数学课件 多元函数最值问题
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多元函数极值与最值课件
x4 y6x2
z ( 4, 2) 64
y
x y6
D
o
x
所以在 D 的边界上 , max z 0 , min z z ( 4, 2) 64 .
与 z (P) z ( 2, 1) 4 相比较 , 得 : z ( 4, 2) 64 为最小值 , z ( 2, 1) 4 为最大值 .
三、条件极值
A<0 时取极大值;
则: 1) 当AC B2 0时, 具有极值 A>0 时取极小值. 2) 当AC B2 0时, 没有极值. 3) 当AC B2 0时, 不能确定 , 需另行讨论.
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例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
fxx ( x, y) 6x 6, fxy ( x, y) 0, f yy ( x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
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在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
y
在点 (0,0) 无极值.
y xx y
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2、驻点
使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点
f x ( x0 , y0 ) 0
fy(
x0 ,
y0 )
0
( x0 , y0 ) 为驻点
注 驻点 意
极值点
如 z x y 点 (0 , 0) 是驻点但不是极值点
如
z ( 4, 2) 64
y
x y6
D
o
x
所以在 D 的边界上 , max z 0 , min z z ( 4, 2) 64 .
与 z (P) z ( 2, 1) 4 相比较 , 得 : z ( 4, 2) 64 为最小值 , z ( 2, 1) 4 为最大值 .
三、条件极值
A<0 时取极大值;
则: 1) 当AC B2 0时, 具有极值 A>0 时取极小值. 2) 当AC B2 0时, 没有极值. 3) 当AC B2 0时, 不能确定 , 需另行讨论.
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例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
fxx ( x, y) 6x 6, fxy ( x, y) 0, f yy ( x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
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在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
y
在点 (0,0) 无极值.
y xx y
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2、驻点
使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点
f x ( x0 , y0 ) 0
fy(
x0 ,
y0 )
0
( x0 , y0 ) 为驻点
注 驻点 意
极值点
如 z x y 点 (0 , 0) 是驻点但不是极值点
如
高等数学：8-5多元函数的极值与最值
y
y2
解得
x y 3 va b ,
c
即驻点为 3
va b, 3
c
va
c
b
.
z3
c2v
a b2
在定义域内有唯一的极值可疑点，且该实际问题确实有 最小值,所以这个极值可疑点就是函数的最小值点,
答：当长、宽均为 3
va b
c
，高为
3
c2v
a b2
时，造价最低。
8
三、条件极值 1. 无条件极值 :求函数在其定义域内的极值(对自变 量没有任何限制)称为无条件极值. 2. 条件极值: 对函数的自变量有附加条件的极值 条件极值
f x, y f x0 , y0 则称该函数在点 Px0 , y0 处有极小值 f x0 , y0 .
极大值与极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点。
如,函数 z 3x2 4 y2 在点0,0处取得极小值.
z 2 x 2 y2 在点0,0 处取得极大值.
再如,函数 z xy, 在点0,0 处既不取得极小值，也不取得极大值. 1
2. 极值的判别定理
定理1(必要条件) 设函数z f x , y 在点 x0 , y0 处
偏导数存在 ,且在点 x0 , y0 有极值,则
fx ' x0 , y0 0, fy ' x0 , y0 0.
证: 不妨设 z f x , y在点x0 , y0 处取得极大值，则 f x, y f x0 , y0
(3). 在点 1,0 处, B2 AC 72 0, 又A 0, 所以函数在
1,0 处有极小值 f 1,0 5.
在点 1,2处, B2 AC 72 0, 函数在 1,2不取得极值.
大学课程《高等数学》PPT课件：6-6 多元函数的极值及其求法
则称函数 z f x, y 在点 x0, y0 处有极大值；
若总有 f x, y f x0, y0 ，则称函数 z f x, y
在点 x0, y0 处有最小值
函数的极大值、极小值统称为极值，使函数取得 极值的点称为极值点.
例1 函数 z xy 在点 0,0处不取得极值， 因为在点 0, 0 处的函数值为零，而在点 0, 0
定理1可描述为有偏导的极值点必为驻点，类似 于一元函数的情形.
