北京交通大学2006年硕士研究生入学考试数学分析试题

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2006-数一真题大全及答案

2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题一、填空题（1）0ln(1)lim1cos x x x x→+=−. （2）微分方程(1)y x y x−'=的通解是 .（3）设∑是锥面z =（01z ≤≤）的下侧，则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++−=⎰⎰.（4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = .（5）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪−⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B =.（6）设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则{}max{,}1P X Y ≤= . 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（A ）0.dx y <<∆ （B ）0.y dy <∆<（C ）0.y dy ∆<<（D ）0.dy y <∆<【】（8）设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（A）(,).xf x y dy ⎰⎰（B）(,).f x y dy ⎰⎰（C）(,).yf x y dx ⎰⎰（C）(,).f x y dx ⎰⎰【】（9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数（A ）1nn a∞=∑收敛. （B ）1(1)nn n a ∞=−∑收敛.（C ）11n n n a a ∞+=∑收敛.（D ）112n n n a a ∞+=+∑收敛. 【】（10）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. （D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.【】（11）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是（A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【】（12）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1.C P AP −= （B ）1.C PAP −=（C ）.T C P AP =（D ）.TC PAP = 【】（13）设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有（A ）()().P A B P A ⋃> （B ）()().P A B P B ⋃>（C ）()().P A B P A ⋃=（D ）()().P A B P B ⋃= 【】（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且12{||1}{||1},P X P Y μμ−<>−<（A ）1 2.σσ< （B ）1 2.σσ>（C ）1 2.μμ<（D ）1 2.μμ> 【】三解答题 15 设区域D=(){}22,1,0x y x y x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.16 设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<== . 求: (Ⅰ)证明lim n x x →∞存在,并求之 .(Ⅱ)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 17 将函数()22xf x x x=+−展开成x 的幂级数. 18 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=. (Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式. 19 设在上半平面D=(){},0x y y >内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的t>0都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有0),(),(=−⎰dy y x xf dx y x yf L.20 已知非齐次线性方程组12341234123414351331x x x x x x x x ax x x bx +++=−⎧⎪++−=−⎨⎪++−=⎩有个线性无关的解 Ⅰ证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A = Ⅱ求,a b 的值及方程组的通解21 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TTαα=−−=−是线性方程组A x =0的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵A,使得TQ AQ A =.22 随机变量x 的概率密度为()()21,1021,02,,40,x x f x x y x F x y ⎧−<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩令其他为二维随机变量(X,Y)的分布函数.(Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y (Ⅱ)1,42F ⎛⎫−⎪⎝⎭23 设总体X 的概率密度为()()01,0112010x F X x θθθθ<<⎧⎪=−≤<<<⎨⎪⎩其中是未知参数其它,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,1n x x x 中小于的个数,求θ的最大似然估计.2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题解析一、填空题（1）0ln(1)lim1cos x x x x→+−= 2 .221cos 1,)1ln(x x x x −+ （0x →当时）（2）微分方程(1)y x y x−'=的通解是(0)xy cxe x −=≠，这是变量可分离方程.（3）设∑是锥面1)Z ≤≤的下侧，则23(1)2xdydz ydzdx z dxdy π∑++−=⎰⎰补一个曲面221:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩1上侧,2,3(1)P x Q y R z ===−1236P Q R x y z∂∂∂++=++=∂∂∂ ∴16dxdydz ∑∑Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（Ω为锥面∑和平面1∑所围区域）6V =（V 为上述圆锥体体积）623ππ=⨯= 而123(1)0dydz ydzdx z dxdy ∑⨯++−=⎰⎰（∵在1∑上：1,0z dz ==）（4）,1,0,450x y z d ++==点(2)到平面3的距离d ====(5)设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4,计算出|A -E |=2,因此|B |=2. （6）91 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0f x '>，()0f x ''>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分.若0>∆x ，则[A]0)(0)(0)(0)(<∆<<<∆<∆<∆<<y dy D dy y C dy y B y dy A()0,()f x f x '>因为则严格单调增加 ()0,()f x f x ''>则是凹的 y dy x ∆<<>∆0,0故又1(8)(,)(cos ,sin )[C](A)(,)(B)(,)xf x y d f r r rdr f x y dy f x y dy πθθθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰40设为连续函数,则等于(C)(,)(D)(,)ydy f x y dxf x y dx ⎰⎰⎰111111111(9)[D]()()(1)()()()2n n n n n n n n n n n n n n n a A a B a a aC a aD a∞=∞∞==∞∞∞+++===−+∑∑∑∑∑∑若级数收敛,则级数收敛收敛收敛收敛也收敛00000000000000000(10)(,)(,)(,)0,(,)(,)0y x y x y x y x y f x y x y x y x y f x y x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x ϕϕϕ'≠=''''≠''''≠≠设与均为可微函数,且已知(,)是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是[D](A)若(,)=0,则(,)=0(B)若(,)=0,则(,)0(C)若(,)0,则(,)=0(D)若(,)0,则(,00000000000000000(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0(,)(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)(,)0x x x y y y y y x y x y y x y f x y x y f x y x y f x y x y x y f x y f x y x y x y f x y x y x y f x y λλϕλϕλϕϕϕϕλϕϕ≠+'''⎧+=⎪'''+=⎨⎪'=⎩'''''≠∴=−='''≠)0构造格朗日乘子法函数F=F =F =F =今代入(1)得今00,(,)0[]y f x y D '≠则故选(11)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量，A 是m ⨯n 矩阵，则（）成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(12)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1.(C) C =P T AP . (D) C =PAP T.解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B =PA ,1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1（13）根据乘法公式与加法公式有： P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B)P(A ⋃B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A) 应选C （14）依题：).1,0(~),10(~2211N Y N x σμσμ−−，,1}1{1111⎭⎬⎫<⎩⎨⎧−=<−σσμμX P X P.1}1{2222⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−=<−σσμμY P Y P 因 },1{}1{21<−><−μμY P X P 即 .11222111⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−>⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−σσμσσμY P X p 所以.,112121σσσσ<>应选A三、解答题{}22222212120222021(15)(,)1,0,1:011ln(1)ln 21122DD DxyD x y x y x I dxdyx y xydxdy x y r I dxdy d dr r x yr ππππθ−+=+≤≥=++=++===+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰设区域计算二重积分解{}{}{}211112121(16)0,sin (1,2,)(1)lim (2)lim():(1)sin ,01,2sin ,0,lim ,n n n n n n x n n nn n n n n n n n x x x x n x x x x x x n x x x x x x x A π+→∞+→∞+→∞<<===∴<≤≥=≤≥∴=设数列满足求证明存在,并求之计算解因此当时单调减少又有下界，根据准则1,存在递推公式两边取极限得sin ,0A A A =∴=21sin (2)lim(),n x n n n x x ∞→∞原式=为"1"型离散型不能直接用洛必达法则22011sin lim ln()0sin lim()t ttt tt t e t→→=先考虑2323203311(cos sin )1110()0()lim26cos sin sin 1262limlim2262t t t t t t t t t t t t t t tt t t ttteeeee →→→⎡⎤⎡⎤−−+−−+⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦−=====2(17)()2xf x x x x =+−将函数展开成的幂极数 ()(2)(1)21x A Bf x x x x x ==+−+−+解: 2(1)(2)2,32,3A xB x xx A A ++−====令 11,31,3x B B =−=−=−令)](1[131)21(131)1(131)2(132)(x x x x x f −−⨯−−⨯=+⨯−−⨯= 10001111()(1)(1),132332n n n n n n n n n x x x x ∞∞∞+===⎡⎤=−−=+−<⎢⎥⎣⎦∑∑∑（18）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且Z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂ （I ）验证()()0f u f u u'''+= （II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式证：（I）zzf f xy∂∂''==∂∂()22222zxf f xx y ∂'''=+∂+()()22322222x y f f x y x y '''=+++()()2223222222zy x f f yx y x y ∂'''=+∂++同理22220()()0z z f x y f u f u u∂∂''+=+=∂∂'''∴+=代入得成立（II ）令(),;dp p dp du f u p c du u p u'==−=−+⎰⎰则ln ln ,()cp u c f u p u'=−+∴==22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+===由得于是（19）设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y −=证明：对D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有0),(),(=−⎰dy y x xf dx y x yf L.证：把2(,)(,)f tx ty t f x y t −=两边对求导得：(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty tf x y ''+=− 令 1t =，则(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=− 再令 (,),(,)P yf x y Q xf x y ==−所给曲线积分等于0的充分必要条件为Q Px y∂∂=∂∂ 今(,)(,)x Qf x y xf x y x∂'=−−∂(,)(,)y Pf x y yf x y y∂'=+∂ 要求Q Px y∂∂=∂∂成立，只要(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=− 我们已经证明，Q Px y∂∂∴=∂∂，于是结论成立. (20)已知非齐次线性方程组 x 1+x 2+x 3+x 4=-1, 4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1，a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1 有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2. ② 求a,b 的值和方程组的通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2.两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组的增广矩阵作初等行变换: 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 (A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2→ 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0得同解方程组x 1=2-2x 3+4x 4，x 2=-3+x 3-5x 4，求出一个特解(2,-3,0,0)T 和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T ,(4,-5,0,1) T .得到方程组的通解:(2,-3,0,0)T +c 1(-2,1,1,0)T +c 2(4,-5,0,1)T , c 1,c 2任意.(21) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T , α2=(0,-1,1)T 都是齐次线性方程组AX =0的解.① 求A 的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得Q T AQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T ,即 α0=(1,1,1)T 是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0.② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T . 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T , η2=(-36,66,66)T . 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且3 0 0Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 .0 0 0（22）随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<−=其他,020,4101,21)(x x x f X ，令2X Y =，),(y x F 为二维随机变量）（Y X ,的分布函数.（Ⅰ）求Y 的概率密度；（Ⅱ）)4,21(−F 解：（Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<=≤=≤=yy y y y X P y Y P y F Y 4,141,)2(10,)1(0,0)()()(2式式 ⎰⎰=+=≤≤−=−yy y dx dx y X y P 00434121)()1(式； ⎰⎰+=+=≤≤−=−y y dx dx y X y P 00141214121)()2(式. 所以：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<==其他,041,8110,83)()('y yy y y F y f Y Y这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y 进行适当的讨论即可，在新东方的辅导班里我也经常讲到，是基本题型.（Ⅱ）)4,21(−F )212()22,21()4,21()4,21(2−≤≤−=≤≤−−≤=≤−≤=≤−≤=X P X X P X X P Y X P 4121211==⎰−−dx . （23）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−<<=其他,021,110,),(x x x f θθθ，其中θ是未知参数（0<θ<1）.n X X X ,,21为来自总体的简单随机样本，记N 为样本值n x x x ,,21中小于1的个数.求θ的最大似然估计.解：对样本n x x x ,,21按照<1或者≥1进行分类：pN p p x x x ,,21<1，pn pN pN x x x ,,21++≥1.似然函数⎩⎨⎧≥<−=++−其他，,01,,,1,,)1()(2121pn pN pN pN p p N n N x x x x x x L θθθ，在pN p p x x x ,,21<1，pn pN pN x x x ,,21++≥1时， )1ln()(ln )(ln θθθ−−+=N n N L ，01)(ln =−−−=θθθθN n N d L d ，所以nN =最大θ.。

