2019年高考数学(理科)专题八平面向量精准培优专练(含答案)
2019高考数学江苏(理)精准提分二轮通用版试题：第2篇 第8练 平面向量
第8练 平面向量[小题提速练][明晰考情] 1 命题角度： 平面向量数量积的运算，利用向量判定直线的位置关系、求夹角或距离，另外还可以和函数、数列、几何等交汇考查.2题目难度： 中低档难度.考点一 平面向量的线性运算要点重组 (1)平面向量的线性运算：加法、减法、数乘. (2)向量共线定理. (3)平面向量基本定理.方法技巧 (1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点、连终点.(2)已知O 为平面上任意一点，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是存在s ，t ，使得OC →＝sOA →＋tOB →，且s ＋t ＝1，s ，t ∈R .(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决.1.(2015·江苏)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________. 答案 －3解+析 因为m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3.2.(2018·江苏南京金陵中学模拟)设向量a ＝⎝⎛⎭⎫13，tan α，向量b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，32，且a ∥b ，则锐角α的值为________. 答案 π6解+析 因为a ∥b ，所以13×32－tan α×cos α＝0，即sin α＝12，又α为锐角，所以α＝π6.3.已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，OC ＝22，且∠AOC ＝π4，设OC→＝ λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ的值为________. 答案 23解+析 过C 作CE ⊥x 轴于点E .由∠AOC ＝π4，得OE ＝CE ＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →， 即OE →＝λOA →，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.4.在△ABC 中，点M 是线段BC 延长线上一点，且满足BM ＝3CM ，若AM →＝xAB →＋yAC →，则x －y ＝________. 答案 －2解+析 因为AM →＝AC →＋CM →＝AC →＋12BC →，又BC →＝AC →－AB →，所以AM →＝AC →＋12(AC →－AB →)＝32AC →－12AB →，所以x ＝－12，y ＝32，则x －y ＝－2.考点二 平面向量的数量积 要点重组 (1)a ·b ＝|a ||b |cos θ. (2)|a |2＝a ·a ；cos θ＝a ·b|a ||b |. 方法技巧 (1)向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法. (2)向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法.5.已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →＝________. 答案 32a 2解+析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2， ∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.6.若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为________. 答案 π4解+析 由(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a ||b |·cos θ－2|b |2＝0， ∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0， ∴cos θ＝22. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.7.在平面直角坐标系中，已知A (1,0)，B (0，－1)，P 是曲线y ＝1－x 2上一个动点，则BP →·BA →的取值范围是__________. 答案 [0,1＋2] 解+析 由题意知，y ＝1－x 2表示以原点为圆心，1为半径的上半圆.设P (cos α，sin α)，α∈[0，π]，BA →＝(1,1)， BP →＝(cos α，sin α＋1)，所以BP →·BA →＝cos α＋sin α＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋1， 因为0≤α≤π，所以π4≤α＋π4≤5π4，所以0≤BP →·BA →≤1＋2， 所以BP →·BA →的取值范围是[0,1＋2].8.(2018·江苏南京金陵中学期末)如图，在平面四边形ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，且OB ＝10，OD ＝6. 若DA →·DC →＝－28，则BA →·BC →的值为________.答案 36解+析 如图，M 为FG 的中点，EF →＋EG →＝2EM →，①EG →－EF →＝2MG →.②把①式和②式两边平方并相减，得EF →·EG →＝|EM →|2－|MG →|2，该结论称为极化恒等式. 所以DA →·DC →＝|DO →|2－|AO →|2＝－28，所以|AO →|2＝64， 故BA →·BC →＝|BO →|2－|AO →|2＝36. 考点三 平面向量的综合应用方法技巧 (1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为不含向量的问题.(2)平面向量常与三角函数、平面几何、解+析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解题.9.已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________. 答案 12解+析 由已知可得6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |， 由于上式对任意单位向量e 都成立. ∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b . 即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.10.在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________. 答案311解+析 由题意知，|AB →|＝3，|AC →|＝2， AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →， ∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →) ＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 11.在平面内，AB →·AC →＝BA →·BC →＝CA →·CB →＝6，动点P ，M 满足|AP →|＝2，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________. 答案 16解+析 由已知易得△ABC 是等边三角形且边长为2 3.设O 是△ABC 的中心，则|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2.以O 为原点，直线OA 为x 轴建立平面直角坐标系， 如图所示，则A (2,0)，B (－1，－3)，C (－1，3). 设P (x ，y )，由已知得|AP →|＝2， 得(x －2)2＋y 2＝4，∵PM →＝MC →， ∴M ⎝⎛⎭⎪⎫x －12，y ＋32，∴BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，y ＋332，∴|BM →|2＝(x ＋1)2＋(y ＋33)24，它表示圆(x －2)2＋y 2＝4上的点P (x ，y )与点D (－1，－33)的距离的平方的14，∵|PD →|max ＝(2＋1)2＋(33)2＋2＝9＋27＋2＝8，∴|BM →|2max ＝824＝16.12.如图，半径为2的扇形的圆心角为2π3，M ，N 分别为线段OP ，OQ 的中点，A 为PQ 上任意一点，则AM →·AN →的取值范围是________.答案 ⎣⎡⎦⎤32，52解+析 如图，以点O 为坐标原点，OQ 为x 轴建立平面直角坐标系，则M ⎝⎛⎭⎫－12，32，N (1,0)，由题意可设点A (2cos θ，2sin θ)，其中0≤θ≤2π3，所以AM →＝⎝⎛⎭⎫－12－2cos θ，32－2sin θ，AN →＝(1－2cos θ，－2sin θ)，所以AM →·AN →＝⎝⎛⎭⎫－12－2cos θ(1－2cos θ)＋⎝⎛⎭⎫32－2sin θ(－2sin θ) ＝72－cos θ－3sin θ＝72－2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3，其中0≤θ≤2π3， 因为0≤θ≤2π3，所以－π3≤θ－π3≤π3，所以12≤cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3≤1，－2≤－2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3≤－1，32≤72－2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3≤52， 即AM →·AN →的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，52.1.若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________. 答案 120°解+析 设a 与b 的夹角为θ，由题意得|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，可得2a ·b ＋b 2＝2|a |·|b |cos θ＋b 2＝2|a |·|a |cos θ＋|a |2＝0，解得cos θ＝－12，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.2.已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________. 答案 k ＝1解+析 若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB →，AC →共线， ∴AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1). ∴1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.3.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－53，0∪()0，＋∞ 解+析 a ＋λb ＝(1＋λ，2＋λ)， 由a ·(a ＋λb )＞0，可得λ＞－53.又a 与a ＋λb 不共线， ∴λ≠0.故λ＞－53且λ≠0.4.在△ABC 中，有如下命题，其中正确的是____________.(填序号) ①AB →－AC →＝BC →； ②AB →＋BC →＋CA →＝0；③若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形； ④若AB →·BC →＞0，则△ABC 为锐角三角形. 答案 ②③解+析 在△ABC 中，AB →－AC →＝CB →，①错误；若AB →·BC →＞0，则B 是钝角，△ABC 是钝角三角形，④错误.解题秘籍 (1)熟练掌握向量数量积的概念，并且要从几何意义理解数量积的性质.(2)注意向量夹角的定义和范围.在△ABC 中，AB →和BC →的夹角为π－B ；向量a ，b 的夹角为锐角要和a ·b ＞0区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理).1.已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，若a －b 与m a ＋b 垂直，则实数m 的值为__________. 答案 14解+析 根据向量a ，b 的坐标，可得a －b ＝(1,2)，m a ＋b ＝(2m ＋1，m －1)，因为(a －b )⊥(m a ＋b )，所以(a －b )·(m a ＋b )＝1×(2m ＋1)＋2×(m －1)＝4m －1＝0， 故m ＝14.2.在平行四边形ABCD 中，点M 在边CD 上，且满足DM ＝13DC ，点N 在CB 的延长线上，且满足CB ＝BN ，若AB ＝3，AD ＝4，则AM →·NM →的值为________. 答案 30解+析 因为AM →＝AD →＋13AB →，NM →＝2AD →－23AB →，所以AM →·NM →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13AB →·⎝⎛⎭⎫2AD →－23AB → ＝2⎝⎛⎭⎫AD →2－19AB →2＝30.3.已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎦⎤0，233解+析 如图，由正弦定理，得|β|sin 60°＝|α|sin θ(0°＜θ＜120°)， ∴|α|＝233sin θ，∴0＜|α|≤233. 4.已知AB →＝(6,1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2,1).若A ，C ，D 三点共线，则k ＝______. 答案 4解+析 因为AB →＝(6,1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2,1)，所以AC →＝AB →＋BC →＝(10，k ＋1).又A ，C ，D 三点共线，所以AC →∥CD →，所以10×1－2(k ＋1)＝0，解得k ＝4.5.(2018·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________. 答案 3解+析 设A (a,2a )，则a ＞0.又B (5,0)，故以AB 为直径的圆的方程为(x －5)(x －a )＋y (y －2a )＝0. 由题意知C ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋52，a .由⎩⎪⎨⎪⎧(x －5)(x －a )＋y (y －2a )＝0，y ＝2x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝2a .∴D (1,2).又AB →·CD →＝0，AB →＝(5－a ，－2a )，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋52，2－a ，∴(5－a ，－2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋52，2－a ＝52a 2－5a －152＝0，解得a ＝3或a ＝－1. 又a ＞0，∴a ＝3.6.(2018·南京调研)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，BM →＝λBC →.若AM →·BC →＝－173，则实数λ的值为________. 答案 13解+析 ∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°， ∴由余弦定理可得BC ＝19， 又根据余弦定理可得cos ∠ABC ＝419，AM →·BC →＝(BM →－BA →)·BC →＝λBC →2－BA →·BC →＝19λ－3×19×419＝－173，解得λ＝13.7.在锐角△ABC 中，tan A ＝12，D 为边BC 上的点，△ABD 与△ACD 的面积分别为2和4，过D 作DE ⊥AB 于点E ，作DF ⊥AC 于点F ，则DE →·DF →＝________. 答案 －1615解+析 由tan A ＝12得cos A ＝25，sin A ＝15，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴D ，E ，A ，F 四点共圆， 即DE →·DF →＝|DE →||DF →|·(－cos A ) ＝－25|DE →|·|DF →|， ∵12DE ·AB ＝2，12DF ·AC ＝4， 12AB ·AC sin A ＝2＋4＝6， ∴AB ·AC ＝125，∴|DE →||DF →|＝32AB ·AC ＝32125＝835，因此DE →·DF →＝－1615.8.在梯形ABCD 中，AB →＝2DC →，|BC →|＝6，P 为梯形ABCD 所在平面上一点，且满足AP →＋BP →＋4DP →＝0，DA →·CB →＝|DA →|·|DP →|，Q 为边AD 上的一个动点，则|PQ →|的最小值为________. 答案 423解+析 如图，取AB 的中点M ，则DM →＝CB →，由AP →＋BP →＋4DP →＝0，得PM →＝2DP →，所以P 为线段DM 上靠近点D 的三等分点，由题意知，DA →·CB →＝DA →·DM →＝|DA →|·|DM →|cos ∠ADM ＝|DA →|·|DP→|，所以cos ∠ADM ＝13，则sin ∠ADM ＝223，所以|PQ →|的最小值为2sin ∠ADM ＝423. 9.(2018·江苏溧水第二高级中学联考)在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点(点E 为靠近A 点的三等分点)，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.答案 78解+析 ∵D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，∴BF →＝BD →＋DF →，CF →＝－BD →＋DF →，BA →＝BD →＋3DF →，CA →＝－BD →＋3DF →，∴BF →·CF →＝DF →2－BD →2＝－1，BA →·CA →＝9DF →2－BD →2＝4，∴DF →2＝58，BD →2＝138， 又∵BE →＝BD →＋2DF →，CE →＝－BD →＋2DF →，∴BE →·CE →＝4DF →2－BD →2＝78. 10.在等腰直角△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝2，AD 是BC 边上的高，P 为AD 的中点，M ，N分别为AB 边和AC 边上的点，且M ，N 关于直线AD 对称，当PM →·PN →＝－12时，AM MB＝________. 答案 3解+析 由等腰直角△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝2，AD 是BC 边上的高，P 为AD 的中点知，AD ＝1，AP ＝12，又PM →·PN →＝－12，知(P A →＋AM →)·(P A →＋AN →)＝－12， 化简为P A →2＋(AM →＋AN →)·P A →＋AM →·AN →＝－12，由M ，N 关于直线AD 对称知，|AM →|×12×cos135°＋|AN →|×12×cos135°＝－34，故AM ＝324，所以AM MB＝3. 11.在边长为1的菱形ABCD 中，∠A ＝2π3，若点P 为对角线AC 上一点，则PB →·PD →的最大值为________.答案 －12解+析 设AP →＝λAC →(0≤λ≤1)，则PB →＝AB →－AP →＝AB →－λAC →，PD →＝AD →－AP →＝AD →－λAC →，因此PB →·PD →＝(AB →－λAC →)·(AD →－λAC →)＝AB →·AD →－λAC →·(AB →＋AD →)＋λ2AC →2.因为四边形ABCD 是边长为1的菱形，且∠BAD ＝2π3，所以|AC →|＝1，AB →＋AD →＝AC →，AB →·AD →＝1×1×cos 2π3＝－12， 从而PB →·PD →＝λ2－λ－12＝⎝⎛⎭⎫λ－122－34， 所以当λ＝0或1时，(PB →·PD →)max ＝－12. 12.(2018·无锡模拟)如图，正方形ABCD 的边长为2，△DPC 是等腰直角三角形(P 为直角顶点)，E ，F 分别为线段CD ，AB 上的动点(含端点)，则PE →·PF →的取值范围为________.答案 []2，4解+析 以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，因为ABCD 的边长为2，△DPC 是等腰直角三角形，所以P (1,3)，设E (a,2)，F (b,0)，因为0≤a≤2,0≤b≤2 ，所以0≤ab≤4,0≤ab≤2，→＝(a－1，－1)，PF→＝(b－1，－3)，PE所以PE→·PF→＝(a－1，－1)·(b－1，－3) ＝(a－1)(b－1)＋3，因为0≤a≤2,0≤b≤2，所以－1≤a－1≤1，－1≤b－1≤1，所以－1≤(a－1)(b－1)≤1，所以2≤PE→·PF→≤4.。
2019届高考数学专题八平面向量精准培优专练理
培优点八 平面向量1．代数法例1：已知向量a，b 满足=3a ，b ()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A．3 B ．3- C． D 【答案】C【解析】考虑b 在a 上的投影为⋅a bb，所以只需求出a ，b 即可． 由()⊥+a a b 可得：()20⋅+=+⋅=a a b a a b ，所以9⋅=-a b．进而⋅==a b b ．故选C ． 2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b，则=-a b _______． 【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由2==+=a b a b可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a=的菱形， =． 3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ⋅=u u u v u u u v__________．【答案】14AD BE ⋅=-uuu v uu uv【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题， 观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题， 如图建系：A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 下面求E 坐标：令(),E x y ，∴1,2CE x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭uu u v ，12CA ⎛=- ⎝⎭uu v ，由3CA CE =uu v uu u v可得：11132233x x y y ⎧⎛⎫⎧-=-= ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩13E ⎛ ⎝⎭，∴0,AD ⎛= ⎝⎭uuu v，56BE ⎛= ⎝⎭uu u v ，∴14AD BE ⋅=-uuu v uu u v ．一、单选题1．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且向量a ，b 的夹角为4π，若λ-a b 与b 垂直，则实数λ的值为（ ） A ．12-B ．12C． D【答案】D【解析】因为12cos4π⨯⨯=⋅=a b ()40λλλ-⋅=⋅=⇒=a b b ，故选D ． 2．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b，+=a b ⋅=a b （ ） A ．1 BCD ．2【答案】A【解析】由题意可得：22221427+=++⋅=++⋅=a b a b a b a b ，则1⋅=a b ．故选A ． 3．如图，平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60A ∠=o ，点M 在AB 边上，且13AM AB =， 则DM DB ⋅=uuu u v uu u v（ ）A ．1-B ．1 C． D【答案】B【解析】因为13AM AB =，所以DB AB AD =-uu u v uu u v uuu v ，13DM AM AD AB AD =-=-uuuu v uuu v uuu v uu u v uuu v ，则()22114333DB BM AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅+ ⎪⎝⎭uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v uuu v14142111332=⨯-⨯⨯⨯+=．故选B ． 4．如图，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB =uu u v a ，AC =u u u v b ，则AO =u u u v（ ）A ．1122+a bB ．1124+a bC ．1142+a bD ．1144+a b【答案】B【解析】由题意，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，所以1AE AC =uu u v uuu v，对点增分集训又因为O 是BE 边的中点，所以()12AO AB AE =+uuu v uu u v uu u v，所以()1111122224AO AB AE AB AE =+=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v a b ，故选B ． 5．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，则AP BQ ⋅uu u v uu u v 的最大值为（ ） A ．2- B ．32-C ．34 D ．98【答案】D【解析】因为AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，所以ABCD 是直角梯形，且CM =30BCM ∠=︒，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：因为BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，则(]01λ∈，，()20B ，，()2P λ-，18Q λ⎛ ⎝，所以()1112254848AP BQ λλλλ⎛⋅=-⋅-=+-- ⎝uu u v uu u v ， 令()115448f λλλ=+--且(]01λ∈，， 由基本不等式可知，当1λ=时可取得最大值， 则()()max 119154488f f λ==+--=．故选D ． 6．已知ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC ⋅uu v uu u v的范围是（ ）A ．[]14，B ．[]04，C ．944⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．[]24-，【答案】C【解析】根据题意，ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，则根据余弦定理可得2416224cos6012BC =+-⨯⨯⨯︒=，即BC =．∴ABC △为直角三角形以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立坐标系，则()02A ，，()C ，则线段AC 12y+=，(0x ≤≤．设(),P x y ，则()()222443PB PC x y x y x y x ⋅=---=+-=-+uu v uu u v ，，．∵0x ≤≤944PB PC -≤⋅≤uu v uu uv ．故选C ．7．已知非零向量a ，b ，满足=a b 且()()320+⋅-=a b a b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．4π B ．2π C ．34π D ．π【答案】A【解析】非零向量a ，b ，满足=a b 且()()320+⋅-=a b a b ，则()()320+⋅-=a b a b ， ∴22320+⋅-=a a b b ，∴223cos 20θ+⨯⨯-=a a b b ，∴2213cos 202θ⨯⨯⨯-=b b b ，∴cos θ=，4θπ=，∴a 与b 的夹角为4π，故选A ．8．在Rt ABC △中斜边BC a =，以A 为中点的线段2PQ a =，则BP CQ ⋅uuv uu u v的最大值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．【答案】B【解析】∵在Rt ABC △中斜边BC a =，∴BA CA ⊥， ∵A 为线段PQ 中点，且2PQ a =，∴原式()22222cos a BA AQ AQ CA a AQ BA CA a AQ CB a a θ=-+⋅-⋅=-+-=-+⋅=-+u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v u u v ， 当cos 1θ=时，有最大值，0BP CQ ⋅=uu v uu u v ．故选B ．9．设向量a ，b ，c ，满足1==a b ，12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，则c 的最大值等于（ ）A ．1BCD ．