复合函数的定义域函数表达式的求法
高考数学知识点之复合函数
2019年高考数学学问点之复合函数在学习过程中，许多同学在遇到这样的问题时简单犯错误：例 f(x)的定义域为[2,3]，求f(x+1)的定义域答案原委是[1,2]还是[3,4]呢?许多同学会在这个问题上踌躇。
有些时候一些小问题弄不明白其实反映的是学问体系上的一个大缺漏。
在这个问题上踌躇说明同学对复合函数的定义还并没有理解透彻，因此顺着这样一条线索我们来一同复习一下复合函数相关的学问要点。
一、复合函数的概念从映射的角度来说，复合函数f(g(x))就是从一个集合D先通过对应关系f映射到集合A，再从A通过对应关系g映射到集合B 上。
其中x的定义域为集合D，f(g(x))的值域为集合B。
从函数的嵌套这一角度来说，就相当于从集合D中取一个x值，先算出g(x)的值再带入f()里头进行计算得到的结果。
实际出现的比较简单让人混淆的复合函数，其特征主要是f()括号内部类似x，却不是x。
例如f(-x)、f(x+1)等，其实都是复合函数。
请留意，只有f()括号内部是x，而不是其他值的时候，f(x)才不是复合函数，否则请一律以复合函数对待。
二、复合函数的定义域首先我们必需明确定义域这个概念指的是什么。
在这里，许多同学混淆了定义域和使对应关系f有意义的范围这两个概念。
定义域指的是自变量可以取值的范围。
而使对应关系f有意义的范围则代表f()那个括号里头可以代入的一切有意义的值，并没有对自变量作出要求。
例如f(x)=1/x，其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，而使对应关系f有意义的范围与之相同。
然而对于函数f(x+1)，其定义域应当是自变量可以取值的范围，而自变量x=-1时x+1=0，导致分母为0，因此x≠-1，故定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)，然而使对应关系f有意义的范围依旧是(-∞,0)∪(0,+∞)。
区分清晰这两点之后，我们便可以解决本文开头的问题。
题目所给对应关系f有意义的范围是[2,3]，而我们将f(x+1)看成复合函数f(g(x))，为使得f(g(x))有意义，g(x)∈[2,3]，于是解得x∈[1,2]。
复合函数定义域的常见求法
复合函数定义域的常见求法一、复合函数的概念假如y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。
注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，依照复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。
另外，在研究有关复合函数的咨询题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否那么如此的复合函数不存在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 能够拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即能够看成f ( u ) = u 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。
二、求复合函数的定义域：〔1〕假设f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,那么f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范畴，即为f [g ( x )]的定义域。
例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。
答案： [-1/2 ，0 ]例2、f ( x )的定义域为〔0，1〕，求f ( x 2)的定义域。
答案： [-1 ，1]〔2〕假设f [ g ( x ) ]的定义域为〔m , n 〕那么由m < x < n 确定出g ( x )的范畴即为f ( x )的定义域。
例3、函数f ( 2x + 1 )的定义域为〔0，1〕，求f ( x ) 的定义域。
答案： [ 1 ，3]〔3〕由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。
高中数学：求解复合函数定义域
高中数学：求解复合函数定义域
函数的定义域是函数的灵魂，是研究函数及应用函数解决问题的基础，处理函数问题必须树立“定义域优先”的数学意识，因此求函数的定义域是最关键的问题。
但对于求复合函数的定义域，大部分同学感到很棘手，下面着重谈谈复合函数定义域的求法。
一、已知的定义域，求的定义域
例1、已知函数的定义域为，求函数的定义域。
分析：函数的定义域是式子当中x的取值范围，确保两个函数中整体x，的取值范围相同。
解析：依题意有，
∴。
∴的定义域为。
说明：如果函数的定义域为A，则函数的定义域是使函数的的取值范围。
二、已知的定义域，求的定义域
例2、已知函数的定义域为，求的定义域。
解析：∵的定义域为，
∴，。
∴的定义域为。
说明：如果函数的定义域为A，则函数的定义域是函数的值域。
三、已知的定义域，求的定义域
例3、已知函数的定义域为，求的定义域。
分析：应由确定的范围，求出函数的定义域，进而再求的定义域，它是例1和例2的综合应用。
