北京交通大学2006年硕士研究生入学考试数学分析试题

北京交通大学2006年硕士研究生入学考试数学分析试题

一、（本题满分25分）

设函数()f x 是区间(,)R =-∞+∞上的单调函数，定义：()(0)g x f x =+.证明：函数()g x 在区间(,)R =-∞+∞上每一点都右连续.

二、（本题满分25分）

设12,,,n a a a 为个正数，且 112()()x x x n x a a a f x n

++= . 证明：（1

）0

lim ()x f x →=（2）12lim ()max{,,,}n x f x a a a →+∞= . 三、（本题满分25分）

设函数()f x 在区间[0,)+∞上连续，0a b <<.

（1） 证明：如果lim ()x f x k →+∞=，则0

()()((0))ln f ax f bx b dx f k x a +∞

-=-⎰. （2） 证明：如果积分()a f x dx x +∞⎰收敛，则0()()(0)ln f ax f bx b dx f x a

+∞

-=⎰. 四、（本题满分25分）

设函数()n u x 在闭区间[,]a b 上连续(1,2,3,)n = ，级数1

()n n u x ∞=∑在开区

间(,)a b 内一致收敛。证明：函数1

()()n n f x u x ∞==∑在闭区间[,]a b 上一致连

续.

五、（本题满分25分）

如果函数(,,)u F x y z =满足恒等式： (,,)(,,)k F tx ty tz t F x y z =，

则称函数(,,)F x y z 为k 次齐次函数。试证下述关于齐次函数的Euler 定

理：可微函数(,,)F x y z 微k 次齐次函数的充分必要条件为

(,,)(,,)(,,)(,,)x y z xF x y z yF x y z zF x y z kF x y z ++=.

六、（本题满分25分）

设3||

r A r =，S 是一个封闭曲面，(,,)r x y z =.证明：（1） 如果原点在曲面S 外时，0s A dS ⋅=⎰⎰ ；（2）如果原点在曲面S 内时，4s A dS π⋅=⎰⎰ .