回溯
回溯 英文表达
"回溯"在英文中可以根据不同的语境和含义有不同的表达方式，以下是一些常见的翻译：
1. Trace back - 追溯、追查到源头。
2. Retrospect - 回顾、回想过去的事情。
3. Backdate - 回溯日期，指将日期提前或追溯到以前的日期。
4. Backtrack - 撤退、退回、返回原路；也可以表示撤销或更改已做决定的意思。
5. Remount - 重新安装、再次装配（计算机文件系统）。
6. Backtrace - 在计算机科学中，回溯通常指的是程序调试时的一种技术，用于追踪程序执行过程中的错误。
例如：
- 我们可以回溯这段历史事件的起源。
(We can trace back the origin of this historical event.)
- 回顾过去的几年，我们可以看到很多变化。
(In retrospect, we can see many changes over the past few years.)
- 我们需要将这些文件的创建日期回溯到上个月。
(We need to backdate these files' creation dates to last month.)
- 在编程中，我们经常使用回溯法来解决问题。
(In programming, we often use backtracking to solve problems.)。
回溯算法原理和几个常用的算法实例
回溯算法原理和几个常用的算法实例回溯算法是一种基于深度优先的算法，用于解决在一组可能的解中找到满足特定条件的解的问题。
其核心思想是按照特定的顺序逐步构造解空间，并通过剪枝策略来避免不必要的。
回溯算法的实现通常通过递归函数来进行，每次递归都尝试一种可能的选择，并在达到目标条件或无法继续时进行回溯。
下面介绍几个常用的回溯算法实例：1.八皇后问题：八皇后问题是一个经典的回溯问题，要求在一个8×8的棋盘上放置8个皇后，使得每个皇后都不能相互攻击。
即每行、每列和对角线上都不能有两个皇后。
通过在每一列中逐行选择合适的位置，并进行剪枝，可以找到所有满足条件的解。
2.0-1背包问题：0-1背包问题是一个经典的组合优化问题，要求在一组物品中选择一些物品放入背包，使得其总重量不超过背包容量，同时价值最大化。
该问题可以通过回溯算法进行求解，每次选择放入或不放入当前物品，并根据剩余物品和背包容量进行递归。
3.数独问题：数独问题是一个经典的逻辑推理问题，要求在一个9×9的网格中填入数字1-9，使得每行、每列和每个3×3的子网格中都没有重复数字。
该问题可以通过回溯算法进行求解，每次选择一个空格，并依次尝试1-9的数字，然后递归地进行。
4.字符串的全排列：给定一个字符串，要求输出其所有可能的排列。
例如，对于字符串"abc"，其所有可能的排列为"abc"、"acb"、"bac"、"bca"、"cab"和"cba"。
可以通过回溯算法进行求解，每次选择一个字符，并递归地求解剩余字符的全排列。
回溯算法的时间复杂度通常比较高，因为其需要遍历所有可能的解空间。
但是通过合理的剪枝策略，可以减少的次数，提高算法效率。
在实际应用中，可以根据具体问题的特点来设计合适的剪枝策略，从而降低算法的时间复杂度。
回溯和反思的正确逻辑
回溯和反思的正确逻辑
回溯和反思都是思考问题的方法，它们的逻辑如下：
回溯的逻辑：
回溯是一种通过追溯历史记录、事件、决策等来查找原因、验证假设或解决问题的方法。
它通常从当前的问题或状态出发，逆向追踪相关的历史记录、事件和决策，以了解它们之间的因果关系和逻辑关系。
回溯的逻辑是：从当前问题出发，逆向追溯相关事件和决策，直到找到问题的根本原因或确定问题的来源。
反思的逻辑：
反思是一种通过思考自己的思想、行为、情感等来提高自我认知、自我评价和自我改进的方法。
它通常包括对自己的行为、决策、情感等进行分析和评估，以了解自己的优点和不足，并在此基础上制定改进计划。
反思的逻辑是：从自己的行为、决策、情感等出发，进行深入分析和评估，以了解自己的优点和不足，并制定改进计划。
总之，回溯和反思都是思考问题的方法，它们通过不同的方式来了解问题、提高自我认知和制定改进计划。
回溯是通过追溯历史记录、事件、决策等来查找原因、验证假设或解决问题，而反思是通过深入分析和评估自己的思想、行为、情感等来提高自我认知和制定改进计划。
回溯PPT课件
➢教学要求
➢ 了解回溯算法的概念与回溯设计要领 ➢ 掌握应用回溯算法求解桥本分数式、素数环、
数码串珠以及情侣拍照等典型案例
➢本章重点
➢ 理解回溯法 “向前走，碰壁回头”的实现
5.1 回溯概述
1. 回溯的概念
(1) 回溯法（Backtracking method）有“通用解题法”之 美称，是一种比枚举“聪明”的效率更高的搜索技术。
void iterativeBacktrack () {
int t=1; while (t>0) {
if (f(n,t)<=g(n,t)) for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t)&&bound(t)) { if (solution(t)) output(x); else t++;} }
宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结 点之前，它一直是扩展结点
回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状 态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处 死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题 的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法8