解析：因为的定义域是（，0），即其中的x 应满足，所以，的定义域为（1，2），所以函数应满足，于是有或，所以或，故原函数的定义域为。
说明：如果函数的定义域为A，则可得的值域为B，那么函数的定义域是使的的取值范围。
几种复合函数定义域的求法
几种复合函数定义域的求法配凑法是指先将关于变量x的表达式凑成整体的g(x)，再将g(x)替换为x，得到f(x)。
例如，对于2f(x-2)=x+2，可以将x-2凑成整体，得到2f(g(x))=x+2，其中g(x)=x-2，然后将g(x)替换为x，得到2f(x)=x+2，最终得到f(x)=(x+2)/2.换元法是指先设g(x)=t，解出x（用t表示x），然后将x （关于t的式子）代入f[g(x)]中消去x，得到f(t)，最后将t替换为x得到f(x)。
这种代换遵循同一函数的原则。
例如，对于f(x+1)=2x，可以设g(x)=x+1，得到f(g(x))=2(x-1)，然后将g(x)替换为x，得到f(x+1)=2x，最终得到f(x)=2(x-1)。
复合函数的定义是：若y=f(u)，且u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域有交集，则y=f[g(x)]是x的复合函数。
即将一个函数中的自变量替换成另一个函数得到的新函数。
例如，对于f(x)=3x+5和g(x)=x+1，复合函数f(g(x))即将f(x)中的x替换成g(x)，得到f(g(x))=3(x+1)+5=3x+8.函数f(x)和函数f(x+5)的定义域不相同，因为定义域是求x的取值范围，而x和x+5所属的范围相同，导致它们定义域的范围不同。
复合函数的定义域是复合函数y=f[g(x)]中x的取值范围。
x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为g(x)的值域。
f(g(x))与g(f(x))表示不同的复合函数。
设函数f(x)=2x+3，g(x)=3x-5，求f(g(x))和g(f(x))的复合函数的定义域。
对于f(g(x))，先求出g(x)的值域，即-5<x<inf，然后将其代入f(x)中得到f(g(x))=6x-7，因此f(g(x))的定义域为-5/6<x<inf。
对于g(f(x))，先求出f(x)的值域，即-inf<y<inf，然后将其代入g(x)中得到g(f(x))=6x+4，因此g(f(x))的定义域为-inf<x<inf。
复合函数定义域的常见求法
一、复合函数的概念如果y 是u 的函数的函数，，而u 是x 的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y 关于x 的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数复合函数，，u 叫做中叫做中间变量。
间变量。
间变量。
注意：复合函注意：复合函数并不是一数并不是一数并不是一类新的函数类新的函数类新的函数，它只是，它只是，它只是反映某些函反映某些函反映某些函数在结构方数在结构方数在结构方面的某种面的某种面的某种特点，因此特点，因此特点，因此，，根据复合函数根据复合函数结构，将它结构，将它结构，将它折成几个简折成几个简折成几个简单的函数单的函数单的函数时，应从外时，应从外时，应从外到里一层一到里一层一到里一层一层地拆，层地拆，层地拆，注意不要漏注意不要漏注意不要漏层。
层。
另外，在研究另外，在研究有关复合函有关复合函有关复合函数的问题时数的问题时数的问题时，要注意，要注意，要注意复合函数的复合函数的复合函数的存在条件，存在条件，存在条件，即当且仅当即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交的定义域的交集非空时，集非空时，集非空时，它们的复合它们的复合它们的复合函数才有函数才有函数才有意义，否则意义，否则意义，否则这样的复合这样的复合这样的复合函数不存函数不存函数不存在。
在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 可以拆成y = f ( u ) = u 2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u 2 2 与g ( x ) = x + 1 两个函数两个函数复合而成复合而成复合而成。
二、求复合函数的定义域：（1）若f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,则f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x 的范围，即为f [g ( x )]的定义域。
的定义域。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】1、复合函数的定义如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的 函数(())y f g x =叫做函数()y f u =（外函数）和()u g x =（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y 。
例如：函数212x y += 是由2u y =和21u x =+ 复合而成立。