2【答案】D【解析】设OA =uu v a ，OB =uu u v b ，OC =uuu v c ，因为12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，所以120AOB ∠=︒，60ACB ∠=︒，所以O ，A ，B ，C 四点共圆，因为AB =-uu u v b a ，()222223AB =-=+-⋅=uu u v b a b a a b ，所以AB =由正弦定理知22sin120ABR ==︒，即过O ，A ，B ，C 四点的圆的直径为2，所以c 的最大值等于直径2，故选D ．10．已知a 与b 为单位向量，且⊥a b ，向量c 满足2--=c a b ，则c 的取值范围为（ ）A ．1,1⎡+⎣B ．2⎡⎣C ．D ．3⎡-+⎣【答案】B【解析】由a ，b 是单位向量，0⋅=a b ，可设()1,0=a ，()0,1=b ，(),x y =c ， 由向量c 满足2--=c a b ，∴()1,12x y --=，2=，即()()22141x y +-=-，其圆心()1,1C ，半径2r =，∴OC =22c B ．11．平行四边形ABCD 中，AC uuu v ，BD uu u v 在AB uu u v 上投影的数量分别为3，1-，则BD uu u v 在BC uu uv 上的投影的取值范围是（ ） A ．()1,-+∞ B ．()1,3- C ．()0,+∞ D ．()0,3【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系：设(),0B a ， 则()3,C b ，()1,D a b -，则()31a a --=，解得2a =．所以()1,D b ，()3,C b ．BD uu u v 在BC uu u v 上的摄影cos BM BD θθ==uu u v ，当0b →时，cos 1→-，得到：1BM →-，当b →+∞时，0θ→，BM →+∞，故选A ．12．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB AC ==D ，E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅u u u v u u u v的取值范围是（ ） A ．84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．88,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】如图所示，以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系， 则()0,1A ，()1,0B -，()1,0C ，设(),0D x ，则2,03E x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，113x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭．据此有(),1AD x =-uuu v ，2,13AE x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭uu u v ，则222181339AD AE x x x ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭uuu v uu u v ．据此可知，当13x =-时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最小值89；当1x =-或13x =时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最大值43； AD AE ⋅uuu v uu u v 的取值范围是84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选A ．二、填空题13．已知向量()1,2=a ，()2,2=-b ，()1,λ=c ，若()2+∥c a b ，则λ=________． 【答案】1．【解析】因为()1,2=a ，()2,2=-b ，所以()24,2+=a b ， 又()1,λ=c ，且()2+∥c a b ，则42λ=，即12λ=．14．若向量a ，b 满足1=a ，=b ()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为__________．【答案】34π【解析】由()⊥+a a b 得，()0⋅+=a a b ，即20+⋅=a a b ，据此可得2cos ,⋅=⋅⋅=-a b a b a b a ，∴cos ,==a b ， 又a 与b 的夹角的取值范围为[]0,π，故a 与b 的夹角为34π．15．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 上的一个动点，则求AE BD ⋅uu u v uu u v的最大值为________．【答案】4【解析】设DE DC AB λλ==uu u v uuu v uu u v ，则AE AD DE AD AB λ=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，又BD AD AB =-uu u v uuu v uu u v ，∴()()()22144AE BD AD AB AD AB AD AB AB AD λλλλ⋅=+⋅-=-+-⋅=-uu u v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v，∵01λ≤<，∴当0λ=时，AE BD ⋅uu u v uu u v取得最大值4，故答案为4．16．在ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，P 为线段AB 上一点，则PB PC +uu v uu u v的取值范围为____．【答案】【解析】以C 为坐标原点，CB ，CA 所在直线为x ，y 轴建立直角坐标系，可得()0,0C ，()0,2A ，()B ，则直线AB 12y+=，设(),P x y ，则2y =，0x ≤≤(),PB x y =-uu v ，(),PC x y =--uu u v ，则|()()22222PB PC x y +=+uu v uu u v22161628333x x ⎛=-+=+ ⎝⎭，由x ⎡=⎣，可得PB PC +u u v u u u v 的最小值为 ，时，则PB PC +uu v uu u v的最大值为即PB PC +uu v uu u v的取值范围为．故答案为．。
2019届高三好教育精准培优专练 数学(理)(学生版)
数学（理）培优点一函数的图象与性质01 培优点二函数零点06 培优点三含导函数的抽象函数的构造10培优点四恒成立问题14 培优点五导数的应用18 培优点六三角函数23 培优点七解三角形29 培优点八平面向量33 培优点九线性规划36 培优点十等差、等比数列40培优点十一数列求通项公式43 培优点十二数列求和47 培优点十三三视图与体积、表面积51 培优点十四外接球56 培优点十五平行垂直关系的证明59 培优点十六利用空间向量求夹角67 培优点十七圆锥曲线的几何性质76 培优点十八离心率81 培优点十九圆锥曲线综合86 培优点二十几何概型932019届高三好教育精准培优专练1．单调性的判断例１：（1）函数()212log (4)f x x -=的单调递增区间是（ ）A ．(0,)+∞B ．(0),-∞C ．(2,)+∞D ．(),2-∞-（2）223y xx +-+=的单调递增区间为________．2．利用单调性求最值 例2：函数y x =________．3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时，()()2121()0f x f x x x -⋅-⎡⎤⎣⎦<恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ） A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>（2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则满足19log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的集合为________________． ４．奇偶性例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭ ５．轴对称例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+ 都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（ ） A ．404 B ．804C ．806D ．402培优点一 函数的图象与性质６．中心对称例６：函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()()2f x f x =+D ．()3f x +是奇函数７．周期性的应用例７：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-， 则()()20172019f f +的值为（ ） A ．1- B ．1C ．0D ．无法计算一、选择题1．若函数()2f x x a =+的单调递增区间是[)3,+∞，则a 的值为（ ） A ．2-B ．2C ．6-D ．62．已知函数()2log 1y ax =-在()1,2上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1B ．[]1,2C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞3．设函数()()()ln 1ln 1f x x x =-+-，则()f x 是（ ） A ．奇函数，且在(0,1)内是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)内是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)内是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)内是减函数4．已知函数()y f x =的图象关于1x =对称，且在(1,)+∞上单调递增，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =， ()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<5．已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()2(11)f g -+=，())114(f g -=+，则()1g 等于（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1对点增分集训6．函数1()cos (0)f x x x x x x ⎛⎫=--π≤≤π≠ ⎪⎝⎭且的图象可能为（ ）7．奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()12f =，则()()45f f +的值为（ ） A ．2B ．1C ．1-D ．2-8．函数()f x 的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x 的解析式为（ ） A ．()1e x f x +=B ．()1e x f x -=C ．()1e x f x -+=D ．()1e x f x --=9．使2)og (l 1x x <+-成立的x 的取值范围是（ ） A ．()1,0-B ．[)1,0-C ．()2,0-D ．[)2,0-10．已知偶函数()f x 对于任意R x ∈都有()()1f x f x +=-，且()f x 在区间[]0,1上是单调递增的， 则()65f -．，1()f -，()0f 的大小关系是（ ） A ．()0 6.5()()1f f f <-<- B ．()6.5()()01f f f -<<- C ．()()(60)1.5f f f -<-<D ．()10()( 6.5)f f f -<<-11．对任意的实数x 都有()()()221f x f x f -=+，若(1)y f x =-的图象关于1x =对称，且()02f =， 则()()20152016f f +=（ ） A ．0B ．2C ．3D ．412．已知函数()e 1x f x =-，()243g x x x =-+-，若存在()()f a g b =，则实数b 的取值范围为（ ） A ．[0,3]B ．(1,3)C ．2⎡⎣D ．(22-+二、填空题13．设函数()10010x x x f x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()21()g x x f x -=，则函数()g x 的递减区间是_______． 14．若函数()R ()f x x ∈是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为()()101sin 12x x x x x f x ⎧-≤≤⎪=⎨π<≤⎪⎩，则294146f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________． 15．设函数()||f x x a =+，()1g x x =-，对于任意的R x ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取 值范围是________．16．设定义在R 上的函数()f x 同时满足以下条件：①()0()f x f x +-=；②()()2f x f x =+；③当01x ≤≤时，()21x f x =-，则()1351(2)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．三、解答题17．已知函数()ln(2)af x x x=+-，其中a 是大于0的常数． （1）求函数()f x 的定义域；（2）当4()1,a ∈时，求函数()f x 在[2,)+∞上的最小值； （3）若对任意,[)2x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围．18．设()f x 是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且()1()1f x f x =+-，当10x -≤≤时，()f x x =-． （1）判定()f x 的奇偶性；（2）试求出函数()f x 在区间[]1,2-上的表达式．培优点二 函数零点1．零点的判断与证明例1：已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--， 求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4．2．零点的个数问题例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内， 函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．ln 31,3e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．ln 31,93e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．ln 31,92e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．ln 3ln 3,93⎛⎫⎪⎝⎭ 3．零点的性质例3：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)2220,121,0x x f x xx ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（ ） A ．5-B ．6-C ．7-D ．8-4．复合函数的零点例4：已知函数()243f x x x =-+，若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（ ） A ．()2,0- B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2一、选择题1．设()ln 2f x x x +-=，则函数()f x 的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．已知a 是函数()12log 2x x f x =-的零点，若00x a <<，则()0f x 的值满足（ ）A ．()00f x =B ．()00f x >C ．()00f x <D ．()0f x 的符号不确定3．函数2()2f x x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,24．若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a -----+-=+的两个零点分别位于区间（ ） A ．(),a b 和(),b c 内B ．(,)a -∞和(),a b 内C ．(),b c 和(),c +∞内D ．(,)a -∞和(),c +∞内5．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()e 3x f x x =+-，则()f x 的零点个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．函数()2201ln 0x x x xx f x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．7D ．07．已知函数()1010x x x f x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．(],2-∞-C ．()(),12,-∞+∞D ．(][),12,-∞+∞8．若函数()312f x ax a +-=在区间()1,1-内存在一个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,1,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．11,5⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-9．已知函数()00exx x f x ≤⎧=⎨>⎩，则使函数()()g x f x x m =+-有零点的实数m 的取值范围是（ ）对点增分集训A ．[)0,1B ．(1),-∞C ．(](),12,-∞+∞D ．(](),01,-∞+∞10．已知()f x 是奇函数且是R 上的单调函数，若函数221()()y f x f x λ++=-只有一个零点，则实数λ 的值是（ ） A ．14 B ．18C ．78-D ．38-11．已知当[]0,1x ∈时，函数21()y mx =-的图象与y m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,1][23,+)∞ B ．(]0,13[),+∞C ．[23,+)∞D ．[3,+)∞12．已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下，给出下列四个命题： （1）方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且只有6个根 （2）方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且只有3个根 （3）方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有5个根 （4）方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且只有4个根则正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题13．函数()052log ||x f x x -=-．的零点个数为________．14．设函数31y x =与2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00(,)x y ，若0,1()x n n ∈+，n ∈N ，则0x 所在的区间是______．15．函数()22026ln 0f x x x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．16．已知函数()23||f x x x =+，R x ∈，若方程()1|0|f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________________．三、解答题17．关于x 的二次方程21()10x m x ++-=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围．18．设函数()1()10f x x x=->．（1）作出函数()f x 的图象； （2）当0a b <<且()()f a f b =时，求11a b+的值； （3）若方程()f x m =有两个不相等的正根，求m 的取值范围．1．对于()()'0f x a a >≠，可构造()()h x f x ax =-培优点三 含导函数的抽象函数的构造例1：函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意R x ∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（ ） A ．()1,1-B ．()1-+∞，C ．()1-∞-，D ．()-∞+∞，2．对于()()'0xf x f x +>，构造()()h x xf x =；对于()()'0xf x f x ->，构造()()f x h x x=例2：已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称，且当(),0x ∈-∞，()()0f x xf x '+<成立，()0.20.222a f =，()log 3log 3b f ππ=，()33log 9log 9c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>3．对于'()()0f x f x +>，构造()()e x h x f x =；对于'()()f x f x >或'()()0f x f x ->，构造()()ex f x h x = 例3：已知()f x 为R 上的可导函数，且R x ∀∈，均有()()f x f x '>，则有（ ） A ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f > B ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f < C ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f > D ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f < 4．()f x 与sin x ，cos x 构造例4：已知函数()y f x =对任意的,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>，则（ ）A ．()04f π⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．()03f f π⎛⎫<2- ⎪⎝⎭C 34f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对点增分集训一、选择题1．若函数()y f x =在R 上可导且满足不等式()()0xf x f x '+>恒成立，对任意正数a 、b ，若a b <， 则必有（ ） A ．()()af b bf a <B ．()()bf a af b <C ．()()af a bf b <D ．()()bf b af a <2．已知函数()()R f x x ∈满足()11f =，且()12f x '<，则()122x f x <+的解集为（ ） A ．}{11x x |-<<B ．}{1x x |<-C ．}{11x x x |<->或 D ．}{1x x |>3．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为()f x 的导函数，且()()()10f x x f x '+->，则（ ） A ．()10f =B ．()0f x <C ．()0f x >D ．()()10x f x -<4．设函数()f x '是函数()()R f x x ∈的导函数，已知()()f x f x '<，且()()4f x f x ''=-，()40f =，()21f =则使得()2e 0x f x -<成立的x 的取值范围是（ ） A ．()2-+∞，B ．()0+∞，C ．()1+∞，D ．()4+∞，5．已知函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，函数()y f x =对于任意的()0,πx ∈满足()()sin cos f x x f x x >'（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）A ．ππ36f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 3ππ42f⎛⎫⎛⎫<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ππ223f⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 5π3π64f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x >'，且()2018f x +为奇函数，则不等式()2018e 0x f x +<的解集为（ ） A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．1e ,⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7．已知函数()2f x +是偶函数，且当2x >时满足()()()2xf x f x f x ''>+，则（ ）A ．()()214f f <B ．()3232f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．()5042f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．()()13f f <8．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时，()()0f x f x x+'>，若1133a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()33b f =--，11lnln 33c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．a c b << D ．c a b <<9．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，()()222e x f x f x --=（e 为自然对数的底数）， 且当1x ≠时，()()()10x f x f x -->⎡⎤⎣⎦'，则（ ） A ．()()10f f <B ．()()2e 0f f >C ．()()33e 0f f >D ．()()44e 0f f <10．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，()00f =若对任意R x ∈，都有()()'1f x f x >+，则使得()e 1f x x +<成立的x 的取值范围为（ ）A ．(),1∞-B ．(),0∞-C ．()1,+∞-D ．0,+∞（）11．已知函数()f x 是定义在区间()0,+∞上的可导函数，满足()0f x >且()()'0f x f x +<（()'f x 为函数的导函数），若01a b <<<且1ab =，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()()()1f a a f b >+ B ．()()()1f b a f a >- C ．()()af a bf b >D ．()()af b bf a >12．定义在R 上的奇函数()y f x =满足()30f =，且当0x >时，不等式()()'f x xf x >-恒成立，则函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．设()f x 是R 上的可导函数，且'()()f x f x ≥-，(0)1f =，21(2)e f =．则(1)f 的值为________．14．已知,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭π，()1y f x =-为奇函数，()()'tan 0f x f x x +>，则不等式()cos f x x >的解集为_________．15．已知定义在实数集R 的函数()f x 满足()27f =，且()f x 导函数()3f x '<，则不等式()ln 3ln 1f x x >+的解集为__________．16．已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞+∞上的奇函数，且()10f =．若0x <时，()()'0xf x f x ->，则不等式()0f x >的解集为__________．1．