【数学三】2006年全国硕士研究生入学统一考试真题

2006年考研数学（三）真题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''=（3）设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z =（4）设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2____.ES =二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ ]（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim1h f h h→=，则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ] （9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ ]（10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ ]（11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ] （12）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关. [ ]（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）TC PAP =. ［］（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有(A) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ ] 三、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=；(Ⅱ) ()0lim x g x +→. （16）（本题满分7分）计算二重积分d Dx y ，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.（17）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（18）（本题满分8分）在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.(Ⅰ) 求L 的方程；(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时，确定a 的值. （19）（本题满分10分）求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x . （20）（本题满分13分）设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ；（Ⅲ）求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中E 为3阶单位矩阵.（22）（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩　其他，令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数. (Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ； (Ⅱ)Cov(,)X Y ；(Ⅲ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. （23）（本题满分13分）设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.（Ⅰ）求θ的矩估计；（Ⅱ）求θ的最大似然估计。

2006年全国硕士研究生入学考试数学(四)

2006年全国硕士研究生入学考试数学（四）一、填空 1．(1)1lim ()nn n n-→∞+=2．设函数()f x 在2x =的某邻域内可导，且()()(2)1f x f x e f '-⋅=，则法(2)f '=3．设函数()f u 可微，且1()2f u '=，则22(4)z f x y =-在点（1，2）处的全微分(1,2)|dz =4．已知12,a a 为2维列向量，矩阵1212(2,)A a a a a =+-，12(,)B a a =。

若行列式||6A =，则||B =5．设矩阵2112A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B 。

6．设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[1,3]上的均匀分布，由{max(,)1}P x y ≤=二、选择7．设函数()y f x =具有二阶导数，且()0f x '>，()0f x ''>，x 为自变量x 在点0x 处的增量y 与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x > ，则（）（A ）0dy y << （B ）0y dy << （C ）0y dy <<（D ）0dy y <<8．设函数()f x 在0x =处连续，且220()lim 1n f n n→==，则（）（A ）(0)0f =且(0)f '存在（B ）(0)1f =且(0)f '存在（C ）(0)0f =且(0)f +'存在（D ）(0)1f =且(0)f +'存在9．设函数()f x 与()g x 在[0,1]上连续，且()()f x g x ≤，且对任何(0,1)C ∈（）（A ）1122()()ccf t dtg t dt ≥⎰⎰（B ）1122()()c cf t dtg t dt ≤⎰⎰（C ）11()()ccf t dtg t dt ≥⎰⎰（D ）11()()ccf t dtg t dt ≤⎰⎰10．设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解1()y x ，2()y x ，C 为任何常数，则该方程通解是（）（A ）12[()()]C y x y x - （B ）112()[()()]y x C y x y x +- （C ）12[()()]C y x y x +（D ）112()[()()]y x C y x y x ++11．设(,)f x y 与(,)G x y 均为可微函数，且(,)0G x y '≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0G x y =下的一个极值点。

