图论的发展及其在现实生活中的几个应用
图论及其应用
图论及其应用班级：图论1班学院：软件学院学号：2014110993姓名：张娇图论从诞生至今已近300年，但很多问题一直没有很好地解决。
随着计算机科学的发展，图论又重新成为了人们研究讨论的热点，图形是一种描述和解决问题直观有效的手段，这里给出图论在现实生活中的一些应用。
虽然最早的图论问题追溯1736年(哥尼斯堡七桥间题)，而且在19世纪关于图论的许多重要结论已得出。
但是直到20世纪20年代图论才引起广大学者的注意并得以广泛接受和传播。
图论即形象地用一些点以及点与点之间的连线构成的图或网络来表示具体问题。
利用图与网络的特点来解决系统中的问题，比用线性规划等其他模型来求解往往要简单、有效得多。
图论就是研究图和网络模型特点、性质和方法的理论。
图论在许多领域,诸如物理、化学、运筹学、计算机科学、信息论、控制论、网络理论、社会科学以及经济管理等各方面都有广泛的应用,它已经广泛地应用于实际生活、生产和科学研究中。
下面对最大流问题进行探究。
最大流问题主要探究最大流问题的Ford-Fulkerson解法。
可是说这是一种方法，而不是算法，因为它包含具有不同运行时间的几种实现。
该方法依赖于三种重要思想：残留网络，增广路径和割。
在介绍着三种概念之前，我们先简单介绍下Ford-Fulkerson方法的基本思想。
首先需要了解的是Ford-Fulkerson是一种迭代的方法。
开始时，对所有的u,v属于V，f(u,v)=0(这里f(u,v)代表u到v的边当前流量)，即初始状态时流的值为0。
在每次迭代中，可以通过寻找一个“增广路径”来增加流值。
增广路径可以看做是从源点s到汇点t之间的一条路径，沿该路径可以压入更多的流，从而增加流的值。
反复进行这一过程，直到增广路径都被找出为止。
举个例子来说明下，如图所示，每条红线就代表了一条增广路径，当前s到t的流量为3。
当然这并不是该网络的最大流，根据寻找增广路径的算法我们其实还可以继续寻找增广路径，最终的最大流网络如下图所示，最大流为4。
高中数学图论的实际应用与教学探讨
高中数学图论的实际应用与教学探讨在高中数学的广袤领域中，图论宛如一颗璀璨的明珠，虽然它并非高中数学课程的核心部分，但其在实际生活中的应用广泛，且对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
本文将深入探讨高中数学图论的实际应用，并对其教学方法进行分析。
一、图论的基本概念图论是研究图的性质和应用的数学分支。
所谓“图”，并不是我们日常所理解的图像或图画，而是由一些顶点（节点）和连接这些顶点的边所组成的结构。
例如，一个城市的交通网络可以用图来表示，顶点代表城市中的各个地点，边代表道路。
在图论中，有许多重要的概念，如顶点的度（与该顶点相连的边的数量）、路径（从一个顶点到另一个顶点经过的边的序列）、回路（起点和终点相同的路径）、连通图（任意两个顶点之间都存在路径）等。
二、图论在实际生活中的应用1、交通规划城市的交通规划是图论应用的一个重要领域。
通过将城市道路网络抽象为图，可以分析交通流量，确定关键的道路节点和拥堵路段，从而优化交通信号灯设置、规划新的道路建设等，以提高交通效率，减少拥堵。
2、网络通信在计算机网络中，图论用于描述网络拓扑结构。
通过分析网络中的节点和连接关系，可以优化数据传输路径，提高网络的可靠性和性能。
3、物流配送物流企业在规划货物配送路线时，可以利用图论来找到最短路径，降低运输成本，提高配送效率。
例如，快递员在派送多个地点的包裹时，通过图论算法可以找到最优的派送顺序。
4、任务分配在项目管理中，将各项任务视为顶点，任务之间的依赖关系视为边，可以使用图论来合理安排任务的执行顺序，确保项目按时完成。
5、电路设计电子电路的设计中也会用到图论。
电路中的元件可以看作顶点，元件之间的连接看作边，通过分析电路图的拓扑结构，可以优化电路设计，提高电路的性能和可靠性。
三、高中数学图论教学的重要性1、培养逻辑思维能力图论问题的解决需要学生进行逻辑推理和分析，通过构建图、寻找路径、判断连通性等操作，锻炼学生的思维严谨性和逻辑性。
图论思想在生活中的运用
图论思想在生活中的运用
图论思想在生活中的应用很多，例如：
1、交通出行：在城市的出行，经常会用到从一个地点到另一地点的最短路径，而解决此问题最好的方法就是使用图论，用最短路径算法来找到最优路线，比如驾车、打车、乘地铁等都会使用图论来算出最短路径。
2、网络传输：现在的互联网系统都是使用图论的方法来进行网络传输。
当多台计算机连接到网络时，都会形成一个图，通过图论，可以找到最佳的传输路径，以优化路径走向，从而提高网络的传输速度。
3、调度系统：调度系统中的人员调度及运输路线调度，也是依靠图论思想。
人员调度时，可以建立一个移动关系图，找到每一步最短路径，从而得到最佳的调动方案；而运输路线则可通过最短路线算法，计算出从一个点到另一点最短的路径，从而达到节约时间，提高工作效率的效果。
4、信息检索：在海量数据的环境下检索合适的信息，也是利用图论来解决的。
例如搜索引擎，会建立一个链接关系图，根据各页面间的链接关系来确定最优的信息检索结果。
数学中的图论及其应用
数学中的图论及其应用图论是一门数学基础理论，用来描述事物之间的关联。
图论主要研究节点之间的连接关系和路径问题。
它的研究对象是图，图是由节点和边组成的，边表示节点之间的连接关系，节点表示事物。
图论是一种十分实用的数学工具，它是计算机科学、物理学、化学、生物学、管理学等领域的重要工具，也是人工智能和网络科学等领域的基础。
一、图论的基本概念1.1 图图是由节点和边组成的，表示事物之间的关系。
节点是图中的基本元素，用点或圆圈表示；边是连接节点的元素，用线或箭头表示。
1.2 有向图和无向图有向图是指边有方向的图，每一条边用有向箭头表示；无向图是指边没有方向的图，每一条边用线表示。
1.3 节点的度和邻居节点节点的度是指与节点相连的边的数量，具有相同度的节点称为同阶节点；邻居节点是指与节点相连的节点。
1.4 遍历和路径遍历是指从起点出发访问图中所有节点的过程；路径是指跨越边连接的节点序列，路径长是指路径中边的数量。
二、图论的应用2.1 网络科学网络科学是研究节点和边之间的关系，以及节点和边之间的动态演化的学科。
网络科学中的图模型是节点和边的结合体，其应用包括社会网络、生物网络和物理网络等。
社会网络是指人们之间的社交网络，它描述了人与人之间的关系。
社交网络可以用图模型表示，节点表示人，边表示人与人之间的互动关系，例如朋友关系、家庭关系等。
生物网络是指由生物分子构成的网络，例如蛋白质相互作用网络、代谢网络等。
在生物网络中，节点可以表示蛋白质或基因，边可以表示蛋白质或基因之间相互作用的联系，这些联系可以进一步探究生物进化和疾病发生的机理。
物理网络是指由物理粒子构成的网络，例如网络电子、量子态等。
在物理网络中，节点可以表示量子比特或电子，边可以表示色散力或超导电性等物理现象。
2.2 计算机科学图论在计算机科学中的应用非常广泛，例如数据结构、算法设计和网络安全等方面。
图论在计算机科学中的经典应用包括最短路径算法、最小生成树算法等。
图论及其应用1
推 论1.5.3： 设G (V1.V 2,• • •,Vm; E)是m部 图 ，p mk r
(0 r m), 则
q(G)
1 2
(
p2
m
k
2
2kr
r ),
等号
成立当且仅当
k G是 完 全m部 图
.