参变分离法例1：已知函数()ln af x x x=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是_________．培优点四 恒成立问题2．数形结合法例2：若不等式()log sin 20,1a x x a a >>≠对于任意的π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围是___________．3．最值分析法例3：已知函数()()ln 10f x a x a =+>，在区间()1,e 上，()f x x >恒成立，求a 的取值范围___________．一、选择题1．已知函数()()2ln 1,03,0x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()()20f x m x -+≥，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．[]2,1-C ．[]0,3D ．[)3,+∞2．已知函数()3224f x x x x =--+，当[],3x ∈-时，()214f x m m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()3,11-B ．()3,11C ．[]3,11D ．[]2,73．若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．()2,-+∞C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭4．已知对任意21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦不等式2e xa x >恒成立（其中e 2.71828=，是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（ ）A ．e 0,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),2e -∞-D ．24,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭5．已知函数()2e x f x x =，当[]1,1x ∈-时，不等式()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)e,+∞D ．()e,+∞对点增分集训6．当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]5,3--B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]6,2--D ．[]4,3--7．函数()2e 1xf x x =-+，若存在(]00,2x ∈使得()00m f x ->成立，则实数m 的范围是（ ）A ．21e 5,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,-+∞C ．()1,+∞D ．1e,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭8．设函数()ln f x x ax =+，若存在()00,x ∈+∞，使()00f x >，则a 的取值范围是（ ） A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9．若对于任意实数0x ≥，函数()e x f x ax =+恒大于零，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),e -∞B ．(],e -∞-C ．[)e,+∞D ．()e,-+∞10．已知函数()()()3f x a x a x a =-++，()22x g x =-，若对任意x ∈R ，总有()0f x <或()0g x <成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),4-∞-B ．()4,0-C ．[)4,0-D ．()4,-+∞11．已知函数()e xf x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],e -∞B ．(),e -∞C ．e ,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12．设函数()()e 31x f x x ax a =--+，其中1a <，若有且只有一个整数0x 使得()00f x ≤，则a 的取值范围是（ ）A ．23,e 4⎛⎫⎪⎝⎭B ．23,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题13．设函数()f x x a =+，()1g x x =-，对于任意的x ∈R ，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是__________．14．函数()ln 1f x x x ax =-+，其中a ∈R ，若对任意正数x 都有()0f x ≥，则实数a 的取值范围为____________．15．已知函数()21ln 22f x x ax x =--，若函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．16．已知关于x 的不等式21log 02m mx x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭-在[]1,2上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．三、解答题17．设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a ∈R ， （1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （2）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．18．设函数()2e mx f x x mx =+-，（1）证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增；（2）若对于任意1x ，[]21,1x ∈-，都有()()12e 1f x f x -≤-，求m 的取值范围．培优点五导数的应用1．利用导数判断单调性例1：求函数()()32333e x=+--的单调区间f x x x x-2．函数的极值例2：求函数()e x f x x -=的极值．3．利用导数判断函数的最值 例3：已知函数()()ln mf x x m x=-∈R 在区间[]1,e 上取得最小值4，则m =___________．一、单选题1．函数()ln f x x x =-的单调递减区间为（ ） A ．() 0,1B ．() 0,+∞对点增分集训C ．() 1,+∞D ．()() ,01,-∞+∞2．若1x =是函数()ln f x ax x =+的极值点，则（ ） A ．()f x 有极大值1- B ．()f x 有极小值1- C ．()f x 有极大值0D ．()f x 有极小值03．已知函数()3f x x ax =--在(],1-∞-上单调递减，且()2ag x x x=-在区间(]1,2上既有最大值，又有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a >-B ．3a ≥-C ．32a -≤<-D ．32a -≤≤-4．函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数．．．．，则m 的范围是（ ） A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5．遇见你的那一刻，我的心电图就如函数1ln sin 1x y x x -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．函数()321213f x x ax x =+-+在()1,2x ∈内存在极值点，则（ ）A ．1122a -<<B ．1122a -≤≤C ．12a <-或12a >D ．12a ≤-或12a ≥7．已知()22f x ax x a =++，x ∈R ，若函数()()()322g x x a x f x =---在区间()1,3-上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a <-或3a >B ．1a ≤-或3a ≥C ．9a <-或3a >D ．9a ≤-或3a ≥8．函数()y f x =在定义域3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内可导，其图像如图所示．记()y f x =的导函数为()y f x ='，则不等式()0f x '≤的解集为（ ）A ．[]1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1481,,233⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．[)31,1,222⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．31144,,,323233⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦9．设函数()()1ln 03f x x x x =->，则()y f x =（ ）A ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,e 内均有零点B ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,e 内均无零点C ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内有零点，在区间()1,e 内无零点D ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内无零点，在区间()1,e 内有零点10．若函数()()323321f x x ax a x =++++既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．12a -<<B ．12a -≤≤C ．1a ≤-或2a ≥D ．1a <-或2a >11．已知函数()3223f x x ax bx c =+++的两个极值点分别在()1,0-与()0,1内，则2a b -的取值范围是（ ）A ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12．设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(),a b 上的导函数为()f x ''，若在区间 (),a b 上()0f x ''>，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凹函数”，已知()5421122012f x x mx x =--在区间()1,3上为“凹函数”，则实数m 的取值范围为（ ）A ．31,9⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．31,59⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(],5-∞D ．(],3-∞-二、填空题13．函数()3222f x x x =-在区间[]1,2-上的最大值是___________．14．若函数()32334f x x ax x a =-+-在(),1-∞-，()2,+∞上都是单调增函数，则实数a 的取值集合是______． 15．函数()()2ln 1f x x a x a =--∈R 在[]1,2内不存在极值点，则a 的取值范围是___________． 16．已知函数()e ln x f x a x =+， ①当1a =时，()f x 有最大值；②对于任意的0a >，函数()f x 是()0,+∞上的增函数； ③对于任意的0a <，函数()f x 一定存在最小值； ④对于任意的0a >，都有()0f x >．其中正确结论的序号是_________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题17．已知函数()()ln f x x ax a =-∈R （1）讨论函数()f x 在()0,+∞上的单调性； （2）证明：2e e ln 0x x ->恒成立．18．已知函数()()2e ,x f x a x bx a b =+-∈R ，其导函数为()'y f x =．（1）当2b =时，若函数()'y f x =在R 上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）设0a ≠，点()(),,P m n m n ∈R 是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数()00x x m ≠使得()()000'2x m f x n f x m +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭成立？并证明你的结论．1．求三角函数值 例1：已知π3π044βα<<<<，π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3π5sin 413β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值．培优点六 三角函数2．三角函数的值域与最值例2：已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， （1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间ππ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域．3．三角函数的性质例3：函数()2cos2f x x x +（ ）A ．在ππ,36⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D ．在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增一、单选题1．若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） A ．13-B ．79-C ．13D ．792．函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是（ ）A ．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．已知1tan 4tan θθ+=，则2πcos 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．15B ．14C ．13D ．124．关于函数()()π3sin 213f x x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭R ，下列命题正确的是（ ）A ．由()()121f x f x ==可得12x x -是π的整数倍B ．()y f x =的表达式可改写成()π3cos 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．()y f x =的图象关于点3π,14⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()y f x =的图象关于直线π12x =-对称 5．函数()2πππcos 2sin sin 555f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值是（ ） A ．1 B ．πsin5C ．π2sin5D6．函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分别可以是（ ）对点增分集训A ．1，π3B ．1，2π3-C ．2，2π3D ．2，π3-7．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，π4x =-和π4x =分别是函数()f x 取得零点和最小值点横坐标，且()f x 在ππ,1224⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，则ω的最大值是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．98．已知函数()cos sin f x x x =⋅，给出下列四个说法：2014π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭①②函数()f x 的周期为π； ()f x ③在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；()f x ④的图象关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称其中正确说法的序号是（ ） A ．②③B ．①③C ．①④D ．①③④9．已知0ω>，函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]0,2C ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．同时具有性质：①()f x 最小正周期是π；②()f x 图象关于直线π3x =对称；③()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数的一个函数是（ ） A ．πsin 23x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．关于函数()1π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的个数为（ ）①函数()f x 的图像关于直线8π3x =对称； ②将函数()f x 的图像向右平移π3个单位所得图像的函数为1π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；③函数()f x 在区间π5π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；④若()f x a =，则1πcos 233a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．A ．1B ．2C ．3D ．412．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的图象关于直线π3x =对称，它的最小正周期为π，则函数()f x 图象的一个对称中心是（ ） A ．π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．函数πcos 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递减区间是_________． 14．已知()0,πα∈，且3cos 5α=，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________________．15．函数()sin2f x x x =在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的值域为_________．16．关于()()π4sin 2,3f x x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭R ＝，有下列命题①由()()120f x f x ==可得12x x -是π的整数倍； ②()y f x =的表达式可改写成π4cos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③()y f x =图象关于π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；④()y f x =图象关于π6x =-对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．三、解答题17．已知()π2sin 2cos26f x x a x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()a ∈R ，其图象在π3x =取得最大值． （1）求函数()f x 的解析式；（2）当π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()65f α=，求sin2α值．18．已知函数()()2πsin sin 02f x x x x ωωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π． （1）求ω的值；（2）求函数()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．1．解三角形中的要素例1：ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c =b =，60B =o ，则C =_____． 2．恒等式背景培优点七 解三角形例2：已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且有cos sin 0a C C b c --=． （1）求A ；（2）若2a =，且ABC △b ，c ．一、单选题1．在ABC △中，1a =，6A π∠=，4B π∠=，则c =（ ） ABCD2．在ABC △中，三边长7AB =，5BC =，6AC =，则AB BC ⋅u u u v u u u v等于（ ）A ．19B ．19-C ．18D ．18-3．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若2cos c a B =，则三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形4．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3C π=，c =3b a =，则ABC △的面积为（ ） 对点增分集训AB C D 5．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b bc -=，sin C B =，则A =（ ） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒6．设ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果()()3a b c b c a bc +++-=，且a =那么ABC △外接圆的半径为（ ） A ．1BC ．2D ．47．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=， 则ABC △的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形8．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足cos cos a B b A c -=，则ABC △是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形9．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为（ ） A ．8B ．16C ．32D ．6410．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．若()sin cos 0b a C C +-=， 则A =（ ） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 11．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c o s c o s c o s a b cA B C==，则ABC △是（ ） A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形12．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =，c =，tan 21tan A cB b+=， 则C ∠=（ ） A ．6π B ．4π C ．4π或34π D ．3π二、填空题13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c =，2216b a -=，则角C 的最大值为_____； 14．已知ABC △的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是_________．15．在ABC △中三个内角A ∠，B ∠，C ∠，所对的边分别是a ，b ，c ，若()2si n c o s 2s i n c o s b C A A C+=-，且a =ABC △面积的最大值是________16．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，b =，则ABC △面积的取值范围是__________．三、解答题17．己知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C cos 2sin A C+=． （1）求角A 的大小；（2）若5b c +=，且ABC △a 的值．18．如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，60ADC ∠=︒，AB =，4BD =．．（1）求ABD △的面积．（2）若120BAC ∠=o ，求AC 的长．1．代数法例1：已知向量a ，b 满足=3a ，b ()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ）培优点八 平面向量A ．3B ．3- C． D2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______． 3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ⋅=uuu v uu u v__________．一、单选题1．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且向量a ，b 的夹角为4π，若λ-a b 与b 垂直，则实数λ的值为（ ） A ．12-B ．12C ．2 D2．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b，+a b ⋅=a b （ ） A ．1BCD ．23．如图，平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60A ∠=o ，点M 在AB 边上，且13AM AB =， 则DM DB ⋅=uuu u v uu u v（ ）A ．1-B ．1C． D4．如图，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB =uu u v a ，AC =uuu v b ，则AO =uuu v（ ）对点增分集训A ．1122+a bB ．1124+a bC ．1142+a bD ．1144+a b5．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，则AP BQ ⋅u u u v u u u v 的最大值为（ ） A ．2- B ．32-C ．34 D ．986．已知ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC ⋅uu v uu u v的范围是（ ）A ．[]14，B ．[]04，C ．944⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．[]24-，7．已知非零向量a ，b ，满足=a 且()()320+⋅-=a b a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．4πB ．2π C ．34π D ．π8．在Rt ABC △中斜边BC a =，以A 为中点的线段2PQ a =，则BP CQ ⋅u u v u u u v的最大值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．9．设向量a ，b ，c ，满足1==a b ，12⋅=-a b ，6,0--=o a b c c ，则c 的最大值等于（ ）A ．1B C D ．210．已知a 与b 为单位向量，且⊥a b ，向量c 满足2--=c a b ，则c 的取值范围为（ ）A ．1,1⎡⎣B ．2⎡⎣C ．D ．3⎡-+⎣11．平行四边形ABCD 中，AC uuu v ，BD uuu v 在AB uu u v 上投影的数量分别为3，1-，则BD uuu v 在BC uu uv 上的投影的取值范围是（ ） A ．()1,-+∞B ．()1,3-C ．()0,+∞D ．()0,312．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB AC ==D ，E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅uuu v uu u v的取值范围是（ ）A ．84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．