子集树与排列树
从解的角度理解，回溯法将问题的候选解按某种顺序进行枚举和 检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解。 在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回 溯。若当前候选解除了不满足问题规模要求外，满足所有其他要 求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选 解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一 个解。
回溯报告制度有哪些内容
回溯报告制度有哪些内容引言回溯报告制度是一种重要的管理制度，旨在对过去的项目或工作进行总结和反思，以便提高工作质量和效率。
通过回溯报告，可以深入分析过去的问题和挑战，总结经验教训，并制定改进措施。
本文将介绍回溯报告制度的一些常见内容和要点。
回溯范围和时间回溯报告的第一部分是确定回溯的范围和时间。
回溯范围是指需要回顾和总结的具体项目、任务或活动。
时间范围涵盖的是回溯的起止时间。
这两个要点的明确可以帮助报告编写者更加集中地分析和总结问题、挑战和经验。
目标与成果评估回溯报告的第二部分是对项目目标的评估和成果的测量。
这一部分的目的是评估项目是否达到了既定目标，并检查所取得的成果是否符合预期。
对目标的分析和评估可以帮助发现执行过程中的偏差和问题，为改进措施的提出提供依据。
成功因素和问题点回溯报告的第三部分是对成功因素和问题点的分析。
成功因素是导致项目取得成功的因素，可以包括团队合作、项目管理、技术能力等方面。
问题点是项目执行中出现的问题和挑战，可以包括沟通不畅、任务安排不合理、技术难题等方面。
通过分析成功因素和问题点，可以发现团队潜在的优势和不足之处，为今后的工作提供参考。
经验教训总结回溯报告的第四部分是对经验教训的总结和归纳。
这一部分的核心是总结项目的成功经验和教训教训。
成功经验是项目执行过程中获得的宝贵经验，可以为未来的项目提供指导。
教训是在项目执行过程中发生的错误和失误，可以帮助团队避免类似的问题。
经验教训总结是回溯报告中非常重要的一部分，它关乎到团队的学习和成长。
改进措施制定回溯报告的最后一部分是对改进措施的制定。
这一部分的目的是根据前面的分析和总结，提出具体的改进措施和行动计划。
改进措施可以包括团队培训、流程优化、沟通改进等方面。
行动计划将改进措施分解成具体的任务和时间节点，以便落实和跟进。
结论回溯报告制度的内容包括回溯范围和时间、目标与成果评估、成功因素和问题点分析、经验教训总结以及改进措施制定。
回溯的通俗理解
回溯的通俗理解《回溯那些事儿》嘿，咱今儿来聊聊回溯这个有意思的玩意儿。
你说啥是回溯呀？其实就好比你走在路上，突然想回过头去看看自己刚刚走过的脚印。
这就是回溯，就是往回瞅一瞅。
咱打个比方哈，你小时候特别喜欢一个玩具，可那时候没得到，等长大了，你时不时就会想起来，哎呀，那个玩具多好呀，我当时咋就没得到呢。
这就是在心里回溯呀，回到那个时候去想想。
再比如说，你曾经犯过一个错，后来你总会时不时地回想起来，哎呀，我当时咋那么笨呢，要是不那么做该多好。
这也是回溯，是对过去自己行为的一种回顾。
回溯可有意思了，有时候能让你笑出声来。
比如说你想起小时候和小伙伴一起干的那些傻事儿，什么一起去偷摘果子呀，结果被追得满院子跑，现在想想，多好玩呀。
但有时候回溯也会让你有点难过，比如想起曾经失去的人或东西，心里就会酸酸的。
我记得我以前有个特别好的朋友，我们一起经历了好多好玩的事情。
后来因为一些原因分开了，一开始也没觉得啥，但是后来呀，我总是会回溯到我们在一起的那些时光，越想就越觉得可惜，要是我们还能像以前一样多好呀。
回溯还能让你学到好多东西呢。
你想想，你回头看看自己走过的路，哪些地方走得好，哪些地方走得不好，下次不就知道该咋走了嘛。
就像我以前学习的时候，总是马马虎虎的，考试成绩也不理想。
后来我回溯了一下，发现自己很多知识点都没掌握好，学习方法也不对。
那我就改呀，重新认真学那些知识点，改变学习方法，后来成绩就慢慢好起来了。
回溯不是让你一直陷在过去里出不来，而是让你从过去中吸取经验教训，然后更好地往前走。
咱可不能光想着过去多好呀，未来也很美好呀。
但是不回溯一下过去，你可能就不知道怎么更好地走向未来。
所以呀，咱得时不时地回溯一下，看看自己走过的路，想想自己做过的事，然后带着这些经验和教训，开开心心、大大步地走向未来。
别老是往前冲，偶尔也回头看看，说不定会有意外的收获呢！。
追溯和回溯的用法
追溯和回溯的用法
追溯和回溯都是指在时间或者空间上进行考察和回顾，但是它们的用法不同，下面就详细介绍一下它们各自的用法。
追溯的用法：
1. 英文中的“trace back”就是指追溯，表示查找某事物的来源或者历史记录。
例如，“我们需要追溯这种文化传统的历史根源。
”
2. 追溯也可以表示在时间上追溯，例如，“回溯到石器时代，我们可以得知早期人类的生活状态。
”
3. 追溯还可以表示在空间上追溯，例如，“追溯到地球诞生时期，我们可以了解地球上最初的生命形式。
”
回溯的用法：
1. 英文中的“look back”就是指回溯，表示回顾某段时间内的事情或者经历。
例如，“我们回溯一下这个月的工作情况。
”
2. 回溯还可以指在计算机科学中的实现，从上一个时刻或状态开始推导出当前的状态或结果。
例如，“这个算法可以回溯到初始状态，以便
我们确定最优解决方案。
”
3. 回溯还可以指在成长和发展中，对过去的经历和教训进行总结和反思。
例如，“回溯过去的错误和挫折，我们可以更好地规划未来的发展
道路。
”
以上就是追溯和回溯的用法。
无论是追溯还是回溯，都可以帮助我们