k1, •••, k1, k, •••k
r
mr
Байду номын сангаас
1.2图的定义
图（V(G)，E(G)，ψG ）中 ①：V(G)称为顶点集,E(G)称为边集 ②：令p(G)=|V(G)|,q(G)=|E(G)|, 分别称为
图的阶和边数。边数。举例说明。 一个图（V(G)，E(G)，ψG ）可以用平面上
的一个图形表示。明显的一个图可以有许多 形状不同的图形表示。
1.2图的定义
1.2图的定义
对于两个同构的图，有相同的结构，差异在 于顶点和名称不同，或形状不同，但我们主 要关注图的结构性质。
Ulam猜想：设G与H是两个阶数相同的图，若 存在这两个图的顶点序列的一个排序V(G)= {v1,v2,··,vp}和V(H)={u1,u2,··,up}, 使G-vi≌H-ui(i=1,2,3,···,p),则G≌H
1.3顶点的度
推论1.3.3：非负整数序列(d1, d2 ,, d p )是某个图的度序列
p
d
是偶数。
i
。
i 1
定
理1.3.4：
非
负
整
数
序
列(d
1
,
d
2
,贩,?d
p)(d
1
d
2
贩?
d
)
p
p
最新图论在实际生活中的应用
柯尼斯堡七桥图 桥转换成图
欧拉证明了这个问题是没有解的，并且推广了这个问题，给出了对于一个给定的图可以某种方式走遍的判定法则。这项工作使得欧拉成为图论〔及拓扑学〕的创始人。
图论其实也是一门应用数学，它的概念和结果来源非常广泛，既有来自生产实践的问题，也有来自理论研究的问题。它具有以下特点：蕴含了丰富的思想、漂亮的图形以及巧妙的证明；涉及的问题很多而且广泛，问题外表简单朴素，本质上却十分复杂深刻；解决问题的方法是千变万化，非常灵活，常常是一种问题就有一种解法。图论研究的内容非常广泛，如图的连通性、遍历性、图的计数、图的着色、图的极值问题、图的可平面性等。历史上参与研究图论问题的人既有许多天才的数学家，也有不少的业余爱好者。
关键字： 最优路径，Floyd算法，寻路
一、图论的基本知识
图论起源于举世闻名的柯尼斯堡七桥问题。在柯尼斯堡的普莱格尔河上面有七座桥将河中的岛及岛与河岸是连接起来的,有一个问题是要从这四块陆地中任何一块开始，通过每一座桥而且正好只能一次，再回到起点。然而许多人经过无数次的尝试都没有成功。在1736年欧拉神奇般的解决了这个问题，他用抽像分析法将这个问题化为第一个图论问题：即用点来代替每一块陆地，将每一座桥用联接相应的两个点的一条线来代替，所以相当于得到一个“图”（如下图）。
图论的基本概念和应用
图论的基本概念和应用图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图论的基本概念包括图的类型、图的表示方法、图的遍历算法等。
图论在计算机科学、网络分析、社交网络等领域有着广泛的应用。
一、图的类型图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图中的边有方向，表示从一个节点到另一个节点的关系；无向图中的边没有方向，表示两个节点之间的关系是相互的。
有向图和无向图都可以有权重，表示边的权值。
二、图的表示方法图可以用邻接矩阵和邻接表两种方式来表示。
邻接矩阵是一个二维数组，数组的行和列分别表示图中的节点，数组中的元素表示节点之间的边；邻接表是一个链表数组，数组的每个元素表示一个节点，链表中的每个节点表示与该节点相连的边。
三、图的遍历算法图的遍历算法包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
深度优先搜索从一个节点开始，沿着一条路径一直遍历到最后一个节点，然后回溯到上一个节点，再继续遍历其他路径；广度优先搜索从一个节点开始，先遍历与该节点相邻的所有节点，然后再遍历与这些节点相邻的节点，依次类推。
四、图论的应用1. 计算机科学：图论在计算机科学中有着广泛的应用。
例如，图可以用来表示计算机网络中的节点和连接关系，通过图的遍历算法可以实现网络路由和路径规划；图可以用来表示程序中的依赖关系，通过图的遍历算法可以实现代码的分析和优化。
2. 网络分析：图论在网络分析中有着重要的应用。
例如，社交网络可以用图来表示，节点表示用户，边表示用户之间的关系，通过图的遍历算法可以实现社交网络的分析和预测；互联网中的网页可以用图来表示，节点表示网页，边表示网页之间的链接关系，通过图的遍历算法可以实现搜索引擎的排名和推荐算法。
3. 运筹学：图论在运筹学中有着重要的应用。
例如，图可以用来表示物流网络中的节点和路径，通过图的遍历算法可以实现最短路径和最小生成树的计算；图可以用来表示任务调度中的依赖关系，通过图的遍历算法可以实现任务的优化和调度。
图论在数据挖掘与知识发现中应用
图论在数据挖掘与知识发现中应用图论是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
在数据挖掘与知识发现方面，图论的应用也日益增多。
本文将探讨图论在数据挖掘与知识发现中的应用，并分析其优势和挑战。
一、图论简介图论是研究图的数学分支，图是由节点和边组成的数据结构。
节点代表实体，边代表实体之间的关系。
图论提供了一种直观、简洁的方式来描述实体之间的关联关系，并通过图算法进行相应的分析与处理。
二、图论在数据挖掘中的应用1. 社交网络分析社交网络是图论的典型应用场景之一。
通过构建社交网络图，可以分析用户之间的社交关系、网络拓扑结构等，从而实现群体行为预测、社交推荐等功能。
例如，通过图算法分析用户在社交网络中的连通性，可以发现潜在的社区结构，挖掘用户的兴趣爱好等。
2. 异常检测图论在异常检测中也有广泛应用。
通过构建普通业务图或者物理设备图，可以识别出与正常情况不符的节点、边等异常数据，从而发现潜在的安全风险或者设备故障。
例如，在电信领域，通过分析用户通信行为的图模式，可以识别出异常的通话模式，帮助提前发现诈骗和网络攻击等问题。
3. 数据聚类图论可用于数据聚类分析，通过构建相似性图，将相似的数据点连接起来。
通过图算法，可以实现对大规模数据的聚类和分类。
例如，在文本挖掘中，可以通过构建文档间的共现关系图，将相似的文档聚类在一起，从而实现文本分类和主题提取。
三、图论在知识发现中的应用1. 信息抽取信息抽取是指从大规模的非结构化数据中提取结构化的知识和信息。
图论可以帮助构建实体间的关联关系，并通过图算法进行实体关系的发现。
例如，在文本信息抽取中，可以通过构建实体之间的共现图，实现实体识别、关系提取等任务。
2. 关联规则挖掘关联规则挖掘是一种挖掘数据中项集之间频繁关联关系的方法。
图论可以用于构建事务间的关联图，帮助发现频繁项集和关联规则。
例如，在购物篮分析中，可以通过构建商品之间的关联图，发现顾客购买行为中的潜在关联关系，从而实现个性化推荐等功能。
图论的应用
图论的应用摘 要图论从诞生至今已近300年，但很多问题一直没有很好地解决。
随着计算机科学的发展，图论又重新成为了人们研究讨论的热点，图形是一种描述和解决问题直观有效的手段，这里给出图论在现实生活中的一些应用。
关键词：图论；应用；最小生成树；最短行程1 引言图论起源于18世纪。
第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。
1847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。
1857年，凯莱在计数烷22n n C H 的同分异构物时，也发现了“树”。
哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。
