2013年考研数学一试题及答案解析

2
当 a = 0 时，
λ E − A = λ ( λ − 2 )( λ − b ) ，
A 的特征值分别为 2, b, 0 所以 b 为任意常数即可. 故选 B.
(7) 设 X 1 , X 2 , X 3 是随机变量，且 X 1 ~ N (0,1) , X 2 ~ N (0, 2 ) , X 3 ~ N (5,3 ) ，
又因为 A ≠ O ，所以至少有一个 aij ≠ 0 ，所以
A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ai 3 Ai 3 = − ( ai21 + ai22 + ai23 ) < 0
从而 A = −1. (14) 设随机变量 Y 服从参数为1的指数分布， a 为常数且大于零，则
【答案】A 【解析】曲面在点 (0,1,-1) 处的法向量为
→
n =(Fx′,Fy′,Fz′)
(0,1,-1)
=(2x-y sin (xy )+1,-x sin (xy )+z ,y )
(0,1,-1)
=(1,-1,1)
故曲面在点 (0,1,-1) 处的切面方程为 即
1 ⋅ (x-0)-(y -1)+(z +1)=0,
−1
1 a 1 2 0 0 (6) 矩阵 a b a 与 0 b 0 相似的充要条件为 1 a 1 0 0 0
(A) a = 0, b = 2 (C) a = 2, b = 0 【答案】B (B) a = 0, b 为任意常数 (D) a = 2, b 为任意常数
2 2
pi = P {−2 ≤ X i ≤ 2} (i = 1, 2,3) ,则
(A) p1 > p2 > p3 (B) p2 > p1 > p3 (C) p3 > p1 > p2 (D) p1 > p3 > p2
（
）
【答案】A 【解析】
p1 = P{−2 ≤ X 1 ≤ 2} = Φ (2) − Φ (−2) = 2Φ (2) − 1, −2 − 0 X 2 − 0 2 − 0 p2 = P{−2 ≤ X 2 ≤ 2} = P ≤ ≤ = Φ(1) − Φ(−1) = 2Φ(1) − 1, 2 2 2 −2 − 5 X 3 − 5 2 − 5 7 7 p3 = P{−2 ≤ X 3 ≤ 2} = P ≤ ≤ = Φ (−1) − Φ − = Φ − Φ(1), 3 3 3 3 3
所以3 − k = 0, k = 3, c =
1 1 = , 故选D k 3
（ (D) x − y − z = 0 ）
(2) 曲面 x 2 + cos( xy ) + yz + x = 0 在点 ( 0,1, −1) 的切平面方程为 （A) x − y + z = −2 (B) x + y + z = 0 (C) x − 2 y + z = −3
用 D 表示 L 所围区域，则有 I1 = π ,I 2 = π ,I 3 =
i
i
5 8
1 2
3 2 2 , I4 = π ,I 4 > I1 > I 3 > I 2 . 8 2
（ ）
故选 D (5)设 A, B, C 均为 n 阶矩阵， 若 AB = C ,且 B 可逆， 则 (A)矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 (B)矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 (C)矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 (D)矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价 【答案】B 【解析】将 A, C 按列分块， A = (α1 ,..., α n ), C = (γ 1 ,..., γ n ) 由于 AB = C ,故
y3 x3 的 平 面 曲 线 ， 记 I i = ∫ ( y + )dx + (2 x − ) dy (i = 1, 2,3, 4) . 则 max { I1 , I 2 , I 3 , I 4 } = Li 6 3
（ ） （A） I1 【答案】D 【解析】记 P = y + （B） I 2 （C） I 3 (D) I 4
{
}
） (B) 1 − α (C) 2α (D) 1 − 2α
【解析】 X ~ t ( n) ，则 X 2 ~ F (1, n)
P {Y > c 2 } = P { X 2 > c 2 } = P { X > c} + P { X < −c} = 2 P { X > c} = 2α ,选 C.
二、填空题： 填空题：9 14 小题, 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸 请将答案写在答题纸 指定位置上. 指定位置上. ．．．
x − y + z = −2 ，选 A
∞ 1 1 , bn = 2 ∫ f ( x) sin nπ xdx(n = 1, 2,L) . 令 s ( x) = ∑ bn sin nπx , 则 0 2 n =1
(3) 设 f ( x ) = x −
9 s(− ) = 4
（ (A) ）
3 4
(B)
1 4
由下图可知， p1 > p2 > p3 ,选 A. y
y = ϕ ( x)
O 1 2 7/3 x
(8) 设随机变量 X ~ t ( n) ， Y ~ F (1, n) ，给定 α (0 < α < 0.5) ,常数 c 满足 P { X > c} = α ， 则 P Y > c2 = （ (A) α 【答案】C
b11 ... b1n (α1 ,..., α n ) . ... . = (γ 1 ,..., γ n ) b ... b nn n1
即 γ 1 = b11α1 + ... + bn1α n ,..., γ n = b1nα1 + ... + bnnα n 即 C 的列向量组可由 A 的列向量线性表示 由于 B 可逆，故 A = CB ， A 的列向量组可由 C 的列向量组线性表示，选 B
(9) 设函数 y = f ( x) 由方程 y − x = e x (1− y ) 确定，则 lim n f ( ) − 1 = ___________
n →∞