更好地了解事物的本质和过去经历，以便更好地应对未来的发展挑战。
质量回溯方法
质量回溯方法质量回溯是一种重要的质量管理方法，其目的在于寻找并解决制品的质量问题，确保产品质量符合制定的标准。
质量回溯通常是由一系列流程组成，包括确定问题、了解问题、分析问题、采取纠正措施和预防性行动。
下面我们将具体介绍质量回溯方法的流程和注意事项。
一、质量回溯流程1. 确定问题在产品质量问题出现后，首先要明确问题所在的范围和影响程度，确定质量问题具体内容，包括产品型号、生产日期、生产批次等重要信息。
确定问题后，需要进行材料分析、测试验证等操作，以便更好地了解问题。
2. 了解问题在明确问题之后，需要进一步了解问题背景和原因。
此时需要查看制造过程中的记录，调查是否存在人为失误或材料缺陷等问题，以确定问题的原因。
在调查中还需考虑问题对其他产品的影响程度，以及缺陷发现的时间和位置等信息。
如果必要，还应该对客户的反馈进行调查，了解产品的最终用户是否对问题有所抱怨。
3. 分析问题在仔细了解问题后，需要进行问题的详细分析，以确定如何解决问题。
该阶段需要考虑以下几个问题：问题根源、问题发现的时机、缺陷类型、缺陷严重程度、缺陷覆盖面积等要素。
通过对问题的分析，制定出详细的计划，并分配合适的人员进行具体的工作。
4. 采取纠正措施在制定计划后，需要采取具体的纠正措施，以确保问题不再发生。
可以采用多种方式对问题进行改善，例如修补产品、更改生产过程、增加监测程序等。
在采取纠正措施时，需要注意对影响因素的全面考虑，确保措施的有效性和持久性。
所有的改进措施都需要明确记录，以便日后的跟踪和评估。
5. 预防性行动在采取纠正措施后，需要考虑采取预防性行动，以预防类似问题的再次出现。
预防性行动可以包括加强员工培训、更新设备、优化生产流程、改进设计等方案。
二、注意事项1. 收集数据质量回溯的过程需要大量的数据和信息，所以要确保数据准确可靠。
此外，相关数据应该及时记录和查证，以便日后的追踪和评估。
2. 保持透明度质量回溯必须始终保持透明度，即始终明确问题的范围和影响，以便更好地实施纠正措施。
回溯
n皇后问题
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
n皇后问题
n皇后问题的解空间就应该是1～n全排列的 一部分。 解空间的长度是n。 解空间的组织形式是一棵n叉树，一个可行的 解就是从根节点到叶子节点的一条路径。 控制策略则是当前皇后与前面所有的皇后都 不同列和不同对角线。
骑士遍历（递归）
procedure search(k: integer); // 递归查找 begin for i := 1 to 4 do // 依次尝试四个方向 if (x + dx[i] <= n) and (y + dy[i] > 0) and (y + dy[i] <= n) then // 在棋盘上 begin route[k] := i; // 记录下当前方向 x := x + dx[i]; y := y + dy[i]; // 修改扩展节点坐标 if (x = n) and (y = m) then // 是否是目标点 begin output(k); halt; // 是目标点，输出结果并终止程序 end else search(k+1); // 不是目标点，继续尝试下一步 // 扩展出的点是死点，回溯 x := x - dx[i]; y := y - dy[i]; // 恢复扩展节点坐标 end; end;
回溯啥意思
回溯啥意思回溯是一个汉语词汇，拼音为 hui su，指逆着原来的方向追索。
当某种事物在过去发生了而你现在想知道它怎么样时用到该词。
如果按你要找的答案是“他/她现在好吗”那么应改成“回溯他/她以前是什么样子？”但也不必太严谨毕竟还只是泛指并没真正在说谁或者谁。
也可能在一句话里作“追溯以往的某段时间、经历等”讲。
这种时候可以理解为：回头看，反思……“这次考试之后对自己很失望，因为这两年我荒废了学业，虽然表面上看起来毫无影响地依旧是优秀，实际上却让我看清楚自己存在哪些问题，认识自身缺点与弱点……我将重新振作精神，奋斗于明日。
希望下一次的考试中取得更大进步!回溯……有些时候人们会说：“哎呀！！你都高三了，再复习几遍还怕不及格吗？我早已忘记了。
”其实这里“再复习几遍”只是个口号，主观上并未打算努力学习，甚至觉得这样做的结果是把知识全部遗忘掉了，只留下深刻的印象；客观上，学校老师课堂教授内容远比书本所写丰富得多，有着极强的逻辑性和规律性。
因此有人把高三复习比喻成“二十天熬成个胖子”。
实际情况是由于基础差（如数学），底子薄，且复习效率低（不懂回溯法则、不会寻求突破、急功近利）。
造成知识掌握不牢固，学习效果差。
又加上长期在枯燥乏味的环境下呆板的机械的学习，使厌倦感滋生蔓延。
心态崩溃，导致恶性循环。
因此高三党需警惕，调整状态，树立信心，制定计划，充分利用每一秒钟，争分夺秒。
可这就像走在沙滩上的我，被海浪卷入水底——漂浮——沉底，不断往下落，直到把你带离水面。
如果是平静的水，则每朵浪花代表一个目标，一个小阶梯，随着时间流逝，终会被淹没，变成回忆;如果是湍急的水，那你注定就此消亡，永世不见阳光，只剩回忆残存。
所以不管遇到任何困难，最关键的就是稳住，因为沉默不会损伤你，否定也不能决定你，不论外界如何喧闹，坚持才是最重要的。
回溯算法原理和几个常用的算法实例
回溯算法原理和几个常用的算法实例回溯算法是一种通过不断尝试和回退的方式来进行问题求解的算法。
它的基本思想是在过程中，当发现当前的选择并不符合要求时，就进行回退，尝试其他的选择，直到找到符合要求的解或者遍历完所有可能的选择。
回溯算法通常用于问题求解中的和排列组合问题，比如求解八皇后问题、0-1背包问题、数独等。
下面将介绍几个常用的回溯算法实例。