由定理1可知，虽然没有完全解决求极值的问题，
但它给出一条找极值点的途径，
即在偏导数存在的前提下只要解方程组
f f
x y
x, x,
y y
0 0
求得解 x1, y1 ， x2, y2 ， ， xn, yn ，
那么极值点必包含在其中.
例4 求函数 f x, y x3 y3 3xy 的极值.
解 为求驻点,解联立方程组
f f
x y
x, x,
y y
3x2 3y2
3y 3x
0 0
得到两个驻点为 0,0，1,1
再求出二阶偏导函数 fxx 6x，fxy 3，f yy 6 y
在 0, 0 点处有：A 0，B 3，C 0
若有，加以判别是否为极值点.
例3 考察 z x2 y2 是否有极值. 解 因为 z x , z y 在 x 0, y 0
x x2 y2 y x2 y2
处偏导数不存在，但是对任意点 x, y 0,0， 均有 f x, y f 0,0 0，所以函数在 0,0 点取得极大值.
从上例可知，在考虑函数的极值问题时，除了考 虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那 么对这些点也应当考虑.
因为 AC B2 9 0，
若总有 f x, y f x0, y0 ，则称函数 z f x, y
在点 x0, y0 处有最小值
函数的极大值、极小值统称为极值，使函数取得 极值的点称为极值点.
例1 函数 z xy 在点 0,0处不取得极值， 因为在点 0, 0 处的函数值为零，而在点 0, 0
定理1可描述为有偏导的极值点必为驻点，类似 于一元函数的情形.
由定理1可知，虽然没有完全解决求极值的问题，
但它给出一条找极值点的途径，
即在偏导数存在的前提下只要解方程组
f f
x y
x, x,
y y
0 0
求得解 x1, y1 ， x2, y2 ， ， xn, yn ，
那么极值点必包含在其中.
例4 求函数 f x, y x3 y3 3xy 的极值.
解 为求驻点,解联立方程组
f f
x y
x, x,
y y
3x2 3y2
3y 3x
0 0
得到两个驻点为 0,0，1,1
再求出二阶偏导函数 fxx 6x，fxy 3，f yy 6 y
在 0, 0 点处有：A 0，B 3，C 0
若有，加以判别是否为极值点.
例3 考察 z x2 y2 是否有极值. 解 因为 z x , z y 在 x 0, y 0
x x2 y2 y x2 y2
处偏导数不存在，但是对任意点 x, y 0,0， 均有 f x, y f 0,0 0，所以函数在 0,0 点取得极大值.
从上例可知，在考虑函数的极值问题时，除了考 虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那 么对这些点也应当考虑.
因为 AC B2 9 0，
8-8多元函数极值和最值-PPT文档资料
z
O
y
x
回忆
一元函数极值的必要条件
如果函数 f(x)在x0处可导,且f(x)在x0 处取得极值, 那么 f(x0)0.
一元函数极值(第二)充分条件
如f果 (x0)0,f ( x0 ) 0 ( 0),则f (x0)为
极大值 (极小值).
二元函数极值的必要条件
定理 设 zf(x,y)在 (x0 点 ,y0)具有 偏导数, 且在(x点 0,y0)处有极值, 则
函数的极大值与极小值统称为 极值. 函数的极大值点与极小值点统称为 极值点.
z
例 函数 z3x24y2 椭圆抛物面
在(0,0)点取极小值. (也是最小值). O y
xz
例 函数 z x2y2 下半圆锥面
O
x
y
在(0,0)点取极大值. (也是最大值).
例 函数 zxy 马鞍面
在(0,0)点无极值.
8.8 多元函数的极值与最值
8.8.1 多元函数的极值 8.8.2 多元函数的条件极值 8.8.3 Lagrange(拉格朗日)乘数法 8.8.4 多元函数的最值及其应用
8.8.1 多元函数的极值(extremum)
极大值和极小值的定义 和一元函数一样，极值是局部概念
定义 设在点P0的某个邻域, f(P)f(P0),则称 点P0为函数的极大值点.f (P0) 为极大值(relative maximum). 类似可定义极小值点和极小值(relative minimum).
③定出 ACB2的符号, 判定是否是极值.
例 求 f( x 函 ,y ) 3 a 数 x x 3 y 3 ( a 0 )的极值.
