复合函数的定义域函数表达式的求法
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个性化教学辅导教案
教案课
题
函数的单调性
教师姓
名
学生姓名××××上课日期2018.8.3
学科数学适用年级高一教材版本人教版A
学习目
标
1. 掌握用定义法求函数的单调性
2. 掌握函数最值的求法
重难点
重点：函数的单调性及其几何意义，函数的最大（小）值及其几何意义.
难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值.
课前检
查
作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议：
第5 讲复合函数的定义域函数表达式的求法
&
一.复合函数的定义域
1.复合函数的定义：
一般地：若
，又
，则函数
叫
的复合函数，其中
叫外层函数，
叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.
例如:
；复合函数
即把
里面的
换成
，
2.复合函数的定义域
函数
的定义域还是指
的取值范围，而不是
的取值范围.
已知
的定义域，求复合函数
的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若
的定义域为
，求出
中
的解
的范围，即为
的定义域。
已知复合函数
的定义域，求
的定义域
方法是：若
的定义域为
，则由
确定
的范围即为
的定义域
已知复合函数
的定义域，求
的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由
定义域求得
的定义域，再由
的定义域求得
的定义域。
已知
的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例1：已知
的定义域为
，求函数
的定义域.
解：由题意得
∵
的定义域为
所以函数
的定义域为
.
巩固练习：已知
的定义域为
，求
定义域。
解因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即
即
或
故
的定义域为
例2：若函数
的定义域为
，求函数
的定义域
解:由题意得
∵ 函数
的定义域为
所以函数
的定义域为：
巩固练习：已知
的定义域为
，求
的定义域.
例3：已知
的定义域为
，求
的定义域.
解由
的定义域为
得
，故
即得
定义域为
，从而得到
，所以
故得函数
的定义域为
巩固练习：已知
的定义域为
，求
的定义域.
二．求函数的解析式
求函数的解析式的常用方法有：
(1) 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法.
例1：设
是一次函数，且
，求
解：设
，则
巩固练习：已知
是二次函数，且满足
，求
.
(2) 配凑法：已知复合函数
的表达式，求
的解析式，
的表达式容易配成
的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数
的定义域不是原复合函数的定义域，而是
的值域.
例2: 已知
，求
的解析式
解：∵
，
巩固练习：
1. 已知
，求
的解析式.
2. 已知
，求
的解析式.
(3) 换元法：已知复合函数
的表达式时，还可以用换元法求
的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知
，求
解：令
，则
，
∵
巩固练习：已知
，求
的解析式.
(4) 构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例4 设
求
解: ∵
显然
将
换成
，得：
解
联立的方程组，得：
巩固练习：已知
，求
.
(5) 赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例5 已知：
，对于任意实数x,y，等式
恒成立，求
.
解∵对于任意实数x、y，等式
恒成立，
不妨令
，则有
再令
得函数解析式为：
课堂检测听课及知识掌握情况反馈：
_________________________________________________________. 测试题(累计不超过20分钟)_______道，成绩_______.
教学需要：加快□；保持□；放慢□；增加内容□
课后作业_____题；巩固复习____________________ ；预习布置