说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
2．求有关复合函数的定义域① 已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域的方法：已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域。
实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即)(b a u ,∈，)()(b a x g ,∈。
通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。
② 已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域的方法：若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域。
实际上是已知直接变量x 的取值范围，即)(b a x ，∈。
先利用b x a <<求得)(x g 的范围，则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域。
3．求有关复合函数的解析式①已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。
②已知)]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法。
配凑法：就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换 成x 而得)(x f 。
复合函数的定义域和解析式
复合函数的定义域和解析式一、复习引入： ⑴已知20()2000x x f x x x ⎧>⎪==⎨⎪<⎩，，，，则(4)___[(3)]___f f f =-=，．⑵已知()f x 与()g x 分别由下表给出，那么((1))___((2))___,((3))___,((4))___f f f g g f g g ====，． ⑶已知函数2()1f x x=+，①求()(1)(1)f a f a f x ++，，； ②若函数()1g x x =+，求(())f g x ． 变题：已知函数xx f =)(，1)(2-=x x g ，求：①)(a f ；②(())f g x ；③(())f g x 的定义域；④))((x f g ．⑷已知函数()21[12]f x x x =-∈-，，，2()32[25]g x x x x =+∈，，，求[()]f g x .点评：2[25]32[12]x x x ∈⎧⎨+∈-⎩，，二、新授知识： 1、复合函数的定义设()u g x =是A 到B 的函数，()y f u =是'B 到'C 上的函数，且B 'B ⊆，当u取遍B 中的元素时，y 取遍C ，那么(())y f g x =就是A 到C 上的函数。
此函数称为由外函数()y f x =和内函数()u g x =复合而成的复合函数。
说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
例1．设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f ． ⑷若)(x f 的定义域为'M ，则复合函数))((x g f 中，M x g ∈)(．注意：)(x g 的值域'M M ⊆．例2．（课时练 2 例1）⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域； ⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域； ⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．点评：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的． 解答：⑴ 函数)21(x f -是由A 到B 上的函数x u 21-=与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的函数． 函数)(x f 的定义域是[0，1]，∴B=[0,1]，即函数x u 21-=的值域为[0，1]． ∴1210≤-≤x ， ∴021≤-≤-x ，即210≤≤x ，∴函数)21(x f -的定义域[0，21]．⑵ 函数)12(-x f 是由A 到B 上的函数12-=x u 与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的函数． )12(-x f 的定义域是[-1，1]，∴A=[-1,1]，即-11≤≤x ，∴1123≤-≤-x ,即12-=x u 的值域是[-3，1]， ∴)(x f y =的定义域是[-3，1]．点评：若已知)(x f 的定义域为A ，则)]([x g f 的定义域就是不等式A x g ∈)(的x 的集合；若已知)]([x g f 的定义域为A ，则)(x f 的定义域就是函数)(x g )(A x ∈的值域。
复合函数
复合函数【学习要求】理解复合函数的内外层概念，能求复合函数定义域、值域，分析复合函数单调性。
【知识归纳】1、复合函数的构成及其定义域、值域取决于内层函数的值域与外层函数的定义域关系。