1.八皇后问题：八皇后问题是指在一个8×8的国际象棋棋盘上，放置八个皇后，使得任意两个皇后都不在同一行、同一列或同一斜线上。
可以通过递归的方式依次尝试每一行的位置，并判断当前位置是否满足条件。
如果满足条件，则进入下一行尝试；否则回溯到上一行，并尝试其他的位置，直到找到解或遍历完所有的可能。
2.0-1背包问题：0-1背包问题是指在给定一组物品和一个容量为C的背包，每个物品都有自己的重量和价值，求解在不超过背包容量时，如何选择物品使得背包中物品的总价值最大。
可以通过递归的方式依次考察每个物品，并判断是否选择当前物品放入背包。
如果放入当前物品，则背包容量减小，继续递归考察下一个物品；如果不放入当前物品，则直接递归考察下一个物品。
直到遍历完所有物品或背包容量为0时，返回当前总价值。
3.数独问题：数独是一种通过填充数字的方式使得每一行、每一列和每一个九宫格内的数字都满足一定条件的谜题。
可以通过递归的方式依次尝试填充每一个空格，并判断当前填充是否符合条件。
如果符合条件，则继续递归填充下一个空格；如果不符合条件，则回溯到上一个空格，并尝试其他的数字，直到找到解或遍历完所有的可能。
回溯算法的时间复杂度一般较高，通常为指数级别。
因此，在实际应用中，可以结合剪枝等优化策略来提高算法的效率。
此外，回溯算法也可以通过非递归的方式进行实现，使用栈来存储当前的状态，从而避免递归带来的额外开销。
总之，回溯算法是一种非常有效的问题求解方法，通过不断尝试和回退，可以在复杂的空间中找到符合要求的解。
回溯的意思
回溯的意思是：上溯；向上推导；向内推导。
回溯是一个汉语词语，读音为huísù，意思是上溯；向上推导；向内推导。
上溯；向上推导。
回：还，走向原来的地方：如回家。
掉转：回首（回头看）。
回顾。
回眸。
回暧。
妙手回春。
溯：溯sù逆着水流的方向走：溯流而上。
相关造句
1、任它时光再怎么回溯，我们都再也回不去从前了。
2、安德烈公爵时而逐一回溯刚刚结束的战斗留下的印象，时而快活地想象他要传达的胜利消息必将造成的印象，一边回味总司令和战友们饯行的情景，安德烈公爵坐在邮车里飞速地行驶，他心中怀有那种感情，就像某人长久地等待终于开始获得朝思暮想的幸福。
3、遗失的美好，你想在重复中找回当时的心动，沿着轨迹回溯，路过的风景却全都已经不是当年的意味。
世界上只剩下两种人：像他的和不像他的。
递归和回溯
递归和回溯递归和回溯是计算机科学中重要的概念，它们被广泛地应用在算法和程序设计中。
递归（Recursion）是指一种程序设计技术，它将问题的解决方法分解为更小的子问题，依次解决子问题，最后将各个子问题的解合并起来得到问题的解。
而回溯（Backtracking）则是指一种试探性的搜索算法。
回溯算法通过递归依次试探问题的每一种可能解决办法，对于无解或者不符合要求的情况进行回溯，寻找新的解决方案。
本文将从定义、应用、优化三方面详细讲解递归和回溯算法。
一、递归的定义及应用1.1 递归的概念递归是一种程序设计技巧，它将一个问题分解为更小的子问题，问题的解决方法与子问题的解决方法相同，通过递归调用子问题的解决方法，最终得到问题的解决方法。
递归有两个必要条件：一是递归终止条件（递归出口）；二是递归调用（自调用）。
综上所述，递归程序必须具备的特点是具有递归出口和自调用两个基本属性。
1.2 递归的应用递归在程序设计中的应用非常广泛，常见的应用包括：树结构遍历、排序、搜索、字符串处理、图的深度优先搜索等等。
递归应用最为广泛的领域是算法和操作系统。
在算法领域中，递归是解决分治、动态规划等问题的主要思想，如快速排序、归并排序和斐波那契数列等都是基于递归设计的。
在操作系统中，递归的应用也比较广泛，比如UNIX系统中使用递归算法实现打印目录下所有文件的函数，Windows系统中使用递归算法查询注册表等。
1.3 实例分析：斐波那契数列斐波那契数列是指：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……。
其中第1项和第2项为1，从第3项开始，每一项为前两项的和。
斐波那契数列可以用递归方式写出如下代码：```c++ int fib(int n) { if (n <= 2){ return 1; } return fib(n - 1) + fib(n - 2); } ```该递归函数表示了斐波那契数列的定义，在递归函数中，首先判断n是否小于等于2，如果是，直接返回1；如果不是，继续递归调用fib(n-1)和fib(n-2)，最后将两个递归函数的返回结果相加作为函数的返回结果。
回溯是什么意思
回溯是什么意思回溯是一种算法方法，用于在搜索问题的解空间中找到所有的解或者满足特定条件的解。
它适用于广泛的问题领域，如组合优化、图论、密码学等。
回溯算法的核心思想是穷举搜索，通过尝试所有可能的选择并逐步构建解，如果当前的选择不能满足条件，那么就回溯到上一步并尝试其他的选择。
回溯算法通常使用递归来实现，它从问题的起始状态开始，逐步扩展状态空间，直到找到解或者无法继续扩展为止。
回溯算法的基本框架如下：1. 定义问题的解空间：确定问题的变量和约束条件，找到问题的起始状态。
2. 递归地搜索解空间：从起始状态开始，按照一定的搜索策略进行搜索，并根据约束条件判断当前状态是否满足要求。
3. 判断搜索的终止条件：当搜索到达终止状态时，判断当前状态是否是一个解，如果是解则保存，并回溯到上一步继续搜索，否则回溯到上一步并尝试其他的选择。
4. 撤销选择：在回溯到上一步之前，需要撤销当前的选择，恢复到上一步的状态，以便继续搜索其他的选择。
回溯算法的关键是如何定义问题的解空间和搜索策略。
对于问题的解空间，需要明确问题的变量和约束条件，确保每个变量的取值都在合法范围内。
对于搜索策略，可以采用深度优先搜索或者宽度优先搜索，根据实际情况选择合适的策略来进行搜索。