解
①解方程组
fx fy
高等数学(下) 第3版课件-多元函数的极值
x2 2a3
y2
0, 0,
因为 x 0, y 0，解方程组，得 x y 3 2a ，代
入 z a3 中，得 z 3 2 a ，于是驻点惟一，所以当长方
xy
2
体容器的长与宽取 3
3
2am ，高取
2 am时，所需的材料
2
最省．
例 7 某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分别为 10 元与 9 元，生产 x单位的产品甲与 y 单位的产品乙总费用 是400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2 )元,求取得最大利润时，
大值与极小值统称为极值，使函数获得极值的点 P0(x0, y0) 称 为极值点．
例 1 函数 f (x, y) x2 y2 在点(0,0) 取得极小值 0 ，因
为当 x 0, y 0时: f (x, y) x2 y2 0 f (0, 0) ， 这一函数的图形就是下页左图中的曲面，在此曲面上 (0, 0, 0)
是极值点，需另行判断.
例 4 求函数 z x3 y3 3xy的极值．
解 设 f (x, y) x3 y3 3xy．
则 fx (x, y) 3x2 3y ，
f y (x, y) 3y2 3x,
解方程组
3x2 3y 0,
3 y
2
3x
0,
得函数的驻点为(0,0) ，(1,1) ．
两种产品的产量各多少?
解 设 L(x, y)表示产品甲与乙分别生产 x与 y 单位
时所得的总利润．因为总利润等于总收入减去总费用，所以
L(x, y) (10x 9 y) [400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2 )]
8x 6 y 0.01(3x2 xy 3y2 ) 400,
Fx Fy
y2
0, 0,
因为 x 0, y 0，解方程组，得 x y 3 2a ，代
入 z a3 中，得 z 3 2 a ，于是驻点惟一，所以当长方
xy
2
体容器的长与宽取 3
3
2am ，高取
2 am时，所需的材料
2
最省．
例 7 某工厂生产两种产品甲与乙，出售单价分别为 10 元与 9 元，生产 x单位的产品甲与 y 单位的产品乙总费用 是400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2 )元,求取得最大利润时，
大值与极小值统称为极值，使函数获得极值的点 P0(x0, y0) 称 为极值点．
例 1 函数 f (x, y) x2 y2 在点(0,0) 取得极小值 0 ，因
为当 x 0, y 0时: f (x, y) x2 y2 0 f (0, 0) ， 这一函数的图形就是下页左图中的曲面，在此曲面上 (0, 0, 0)
是极值点，需另行判断.
例 4 求函数 z x3 y3 3xy的极值．
解 设 f (x, y) x3 y3 3xy．
则 fx (x, y) 3x2 3y ，
f y (x, y) 3y2 3x,
解方程组
3x2 3y 0,
3 y
2
3x
0,
得函数的驻点为(0,0) ，(1,1) ．
两种产品的产量各多少?
解 设 L(x, y)表示产品甲与乙分别生产 x与 y 单位
时所得的总利润．因为总利润等于总收入减去总费用，所以
L(x, y) (10x 9 y) [400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2 )]
8x 6 y 0.01(3x2 xy 3y2 ) 400,
Fx Fy
8.6多元函数的极值与最值ppt课件
将条件极值问题转化为求F( x, y, )的无条件极值。
2)、求解方程组：FFxy
f x x f y y
0 0
F ( x, y) 0
可能极值点( x, y)
和乘数
3)、判别(x,y)是否为极值点.一般根据实际问题得结论.
;
11
例： 某企业生产两种不同型号的机器，当生产量分别为 x, y台时，总成本函数：C( x, y) x2 xy 2 y2 , 如果两种 机器共生产8台，问：各生产多少可使总成本最少？
f
y
(
x0
,
y0
)
0.
注1：称使f x( x0 , y0 ) 0，f y( x0 , y0 ) 0的点为f ( x, y)的驻点。
注2：二元函数的极值点必是驻点或一阶偏导不存在的点，
因此，函数的极值点从这两类点中去寻找。
例 求函数f ( x, y) 3x2 4 y 2的极值。
解：
f x
6x
称f ( x0 , y0 )为f ( x, y)的最大值(或最小值).
相应的点为f ( x, y)的最大值点(或最小值点).