2、通常用图象法分析复合函数。
3、复合函数内层函数与外层函数在定义域内单调性相同，则函数是增函数，单调性不同；则函数是减函数。
增增、减减为增；增减、减增才减。
【例题解析】例1、求函数223222+++++=x x x x y 的定义域和值域。
解：()1222222++++++=x x x x y ，设12++=u u y ， 则v u =，222++=x x v 。
由函数定义域要求0222≥++x x ，即()0112≥++x ，显然，R x ∈，∴222++=x x v 的值域),1[∞+∈v 。
作v u =，),1[∞+∈v 图象，可知),1[∞+∈u 。
又作函数12++=u u y ，),1[∞+∈u 图象，可知函数值域),3[∞+∈y 。
例2、求函数3224+-=x x y 的单调区间。
解析：设322+-=u u y ，2x u =。
函数2x u =的值域为∈u [0，+∞），作322+-=u u y ，∈u [0，+∞）图象。
由于2x u =在（–∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，∴分类讨论。
①当∈u [0，1]，322+-=u u y 单调递减，而2x u =的定义域为[–1，1]。
又分两类：∵2x u =当∈x [–1，0]时单调递减，∴复合函数单调递增；∵2x u =当∈x [0，1]时单调递增，∴复合函数单调递减。
②当∈u [1，+∞]，322+-=u u y 单调递增，而2x u =的定义域为[–∞，–1]∪[1，+∞）。
当2x u =在∈x [–∞，–1]时单调递减，∴复合函数单调递减；∵2x u =当∈x [1，+∞]时单调递增，∴复合函数单调递增。
综上所述：在∈x [–∞，–1]时3224+-=x x y 单调递减；当∈x [–1，0]时3224+-=x x y 单调递增；当∈x [0，1]时3224+-=x x y 单调递减；当∈x [1，+∞]时3224+-=x x y 单调递增。
复合函数定义域,外定内值同一曲——复合函数定义域的求法.doc
复合函数定义域，外定内值同一曲——复合
函数定义域的求法
复合函数求定义域的问题，是很多学困生的难点。
其实，只要认识了复合函数，以及内函数、外函数，知道了它们之间的关系，处理起来就没有那么棘手了！那么，复合函数的内外函数到底是啥关系呢？
我们来仔细研究一下复合函数的结构：
通过上面的例子，我们知道啦，外函数的自变量其实就是内函数的函数值，所以我们说：
外函数的定义域是内函数的值域。
不罗嗦了，上例题：【例题】
关键点：做题过程中，找到外函数的定义域是本类题目的重中之重，它起到了承上启下的作用，时刻铭记“外函数的定义域是内函数的值域”这句话，细细体味它的意思。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】1、复合函数的定义如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的 函数(())y f g x =叫做函数()y f u =（外函数）和()u g x =（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y 。
例如：函数212x y += 是由2u y =和21u x =+ 复合而成立。
说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
2．求有关复合函数的定义域① 已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域的方法：已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域。
实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即)(b a u ,∈，)()(b a x g ,∈。
通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。
② 已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域的方法：若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域。
实际上是已知直接变量x 的取值范围，即)(b a x ，∈。
先利用b x a <<求得)(x g 的范围，则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域。
3．求有关复合函数的解析式①已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。
②已知)]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法。
配凑法：就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换 成x 而得)(x f 。
复合函数定义域三种形式解法
复合函数定义域三种形式解法复合函数的定义域是指使得复合函数有意义的所有可能的输入值的集合。
若已知两个函数f(x)和g(x)，要求它们的复合函数f(g(x))的定义域，可以采用以下三种形式的解法。