回溯算法的优点是可以找到所有的解或者满足特定条件的解，但是它的缺点是在搜索过程中需要维护大量的状态信息，占用了较大的内存空间。
此外，回溯算法的时间复杂度往往很高，因为需要穷举所有的可能性。
回溯算法在实际应用中有很多用途，例如解决八皇后问题、数独问题、迷宫问题等。
在搜索问题的解空间中，回溯算法可以通过剪枝操作来减少搜索的空间和时间复杂度，提高算法的性能。
此外，回溯算法还可以用于优化问题，通过定义合适的变量和约束条件，找到问题的最优解。
总之，回溯是一种穷举搜索算法，它通过尝试所有可能的选择并逐步构建解，是一种强大而灵活的算法方法。
在实际应用中，合理的定义问题的解空间和搜索策略，可以通过回溯算法解决各种复杂的问题。
回溯算法
三、回溯的一般步骤
回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的
上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算 法。
二、回溯的一般描述
procedure rbacktrack(k); begin if k > n then return else for each x(k)，如果x(k)∈t(x(1)…x(k-1))且 b(x(1)…x(k))=true do begin if x(1)…x(k)是一个解 then write(x(1)…x(k) else rbacktrack(k+1); end; end;
演示
一、回溯的概念
像走迷宫这样，遇到死路就回头的搜索思路
就叫做“回溯”。
从问题的某种可能情况出发，搜索所有能到
达的可能情况，然后以其中一种可能的情况 为新的出发点，继续向下探索，当所有可能 情况都探索过且都无法到达目标的时候，再 回退到上一个出发点，继续探索另一个可能 情况，这种不断回头寻找目标的方法称为 “回溯法”。
二、回溯的一般描述
可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：
对于已知的由n元组（x1，x2，…，xn）组成 的一个状态空间E={（x1，x2，…，xn） ∣xi∈Si ，i=1，2，…，n}，给定关于n元组 中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足 D的全部约束条件的所有n元组。其中Si是分 量xi的定义域，且 |Si| 有限，i=1，2，…， n。我们称E中满足D的全部约束条件的任一 n元组为问题P的一个解。
骑士遍历
骑士遍历问题的解空间是从左下角到右上角
node、扩展节点）。 从E-节点可移动到一个新节点。 如果能从当前的E-节点移动到一个新节点，那么这个新 节点将变成一个活节点和新的E-节点，旧的E-节点仍是 一个活节点。 如果不能移到一个新节点，当前的E-节点就“死”了 （即不再是一个活节点），那么便只能返回到最近被考 察的活节点（回溯），这个活节点变成了新的E-节点。 当我们已经找到了答案或者回溯尽了所有的活节点时， 搜索过程结束。
回溯算法原理和几个常用的算法实例
回溯算法思想：回溯（backtracking）是一种系统地搜索问题解答的方法。
为了实现回溯，首先需要为问题定义一个解空间（solution space），这个空间必须至少包含问题的一个解（可能是最优的）。
下一步是组织解空间以便它能被容易地搜索。
典型的组织方法是图(迷宫问题)或树(N皇后问题)。
一旦定义了解空间的组织方法，这个空间即可按深度优先的方法从开始节点进行搜索。
回溯方法的步骤如下：1) 定义一个解空间，它包含问题的解。
2) 用适于搜索的方式组织该空间。
3) 用深度优先法搜索该空间，利用限界函数避免移动到不可能产生解的子空间。
回溯算法的一个有趣的特性是在搜索执行的同时产生解空间。
在搜索期间的任何时刻，仅保留从开始节点到当前节点的路径。
因此，回溯算法的空间需求为O （从开始节点起最长路径的长度）。
这个特性非常重要，因为解空间的大小通常是最长路径长度的指数或阶乘。
所以如果要存储全部解空间的话，再多的空间也不够用。
算法应用：回溯算法的求解过程实质上是一个先序遍历一棵"状态树"的过程,只是这棵树不是遍历前预先建立的,而是隐含在遍历过程中。
(1) 幂集问题(组合问题)(参见《数据结构》（严蔚敏）)求含N个元素的集合的幂集。
如对于集合A={1,2,3},则A的幂集为p(A)={{1,2,3},{1,2},{1,3},{1},{2,3},{2},{3},Φ}幂集的每个元素是一个集合，它或是空集，或含集合A中的一个元素，或含A 中的两个元素，或者等于集合A。
反之，集合A中的每一个元素，它只有两种状态：属于幂集的元素集，或不属于幂集元素集。
则求幂集P（A）的元素的过程可看成是依次对集合A中元素进行“取”或“舍”的过程，并且可以用一棵状态树来表示。
求幂集元素的过程即为先序遍历这棵状态树的过程。
程序：#include <stdio.h>#include <malloc.h>#define ERROR 0#define OK 1typedef int ElemType;typedef struct LNode{ElemType data;struct LNode *next;} LNode,*LinkList;//初始化LinkList ListInit(){LNode *base=(LinkList)malloc(sizeof(LNode)); base->data=0;base->next=NULL;return base;}//插入一个元素int ListInsert(LinkList L,int i,ElemType e){LNode *p,*s;int j=0;p=(LNode *)L;while(p&&j<i-1){p=p->next;++j;}if(!p||j>i-1)return ERROR;s=(LNode *)malloc(sizeof(LNode));s->data=e;s->next=p->next;p->next=s;return OK;}//删除一个结点int ListDelete(LinkList &L,int i,ElemType &e) {LinkList p=L,q;int j=0;while(p->next&&j<i-1){p=p->next;++j;}if(!