图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。
如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。
图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。
哥尼斯堡七桥问题（如图1）就是一个典型的例子。
在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。
当然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。
欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。
他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。
问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。
欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
离散数学中的图论应用
离散数学中的图论应用离散数学是数学中的一个分支，主要研究离散对象和离散结构。
而图论作为离散数学中的一个重要分支，研究的是图这种离散结构的性质和应用。
图论在计算机科学、通信网络、社交网络等领域有着广泛的应用。
本文将从不同的角度介绍离散数学中图论的应用。
一、计算机网络中的图论应用计算机网络是现代信息社会的重要基础设施，而图论在计算机网络中有着广泛的应用。
首先，图论可以用来描述和分析计算机网络的拓扑结构。
计算机网络中的节点和连接可以用图的顶点和边来表示，通过图论的方法可以分析网络的稳定性、可靠性和性能等指标。
其次，图论可以用来解决网络中的路径选择问题。
通过图的最短路径算法，可以找到两个节点之间的最短路径，从而实现数据的快速传输。
另外，图论还可以用来解决网络中的流量控制和路由问题，通过最大流最小割算法可以实现网络资源的合理分配和优化。
二、社交网络中的图论应用随着社交媒体和社交平台的兴起，社交网络成为人们日常生活中重要的一部分。
而图论在社交网络中也有着广泛的应用。
首先，图论可以用来描述和分析社交网络的关系。
社交网络中的用户可以用图的顶点来表示，而用户之间的关系可以用图的边来表示。
通过图的连通性和聚类系数等指标，可以分析社交网络中的社群结构和信息传播等现象。
其次，图论可以用来解决社交网络中的推荐问题。
通过图的相似度算法，可以实现用户之间的兴趣相似度计算和推荐系统的构建。
另外，图论还可以用来解决社交网络中的影响力传播问题，通过图的传播模型可以模拟和预测信息在社交网络中的传播路径和影响力。
三、电路设计中的图论应用电路设计是电子工程中的一个重要领域，而图论在电路设计中有着广泛的应用。
首先，图论可以用来描述和分析电路的拓扑结构。
电路中的器件和连接可以用图的顶点和边来表示，通过图论的方法可以分析电路的稳定性、功耗和延迟等指标。
其次，图论可以用来解决电路中的布线问题。
通过图的最小生成树算法和最短路径算法，可以实现电路的布线优化和信号传输的最优化。
图论在生活中的几个应用
图论在生活中的几个应用
图论是一种研究计算机算法和程序部署的数学方法。
近年来，随着计算机科学技术的发展，图论在生活中也越来越多地发挥着重要的作用。
下面就来看看图论在生活中的几个应用。
首先，计算机网络的管理是由图论来解决的。
我们经常会遇到这样的问题：如何在复杂的计算机网络中规划路由？答案正是图论解决方案的存在，当我们把计算机网络的每个节点画成一幅图形时，这些图形就可以表示一个完整的系统，并且可以确定路由的最优解决方案。
其次，搜索引擎中也使用了图论。
在搜索引擎内部，索引系统负责索引网络中的所有网页，并且必须保证搜索结果的准确性和可用性。
在处理这种巨大的网络索引系统时，图论可以帮助我们更高效地处理大量网页，从而精确地搜索按关键字查找所需的信息。
此外，图论也可用于最优化汽车的路径规划。
目前，许多智能小车都采用智能图论方法，通过分析图形关系及现有环境条件来建立最优路径，帮助汽车灵活避开拥堵路段，尽快到达目的地，同时也能帮助汽车有效防止盗窃。
最后，在社交网络中，图论也深受用户的喜爱。
图论技术可以帮助分析社交网络中的每条关系，找出影响用户行为的因素，从而得出最佳的社交推广结果，利用图论的算法让我们可以更准确地聚焦受众群体，提高推广和宣传的效果。
总之，如今我们日常生活中已经充分发挥着图论技术的优势，如计算机网络管理、搜索引擎技术、智能出行路径规划以及社交网络等，图论无疑成为当今社会技术化发展的重要一环。
它促进了数字通信的发展，对科技的发展发挥了巨大的作用。
图论在计算机中的应用实例与前沿发展
图论在计算机中的应用实例与前沿发展1. 引言图论是一种研究图与出边关系的数学分支，它的理论和算法在计算机科学中有着广泛的应用。
本文将介绍图论在计算机中的一些经典应用实例，并探讨图论在计算机科学领域的前沿发展。
2. 图论在网络应用中的应用网络应用是图论在计算机中的一个重要领域。
图论可以用来建模和分析网络结构，帮助解决一系列与网络相关的问题。
下面将介绍图论在网络应用中的两个经典实例。
2.1 社交网络分析社交网络分析是研究社交关系网络的结构和特性的一种方法。
在社交网络中，人与人之间的关系可以用节点（node）和边（edge）表示，而图论提供了一种有效的方法来分析网络中的节点和边之间的关系。
社交网络分析可以帮助我们找出网络中最有影响力的节点，识别社群结构，预测社交关系等。
例如，在推荐系统中，社交网络分析可以帮助我们找出用户之间的关系，从而提供更准确的推荐结果。
另外，社交网络分析还可以应用于研究社会网络中的信息传播和影响力传播等领域。
2.2 路径规划路径规划是一个经典的图论问题，它的目标是找出从一个起点到一个终点的最短路径。
在计算机中，路径规划有着广泛的应用，例如导航系统、物流系统等。
图论提供了一种有效的方法来解决路径规划问题。
通过将地图抽象为一个图，节点表示城市或地点，边表示道路或路径，可以利用图论算法，如Dijkstra算法或A*算法，来找出最短路径。
3. 图论在计算机视觉中的应用计算机视觉是研究如何使计算机“看到”和理解图像和视频的一门学科。
图论在计算机视觉中也有着重要的应用，下面将介绍图论在计算机视觉中的两个应用实例。
3.1 图像分割图像分割是将图像划分成多个区域的过程，在计算机视觉中有着广泛的应用。
图像分割可以用于物体识别、图像编辑、图像压缩等领域。
图论提供了一种有效的方法来实现图像分割。
通过将图像抽象为一个图，像素表示节点，像素之间的关系表示边，可以利用图论算法，如最小割算法或者标准切割算法，来实现图像分割。
数学中的图论与应用
数学中的图论与应用数学中的图论是近年来受到广泛关注的研究领域。
在现代社会中，图论已经成为解决各种实际问题的有力工具，尤其在网络、通讯、计算机科学、运筹学等领域得到了广泛应用。
本文将介绍图论的基本概念和算法，并讨论其在实际中的应用。
一、图论的基本概念图论是一种研究边和点之间关系的数学工具。
图由顶点集和边集两个基本组成部分构成。
顶点是图中的基本元素，边连接两个顶点，表示它们之间的关系。
如果两个顶点之间有边相连，那么它们就是相邻的。
在图论中，有两种基本的图：有向图和无向图。
有向图中的边有方向，表示从一个顶点到另一个顶点的方向，而无向图中的边没有方向，表示两个顶点之间的关系是双向的。