解法一：通过视觉法确定定义域这种方法适用于简单的函数组合，可以通过观察得到定义域的范围。
例如，如果已知f(x)=√x，g(x)=2x，则f(g(x))=f(2x)=√(2x)。
根据平方根函数的定义域为非负实数，可以确定复合函数的定义域为所有使得2x≥0的实数，即x≥0。
因此，定义域为[0,+∞)。
解法二：通过函数图像确定定义域这种方法适用于已知函数的图像，并且函数图像比较简单的情况。
例如，如果已知f(x)=1/x，g(x)=x+2，则f(g(x))=f(x+2)=1/(x+2)。
根据1/x函数的图像，可以确定其定义域为除了x=0之外的所有实数。
将所有使得x+2≠0的实数作为复合函数的输入，即x≠-2、因此，定义域为R-{-2}，其中R表示实数集合。
解法三：通过函数定义式确定定义域这种方法适用于通过分析函数定义式来确定定义域的复杂情况。
例如，如果已知f(x)=√(4-x)和g(x)=(x-1)/(x-5)，则f(g(x))=√(4-g(x))=√(4-(x-1)/(x-5))。
为了使得复合函数有意义，需要满足两个条件：1）分母不能为0；2）被开方的表达式必须大于等于0。
首先，对于分母不能为0的条件，需要排除使得x-5=0的值，即x≠5、然后，考虑被开方的表达式必须大于等于0的条件，即4-(x-1)/(x-5)≥0。
通过解不等式可以确定这个条件的范围。
将分式转化为通分形式，得到(4(x-5)-(x-1))/(x-5)≥0。
化简不等式，得到(3x-9)/(x-5)≥0。
根据不等式的性质，需要分析函数在各个区间上的正负性来确定不等式的解集。
当x<5时，分子分母同号，即(3x-9)/(x-5)>0，解为(-∞,5)；当x>5时，分子分母异号，即(3x-9)/(x-5)<0，解为(5,+∞)；当x=5时，分子为0，则这个点需要额外讨论。
复合函数的定义域
复合函数的定义域作者：王霞来源：《新课程·上旬》 2013年第22期一、复合函数的定义一般地：若y=f（u），又u=g（x），且g（x）值域与f（u）定义域的交集不空，则函数y=f［g（x）］叫x的复合函数，其中y=f（u）叫外层函数，u=g（x）叫内层函数。
简言之，复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数。
例如：设函数f（x）=2x+3g（x）=3x-5，对于函数f[g（x）]，若f（x）的定义域为M，则在复合函数f［g（x）］中，g（x）∈M。
复合函数的定义域，就是复合函数y=f［g（x）］中x的取值范围。
x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为g（x）的值域。
二、复合函数的定义域求法例1.已知f（x）的定义域为（-3，5］，求函数f（3x-2）的定义域。
解：由题意得∵-3＜x≤5∴-3＜3x-2≤5-1＜3x≤7例2.已知函数f（x）定义域为是［a，b］，且a+b＞0,求函数h（x）=f（x+m）+f（x-m）（m＞0）的定义域。
∵m＞0，∴a-m＜a+mb-m＜b+m又a-m＜b+m解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的。
若已知f（x）的定义域为A，则f［g（x）］的定义域就是不等式 g（x）∈A的x的集合；若已知f［g（x）］的定义域为A，则f（x）的定义域就是函数g（x）（x∈A）的值域。
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若 f（x）的定义域为x∈（a，b），求出f［g（x）］中a＜g（x）＜b的解x的范围，即为f［g（x）］的定义域。
若f［g（x）］的定义域为x∈（a，b），则由a＜x＜b确定g（x）的范围即为f（x）的定义域。
我们可以得到此类解法为：可先由f［g（x）］定义域求得f（x）的定义域，再由f（x）的定义域求得f［g（x）］的定义域。
高一数学必修1复合函数定义域的求法
解:
由y
k
x2
kx 7 4kx
3
的定义域为一切实数, 可知
分母kx2 4kx 3 0对x R恒成立
(1)当K=0时, 3≠0成立
(2)当K 0时 : 0,解得: 0 k 3 4
综上(1),(2)知,当0 k 3 时 4
y
Байду номын сангаас
kx 7 的定义域是一切实数 kx2 4kx 3
复合函数求定义域的几种题型：
题型(一):已知f (x)的定义域,求f [g(x)]的定义域
例1.若f (x)的定义域是[0,2],求f (2x 1)的定义域
解: 由题意知:
0 2x 1 2
1 x 3
2
2
故 : f (2x 1)的定义域是{x 1 x 3}
2
2
练习:若f (x)的定义域是0,2,求f (x2)的定义域
1.已知函数f (x)的定义域是[2, 2]，求y f x 的定义域
题型(二):已知f g x的定义域,求f (x)的定义域
例2:已知f 2x 1的定义域(1,5],求f (x)的定义域
解： 由题意知:
1 x 5
3 2x 1 9
f (x)的定义域为 3,9
练习: 若函数 y ax2 ax 1 的定义域是R，
求实数a 的取值范围。
练习: 若函数 y ax2 ax 1 的定义域是R，
求实数a 的取值范围。
解:∵定义域是R, ax2 ax 1 0恒成立，
当 a 0 时,显然适合题意.