(p->next)||j>i-1)return ERROR;q=p->next;p->next=q->next;e=q->data;free(q);}//长度int ListLength(LinkList L){LinkList p=L;int j=0;if(!L)return ERROR;while(p->next){p=p->next;++j;}return j;}//查找一个元素int GetElem(LinkList L,int i,ElemType &e) {LNode *p=L;int j=0;while(p->next&&j<i){p=p->next;++j;}if(!p||j>i)return ERROR;e=p->data;return OK;}//输出链表元素void Display(LinkList L){LNode *p=L;if(!(p->next)){printf("NULL,");return;}elsep=p->next;while(p){printf("%d,",p->data);p=p->next;}}//求幂集void PowerSet(int i,LinkList A,LinkList &B) {int k=0;ElemType e=0;if(i>ListLength(A)){Display(B);printf("\n");}else{GetElem(A,i,e);k=ListLength(B);ListInsert(B,k+1,e);PowerSet(i+1,A,B);ListDelete(B,k+1,e);PowerSet(i+1,A,B);}}int main(){LinkList list=ListInit(); //初始化LinkList list2=ListInit();//初始化ListInsert(list,1,1);//插入元素ListInsert(list,2,2);ListInsert(list,3,3);Display(list);//输出元素printf("\npower set is:\n");PowerSet(1,list,list2);//求幂集}(2)迷宫问题(参见《数据结构》（严蔚敏）)计算机解迷宫时，通常用的是"试探和回溯"的方法，即从入口出发，顺某一方向向前探索，若能走通，则继续往前走；否则沿原路退回，换一个方向再继续探索，直至所有可能的通路都探索到为止,如果所有可能的通路都试探过，还是不能走到终点，那就说明该迷宫不存在从起点到终点的通道。
追溯和回溯的用法
追溯和回溯的用法追溯和回溯是两个常用的词语，它们经常被用于描述时间和历史。
追溯表示回到过去，追寻某个事件或事物的起源或历史。
回溯则表示回到过去，回顾某个事件或事物的历史或发展过程。
这两个词语的用法相似，但又有所不同。
本文将详细介绍追溯和回溯的用法。
一、追溯的用法1. 追溯历史追溯历史是追寻某个事件或事物的起源或历史。
例如，我们可以追溯人类的起源到几百万年前的非洲。
我们也可以追溯一个国家的历史，了解它的建国过程、政治制度、文化传承等。
2. 追溯原因追溯原因是指回溯某个事件或事物的发展过程，了解它的成因和原因。
例如，我们可以追溯一场战争的原因，了解它的起因和导致它爆发的各种因素。
我们也可以追溯一个社会问题的原因，例如贫富差距、环境污染等。
3. 追溯知识追溯知识是指回溯某个知识领域的发展历程，了解它的演变和发展趋势。
例如，我们可以追溯计算机科学的发展历程，了解计算机的起源、发展和未来发展趋势。
我们也可以追溯医学的发展历程，了解医学的起源、发展和未来发展趋势。
二、回溯的用法1. 回溯历史回溯历史是回顾某个事件或事物的历史或发展过程。
例如，我们可以回溯一场战争的历史，了解它的经过和影响。
我们也可以回溯一个国家的历史，了解它的政治、经济、文化等方面的变化。
2. 回溯原因回溯原因是回顾某个事件或事物的发展过程，了解它的成因和原因。
例如，我们可以回溯一场自然灾害的原因，了解它的起因和导致它发生的各种因素。
我们也可以回溯一个社会问题的原因，例如贫富差距、环境污染等。
3. 回溯知识回溯知识是回顾某个知识领域的历史或发展过程，了解它的演变和发展趋势。
例如，我们可以回溯计算机科学的发展历程，了解计算机的起源、发展和未来发展趋势。
我们也可以回溯医学的发展历程，了解医学的起源、发展和未来发展趋势。
三、追溯和回溯的区别追溯和回溯的用法相似，但也有所不同。
追溯强调的是寻找起源或成因，是一种向前的思考方式。
回溯则强调的是回顾历史或发展过程，是一种向后的思考方式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
练习题：
1、有2n个人排队购一件价为0.5元的商品，其中一半人拿一张1元人民币，另一 半人拿一张0.5元的人民币，要使售货员在售货中，不发生找钱困难，问这2n个 人应该如何排队？找出所有排队的方案。（售货员一开始就没有准备零钱）
算法如下： procedure try[p]; begin for r:=1 to 4 do if 新位置r符合条件 then begin 记录新位置到路径中； if 新位置r是出口 then begin if 当前路径最短 then 记录最短路径 end else try(p+1); 从路径删去当前位置； end end.