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一填空 (1)()11l i m _________nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭(2) 设函数()x 2f x =在的某领域内可导,且()()(),21f xf x e f '==,则()2_________f '''=(3) 设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224Z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2_________dz =(4) 设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵E 满足BA=B+2E,则_________B = (5) 设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则(){}max ,1_________P X Y ≤=(6) 设总体X 的概率密度为()()121,,, (2)xn f x e x x x x -=-∞<<+∞为总体的简单随机样本,其样本方差2S ,则E 2S =__________二选择题(7) 设函数()y f x =具有二阶导数,且()()0,0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点0x 处的增量,y dy ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则 ( )(A)0dy v <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<< (D)0dy y <∆<(8) 设函数()f x 在x=0处连续,且()22lim1n f n n →=,则(A)()()'000f f -=且存在 (B)()()'010f f -=且存在 (C)()()'000f f +=且存在 (D)()()'010f f +=且存在(9) 若级数1nn a∞=∑收敛,则级数 ( )(A)1nn a∞=∑收敛(B)()11nn n a ∞=-∑收敛(C)11n n n a a∞+=∑收敛(D)112n n n a a ∞+=+∑收敛 (10) 设非齐次线性微分方程()()x x y P y Q '+=有两个的解()()12,,y x y x C 为任意常数,则该方程通解是: (A)()()12C y x y x -⎡⎤⎣⎦收敛 (B)()()()112y x C y x y x +-⎡⎤⎣⎦收敛 (C)()()12C y x y x +⎡⎤⎣⎦收敛 (D)()()()112y x C y x y x ++⎡⎤⎣⎦收敛(11) 设()(),,f x y x y ϕ与均为可微函数,且(),0y x y ϕ'≠,已知()00,x y 是(),f x y 在约束条件(),0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是 ( )(A) 若()()0000,0,,0x y f x y f x y ''==则 (B) 若()()0000,0,,0x y f x y f x y ''=≠则 (C) 若()()0000,0,,0x y f x y f x y ''≠=则 (D) 若()()0000,0,,0x y f x y f x y ''≠≠则(12) 设125,,......∂∂∂,均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列正确的是 ( ) (A) 若125,,......∂∂∂线性相关,则125,......A A A ∂∂∂线性相关 (B) 若125,,......∂∂∂相关,则125,......A A A ∂∂∂无关 (C) 若125,,......∂∂∂无关,则,......A A A ∂∂∂相关(D) 若125,,......∂∂∂无关,则125,......A A A ∂∂∂无关(13) 设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B,再将B 得第一列得-1倍加到第2列得C,记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A) 1C P AP -= (B) 1C PAP -= (C) T C P AP = (D)T C PAP =(14) 设随机变量X 服从正态分布()211,N μσ,随机变量Y 服从正态分布()222,N μσ,且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<,则必有 ( )(A)12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D)12μμ>三解答题(15) 设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=(Ⅱ) ()0lim x g x +→ (16) 计算二重积分2Dy xydxdy -⎰⎰,其中D 是由直线,1,0y x y x ===,所围成的平面区域.(17) 证明:当0,sin 2cos sin 2cos a b b b b b a a a a πππ<<<++>++时.(18) 在XOY 坐标平面上,连续曲线L 过点()1,0,M 其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线低斜率与直线OP 的斜率之差等于(>0)ax a 常数(Ⅰ) 求L 的方程:(Ⅱ) 当L 与直线y=ax 所围成平面图形的面积为83时,确定a 的值. (19) 求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .(20) 设4维向量组()()()1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,TTTa a a ∂=+∂=+∂=+ ()44,4,4,4Ta ∂=+问a 为何值时1234,,,∂∂∂∂线性相关?当1234,,,∂∂∂∂线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.(21) 设3 阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1T Tαα=--=-是线性方程组Ax=0的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵A,使得T Q AQ A =; (Ⅲ)求A 及63()2A E -,其中E 为3阶单位矩阵. (22) 设随机变量X 的概率密度为()1,1021,02,40,x x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其它()2,,Y X F X Y =令为二维随机变量(),X Y 的分布函数,求:(Ⅰ) Y 的概率密度()Y f y (Ⅱ) ()cov ,X Y (Ⅲ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭(23) 设总体X 的概率密度为(),01,1,120,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它,其中θ是未知参数()1201,,,......n X X X θ<<为来自总体的随机样本,记N 为样本值12,,......n X X X 中小于1的个数,求:(Ⅰ) θ的矩估计;(Ⅱ) θ的最大似然估计.线代(4) 设A= 2 1 ,2阶矩阵B满足BA=B+2E,则|B|= .-1 2解:由BA=B+2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得|B||A-E|=|2E|=4,计算出|A-E|=2,因此|B|=2.(12)设α1,α2,…,αs都是n维向量，A是m⨯n矩阵，则（）成立.(A) 若α1,α2,…,αs线性相关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.(C) 若α1,α2,…,αs线性无关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.(D) 若α1,α2,…,αs线性无关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性无关.解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,…,c s使得c1α1+c2α2+…+c sαs=0,用A左乘等式两边,得c1Aα1+c2Aα2+…+c s Aαs=0,于是Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s.2. r(AB)≤ r(B).矩阵(Aα1,Aα2,…,Aαs)=A( α1, α2,…,αs ),因此r(Aα1,Aα2,…,Aαs)≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(13)设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0P= 0 1 0 ,则0 0 1(A) C=P-1AP. (B) C=PAP-1.(C) C=P T AP. (D) C=PAP T.解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B=PA,1 -1 0C=B 0 1 0 =BP-1= PAP-1.0 0 1(20) 设 α1=(1+a,1,1,1),α2=(2,2+a,2,2), α3=(3,3+a,3,3), α4=(4,4,4,4+a).问a为什么数时α1,α2,α3,α4线性相关?在时α1,α2,α3,α4线性相关时求其一个极大线性无关组,并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出.解:α1,α2,α3,α4线性相关,即行列式|α1,α2, α3, α4|=0,而|α1,α2, α3, α4|=a3(a+10),于是当a=0或-10时α1,α2, α3, α4线性相关.a=0时, α1是α1,α2, α3, α4的极大无关组, α2=2α1, α3=3α1, α4=4α1.a=-10时,-9 2 3 4 -10 0 0 10 1 0 0 -1(α1,α2,α3,α4)= 1 -8 3 4 →0 -10 0 10 →0 1 0 -1 .1 2 -7 4 0 0 -10 10 0 0 1 -11 2 3 –6 1 2 3 -6 0 0 0 0则α1,α2,α3是α1,α2, α3, α4的极大无关组, α4=-α1-α2-α3.(21) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T, α2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.①求A的特征值和特征向量.Q T AQ =Λ.③ 求A 及[A -(3/2)E ]6 .解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T ,即 α0=(1,1,1)T 是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0.② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T . 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T , η2=(-36,66,66)T . 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且 3 0 0 Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 .0 0 0③ 1 -1 0 3 0 0 1 1 1A 1 -2 -1 = 3 0 0 ,解此矩阵方程,得A = 1 1 1 .1 -1 1 3 0 0 1 1 1(A -23E )2= A 2-3A +49E =49E , (A -23E )6=64729E .概率（5）91 （6）2（14）A（22）随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-=其他,020,4101,21)(x x x f X ，令2X Y =，),(y x F 为二维随机变量）（Y X ,的分布函数。