图的表示方式有两种：邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵是一个二维矩阵，其中每一行和每一列表示一个顶点，矩阵中的元素表示相应的两个顶点之间是否有边相连。
邻接表是一种链表结构，每个顶点对应一个链表，在链表中存储该点的所有邻接点。
邻接表适用于表示稀疏图，而邻接矩阵适用于表示稠密图。
二、图的遍历算法在图中，从一个顶点出发，访问到这个图中所有的顶点，就称为图的遍历，其中包括深度优先遍历和广度优先遍历。
深度优先遍历的实现方案为：从图中的一个顶点开始，将其标记为已访问，然后访问其邻接点，对每个未访问的邻接点进行递归遍历。
直到所有与该顶点相邻的顶点都被访问完毕，才回溯到上一个未被访问的节点。
广度优先遍历的实现方案为：从图中的一个顶点开始，做宽度优先遍历，即先将该顶点所有的未被访问的邻接点全部入队，然后从队列中取出一个元素，标记为已经访问，访问其所有未被访问的邻接点，并将这些邻接点入队。
重复这个过程，直到队列为空。
三、最短路径算法在图论中，最短路径算法可以用来解决许多实际问题。
其中，最为经典的算法是 Dijkstra 算法和 Floyd-Warshall 算法。
Dijkstra算法是一种单源最短路径算法，用于计算有向图或者无向图的最短路径。
算法的基本思想是，通过每一次“松弛”操作，在已访问的顶点集和未访问的顶点集之间，尽可能地减小各个顶点到起点之间的距离。
图论的发展及其在现实生活中的几个应用论文
图论的发展及其在生活中的应用摘要主要介绍了图论的起源与发展及其生活中的若干应用，如：渡河问题、旅游推销员问题、最小生成树问题、四色问题、安排问题、中国邮递员问题。
同时也涉及到了几种在图论中应用比较广泛的方法，如：最邻近法、求最小生成树的方法、求最优路线的方法等。
关键词图论生活问题应用Graph Theory Development and the Application in Life Mathematics and applied mathematics Zhang JialiTutor Liu XiuliAbstract This paper mainly introduces the origin and development of graph theory and its several applications in our life, such as: crossing river problem, traveling salesman problem, minimum spanning tree problem, four color problem，arrangement problem，Chinese postman problem．It also researches several methods that are more widely applied in graph theory, for example: the method of most neighboring,the method of solving the minimum spanning tree，the method of the best route，and so on．Key words graph theory life problem application引言图论是一门古老的学科，是数学中有广泛应用的一个分支，与其他的数学分支，如群论、矩阵论、概率论、拓扑学、数分析等有着密切的联系．图论中以图为研究对象，图形中我们用点表示对象，两点之间的连线表示对象之间的某种特定的关系．事实上，任何一个包含了二元关系的系统都可以用图论来模拟．而且,图论能把纷杂的信息变的有序、直观、清晰．由于我们感兴趣的是两对象之间是否有某种特定关系，所以图形中两点间连接与否尤为重要，而图形的位置、大小、形状及连接线的曲直长短则无关紧要．图论在自然科学、社会科学等各个领域都有广泛的应用．随着科学的发展，以及生产管理、军事、交通运输等方面提出了大量实际的需要，图论的理论及其应用研究得到飞速发展。
数学中的图论理论及其应用
数学中的图论理论及其应用图论是一门研究图形和网络的数学理论，它是数学中的一个分支，也是计算机科学中的一个重要领域。
图论的不断发展使其应用越来越广泛，尤其在计算机网络、社交网络、交通路线等方面有着广泛的应用。
一、图论的定义与性质图论中的“图”指的是一个有限的节点集合和与这些节点相关的边集合。
在图中，节点被称为顶点，边被称为边缘。
在一个无向图中，每条边连接两个节点，没有方向性；在有向图中，每条边都有一个方向，从一个节点指向另一个节点。
图所具有的一些性质，如连通性、路径、环等，可以用来研究现实世界中的许多问题。
例如，人际关系可以用图来表示，而在图中找到最短路径可以用来表示最小成本行程的问题。
二、图的表示方法图可以通过矩阵和链表两种方式进行表示。
矩阵表示法是将图中的节点和边分别用矩阵的元素表示，由于矩阵的性质，这种方法适用于表示边的权重，但对于节点的增加和删除比较麻烦。
链表表示法是将图中的节点和边分别用链表的形式表示，这种方法适用于动态改变图的结构。
三、最短路径算法最短路径算法是图论中的一个重要问题，它是计算图中两个节点之间最短路径的算法。
最短路径算法可以采用Dijkstra算法或Floyd算法进行计算。
Dijkstra算法是一种贪心算法，通过构建带权重的图来计算两个节点之间最短距离。
该算法的基本思想是从起点出发，按照距离最近的顺序找到与该节点相邻的节点，然后根据这些节点的权重更新起点到别的节点的距离，直至找到终点。
由于该算法使用优先队列来存储节点，因此对于大规模的节点数或边数较多的图，具有较好的计算效率。
Floyd算法是一种动态规划算法，通过构建带权重的图来计算两个节点之间最短距离。
该算法的基本思想是先计算任意两个节点之间的距离，然后再使用动态规划的思想，从中间节点出发更新两个节点之间的距离，直至找到终点。
由于该算法需要计算所有的两点之间的距离，因此对于较小规模的图具有优势。
四、最小生成树算法最小生成树算法是图论中另一个重要的问题，它是用来找到给定的无向联通图的一棵生成树，使得生成树中的边权和最小。
图论在实际生活中的应用
一、图论的基本知识
图论起源于举世闻名的柯尼斯堡七桥问题。在柯尼斯堡的普莱格尔河上面有七座桥将河中的岛及岛与河岸是连接起来的,有一个问题是要从这四块陆地中任何一块开始，通过每一座桥而且正好只能一次，再回到起点。然而许多人经过无数次的尝试都没有成功。在1736年欧拉神奇般的解决了这个问题，他用抽像分析法将这个问题化为第一个图论问题：即用点来代替每一块陆地，将每一座桥用联接相应的两个点的一条线来代替，所以相当于得到一个“图”（如下图）。
{
int i=0;
while(i<G.vexnum && v!=G.vexs[i])
i++;
if(i<G.vexnum)
return i;
else
return -1;
}
int CreateUDG(MGraph &G) //数组邻接矩阵表示法构造无向图
{
char v1,v2;
int weight;
cout<<"请输入图的顶点数和边的条数"<<endl;
cin>>G.vexnum>>G.arcnum;
cout<<"请输入顶点的名称(0--9)"<<endl;
for(int i=0;i<G.vexnum;i++)
cin>>G.vexs[i];
for(int q=0;q<G.vexnum;q++)
for(int p=0;p<G.vexnum;p++)