假设回溯算法是要找出问题的所有答案（x1, x2, x3, ……，xn）,对于每个答 案都有一个由根结点（开始位置）到终点（所要到达结点）的路径设为T；另外假 定存在一些规则设为B，则其回溯算法的一般形式是：
procedure backtrack(n) ； { 回溯算法的抽象模式 ，每个解在x(1..n)中 } begin k←1 while k>0 do begin if 还有没检验过的x(k) 且 x(k)是其中可能一个解 and 满足规则B then begin if 存在由根结点到x(k)是一条到达答案结点的路径 then 输出 x(1),x(2), ……x(k) 路径 ; k ← k+ 1; end; else k ← k-1; { 回溯到前一个位置 } end； end ；
回溯算法策略
在程序设计中，有许多问题没有现成的规律和公式，我们可以采取穷举 策略，在一个大的范围内找出问题的解。这里我们讨论的回溯法也是穷举思 路的一种。它的特点是不断试探和纠正错误，“向前走，碰壁回头”，就像老鼠 走迷宫一样，在若干次返回之后最终找到结果。 它的基本思路是：在含问题所有解的一棵状态树中，按照深度优先的策略， 从根出发进行搜索，每到达一个结点就判断以该结点为根的子树是否可能包含 问题的解，如果可以肯定没有，则放弃对孩子系统结点的搜索，向上一层结点 回溯，寻找没被搜索过的其它儿子结点，对新的一棵树进行同样的判断，可能 有解就进入继续搜索，直到找到解或所有结点均被搜索。
练习题： 1、邮票问题：共有M种邮票，面值分别为A1,A2,A3……,AM。信封上至多 能贴N张邮票。请问：共能贴出多少种不同的面额？ 2、从1、2、3……，n中任取m个自然数，有多少种取法。m，n由键盘输入。
回溯算法小结：
在实际生活中有些问题是不能用数学公式去解决的，它需要通过一个过程，此 过程要经过若干个步骤才能完成，每一个步骤又分为若干种可能；同时，为了完成 任务，还必须遵守一些规则，但这些规则无法用数学公式表示，对于这样一类问题， 一般采用搜索的方法来解决，回溯法就是搜索算法中的一种控制策略，它能够解决 许多搜索中问题。 该算法的基本思想方法是：在搜索过程中，由于求解失败，为了摆脱当前失败 状态，返回搜索步骤中的上一点，去寻求新的路径，以求得答案。 要返回搜索，那么前进中的某些状态必须保存，才能使得退回到某种状态后能 继续向前。保存状态的比较好的方法，采用一种叫“栈”的数据存放方式，即将前进 中的状态象“栈”一样一层层堆放，取出时从最上层一一取出。
在数据结构上，回溯过程中的每一个状态看成是一棵被称为状态空间树的 结点，该树上任意一个叶结点被称为问题的状态——一个解状态结点;而满足该 问题全部约束条件的叶结点是问题的一个回答状态，即某个解。 回溯是用来从根节点开始找到回答状态叶结点的一种方式，显然，当回溯 到根且根的儿子时，在找以一个回答结点后，停止对空间树的继续搜索。 从搜索过程可以看出，回溯法体现了“穷举”的方式，但它很好地利用了条 件对解状态的约束，免去了不必要的搜索，起到截枝的作用，使得回溯法找解 的效率要远远高于穷举法。 由于在搜索的每一个中间步骤中，面临的条件和向前搜索过程是相似的， 因此完全可以用递归来处理。前面我们形容说搜索过程就像老鼠走迷宫一样， 下面我们就此为例讲讲回溯法的基本过程。
〖算法流程〗 １、数据初始化。 ２、从n列开始摆放第n个皇后（因为这样便可以符合每一竖列一个皇后的要求）， 先测试当前位置(n,m)是否等于０（未被占领）: 如果是，摆放第n个皇后，并宣布占领(记得要横列竖列斜列一起来哦)，接着 进行递归； 如果不是，测试下一个位置(n,m+1)，但是如果当n<=8,m=8时，却发现此时 已经无法摆放时，便要进行回溯。 ３、当n>8时，便一一打印出结果。
j i
8
7 6 5 4 3 2 1 Q
Q Q Q Q Q Q 1 2 3 4 5 6 7 8