北京大学2006年数学分析试题及解答

f (x) dx 绝对收敛.
n=0 xn
1
1. 实数列的单调有界收敛定理: 若 {xn} 是单调实数列且 ∃M > 0, |xn| ⩽ M, 则极限 lim xn 存在. n→∞
确界存在原理证明单调收敛定理不妨假设 {xn} 是单调递增的, 因为 M 是集合 {xn | n ∈ N} 的一个上界, 令 α = sup{xn | n ∈ N}, 则 α ∈ R, 并且 xn ⩽ α, n ∈ N. ∀ε > 0, ∃N ∈ N, 使得 α − ε < xN ⩽ α, 于是当 n > N 时, α − ε < xN ⩽ xn ⩽ α < α + ε,
北京大学 2006 年全国硕士研究生招生考试数学分析试题及解答
微信公众号：数学十五少 2019.05.15
1. (15 分) 确界原理是关于实数域完备性的一种描述, 试给出一个描述实数域完备性的其他定理, 并证明其与确界原理的等价性.
2. (15 分) 设函数 f (x, y) = x3 + 3xy − y2 − 6x + 2y + 1, 求 f (x, y) 在 (−2, 2) 处带二阶 Peano 余项的 Taylor 展式. 问 f (x, y) 在 R2 上有哪些关于极值的判别点, 这些判别点是否为极值点, 说明理由.
f ′(x)
=
−
Fx′ (x, Fy′ (x,
f f
(x)) (x))
=
f (x) (2xf (x)2 − 1) − 3x2f (x)2 − x + 1
>
0,
从而 f (x) 在 (−∞, 0) 上单调递增. 因此 x = 0 为 f (x) 的唯一极大值点, 无极小值点.

2006年考研数学试题详解及评分参考

.
.
(6) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间 [0， 3] 上的均匀分布，则
P{ max { X , Y } £ 1 } =
【答】应填 1 / 9 .
【解】 P{ max { X , Y } £ 1} = P{ X £ 1, Y £ 1} = P{ X £ 1} × P{Y £ 1} =
(13) 设 A , B 为随机事件，且 P ( B ) > 0 ， P ( A | B ) = 1 ，则必有 (C) P ( A U B ) = P ( A) . 【答】应选 (C). 【解】因 P ( A | B ) = (A) P ( A U B ) > P ( A) . (D) P ( A U B ) = P ( B ) . (B) P ( A U B ) > P ( B ) .
.
【答】应填 2 . 【解】因 x ® 0 时， ln(1 + x) : x, 1 - cos x : (2) 微分方程 y ¢ =
1 2 x×x x ，故原式= lim 1 2 = 2 . x 0 ® 2 2 x
y (1 - x) 的通解是 . x 【答】应填 y = C x e - x （ C 为任意常数）. dy 1 - x 【解】分离变量，得 = dx . 两边积分，有 ln | y |= ln | x | - x + C1 ，即 y x | y |= eC1 | x | e- x . 记 C = ± eC1 ，则有 y = C x e - x . 由于 y = 0 也是原方程的解，故上式中 C 可以为零，于是得通解 y = C x e - x （ C 为任意常数）. x 2 + y 2 ( 0 £ z £ 1 )的下侧，则 òò xdydz + 2 ydzdx + 3( z - 1)dxdy = .

北京交通大学研究生入学考试数学分析试题

北京交通大学2006年硕士研究生入学考试数学分析试题一、（本题满分25分）设函数()f x 是区间(,)R =-∞+∞上的单调函数，定义：()(0)g x f x =+.证明：函数()g x 在区间(,)R =-∞+∞上每一点都右连续. 二、（本题满分25分）设12,,,n a a a 为个正数，且112()()x x x nxa a a f x n++= .证明：（1）0lim()x f x →=（2）12lim()max{,,,}n x f x a a a →+∞= .三、（本题满分25分）设函数()f x 在区间[0,)+∞上连续，0a b <<.（1）证明：如果lim()x f x k→+∞=，则0()()((0))lnf ax f bx b dx f k xa+∞-=-⎰.（2）证明：如果积分()af x dx x+∞⎰收敛，则()()(0)lnf ax f bx b dx f xa+∞-=⎰.四、（本题满分25分）设函数()n u x 在闭区间[,]a b 上连续(1,2,3,)n = ，级数1()n n u x ∞=∑在开区间(,)a b 内一致收敛。

证明：函数1()()n n f x u x ∞==∑在闭区间[,]a b 上一致连续.五、（本题满分25分）如果函数(,,)u F x y z =满足恒等式：(,,)(,,)kF tx ty tz t F x y z =，则称函数(,,)F x y z 为k 次齐次函数。

试证下述关于齐次函数的Euler 定理：可微函数(,,)F x y z 微k 次齐次函数的充分必要条件为(,,)(,,)(,,)(,,)x y z xF x y z yF x y z zF x y z kF x y z ++=.六、（本题满分25分）设3||r A r =，S 是一个封闭曲面，(,,)r x y z =.证明：（1）如果原点在曲面S 外时，0sA dS ⋅=⎰⎰；（2）如果原点在曲面S内时，4sA dS π⋅=⎰⎰.。

2006年考研数学一真题

（9）若级数 an 收敛，则级数 n1
3
(A) an 收敛 n1
（B） (1)n an 收敛 n1
(C)
anan1 收敛.
n1
(D) an an1 收敛.
n1
2
【分析】本题主要考查级数收敛的性质和判别法。可以通过举反例或级数的性质来判定。
【详解】法一：由
n1
an
收敛知
n1
【分析】主要考查考生基本的计算能力。本题不是封闭曲面，首先想到加一曲面 1 ：
使 1 构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分进行计算即可。
【详解】令 1 是平面 z 1在锥面 z x2 y2 内的部分取上侧，则
xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy
xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy
y dy f (x0)dx f (x0)x 0 ，故应选(Ａ).
法二： y f (x0 x) f (x0) f ()x, x0 x0 x
因为 f (x) 0 ，所以 f (x) 单调增加，即 f () f (x0) ，又 x 0 ，所以
f ()x f (x0)x 0 ，即 0 dy y .故应选(A).
一元函数
f
(x, y(x)) 的一个极值点，从而 d dx
f (x, y(x))
x x0
0
又
d dx
f
(x, y(x))
f x( x,
y(x))
f y(x,
y(x)) y(x) ，所以
f x( x0 ,
y(x0 ))
f y(x0,
y(x0 )) y(x0 )
0 ，即

