SARS传播的数学模型

SARS传播的数学模型摘要通过对题目附件1的SARS模型进行分析和评价，加深了对SARS的认识和了解。

根据传染病的传播特点，建立了关于SARS病人率和疑似病人率两个常微分方程模型。

以所给数据为基本依据，用Matlab软件进行数值计算，与图形模拟方法求得模型中的有关参数。

当λ1=1.5 和λ2=1时，理论图形与实际图形有良好的吻合，分别得到了SARS病人率和疑似病人率比较符合实际数据的变化图，能正确地预测它们的发展趋势。

他们对于模型中的参数有非常强的灵感性，λ1的值作微小的改变对于整个疫情的发展有很大的影响，所以政府采取对SARS疫情的有关措施是完全正确的。

本文重点分析了关于SARS病人率的模型一，根据求得的参数，利用相轨线理论对结果加以分析并对整个疫情作出预测，并推论出SARS病人率关于t的表达式i(t),然后提出了对传染病的控制方案，同时列举了具体方法，并论证了方法的合理性和可行性，用其它地区的数据对模型进行检验，说明模型的参数有区域性。

关键词：SARS 微分方程曲线拟合数学模型相轨线一、问题的提出SARS俗称非典型肺炎，是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。

我国作为发展中大国深受其害：SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。

在党和政府的统一领导下，全国人民与SARS顽强抗争，取得了可喜的阶段性胜利，并从中得到了许多重要的经验和教训，认识到在没有找出真正病因和有效治愈方法前，政府采取的强制性政策对抑制SARS自然发展最有效办法。

而本题的目的就是要建立一个适当的模型对SARS传播规律进行定量地分析、研究，为预测和控制SARS蔓延提供可靠、足够的信息，无论对现在还是将来都有其重要的现实意义。

二、模型的假设1．地总人数N可视为常数，即流入人口等于流出人口。

2．据人口所处的健康状态，将人群分为：健康者，SARS病人，退出者（被治愈者、免疫者和死亡者）。

3．在政府的强制措施下，人口基本不流动，故无病源的流入和流出，避免了交叉感染，降低了感染基数。

4．隔离的人断绝了与外界的联系，不具有传染性。

5．SARS康复者二度感染的概率为0。

6．国家完善了监控手段，加强了对SARS病毒监控的力度，故可假设所有感染SARS 病毒的人群都进入了SARS病人类和疑似类。

7．由于对SARS病原体的研究不够深入，无有效药物可以使人体免疫，同时SARS病毒感染后，大量繁殖，破坏免疫系统，故不可免疫。

三、模型的建立（一）参数的设定和符号说明s(t)：t时刻健康者在总体人群中的比例i(t)：t时刻SARS病人在总体人群中的比例l(t)：t时刻疑似病人在总体人群中的比例r(t)：t时刻被治愈者、死亡者和免疫者在总体人群中的比例之和。

λ：SARS病人日接触率。

为每个病人每天有效接触（足以使健康者受感染变为病人）1的平均人数。

u：日治愈率。

为每天被治愈的病人占病人总数的比例。

α：日转化率。

为每天危险群体中的疑似病人被确诊为SARS患者的比例。

η：日死亡率。

为每天SARS病人死亡的数量和当天病人总数量的比值。

2λ：疑似感染率。

为每天感染为疑似病人的比例。

（二）模型建立模型一 感染为SARS 患者情况由假设，每个病人每天可使)(1t s λ个健康者变为病人，因为病人人数为)(t Ni ，所以每天共有)()(1t i t Ns λ个健康者被感染，于是Nsi 1λ就是病人数Ni 的增加率，又因为每天被治愈率为μ，死亡率为η，所以每天有Ni μ个病人被治愈，有Ni η个病人死亡。

那么病人的感染为Ni Ni Nsi dtdiNημλ--= 由于1)()()(=++t r t i t s )1(对于退出者ψi dtdr= (ψ为所有退出者比例之和) )2( 由假设可知： ημψ+= 故SARS 患者率模型一的方程建立如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==--=0111011)0()0(s s i s dtdsi i i i u i s dt di ληλ (3)0)0(=r )4(模型二 疑似患者的变化情况与前面同样的分析，得到疑似患者率模型二：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=l s dtdsl l s dt dl 22222λαλ (5)四、模型求解（一）参数的确定和分析：1.ηαμ,,的确定μ =当天病人总数每天治愈的人数，α =当天疑似病人总数每天确诊的人数，η =当天病人总数每天死亡的人数用EXCEL 电子表格处理题目附件2中所给数据得：μ =0.055076，α=0.038183，η=0.002443。

（处理数据见附件） 2．21,λλ的确定)1(确定1λ很明显从我们建立的模型是无法得到s 、i 、0i 、0s 的解析解。

为了解决这个问题我们用MATLAB 软件中龙格—库塔方法求出他们的数值解。

先通过实际统计数据算出每一天的s 、i 、0i 、0s 做出它们与时间的函数图象图1，然后我们再对1λ取一组数，分别画出由通过模型解出的数值解随时间变化的图象图2，将这组图象与由实际数据所得图象相比较,调试。

我们发现当1λ≈1.5时，理论图形与实际图形有最佳的吻合。

图形如下：<图1>:根据实际数据拟合的图象（画图程序见附件）<图2>通过数值解作出的i 关于时间t 的变化（画图程序见附件）分析两个图形可知，它们的高峰期、缓解期和平稳期曲线相当符合，具有相同的发展趋势。

但是在[0,10]的SARS初期范围内，曲线变化不相同。

这主要是因为在4月24日之前，没有相关数据的统计和报道，由于数据的不全，根据边界值画出来的曲线与通过数值解得到的ti~曲线相比较，不能准确反映SARS产生初期时的趋势，所以边界值应该去掉，而通过数值解模拟的曲线可以得到之前的发展趋势。