88,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13．已知向量()1,2=a ，()2,2=-b ，()1,λ=c ，若()2+∥c a b ，则λ=________． 14．若向量a ，b 满足1=a ，2=b ()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为__________．15．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 上的一个动点，则求AE BD ⋅uu u v uu u v的最大值为________．16．在ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，P 为线段AB 上一点，则PB PC +uu v uu u v的取值范围为____．1．简单的线性规划问题应注意取点是否取得到培优点九 线性规划例1：已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．72．目标函数为二次式例2：若变量x ，y 满足120x x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪++≥⎩，则22z x y =+的最大值为（ ）AB ．7C ．9D ．103．目标函数为分式例3：设变量x ，y 满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则11y s x +=+的取值范围是（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,2D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．面积问题例4：若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线4y kx =+分成面积相等的两部分，则k 的值为（ ）A ．73B ．37C ．173-D ．317-一、单选题1．若实数x ，y 满足0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =-的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-对点增分集训2．已知实数x ，y 满足线性约束条件3023004x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩，则其表示的平面区域的面积为（ ） A ．94B ．274C ．9D ．2723．已知实数x ，y 满足122022x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，若z x a y =-只在点()43,处取得最大值，则a 的取值范围是（ ） A ．()1-∞-, B ．()2-+∞, C ．()1-∞,D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,4．已知实数x ，y 满足约束条件222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则5x z y -=的取值范围为（ ）A ．2433⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,B ．4233⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,C ．3324⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ,,D ．3342⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ,,5．若实数x ，y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22z x y =+的最大值是（ ）AB ．4C ．9D ．106．已知点()12A ,，若动点()P x y ,的坐标满足02x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则AP 的最小值为（ ）AB ．1CD7．x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A ．12或1- B ．2或12C ．2或1D ．2或1-8．若x ，y 满足不等式组40240 4x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则215y x ≤+成立的概率为（ ）A ．1556B ．1116 C ．58D ．389．若x ，y 满足不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则32z x y =-+的最小值为（ ）A ．7B ．6C ．265D ．410．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定．若()M x y ,为D 上动点，点A 的坐标为)．则z OM OA =⋅u u u v u u v的最大值为（ ）A．B．C ．4D ．311．若不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域内存在点()00x y ,，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．(],1-∞D ．[)1,+∞12．已知圆()()22:1C x a y b -+-=，平面区域60:400x y x y y +-≤⎧⎪Ω-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则圆心(),C a b 与点()2,8连线斜率的取值范围是（ ） A ．77,,35⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭UB ．77,,35⎛⎤⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭UC ．77,35⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．77,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题13．设x ，y 满足10302x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则21z x y =++的最大值为____________．14．若变量x ，y 满足约束条件210220x x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩，则22z x y =+的最小值为_________．15．已知实数x ，y 满足110x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22x y x ++的最小值为______．16．某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队．经过对本地养鱼场年利润率的调研，其结果是：年利润亏损10%的概率为02.，年利润获利30%的概率为0.4，年利润获利50%的概率为0.4，对远洋捕捞队的调研结果是：年利润获利为60%的概率为0.7，持平的概率为0.2，年利润亏损20%的可能性为0.1．为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对远洋捕捞队的投资不得高于本地养鱼场的投资的2倍．根据调研数据，该公司如何分配投资金额，明年两个项目的利润之和最大值为_________千万．1．等差数列的性质培优点十 等差、等比数列例1：已知数列{}n a ，{}n b 为等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=_______． 2．等比数列的性质例2：已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=，则()713392a a a a a ++的值为（ ） A ．10B ．20C ．100D ．2003．等差、等比综合例3：设{}n a 是等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1q ≠，且()01,2,3,,i b i n >=L ，若11a b =，1111a b =， 则有（ ） A ．66a b = B ．66a b >C ．66a b <D ．66a b >或66a b <一、单选题1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（ ） A ．6斤B ．7斤C ．8斤D ．9斤2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若540S =，9126S =，则7S =（ ） A ．66B ．68C ．77D ．843．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为（ ） A ．4B ．2C ．2-D ．4-4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5714a a +=，则11S =（ ） A ．140B ．70C ．154D ．775．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则公比q 的值为（ ） A ．12-B ．2-C ．1或12-D ．1-或12对点增分集训6．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a -，212a -，3a 成等差数列，若11a =，则4S =（ ） A ．5-B ．0C ．5D ．77．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （ ） A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+8．设公差为2-的等差数列{}n a ，如果1479750a a a a +++=+L ，那么36999a a a a ++++L 等于（ ） A ．182-B ．78-C ．148-D ．82-9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且133215S S -=，则数列{}n a 的第三项为（ ） A ．3B ．4-C ．5-D ．610．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若81026a a =+，则11S =（ ） A ．27B ．36C ．45D ．6611．设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n K 是其前n 项的积，且56K K <，678K K K =>，则下列结论错误．．的是（ ） A ．01q << B ．71a =C ．95K K >D ．6K 与7K 均为n K 的最大值12．定义函数()f x 如下表，数列{}n a 满足()1n n a f a +=，n *∈N ，若12a =，则1232018a a a a ++++=L （ ）A ．7042B ．7058C ．7063D ．7262二、填空题13．已知等差数列{}n a ，若2376a a a ++=，则17a a +=________．14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公比q 1231a a a ++=，则12S 的值是___________．。
平面向量-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)+Word版含解析
专题 平面向量1．【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．2．【2019年高考全国II 卷理数】已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A ．−3 B ．−2 C ．2D ．3【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．3．【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】AB 与AC 的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅，即22||||AB AC AC AB +>-，因为AC AB BC -=，所以|AB +AC |>|BC |；当|AB +AC |>|BC |成立时，|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇒•AC >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB 与AC 的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C ．【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.4．【2019年高考全国III 卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________. 【答案】23【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c22133⋅==⨯⋅a c a c ． 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．5．【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________． 【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，5,AB AD ==则B ，5()22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒，所以直线BE y x =-，直线AE 的斜率为y =.由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-，所以1)E -.所以35(,)(3,1)12BD AE =-=-.【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.6．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6ABAC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____..【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE=2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.7．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】0；则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-(AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++=所以当()135λλλ-+和()245λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值， 所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值max y ===故答案为0；【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】在矩形ABCD 中，4AB =uu u r,2AD =．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅= A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AM AD DM AD AB =+=+， 1122MN CN CM CB CD =-=-11112222BC DC AD AB =-+=-+.∴111222AM MN AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111||||41622424AD AB =-⋅+⋅=-⋅+⋅=. 故选：C ．【名师点睛】本题主要考查基底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题．9．【福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学试题】已知向量a ，b 满足||1=a ，||=b 且a 与b 的夹角为6π，则()(2)+⋅-=a b a bA ．12B ．32-C ．12-D ．32【答案】A【解析】()()221222312+-=-+⋅=-+=a b a b a b a b . 故选A.【名师点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．10．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学试题】已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ，(4,5)=c ，若()λ+⊥a b c ，则实数λ=A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】C【解析】因为(1,2)=a ，(2,3)=-b ， 所以()12,23λλλ-+a +b =， 又()λ+⊥a b c ，所以()0λ+⋅=a b c ， 即()()4125230+=λλ-+，解得2λ-= . 故选C.【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.11．【2019届北京市通州区三模数学试题】设a ，b 均为单位向量，则“a 与b 夹角为2π3”是“||+=a b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】因为a ，b 均为单位向量， 若a 与b 夹角为2π3，则||1+===a b ，因此，由“a 与b 夹角为2π3”不能推出“||+=a b ”；若||+a b ||+=a b 解得1cos ,2=a b ，即a 与b 夹角为π3，所以，由“||+a b a 与b 夹角为2π3”因此，“a 与b 夹角为2π3”是“||+=a b ”的既不充分也不必要条件. 故选D【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，以及向量的数量积运算，熟记充分条件与必要条件的概念，以及向量的数量积运算法则即可，属于常考题型.12．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试数学（二)】在ABC △中，2AB AC AD +=，AE DE +=0，若EB xAB y AC =+，则 A ．3y x = B ．3x y =C ．3y x =-D ．3x y =-【答案】D【解析】因为2AB AC AD +=，所以点D 是BC 的中点，又因为AE DE +=0，所以点E 是AD 的中点，所以有：11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+，因此 31,344x y x y =-=⇒=-，故题选D.【名师点睛】本题考查了向量加法的几何意义、平面向量基本定理.解题的关键是对向量式的理解、对向量加法的几何意义的理解.13．【2019年辽宁省大连市高三5月双基考试数学试题】已知直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若32AO AB ⋅=，则实数m =A ．1±B ．2±C ．2±D ．12±【答案】C【解析】联立221y x mx y =+⎧⎨+=⎩ ，得2x 2+2mx +m 2−1=0， ∵直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，∴∆=-2m 2+8＞0，解得x <<，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−m ，21221-=m x x ，y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2，AO =（-x 1，-y 1），AB =（x 2-x 1，y 2-y 1），∵21123,2AO AB AO AB x x x ⋅=∴⋅=-+y 12-y 1y 2=1221122m m ----+m 2-m 2=2-m 2=23，解得m =2±． 故选：C ．【名师点睛】本题考查根的判别式、根与系数的关系、向量的数量积的应用，考查了运算能力，是中档题．14．【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学试题】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1A E A F ⋅=，则λ的值为 A ．3 B ．2C ．23D ．52【答案】B【解析】由题意可得：()()113AE AF AB BE AD DF AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111133AB BC AB BC λλ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭，且：224,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-， 故()44112133λλ⎛⎫+++⨯-= ⎪⎝⎭，解得：2λ=. 故选：B.【名师点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，平面向量基本定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学试题】在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AC ==与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE EC ⋅=A ．572B ．14425C ．125D ．2512【答案】B 【解析】如图：由3AB =，4=AD得：5BD ==，125AB AD AE BD ⋅== 又()AE EC AE EO OC AE EO AE OC AE EO AE AO ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅AE BD ⊥，0AE EO ∴⋅=，又2144cos 25AE AE AO AE AO EAO AE AO AE AO⋅=∠=⋅==14425AE EC ∴⋅=. 故选B.【名师点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够通过线性运算将问题转化为模长和夹角已知的向量之间的数量积问题.16．【湖师范大学附属中学2019届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE的中点，则AF =A ．3144AB AD + B ．1344AB AD + C ．12AB AD +D ．3142AB AD +【答案】D【解析】根据题意得：1()2AF AC AE =+，又AC AB AD =+，12AE AB =，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+.故选D.【名师点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题.17．【2019年北京市高考数学试卷】已知向量a =（－4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________.【答案】8.【解析】向量4,36,m =-=⊥（），（），，a b a b则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b .【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.18．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】已知圆22450x y x ++-=的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB ⋅的值为__________. 【答案】8. 【答案】5-【解析】设(1,1)M -，圆心(2,0)C -，∵10112MC k -==-+，根据圆的性质可知，1AB k =-，∴AB 所在直线方程为1(1)y x -=-+，即0x y +=，联立方程224500x y x x y ⎧++-=⎨+=⎩可得，22450x x +-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1252x x =-， 令0y =可得(0,0)P ， 12121225PA PB x x y y x x ⋅=+==-，故答案为：-5．【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用，属于常考题型.。
2019年普通高等学校统一招生考试调研卷(八)数学答案
100 2.5 4 15 16 20 40 25 12 30 18 35 10 40
3020 ． ……………………………………………………………………………1 分 样本的质量指标平均值为 3020 30.2 ． ……………………………………………2 分
100 根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为 30.2 ． ………………………3 分
1 11
（2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为 ， ， ，
2 36
1 11
故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为 ， ， ． …………4 分
2 36
随机变量 X 的取值为：240，300，360，420，480．………………………………………5 分
P(X 240) 1 1 1 ， 6 6 36
高考调研卷
数学调研卷答案(八)·第 2 页(共 15 页)
2
2019·群模考
小梦学习园地系列试卷
同理 CF∥平面 ADE ． ……………………………………………………………2 分 又因为 BC CF C ，所以平面 BCF∥平面 ADE ． …………………………3 分 因为 BF 平面 BCF ，所以 BF∥平面 ADE ． …………………………………4 分
BCF 为二面角 A CD F 的平面角，
BCF 60 ． ……………………6 分
所以 CD BO ． 因为 CD CF C ，
所以 BO 平面 CDF ， BO EH ．…7 分 因为 OH EH ,OH BO O ，
所以 EH 平面 BOH ．……8 分
所以 EH BH ， BHO 为二面角 B EG D 的平面角． ……………………9 分
2019年高考理科数学一轮单元卷：第八单元平面向量A卷(含答案)