2006考研数二真题及解析

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：1-6小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为(2) 设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续,则a =(3) 广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰(4) 微分方程(1)y x y x-'=的通解是(5) 设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定,则0x dy dx==(6) 设2112A ⎛⎫=⎪- ⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则B = .二、选择题：9-14小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0,f x f x x '''>>为自变量x 在点0x 处的增量,y 与dy 分别为()f x 在点0x 处对应增量与微分,若0x >,则( ) (A)0dy y << (B)0y dy <<(C)0y dy <<(D)0dy y <<(8) 设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则0()xf t dt ⎰是( )(A)连续的奇函数 (B)连续的偶函数(C)在0x =间断的奇函数(D)在0x =间断的偶函数(9) 设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则(1)g 等于( )(A)ln 31-(B)ln 31--(C)ln 21--(D)ln 21-(10) 函数212x x x y c e c e xe -=++满足的一个微分方程是( ) (A)23xy y y xe '''--= (B)23xy y y e '''--=(C)23x y y y xe '''+-=(D)23xy y y e '''+-=(11) 设(,)f x y 为连续函数,则14(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于( )(A)(,)xf x y dy ⎰(B)(,)f x y dy ⎰(C)(,)yf x y dx ⎰(D)(,)f x y dx ⎰(12) 设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0,y x y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是( )(A)若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则 (B)若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则(C)若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则 (D)若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则(13) 设12,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是( ) (A)若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性相关. (B)若12,,,s ααα线性相关,则12,,,s A A A ααα线性无关.(C)若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性相关. (D)若12,,,s ααα线性无关,则12,,,s A A A ααα线性无关.(14) 设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭,则( )(A)1.C P AP -=(B)1.C PAP -= (C).TC P AP =(D).TC PAP =三、解答题：15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)试确定常数,,A B C 的值,使得23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++,其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.(16)(本题满分10分)求arcsin xxe dx e ⎰ (17)(本题满分10分)设区域22{(,)|1,0}D x y x y x =+≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰ (18)(本题满分12分)设数列{}n x 满足10x π<<,1sin (1,2,)n n x x n +==(I) 证明lim n n x →∞存在,并求该极限;(II) 计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. (19)(本题满分10分)证明：当0a b π<<<时,sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++. (20)(本题满分12分)设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数,且Z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂(I)验证()()0f u f u u'''+=; (II)若(1)0,(1)1f f '==, 求函数()f u 的表达式. (21)(本题满分12分)已知曲线L 的方程221,(0),4x t t y t t⎧=+≥ ⎨=-⎩(I) 讨论L 的凹凸性;(II) 过点(1,0)-引L 的切线,求切点00(,)x y ,并写出切线的方程; (III) 求此切线与L (对应0x x ≤的部分)及x 轴所围成的平面图形的面积. (22)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组1234123412341,4351,31x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解.(I) 证明此方程组系数矩阵A 的秩()2r A =; (Ⅱ) 求,a b 的值及方程组的通解. (23)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TTαα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(I) 求A 的特征值与特征向量;(II) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题 (1)【答案】15y =【详解】由水平渐近线的定义及无穷小量的性质----“无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量”可知4sin lim lim 52cos x x x x y x x →∞→∞+=-4sin 1lim2cos 5x xx x x→∞+=-10lim 50x →∞+=-15= 0x →时1x为无穷小量,sin x ,cos x 均为有界量. 故,15y =是水平渐近线.(2)【答案】13【详解】按连续性定义,极限值等于函数值,故lim ()x f x →203sin limx x t x →=⎰220sin()lim 3x x x →洛220lim 3x x x→=13= 注：00型未定式,可以采用洛必达法则；等价无穷小量的替换22sin x x(3)【答案】12【详解】222222001111(1)2(1)212xdx dx x x x +∞+∞+∞==-⋅=+++⎰⎰(4) 【答案】xCxe-.【详解】分离变量,(1)dy y x dx x -=⇒(1)dy x dx y x -=⇒1(1)dy dx y x =-⇒1dy dx dx y x=-⎰⎰⎰ ⇒ln ln y x x c =-+ ⇒ln ln y x x ce e -+= ⇒xy Cxe -=(5)【答案】e -【详解】题目考察由方程确定的隐函数在某一点处的导数.在原方程中令0(0)1x y =⇒= .将方程两边对x 求导得y y y e xe y ''=--,令0x =得(0)y e '=-(6) 【答案】 2【详解】由已知条件2BA B E =+变形得,2BA E B -=⇒()2B A E E -=, 两边取行列式, 得()244B A E E E -=== 其中,2110112120111A E ⎡⎤⎡⎤-=-==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 222E 4E == 因此,2422E B A E===-.二、选择题.(7)【答案】A 【详解】方法1：图示法.因为()0,f x '>则()f x 严格单调增加；因为()0,f x ''> 则()f x 是凹函数,又0x >,画2()f x x =的图形yy结合图形分析,就可以明显得出结论：0dy y <<. 方法2：用两次拉格朗日中值定理000()()()y dy f x x f x f x x '-=+--(前两项用拉氏定理)0()()f x f x x ξ''=- (再用一次拉氏定理)0()()f x x ηξ=-'', 其中000,x x x x ξηξ<<+<<由于()0f x ''>,从而0y dy ->. 又由于0()0dy f x x '=>,故选[]A 方法3：用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式：000()()()()f x f x f x x x '=+-()20000()()()()2!!n n n f x f x x x x x R n ''+-++-+,其中(1)00()()(1)!n nn fx R x x n +=-+. 此时n 取1代入,可得20001()()()()()02y dy f x x f x f x x f x ξ'''∆-=+∆--∆=∆> 又由0()0dy f x x '=∆>,选()A .(8)【答案】(B ) 【详解】方法1：赋值法特殊选取1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,满足所有条件,则0,0(),0x x x f t dt x x x ≥⎧==⎨-<⎩⎰ . 它是连续的偶函数. 因此,选(B )方法2：显然()f x 在任意区间[],a b 上可积,于是0()()xF x f t dt =⎰记处处连续,又()()()()()s txxxF x f t dt f t dt f s ds F x =----==--==⎰⎰⎰即()F x 为偶函数 . 选 (B ) .(9)【答案】(C )【详解】利用复合函数求导法1()()g x h x e +=两边对x 求导⇒1()()()g x h x g x e +''=将1x =代入上式,⇒1(1)12g e+=⇒1(1)ln 1ln 212g =-=--. 故选(C ).(10)【答案】(C )【详解】题目由二阶线性常系数非齐次方程的通解,反求二阶常系数非齐次微分方程,分两步进行,先求出二阶常系数齐次微分方程的形式,再由特解定常数项.因为212x x x y c e c e xe -=++是某二阶线性常系数非齐次方程的通解,所以该方程对应的齐次方程的特征根为1和-2,于是特征方程为2(1)(2)20λλλλ-+=+-=,对应的齐次微分方程为-20y y y '''+=所以不选(A )与(B ),为了确定是(C )还是(D ),只要将特解x y xe *=代入方程左边,计算得()()-23x y y y e ***'''+=,故选(D ). (11) 【答案】()C【详解】记140(cos ,sin )(,)Dd f r r rdr f x y dxdy πθθθ=⎰⎰⎰⎰,则区域D 的极坐标表示是：01r ≤≤ ,04πθ≤≤. 题目考察极坐标和直角坐标的互化问题,画出积分区间,结合图形可以看出,直角坐标的积分范围（注意 y x = 与 221x y += 在第一象限的交点是22（，）,于是:02D y y x ≤≤≤≤所以,原式0(,)yf x y dx =. 因此选 ()C(12) 【答案】D 【详解】方法1：化条件极值问题为一元函数极值问题。