当
a
0
时
高考数学复合函数知识点归纳
高考数学复合函数知识点归纳不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当Mx∩Du≠?时，二者才可以构成一个复合函数。
下面是小编为大家精心推荐数学复合函数知识点总结，希望能够对您有所帮助。
高考数学复合函数知识点归纳1.复合函数定义域若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
求函数的定义域主要应考虑以下几点：⑴当为整式或奇次根式时，R的值域;⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0(即≥0);⑶当为分式时，分母不为0;当分母是偶次根式时，被开方数大于0;⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0(如，中)。
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。
⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。
⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。
⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。
⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
注：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为T1_2,任一周期可表示为k_1_2(k属于R+)2.复合函数单调性依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增;减+减=增;增+减=减;减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
⑴求复合函数的定义域;⑵将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);⑶判断每个常见函数的单调性;⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围;⑸求出复合函数的单调性。
三角函数诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”。
复合函数
复合函数一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A⊇B，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：设函数f x()的定义域为D，即x D∈，所以f的作用范围为D，又f对g x()作用，作用范围不变，所以D∈，E(，解得x Eg∈x)为[]f g x()的定义域。
例1、⑴若函数的定义域是[0，1]，求的定义域；⑵若的定义域是[-1，1]，求函数的定义域；⑶已知定义域是，求定义域．点评：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的．解答：解：⑴函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．函数的定义域是[0，1]，∴B=[0,1]，即函数的值域为[0，1]．∴，∴，即，∴函数的定义域[0，]．⑵函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．的定义域是[-1，1]，∴A=[-1,1]，即-1，∴,即的值域是[-3，1]，∴的定义域是[-3，1]．点评：若已知的定义域为，则的定义域就是不等式的的集合；若已知的定义域为，则的定义域就是函数的值域。
⑶函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数．的定义域是[-4，5),∴A=[-4,5)即，∴即的值域B=[-1，8）又是由到上的函数与B到C上的函数复合而成的函数，而,从而的值域∴∴∴∴的定义域是[1，）．例2．已知函数定义域是（a,b），求的定义域．解：由题，，，当，即时，不表示函数；当，即时，表示函数，其定义域为．说明：①已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：已知的定义域为，求的定义域。
实际上是已知中间变量的的取值范围，即，。
通过解不等式求得的范围，即为的定义域。
②已知的定义域为(a,b)，求的定义域的方法：若已知的定义域为，求的定义域。
实际上是已知直接变量的取值范围，即。
先利用求得的范围，则的范围即是的定义域。
复合函数的定义域值域
复合函数的定义域值域复合函数的定义域和值域是数学中的一个重要概念。
在学习复合函数时，理解它们的定义域和值域是极为关键的。
下面，让我们来深入探讨一下复合函数的定义域和值域。
一、复合函数复合函数是由两个已知的函数所组成的。
设f(x)和g(x)是两个函数，复合函数f(g(x))指将g(x)的输出结果作为f(x)的输入，即f(g(x))=f(g(x))。
二、复合函数定义域复合函数的定义域是指输入自变量的集合，也就是使得f(g(x))有意义的所有x的集合。