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第八单元 平面向量注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设平面向量()3,5=a ，()2,1=-b ，则2-=a b （ ） A ．()7,3B ．()7,7C ．()1,7D ．()1,32．在ABC △中，点D 为边AB 的中点，则向量CD =（ ）A 1BA BC - B ．12BA BC -- C 1BA BC +D ．12BA BC -+3．已知向量()4,2=-a ，(),1x =b ．若a ，b 共线，则x 的值是（ ） A ．1-B ．2-C ．1D ．24．已知平面向量()1,3=a ，(),3x =-b ，且∥a b ，则2+=a b （ ） A ．10B 5C ．5D 105．已知向量()3,1=a ，()21,k k =-b ，且()+⊥a b a ，则k 的值是（ ） A ．1-B ．37C ．35-D ．356．若向量a 、b 满足1=a 、2b ()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．2π B ．23π C ．34π D ．56π7．单位圆O 中一条弦AB 2，则·ABOB=（ ） A ．1B 2C ．2D ．无法确定8．已知向量a 与b 反向，则下列等式中成立的是（ ） AB ．+=-a b a b CD ．+=+a b a b9．在ABC △中，2BD DC =，AD mAB nAC =+，则mn的值为（ ） A ．12B ．13C ．2D ．310．四边形ABCD 中，AB DC =，且AD AB AD AB -=+，则四边形ABCD 是（ ） A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形11．已知向量a ，b 的夹角为120︒，且2=a ，3=b ，则向量23+a b 在向量2+a b 方向上的投影为（ ） A 83B 613C 56D 191312．在锐角ABC △中，60B =︒，2AB AC -=则AB AC ⋅的取值范围为（ ） A ．()0,12 B ．1,124⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．(]0,4D ．(]0,2二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，满足∥a b ，则2sin 4sin cos x x xπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-__________． 14．已知向量()12，=-m ，(),4x =n ，若⊥m n ，则2+=m n __________． 15．已知点()4,1A ，()1,5B ，则与向量AB 方向相同的单位向量为________． 16．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，则点P 的坐标是____________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知向量()1,3=a ，()2,2=-b ， （1）设2=+c a b ，求()⋅b a c ； （2）求向量a 在b 方向上的投影．18．（12分）已知向量()3,2=a ，()1,2=-b ． （1）求2a +b 的值；（2）若()m ⊥+a b b ，求m 的值．19．（12分）已知向量2222⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，m ，()sin ,cos x x =n ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）若⊥m n ，求tan x 的值； （2）若向量m ，n 的夹角为3π，求sin 4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．20．（12分）已知平面上三点A B C 、、满足，()23BC k =-，，()24AC =，，（1）若三点A B C 、、不能构成三角形，求实数k 满足的条件； （2）ABC △是不以C ∠为直角的Rt △，求实数k 的值．21．（12分）如图，在OAB △中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足AP AB λ=． （1）若13λ=，用向量OA ，OB 表示OP ； （2）若4OA =，3OB =，且60AOB ∠=︒，请问λ取何值时使得OP AB ⊥？22．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()sin ,A b c =+p ，(),sin sin q a c C B =--，满足+=-p q p q ． （1）求角B 的大小；（2）设1sin ,32C ⎛π⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ，()()2,cos20k A k =≠n ，⋅m n 有最大值为32，求k 的值．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ）第八单元 平面向量一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】A【解析】∵()3,5=a ，()2,1=-b ，∴()()()()23,522,134,527,3-=--=+-=a b ， 故选A ． 2．【答案】A【解析】由题意结合平面向量的运算法则可得：11CD CB BD BC BA BA BC =+=-+=-．本题选择A 选项． 3．【答案】B【解析】∵()4,2=-a ，(),1x =b ，且a ，b 共线，∴24x -=，解得2x =-．故选B ． 4．【答案】D【解析】由题意得，()1,3=a ，(),3x =-b ，且()11,3x ⇒=-⇒=--∥a b b ， 则()21,3+=--a b ，即210+=a b ，故选D ． 5．【答案】A【解析】因为向量()3,1=a ，()21,k k =-b ，所以()22,1k k +=++a b ，又因为()+⊥a b a ，所以()770k +⋅=+=a b a ，1k =-，故选A ． 6．【答案】C【解析】()⊥+a a b ，所以，()0⋅+=a a b ，即2||cos ,0⋅+⋅=+⋅=a a a b a a b a b ， 所以2||2cos ,=-=⋅a a b a b ，又[],0,∈π a b ，故a 与b 的夹角为34π，故选C ．7．【答案】A【解析】单位圆O 中一条弦AB 2，则222+OA OB AB =，OAB △是等腰直角三角形，所以AB 与OB 成的角为4π，2·2112AB OB =⨯⨯=，故选A ． 8．【答案】C【解析】向量a 与b 反向：-=+a b a b ，+=-a b a b ，故选C ． 9．【答案】A 【解析】如图，()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+， 又AD mAB nAC =+，∴13m =，23n =，故12m n =．故选A ．10．【答案】C【解析】由于AB DC =，故四边形是平行四边形，根据向量加法和减法的几何意义可知，该平行四边形的对角线相等，故为矩形，故选C ． 11．【答案】D【解析】向量a ，b 的夹角为120︒，且2=a ，3=b所以2222341261+=+⋅=a b a a b +9b ，2361+=a b 22224413+=+⋅+=a b a a b b ， 所以213+a b ()()232cos 23,22326113++++==++⋅a b a b a b a b a b a b，所以向量23+a b 在向量2+a b 方向上的投影为 191323cos 23,2616113+++==⋅a b a b a b D ． 12．【答案】A【解析】以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，∵60B =︒，2AB AC -=，∴(3C ，设(),0A x ，∵ABC △是锐角三角形， ∴120A C +=︒，∴3090A ︒<<︒，即A 在如图的线段DE上（不与D ，E 重合），∴14x <<，则221124AB AC x x x ⎛⎫⋅=-=-- ⎪⎝⎭，所以AB AC ⋅的取值范围为()0,12，故选A ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】32【解析】因为向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，∥a b ，sin 2cos 0x x ∴-=，tan 2x =，3214．【答案】10【解析】由题意可得：240x ⋅=-+⨯=m n ，8x ∴=， 即()1,2=-m ，()8,4=n ，则()()()22,48,46,8+=-+=m n ， 据此可知：2226810+=+m n ． 15．【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】()()()154134AB =-=-，，，，5AB =，∴与向量AB 方向相同的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．16．【答案】()8,15-【解析】因为P 在AB 的延长线上，故AP ，PB 共线反向，故32AP PB =-，设(),P x y ， ，解得815x y ==-⎧⎨⎩，P 的坐标为()8,15-，故填()8,15-．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）()16,16--；（2）2 【解析】（1）()()()2,62,24,4=+-=c ，()()26416,16⋅=-=-⇒⋅=--b a b a c ．（2）向量a 在b 方向的投影4222⋅-==-a b b ． 18．【答案】（137（2）15-．【解析】（1）由已知得()21,6=a +b ，所以237=a +b （2）依题意得()3,22m m m +=-+a b ，又()m ⊥ +a b b ， ()·0m ∴= +a b b ，即()()132220m m --++=，解得15m =-． 19．【答案】（1）tan 1x =；（2）12． 【解析】（1）由⊥m n 可得0⋅=m n ，即220x x =， 化简可得sin cos x x =，则tan 1x =． （2）由题意可得1=m ，1=n ，22sin cos 22x x ⋅=-m n ， 而由m ，n 的夹角为3π可得1cos 32π⋅==m mn n ，因此有)21sin cos 22x x -=，20．【答案】（1）12k =；（2）2-，1-，3． 【解析】（1）A B C ，，三点不能构成三角形，∴三点A B C ，，共线；∴存在实数λ，使BC AC λ=；22 34k λλ-=⎧∴⎨=⎩，解得12k =．k ∴满足的条件是12k =． （2）()()()23241AB CB CA k k =-=-----=，，，ABC △为直角三角形；∴若A ∠是直角，则AB AC ⊥，2402AB AC k k ∴⋅=+=∴=-，； 若B ∠是直角，则AB BC ⊥，2230AB BC k k ∴⋅=-++=，解得1k =-，或3；综上可得k 的值为：2-，1-，3．）2133OP OA OB =+；（2）1013λ=． ）由题意得1AP AB =，∴()13OP OA OB OA -=-，∴21OP OA OB =+．（2）由题意知43cos606OA OB ⋅=⨯⨯︒=．∵AP AB λ=， ∴()OP OA OB OA λ-=-，∴()1OP OA OB λλ=-+． ∵OP AB ⊥，∴()()10OP AB OA OB OB OA λλ⎡⎤⋅=-+⋅-=⎣⎦，∴()()()()2212161216190OA OB OA OB λλλλλλ+-⋅--=---+=， 解得1013λ=． 22．【答案】（1）3B π=；（2）1k =或2k =． 【解析】（1）由条件+=-p q p q ，两边平方得0⋅=p q ，又()sin ,A b c =+p ，(),sin sin －－ac C B =q ，代入得()()()sin sin sin 0a c A b c C B -++-=， 根据正弦定理，可化为()()()0－a a c b c cb -++=，即222ac b ac +-=， 又由余弦定理2222cos ＝a c b a B +-，所以1cos 2B =，3B π=．（2）1sin ,32C ⎛π⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ，()2,cos2n k A =，()0k ≠，()2112sin cos 22sin cos 22sin cos 3222k C k A C B k A A k A π⎛⎫⋅=++=++=+-⎪⎝⎭m n 2211sin 2sin sin 22k k k A A k A k k ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭，而203A <<π，(]sin 0,1A ∈，①01k <≤时，sin 1A =取最大值为3222k -=，1k =． ②1k >时，当1sin A k =时取得最大值，1322k k +=解得1k =或2k =， 1k =（舍去）2k ∴=．③0k <时，开口向上，对称轴小于0当sin 1A =取最大值3222k -=，1k =（舍去）， 综上所述，1k =或2k =．。
2019数学(理科)高考题分类(高考真题+模拟题) 平面向量
F 单元 平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算17.F1,F2[2019·浙江卷] 已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是 ,最大值是 . 17.0 2√5 [解析] 以A 为原点,AB 为x 轴,AD 为y 轴建立平面直角坐标系(图略),则A (0,0),B (1,0),C (1,1),D (0,1),∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),BC ⃗⃗⃗⃗ =(0,1),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1),AC ⃗⃗⃗⃗ =(1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1), ∴λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗ +λ6BD⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6), ∴|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗ +λ6BD⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(λ1-λ3+λ5-λ6)2+(λ2-λ4+λ5+λ6)2. ∵λi ∈{-1,1},i=1,2,3,4,5,6,∴|λ1-λ3+λ5-λ6|=0或2或4,|λ2-λ4+λ5+λ6|=0或2或4. ①当λ1=λ3=λ4=λ5=λ6=-λ2时取到最小值0. ②当|λ1-λ3+λ5-λ6|=4时,λ1,-λ3,λ5,-λ6同号,当|λ2-λ4+λ5+λ6|=4时,λ2,-λ4,λ5,λ6同号, 显然λ5,λ6同号与λ5,-λ6同号不能同时成立,∴√(λ1-λ3+λ5-λ6)2+(λ2-λ4+λ5+λ6)2≤√42+22=2√5,当λ1=λ2=λ5=-λ3=-λ4=-λ6时取到最大值2√5.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算3.F2,F3[2019·全国卷Ⅱ] 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3),AC ⃗⃗⃗⃗ =(3,t ),|BC ⃗⃗⃗⃗ |=1,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗ = ( ) A .-3 B .-2 C .2 D .33.C [解析] BC ⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,t )-(2,3)=(1,t-3),所以|BC ⃗⃗⃗⃗ |=√12+(t -3)2=1,解得t=3,所以BC ⃗⃗⃗⃗ =(1,0),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗ =(2,3)·(1,0)=2.17.F1,F2[2019·浙江卷] 已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是 ,最大值是 . 17.0 2√5 [解析] 以A 为原点,AB 为x 轴,AD 为y 轴建立平面直角坐标系(图略),则A (0,0),B (1,0),C (1,1),D (0,1),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),BC ⃗⃗⃗⃗ =(0,1),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1),AC ⃗⃗⃗⃗ =(1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1), ∴λ1AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6), ∴|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗ +λ6BD⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(λ1-λ3+λ5-λ6)2+(λ2-λ4+λ5+λ6)2. ∵λi ∈{-1,1},i=1,2,3,4,5,6,∴|λ1-λ3+λ5-λ6|=0或2或4,|λ2-λ4+λ5+λ6|=0或2或4. ①当λ1=λ3=λ4=λ5=λ6=-λ2时取到最小值0. ②当|λ1-λ3+λ5-λ6|=4时,λ1,-λ3,λ5,-λ6同号,当|λ2-λ4+λ5+λ6|=4时,λ2,-λ4,λ5,λ6同号, 显然λ5,λ6同号与λ5,-λ6同号不能同时成立,∴√(λ1-λ3+λ5-λ6)2+(λ2-λ4+λ5+λ6)2≤√42+22=2√5,当λ1=λ2=λ5=-λ3=-λ4=-λ6时取到最大值2√5.F3 平面向量的数量积及应用7.F3[2019·全国卷Ⅰ] 已知非零向量a ,b 满足|a|=2|b|,且(a-b )⊥b ,则a 与b 的夹角为 ( ) A .π6 B .π3 C .2π3 D .5π67.B [解析] 因为(a-b )⊥b ,所以(a-b )·b=a ·b-b 2=|a||b|cos <a ,b>-|b|2=0,得|a|cos <a ,b>=|b|,又|a|=2|b|,所以cos <a ,b>=12,所以a 与b 的夹角为π3.3.F2,F3[2019·全国卷Ⅱ] 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3),AC ⃗⃗⃗⃗ =(3,t ),|BC ⃗⃗⃗⃗ |=1,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗ = ( ) A .-3 B .-2 C .2 D .33.C [解析] BC ⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,t )-(2,3)=(1,t-3),所以|BC ⃗⃗⃗⃗ |=√12+(t -3)2=1,解得t=3,所以BC ⃗⃗⃗⃗ =(1,0),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗ =(2,3)·(1,0)=2.13.F3[2019·全国卷Ⅲ] 已知a ,b 为单位向量,且a ·b=0,若c=2a-√5b ,则cos <a ,c>= . 13.23 [解析] 因为|c|=√(2a -√5b)2=√4a 2+5b 2=√4+5=3,a ·c=a ·(2a-√5b )=2a 2-√5a ·b=2,所以cos <a ,c>=a ·c |a||c|=23.7.A2,F3[2019·北京卷] 设点A ,B ,C 不共线,则“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”是“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗ |”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.C [解析] 设AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α.因为A ,B ,C 不共线,所以以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗ 为邻边作平行四边形ABDC ,由向量的平行四边形法则,可得AD⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ , 故AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ )2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗ 2+2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗ |cos α. 在△ABC 中,可得BC ⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗ -AB⃗⃗⃗⃗⃗ , 故BC ⃗⃗⃗⃗ 2=(AC⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗ 2-2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗ 2-2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC ⃗⃗⃗⃗ |cos α. 若α为锐角,则cos α>0,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2>BC ⃗⃗⃗⃗ 2,即|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗ |,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗ |;若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗ |,则|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗ |,即cos α>0,所以α为锐角.所以“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”是“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗ |”的充分必要条件.12.F3[2019·江苏卷] 如图1-3,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 在边AB 上,BE=2EA ,AD 与CE 交于点O.若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗ ,则ABAC的值是 .图1-312.√3 [解析] 如图所示,过D 作DF ∥CE ,交AB 于点F.因为D 是BC 的中点,所以F 是BE 的中点.又BE=2EA ,所以EF=EA ,所以AO=OD ,所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ ). 又EC⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗ -AE ⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗ -13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗ =6×14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ )·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗ , 即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3AC ⃗⃗⃗⃗ 2,所以ABAC=√3.14.C8,F3[2019·天津卷] 在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AB=2√3,AD=5,∠A=30°,点E 在线段CB 的延长线上,且AE=BE ,则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗ = .14.-1 [解析] 如图所示,因为AD ∥BC ,所以∠EBA=∠BAD=30°,又AE=BE ,所以△ABE 是底角为30°的等腰三角形.过点E 作EH ⊥AB ,交AB 于点H ,则AH=12AB=√3,故EH=1,AE=BE=2,且∠AEB=120°.过点B 作BF ∥AE ,交AD 于点F ,则BF=AE=2,AF=BE=2,所以FD=3.在△ABD 中,由余弦定理得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD cos 30°=12+25-2×2√3×5×√32=7,所以BD=√7.在△BFD中,由余弦定理得cos ∠DBF=BD 2+BF 2-DF 22BD ·BF=7+4-92×7×2=√714,所以BD⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗ =-BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗ =-√7×2×√714=-1.F4 单元综合7.[2019·长沙长郡中学月考(四)] 在△ABC 中,D 为AB 的中点,点E 满足EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EC ⃗⃗⃗⃗ ,则ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A .56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -43AC⃗⃗⃗⃗⃗ B .43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C .56AB⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D .43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 7.A [解析] ∵D 为AB的中点,点E 满足EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EC ⃗⃗⃗⃗ ,∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =43CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =43(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗ )-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选A .14.[2019·山西联考] 已知向量a=(x ,2),b=(-2,1),若a 与2a-b 共线,则|b||a|= .14.12 [解析] 由a=(x ,2),b=(-2,1),得2a-b=(2x+2,3),因为a 与2a-b 共线,所以3x-2(2x+2)=0,解得x=-4,所以a=2b ,|b||a|=12.24.[2019·日照一模] 已知正方形ABCD 的边长为2,E 是正方形内部(不包括正方形的边)一点,且AE ⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗ =2,则(AE ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ )2的最小值为 ( ) A .232B .12C .252D .1324.C[解析]以A为原点,分别以AB,AD所在的直线为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,设E(x,y),则AC⃗⃗⃗⃗ =(2,2),AE⃗⃗⃗⃗ =(x,y).∵AE⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗ =2,∴2x+2y=2,即x+y=1(0<x<2,0<y<2),则(AE⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗ )2=(x+2)2+(y+2)2.易知(AE⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗ )2的最小值的几何意义是在线段x+y=1(0<x<2,0<y<2)上取一点,使其到点M(-2,-2)的距离的平方最小,而点M(-2,-2)到线段x+y=1(0<x<2,0<y<2)的距离d=√2=√2,故所求的最小值为252.。
2019届高考数学专题八平面向量精准培优专练理练习
