋y 2＝14答案 D解析由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D.3．极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线为( )A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆答案 C4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A ．(1，π2)B ．(1，－π2)C ．(1,0)D ．(1，π) 答案 B解析由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化为普通方程x 2＋(y ＋1)2＝1，其圆心坐标为(0，－1)，所以其极坐标为(1，－π2)，故应选B.5．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标为( )A ．(2，π3，3)B ．(2，2π3，3)C ．(2，4π3，3)D ．(2，5π3，3) 答案 C6．(2013·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1答案 B解析由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B.7．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )A ．ρ＝cos θB ．ρ＝sin θC ．ρcos θ＝1D ．ρsin θ＝1答案 C解析过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x ＝1，所以其极坐标方程为ρcos θ＝1，故选C.8．(2013·天津)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为(4，π3)，则|CP |＝________.答案 2 3解析由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，得圆心C 的直角坐标为(2,0)，点P 的直角坐标为(2,23)，所以|CP |＝2 3.9．(2014·唐山一中)在极坐标系中，点P (2，－π6)到直线l ：ρsin(θ－π6)＝1的距离是________．答案 3＋1 解析依题意知，点P (3，－1)，直线l 为x －3y ＋2＝0，则点P 到直线l 的距离为3＋1.10．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．答案 x 2＋y 2－4x －2y ＝0解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ⇒cos θ＝x ρ，sin θ＝y ρ，ρ2＝x 2＋y 2，代入ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ＝2y ρ＋4x ρ⇒ρ2＝2y ＋4x ⇒x 2＋y 2－4x －2y ＝0.11．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．答案 4 3解析直线ρsin(θ＋π4)＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式，得 2r 2－d 2＝242－(222)2＝4 3. 12．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________．答案 (1,0) (2，π4)解析 ρ＝2cos θ表示以点(1,0)为圆心，1为半径的圆，故圆心的极坐标为(1,0)．当θ＝π4时，ρ＝2，故交点的极坐标为(2，π4)．13．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．答案 (2，3π4)解析 ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1.联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，即两曲线的交点为(－1,1)．又0≤θ<2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为(2，3π4)．14．在极坐标系中，直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0被曲线C ：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4 解析直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0化为直角坐标方程为x －y ＋2＝0，曲线C ：ρ＝2化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.如图，直线被圆截得弦AB ，AB 中点为M ，则|OA |＝2，|OB |＝2，从而|OM |＝2，∠MOx ＝3π4. ∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4. 15．已知点M 的极坐标为(6，11π6)，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为________．答案 (－33，－3)解析 ∵点M 的极坐标为(6，11π6)，∴x ＝6cos 11π6＝6cos π6＝6×32＝33，y ＝6sin 11π6＝6sin(－π6)＝－6×12＝－3.∴点M 的直角坐标为(33，－3)．