注1：若区域D为有界闭域，先求出f(x,y)在D内的全部驻点
的函数值,一阶偏导数不存在点的函数值, 以及区域D
边界上驻点的函数值，再比较大小，其中最大者为最大值，
最小者为最小值。
所以当两种机器各生产5台; 和3台时总成本最少。
12
例：将正数12分成三个正数x、y、z之和,并使S=xyz 最大。
解：目标函数：C( x, y) xyz
约束条件：( x,
y)
x
y
z
12
0
令F( x, y, z, ) xyz ( x y z 12)
多元函数的极值问题
则: 1) 当AC B 2 0 时, 具有极值且
A<0 (C< 0 )时取极大值; A>0 (C >0 )时取极小值.
2 2) 当 AC B 0 时, 没有极值.
3) 当 AC B 2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.
证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意 f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0
m • 一般地, (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y m m f p Cm h p k m p p m p ( x0 , y0 ) x y p 0
定理1. 设 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 )
到 n + 1 阶连续偏导数 , ( x0 h , y0 k ) 为此邻域内任 一点, 则有
利用多元复合函数求导法则可得:
(t ) h f x ( x0 ht , y0 k t ) k f y ( x0 ht , y0 k t )
(0) (h x k y ) f ( x0 , y0 )
(t ) h 2 f x x ( x0 ht , y0 k t )
2hk f x y ( x0 ht , y0 k t )
k 2 f y y ( x0 ht , y0 k t )
(0) (h x k y ) 2 f ( x0 , y0 )
一般地,
m f ( m) p p m p (t ) C m h k x p y m p ( x0 ht , y0 k t ) p 0
第四节 多元函数的极值问题
一、二元泰勒公式 二、多元函数的极值 三、多元函数的最值 四、条件极值
学习_课件98多元函数的极值及其求法
第三步 定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
例4、 求 函 数f ( x, y) x2 y2 2x 1的 极 值. 例5、 求 函 数f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x 的 极 值.
3、多元函数的最值 (1)无即约：束寻求 最目优标化函问数题的最大（小）值.
在条件 x02 a2
y02 b2
z02 c2
1下求 V 的最小值,
令 u ln x0 ln y0 ln z0 ,
G( x0 , y0 , z0 )
ln
x0
ln
y0
ln
z0
(
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1) ,
由
G
x0
x02 a2
0,
体积最小，求切点坐标.
解 设P( x0 , y0 , z0 )为椭球面上一点,
令F ( x,
y,
z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
则Fx |P
2 x0 ， a2
Fy |P
2 y0 ， b2
Fz |P
2z0 c2
过P( x0 , y0 , z0 )的切平面方程为
x0 a2
其中1,2均为常数，可由 偏导数为零及条件解出
x, y, z, t ，即得极值点的坐标.
例 7 将正数 12 分成三个正数x, y, z 之和 使得 u x3 y2z为最大.
解 令 F ( x, y, z) x3 y2z ( x y z 12),
例4、 求 函 数f ( x, y) x2 y2 2x 1的 极 值. 例5、 求 函 数f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x 的 极 值.
3、多元函数的最值 (1)无即约：束寻求 最目优标化函问数题的最大（小）值.
在条件 x02 a2
y02 b2
z02 c2
1下求 V 的最小值,
令 u ln x0 ln y0 ln z0 ,
G( x0 , y0 , z0 )
ln
x0
ln
y0
ln
z0
(
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1) ,
由
G
x0
x02 a2
0,
体积最小，求切点坐标.
解 设P( x0 , y0 , z0 )为椭球面上一点,
令F ( x,
y,
z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
则Fx |P
2 x0 ， a2
Fy |P
2 y0 ， b2
Fz |P
2z0 c2
过P( x0 , y0 , z0 )的切平面方程为
x0 a2
其中1,2均为常数，可由 偏导数为零及条件解出
x, y, z, t ，即得极值点的坐标.
例 7 将正数 12 分成三个正数x, y, z 之和 使得 u x3 y2z为最大.
解 令 F ( x, y, z) x3 y2z ( x y z 12),
大学经典课件之高等数学——8-9多元函数的极值及其求法
第三步：定出 AC − B 2 的符号，再判定是否是 极值。
注意：偏导数不存在的点也是可疑的极值点， 是否是极值要用定义去判断。
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求函数 f ( x , y ) = x 3 − y 3 + 3 x 2 + 3 y 2 − 9 x 的极值. 例1.
