平抛运动知识点总结及解题方法归类总结

三.平抛运动及其推论
一、知识点巩固：
1•定义：①物体以一定的初速度沿水平方向抛出，②物体仅在重力作用下、加速度为重力加 速度宙 这样的运动叫做平抛运动。

2•特点：①受力特点：只受到重力作用。

② 运动特点：初速度沿水平方向，加速度方向竖直向下，大小为宙 轨迹为抛物线。

③ 运动性质：是加速度为g 的匀变速曲线运动。

注：
（1） 平抛运动是一个同时经历水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自山落体运动的合
运动。

2
（2） 平抛运动的轨迹是一条抛物线，其一般表达式为V 二銘+&+Q 。

（3） 平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，加速度a = ^恒定，所以竖直方向上在相 等
的时间内相邻的位移的高度之比为可：旳：53 = 1:3:5… 竖直方向上在相等的时间内相邻 的位移之差是一个恒量畅二畝'仃表示相等的时间间隔）。

（4） 在同一时刻，平抛运动的速度（与水平方向之间的夹角为a ）方向和位移方向（与
水平方向之间的夹角是0）是不相同的，其关系式taneQ2taii& （即任意一点的速度延长线必 交于此时物体位移的水平分量的中点）。

3•平抛运动的规律：①速度公式:v v =v 0 v v = gt
合速度:v z = J"； +彳=尿+（g/）
,顶点在原点（0、0）,开口向下的抛物线方程。

②位移公式：竽
③轨迹方程:
③任何相等的时间速度改变量AP=gAr 相等，且S =
方向竖直向下。

④ 以不同的初速度，从倾角为0的斜面上沿水平方向抛出的物体，再次落到斜面上时速 度
与斜面的夹角a 相同，与初速度无关。

（飞行的时间与速度有关，速度越大时间越长。

）
如上图：所以
心如⑶怡 g
所以tan （d + &） = 2tan&, 0为定值故a 也是定值，与速度无关。

⑤ 速度V 的方向始终与重力方向成一夹角，故其始终为曲线运动，随着时间的增加，
⑹“ 变大，&T,速度V 与重力 的方向越来越鼎近，但永远不能到达。

⑥ 从动力学的角度看：山于做平抛运动的物体只受到重力，因此物体在整个运动过程中 机
械能守恒。

5、斜抛运动：
定义：将物体以一定的初速度沿与水平方向成一定角度抛出，且物体只在重力作用下（不 计
空气阻力）所做的运动，叫做斜抛运动。

它的受力情况与平抛完全相同，即在水平方向上
不受
4•平抛运动的结论:
描绘平抛运动的物理量有弘、7、J X 、y 、S 、®、6、£,已知这八个物理量中的 任意两个，
可以求出其它六个。

②水平射程: ，由h,g, v 0共同决定。

①运行时间: 由决定,与弘无关。

tan(n + ^)=—=—
V .v %)
力，加速度为0；在竖直方向上只受重力，加速度为牛设初速度V0与水平方向夹角为乩
速度：v t = v() cos (9 位移：X = V Q cos 0t
回落原水平面时间:
x \\isinO
--------- =2 --------
v o cos e g
Vy =y°sin&_gr y = v() sin 0/ _ _
g/
水平射程：沁兰当& = 45。

时，X最大。

g
6、类平抛运动问题：
平抛运动是典型的匀变速曲线运动，应掌握这类问题的处理思路、方法并迁移到讨论类平抛运动(如带电粒子在匀强电场中的偏转等)的问题上来.
(1)类平抛运动的特点是物体所受的合力为恒力，且与初速度方向垂直(初速度心的方向不
一定是水平方向，即合力的方向也不一定是竖直方向，且加速度大小不一定等于重力加速度§)•
(2)类平抛运动可看成是某一方向的匀速直线运动和垂直此方向的匀加速直线运动的合运动.处理类平抛运动的方法与处理平抛运动类似，但要分析清楚其加速度的大小和方向如何.
7、平抛运动中的临界问题：
分析平抛运动中的临界问题时一般运用极端分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突现出来，找出产生临界的条件.
例：如图所示，排球场总长为18m,球网高度为2m,运动员站在离网3m的线上(图中虚线所
示)正对网向上跳起将球水平击出(球在飞行过程中所受空气阻力不计，gBX10m/s2).
(1) 设击球点在3m线的正上方高度为2.5m处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触
网也不越界？
(2) 若击球点在3m线正上方的高度小于某个值，那么无论水平击球的速度多大，球不是触网就
是越界，试求这个高度.
二、平抛运动的常见问题及求解思路：
关于平抛运动的问题，有直接运用平抛运动的特点、规律的问题，有平抛运动与圆周运动组合的问题、有平抛运动与天体运动组合的问题等。