∴点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为(－33，－3)． 16．在极坐标系中，点P (2，3π2)到直线l ：3ρcos θ－4ρsin θ＝3的距离为________．答案 1解析在相应直角坐标系中，P (0，－2)，直线l 方程为3x －4y －3＝0，所以P 到l 的距离d ＝|3×0－4×(－2)－3|32＋42＝1. 17．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值．答案 (1)ρ＝3cos θ (2)1解析 (1)设动点P 的坐标为(ρ，θ)，M 的坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程．(2)由(1)知P 的轨迹是以(32，0)为圆心，半径为32的圆，易得|RP |的最小值为1.18．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．答案 (1)x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0 (2)(1，π2)解析 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0.直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1. 故直线l 与圆O 公共点的极坐标为(1，π2)．。

2023年内蒙古赤峰实验中学、桥北四中高考数学模拟试卷(理科)+答案解析(附后)

2023年内蒙古赤峰实验中学、桥北四中高考数学模拟试卷（理科）1. 设全集，已知集合，，则( )A.B. C. D.2. 已知纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数m 的值为( )A. 1B. 3C. 1或3D. 03.已知平面向量，满足，，的夹角为，若，则( )A. B. C. D.4. 一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下.佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，层为八角鼓腹锥顶状，层呈葫芦状，层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为( )A. 第5行，呈葫芦状B. 第6行，呈葫芦状C. 第7行，呈宝瓶状D. 第8行，呈宝瓶状5. 已知抛物线C ：的焦点F 到准线的距离为4，点，在抛物线C 上，若，则( )A. 4B. 2C.D.6. 定义：两个正整数a ，b ，若它们除以正整数m 所得的余数相等，则称a ，b 对于模m同余，记作，比如：已知，满足，则p 可以是( )A. 23B. 31C. 32D. 197. 如图，在直三棱柱中，，，设D ，E分别是棱上的两个动点，且满足，则下列结论错误的是( )A. 平面平面B.平面C.平面ADED. 三棱锥体积为定值8. 若等比数列满足，，则( )A.B. C. D.9. 已知四面体ABCD 的所有顶点在球O 的表面上，平面BCD ，，，，则球O 的体积为( )A. B. C. D.10. 某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是( )A.B.C. D.11. 如图所示，，是双曲线C ：的左、右焦点，C 的右支上存在一点B 满足，与C 的左支的交点A 满足，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B.C.D.12. 已知函数的定义域为R ，为偶函数，为奇函数，且当时，若，则( )A. B. 0 C. D.13. 在一组样本数据中，1，3，5，7出现的频率分别为，，，，且，若这组数据的中位数为2，则______.14. 已知圆C的圆心在直线上，且过点，，则圆C的标准方程为__________.15. 在函数图象与x轴的所有交点中，点离原点最近，则可以等于______写出一个值即可16. 已知函数在区间上有两个极值，则实数a的取值范围是______ .17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知求角A；若角A的平分线与BC交于点M，，，求线段AM的长.18. 如图所示，在三棱锥中，平面平面BCD，A是线段SD上的点，为等边三角形，，若，求证：；若直线BA与平面SCD所成角的正弦值为，求AD的长．19. 近年来，美国方面泛化国家安全概念，滥用国家力量，不择手段打压中国高科技企业.随着贸易战的不断升级，我国内越来越多的科技巨头加大了科技研发投入的力量.为了不受制于人，我国某新能源产业公司拟对智能制造行业的“工业机器人”进行科技改造和升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入亿元与科技升级直接受益亿元的数据统计如表：序号123456789101112x2346810132122232425y13223142505658686666当时，建立了y与x的两个回归模型；模型①：；模型②：当时，确定y与x满足的线性回归方程为根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“工业机器人”科技升级的投入为17亿元时的直接受益.回归模型模型①模型②回归方程附：刻画回归效果的相关指数，为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，根据我国的智能制造专项政策，国家科技、工信等部门给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小.20. 