抽象不等式的解法

抽象不等式的解答方法

一、利用单调性、奇偶性等函数的性质

模型1：()f x 在区间上单调递增，若()()f a f b >，则a b >。

模型2：奇函数()f x 在区间上单调递增，若()()0f a f b +>，则可得()()f a f b >-，∴a b >-。

例题：已知函数()sin f x x x =-，则2(2)(3)0f x x f -+->的解集为______.

解析：()f x 为奇函数，求导得'()1cos 0f x x =-≥，()f x ∴在R 上单调递增，

由2(2)(3)0f x x f -+->得，2(2)(3)f x x f -> ，

223x x ∴->，

解得，1x <-，或3x >。

总结：1、将目标写成具体不等式，则得到超越不等式，无法解答。没有具体解析式的不等式问题，结合函数的单调性、奇偶性解答。

2、考查条件函数的性质（单调性、奇偶性）和目标不等式的特点，由模型2可解答。

二、构造函数法： ——利用新函数单调性、奇偶性特殊点等性质画出图像，结合图像得不等式的解集。

这类问题的主要思想是，用x 、x e 、()f x 通过四则运算（主要是乘、除）的组合得到新函数。

模型1：()f x x

，求导得⇒2'()()xf x f x x -，结构特点⇒'()()xf x f x -。 说明：由求导法则，可知是由两个函数相除求导的结果。

模型2：()xf x ，求导得⇒'()()xf x f x +。

模型3：2()x f x ，求导得⇒22'()()xf x x f x +。

特点：求导的结果是,(),'()x f x f x 的组合，只有两个简单项。

模型4：()x e f x ，求导得⇒()'()(()'())x x x e f x e f x e f x f x +=+。

模型5：()x f x e

，求导得⇒2'()()'()()()x x x x e f x e f x f x f x e e --=。 特点：求导的结果是(),'()f x f x 的组合，只有两个简单项。

模型6：（1）()x xe f x ，求导得

⇒(1)()'()((1)()'())x x x x e f x xe f x e x f x xf x ++=++。

（2）()x xf x e

，求导得 ⇒2(()'())()()'()()()x x x x

f x xf x e xe f x f x xf x xf x e e +-+-=。 （3）()x e f x x

，求导得 ⇒2(()'()())x

xf x xf x f x e x

+-。

特点：求导的结果是,(),'()x f x f x 的组合，只有三个简单项。

例1、()f x 是R 上的可导函数，且满足(1)()'()0x f x xf x ++>，则()_____0f x 。 分析:条件中不等式是,(),'()x f x f x 3个组合，故函数应是,,()x

x e f x 三个简单函数组合的结果。

令()()x h x xe f x =，则'()[(1)()'()]0x h x e x f x xf x =++>， ()h x 在R 上递增，又(0)0h =，

()h x ∴图像如图所示：

()()0x h x xe f x =>时，x 与()f x 同号，()0f x ∴>；

()()0x h x xe f x =<时，x 与()f x 异号，()0f x ∴>；

综上()0f x >。

例2、已知函数()f x 在R 上的导函数为'()f x ，若'()()01

f x f x x ->-，()x f x y e =关于直线1x =对称，则不等式22()(0)x x f x x f e

--<的解集是（ ） A 、(1,0)(1,2)- B 、(,0)(1,)-∞+∞ C 、(1,2)- D 、(1,2) 分析：有条件，1x >时，'()()0f x f x ->

条件中不等式是(),'()f x f x 2个组合，故函数应是,()x e f x 2个简单函数组合的结果。

令()()x

f x h x e =，则2'()()'()()'()()x x x x e f x e f x f x f x h x e e --==， 1x ∴>时，'()0h x > ，

()h x 在(1,)+∞上递增，再由()h x 关于直线1x =对称。如图，

()h x ∴图像如图所示：

不等式22()

(0)x x f x x f e --<解集，即2()(0)h x x h -<的解集，

由图，202x x <-<

解得，10x -<<，或12x <<

例3、定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为'()f x ，若对任意0x >，都有2()'()2f x xf x +<恒成立，则使22()(1)1x f x f x -<-的解集是（ ）

A 、(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞

B 、(,1)(1,)-∞-+∞

C 、(1,1)-

D 、(1,0)(0,1)-

分析： 根据条件和目标不等式的特点，应是2x 与()f x 组合而成的函数。

目标不等式化为22()(1)1x f x x f -<-，

令22()()h x x f x x =-，()f x 为偶函数，()h x ∴为偶函数， 下面解不等式()(1)h x h <，

又0x >时，'()[2()'()2]0h x x f x xf x =+-<

()h x ∴在(0,)+∞上递减，(0)0h =，如图