解: 第一步 求驻点. f x′ ( x , y ) = 3 x 2 + 6 x − 9 = 0 解方程组 2 f y′ ( x , y ) = − 3 y + 6 y = 0
( 3) 考察函数
f ( x, y) = x + y
2
4
及 g( x , y ) = x 2 + y 3 .
容易验证，这两个函数都以(0,0)为驻点，且在点
(0,0)处都满足 AC − B 2 = 0 。但 f ( x , y ) 在点(0,0)
处有极小值，而 g ( x , y ) 在点(0,0)处却没有极值。
z = − x + y 在点 (0,0) 有极大值;
2 2
z z z
x x
z = x y 在点 (0,0) 无极值.
x
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y y y
结束
机动
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多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件） ：设函数 z = f ( x , y ) 在点
( x0 , y0 ) 具有偏导数，且在点( x0 , y0 ) 处有极值，则
其他类似. ′′ 由(8) 式可知，当( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 ) 时， f xx
′′ 及 f yy 都不等于零且两者同号，于是 (6) 式可写成 1 ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ (hf xx + kf xy )2 + k 2 f xx f yy − f xy 2 . Δf = ′′ 2 f xx 当 h、k 不同时为零且 ( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 )
注意：偏导数不存在的点也是可疑的极值点， 是否是极值要用定义去判断。
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求函数 f ( x , y ) = x 3 − y 3 + 3 x 2 + 3 y 2 − 9 x 的极值. 例1.
解: 第一步 求驻点. f x′ ( x , y ) = 3 x 2 + 6 x − 9 = 0 解方程组 2 f y′ ( x , y ) = − 3 y + 6 y = 0
( 3) 考察函数
f ( x, y) = x + y
2
4
及 g( x , y ) = x 2 + y 3 .
容易验证，这两个函数都以(0,0)为驻点，且在点
(0,0)处都满足 AC − B 2 = 0 。但 f ( x , y ) 在点(0,0)
处有极小值，而 g ( x , y ) 在点(0,0)处却没有极值。
z = − x + y 在点 (0,0) 有极大值;
2 2
z z z
x x
z = x y 在点 (0,0) 无极值.
x
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y y y
结束
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多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件） ：设函数 z = f ( x , y ) 在点
( x0 , y0 ) 具有偏导数，且在点( x0 , y0 ) 处有极值，则
其他类似. ′′ 由(8) 式可知，当( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 ) 时， f xx
′′ 及 f yy 都不等于零且两者同号，于是 (6) 式可写成 1 ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ (hf xx + kf xy )2 + k 2 f xx f yy − f xy 2 . Δf = ′′ 2 f xx 当 h、k 不同时为零且 ( x 0 + h, y0 + k ) ∈ U 2 ( P0 )
12多元函数的极值与最值
2
所以最大值为 1 ，最小值为 1 。
2
2
4. 条件极值 拉格朗日乘数法
极值问题
无条件极值: 对自变量只有定义域限制
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制
2019年11月25日星期一
11
高等数学（下）主讲杨益民
引例： 小王有200元钱，他决定用来购买计算机磁盘x张和录 音磁带y盒，设购买这两种商品的效用函数为U(x, y)=lnx+lny。 每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元才能使 其效用达到最大。
( x , y )D
s.t. ( x, y, z) 0
(x, y, z) 0
（1）构造拉格朗日函数：
F( x, y, z, 1, 2 ) f ( x, y, z) 1( x, y, z) 2 ( x, y, z)
（2）求拉格朗日函数F(x, y, z, 1, 2)的无条件极值，得到 条件极值的可疑点。
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1的切平面，使
切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。