本文主要讨论直接运用平抛运动的特点和规律来求解的问题，即有关平抛运动的常见问题。

1 •从同时经历两个运动的角度求平抛运动的水平速度：
求解一个平抛运动的水平速度的时候，我们首先想到的方法，就应该是从竖直方向上的自山落体运动中求岀时间，然后，根据水平方向做匀速直线运动，求出速度。

［例1］如图所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在A处越过兀二了酬的壕沟，沟面对面比A处低h = 1.25m，摩托车的速度至少要有多大？g取10m/s2o
解析：在竖直方向上，摩托车越过壕沟经历的时间
在水平方向上，摩托车能越过壕沟的速度至少为
v o = —= mis = 10^/s t 0.5
2. 从分解速度的角度进行解题
对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的速度方向，则我们常常是“从 分解速度”的角度来研究问题。

［例2］如图屮所示，以9.8m/s 的初速度水平抛出的物体,
飞行一段时间后，垂直地撞在倾角&为30。

的斜而上。

可 知
物体完成这段飞行的时间是（）
解析：先将物体的末速度匕分解为水平分速度叫和竖直分速度D （如图乙所示）。

根据 丫抛运动的分解可知物体水平方向的初速度是始终不变的，所以％ = 乂因为片与斜面垂
出、S 与水平面垂直，所以内与◎间的夹角等于斜面的倾角叭 再根据平抛运动的分解可知 物体在竖直方向做自由落体运 动，那么我们
所以
所以答案为C 。

3. 从分解位移的角度进行解题：
对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的位移方向（如物体从已知倾角 的斜面上水平抛出，这个倾角也等于位移与水平方向之间的夹角），则我们可以把位移分解 成水平方向和竖直方向，然后运用平抛运动的运动规律来进行研究问题（这种方法，暂且叫 做“分解位移法”） ［例3］如图所几 在坡度一左的斜面顶点以大小相同的速度F 同时水平向左与水平向右抛出 两个小球A 和B,两侧斜坡的倾角分别为和空°,小球均落在坡面上，若不计空气阻力, 则A 和B 两小球的运动时间之比为多少？
解析；37。

和53。

都是物体落在斜面上后，位移与水半方向的夹角，则运用分解位移的方 法可以得到
1
y 2* tana=-= 4 A. 3 B. 3 s C. "s D . 2s
根据咲筋
To 贝ij tan0 = — 就可 所以
以求出时间£
根据平
抛运动竖直方向是自山落体运动可以写出:
所以有
同理
g
4. 从竖直方向是自山落体运动的角度出发求解：
在研究平抛运动的实验中，山于实验的不规范，有许多同学作出的平抛运动的轨迹，常 常不能直接找到运动的起点（这种轨迹，我们暂且叫做“残缺轨迹”），这给求平抛运动的 初速度带来了很大的困难。

为此，我们可以运用竖直方向是自山落体的规律来进行分析。

［例4］某一平抛的部分轨迹如图4所示，已知勺= 门=乞 兀求
解析：A 与B 、B 与C 的水平距离相等，且平抛运
动的水平方向是匀速直线运动，可设A
=花=
乂竖直方向是自由落体运动，则
Ay = = gT"2
代入已知量，联立可得
5•从平抛运动的轨迹入手求解问题:
［例习从高为H 的A 点平抛一物体 其水平射程为2“在A 点正上
方高为2H 的B 点，向同一方向平抛另一物体，其水平射程为孔两
物体轨迹在同一竖直平闻内且都恰好从同一屏的顶端擦过，求屏的 \
高度。

L
解析：本题如果用常规的“分解运动法”比较麻烦，如果我们
| I 、
换一个角度，即从运动轨迹入于进行思考和分析，问题的求解会很 ° F E 容易，如图5所示，物体从A 、B 两点抛出后的运动的轨迹都是顶点在厂轴上的抛物线，即 可设A 、B 两方程分别为y = 加+ — y = a^ +i r x + c r
则把顶点坐标A （0, H ）、B （0, 2H ）、E （2比0）、F （匚0）分别代入可得方程组
到B 、B 到C 的时间为T,则
八一 7 =" H
4s 立
2H /十丹
X 2+2?Z
这个方程组的解的纵坐标，即为屏的拓。

6. 灵活分解求解平抛运动的最值问题
［例6］如图所示，在倾角为&的斜面上以速度F水平抛出一小球，该斜而足够氏，则从抛出开始计时，经过多长时间小球离开斜面的距离的达到最大，最大距
离为多少？
解析：将平抛运动分解为沿斜而向下和垂直斜面向上的分运动, 虽
然分运动比较复杂一些，但易将物体离斜面距离达到最大的物理本质
凸显出来。

収沿斜面向下为X轴的正方向，垂直斜面向上为，轴的正方向,
如图6所小，在》轴上，小球做初速度为心sin&、加速度为-gc。

"的匀变速直线运动，所以有£-(>o$in 歼二-2gycos& .
v y -v0sin 9 =-geosSt
推论2：任意时刻的两个分位移与合位移构成一个矢量直角三角形
［例2］宁航员站在一星球表面上的某高度处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间'，小球落 到星球表
面，测得抛出点与落地点之间的距离为人若抛出时初速度增大到两倍，则抛出点与 落地点之间的距离为血。