如图所示，A，B为椭圆的左、右顶点，焦距长为，点P在椭圆E上，直线PA，PB的斜率之积为求椭圆E的方程；已知O为坐标原点，点，直线PC交椭圆E于点不重合，直线BM，OC交于点求证：直线AP，AG的斜率之积为定值，并求出该定值.21. 已知函数，若，为的导函数，求函数在区间上的最大值；若函数有两个极值点，，求证：²22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程：为参数以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程：，P点极坐标为且在l上．求C的普通方程和l的直角坐标方程；若l与C交于A，B两点，求23. 不等式选讲已知函数求不等式的解集；若，且正数a，b满足，证明：答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题可得，，故选：先化简集合A，B，再求可得正确选项．本题考查集合基本运算，属基础题．2.【答案】B【解析】解：纯虚数，则，解得故选：根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为，，的夹角为，所以，又，则，所以故选：根据向量的数量积运算即可．本题考查平面向量的数量积及其运用，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：，编号为26的佛塔在第7行，呈室瓶状．故选：由，进而得到答案．本题考查了归纳推理问题，关键是找到规律，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：抛物线C：的焦点F到准线的距离为4，则，C：，依题意，，而，，故，即，则，故故选：由焦准距求出p，结合抛物线第一定义得，整理得，由代换，即可求解．本题主要考查抛物线的性质，考查转化能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：，，除以7的余数为除以7的余数2，又23除以7的余数也为2，满足题意，其它选项都不满足题意．故选：根据二项式定理求得n除以7的余数，再结合选项即可求得结果．本题考查满足条件的余数的求法，考查二项式定理、同余的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：A选项，过A作，垂足为F，根据直三棱柱的性质可知平面ABC，由于平面ABC，所以，由于，BC，平面，所以平面，即平面，由于平面ABC，所以平面平面，A选项正确．B选项，根据三棱柱的性质可知，即，由于平面，平面，所以平面，B选项正确．C 选项，若平面ADE，即平面，由于平面，所以，这与已知，不垂直矛盾，C选项错误．D选项，，由于三角形ADE的面积为定值、到平面的距离为定值，所以为定值，所以D选项正确．故选：根据面面垂直、线面平行、线面垂直、锥体体积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式，属于基础题．由已知结合等比数列的性质可求q，然后结合等比数列的通项公式可求．【解答】解：设等比数列的公比为q，则，所以，，所以，故选：9.【答案】D【解析】解：如图，设底面的外接圆的圆心为，外接圆的半径为r，由正弦定理得，，过作底面BCD的垂线，与过AC的中点E作侧面ABC的垂线交于O，则O就是外接球的球心，并且，外接球的半径，球O的体积为；故选：作图，先找到外接球的球心，算出底面三角形BCD外接圆的半径，再构造三角形运用勾股定理求出外接球的半径．本题考查四面体的外接球问题，正弦定理的应用，属中档题．10.【答案】B【解析】解：某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是，故选：由题意利用相互独立事件的概率乘法公式，分类讨论，求出该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率．本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：在，由正弦定理得：①，在中，由正弦定理得：②，又，则，得：，又，则，即，设，由双曲线的定义得：，，，由，得，，解得，，，在中，由勾股定理得：，，整理得，双曲线C的离心率故选：在和中，由正弦定理结合条，则，设，由双曲线的定义和勾股定理得到，结合即可求解．本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的离心率的求法，属中档题．12.【答案】C【解析】解：因为为偶函数，所以，用代替x得：，因为为奇函数，所以，故①，用代替x得：②，由①②得：，所以函数的周期，所以，即，因为，令得：，故，，解得：，所以时，，因为，令，得，其中，所以，因为，令得：，即，因为，所以，因为，令得：，故，故选：由为偶函数，为奇函数得到，故函数的周期，结合得到，由得，从而求出，采用赋值法求出，，再使用求出的的周期，赋值法得到本题主要考查了抽象函数的对称性和周期性，考查了一定的逻辑推理的能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由题意可知，样本数据中只有1，3，5，7，没有2，则样本数据一共有偶数个数，且从小到大排序后中间两个数为1，3，故样本数据中有一半为1，所以故答案为：根据已知条件，结合中位数的定义，即可求解．本题主要考查中位数的定义，属于基础题．14.【答案】【解析】【分析】本题考查圆的标准方程，关键是求出圆心的坐标，属于基础题．根据题意，设圆心C的坐标为，由圆经过点A、B列出等式，解得t的值，即可得圆心C的坐标，又由，即可得圆的半径，由圆的标准方程的形式分析可得答案．【解答】解：根据题意，圆C的圆心在直线上，设圆心的坐标为，圆C经过点，，则有，解可得，则，即圆心C的坐标为，圆的半径为r，则，故圆C的标准方程为；故答案为：15.