解：设 P( x0 , y0 , z0 )为椭球面上一点, 令：
F(
x,
y,
z)x2 a2y2 b2z2 c2
1
Fx
|P
2 x0 a2
，Fy
|P
2 y0 b2
，Fz
|P
2z0 c2
z0
a 3 b 3 c 3
当切点坐标为
a ,
3
b ,
高等数学(微积分)课件-86多元函数极值与最值
极值的必要条件
必要条件一
如果函数$f(x)$在点$x_0$处取得极 值，则该点的导数$f'(x_0)$必定为零 。
必要条件二
如果函数$f(x)$在点$x_0$处取得极值 ，则该点的二阶导数$f''(x_0)$必定存 在且不为零。
极值的充分条件
第一充分条件
如果函数$f(x)$在点$x_0$处的Hessian矩阵（二阶导数矩阵）是正定的，则函数在点$x_0$处取得极 小值。
拉格朗日乘数法
通过引入拉格朗日乘数，将约束条件转化为无约束条件，再利用 无约束条件的求解方法求得极值点。
惩罚函数法
通过构造一个惩罚函数，将约束条件转化为无约束条件，再利用无 约束条件的求解方法求得极值点。
序列二次规划法
将原问题转化为一系列二次规划问题，利用二次规划的求解方法逐 一求解，最终得到极值点。
数。
答案与解析
计算下列函数的极值 点
$f(x,y) = x^2 + 4y^2 - 4x + 8y + 10$的极值点为 $(0,0)$和$(2,-2)$。
$g(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 6$的极值 点为$(1,2)$和$(1,2)$。
求函数$f(x,y) = x^2 + y^2$在点$(1,1)$ 处的梯度：$nabla f(1,1) = (2,2)$。
高等数学(微积分)课件-86多元函 数极值与最值
目录
• 引言 • 多元函数极值的基本概念 • 多元函数的最值 • 多元函数的极值与最值的求解方法 • 习题与答案
01 引言
主题简介
01
多元函数极值与最值是高等数 学中的一个重要主题，主要研 究多元函数在某个区域内的最 大值和最小值问题。
多元函数的极值ppt课件
u u u 即 , , 0 x y z
一般地，多元函数 f 在点P0取得极值的必要条件用 梯度向量可表示为： gradf
P0
0
8.8.2 极值的充分条件
( x0 , y0 ) 的某 定理 2（充分条件）设函数z f ( x , y ) 在点 邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，
得区域D 内唯一驻点( 2,1) , 且 f ( 2,1) 4 ,
再求 f ( x , y ) 在D 边界上的最值， 在边界 x 0 和 y 0 上 f ( x , y ) 0 ,
在边界 x y 6 上，即 y 6 x
y
于是 f ( x, y ) x (6 x )(2) ,
( x 1)(70 5 x 4 y ) ( y 1.2)(80 6 x 7 y )
求最大收益即为求二元函数的最大值.
8.8.1 多元函数的极值概念和极值的必要条件
观察二元函数 z xy e
x2 y2
的图形
播放
1、二元函数极值的定义
设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有 定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x , y ) ： f ( x , y ) f ( x 0 , y0 ) ， 若 则称 f ( x 0 , y 0 ) 为极大值，( x 0 , y 0 ) 为极大值点；
未来的组织要解决总部业务能力逐渐弱化的问题要逐步整合各项目的能力形成总部的能力提高集团公司的核心竞争力题的意义判定出是极大极值点再根据实际问驻点就是可能的解出再求其驻点有时不必先构造拉格朗日函数在实际计算条件极值时未来的组织要解决总部业务能力逐渐弱化的问题要逐步整乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形
多元函数的极值与最值市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
箱,问当长、宽、高各取怎样尺寸时, 才能使用料最省?
第八章 多元函数微分法及其应用
解:
设水箱长,宽分别为x ,y m ,
则高为
2 xy
m
,
则水箱所用材料面积为
A
2 xy
y
2 xy
x
2 xy
2 x
y
2 x
2 y
x 0 y 0
令
Ax
2(
y
2 x2
)
0
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
Ay
2( x
还有其它条件限制 条件极值求法:
方法1 代入法. 比如 ,
在条件( x, y) 0下, 求函数 z f ( x, y) 的极值
从条件( x, y) 0中解出 y ( x)
求一元函数 z f ( x, ( x)) 无条件极值问题
14
第14页
第八章 多元函数微分法及其应用
第六节 多元函数的极值与最值
9
第9页
第八章 多元函数微分法及其应用
第六节 多元函数的极值与最值
再求 f ( x, y)在D边界上的最值，
y
在边界 x 0和 y 0上 f ( x, y) 0,
在边界 x y 6上，即 y 6 x
x y6
D
o
x
于是令 g( x) x2(6 x)(2), 0 x 6
由 g 4x( x 6) 2x2 0,
得 x2 4 y 6 x |x4 2, g(0) 0, g(6) 0, g(4) f (4,2) 64,
比较后可知 f (2,1) 4为最大值, f (4,2) 64为最小值.