2019届高考数学专题八平面向量精准培优专练理练习 1．代数法??aa ba??a=3a bb3b=2方向上的投影为，则，，且满足1例：已知向量在，）（33333? C．． DA．3 B．?22【答案】C b?aaabb，所以只需求出即可．上的投影为【解析】考虑，在b????2ba?a?0b??aa?b??aa?可得：由，a?b?933???9a?b??．故选所以C．进而．b2232．几何法aa?b?a?b?2a?b=b_______，则是两个非零向量，且2：设．，例【答案】32aba?b为平行四边形的一组邻边和一条对角线，，，【解析】可知a?b?a?b?2a?2o的菱形，，边长由可知满足条件的只能是底角为60从而可求出另一条对角线的长度为．3a?233．建立直角坐标系uuuvuuuvuuvuuuvABC中，设形，，则长在边为1的正三角3例：CECA?BBC?2D3uuuvuuuv__________．E?ADB?A EBCD uuuvuuuv1AD?BE??【答案】4【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一1 / 10．个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，??311????,0CB?,00,A，，，如图建系：????????222??????vuuvuuu??311????y,CE?x?y,Ex,?CA?坐标：令，，，∴下面求??E????222????1?11??????3x?x??????22313vuuuuuv????,E?，由可得：，∴????CE3CA???6333?????y?3y??6?2?uuvuuuvu vvuuuuuu????3351,??BEAD?0,???BEAD．，，∴∴????????2664????对点增分集训一、单选题?aa21b?a??b?bbba垂直，则，，若满足的夹角为与，且向量，1．已知向量，4?的值为（实数）1122??．AB ． CD．．2244D【答案】?2??2???a?b1?2cos????0?4??2ba?b???D．因为，故选【解析】，所以44 2 / 10．a?b2?a1a?bb?a?b（ 2．已知向，则，），满足，． D．1 ． C2BA．32A 【答案】2221?a?b7aa?b??b?2a?b?1?4?2a??b【解析】由题意可得：．，则．故选A o ABCD边上，且，点在3．如图，平行四边形中，，，AB?1AB?2MAD60??A1ABAM?，3vuuuuuuuv）则（??DBDM33．． A．B．1 CD?1?33B【答案】uvuuuvuuuvuuuvuuuvuuu11vuvuuuuuuvuuAM?ABDM?AM?AD?AB?AD，【解析】因为，所以，ADDB?AB?33uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv411????22AD?ADAB?AB??AB?AD?AB?AD?D B?BM则??333??141??4??2?1??1?1．故选B．332uuuvuuuv△ABCACO是边的中点，若，中，是边，的中线，4．如图，在BEBEb?ACAB?auuuv则（）?AO11111111a?baa?ab?b?b D．．．．BA C 42442422B【答案】3 / 10．uuuvuuuv1AE?ACAC△ABC，的中线，所以【解析】由题意，在是边中，BE2uuuvuuuvuuuv1??AE?AO?ABO边的中点，所以又因为，是BE2uuuvuuuvuuuvuuuvuuuv11111??b?AE a?AB?AE?AB?AO?，故选B．所以42222Q2?AB?BCAB∥CDCD?1ABCD o分别，，5．在梯形，中，和，动点P120??BCDvuuuvuuuvuuvuuuu1vuuuvuuDCDQ?CDBC，）在线段上，且和，则的最大值为（BQAP??BCBP??8339?D．C．B．A．2?824D【答案】2BC?CD?1AB?AB∥CD o，，，，【解析】因为120BCD???BCM??30ABCD是直角梯形，且，所以，3?CMyx所在直线为所在直线为以轴，建立如图所示的平面直角坐标系：轴，以ADABvuuuvuuu1vuuuuuvQDQDC?CDBC，因为，动点和上，分别在线段和P?BCBP??81???????????3Q，01?2，0，B3,P2?则，，，，???8??uuuvuuuv111????????，34?AP?BQ?2??2，35???所以，????884??11?????01?，???4?5?f?，令且?84??1时可取得最大值，由基本不等式可知，当119??????41??5?f?f?．故选D．则max488 2AC??AB4?BAC?△60ABC?AC上任意一点，则为线段．已知6中，，，，P4 / 10．vuuuuuv）的范围是（PCPB?9????????，4?，，4441，?20．C．D B． A．??4??C 【答案】4AC?2AB???△60?ABCBAC【解析】根据题意，，中，，，2ABC△3212BC??416?2?2?4?cos60??BC?为直角则根据余弦定理可得，即．∴三角形????y x，2A00C23，BC轴建立坐标系，则为为原点，为轴，，，以BAByx??1??320?x?AC，则线段的方程为．232vuvuuuu3410??????yxP,222，，则PB3?2x?x??x?4．设PC???y23?x，?yx??yx33uuuvuuv94PC??PB?? C，∴∵．．故选3?0?x242????aa0b?3a??ab2?bbb?a角为夹足的，，满则且与知7．已非零向量，2（）?3??? A．C．D． B．442A【答案】2????a0???b2?b3aab?ab则足零】非向量，，，满解且【析2????02?b?3aba??，22?220?2ba?b?cos?a3?，∴∴，0?b2?b?a3?a1222??2b?0cosb3?bb???，∴225 / 10．?2a???b．，∴，故选∴，与A的夹角为?cos442vuuuuuva?2PQaC?Rt△ABCB的最大值为8．在为中点的线段，则中斜边，以CQ?BPA）（ 0C．2D．B．A．2?22B【答案】CA?aBA?Rt△ABCBC，，∴中斜边∵在【解析】aPQPQ?2中点，且，为线段∵Avuuuuuvvuuuuuvuuvuuvuuvuuuvuuuv??22222?cos?aaCAa???BA?AQ?AQ?CA??a?AQBA???a?AQ? CB??∴原式，vuuvuuu?1cos?．时，有最大值，．故选当B0?CQ?BP1o cacb?1a?06,b?a?cc???b?ab的最大值等于，，，满足9．设向量，则，，2）（2D． CA．1 ．B ．32D【答案】1vuuuvuuvuuu o0?6ba?c,?c?a?b?，设，，，因为，【解析】cOAOB?b?a?OC2C?O?ACB?60?AOB?120?四点共圆，，所以，，，，所以BAvuuuvuuu22??223?AB因为，，所以，3?bb?a?a??2a?AB?baAB?b?AB2R??2CO，四点的圆的直径为由正弦定理知，即过2，，，BA?sin120c．，故选所以D的最大值等于直径2ca c?a?b2c?bab?的取值范围为与为单位向量，且，向量10．已知，则满足）（????22,2?1,12?2?．BA ．????????222,3?3?222,2． CD．????B【答案】??????ayx0,1c?,a?1,0?b0b??ba，可设是单位向量，，，，由【解析】，??c2?ca?b?2?1y1x?,?满足由向量，∴，6 / 10．??22????1,1C4x?1??y?1，，∴，半径，其圆心2?ry222OC?∴．，∴．故选B2??2?2?c?x2?yuuuvvuuuvuuuvuuuvuuu3ABCD上在，，在上投影的数量分别为11．平行四边形，则中，1?BCACBDABBD）的投影的取值范围是（ ???????????1,??0,?1,30,3． B． A．C．DA【答案】??,0aB【解析】建立如图所示的直角坐标系：设，??????a?a?1,b?C33,b?D1a2a?得．则则，解，，vuuuuuuvvuuu????2??bC3,D1,bcos?BDcosb?1BM?在．，所以上的摄影，BCBD???BM?????0cos??1BM??1b?b0时，A，当时，，得到：．当，故选，BCABC上的点，且是线段中，，，12．如图，在等腰直角三角形ED2?AB?AC1vuvuuuuuBC?DE），则的取值范围是（AEAD?34884848??????????,,,, A． DB．．C．????????3333939????????A【答案】yxBCBC如图所示，以【解析】所在直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，7 / 10．12?????????????x?1?Ex?,0,01,0?1,0xCA0,1DB，则，设．，，，则????33????vuuuvuuu2????1??,AE?x1x?,?AD据此有，，??3??2vuvuuuuu812??2???x?x?1AD?AE?x 则．??933??81vuuuuuuv?x?取得最小值；时，据此可知，当AE?AD9341vuuuuuuv?x1x??当取得最大值；时，或AEAD?3348vuuuuuuv??,．．故选A的取值范围是AEAD???39??二、填空题?????????bac?22,?∥c??1,a?1,22b??．，．已知向量13，则，，若________1【答案】．2??????4,2?bb??2,?2a?a1,22，，所以【解析】因为，1?????b1,ac∥?c?2???24?．，且，即又，则2??aaba?aa?1?bb2?b．若向量，且，的夹角为满足__________，则与，．143?【答案】4????0b?a?ba?a?a?2由【解析】得，，，即0?a?ab?8 / 10．12a?b?a?b?a?b?cosa,???a,b?cos，，∴据此可得22?13??aa?0,?bb的夹角的取值范围为，故与的夹角为与又．4vuuuvuuuCDABCD的最大值为是上的一个动点，则求的边长为215．已知正方形，EBDAE? ________．4【答案】vuuuvuuvuuuvuuuvuuuuuuvuuuvuuvuu，，则【解析】设???ABDC??ABAE?AD?DE?DE?ADvuuuuvuuuuuv，又ABAD?BD?vuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuuuuuvuvuuuvuuuvuuu????22??????4??AD?AB?AD?AB?AD?ADAB??4?1ABAE?BD?，∴vuuuuvuu??0?1?0?．∵时，取得最大值4，故答案为4，∴当BDAE?vuuuvuu AB2AC?PPCPB??B?30?△ABC?C?90?的16．在为线段中，，上一点，则，，取值范围为____．??73,2【答案】??yxCACCB【解析】以，为坐标原点，，轴建立直角坐标系，所在直线为yx??????1??0,20,0AC3,02B，则直线的方程为，，，可得AB232vuuvuuux????????y2yPx,y,?PB?23?x y?PC?,?x，则设，，，，32??0x3vvuuuuu??222??则|y2?PCPB??232x?2x??22212x8?24412x844?x?y?3??x??3???3??9 / 10．2?5131623????40x?28?xx，????4333??vuuvuuuvuuuuuv35??PCPBPB?PC?的最大值为由，可得的最小值为时，则，?20,?3x??4vuuvuuu????PC?PB73,273,2的取值范围为即．故答案为．????10 / 10．。
高考数学提高题专题复习平面向量多选题练习题含答案
高考数学提高题专题复习平面向量多选题练习题含答案一、平面向量多选题1．已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M【答案】BD 【分析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断．【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以1M 不是“互垂点集”集合；对y =所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥， 所以2M 是“互垂点集”集合；在xy e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．2．已知边长为4的正方形ABCD 的对角线的交点为O ，以O 为圆心，6为半径作圆；若点E 在圆O 上运动，则（ ）A ．72EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= B ．56EA EC EB ED ⋅+⋅= C ．144EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= D ．28EA EC EB ED ⋅+⋅=【答案】BC【分析】以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，再利用向量坐标的线性运算以及向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】作出图形如图所示，以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ； 观察可知，()2,2A --，()2,2B -，()2,2C ，()2,2D -， 设(),E x y ，则2236x y +=，故()2,2EA x y =----，()2,2EB x y =---，()2,2EC x y =--， 故ED =()2,2x y ---，故EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅()()24144EA EC EB ED EO =+⋅+==，56EA EC EB ED ⋅+⋅=.故选：BC3．下列命题中真命题的是（ ）A ．向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a =λb （λ∈R ）B ．a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a b -|＞1，则3π＜θ≤πC ．A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，若AB •AC =0，AC •AD =0，AB •AD =0则△BCD 一定是锐角三角形D ．向量AB ，AC ，BC 满足AB AC BC =+，则AC 与BC 同向 【答案】BC 【分析】对于A ：利用共线定理判断 对于B ：利用平面向量的数量积判断 对于C ：利用数量积的应用判断 对于D ：利用向量的四则运算进行判断 【详解】对于A ：由向量共线定理可知，当0b =时，不成立.所以A 错误. 对于B ：若|a b -|＞1，则平方得2221a a b b -⋅+＞，即12a b ⋅＜，又1||2a b a b cos cos θθ⋅=⋅=＜，所以3π＜θ≤π，即B 正确.对于C ：()()220BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=＞，0||BC BD cosB BC BD ⋅=⋅＞，即B 为锐角，同理A ，C 也为锐角，故△BCD 是锐角三角形，所以C 正确.对于D ：若AB AC BC =+，则AB AC BC CB -==，所以0CB =，所以则AC 与BC 共线，但不一定方向相同，所以D 错误. 故选：BC. 【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；（2）要判断一个命题错误，只需举一个反例就可以；要证明一个命题正确，需要进行证明.4．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，则a 与b 垂直D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2π【答案】CD 【分析】对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出()()()222a b a b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 【详解】对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()22222cos cos a ba b a b αα⋅==，而()()2222a ba b ⋅=，由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以()()()222a b a b ⋅≠⋅，所以该命题是假命题；对于C ，若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.5．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）A ．()a cbc a b c ⋅-⋅=-⋅ B ．()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直 C ．a b a b -<-D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=- 【答案】ACD 【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确； 选项B ，()()()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；选项C ，∵a 与b 不共线，∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立； 若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；选项D ，()()22223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD 【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题.6．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足AB a =、AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．2b = B ．a b ⊥C ．2a b ⋅=D ．(2)a b BC +⊥【答案】AD 【分析】本题首先可以根据向量的减法得出BC b =，然后根据ABC 是边长为2的等边三角形得出A 正确以及B 错误，再然后根据向量a 、b 之间的夹角为120计算出2a b ⋅=-，C 错误，最后通过计算得出(2)0a b BC +⋅=，D 正确. 【详解】因为AB a =，AC a b =+，所以BC AC AB a b a b =-=+-=， 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2b BC ==，A 正确， 因为AB a =，BC b =，所以向量a 、b 之间的夹角为120，B 错误， 所以1cos1202222a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，C 错误， 因为()22(2)(2)22220a b BC a b b a b b +⋅=+⋅=⋅+=⨯-+=，所以(2)a b BC +⊥，D 正确， 故选：AD. 【点睛】本题考查向量的减法运算以及向量的数量积，若向量a 、b 之间的夹角为θ，则cos a b a b θ⋅=⋅⋅，若0a b ⋅=，则a b ⊥，考查推理能力与计算能力，是中档题.7．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQ B ．1233BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅> D ．4S =【答案】BD 【分析】利用向量的共线定义可判断A ；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B ；利用向量数量积的定义可判断C ；利用三角形的面积公式即可判断D. 【详解】由20PA PC +=，2QA QB =，可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点， 且B 为AQ 的中点，如图所示：对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点， 所以PB 与CQ 不平行，故A 错误； 对于B ，()22123333BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+, 故B 正确；对于C ，cos 0PA PC PA PC PA PC π⋅==-<，故C 错误； 对于D ，设ABC 的高为h ，132ABCS AB h ==，即6AB h =， 则APQ 的面积1212226423233APQS AQ h AB h =⋅=⋅⋅=⨯=，故D 正确； 故选：BD 【点睛】本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题8．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b += B ．a b ⊥C ．()4a b b +⊥D ．1a b ⋅=-【答案】CD 【分析】分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒. 由12cos12010a b ︒⋅=⨯⨯=-≠，故B 错误，D 正确；由()22221243a ba ab b +=+⋅+=-+=，所以3a b +=，故A 错误； 由()()2144440a b b a b b +⋅=⋅+=⨯-+=，所以()4a b b +⊥，故C 正确.故选：CD 【点睛】本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.二、立体几何多选题9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，线段11B D 上有两个动点,E F ，且1EF =，以下结论正确的有（ ）A ．AC BE ⊥B ．异面直线,AE BF 所成的角为定值C ．点A 到平面BEF 的距离为定值D ．三棱锥A BEF -的体积是定值 【答案】ACD 【详解】由AC BD ⊥，1AC DD ⊥可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确； 取特例，当E 与1D 重合时，F 是F '，AE 即1AD ，1AD 平行1BC ，异面直线,AE BF '所成的角是1C BF '∠，当F 与1B 重合时，E 是E '，BF 即1BB ，异面直线,AE BF '所成的角是1A AE '∠，可知1C BF '∠与1A AE '∠不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不是定值，故B 错误；连结BD 交AC 于O ，又AC ⊥平面11D DBB ，点A 到平面11BDD B 的距离是2=AO ，也即点A 到平面BEF 的距离是22，故C 正确； 2=AO 为三棱锥A BEF -的高，又1111224BEFS =⨯⨯=△，故三棱锥A BEF -的体积为112234224⨯⨯=为定值，D 正确. 故选：ACD 【点睛】求空间中点到平面的距离常见方法为： （1）定义法：直接作平面的垂线，求垂线；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离； （3）向量法：计算斜线在平面的法向量上的投影即可.10．如图，已知矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆，若M 为线段1A C 的中点，则ADE ∆在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．线段BM 的长是定值B ．存在某个位置，使1DE AC ⊥C ．点M 的运动轨迹是一个圆D ．存在某个位置，使MB ⊥平面1A DE 【答案】AC 【分析】取CD 中点F ，连接BF ，MF ，根据面面平行的判定定理可得平面//BMF 平面1A DE ，由面面平行的性质定理可知//BM 平面1A DE ，可判断D ；在BFM ∆中，利用余弦定理可求得BM a =为定值，可判断A 和C ；假设1DE A C ⊥，由线面垂直的判定定理可得DE ⊥平面1A CE ，由线面垂直的性质定理可知1DE A E ⊥，与11DA A E ⊥矛盾，可判断B ． 【详解】解：取CD 的中点F ，连接BF ，MF ，∵M ，F 分别为1A C 、CD 中点， ∴1MF A D ∥，∵1A D ⊂平面1A DE ，MF ⊄平面1A DE ， ∴MF 平面1A DE ， ∵DF BE ∥且DF BE =， ∴四边形BEDF 为平行四边形， ∴BFDE ，∵DE ⊂平面1A DE ，BF ⊄平面1A DE ， ∴BF ∥平面1A DE ， 又BFMF F =，BF 、MF ⊂平面BMF ，∴平面//BMF 平面1A DE ， ∵BM ⊂平面BMF ， ∴BM ∥平面1A DE ，即D 错误，设22AB AD a ==， 则112MF A D a ==，2BF DE a ==，145A DE MFB ︒∠=∠=， ∴222cos45BM MF BF MF BF a ︒=+-⋅⋅=，即BM 为定值，所以A 正确，∴点M 的轨迹是以B 为圆心，a 为半径的圆，即C 正确，∵DE CE ==，2CD AB a ==，∴222DE CE CD +=，∴DE CE ⊥， 设1DE A C ⊥，∵1A C 、CE ⊂平面1A CE ，1AC CE C =，∴DE ⊥平面1A CE ， ∵1A E ⊂平面1A CE ，∴1DE A E ⊥，与11DA A E ⊥矛盾， 所以假设不成立，即B 错误. 故选:AC . 【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题，涉及到线段长度的求解、直线与平面位置关系的判定、点的轨迹的求解、反证法的应用等知识点，考查学生的空间立体感和推理论证能力．。
2019年高考数学试题分项版—平面向量(解析版)
2019年高考数学试题分项版——平面向量（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅰ文，8)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.B.C.D.答案 B解析 设a 与b 的夹角为α，∵(a －b )⊥b ，∴(a －b )·b ＝0，∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |，∴cos α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝，故选B.2．(2019·全国Ⅱ文，3)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(3,2)，则|a －b |等于( ) A. B ．2 C ．5 D ．50 答案 A解析 ∵a －b ＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)， ∴|a －b |＝ ＝ . 即2x ＋y －2π＋1＝0.3．(2019·全国Ⅰ理，7)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.B.C.D.答案 B解析 设a 与b 的夹角为α，∵(a －b )⊥b ，∴(a －b )·b ＝0，∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |，∴cos α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝，故选B.4．(2019·全国Ⅱ理，3)已知 ＝(2,3)， ＝(3，t )，| |＝1，则 · 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 答案 C解析 因为＝ － ＝(1，t －3)，所以| |＝ ＝1，解得t ＝3，所以 ＝(1,0)，所以 · ＝2×1＋3×0＝2，故选C.5．(2019·北京理，7)设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【思路分析】“AB 与AC 的夹角为锐角” ⇒ “||||AB AC BC +>”，“ ||||AB AC BC +>” ⇒ “AB 与AC 的夹角为锐角”，由此能求出结果． 【解析】：点A ，B ，C 不共线，“AB 与AC 的夹角为锐角” ⇒ “||||AB AC BC +>”， “||||AB AC BC +>” ⇒ “AB 与AC 的夹角为锐角”，∴设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的充分必要条件． 故选：C ．【归纳与总结】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 二、填空题1．(2019·全国Ⅲ文，13)已知向量a ＝(2,2)，b ＝(－8,6)，则cos 〈a ，b 〉＝________. 答案 －解析 ∵a ＝(2,2)，b ＝(－8,6)， ∴a ·b ＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a |＝ ＝2 ，|b |＝ ＝10. ∴cos 〈a ，b 〉＝＝＝－. 2．(2019·北京文，9)已知向量a ＝(－4,3)，b ＝(6，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. 答案 8解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0. 又∵a ＝(－4,3)，b ＝(6，m )， ∴－4×6＋3m ＝0，解得m ＝8.3．(2019·浙江，17)已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i ＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1 ＋λ2 ＋λ3 ＋λ4 ＋λ5 ＋λ6 |的最小值是________，最大值是________． 答案 0 2解析 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，所以λ1 ＋λ2 ＋λ3 ＋λ4 ＋λ5 ＋λ6 ＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当 时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1 ＋λ2 ＋λ3 ＋λ4 ＋λ5 ＋λ6 |取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1 ＋λ2 ＋λ3 ＋λ4 ＋λ5 ＋λ6|取得最大值＝2.4.(2019·江苏，12)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若·＝6·，则的值是_________．答案解析方法一以点D为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，不妨设B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，a>0，c>0，由BE＝2EA得E，则直线OA：y＝x，直线CE：(b－2a)y＝c(x－a)，联立可得O，则·＝(－a－b，－c)·(a－b，－c)＝b2＋c2－a2，·＝·＝，由·＝6·得b2＋c2－a2＝2(b2＋c2－2ab)，化简得4ab＝b2＋c2＋a2，则＝＝＝.方法二由A，O，D三点共线，可设＝λ，则＝(＋)，由E，O，C三点共线可设＝μ，则－＝μ(－)，则＝(1－μ)＋μ＝(1－μ)＋μ，由平面向量基本定理可得解得μ＝，λ＝，则＝(＋)，＝－＝－，则6·＝6×(＋)·＝＝·，化简得32＝2，则＝.5．(2019·全国Ⅲ理，13)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.答案解析设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(2，－)，所以cos〈a，c〉＝＝. 6．(2019·天津理，14)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E 在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.答案－1解析方法一在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则·＝(－)·(＋)＝·＋·－2－·＝5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－2×2×cos 150°＝15－10－12＋6＝－1.方法二在△ABD中，由余弦定理可得BD＝＝，所以cos∠ABD＝＝－，则sin ∠ABD＝.设与的夹角为θ，则cos θ＝cos(180°－∠ABD＋30°)＝－cos(∠ABD－30°)＝－cos∠ABD·cos 30°－sin∠ABD·sin 30°＝－，在△ABE中，易得AE＝BE＝2，故·＝×2×＝－1.。