G.arcs[q][p]=0;
图论及其应用
图论及其应用周昭焕信计072 07013819摘要: 图论从诞生至今已近300 年, 但很多问题一直没有很好地解决。
随着计算机科学的发展, 图论又重新成为了人们研究讨论的热点, 这里给出图论在现实生活中的一些应用。
关键词: 欧拉; 图论; 二分图; 哈密顿回路; 着色在18 世纪30 年代, 一个非常有趣的问题引起了欧洲数学家的浓厚兴趣, 这个问题要求遍历普鲁士的哥尼斯堡七桥中的每一座桥恰好一次后回到出发点。
欧拉证明了这是不可能完成的, 此后, 欧拉发表了著名的论文《依据几何位置的解题方法》, 这是图论领域的第一篇论文, 标志着图论的诞生。
图论的真正发展始于20 世纪五六十年代之间, 是一门既古老又年轻的学科。
图论极有趣味性, 严格来讲它是组合数学的一个重要分支。
虽然图论只是研究点和线的学问, 但其应用领域十分广阔, 不仅局限于数学和计算机学科, 还涵盖了社会学、交通管理、电信领域等等。
总的来说, 图论这门学科具有以下特点:①图论蕴含了丰富的思想、漂亮的图形和巧妙的证明;②涉及的问题多且广泛, 问题外表简单朴素,本质上却十分复杂深刻;③解决问题的方法千变万化, 非常灵活, 常常是一种问题一种解法。
由以上三个特点可以看出, 图论与其它的数学分支不同, 它不像群论、拓扑等学科那样有一套完整的理论体系和解决问题的系统方法。
而且图论所研究的内容非常广泛, 例如图的连通性、遍历性、图的计数、图的着色、图的极值问题、图的可平面性等等。
1 二分图有一类非常重要的图, 如树, 它是图的特例, 这类图被称作二分图, 经常应用在涉及匹配的问题中。
例如, 某公司现在正经历一次罢工, 为了使公司在罢工中照常运作, 人事部确定了4 项关键工作: 销售、维修、安全控制和会计, 其中销售需要2 人。
表1 给出了每个人和他们能胜任的工作, 判断是否所有工作都能有人来负责, 设每人只能负责一项工作。
这看起来是社会学领域的问题, 我们可以尝试多种方法, 而其中的一种方法就是将其化为图, 建立一个图的模型。
图论的基本概念及其应用
图论的基本概念及其应用图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图由节点和连接节点的边组成，以解决现实生活中的许多问题。
本文将介绍图论的基本概念，并探讨它在不同领域中的应用。
一、图的基本概念1. 节点和边图由节点（顶点）和边组成，节点代表某个实体或概念，边表示节点之间的关系。
节点和边可以有不同的属性，如权重、方向等。
2. 有向图和无向图有向图中，边有固定的方向，表示节点之间的单向关系；无向图中，边没有方向，节点之间的关系是相互的。
3. 连通图和非连通图连通图是指图中任意两个节点之间都存在路径；非连通图则存在至少一个节点无法到达其它节点。
4. 网络流每条边上有一个容量限制，网络流通过边传输，满足容量限制的条件下尽可能多地进行。
二、图论在计算机科学中的应用1. 最短路径通过图论中的最短路径算法，可以计算出两个节点之间的最短路径。
最短路径在无人驾驶、物流配送等领域中具有重要的应用价值。
2. 最小生成树最小生成树算法用于寻找连接图中所有节点的最小总权重的树形结构。
在通信网络、电力输送等领域中，最小生成树被广泛应用。
3. 网络流问题图论中的网络流算法可以用于解决诸如分配问题、路径规划等优化问题。
例如，在医疗资源调度中，网络流算法可以帮助医院优化资源分配。
三、图论在社交网络分析中的应用1. 社交网络社交网络可以用图模型来表示，节点代表个体，边表示个体之间的联系。
利用图论分析社交网络，可以发现用户群体、影响力传播等信息。
2. 中心性分析中心性分析用于评估节点在网络中的重要性，衡量指标包括度中心性、接近中心性等。
中心节点的识别对于广告投放、信息传播等决策具有指导意义。
3. 社团检测社团检测可以发现社交网络中具有紧密联系的节点群体，进一步分析社交群体的行为模式、用户偏好等。
四、图论在物流优化中的应用1. 供应链管理供应链中的各个环节可以用图模型表示，通过图论算法优化物流路径，提高物流效率。
2. 仓库位置问题通过图论中的最短路径算法和最小生成树算法，可以找到最佳的仓库位置，使物流成本最小化。
图论在计算机中的应用实例与前沿发展
图论在计算机中的应用实例与前沿发展1. 引言图论是研究图及其在各领域中的应用的学科，它对计算机科学和算法设计有着重要的影响。
图论不仅被广泛应用于网络分析、社交网络分析、路由算法等领域，还在计算机视觉、自然语言处理等领域起到了重要的作用。
本文将介绍图论在计算机中的应用实例，并展望其未来的前沿发展。
2. 图论的基本概念在介绍图论的应用实例之前，我们先来回顾一下图论的基本概念。
一个图可以由一组节点（顶点）和一组连接这些节点的边组成。
节点表示实体，边表示节点之间的关系。
图可分为有向图和无向图，有向图中的边有方向，无向图中的边没有方向。
在图论中，常用的概念包括顶点（节点）、边、路径、连通图、度等。
顶点（节点）是图中的一个元素，边是连接两个节点的关系，路径是由一系列以边相连的节点组成的序列，连通图是每两个节点之间都存在路径的图，度是顶点的邻居数量。
3. 图论在计算机网络中的应用3.1 网络分析图论在计算机网络中的应用非常广泛。
通过将计算机网络建模为图，可以利用图论算法来分析网络的拓扑结构、网络流量、网络中的链路传输等。
例如，可以使用最短路径算法来确定两个节点之间的最短路径，加快网络传输速度；也可以使用连通性算法来检测网络中的节点故障，并实施相应的故障恢复措施。
3.2 社交网络分析社交网络分析是对人际关系网络进行建模和分析的过程。
图论被广泛应用于社交网络分析中，通过在图上计算各种指标，可以揭示社交网络中的社区结构、重要节点以及信息传播过程。
例如，可以基于图的连通性和聚类系数等指标来识别社区，并研究社区内的节点关系和特征。
4. 图论在计算机视觉中的应用图论在计算机视觉中的应用也非常重要。
图像可以被视为一个二维网格，在图像处理中经常使用邻接矩阵表示图像的像素关系。
基于图论的方法可以用于图像分割、目标检测、图像匹配等任务。
例如，可以使用最小生成树算法来实现图像分割，将图像划分为不同的区域；也可以使用图匹配算法来实现图像识别和物体跟踪。
浅析图论的起源及应用
浅析图论的起源及应用摘要：离散数学作为计算机科学与技术和相关专业的必修课程，在数据结构、算法设计与分析、操作系统、编译系统、人工智能、软件工程、网络与分布式计算得到了广泛应用。
并且是自动化、化学工程、生物学经济学等各个学科领域数学建模中的重要工具。
其中图论是其中重要的一部分，将对其起源到应用进行浅谈。
关键字：离散数学；计算机科学与技术；数据结构；图论一、图论的起源哥尼斯堡七桥是古老的数学游戏和趣题研究中最具代表性的一个。
普鲁士的古城哥尼斯堡（哲学家康德的故乡，今俄罗斯加里宁格勒）。
普瑞格尔河正好从市中心流过，河中心有两座小岛，岛和两岸之间建筑有七座古桥。
欧拉发现当地居民有一项消遣活动，就是试图每座桥恰好走过一遍并回到原出发点，但从来没人成功过。
首先能想到的证明方法是把走七座桥的走法都列出来，一个一个的试验，但七座桥的所有走法共用7！=5040种，逐一试验将是很大的工作量。
欧拉欧拉把两座岛和河两岸抽象成顶点，每一座桥抽象成连接顶点的一条边，假设每座桥都恰好走过一次（如图1）。
那么对于A、B、C、D四个顶点中的每一个顶点，需要从某条边进入，同时从另一条边离开。
这样问题就简洁明了多了。
欧拉想那么多人都失败了是不是这个问题本来就无解。