z f (x, y) x2 y(4 x y)
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多元函数值域（最值） 问题的求解策略
问题提出
1（. 一模21题）设x m和x n是函数f (x) ln x 1 x2 (a 2)x 2
的两个极值点（m n). （1）求f (m) f (n)的取值范围； （2）若a e 1 2,求f (m) f (n)的最大值.
e
（1）求f (m) f (n)的最大值；
)
f
(n)
f
(m)(
m2 )
m 2 mn
相关试题链接
2. (16 年遂宁二模）已知函数 f (x) mex x 1 .
（2）若 f (x) 的两个零点为 x1, x2 且 x1 x2 ,
求
y
(ex2
ex1 )( ex2
1 ex1
m)
的值域.
3（. 07 年辽宁高考试题）已知函数 f (x) e2x 2t(ex x) x2 2t2 1 ，
转化的策略
解题思想：多元问题一元化
(Ⅱ) 若 a e 1 2 ,求 f (n) f (m) 的最大值. e
又m n a 2 三元问题转化为二元问题
f (n) f (m) ln n 1（n2 m2 ) m2
二元问题转化为一元问题
mn 1
f
(n)
f
(m)
ln
n2
1 2
(n2
1 n2
求函数 f (x) 的最小值.
问题拓展
1（. 16年课标1）已知函数f (x) (x 2)ex a(x 1)2 有两个零点。 设x1、x2是f (x)的两个零点，证明：x1 x2 2.
2（. 10年辽宁）已知函数f (x) (a 1) ln x ax2 1. (II)设a 1,如果对任意x1、x2 (0,), | f (x1) f (x2 ) | 4 | x1 x2 |,求a的取值范围.
解:函数 f (x) 的定义域为 (0, ) ,
f (x) 1 x (a 2) x2 (a 2)x 1 .
x
x
依题意,方程 x2 (a 2)x 1 0 有两个不等的正根m , n (其中m n ).
（a 2)2 4 0
mna20
a0
mn 1
f (m) f (n) 1 (m n)2 1 2
问题提出
1（. 一模21题）设x m和x n是函数f (x) ln x 1 x2 (a 2)x 2
的两个极值点（m n). （1）求f (m) f (n)的取值范围； （2）若a e 1 2,求f (m) f (n)的最大值.
e
（1）求f (m) f (n)的最大值；
)
f
(n)
f
(m)(
m2 )
m 2 mn
相关试题链接
2. (16 年遂宁二模）已知函数 f (x) mex x 1 .
（2）若 f (x) 的两个零点为 x1, x2 且 x1 x2 ,
求
y
(ex2
ex1 )( ex2
1 ex1
m)
的值域.
3（. 07 年辽宁高考试题）已知函数 f (x) e2x 2t(ex x) x2 2t2 1 ，
转化的策略
解题思想：多元问题一元化
(Ⅱ) 若 a e 1 2 ,求 f (n) f (m) 的最大值. e
又m n a 2 三元问题转化为二元问题
f (n) f (m) ln n 1（n2 m2 ) m2
二元问题转化为一元问题
mn 1
f
(n)
f
(m)
ln
n2
1 2
(n2
1 n2
求函数 f (x) 的最小值.
问题拓展
1（. 16年课标1）已知函数f (x) (x 2)ex a(x 1)2 有两个零点。 设x1、x2是f (x)的两个零点，证明：x1 x2 2.
2（. 10年辽宁）已知函数f (x) (a 1) ln x ax2 1. (II)设a 1,如果对任意x1、x2 (0,), | f (x1) f (x2 ) | 4 | x1 x2 |,求a的取值范围.
解:函数 f (x) 的定义域为 (0, ) ,
f (x) 1 x (a 2) x2 (a 2)x 1 .
x
x
依题意,方程 x2 (a 2)x 1 0 有两个不等的正根m , n (其中m n ).
（a 2)2 4 0
mna20
a0
mn 1
f (m) f (n) 1 (m n)2 1 2