2牛顿运动定律及牛顿力学中的守恒定律
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习题2
2-1 质量为16kg 的质点在xOy 平面内运动,受一恒力作用,力的分量为
6N x f =,7N y f =,当0t =时,0x y ==,2m /s x v =-,0y v =。当2s
t =时,求:
(1) 质点的位矢; (2) 质点的速度。 解:由 x x f a m =
,有:x a 263
m /168
s ==,27m /16y y f a s m -=
= (1)2
0035
22m /84
x x x
v v a dt s =+=-+⨯=-⎰, 20077
2m /168
y y y v v a dt s -=+=⨯=-⎰。
于是质点在2s 时的速度:57m /s 48
v i j =--v v v
(2)22011()22x y r v t a t i a t j =++v v v
1317(224)()428216
i j -=-⨯+⨯⨯+⨯v v
137m 48
i j =--v v
2-2 质量为2kg 的质点在xy 平面上运动,受到外力2
424=-u r r r F i t j 的作用,t =0
时,它的初速度为034=+r r r
v i j ,求t =1s 时质点的速度及受到的法向力n u r F 。
解:解:由于是在平面运动,所以考虑矢量。
由:d v F m d t
=v v ,有:2
4242d v i t j dt -=⋅v v v ,两边积分有:
02
01(424)2
v t v d v i t j dt =-⎰⎰v v v ,∴3024v v t i t j =+-v v v v , 考虑到034v i j =+v v v ,s t 1=,有15v i =v v
由于在自然坐标系中,t v v e =v v ,而15v i =v v
(s t 1=时),表明在s t 1=时,切向
速度方向就是i v 方向,所以,此时法向的力是j v 方向的,则利用2
424F i t j =-v v
v
,
将s t 1=代入有424424t n F i j e e =-=-v v v v v
,∴24n F N =-。
2-3.如图,物体A 、B 质量相同,B 在光滑水平桌面上.滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计,滑轮与其轴之间的摩擦也不计.系统无初速地释放,则物体A 下落的加速度是多少?
解:分别对A ,B 进行受力分析,可知:
A A A m g T m a -=
2B B T m a =
12
B A a a =
则可计算得到:4
5
A a g =
。
2-4.如图,用质量为1m 的板车运载一质量为2m 的木箱,车板与箱底间的摩擦系数为μ,车与路面间
的滚动摩擦可不计,计算拉车的力F 为多少才能保证木箱不致滑动?
解法一:根据题意,要使木箱不致于滑动,必须使
板车与木箱具有相同的加速度,且上限车板与箱底间为最大摩擦。 即:max 212222
f m
g f F
a m m m m m μ=
=<=
+
可得:12()F m m g μ<+
解法二:设木箱不致于滑动的最大拉力为max F ,列式有:
max 2122F m g m a
m g m a
μμ-==
联立得:max 12()F m m g μ=+,
有:12()F m m g μ<+。
2-5.如图所示一倾角为θ的斜面放在水平面上,斜面上放一木块,两者间摩擦系数为)(θμtg <。为使木块相对斜面静止,求斜面加速度a 的范
围。
解法一:在斜面具有不同的加速度的时候,
木块将分别具有向上和向下滑动的趋势,这就是加速度的两个范围,由题意,可得:
(1)当木块具有向下滑动的趋势时(见图a ),列式为:
sin cos N N mg μθθ+= 1sin cos N N ma θμθ-= 可计算得到:此时的θ
μμ
θtan 1tan 1+-=
a g
(2)当木快具有向上滑动的趋势时(见图b ),列式为:
sin cos N mg N μθθ+=
2sin cos N N ma θμθ+=
可计算得到:此时的θ
μμθtan 1tan 2-+=a g ,
所以:tan tan 1tan 1tan g a g θμθμ
μθμθ-+≤≤+-。 解法二:考虑物体m 放在与斜面固连的非惯性系中, 将物体m 受力沿'x 和'y 方向分解,如图示,同时
考虑非惯性力,隔离物块和斜面体,列出木块平衡式: 'x 方向:sin cos 0mg ma f θθ-±=
'y 方向:cos sin 0N mg ma θθ--=
考虑到f N μ=,有:sin cos (cos sin )0mg ma mg ma θθμθθ-±+=,
解得:sin cos tan cos sin 1tan a g g θμθθμ
θμθμθ
±±=
=m m 。 ∴a 的取值范围:
tan tan 1tan 1tan g a g θμθμ
μθμθ
-+≤≤+-。
2-6.质量为m 的子弹以速度0v 水平射入沙土中,设子弹所受阻力与速度反向,大小与速度成正比,比例系数为k ,忽略子弹的重力,求:(1) 子弹射入沙土后,速度随时间变化的函数式;(2) 子弹进入沙土的最大深度。 解:(1)由题意,子弹射入沙土中的阻力表达式为:f kv =- 又由牛顿第二定律可得:dv f m
dt =,则dv
kv m dt
-= θ
x '
y N
ma
mg