高考专题--平面向量第三季-2019年领军高考数学(理)压轴题---精校解析Word版
高考专题平面向量第三季1．已知在平面四边形中，，，,，，点为边上的动点，则的最小值为A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，过点作轴，过点作轴，∵，，，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，，设，∴，，，∴，当时，取得最小值为，故选C.2．半径为1的圆内切于正方形，正六边形内接于圆，当绕圆心旋转时，的取值范围是（）由题意可得：,，结合题意有：,整理可得：，即,同理可得，即点O是△ABC的垂心.故选：A.6．已知、都是整数，且满足，.则和的夹角为（）. A．B．C．D．【答案】C【解析】令.则.由，得.又，则.从而，，.故，其中，为与的夹角.从而，.又，则. 选C.7．已知是锐角三角形的外接圆的圆心，且，若，则（）A．B．C．D．不能确定【答案】A【解析】设外接圆半径为，则,可化为，可知与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，，对与左右分别与作数量积，可得：，即，，，即，，且，，故选A.8．正边长为2，点是所在平面内一点，且满足，若，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图：以为原点，所在直线为轴，过点垂直于为轴则，，设，则点轨迹为由可得：故当时，故选9．已知，是圆上两点，点，且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，由得．设的中点为，则．由题意可得当最小时，则最小，此时，又为的中点，故点在上，即垂直平分．令，则，．在中，根据勾股定理得，即，整理得，解得或（舍去）．∴的最小值为．故选B．10．设，若平面上点满足对任意的，恒有，则一定正确的是（）A．B．C．D．【答案】C对于B来说，，错误；对于C来说，，正确；对于D来说，当P时，，即，∴即，错误.故选：C11．已知P为椭圆上一个动点，过点P作圆的两条切线，切点分别是A，B，则的取值范围为A．[-，＋∞）B．[-，] C．[2－3，] D．[2－3，＋∞）【答案】C【解析】如图，的夹角为2α，则．∴．令，则，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为．又点在椭圆的左端点时，的值最大，此时，∴.∴的最大值为.∴的取值范围为[2－3，]．故选C．12．在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sin C，∴sin（A+C）=sinCcosA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA，∴si nAcosC=0，∵sin A≠0，∴cosC=0 C=90°∵，S△ABC=6∴bccosA=9，∴，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）设，则，∴=（x，0）+（0，y）=（x，y）∴x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12=故所求的最小值为故选：C．13．已知满足(其中是常数)，则的形状一定是（）A．正三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【答案】C14．在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段的中点，( ）A．2 B．4 C．5 D．10【答案】D【解析】【详解】由题意，以为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，因为是直角的斜边，所以以为直径的圆必过点，设，则，因为点为线段的中点，所以，所以，所以由因为点为线段的中点，且,所以，所以，故选D.15．抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于、两点，点为轴正半轴上任意一点，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，的焦点，设过点的直线为，，，，，故选B.16．已知，不共线，，，其中.设点是直线，的交点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】学-科网根据题中所给的条件，可知,，根据一个向量在同一组基底下分解出的坐标是相等的，得到，解得，代入可得，故选A.17．在面积为1的中，，分别是，的中点，点在直线上，则的最小值是（）A．1 B．C．D．2【答案】C【解析】以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设，的面积为，，令，的最小值为（当且仅当取等号）,故选C.18．已知为抛物线的焦点，为抛物线上三点，当时，称为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有( )A．0个B．1个C．3个D．无数个【答案】D【解析】抛物线方程为为曲线上三点，当时，为的重心，用如下办法构造，连接并延长至，使，当在抛物线内部时，设，若存在以为中点的弦，设，则则，两式相减化为，，所以总存在以为中点的弦，所以这样的三角形有无数个，故选D.19．设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则A．B．C．D．【答案】D【解析】连接并延长，则通过的中点，过，分别向所在直线作垂线，垂足分别为，，如图所示与的面积之比为根据三角形相似可知，则即由平行四边形法则得根据待定系数法有，则故选20．如图，在四边形中，,．若，则（）A．B．C．D．【答案】B。
2019届高考数学专题八平面向量精准培优专练理
培优点八 平面向量1．代数法例1：已知向量a ，b 满足=3a，b ()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．3 B ．3- C． D2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______． 3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ⋅=u u u v u u u v__________．一、单选题1．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且向量a ，b 的夹角为4π，若λ-a b 与b 垂直，则实数λ的值为（ ） A ．12-B ．12C ．D 2．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，+=a b ⋅=a b （ ）A ．1BC D ．23．如图，平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60A ∠=o ，点M 在AB 边上，且13AM AB =，则DM DB ⋅=uuu u v uu u v（ ）A ．1- B．1C ．D4．如图，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB =uu u v a ，AC =u u u v b ，则AO=u u u v（ ）A ．1122+a bB ．1124+a bC ．1142+a bD ．1144+a b5．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuu v uuu v ，则AP BQ ⋅uu u v uu u v 的最大值为（ ）A ．2- B ．32- C ．34 D ．986．已知ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC ⋅uu v uu u v的范围是（ ）A ．[]14，B ．[]04，C ．944⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．[]24-，7．已知非零向量a ，b ，满足=a 且()()320+⋅-=ab a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．4π B ．2π C ．34π D ．π8．在Rt ABC △中斜边BC a =，以A 为中点的线段2PQ a =，则BP CQ ⋅uuv uu u v的最大值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．9．设向量a ，b ，c ，满足1==a b ，12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，则c 的最大值等于（ ）A ．1B C D ．210．已知a 与b 为单位向量，且⊥a b ，向量c 满足2--=c a b ，则c 的取值范围为（ ）A ．1,1⎡⎣B ．2⎡⎣C ．D ．3⎡-+⎣11．平行四边形ABCD 中，AC uuu v ，BD uu u v 在AB uu u v 上投影的数量分别为3，1-，则BD uu u v 在BC uu uv 上的投影的取值范围是（ ）A ．()1,-+∞B ．()1,3-C ．()0,+∞D ．()0,312．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB AC ==D ，E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅u u u v u u u v的取值范围是（ ）A ．84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．88,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭13．已知向量()1,2=a ，()2,2=-b ，()1,λ=c ，若()2+∥c a b ，则λ=________．14．若向量a ，b 满足1=a ，=b ()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为__________．15．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 上的一个动点，则求AE BD ⋅uu u v uu u v的最大值为________．16．在ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，P 为线段AB 上一点，则PB PC +uu v uu u v的取值范围为____．。
2019届高考数学 专题八 平面向量精准培优专练 理
培优点八 平面向量1．代数法例1：已知向量a ，b 满足=3a，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．3 B ．3- C． D【答案】C【解析】考虑b 在a 上的投影为⋅a bb，所以只需求出a ，b 即可． 由()⊥+a a b 可得：()20⋅+=+⋅=a a b a a b ，所以9⋅=-a b．进而⋅==a b b ．故选C ．2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______．【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形，=3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则A D B E ⋅=uuu v uu u v__________．【答案】14AD BE ⋅=-uuu v uu u v【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系：A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，下面求E 坐标：令(),E x y ，∴1,2CE x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u v，12CA ⎛=- ⎝⎭uu v ， 由3CA CE =uu v uu u v可得：11132233x x y y ⎧⎛⎫⎧-=-= ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，∴13E ⎛ ⎝⎭，∴0,AD ⎛= ⎝⎭uuu v，56BE ⎛= ⎝⎭uu u v ，∴14AD BE ⋅=-uuu v uu u v ．一、单选题1．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且向量a ，b 的夹角为4π，若λ-a b 与b 垂直，则实数λ的值为（ ） A ．12-B ．12C． D【答案】D【解析】因为12cos4π⨯⨯=⋅=a b ()40λλλ-⋅=⋅=⇒=a b b D ． 2．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b，+a b ⋅=a b （ ） A ．1BCD ．2对点增分集训【答案】A【解析】由题意可得：22221427+=++⋅=++⋅=a b a b a b a b ，则1⋅=a b ．故选A ． 3．如图，平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60A ∠=o ，点M 在AB 边上，且13AM AB =， 则DM DB ⋅=uuu u v uu u v（ ）A ．1-B ．1C ．D 【答案】B【解析】因为13AM AB =，所以DB AB AD =-uu u v uu u v uuu v ，13DM AM AD AB AD =-=-u u uu v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则()22114333DB BM AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅+ ⎪⎝⎭uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v uuu v 14142111332=⨯-⨯⨯⨯+=．故选B ． 4．如图，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB =uu u v a ，AC =uuu vb ，则AO =uuu v（ ）A ．1122+a bB ．1124+a bC ．1142+a bD ．1144+a b【答案】B【解析】由题意，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，所以12AE AC =uu u v uuu v，又因为O 是BE 边的中点，所以()12AO AB AE =+u u u v u u u v u u u v，所以()1111122224AO AB AE AB AE =+=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v a b ，故选B ． 5．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，则AP BQ ⋅uu u v uu u v 的最大值为（ ） A ．2- B ．32-C ．34 D ．98【答案】D【解析】因为AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，所以ABCD 是直角梯形，且CM 30BCM ∠=︒，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：因为BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，则(]01λ∈，，()20B ，，()2P λ-，18Q λ⎛ ⎝，所以()1112254848AP BQ λλλλ⎛⋅=-⋅-=+--⎝uu u v uu u v ， 令()115448f λλλ=+--且(]01λ∈，，由基本不等式可知，当1λ=时可取得最大值， 则()()max 119154488f f λ==+--=．故选D ． 6．已知ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC⋅uu v uu u v的范围是（ ） A ．[]14，B ．[]04，C ．944⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．[]24-，【答案】C【解析】根据题意，ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，则根据余弦定理可得2416224cos6012BC =+-⨯⨯⨯︒=，即BC =ABC △为直角三角形以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立坐标系，则()02A ，，()C ，则线段AC 12y+=，(0x ≤≤．设(),P x y ，则()()222443PB PC x y x y x y x ⋅=---=+-=-+uu v uu u v ，，．∵0x ≤≤944PB PC -≤⋅≤u u v u u uv ．故选C ．7．已知非零向量a ，b ，满足=a 且()()320+⋅-=a b a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．4π B ．2π C ．34π D ．π【答案】A【解析】非零向量a ，b ，满足=a 且()()320+⋅-=ab a b ，则()()320+⋅-=a b a b ， ∴22320+⋅-=a a b b ，∴223cos 20θ+⨯⨯-=a a b b ，∴2213cos 202θ⨯⨯⨯-=b b b ，∴cos θ=，4θπ=，∴a 与b 的夹角为4π，故选A ．8．在Rt ABC △中斜边BC a =，以A 为中点的线段2PQ a =，则B P C Q ⋅u u v u u uv 的最大值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．【答案】B【解析】∵在Rt ABC △中斜边BC a =，∴BA CA ⊥， ∵A 为线段PQ 中点，且2PQ a =，∴原式()22222cos a BA AQ AQ CA a AQ BA CA a AQ CB a a θ=-+⋅-⋅=-+-=-+⋅=-+uu v uuu v uuu v uu v uuu v uu v uu v uuu v uu v ，当cos 1θ=时，有最大值，0BP CQ ⋅=uu v uu u v．故选B ．9．设向量a ，b ，c ，满足1==a b ，12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，则c 的最大值等于（ ）A ．1BCD ．2【答案】D【解析】设OA =uu v a ，OB =uu u v b ，OC =uuu v c ，因为12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，所以120AOB ∠=︒，60ACB ∠=︒，所以O ，A ，B ，C 四点共圆，因为AB =-uu u v b a ，()222223AB =-=+-⋅=uu u v b a b a a b ，所以AB由正弦定理知22sin120ABR ==︒，即过O ，A ，B ，C 四点的圆的直径为2，所以c 的最大值等于直径2，故选D ．10．已知a 与b 为单位向量，且⊥a b ，向量c 满足2--=c a b ，则c 的取值范围为（ ）A ．1,1⎡⎣B ．2⎡-+⎣C ．D ．3⎡-+⎣【答案】B【解析】由a ，b 是单位向量，0⋅=a b ，可设()1,0=a ，()0,1=b ，(),x y =c ， 由向量c 满足2--=c a b ，∴()1,12x y --=，2，即()()22141x y +-=-，其圆心()1,1C ，半径2r =，∴OC =22≤≤c B ．11．平行四边形ABCD 中，AC uuu v ，BD uuu v 在AB uu u v 上投影的数量分别为3，1-，则BD uuu v 在BC uu uv 上的投影的取值范围是（ ） A ．()1,-+∞ B ．()1,3-C ．()0,+∞D ．()0,3【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系：设(),0B a ，则()3,C b ，()1,D a b -，则()31a a --=，解得2a =．所以()1,D b ，()3,C b ．BD uuu v 在BC uu uv 上的摄影cos BM BD θθ==uu u v ， 当0b →时，cos 1→-，得到：1BM →-，当b →+∞时，0θ→，BM →+∞，故选A ．12．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB AC =，D ，E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅uuu v uu u v的取值范围是（ ）A ．84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．88,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】如图所示，以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()0,1A ，()1,0B -，()1,0C ，设(),0D x ，则2,03E x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，113x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭． 据此有(),1AD x =-u u u v ，2,13AE x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭uu u v ，则222181339AD AE x x x ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭uuu v uu u v ．据此可知，当13x =-时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最小值89；当1x =-或13x =时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最大值43； AD AE ⋅uuu v uu u v的取值范围是84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选A ．二、填空题13．已知向量()1,2=a ，()2,2=-b ，()1,λ=c ，若()2+∥c a b ，则λ=________． 【答案】12． 【解析】因为()1,2=a ，()2,2=-b ，所以()24,2+=a b ， 又()1,λ=c ，且()2+∥c a b ，则42λ=，即12λ=．14．若向量a ，b 满足1=a ，=b ()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为__________． 【答案】34π【解析】由()⊥+a a b 得，()0⋅+=a a b ，即20+⋅=a a b ，据此可得2cos ,⋅=⋅⋅=-a b a b a b a ，∴cos ,==a b 又a 与b 的夹角的取值范围为[]0,π，故a 与b 的夹角为34π．15．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 上的一个动点，则求AE BD ⋅uu u v uu u v的最大值为________． 【答案】4【解析】设DE DC AB λλ==u u u v u u u v u u u v ，则AE AD DE AD AB λ=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，又BD AD AB =-uu u v uuu v uu u v ，∴()()()22144AE BD AD AB AD AB AD AB AB AD λλλλ⋅=+⋅-=-+-⋅=-uu u v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v，∵01λ≤<，∴当0λ=时，AE BD ⋅uu u v uu u v取得最大值4，故答案为4．16．在ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，P 为线段AB 上一点，则PB PC +uu v uu u v的取值范围为____．【答案】【解析】以C 为坐标原点，CB ，CA 所在直线为x ，y 轴建立直角坐标系，可得()0,0C ，()0,2A ，()B ，则直线AB 12y+=，设(),P x y ，则2y =-，0x ≤≤(),PB x y =-uu v ，(),PC x y =--u u u v，则|()()22222PB PC xy +=+uu v uu u v2222441244212x y x ⎛=+-+=+-+ ⎝22161628333x x ⎛=-+=+ ⎝⎭，由0,x ⎡=⎣，可得PB PC +uuv uuu v 的最小值为 ，时，则PB PC +uuv uuu v的最大值为即PB PC +uu v uu u v的取值范围为．故答案为．。
2019高考全国卷金优数学(理)模拟卷(八)(含答案解析)
2019高考全国卷金优数学（理）模拟卷八1、已知集合{}(){}20,lg 21A x x x B x y x =-≥==-,则A B ⋂= ( ) A. 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. []0,1C. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦D. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭2、设复数()()2lg 1z m m R =-∈,则复数z 在复平面内的对应点( ) A.一定不在一、二象限 B.一定不在二、三象限 C.一定不在三、四象限 D.一定不在二、三、四象限3、点O 在ABC ∆所在平面内,给出下列关系式: ①0OA OB OC ++=;②OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅ ③()()AC AB BC BA OA OB ACABBCBA⋅-=⋅-0=④()()0OA OB AB OB OA BC ⋅⋅=+⋅= 则点O 依次为ABC ∆的( ) A.内心、外心、重心、垂心 B.重心、外心、内心、垂心 C.重心、垂心、内心、外心 D.外心、内心、垂心、重心4、在等差数列{}n a 中,其前n 项和是n S ,若9100,0S S ><,则在912129,,,S S S a a a 中最大的是( ) A.11S a B.88S a C.55S a D.99S a 5、“0m <”是“函数()()2log 1f x m x x =+≥存在零点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件6、 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为( )A.18B.24C.30D.36 7、如图为几何体的三视图,则其体积为( )A. 243π+ B. 243π+C.43π+ D. 4π3+8、已知1234,,,a a a a 成等比数列,且()1234123ln a a a a a a a +++=++.若11a >,则( )A. 1324,a a a a <<B. 1324,a a a a ><C. 1324,a a a a <>D. 1324,a a a a >>9、阅读框图,运行相应的程序,若输入n 的值为6,则输出S 的值为( )A.37 B. 49C. 67D. 8910、已知函数()()sin sin 062f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,当ω取最小值时,以下命题中假命题是( )A.函数()f x 的图象关于直线12x π=对称B. 6x π=-是函数()f x 的一个零点C.函数()f x 的图象可由()2g x x =的图象向左平移3π个单位得到 D.函数()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数11、已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点F ,以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ,且MF 与双曲线的实轴垂直,则C 的离心率是( )D. 212、定义在区间()0,+∞上的函数()f x 满足()()()1',10f x xf x f x +==,若关于x 的方程()||0f x a -=有3个实根,则a 的取值范围是( ) A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()0,1C. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()1,+∞13、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间[)0,+∞单调递增,若实数a 满足()()212log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭,则a 的取值范围是__________14、已知0,0,32a b a b ab >>+=,则a b +的最小值为__________.15、如图,过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点,?A B ,交其准线于点 C ,若2BC BF =,且3AF =,则此抛物线的方程为 .16、已知菱形ABCD的边长为60D ∠=︒,沿对角线BD 将菱形ABCD 折起,使得二面角A BD C --的余弦值为13-,则该四面体ABCD 外接球的体积为__________. 17、ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2A π≠,且13sin cos sin 23sin 2A B b A C += 1.求a 的值 2.若23A π=,求ABC ∆周长的最大值 18、某企业响应省政府号召,对现有设备进行改造,为了分析设备改造前后的效果,现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在[)20,40内的产品视为合格品,否则为不合格品.如图是设备改造前的样本的频率分布直方图,表是设备改造后的样本的频数分布表.表:设备改造后样本的频数分布表1. 完成下面的22⨯列联表,并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关;2.根据频率分布直方图和表提供的数据,试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较;3.企业将不合格品全部销毁后,根据客户需求对合格品进行等级细分,质量指标值落在[)25,30内的定为一等品,每件售价240元;质量指标值落在[)20,25或[)30,35内的定为二等品,每件售价180元;其它的合格品定为三等品,每件售价120元.根据表的数据,用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品,设其支付的费用为X (单位:元),求X 的分布列和数学期望. 附:()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 19、如图,四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD ,o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=E 是PD 的中点。