并且通过对SARS蔓延期特点的分析，<图2>在符合所给数据反映的规律基础上，还能够模拟缺乏数据的SARS 初始状态，所以曲线是合理的。

λ（2）确定2λ时类似，先根据实际数据画出图形与确定1<图3>实际数据图形然后再对2λ取一组数，分别画出通过模型解出的数值解随时间变化的图象，将这组图象与由实际数据所得图象相比较,调试。

发现当2λ≈1.0时，理论图形与实际图形有最佳的吻合。

图形如下：<图4>在[0,10]的初期范围内，曲线趋势不同，原因同前。

整个曲线反映了疑似患者在SARS 的过程中的变化规律。

五、结果分析与检验（一）讨论 ()()t s t i ,的性质i s ~平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域D i s ∈),(为{}1,0,0|),(≤+≥≥=i s i s i s D从模型（一）中消去dt ，利用σ的定义，可得,1.1-=sds di σ 00|i i s s == （6） 由（6）式解得())ln(*100s ss i s i σ+-+= （7） （二）对于合理确定的5.11=λ，我们可以画出s i ~图，图形如下： <图5>（画图程序见附件由于在这个SARS 病毒发展过程中，μλσ=是变化的，故可以画出σ取不同值时的图形，如下取=σ/10.4192，0.2858、0.1858时的图形。

<图6>分析（3）式和（7）式，可知：1． 不论初始条件0s ，0i 如何，病人终会消失，即SARS 最终会被消灭,亦即0=∞i 。

证明省略。

从图形上看，相轨线终将与s 轴相交（t 充分大）。

2． 设最终未被感染的健康者的比例是∞s ，在（7）式中令0=i 得到方程0ln1000=-+∞s s i s σ（8） ∞s 是（8）在（0,1/σ）内的根，在图形上∞s 是相轨线与s 轴在（0,1/σ）内交点的横坐标。

对于确定下来的σ/1=0.0383，可以代入（8）式解出∞s ≈0 3． SARS 疾病传染过程分析整个传染过程，随着政府和公众对SARS 的重视程度的变化，可知接触数μλσ/1=随着治愈率μ、死亡率η和接触率1λ的不断变化而变化。

（1）在SARS 爆发的初期，由于潜伏期的存在，社会对SARS 病毒传播的速度和危害程度认识不够，所以政府和公众没有引起重视。

治愈率μ和死亡率η很小，而接触率1λ相对较大，所以σ/1很小。

当>0s σ/1，则)(t i 开始增加，可认为是疾病蔓延阶段。

（2）当0s =σ/1时，)(t i 达到最大值)ln 1(1000σσs i s i m +-+= （9）对于我们确定的5.11=λ，可以求出=m i 0.8368，可认为是疾病传染到达了高峰期。

（3）当0s <σ/1时，)(t i 单调减小至零，)(t s 单调减小至∞s 。

这一时期病人比例)(t i 绝不会增加，传染病不会蔓延，进入缓解期。

4．群体免疫和预防根据对模型的分析，当0s ≤σ/1是传染病不会蔓延。

所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水平，使阈值1/σ变大以外，另一个途径是降低0s ，这可以通过预防接种使群体免疫。

第二个途径通过预防接种使群众免疫，免疫后就不会被感染上病毒。

按照我们人群的分类系统，将免疫人群归为退出者类，所以免疫人群的出现，不与模型的分类系统相矛盾。

忽略病人比例的初始值0i ，有0s =1-0r ，于是SARS 不再蔓延的条件0s ≤σ/1可以表示为：σ110-≥r （10）所以只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例0r 满足（10），就可以制止SARS 的蔓延。

5．数值验证与估量根据上面的分析，阻止SARS 蔓延有两种手段，一是提高卫生水平和医疗水平，即降低日接触率，提高日治愈率μ，二是群体免疫，即提高移出者比例的初值0r 。

我们以最终未感染的健康者的比例∞s 和病人比例达到最大值m i ，作为传染病蔓延程度的度量指标。

给定不同的λ，μ，0s ，0i ，用（8）式计算∞s ，用（9）式计算m i从计算得到的∞s 和m i 可以看出：（1）对于一定的0s ，降低λ，提高μ，使阈值1/σ变大，会使∞s 变大，m i 变小。

于是验证了群体免疫和预防中提出的提高卫生水平和医疗水平，可以使SARS 最终的患者比例缩小，健康群体增加。

（2）对于一定的λ，μ，提高0r ，会使∞s 变大，m i 变小。

所以实行群体免疫，降低受感染的基数，可以有效地减缓SARS 蔓延的速度。

在（8）式中略去很小的0i ，即有∞∞--=s s s s 00ln ln σ （11）6．模型验证首先，由方程（1）和（3）可以得到)(0)(t r e s t s σ-= （12）)1(0σψr e s r dtdr---= （13） 当σ/1≤r 时，取（13）式右端r e σ-Taylor 展开的前三项，在初始值00=r 下的解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=)2()1(1)(020ρψββσσt th s s t r （14） 其中2002022)1(σσβi s s +-=,βσρ10-=s th ,从（14）式算出)2(22202ρβψσψβ-=t ch s dtdr （15）将（14）代入（12），再将（12）代入（7），得到⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=)2()1(1)()(020)2()1(100000ρψββσσρψββσt th s s es i s t i t th s s （其中2002022)1(σσβi s s +-=，βσρ10-=s th ）对于表达式中的参数，已通过前面的参数分析得出，代入表达式，就可以对t 时的患病率)(t i 做预测，达到了预测的目的，满足题目的要求。