2006-数一标准答案及解析

解 : (1) = x2 sin x1 ,∴ 0 < x2 ≤ 1,因此当n ≥ 2时
又xn ≥ 0,∴{ xn } 有下界，根据准则1,lim xn = A存在, 递推公式两边取极限得
n →∞
= A sin A, ∴ = A 0
sin xn x2 (2)原式= lim( ) n , 为"1∞"型 n →∞ xn
-1
（14）依题：
x − µ1
σ1
~ N (0， 1),
Y − µ2
σ2
~ N (0,1).
X − µ1 1 < , P{ X − µ1 <1} = P σ1 σ1 Y − µ2 1 P{ Y − µ 2 < 1} = P < . σ σ 2 2
因
P{ X − µ1 < 1} > P{ Y − µ 2 < 1},
今 f x′( x0 , y0 ) ≠ 0, 则f y′( x0 , y0 ) ≠ 0
(11)设α 1 ,α 2 ,…,α s 都是 n 维向量，A 是 m×n 矩阵，则（）成立. (A) 若α 1 ,α 2 ,…,α s 线性相关,则 Aα 1 ,Aα 2 ,…,Aα s 线性相关. (B) 若α 1 ,α 2 ,…,α s 线性相关,则 Aα 1 ,Aα 2 ,…,Aα s 线性无关. (C) 若α 1 ,α 2 ,…,α s 线性无关,则 Aα 1 ,Aα 2 ,…,Aα s 线性相关. (D) 若α 1 ,α 2 ,…,α s 线性无关,则 Aα 1 ,Aα 2 ,…,Aα s 线性无关. 解: (A) 本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解. 若α 1 ,α 2 ,…,α s 线性相关,则存在不全为 0 的数 c 1 ,c 2 ,…,c s 使得 c 1 α 1 +c 2 α 2 +…+c s α s =0, 用 A 左乘等式两边,得 c 1 Aα 1 +c 2 Aα 2 +…+c s Aα s =0, 于是 Aα 1 ,Aα 2 ,…,Aα s 线性相关.