欧拉抓住了问题的本质，最终欧拉考虑了一笔画图像的结构特征：进入和离开顶点的次数是相同的，即每个顶点有多少条进入的边，就有多少条出去的边，也就是说，每个顶点相连的边是成对出现的，即每个顶点的相连边的数量必须是偶数。
七桥问题的几何图中，A、B、D三点分别与三条线相连，C点与5条线相连，连线都是奇数条，因此欧拉断定：一笔画出这个图形是不可能的。
也就是此题无解。
这不仅标志着图论的诞生，更是后来拓扑学的先声。
图1 哥尼斯堡七桥问题二、图论的发展从十九世纪中叶开始，图论进入了新的发展阶段。
这个时期，关于图论出现的大量的问题，其中最典型的是地图染色的四色问题和和“周游世界”发展来的哈密顿问题。
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图论的发展及其在生活中的应用数学与应用数学张佳丽指导教师刘秀丽摘要主要介绍了图论的起源与发展及其生活中的若干应用，如：渡河问题、旅游推销员问题、最小生成树问题、四色问题、安排问题、中国邮递员问题。
同时也涉及到了几种在图论中应用比较广泛的方法，如：最邻近法、求最小生成树的方法、求最优路线的方法等。
关键词图论生活问题应用Graph Theory Development and the Application in LifeMathematics and applied mathematics ZhangJialiTutor LiuXiuliAbstract This papermainly introduces the origin and development of graph theory and its several applications in our life, such as:crossing river problem, traveling salesman problem,minimum spanning tree problem, fourcolor problem，arrangement problem，Chinese postman problem．It alsoresearchesseveral methodsthat are more widely applied in graph theory,for example:the method of most neighboring,the method of solving theminimum spanning tree，the method of the best route，and so on．Key words graph theorylifeproblemapplication引言图论是一门古老的学科，是数学中有广泛应用的一个分支，与其他的数学分支，如群论、矩阵论、概率论、拓扑学、数分析等有着密切的联系．图论中以图为研究对象，图形中我们用点表示对象，两点之间的连线表示对象之间的某种特定的关系．事实上，任何一个包含了二元关系的系统都可以用图论来模拟．而且,图论能把纷杂的信息变的有序、直观、清晰．由于我们感兴趣的是两对象之间是否有某种特定关系，所以图形中两点间连接与否尤为重要，而图形的位置、大小、形状及连接线的曲直长短则无关紧要．图论在自然科学、社会科学等各个领域都有广泛的应用．随着科学的发展，以及生产管理、军事、交通运输等方面提出了大量实际的需要，图论的理论及其应用研究得到飞速发展。
从20世纪50年代以后，由于计算机的迅速发展，有力地推动了图论的发展，加速了图论向各个学科的渗透，尤其是网络理论的建立，图论与线性规划、动态规划等优化理论和方法互相渗透。
同时，计算机的发展使图论成为数学领域中发展最快的分支之一．1 图论的起源与发展1．1 图论的起源[1]1736年是图论的历史元年．这一年，欧拉（L•Euler）研究了哥尼斯堡（Königsberg）七桥问题，并发表了关于图论的首篇文章．欧拉也因此被称为图论之父．哥尼斯堡城濒临蓝色的波罗的海，城中有一条普莱格尔（Pregel）河，河的两条支流在这里汇合，然后横穿全城，流入大海．河水把城市分成4块，于是，人们建造了7座各具特色的桥，把哥尼斯堡城连成一体，如图一所示．早在18世纪，这些形态各异的小桥吸引了众多的游客，他们在陶醉于美丽风光的同时，不知不觉间，脚下的桥触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中传开．图一图二谁能够从两岸A，B，C，D四个陆地中的任一个地方出发一次走遍所有的7座桥，而且每座桥都无重复的只通过一次？这个问题看起来似乎不难，谁都乐意用这个问题来测试一下自己的智力．但是，谁也没有找到一条这样的路线．这个问题极大的刺激了人们的好奇心，许多人都热衷于解决这个问题，然而始终没有人能够成功．“七桥问题”难住了哥尼斯堡城的所有居民．哥尼斯堡城也因“七桥问题”而出了名．这就是数学史上著名的七桥问题．问题看来并不复杂，但就是谁也解决不了，也说不出所以然来．1736年，当时著名的数学家欧拉仔细研究了这个问题，他将上述四块陆地与七座桥间的关系用一个抽象图形来描述(见图二)，其中A、B、C、D四个陆地分别用四个点来表示，而陆地之间有桥相连者则用连接两个点的连线来表示，这样，上述的哥尼斯堡七桥问题就变成了由点和边所组成的如下问题：试求从图中的任一点出发，不重复的通过每条边一次，最后返回到该点，这样的路线是否存在？这样问题就变得简洁明了了，同时问题也变得更一般、更深刻了．这样，七桥问题就转变为图论中的一笔画问题．即能不能不重复的一笔画出图二中的这个图形．原先人们是要求找出一条不重复的路线，欧拉想，既然成千上万的人都失败了，那么这样的路线也许根本就不存在．于是，欧拉就想：这样不重复的路线究竟存不存在？由于改变了一下提问的角度，欧拉抓住了问题的实质．最后，欧拉认真考虑了一笔画图形的结构特征．欧拉发现，凡是能用一笔画成的图形，都有这样一个特点：每当画一条线进入中间的一个点时，还必须画一条线离开这个点．否则，这个图形就不可能用一笔画出．也就是说，单独考察图中的任何一点（起点和终点除外），这个点都应该与偶数条线相连；如果起点与终点重合，那么，连这个点也应该与偶数条线相连．在七桥问题的几何图中，A、B、D三点分别与3条线相连，C点与5条线相连．连线数都是奇数条．因此，欧拉断定：一笔画出这个图形是不可能的．也就是说，不重复地通过7座桥的路线是根本不存在的！天才的欧拉只用了一步就证明了这个难题，从这里我们也可以看到图论的强大威力.欧拉对七桥问题的研究，是拓扑学研究的先声．1750年，欧拉又发现了一个有趣的的现象．欧拉因此得到了后人以他的名字命名的“多面体欧拉公式”．正4面体有4个顶点、6条棱，它的面数加顶点数减去棱数等于2；正6面体有8个顶点、12条棱，它的面数加顶点数减去棱数也等于2．接着，欧拉又考察了正12面体、正24面体，发现都有相同的结论．于是继续深入研究这个问题，终于发现了一个著名的定理：F(面数) ＋V(顶点数) －E(棱数) ＝2这个公式证明了多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种．这个定理成为拓扑学的第一个定理，这个公式被认为开启了数学史上新的一页，促成了拓扑学的发展．1．2 图论的发展图论的产生和发展经历了二百多年的历史，大体上可以分为三个阶段：第一阶段是从1736年到19世纪中叶．当时的图论问题是盛行的迷宫问题和游戏问题．最具代表性的工作是著名数学家欧拉于1736年解决的哥尼斯堡七桥问题(见1．1)．第二阶段是从19世纪中叶到1936年．图论主要研究一些游戏问题:迷宫问题、博弈问题、棋盘上马的行走路线问题等，[2]随着对这些问题的深入研究，图论又产生了新的一系列问题，例如：连通性、嵌入问题、染色问题、矩阵表示以及网络流等．