开始棋盘为空，对于第1个皇后（i=1）可以试j等于1到 8的所有8个位置，首先试j=1。第一个皇后占用位置(1,1)后， 它的水平方向，斜线方向都不能放其它皇后了，我们用斜线 把他们划掉。 第2个皇后（i=2）不能放在j=1,2的位置，试j=3。第2个 皇后占用位置（2,3），它的水平和斜线方向不能再放其它 皇后了。 第3个皇后（i=3）不能放在j=1,2,3,4的位置，试j=5位置 （3,5）。 第4个皇后可以试位置（4,2），第5个皇后试位置（5,4） 第6个皇后已没有空位置可放，这说明前面的皇后位置放得不 对，退回到前一个皇后5，释放它原来占用的位置（5,4）， 改试下一个空位置（5,8）。然后再前进到第6个皇后，此时仍 无空位置可放。退回到皇后5，它已无其它空位置可选，退回 到皇后4，释放它原来占用的位置（4,2），改试位置（4,7）。 再前进到第5个皇后……如此继续，直到为所有8个皇后都选择 了一个合适的位置，即可打印一个解。 然后从第8个皇后开始，改选下一个空位置，若它已无空位 置可选，则退回到第7个皇后。若它也无其它空位置可选，则继 续退，直到有另外的空位置可选的皇后。将它原来占用的位置释 放，改占新的位置，然后前进到下一个皇后，继续试，直到为 所有8个皇后又选出一组合适的位置，打印一个新的解。 按此办法，直到第1个皇后（i=1）的8个位置都试完，可以 得到全部92个解。
〖问题分析〗 这道题可以用递归、循环来做，分别一一测试每一种摆法，直到得出正确的 答案。主要解决以下几个问题： 1、冲突。包括行、列、两条对角线： （1）列：规定每一列放一个皇后，不会造成列上的冲突； （2）行：当第 i 行被某个皇后占领后，则同一行上的所有空格都不能再放皇后， 要把以 i 为下标的标记置为被占领状态； （3）对角线：对角线有两个方向。在同一对角线上的所有点（设下标为(i,j)）， 要么(i+j)是常数，要么(i-j)是常数。因此，当第 i 个皇后占领了第j列 后，要同时把以(i+j)、(i-j)为下标的标记置为被占领状态。 2、数据结构。 （1）解数组A。A[ i ]表示第i个皇后放置的列；范围：1..8 （2）行冲突标记数组B。B[ i ]=0表示第I行空闲；B[ i ]=1表示第I行被占领； 范围：1..8 （3）对角线冲突标记数组C、D。 C[I-J]=0表示第（I-J）条对角线空闲； C[I-J]=1表示第（I-J）条对角线被占领； 范围：-7..7 D[I+J]=0表示第（I+J）条对角线空闲； D[I+J]=1表示第（I+J）条对角线被占领； 范围：2..16
一般用数组实现栈的功能，存放前进中的状态。
回溯算法特点：
（1）搜索策略：符合递归算法，问题解决可以化为子问题，其子问题算法与原 问题相同，只是数据增大或减少； （2）控制策略：为了避免不必要穷举搜索，对在搜索过程中所遇到的失败，采 取从失败点返回到上一点，进行重新搜索，求得新的求解路径。 （3）数据结构：用数组保存搜索过程中的状态、路径。
递归应用五：八皇后问题 〖问题描述〗 八皇后问题是一个古老而著名的问题。该问题要求 在一个８×８的国际象棋 盘里放置８个皇后，使其不能互相攻击。即任意两个皇后都不处于同一行、同一列或 同斜线上。问有多少中摆法。
8 7 6 5 Q
Q Q Q
4
3 2 1 Q
Q
Q Q 1 2 3 4 5 6 7 8
为了解决这个问题，我们把棋盘的横坐标定为i，纵坐标定为j，i与j的值都是从 1到8。当某个皇后占了位置（i，j）时，在这个位置的垂直方向和斜线（两条斜线） 方向都不能再放其它皇后了。
回溯法框架 1. n皇后问题 procedure try(i:byte); var j:byte; begin if i=n+1 then begin print;exit;end; for j:=1 to n do if a[i] and b[j+i] and c[j-i] then begin x[i]:=j; a[j]:=false; b[j+i]:=false; c[j-i]:=false; try(i+1); a[j]:=true; b[i+j]:=true; c[j-i]:=true; end; end;
M 0 x
y
设当前坐标为(x，y)，则下一步的位置有四种可能的选择，我们依次尝试这 四种可能的选择。但对每一个可能的选择必须满足三个条件： （1）、该位置必须在范围（1<=x<=6,1<=y<=9）之内； （2）、该位置必须是通路即A[x,y]=0； （3）、该位置不在当前路径上。 其中（1）、（2）容易理解，（3）是为了防止原地打转或绕圈子。因此我 们在已走过的路径上作上标记，当走到某个位置后，四个方向都不能继续前进了， 这时我们必须舍弃当前位置，向前返回，在上一个位置搜索其它方向。这就意味 这当我们到达某一位置时，必须记录下该位置的搜索方向。用递归法编成时，由 于局部变量的私有性，编程十分方便。
算法： 1、初始化棋盘为空 2、为皇后1选择合适的位置
第i个皇后选择合适位置的过程： for j:=1 to 8 do if (I,j) 位置为空 then begin 占用位置(I,j) if i<8 then 为i+1个皇后选择合适位置 else 输出一个解 释放位置(I,j) end