通信网络安全与加密
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由于纠错码依赖多余度而造成数据扩展，而密码中 则不希望这样做，又由于其密钥量太大，致使这类 体制未能得到广泛研究。
当有扰信道的安全受到威胁时，保密和纠错的组合 可能会得到重视。
通信网络安全与加密
McEliece公钥密码
设G 是二元(n, k, d) Goppa码的生成矩阵； 其中n=2m， k=n－tm=2m－tm， d=2t+1
通信网络安全与加密
4个根中有一个是明文m。 如果把(modp)、(modq)值为mp、mq的根叫做m’，
则(modp)、(modq)值为p-mp、q-mq的根就是n-m’。 另外两个根的和也等于n。即如果把一个叫做m’’，
则另一个就是n-m’’。
那么， 4个不同的根怎样计算呢？ 如果仅仅知道n，而不知道分解式n=pq，则无法 计算mp和mq，因而无法计算这4个不同的根。
通信网络安全与加密
离散对数问题—续
给定一个素数p，
z*p上的一个生成元g， 及一个元素y， 寻找整数x（0=<x=<p-2）， 使得gx = ymod p。
通信网络安全与加密
Diffie－Hellman问题
给定一个素数p，z*p上的一个生成元g，及元
素y1＝ ga mod p ， y2＝ gb mod p ，求： y ＝
（4个数的计算使用孙子定理（中国剩余定理）。）
通信网络安全与加密
于是，真正的明文m一定就是4个数 m1， m2， m3， m4 之中的一个。
观察4个数，排除那些没有意义的“乱码课文”。 哪个是有意义的课文，哪个就是真正的明文m。
解密完毕。
通信网络安全与加密
通信网络安全与加密
Rabin的解密正确性
计算：m1， m2， m3， m4， 满足：
0<m1<n；0<m3<n； 0<m2<n； 0<m4<n；
m1(modp)=mp； m1(modq)=mq； m2(modp)=mp； m2(modq)=q-mq； m3(modp)=p-mp； m3(modq)=mq； m4(modp)=p-mp； m4(modq)=q-mq 。
通信网络安全与加密
Βιβλιοθήκη Baidu
如果知道了n的分解式n=pq，则能够计算mp和mq。 再由mp和mq计算4个根，使用的是著名的孙子定 理（中国剩余定理）。
最后，要判断哪一个根是真正的明文。 一般，真正的明文都具有语言含义，而其它的根 则是没有语言含义的“乱码课文”。当然也有例 外，比如当明文是一副图象的编码时，明文也是 没有语言含义的“乱码课文”。
然而，因其公钥过于庞大，为10^19比特长，且密文扩展 过大，而不被接受。
它的贡献：开拓了基于纠错码的密码。
通信网络安全与加密
离散对数问题与 ElGamal算法
通信网络安全与加密
离散对数问题
离散对数问题是指： 给定一个素数p，z*p上的一个生成元g，及 一个元素y，寻找整数x（0=<x=<p-2），使 得gx = ymod p。
其中v’= mSG是码字。 3. 求满足v’=m’G 的m’，即m’= mS。 4. 计算m=m’S-1。
通信网络安全与加密
McEliece的实现
建议码长为1024，S为500*500方阵，P是1024*1024的置 换方阵。
尽管McEliece是最早的公钥算法之一，该方案比RSA快三 个数量级，至今未有攻击成功的结果。
G是k×n阶矩阵
随机选取GF(2)上的k阶可逆方阵S和n阶置换矩阵P 令G’ = SGP 则私钥为：S、G、P；
公钥为：G’。
通信网络安全与加密
McEliece公钥密码
加密：c = mG’+e，其中e是重量为t的向量。
解密： 1. 计算c’=cP-1=mSGPP-1 +e P-1 = mSG +e’ ； 2. 对c’进行纠错译码： c’=v’+e’ ，
通信网络安全与加密
Rabin的安全性原理
攻击者Eve截获了密文c。 Eve还知道Bob的公钥n， 也知道明文m满足方程 c=m2(modn)。