1 n

【答案】1 【解析】 x = 0 时， y = 1 方程两边对 x 求导得 y′ − 1 = e x (1− y ) (1 − y − xy′) 所以 y′(0) = 1
则 F (x ) 在点 x = −
9 处连续，从而 4 9 9 1 1 1 1 S ( − )=F ( − ) = F ( − )= − F ( )= − f( )= − 4 4 4 4 4 4
2 2 2 2 2 2 2 2
故选 C (4) 设 L1 : x + y = 1, L2 : x + y = 2, L3 : x + 2 y = 2, L4 : 2 x + y = 2 为四条逆时针方向
1 f ( ) − f (0) 1 lim n f ( ) − 1 = lim n = f ′(0) = 1 n →∞ 1 n n →∞ n
（10）已知 y1 = e
3x
− xe 2 x , y2 = e x − xe 2 x , y3 = − xe2 x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3
dy d 2 d y dx ⋅ dt = 1 = 1 , d y = dx 2 dt dx dx cos t dx 2 dt
2
t=
π
4
=
1 cos
π
4
= 2
(12)
∫
+∞
1
ln x dx = (1 + x) 2
+∞
.
【答案】 ln 2 【解析】
∫
1
ln x ln x dx = − 2 (1 + x) (1 + x)
3x
− e x ) + c2 e x
− e x ) + c2 e x − xe2 x
2
d y x = sin t (11) 设 （ t 为常数） ，则 2 y = t sin t + cos t dx
【答案】 2 【解析】
{
t=
π
4
=__________来自dy dy 1 sin t + t cos t − sin t = ⋅ = =t ， dx dt dx cos t dt
−a
−1
λ
−a
−1 −a λ −1
a −1 −a
λ −b
−a −1
−a = 0 λ − 1 −λ
λ −b
−a
2 = 0 λ − b −a = λ ( λ − 2 )( λ − b ) − 2a ， 0 −a λ − 1
λ
因为 λ = 2 是 A 的特征值，所以 2 E − A = 0 所以 −2a = 0 ，即 a = 0 .
（
）
1 a 1 2 0 0 【解析】令 A = a b a ， B = 0 b 0 ， 1 a 1 0 0 0
因为 A 为实对称矩阵， B 为对角阵，则 A 与 B 相似的充要条件是 A 的特征值分别为 2, b, 0
λ −1
A 的特征方程 λ E − A =
个解，则该方程的通解 y = __________ 【答案】 y = c1 (e
3x
− e x ) + c2 e x − xe2 x
3x
【解析】 y1 − y2 = e