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学真题数3--03真题初步答案

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三答案一、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （1） 1解：记(1)1()n n n u n -+= 2(1)22121lim lim()lim()122n n n n n n n u n n-→∞→∞→∞++===21(1)2122lim lim()lim()12121n n n n n n nu n n ---→∞→∞→∞===--所以lim 1n n u →∞=.(2) 32e解：由()()f x f x e '=，有 ()()2()()()()f x f x f x f x ee f x e '''''=== 2()2()2()3()()()(2())2()2f x f x f x f x f x e e f x e f x e ''''''====以2x =代入，得3(2)3(2)22f f e e '''==.(3) 42dx dy -解：方法1：由微分形式不变性，有222222(4)(4)(4)(82)dz f x y d x y f x y xdx ydy ''=--=--(1,2)(0)(84)4-2dzf dx dy dx dy '=-=方法2：求偏导数，22(4)8,zf x y x x∂'=-∂g 22(4)(2y)y z f x y ∂'=--∂. 以11,2,(0)2x y f '===，代入z z dz dx dy x y ∂∂=+∂∂便得如上填. (4) 1 -11 1⎛⎫⎪⎝⎭解:由2BA B E =+化得()2B A E E -=,显然 A E -可逆，且 112E()2()B A E A E --=-=-其中 2 1 1 0 1 1-1 20 1-1 1A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 11 -11() 1 12A E -⎛⎫-= ⎪⎝⎭1 -1 1 -11B2 1 1 1 12⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（5）19解： {}{}{}{}max(,)11,111p x y p x Y p x p Y ≤=≤≤=≤≤=1133⋅=19.（6）2解：因为2()()E S D X =，故只要计算()D X . X 概率密度()f x 是偶函数，所以()0E X =222220()()[()]()()2()D X E X E X E X x f x dx x f x dx +∞+∞-∞=-===⎰⎰202x x e dx ∞-==⎰.二、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）A解：方法1：因为()0,f x '>则()f x 严格单调增加 ()0,f x ''> 则()f x 是凹的0x >V 又，故0dy y <<V . 方法2：用两次拉格朗日中值定理 000()()()y dy f x x f x f x x '-=+--V V V 0()()f x f x x ξ''=-V V0()()f x x ηξ''=-V 其中000,x x x x ξηξ<<+<<V由于()0f x ''>，从而0y dy ->V 又由于0()0dy f x x '=>V ，故选[]A(8) C解：因为()f x 在0x =处连续，所以2202220(0)lim ()lim ()lim ()()lim 0x h x h f f x f x x h f h f h h h+→→→→=====又22200()(0)()limlim 1,0h x f x f f h x h x h+→→-==- 所以(0)f +'存在，故选[C ].（9）D解：题设1n n a ∞=∑收敛，所以11n n a ∞+=∑也收敛，所以11()n n n a a ∞+=+∑收敛，从而112n n n a a ∞+=+∑也收敛.[]D 选.(10) B解：线性非齐次微分方程的两个解的差是对应的齐次微分方程的解.因为12()()y x y x ≠，所以12(()())y x y x -是齐次微分方程的一个非零解，C 是任意常数，所以12(()())C y x y x -是对应的齐次微分方程的通解.再加上原非齐次方程的一个特解，便得原非齐次方程的通解，[B ].(11) D解：引入函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，有000000000000000000(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0(,)(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)(,)0,(,)0[]x x xy y y y y x y x y y x y f x y x y f x y x y x y f x y f x y x y x y f x y x y x y f x y f x y D λλϕλϕϕϕϕλϕϕ'''⎧+=⎪'''+=⎨⎪'=⎩'''''≠∴=-=''''≠≠Q F =F =F =代入(1)得今则故选(12) A【考点】本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.解：方法1：若12,,,s αααL 线性相关,则存在不全为0的数12s ,,,k k k L 使得11220s s k k k ααα+++=L用A 左乘等式两边,得11220s s k A k A k A ααα+++=L于是12,,,s A A A αααL 线性相关.方法2：如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1. 12,,,s αααL 线性相关⇔ 12(,,,)s r s ααα<L .2.()()r AB r B <.矩阵1212(,,,)(,,,)s s A A A A αααααα=L L ,因此1212(,,,)(,,,)s s r A A A r s αααααα≤<L L由此马上可判断答案应该为[A ]. (13) B解：用初等矩阵在乘法中的作用得出将A 的第2行加到第1行得B ，即 110010001B A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=PA将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，即110010001C B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 记 BQ 因 PQ =110010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭110010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭E =，故1Q P -=从而 11C BP PAP --== ,故选[B ]. （14）A【考点】正态分布的基本性质和正态分布的标准化技巧解：11111(1)(),X P X P μμσσ--<=<随机变量11-X μσ~(0,1)N ，且其概率密度函数是偶函数.故111111*********[()(0)]2()1X X P P μμφφφσσσσσσ⎧⎫⎧⎫--⎪⎪<=<<=-=-⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭.同理221(1)2()1P Y μφσ-<=-因为()x φ是单调函数，当12{||1}{||1}P X P Y μμ-<>-<时，112()1φσ->212()1φσ-，即1211σσ>，即12σσ>，故选[A ].三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) 解：(1)1sin()lim (,)lim [1arctan y y xy y yg x f x y xy xπ→+∞→+∞-==-+,由于0x ≠，所以 lim sinlim ,y y xxy y x yyπππ→+∞→+∞==g11limlim ,11y y y xy x x y→+∞→+∞==++所以11()arctan xg x x xπ-=-. 200022200222011arctan 2lim ()lim()limarctan arctan 112arctan 1lim lim 21121lim .21x x x x x x x x x x g x x x x xx x x x x x x x x x x x ππππππ++++++→→→→→→--+=-=-+-++-+++==+（）等洛（）（）（）(16)解：10Ddy =⎰⎰3202)03y y x dy =--⎰12023y dy =⎰29=.(17) 证：令()sin 2cos f x x x x x π=++ 只需证明0x π<<时,()f x 单调增加（严格）()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+cos sin x x x π=-+ ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<()f x '∴ 单调减少（严格）又()cos 0f ππππ'=+=，故0()0()x f x f x π'<< >时则单调增加（严格）()()b a f b f a >>由则得证.(18) 解：(1)设所求的曲线方程为()y y x =，按题意，在其上任意一点(,)P x y 处的切线斜率y '与OP 的斜率yx的差等于(0,0)ax a x >≠，即有y y ax x '-=.并且有初始条件(1)0y =.解之，按一阶线性微分方程解的公式，有11ln ln [][][]()dxdx x x x x y e axe dx C e axe dx C x adx C x ax C --⎰⎰=+=+=+=+⎰⎰⎰以上1dx x ⎰不写成ln x 而可以写成ln x 的原因是，题中有初始条件(1)0y =，x 取在1处而微分方程的解应是连续的，题设0x ≠，故其解只能取在包含1x =而不跨过0x =区间，故0x >,因此ln x 可以写成ln x .再由(1)0y =定出C a =-，于是所求的曲线方程为 (1),0y ax x a =->. (2) 直线y ax =与曲线(1)y ax x =-的交点(0,0)与(2,2)a . 直线y ax =与曲线(1)y ax x =-所围平面图形的面积222004()[(1)][2]3S a ax ax x dx ax ax dx a =--=-=⎰⎰按题意，4833a =，故2a =.(19) 222tan ln(1),11x axc x x x x -+-≤≤解：记-121(-1(2-1)n n n xu n n +=），有2321-121(-1(1)(21)(-1(2-1)limlim n n n n n n n n xu n n x x u n n +++→∞→∞++==））故知当21x <即1x <时，原级数绝对收敛；当21x >，即1x >时，原级数通项不趋于0，级数发散，所以收敛半径1R =.在1x =±处-1(-1(2-1)n n u n n ±=），级数1n n u ∞=∑绝对收敛，故收敛域为[1,1]-.为求和函数，应先在收敛区间内进行，由 -121-1211(-1(-1(2-1)(2-1)n n n n n n x x x n n n n +∞∞===∑∑））令-121(-1()(2-1)n n n xf x n n ∞==∑）有 -12-12-121111(-1(-12(-1()()()(2-1)(2-1)2-1n n n n n n n n n x x xf x n n n n n -∞∞∞==='''===∑∑∑）））-121-121-1221112(-12(-1()()()2(-12-12-1n n n n n n n n n x x f x x n n --∞∞∞-===''''===∑∑∑）））2222(-11n nn x x∞===+∑）. 再倒回去，有 202()(0)()02arctan 1xxf x f f t dt dt x t '''=+=+=+⎰⎰()(0)()02arctan xxf x f f t dt xdt '=+=+⎰⎰=22022[arctan ]2arctan -ln(1)01xx tdt x t x t -=++⎰. 于是 -121221(-12arctan -ln(1),11(2-1)n n n xx t x x x n n +∞==+-<<∑）. 又因在1x =±处，级数收敛，右边和函数的表达式在1x =±处连续，因此，在1x =±处上式仍成立，即有()()1212211()2tan ln(1),1121n n n x s x x axc x x x x n n -+∞=-==-+-≤≤-∑.(20) 解：方法1：记1234[,,,]A αααα=，则1234123412341234(10)1234123412341234a a a a a a aa+++=+++++ 31234000(10)(10)000000a a a a a a=+=+于是当0a =或10a =-时，1234,,,αααα线性相关.当0a =时，1α为1234,,,αααα的一个极大线性无关组，且2131412,3,4αααααα===. 当10a =-时,对A 作初等行变换.92349234183410100012741001001236100010A ----=→---12349234000011001100[,,,]101010101111ββββ---→→=----由于234,,βββ为1234,,,ββββ的一个极大线性无关组，且1234ββββ=---，故234,,ααα 为1234,,,αααα的一个极大线性无关组，且1234αααα=---.方法2：记1234[,,,]A αααα=，对A 施以初等行变换，有12341234123400123400123400a a a a a A B a a a aaa+++-=→=+-+-当0a =时，A 的秩为1，因而1234,,,αααα线性相关,此时1α为1234,,,αααα的一个极大线性无关组，且2131412,3,4αααααα===.0a ≠时，再对B 施以初等行变换，有123412341000011001100[,,,].10101010100111a a B C γγγγ++--→→==----如果10a ≠-，C 的秩为4，故1234,,,αααα线性无关;如果10a =-时，C 的秩为3，故1234,,,αααα线性相关.由于234,,γγγ是1234,,,γγγγ的一个极大线性无关组，且1234γγγγ=---，于是234,,ααα是1234,,,αααα的一个极大线性无关组，1234αααα=---.(21) 解:(1) 由A 的每行元素之和为3，有(1,1,1)(3,3,3)T TA =故，0(1,1,1)Tα=是A 的特征向量,特征值为3.又12,αα都是0AX =的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于12,αα线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:0c α, c 0≠.属于0的特征向量: 1122c c αα+，12,c c 不都为0. (2)将0α单位化,得0()333T η=. 对12,αα作施密特正交化,得1(0, )22T η=-,2(Tη=. 作123(,,)Q ηηη=,则Q 是正交矩阵,并且-13 0 00 0 00 0 0T Q AQ Q AQ ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭(3)由TQ AQ =Λ，其中1T Q Q -=0003TA Q Q⎡⎤⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦0003330000333333⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦666333()()(())222T TA E Q Q E Q E Q-=Λ-=Λ-6613233()022332TQ E Q Q Q-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=Λ-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6666323333()()()222232T T TQ Q QEQ QQ E=⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （22）解：（Ⅰ）20,0(1),01()()()(2),141,4YyyF y P Y y P X yyy<⎧⎪≤<⎪=≤=≤=⎨≤<⎪⎪≤⎩式式⎰⎰=+=≤≤-=-yyydxdxyXyP434121)()1(式；⎰⎰+=+=≤≤-=-yydxdxyXyP141214121)()2(式。