但是他不知道n的分解式n=pq，无法计算mp和mq， 进一步无法计算4个根。
求n的分解式n=pq是大数分解问题。
通信网络安全与加密
RSA与Rabin比较
Rabin与McEliece
2011-03-31
通信网络安全与加密
公钥密码Rabin（基于二次剩余）
Rabin密码系统，是由M. Rabin设计的，是RSA密 码系统的一种改进。
RSA是基于指数同余的；Rabin是基于二次同余。
Rabin密码系统可以认为是e和d为定值的RSA密码 系统：e = 2 ，d = 1/2。
即，加密是 c = m^2 mod n， 解密是 m = c^(1/2) mod n。
通信网络安全与加密
Rabin的密钥生成
选择两个大的素数p和q，要求p和q都是4的倍数加 3。
计算n=pq。 Bob的公钥是n，对外公布。 Bob的私钥是（p，q），自己私藏。
通信网络安全与加密
Rabin的加密过程
Alice欲发送明文m给Bob，其中 0<m<n 。
Alice用Bob的公钥n，计算： c=m2(modn)。
c为密文。
通信网络安全与加密
Rabin的解密过程
Bob 收到密文c后， 用自己的私钥（p，q）计算：
p 1
m p c 4 (mod p);
q 1
mq c 4 (mod q).
通信网络安全与加密
因为n=pq是两个不同的素数的乘积，所以，关于未 知数x的二次方程 x2= c (modn)
恰好有4个不同的根x，分别有以下形状： 一个根的(modp)、(modq)值是mp、mq； 一个根的(modp)、(modq)值是mp、q-mq； 一个根的(modp)、(modq)值是p-mp、mq； 一个根的(modp)、(modq)值是p-mp、q-mq 。
比较项目 公钥 私钥
加密算法 解密算法 安全基础
RSA (n, e)
d c=me(modn) m=cd(modn) 大数分解问题 的困难性
Rabin n
(p, q) c=m2(modn)
若干步 大数分解问题
的困难性
通信网络安全与加密
McEliece公钥密码（基于纠错码）
1978年McEliece提出利用纠错码构造公钥密码体制。
当有扰信道的安全受到威胁时，保密和纠错的组合 可能会得到重视。
通信网络安全与加密
McEliece公钥密码
设G 是二元(n, k, d) Goppa码的生成矩阵； 其中n=2m， k=n－tm=2m－tm， d=2t+1
通信网络安全与加密
4个根中有一个是明文m。 如果把(modp)、(modq)值为mp、mq的根叫做m’，
则(modp)、(modq)值为p-mp、q-mq的根就是n-m’。 另外两个根的和也等于n。即如果把一个叫做m’’，
则另一个就是n-m’’。
那么， 4个不同的根怎样计算呢？ 如果仅仅知道n，而不知道分解式n=pq，则无法 计算mp和mq，因而无法计算这4个不同的根。
通信网络安全与加密
离散对数问题—续
给定一个素数p，
z*p上的一个生成元g， 及一个元素y， 寻找整数x（0=<x=<p-2）， 使得gx = ymod p。
通信网络安全与加密
Diffie－Hellman问题
给定一个素数p，z*p上的一个生成元g，及元
素y1＝ ga mod p ， y2＝ gb mod p ，求： y ＝
（4个数的计算使用孙子定理（中国剩余定理）。）
通信网络安全与加密
于是，真正的明文m一定就是4个数 m1， m2， m3， m4 之中的一个。
观察4个数，排除那些没有意义的“乱码课文”。 哪个是有意义的课文，哪个就是真正的明文m。
解密完毕。
通信网络安全与加密
通信网络安全与加密
Rabin的解密正确性
计算：m1， m2， m3， m4， 满足：
0<m1<n；0<m3<n； 0<m2<n； 0<m4<n；
m1(modp)=mp； m1(modq)=mq； m2(modp)=mp； m2(modq)=q-mq； m3(modp)=p-mp； m3(modq)=mq； m4(modp)=p-mp； m4(modq)=q-mq 。