连通性是图论研究的基本问题之一，欧拉路、中国邮路问题、哈密顿问题、树与图的支撑树、匹配问题都是连通性的典型问题；地图着色问题即是对无论多么复杂的地图，只需用四种颜色就足够将相邻的区域分开．平面图的染色问题是与四色问题紧密相联的．于是产生了着色问题即给定一个图，如果要求把所有顶点涂上颜色，使得相邻顶点具有不同的颜色，问最少需要几种不同的颜色?这个问题叫做图的点着色问题．如果对给定图的全部边都涂上颜色，使相邻的边有不同的颜色，问至少需要几种颜色?这个问题叫做边的着色问题，边的着色问题可以转化为点着色问题．由这些问题人们逐渐丰富并发展了图论学科知识．同时出现了以图为工具去解决其他领域中一些问题的成果．1847年德国的克希霍夫将树的概念和理论应用于工程技术的电网路方程组的研究．1936年匈牙利的数学家哥尼格写出了第一本图论专著《有限图与无限图的理论》．标志着图论成为了一门独立学科．第三阶段是1936年以后.由于生产管理、军事、交通运输、计算机和通讯网路等方面大量实际问题的出现，大大促进了图论的发展．特别是电子计算机的大量应用，使大规模问题的求解成为可能．实际问题如电网络、交通网络、电路设计、数据结构以及社会科学中的问题所涉及到的图形都很复杂的，需要计算机的帮助才有可能进行分析和解决．目前，图论在物理、化学、运筹学、计算机科学、电子学、信息论、控制论、网络理论、社会科学及经济管理等几乎所有学科领域中都有应用．2 图论在生活中几种应用2．1 渡河问题2．1．1基本理论定义2.1[3]有向图：一个有向图是一个有序的二元组,V E，记作D，其中（1）V≠∅称为顶点集，其元素称为顶点或结点．（2）E为边集，它是笛卡尔积V V⨯的多重子集，其元素称为有向边，简称边．2．1．2 应用举例例[4]（渡河问题）一个摆渡人要把一只狼，一只羊和一捆菜运过河去，由于船很小，每次摆渡人至多只能带一样东西．另外，如果人不在旁时，狼就要吃羊，羊就要吃菜．问这个人怎样才能安全的将它们运过河去？解用F表示摆渡人，W表示狼，S表示羊，C表示菜若用F W S C表示人和其他三样东西在河的原岸的状态，这样原岸全部可能出现的状态为以下16种：FWSC FWS FWC FSCWSC FW FS FCWS WC SC FW S CΦΦ表示原岸什么也没有，即人、狼、羊、菜都运到河对岸了根据题意，我们知道这16种情况中有6种是不允许的，它们是WSC、FW、FC、WS、SC、F，如FC表示人和菜在原岸而狼和羊在对岸，这当然是不允许的．因此，允许出现的情况只有10种．以这10种状态为结点，以摆渡前原岸的一种状态与摆渡一次后出现在原岸的状态所对应的结点之间的连线为边，作有向图2.1：ΦFSW图2.1上图给出了两种方案，方案为上图中从FWSC到Φ的不同的基本通路：⑴FWSC→WC→FWC→C→FSC→S→FS→Φ⑵FWSC→WC→FWC→W→FWS→S→FS→Φ．它们的长度均为7故摆渡人只需摆渡7次就能将它们全部运到对岸，并且羊和菜完好无损．2．2 旅行推销员问题该问题是说：“给定n 个城市和它们之间的距离，问如何设计一条路线，使得一个推销员从他所在的城市出发途经其余1n -个城市刚好一次，最后回到原驻地并使得行程最短[5]？” 2．2．1 基本理论定义2.2[6]给定图,G V E =（G 为无向图或有向图），设W ：E R →（R 为实数集），对G 中任意的边(),i j e v v = (G为有向图时，,i j e v v =)，设()W e =ij w ，称实数ij w 为边e 上的权，并将ij w 标注在边e 上，称G 为带权图，此时常将带权图G 记作,,V E W ．设G G '⊆，称()()e E G W e '∈∑为G '的权，记作()W G '，即()W G '=()()e E G W e '∈∑．最邻近法[7](1)由任意选择的结点开始，找与该点最近（即权最小）的点，形成有一条边的初始路径．(2)设X 表示最新加到这条路上的结点，从不在路上的所有结点中选一个与X 最靠近的结点，把连接X 与这一结点的边加到这条路上，重复这一步，直到G 中所有结点包含在路上．(3)将连接起始点与最后加入的结点之间的边加到这条路上，就得到一个圈，即为问题的近似解． 2．2．2应用举例例[8]某流动售票员居住在A 城，为推销货物他要访问B 、C 、D 城后返回A 城，若该四城间的距离如下图2.2所示，找出完成该访问的最短路线．图2.2解步骤如下图①—④D①D②③④最短距离为：8+6+7+11=32．2．3 最小生成树2．3．1 基本理论定义 2.3.1[9]设,G E =，,G V E '''=为两个图（同为无向图或同为有向图），若V V '⊆且E E '⊆，则称G '是G 的子图，G 为G '的母图，记作G G '=．又若V V '⊆或，E E '⊆则称G '为G 的真子图，若V V '=，则称G '为G 的生成子图．定义2.3.2[10]不含圈的连通图称为树．定义2.3.3[11]如果T 是G 的一个生成子图而且又是一棵树，则称T 是图G 的一棵生树．定义2.3.4[12] 设无向连通带权图,,G V E W =，T 是G 的一棵生成树，T 的各边权之和称为T 的权．G 的所有生成树中，权最小的生成树称为G 的最小生成树． ⑴破圈法[13]在G 中任取一个圈，去掉其中一条边，然后再取一个圈，再去掉这个圈中的一条边，如此继续下去，最后得到的连通图的无圈的生成子图就是G 的一棵生成树． ⑵用破圈法求带权的最小生成树的方法在赋权图G 中任取一个圈，然后去掉这个圈中权最大的边，如此继续进行直到G 中不再有圈时为止，这时剩下的边组成的子图就是最小树．[14] 2．3．2应用举例旅游线路中的最短问题对于旅客来说，要求在最短的时间内用最少的钱来旅游最多的景点，考虑到无论采取哪种方案，在门票的花费均相同且路费在速度恒定的情况下可由路程的多少来求得，从而把问题转化为求最短的旅游路线的问题．[15]例[16]公园的路径系统图如图2.3，其中S 为入口，T 为出口，A ，B ，C ，D ，E 为五个景点，现求如何能使观光旅游车从入口S 到出口T 所经过的距离最短．ET图2.3解用破圈法求带权的最小生成树的方法求解，求解步骤如下图①—⑥TE①TE②TE③TE④ET⑤ET⑥由图可知，从如口S 到出口T 的最短路径为S →A →B →E →D →T 最短距离为：2+2+3+1+5=13． 2．4 四色问题1852年10月23日英国数学家德•摩根写给当时还属于英国的爱尔兰数学家哈密尔顿的一封信中，他写道：“我的一位学生今天请我解释一个我过去不知道，现在仍不甚了了的事实．他说任意划分一个地图并给各部分着上颜色，使任何具有公共边界的部分颜色不同，那么需要且仅需要四种颜色就够了．”德•摩根提到的这位学生名叫弗雷德里克•格里斯．而据他后来撰文披露，该问题的真正发现者实际是他是的哥哥弗兰西斯•格里斯．[17] 2.4.1基本理论定义2.4.1[18]设G 为无向标定图，G 中的顶点与边的交替序列Γ=0i v 1j e 12i j v e …l lj i e v 称为0i v 到l i v 的通路，其中r-1i v ，r i v 为r j e 的端点，r =1,2, …l ， 0i v ，l i v 分别称为Γ的始点与终点，Γ中边的条数称为它的长度，若0i v =l i v ，则称通路为回路．若Γ的所有边各异，则称Γ为简单通路，又若0i v =l i v ，则称Γ为简单回路．