对于复合函数f(g(x))，当x属于g(x)的定义域，且g(x)的输出属于f(x)的定义域时，才有f(g(x))有意义，此时x属于f(g(x))的定义域。
示例如下：设f(x)=√x，g(x)=x+3，则复合函数f(g(x))=√(x+3)。
对于复合函数f(g(x))，要使得f(g(x))有意义，有以下两个条件：1. x+3的值不小于0，因为函数√x的定义域是[0,+∞)，所以x+3≥0，即x≥-3。
2. x+3的值在√x的定义域范围内。
由于√x的定义域是[0,+∞)，即x≥0，所以x+3≥0，且当x≥0时，x+3也属于√x的定义域范围内，所以此时f(g(x))的定义域为[-3,+∞)。
三、复合函数值域复合函数的值域是指输出因变量的集合，也就是所有f(g(x))的值构成的集合。
我们需要找到g(x)的值域和f(x)的值域，然后求它们的交集。
示例如下：设f(x)=√x，g(x)=x+3，则复合函数f(g(x))=√(x+3)。
1、由于g(x)为一个一次函数，它的值域是实数集。
2、√x的值域是[0,+∞)。
3、f(g(x))的值域是[x+3≥0]∩[0,+∞)=[3,+∞)。
因此，由函数g(x)和f(x)组成的复合函数f(g(x))的值域为[3,+∞)。
综上，复合函数的定义域和值域对我们深入理解复合函数是至关重要的。
如果我们能够熟练掌握复合函数的定义域和值域的求解方法，就能更好地解决有关复合函数的问题。
2.13-2抽象函数(复合函数)定义域的求法讲义
抽象函数的定义域抽象函数的定义：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。
复合函数的概念：设y=f(u ）的定义域为Du ，值域为Mu ，函数u=g(x ）的定义域为Dx ，值域为Mx,那么对于Dx 内的任意一个x 经过u ；有唯一确定的y 值与之对应，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f[g(x)]，这种函数称为复合函数(composite function)，其中x 称为自变量,u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。
总结解题模板1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤．故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．变式训练：若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。
复合函数定义域的求法
为 ［ ，］ Ｏ１．
‘ ．
．
‘
．
．
１ 一２ ≤０ 即 ０ ≤ ｘ ， ≤ ≤÷ ，
厶
１
注 ： １ 复合 函数 的定 义域 ， （） 就是 复 合 函 数
一厂 ｇ（ ） 中 的取值 范 围． （ ｚ） （） ２ 由 一厂（ ） “ 的定 义 域 是 Ｂ ， 即 的作 用范 围是 Ｂ ， 当 对 ｇ（ ） 生作 用 时 ， ｚ发 作用 范
的 ｚ 的集合 ．
围不 变 ， 以 ｇ ） 即 ／ 的作 用对 象 可 以 所 （ ∈Ｂ ， 、
改 变 ， 厂的作用 范 围始终不 变． 但 （ ） （ （ ） ｇ（ ） 表 示 不 同 的复 合 ３ ＿ ｇ ） 与 厂 厂（ ）
函数．
（） ２ 已知 ｆ ｇ Ｘ ］ 定 义域 ， ｆ（ 的定 Ｆ （ ）的 求 ）
的有 下面 三种类 型 ：
（） １ 已知 ｆ ） （ 的定 义 域 ， ｆ ｇ（ ］ 定 求 Ｆ ） 的
义 域
解
／（ —２ ） ’ ３ ｘ 的定 义域为 ［ １ ２ ， 一 ，］
即 ｚ 一 １２． Ｅ［ ，］ 由此 得 ３ ｚ∈［ ， ］ ～２ 一１ ５ ， 所以 ＿ 厂的作用 范 围为［ ，］ 一１ ５ ．
题 目 已 知 函 数 ，（ ） 一 ＋ ａ 。 ｂ 一 ｚ ＋ ｘ＋
Ｃ在 区 间 （ ｃ ０ 上 为 减 函 数 ， ０， ） 为 增 函 一 ， ） ｏ， （ １ 上
又－ 厂对 作用 ， 作用 范 围不变 ，
例 １ 若 函数 ． ｚ 的定 义域 是 ［ ， ］ 求 厂 ） （ ０１ ，
厂 １ ２ ） 定 义域． （— ｘ 的
分析
复合函数的定义域函数表达式的求法
个性化教学辅导教案教案课题函数的单调性教师姓名学生姓名××××上课日期2018.8.3 学科数学适用年级高一教材版本人教版 A1.掌握用定义法求函数的单调性学习目标2.掌握函数最值的求法重点：函数的单调性及其几何意义，函数的最大（小）值及其几何意义.重难点难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值. 课前检查□□□□作业完成情况：优良中差建议：第 5 讲复合函数的定义域函数表达式的求法&一.复合函数的定义域1.复合函数的定义：一般地：若 y f (u) ，又 u g (x) ，则函数 y f [ g( x)] 叫 x 的复合函数，其中 y f (u) 叫外层函数， u g (x)叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如 : f( x) 3x 5, g( x) x2 1 ；复合函数 f (g( x)) 即把 f (x) 里面的 x 换成g( x) ，f (g(x)) 3g (x) 5 3(x21) 5 3x282. 复合函数的定义域函数 f ( g( x)) 的定义域还是指x 的取值范围，而不是g (x) 的取值范围 .①已知 f (x) 的定义域，求复合函数 f [ g x ] 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若 f ( x) 的定义域为x a, b ，求出 f [ g( x)] 中 a g( x) b 的解x 的范围，即为 f [ g( x)] 的定义域。