通信网络安全与加密
Βιβλιοθήκη Baidu
如果知道了n的分解式n=pq，则能够计算mp和mq。 再由mp和mq计算4个根，使用的是著名的孙子定 理（中国剩余定理）。
最后，要判断哪一个根是真正的明文。 一般，真正的明文都具有语言含义，而其它的根 则是没有语言含义的“乱码课文”。当然也有例 外，比如当明文是一副图象的编码时，明文也是 没有语言含义的“乱码课文”。
然而，因其公钥过于庞大，为10^19比特长，且密文扩展 过大，而不被接受。
它的贡献：开拓了基于纠错码的密码。
通信网络安全与加密
离散对数问题与 ElGamal算法
通信网络安全与加密
离散对数问题
离散对数问题是指： 给定一个素数p，z*p上的一个生成元g，及 一个元素y，寻找整数x（0=<x=<p-2），使 得gx = ymod p。
其中v’= mSG是码字。 3. 求满足v’=m’G 的m’，即m’= mS。 4. 计算m=m’S-1。
通信网络安全与加密
McEliece的实现
建议码长为1024，S为500*500方阵，P是1024*1024的置 换方阵。
尽管McEliece是最早的公钥算法之一，该方案比RSA快三 个数量级，至今未有攻击成功的结果。
G是k×n阶矩阵
随机选取GF(2)上的k阶可逆方阵S和n阶置换矩阵P 令G’ = SGP 则私钥为：S、G、P；
公钥为：G’。
通信网络安全与加密
McEliece公钥密码
加密：c = mG’+e，其中e是重量为t的向量。
解密： 1. 计算c’=cP-1=mSGPP-1 +e P-1 = mSG +e’ ； 2. 对c’进行纠错译码： c’=v’+e’ ，
通信网络安全与加密
Rabin的安全性原理
攻击者Eve截获了密文c。 Eve还知道Bob的公钥n， 也知道明文m满足方程 c=m2(modn)。
但是他不知道n的分解式n=pq，无法计算mp和mq， 进一步无法计算4个根。
求n的分解式n=pq是大数分解问题。
通信网络安全与加密
RSA与Rabin比较
Rabin与McEliece
2011-03-31
通信网络安全与加密
公钥密码Rabin（基于二次剩余）
Rabin密码系统，是由M. Rabin设计的，是RSA密 码系统的一种改进。
RSA是基于指数同余的；Rabin是基于二次同余。
Rabin密码系统可以认为是e和d为定值的RSA密码 系统：e = 2 ，d = 1/2。
即，加密是 c = m^2 mod n， 解密是 m = c^(1/2) mod n。
通信网络安全与加密
Rabin的密钥生成
选择两个大的素数p和q，要求p和q都是4的倍数加 3。
计算n=pq。 Bob的公钥是n，对外公布。 Bob的私钥是（p，q），自己私藏。
通信网络安全与加密
Rabin的加密过程
Alice欲发送明文m给Bob，其中 0<m<n 。
Alice用Bob的公钥n，计算： c=m2(modn)。
c为密文。
通信网络安全与加密
Rabin的解密过程
Bob 收到密文c后， 用自己的私钥（p，q）计算：
p 1
m p c 4 (mod p);
q 1
mq c 4 (mod q).
通信网络安全与加密
因为n=pq是两个不同的素数的乘积，所以，关于未 知数x的二次方程 x2= c (modn)
恰好有4个不同的根x，分别有以下形状： 一个根的(modp)、(modq)值是mp、mq； 一个根的(modp)、(modq)值是mp、q-mq； 一个根的(modp)、(modq)值是p-mp、mq； 一个根的(modp)、(modq)值是p-mp、q-mq 。
比较项目 公钥 私钥
加密算法 解密算法 安全基础
RSA (n, e)
d c=me(modn) m=cd(modn) 大数分解问题 的困难性
Rabin n
(p, q) c=m2(modn)
若干步 大数分解问题
的困难性
通信网络安全与加密
McEliece公钥密码（基于纠错码）
1978年McEliece提出利用纠错码构造公钥密码体制。