2006数学二

关于原函数的一些重要结论，它们是：
结论 1 连续奇函数之原函数必为偶函数。
结论 2 连续偶函数之原函数必为奇函数与常数之和，
其中只有一个为奇函数（ C = 0 ）。
结论 3 连续周期函数之原函数必为周期函数与线性数之和，
且周期不变。
连续周期函数 f (x) 之原函数为周期函数的充要条件是
∫T f (x)dx = 0 ，其中T > 0 为周期。
【解析与点评】当 x = 0 时， y = 1，
又把方程每一项对 x求导, y′ = −e y − xe y y′
y′(1 + xe y ) = −e y
y′ = − ey
= −e
x=0
1 + xe y x=0
y =1
（6）设矩阵
A
=
⎜⎜⎝⎛
2 −1
1 2
⎟⎟⎠⎞
，
E
为
2
阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA = B + 2E
(
x0
,
y0
)
=
0
，
而由此推不出：
f
′
y
(
x0
,
y0
)
≠ 0,或
f
′
y
(
x0
,
y0
)
=0，
因而否定
（A）和（B）。
4
当
f x′(x0 ,
y 0）≠
0
时，加上
ϕ
′ y
(
x0
,
y0 )
≠
0
,可推出
f y′( x0,
y0
)
⋅
ϕ
′
x
(

【】北京交通大学2006

北京交通大学2006 年硕士研究生入学考试试题一、（20 分）作图示结构的 M 图，画出结构的变形曲线。

(b)Bx(d)(f)F Dx(e) AyCy120 M 图 (kN m)解：简化半结构结构变形曲线（1）对隔离体 AB 分析，∑ M A= 0即30 × 7 − F Cy× 3 = 0 ⇒F Cy=70kN ；对隔离体 CD 分析，∑ F y= 0 ⇒ F Dy=70kN；∑M C= 0即F Dx× 4 −F Dy×4 = 0 ⇒F Dx=70kN ；（2）再求控制点的弯矩 M=,=,= 280,=⋅ CB120kN ⋅ m M CA120kN ⋅ m M ECkN ⋅ m M ED280kN m（3 B 从 A 移动到 C 时，体系几何组成性质的变化规律。

(a)A(b)B C(c)A解：当 B 在 A 点时，CDA 2 3 2 7B 8 5C 13 8 1415 D ACEF 可看成刚片Ⅰ，刚片 DG 与基础由两刚片规律形成无多余约束的大刚片Ⅱ，同样Ⅰ与 Ⅱ当 B 在 >0 体系定为常变三、（1F P4a0 1IC DEFGF 2F GD F 1(d)F GDDF RAF PF RD解：先将零杆示于图 b ，取 I-I 截面以左部分分析（图 c ），∑M F= 0 ⇒+F × a F1×× a = 0 ⇒ F = −5F (压力)P∑ Y = 0 ⇒GD= 5GDP再取 D 点，F RDF P(↑)。

再对整体分析：由∑ ME= 0 ⇒F RA⋅ 4a − F P× 3a + F P× a = 0 ⇒F RA= FP( )/ 2，则F NAF =−F P/ 2 (压力)。

5= − (压力)，取结点 F 分析，可求得 F N1=2 F P(拉力)， F NFGF PN 2=F P(拉力)。

图。

4m2m2m五、（20分） EI ＝常数，EA ＝EI/a 2,荷载从 0～ F 变化（加载过程缓慢），试分析S 杆的转DEF(b)PF NBCF PaaF NBDB(c)(d) F P a(e)(f)F P aPM P 图 F NP 图E 1 MF N 图解：分析结点 A 的平衡，F NAC= 0 ， F NAB= −F P。

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北京交通大学2006年硕士研究生入学考试数学分析试题
一、（本题满分25分）
设函数()f x 是区间(,)R =-∞+∞上的单调函数，定义：()(0)g x f x =+.证明：函数()g x 在区间(,)R =-∞+∞上每一点都右连续.
二、（本题满分25分）
设12,,,n a a a 为个正数，且 112()()x x x n x a a a f x n
++= . 证明：（1
）0
lim ()x f x →=（2）12lim ()max{,,,}n x f x a a a →+∞= . 三、（本题满分25分）
设函数()f x 在区间[0,)+∞上连续，0a b <<.
（1）证明：如果lim ()x f x k →+∞=，则0
()()((0))ln f ax f bx b dx f k x a +∞
-=-⎰. （2）证明：如果积分()a f x dx x +∞⎰收敛，则0()()(0)ln f ax f bx b dx f x a
+∞
-=⎰. 四、（本题满分25分）
设函数()n u x 在闭区间[,]a b 上连续(1,2,3,)n = ，级数1
()n n u x ∞=∑在开区
间(,)a b 内一致收敛。

证明：函数1
()()n n f x u x ∞==∑在闭区间[,]a b 上一致连
续.
五、（本题满分25分）
如果函数(,,)u F x y z =满足恒等式： (,,)(,,)k F tx ty tz t F x y z =，
则称函数(,,)F x y z 为k 次齐次函数。

试证下述关于齐次函数的Euler 定
理：可微函数(,,)F x y z 微k 次齐次函数的充分必要条件为
(,,)(,,)(,,)(,,)x y z xF x y z yF x y z zF x y z kF x y z ++=.
六、（本题满分25分）
设3||
r A r =，S 是一个封闭曲面，(,,)r x y z =.证明：（1）如果原点在曲面S 外时，0s A dS ⋅=⎰⎰ ；（2）如果原点在曲面S 内时，4s A dS π⋅=⎰⎰ .。