已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数 为G,求该星球的质量M 。

解析：设第 一次抛出小球，小球的水平位移为心 竖直位移为/
如图8所八 构（2兀尸+以=（®）2建位移矢量直角三角形有：
山万有引力定律与牛顿笫二定律得
= °时，小球在丿轴上运动到最高点，即小球离开斜面的距离达到最大。

由①式可得
小球离开斜面的最大距离 2g cos& 、吓厂°时，小球在丿轴上运动到最高点，它所用的时间就 2冬tan &是小球从抛
运动到离开斜面最大距离的时间。

山②式可得小球运动的时间为
7. 利用平抛运动的推论求解：
推论1：任意时刻的两个分速度与合速度构成一个矢量直角三角形。

［例1］从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度大小
分别为H 和耳，初速度方向相反，求经过多长时间两小球速度之间的 夹角
为90° ?
解析：设两小球抛出后经过时间厂它们速度之间的夹角为处。

,与 竖也
方向的夹角分 com=g£别.£ =空 为&和Q,对两小 球分别构建速度矢 耳量
直角三角形
如图所示，山图可得
gi _ v a 和 1 乂因为所以
v i 戲 若抛出时初速
如图所示有
山以上两式得
令星球上重力加
山平抛运动的规律
3GP 得
◎ + 戸二 90°
cot 盘=tan g 山以上各式可得，解得
h 方二箱度增大到2倍, GMm 占2
山以上各式解得 推论3：平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。

［例3］如图所示，与水平面的夹角为&的直角三角形木块固定在地面上，有一质点以初速度％ 从三角形木块的顶点上水平抛出，求在运动过程中该质点距斜面的最远距离。

解析：、勺质点做平抛运动的 末速度方向平行于斜面时，质点趴斜面的距离 V 最 远，冬二tan&此时末速度的方向与初速度方向成&角。

如图所
■ 示， 国 v 0 中A 为末速度的反向延长线与水平位移的交丿(
即质点距斜tan W = 2tan 0而的最远距离为
推论4：平抛运动的物体经时间2后，其速度匕与水平方向的夹角为化，位移S 与水平方向的 夹角为Q,则有 ［例4］如图所示，从倾角为&斜面足够长的顶点A,先后将同一小球以不同的初速度水平向右
抛出，第一次初速度为力，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面 的
夹角为函，第二次初速度耳，球落在斜面上前一瞬间的速度方向 与斜面
间的夹角为禺,若巾八1,试比较函和的的大小。

解析：根据上述关系式结合图中的几何关系可得 tan(or+ = 2 tan &
所以◎二 arctan(2tan 8) -&
此式表明◎仅与&有关，而与初速度无关，因此即以不同初速度丫抛的物体落 在斜面上各点的速度方向是互相平行的。

平抛运动是较为复杂的匀变速曲线运动，有关平抛运动的命题也层出不穷。

若能切实掌 握其基本处理方法和这些有用的推论，就不难解决平抛问题。

因此在复习时应注意对平抛运 动规律的总结，从而提高自己解题的能力。

AB 即为所求的最远距 , 和
离。

根据平抛运动规律有:
山上述推论3知 —Vq tan^sing 据图9中儿何关系得
V Q tan &sin 6
2g AB = AO sin 8
山以上各式解得
练习：
1・平抛物体的初速度为VO,当水平方向分位移与竖直方向分位移相等时(ABD ) A •运动的时间/ =如
B.瞬时速率岭=V5v 0 g
C ・水平分速度与竖直分速度大小相等
D ・位移大小等于2凤］g 2•—个物体以v=10m/s 的初速度作平抛运动，经占s 时物体的速度与竖直方向的夹角为佗
取 10m /s 2)( A )
A.30°
B. 45°
C.60°
D.90°
3•如图所示的两个斜面，倾角分别为37。

和53°，在顶点两个小球A 、
B 以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上, 若
不计空气阻力，则A 、B 两个小球平抛运动时间之比为(c )
A.1:1
B.4:3
C.16:9
D.9:16
4.如图所示，子弹从枪口水平射出，在子弹飞行途中有两块平行的薄纸A 、B,
水平距离为s, B 与A 的水平距离也为s,子弹击穿A 、B 后留下弹孔M 、 N,其
高度为h,不计纸和空气阻力，求子弹初速度大小
v o=J5-s
5. 如图所示，将质量为E 的小球从倾角为〃的光滑斜面上人点以速度V0水平抛出(即巾〃 CD),小球运动到B 点，已知△点的高度几 则小球到达B 点 时的速
度大小为 _____________ 。

W+2gh A 与枪口的 D。