若Γ的所有顶点（除0i v 与l i v 可能相同外）各异，所有边也各异，则称Γ为初级通路或路径，此时又若0i v =l i v ，则称Γ为初级回路或圈，将长度为奇数的圈称为奇圈，长度为偶数的圈称为偶圈．定义2.4.2[19]对无环图G 的每个顶点涂上一种颜色，使相邻的顶点涂不同的颜色，称为对图G 的一种着色．若能用k 种颜色给G 的顶点着色，就称对G 进行了k 着色，也称G 是k —可着色的．若G 是k —可着色的，但不是()1k -—可着色的，就称G 是k 色图，并称这样的k 为G 的色数，记作()G k χ=．定义2.4.3[20]在1n -（n ≥4）边形1n C -内放置一个顶点，使这个顶点与1n C -上的所有顶点均相邻，所得n 阶简单图称为n 阶轮图．n 为奇数的轮图称为奇阶轮图，n 为偶数的轮图称为偶阶轮图．定理2.4.1（四色定理）[21]每个平面的色数至多是4．定理2.4.2[19]奇圈和奇阶轮图的色数均为3，而偶阶轮图的色数为4．2．4．2 应用举例例1[22]在期末考试周期间，一所学院的8名选修数学的学生得到许可去参加大学生科研讨论会．假设他们回来之后需要在星期一对所错过的考试进行补考，星期一安排这些考试的可能时间段为：⑴8:00——10:00 ⑵10:15——12:15 ⑶12:30——2:30⑷2:45——4:45 ⑸5:00——7:00 ⑹7:15——9:15应用图论的相关知识，确定这8名学生完成考试的最早时间．要求：如果有某个学生必须要参加某两门课的考试，那么，这两门课程就不能安排在同一时间段内．这8名学生以及他们选修的课程：高等微积分（AC ）、微分方程（DE ）、几何学（G ）、图论（GT ）、线性规划（LP ）、近世代数（MA ）、统计学（S ）、拓扑学（T ），列表如下： Alicia ：AC ，DE ，LP Brian ：AC ，G ，LPCarla ：G ，LP ，MA Diane ：GT ，LP ，MAEdward ：DE ，GT ，LP Faith ：DE ，GT ，TGrance ：DE ，S ，T Henry ：AC ，DE ，S解首先构造图2.4.1，其顶点为这8门课程，如果有某个学生同时考两门课程则在这两个顶点间连一条边．1、2、3、4表示四种不同的颜色，如S 1表示S 用第一种颜色着色．记最小的时间段数为()G χ，由于G 中含有奇圈AC ，S ，T ，GT ，LP ，AC ，由定理2知，需要3种颜色为该图上的顶点着色．由于DE 与该图上的所有顶点都邻接，所以需要用第四种颜色来为DE 染色．因此()G χ≥4；又由定理1知()G χ≤4，因而()G χ＝4．LP 4MA 3图2.4.1 故在四个时间段内可安排这8门课程的考试，安排方法为：时间段1：统计学、几何学、图论时间段2：高等微积分、拓扑学时间段3：微分方程、近世代数时间段4：线性规划故可在安排时间段(1) 8:00—10:00 (2) 10:15—12:15(3) 12:30—2：30 (4) 2:45—4:45故完成考试的最短时间为4:45．例2[22]有8种化学药品需要空运飞越整个国家.运费根据运送的容器数量来确定.运送一个容器需要125元.某些药品之间可以发生化学反应,所以把它们放在同一个容器中是很危险的.这些化学药品被标记成A ,B ,C ,D ,E ,F ,G ,H .下面列出的是与某个给定药品能够发生反应的其他药品名称:A :B ,E ,F B :A ,C ,E ,GC :B ,D ,G D :C ,F ,G ,HE :A ,B ,F ,G ,H F :A ,D ,E ,HG :B ,C ,D ,E ,H H :D ,E ,F ,G这些化学药品应该如何放置于那些容器中使得运送这些化学药品所需的费用最少?最少是多少?解 首先构造图2.4.2,其顶点为这8种化学药品.如果某两种药品能发生化学反应就在这两个顶点间连一条边.1，2，3，4表示四种不同的颜色，如A 1表示A 用第一种颜色着色．记最小的容器数为()H χ，由于G 中含有奇圈A ,B ,G ,H ，F ,A 由定理2知，需要3种颜色为该图上的顶点着色．由于E 与该图上的所有顶点都邻接，所以需要用第四种颜色来为E 染色．因此()H χ≥4；又由定理1知()H χ≤4，因而()H χ＝4．A 3B 4图2.4.2 故将这8种化学药品放置在四个容器内,安排方法为：第一个容器:D ,E 第二个容器:C ,F第三个容器:A ,G 第四个容器:B ,H最少费用为4×125＝500.2．5 用边染色解决安排问题2.5.1 基本理论定义2.5.1[23] 非空图G 的一个边染色是指给G 的边分配颜色，每条边分配一种颜色，使得邻接的边分配不同的颜色．对G 的边染色所需的最少颜色数称为是边色数，记为()1G χ．应用k 种颜色的边染色称为是k 边染色．定义2.5.2[24] 设,G V E =为一无向图，v V ∀∈，称v 作为边的端点次数之和为v 的度数，简记为度，记作()G d v ，在不发生混淆时，简记为()d v ．定理2.5.1[23] 对于任意非空图G ，()1G χ＝()G ∆或者()()11G G χ=+∆．定理2.5.2[23] 设G 是一个阶为n ，边数为m 的图．若()(1)2n G m -∆> 则()()11G G χ=+∆．2.5.2 应用举例例1[23]Alvin (A )曾邀请3对夫妇到他的避暑别墅住一个星期,他们是Bob (B )和Carrie (C )Hanson ,David (D )和Edith (E )Irwin ,Frank (F )和Gena (G )Jackson ．由于这6位客人都喜欢网球运动,所以他决定进行一些网球比赛．6位客人中的每一位都要与其配偶之外的每位客人比赛．另外,Alvin 将分别与David ,Edith ,Frank ,Gena 进行一场比赛．若没有人在同一天进行两场比赛,则要在最少天数完成比赛,该如何安排?解首先构造图 2.5.1,其顶点为住在Alvin 的避暑别墅的人,因此(){},,,,,,V H A B C D E F G =,H 中的两个顶点是邻接的,如果这两个顶点(人)需要进行一场比赛．为了解答这个问题,我们需要确定H 的边色数．F图2.5.1 易见,()5H ∆=．根据定理2．5．1,()15H χ=或者()16H χ=．此外,H 的阶为7n =,边数为16m =．由于()(1)(71)5161522n H m -∆-⨯=>== 由定理2．5．2,可知()16H χ=．图H 列出了H 的一个6边染色,从而也给出了一个具有最少天数(6)的时间安排表．第一天:Bob —Gena Carrie —Edith David —Frank第二天: Alvin —Frank Bob —David Edith —Gena第三天: Alvin —Edith Bob —Frank Carrie —Gena第四天: Alvin —Gena Edith —Bob Carrie —David第五天: David —Gena Edith —Frank第六天: Alvin —David Carrie —Frank例2[25] 来自亚特兰大、波士顿、芝加哥、丹佛、路易维尔、迈阿密以及纳什维尔的7支垒球队受邀请参加比赛，其中每只队都被安排与一些其他队比赛，如下：亚特兰大（A ）：波士顿，芝加哥，迈阿密，纳什维尔波士顿（B ）：亚特兰大，芝加哥，纳什维尔芝加哥（C ）：亚特兰大，波士顿，丹佛，路易维尔丹佛(D )：芝加哥，路易维尔，迈阿密，纳什维尔路易维尔(E )：芝加哥，丹佛，迈阿密迈阿密(F )：亚特兰大，丹佛，路易维尔，纳什维尔纳什维尔(G )：亚特兰大，波士顿，丹佛，迈阿密每支队在同一天最多只能进行一场比赛。