第1页共1页② 已知复合函数 f [ g x ] 的定义域，求 f ( x) 的定义域方法是：若 f [ g x ] 的定义域为 x a,b ，则由 a x b 确定 g( x) 的范围即为 f (x) 的定义域③ 已知复合函数 f [ g( x)] 的定义域，求 f [ h( x)] 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由 f [ g x ] 定义域求得 f x 的定义域，再由 f x 的定义域求得 f [ h x ] 的定义域。
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个性化教学辅导教案
教案课
题
函数的单调性
教师姓
名
学生姓名××××上课日期2018.8.3
学科数学适用年级高一教材版本人教版A
学习目
标
1. 掌握用定义法求函数的单调性
2. 掌握函数最值的求法
重难点
重点：函数的单调性及其几何意义，函数的最大（小）值及其几何意义.
难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大（小）值.
课前检
查
作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议：
第5 讲复合函数的定义域函数表达式的求法
&
一.复合函数的定义域
1.复合函数的定义：
一般地：若
，又
，则函数
叫
的复合函数，其中
叫外层函数，
叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.
例如:
；复合函数
即把
里面的
换成
，
2.复合函数的定义域
函数
的定义域还是指
的取值范围，而不是
的取值范围.
已知
的定义域，求复合函数
的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若
的定义域为
，求出
中
的解
的范围，即为
的定义域。
已知复合函数
的定义域，求
的定义域
方法是：若
的定义域为
，则由
确定
的范围即为
的定义域
已知复合函数
的定义域，求
的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由
定义域求得
的定义域，再由
的定义域求得
的定义域。
已知
的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例1：已知
的定义域为
，求函数
的定义域.
解：由题意得
∵
的定义域为
所以函数
的定义域为
.
巩固练习：已知
的定义域为
，求
定义域。
解因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即
即
或
故
的定义域为
例2：若函数
的定义域为
，求函数
的定义域
解:由题意得
∵ 函数
的定义域为
所以函数
的定义域为：
巩固练习：已知
的定义域为
，求
的定义域.
例3：已知
的定义域为
，求
的定义域.
解由
的定义域为
得
，故
即得
定义域为
，从而得到
，所以
故得函数
的定义域为
巩固练习：已知
的定义域为
，求
的定义域.
二．求函数的解析式
求函数的解析式的常用方法有：
(1) 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法.
例1：设
是一次函数，且
，求
解：设
，则
巩固练习：已知
是二次函数，且满足
，求
.
(2) 配凑法：已知复合函数
的表达式，求
的解析式，
的表达式容易配成
的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数
的定义域不是原复合函数的定义域，而是
的值域.
例2: 已知
，求
的解析式
解：∵
，
巩固练习：
1. 已知
，求
的解析式.
2. 已知
，求
的解析式.
(3) 换元法：已知复合函数
的表达式时，还可以用换元法求
的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知
，求
解：令
，则
，
∵
巩固练习：已知
，求
的解析式.
(4) 构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例4 设
求
解: ∵
显然
将
换成
，得：
解
联立的方程组，得：
巩固练习：已知
，求
.
(5) 赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例5 已知：
，对于任意实数x,y，等式
恒成立，求
.
解∵对于任意实数x、y，等式
恒成立，
不妨令
，则有
再令
得函数解析式为：
课堂检测听课及知识掌握情况反馈：
_________________________________________________________. 测试题(累计不超过20分钟)_______道，成绩_______.
教学需要：加快□；保持□；放慢□；增加内容□
课后作业_____题；巩固复习____________________ ；预习布置。