【答案】【解析】解：由于函数图象与x轴的所有交点中，点离原点最近，可以令，满足即可，将，则，，整理得，，当时，距离原点最近，符合点离原点最近．故答案为：直接利用正弦型函数的性质的应用求出的值．本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：，，令，由题意得在上至少有两个实数根，又，当时，，单调递增，此时不可能有两个实数根；当时，可得在上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得极大值，又时，，时，，由题意，故，实数a的范围是故答案为：先对求导，由题意至少有两个正根，再由导数求极值，即可得到关于a的不等式，求解得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性及极值，考查由函数零点个数求解参数范围，体现了化归与转化思想，属于中档题．17.【答案】解：由余弦定理可得，即，整理可得，所以，因为，所以；如图所示：由题意可得AM是角A的平分线，，，在中，由正弦定理可得，即，解得，在中，由正弦定理可得，即，解得，所以，由正弦定理边角互化得，在中由余弦定理，解得，，所以，在由余弦定理得，解得【解析】利用余弦定理角化边即可求解；在和中用两次正弦定理可得，然后在中利用余弦定理可得b，c 的长度，进而可得的大小，再在中利用余弦定理即可求解．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．18.【答案】解：，为等边三角形，，取BD中点O，连结SO，CO，平面平面BCD，A是线段SD上的点，为等边三角形，，底面BCD，，解得，，，，，平面SBD，平面SBD，，，BC，平面ABC，平面ABC，平面ABC，解：，，设点B到平面SCD的距离为h，由，得，解得，直线BA与平面SCD所成角的正弦值为，，解得，，，解得或【解析】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值、线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．推导出，取BD中点O，连结SO，CO，推导出，从而平面SBD，进而，由此能证明平面ABC，从而求出，，设点B到平面SCD的距离为h，由，求出，由直线BA与平面SCD所成角的正弦值为，，求出，由余弦定理能求出19.【答案】解：由表格中的数据，，所以，故，可见模型①的相关指数小于模型②的相关指数，所以回归模型②的拟合效果更好，所以当亿元时，科技升级直接收益的预测值为：亿元；当时，由已知可得，，，所以，所以当时，y与x的线性回归方程为，当时，科技升级直接收益的预测值为亿元，当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元，所以技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大．【解析】利用表格中的数据，判断模型①的相关指数与模型②的相关指数的大小关系，即可确定回归模型，然后将代入回归模型计算即可；先求出样本中心，利用公式求出，进而得到时的线性回归方程，将代入求解，然后进行比较即可．本题考查了线性回归方程的求解和应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．20.【答案】解：由题意可知，，，设，则，所以，即，可得，又，所以，解得，所以椭圆E的方程为；证明：由题意知，直线MP的斜率存在，设直线MP：，且，设，，联立方程，消去y得：，由，得，所以，设，由G，M，B三点共线可得，则，所以直线AP，AG的斜率之积为定值【解析】根据焦距、直线PA，PB的斜率之积求得a，b，从而求得椭圆E的方程；设出直线MP的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，通过计算直线AP，AG的斜率之积来证得结论成立，并求得定值．本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21.【答案】解：函数的定义域为R，，，①当时，显然在上恒成立，所以在上单调递增，所以在区间上的最大值为；②当时，令，解得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在区间上的最大值为；③当时，显然在上恒成立，所以在上单调递减，所以在区间上的最大值为综上所述，当时，最大值为；当时，最大值为；当时，最大值为证明：，有题意可知至少有两个零点，所以由，，可得，所以，不妨设，令，则，下面证明令，则，所以在单调递增，，即于是，，即【解析】先求出，再分，，三种情况分别求函数单调性，进而求出函数在区间上的最大值；由题意得，，令，则，再构造函数证明即可．本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和最值，利用导数证明不等式，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于难题．22.【答案】解：曲线C的参数方程：为参数，转换为普通方程为；直线l的极坐标方程：，根据，转换为直角坐标方程为；点P极坐标为转换为直角坐标为，故直线l的参数方程为为参数，代入，得到；所以【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】解：时，，不成立；时，，解得，故的解集为；时，，恒成立，综上所述，等式的解集为；证明：由可知该函数图象为：由图象可知，，正数a，b，，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立．【解析】根据去绝对值，对x进行分类讨论，求出解集；根据绝对值不等式求出最大值，再利用均值不等式进行求解．本题考查解绝对值不等式，求绝对值不等式的最值以及合理构造利用均值不等式进行求解，属于中档题．。