2019年新课标全国理数高考试题汇编：平面向量—老师专用
2019年新课标全国理数高考试题汇编：平面向量1．【2019全国高考新课标II 卷理数·12T 】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小是（ ）A ．2-B ．32-C ． 43-D ．1-【答案】B解等问题，然后利用函数、不等式、方程的相关知识来解决．2．【2019全国高考新课标III 卷理数·12T 】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上。
若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．2【答案】A试题解析：如图所示，建立平面直角坐标系设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y , 根据等面积公式可得圆的半径r =，即圆C 的方程是()22425x y -+= ，【考点】 平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则实行向量的加、减或数乘运算。
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并使用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决。
3．【2019全国高考新课标I 卷理数·13T 】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |= .【答案】试题解析：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=a b a a b b ，所以|2|+=a b 秒杀解析：利用如下图形，能够判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为【考点】平面向量的运算【名师点睛】平面向量中涉及相关模长的问题时，常用到的通法是将模长实行平方，利用向量数量积的知识实行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时能够使用数形结合的思想，会加快解题速度.（4.【2019全国高考天津卷理数·13T 】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________.【答案】 3115．【2019全国高考浙江卷理数·15T 】已知向量a ，b 满足则的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】试题解析：设向量的夹角为，由余弦定理有：，，令，则，1,2,==a b ++-a b a b ,a bθ212a b-=+21a b +=+=54cos a b a b ++-=+y []21016,20y =+据此可得：，即的最小值是4，最大值是．【考点】平面向量模长运算【名师点睛】本题通过设向量的夹角为，结合模长公式， 可得，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化水平和最值处理水平有一定的要求． 6.【2019全国高考江苏卷理数·12T 】如图，在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC ,的模分别为1,1OA 与OC 的夹角为α，且tanα=7，OB 与OC 的夹角为45°。
2019年高考数学解密题(含解析)之平面向量
平面向量考点1 平面向量的概念及线性运算题组一 平面向量的概念调研1 设0a 为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则0=a a a ；②若a 与0a 平行，则0=a a a ；③若a 与0a 平行且1=a ，则0=a a .上述命题中，假命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a 与0a a 的模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与0a 平行，则a 与0a 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时0=-a a a ，0=-a a ，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故答案为D.【名师点睛】本题考查了平面向量的概念以及应用的问题，解题时应把握向量的方向和模长，是基础题目．☆技巧点拨☆对于向量的概念问题：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性．具体应关注以下六点： (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈． (6)非零向量a 与||a a 的关系：||a a 是a 方向上的单位向量． (7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.题组二 平面向量的线性运算调研2 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =A ．1233AD AB - B ．2133AD AB + C ．2133AD AB -D ．1233AD AB +【答案】C【解析】()11213333ED EA AD AC AD AD AB AD AD AB =+=-+=-++=-.故选C. 【名师点睛】本题考查向量的线性运算，属基础题.利用向量加法法则结合图象特点运算即可.调研3 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216BC =，||||AB AC AB AC +=-，则||AM =________. 【答案】2【解析】由||||AB AC AB AC +=-可知，AB AC ⊥，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，1||||22AM BC ==. 调研4 已知D 为三角形ABC 的边BC 的中点，点P 满足,PA BP CP AP PD λ++==0，则实数λ的值为________． 【答案】−2【解析】如图所示，由AP PD λ=且PA BP CP ++=0，则P 为以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此2AP PD =-，则λ=−2.☆技巧点拨☆平面向量的线性运算是高考考查的热点内容，题型以选择题、填空题为主，难度较小，属中、低档题，主要考查向量加法的平行四边形法则与三角形法则及减法的三角形法则或向量相等，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．常见的平面向量线性运算问题的求解策略：(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用． (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果.题组三 共线向量定理及其应用调研5 设向量12,e e 不共线，向量122λ+e e 与124+e e 平行，则实数λ=__________． 【答案】12【解析】∵122λ+e e 与124+e e 平行，向量12,e e 不共线， ∴存在实数k 使得122λ+e e =k （124+e e ）=k 1e +4k 2e ， ∴1.242k kλλ=⎧⇒=⎨=⎩故答案为：12． 【名师点睛】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．向量122λ+e e 与124+e e 平行则存在实数k 使得122λ+e e =k （124+e e ）=k 1e +4k 2e ，对应系数相等即可.调研 6 设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且2,2,2D C B D C E E A A F F B ===，则AD BE CF ++与BCA ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直【答案】A☆技巧点拨☆共线向量定理的主要应用：（1）证明向量共线：对于非零向量a ，b ，若存在实数λ，使a =λb ，则a 与b 共线． 【注】对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量a 与b 共线是指a 与b 所在的直线平行或重合．向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个. （2）证明三点共线：若存在实数λ，使AB AC λ=，则A ，B ，C 三点共线．【注】证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，,OA OB 不共线，满足OP xOA yOB=+(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y =1.（3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．考点2 平面向量的基本定理及坐标表示题组一 平面向量基本定理的应用调研1 如图，在平行四边形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若(),BE BA BD λμλμ=+∈R ，则λμ-=A ．34B ．14-C ．14D ．34-【答案】C【解析】∵BD ＝2BO ，BE ＝λBA ＋μBD ，∴BE ＝λBA ＋2μBO .∵E 为线段AO 的中点，∴BE ＝12(BA ＋BO )，根据平面向量基本定理得到对应系数相等，∴λ＝12，2μ＝12，解得μ＝14，∴λ−μ＝14.故选C.【名师点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，根据平行四边形的图象特点得到BE ＝λBA ＋2μBO ，又因为BE ＝12(BA ＋BO )，根据平面向量基本定理得到对应系数相等得到结果.调研2 在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB =2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点.若AB AM AN λμ=+，则λ＋μ=________.【答案】45【解析】解法一：连接AC ，由AB AM ANλμ=+，得11()()22AB AD AC AC AB λμ=⋅++⋅+，即(1)2AB μ-+()222AD AC λλμ++=0，即1(1)()()22222AB AD AD AB μλλμ-++++=0， 即3(1)44AB λμ+-+()2AD μλ+=0. 又因为AB ，AD 不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ=45.解法二：(回路法)连接MN 并延长交AB 的延长线于T ，由已知易得AB =45AT ， ∴45AT AB AM AN λμ==+，∵T ，M ，N 三点共线，∴λ＋μ=45.☆技巧点拨☆1．对平面向量基本定理的理解（1）平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．（2）平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组． （3）用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a =λ1e 1＋λ2e 2的形式，是向量线性运算知识的延伸．2．应用平面向量基本定理表示向量的实质应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．3．应用平面向量基本定理的关键点（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．4．用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.题组二 平面向量的坐标运算调研3 已知向量a =(2，1)，b =(1，−2)．若m a ＋n b =(9，−8)(m ，n ∈R )，则m −n 的值为________． 【答案】−3【解析】【解析】由a =(2，1)，b =(1，−2)，可得m a ＋n b =(2m ，m )＋(n ，−2n )=(2m ＋n ，m −2n )，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝5，从而m −n =−3.调研4 在△ABC 中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 的中点，若PA =(4，3)，PQ =(1，5)，则BC 等于A ．(−6，21)B ．(−2，7)C ．(6，−21)D ．(2，−7)【答案】A【解析】22()(6,4),33()(6,21)AC AQ PQ PA BC PC AC AP ==-=-==-=-，故选A ．☆技巧点拨☆平面向量坐标运算的技巧1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用.【注】（1）要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标．（2）向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．题组三 平面向量共线的坐标表示及运算调研5 已知向量()2,1=-a ，()1,3=-b ，则下列向量与2+a b 平行的是 A ．22,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,3-C ．()1,2-D ．()0,2【答案】A【解析】因为()2,1=-a ，()1,3=-b ，所以2(3,1),+=a b 由(3,1)=322,23⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭可知2+a b 与向量22,3⎛⎫ ⎪⎝⎭平行，故选A.【名师点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量共线的基本定理，属于中档题.根据向量的线性运算，计算2(3,1),+=a b 根据向量平行的基本定理即可判定.调研6 已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC =2AB ，若三个顶点分别为A (1，2)，B (2，1)，C (4，2)，则点D 的坐标为________． 【答案】(2，4)【解析】∵在梯形ABCD 中，DC =2AB ，AB ∥CD ，∴2DC AB =.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC =(4−x ，2−y )，AB =(1，−1)，∴(4−x ，2−y )=2(1，−1)，即(4−x ，2−y )=(2，−2)，∴4222x y -=⎧⎨-=-⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩，故点D 的坐标为(2，4)．调研7 已知向量()3cos 2α=-，a 与向量()34sin α=-，b 平行，则锐角α等于A ．5π12 B ．π3 C ．π4D ．π6【答案】C【解析】∵向量()3c o s 2α=-，a 与向量()34s i n α=-，b 平行，∴()()3cos 4sin 23αα-⨯-=⨯，∴12sin cos 6sin26ααα==，∴sin21α=．又α为锐角，∴02πα<<，∴π22α=，∴π4α=． 故选C ．【名师点睛】根据向量的共线及倍角公式得到sin21α=，然后根据α的范围得到所求的角的大小．解答本题的关键有两个：一是根据向量共线的充要条件得到关于角α的三角函数关系式；二是在已知三角函数值求角时，要注意讨论角的范围，这是解题中容易出现错误的地方． 调研8 设OA =(1，−2)，OB =(a ，−1)，OC =(−b ，0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值是A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D解法二：k AB =－1＋2a －1，k AC =2－b －1，∵A ，B ，C 三点共线，所以k AB =k AC ，即－1＋2a －1=2－b －1，∴2a ＋b =1，所以1a ＋2b =2a ＋b a ＋4a ＋2b b =4＋b a ＋4ab≥4＋2b a ·4a b =8(当且仅当b a =4ab，即11,42a b ==时，取“=”号)，∴1a ＋2b 的最小值是8.故选D ．☆技巧点拨☆平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式呈现，难度一般不大，属中低档题，且常见题型及求解策略如下：1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则∥a b 的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便．3．三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB 与AC 共线．4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解.考点3 平面向量的数量积及向量的应用题组一 平面向量数量积的运算调研1 设x ∈R ，向量a =(1，x )，b =(2，−4)，且a ∥b ，则a ·b = A ．−6 B ．10 C ． 5 D ．10【答案】D【解析】∵a =(1，x )，b =(2，−4)，且a ∥b ，∴−4−2x =0，x =−2，∴a =(1，−2)，a ·b =10，故选D ．调研2 在直角ABC △中，π2C ∠=，4AB =，2AC =，若32A D AB =，则CD CB ⋅=A ．18-B ．-C ．18D ．【答案】C【解析】在直角ABC △中，π2C ∠=，4AB =，2AC =，1cos 2AC CAB AB ∠==，若32AD AB =，则2C D C B A⋅=-⋅（）（） 223322AB AB AC AC AB AC =-⋅-⋅+3511642418222=⨯-⨯⨯⨯+=．故选C.【名师点睛】本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．在直角ABC △中，求得1cos 2AC CAB AB ∠==，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．☆技巧点拨☆平面向量数量积的类型及求法：1．平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式⋅=a b ||||cos θa b ；二是坐标公式⋅=a b 1212x x y y +.2．求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.【注】（1）在平面向量数量积的运算中，不能从a ·b =0推出a =0或b =0成立．实际上由a ·b =0可推出以下四种结论：①a =0，b =0；②a =0，b ≠0；③a ≠0，b =0；④a ≠0，b ≠0，a ⊥b ． （2）实数运算满足消去律：若bc =ca ，c ≠0，则有b =a ．在向量数量积的运算中，若a ·b =a ·c (a ≠0)，则不一定有b =c ．（3）实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．题组二 平面向量数量积的应用调研3 已知非零向量()(,0,t ==-a b ，若4⋅=-a b ，则2+a b 与b 的夹角为A ．π3 B ．π2 C ．π6D ．2π3【答案】A【解析】∵4t ⋅=-=-a b ，∴t =4，∴()4,0=a ，又(=-b ，∴(22,+=a b . 设2+a b 与b 的夹角为θ，则(2)261cos 2242θ+⋅-+===+⋅⨯a b b a b b ，∴π=3θ.故答案为A ．【名师点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式的应用，属于中档题.根据条件容易求出t =4，从而得出()4,0=a ，从而得出(22,+=a b ，可设2+a b 与b 的夹角为θ，这样根据(2)cos 2θ+⋅=+⋅a b ba b b即可求出cos θ，进而得出θ的值．调研4 设向量(),4x =-a ，()1,x =-b ，向量a 与b 的夹角为锐角，则x 的取值范围为A ．(22)-，B ．()0,+∞C ．()()0,22+∞，D ．[22]-，【答案】C【解析】由向量(),4x =-a ，()1,x =-b ，因为向量a 与b 的夹角为锐角，则()()140x x ⨯+-⨯->且41x x-≠-，解得0x >且2x ≠，即x 的取值范围为()()0,22+∞，. 故选C.【名师点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算及向量的共线定理的应用，其中解答中熟记平面向量的坐标运算法则和平面向量的共线定理，列出相应的关系式是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.由题意，根据向量a 与b 的夹角为锐角，可得()()140x x ⨯+-⨯->且41x x-≠-，即可求解.☆技巧点拨☆平面向量数量积主要有两个应用：(1)求夹角的大小：若a ，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ=||||⋅a ba b (夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. 【注】在求ABC △的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角．如在等边三角形ABC 中，AB 与BC 的夹角应为120°而不是60°.题组三 平面向量的模及其应用调研5 已知向量()2,1,10,=⋅=+=a a b a b ，则=bA B C ．2D ．5【答案】D【解析】∵|a +b ，∴222+⋅+a a b b =50， ∵2a =5，∴5+20+2b =50，解得2b =25，∴|b |=5． 故选D ．【名师点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．对|a +b 两边平方即可得出2b ，进而得出|b |．调研6 设e 1，e 2为单位向量，它们的夹角为π3，a =x e 1＋y e 2，b =x e 1−y e 2(x ，y ∈R )，若|a |=3，则|b |的最小值为________． 【答案】1【解析】∵单位向量e 1，e 2的夹角为π3，∴e 1·e 2=12，由|a |=3，得(x e 1＋y e 2)2=3，即x 2＋y 2＋xy =3，①则|b |2=(x e 1−y e 2)2=x 2＋y 2−xy ，② ①＋②得x 2＋y 2=|b |2＋32，①−②得xy =3－|b |22.又x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x =y 时“=”成立，∴|b |2＋32≥2·3－|b |22，解得|b |2≥1，因此，|b |的最小值为1.☆技巧点拨☆利用平面向量数量积求模及范围、求参数的取值或范围问题是高考考查数量积的一个重要考向，常以选择题、填空题的形式呈现，具有一定的综合性，且平面向量的模及其应用的常见类型与解题策略如下：(1)求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式||=a ，或坐标公式||=a 的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解．(2)求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围．(3)由向量的模求夹角．此类问题的求解其实质是求向量模方法的逆运用.题组四 平面向量的应用调研7 已知D 是ABC △所在平面内一点，且满足()()0BC CA BD AD -⋅-=，则ABC △是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】A【解析】设,,BC a AC b AB c ===，则由()()()0BC CA BD AD BC CA BA -⋅-=-⋅=，得BC BA CA BA ⋅=⋅，所以ac cos B =bc cos A ，即a cos B =b cos A ，利用余弦定理化简得a 2=b 2，即a =b ，所以ABC △是等腰三角形．（此题也可用正弦定理化简a cos B =b cos A 得sin()0A B -=，即A B =可得）调研8 已知正三角形ABC 的边长为G ，P 是线段AC 上一点，则GP AP ⋅的最小值为A ．14- B ．－2 C ．34-D ．－1【答案】C【解析】如图，过点G 作GD AC ⊥，垂足为D ， 当点P 位于线段AD 上时，0GP AP ⋅<； 当点P 位于线段DC 上时，0GP AP ⋅>，故当G PA ⋅取得最小值时，点P 在线段AD 上，所以()··3G P A P A PD P A P A P ⋅=-=--，当3AP =时，取得最小值34-，故选C ．【名师点睛】求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，本题主要是通过向量的数量积运算得到关于某线段长的二次函数，确定其定义域求最值即可.过点G 作GD AC ⊥，垂足为D ，分析可知当G PA P ⋅取得最小值时，点P 在线段AD 上，从而得()||3GP AP AP AP ⋅=-⋅-，利用二次函数的性质可得最值.调研9 已知向量a =⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b =⎝⎛⎭⎫－sin x 2，－cos x 2，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π.令函数f (x )=a ·b ，若c >f (x )恒成立，则实数c 的取值范围为 A ．(1，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(−1，＋∞) D ．(2，＋∞)【答案】A【解析】因为f (x )=a ·b =−cos 3x 2sin x 2−sin 3x 2cos x2=−sin2x ，又π≤2x ≤2π，所以−1≤sin2x ≤0，所以f (x )max =1.又c >f (x )恒成立，所以c >f (x )max ，即c >1.所以实数c 的取值范围为(1，＋∞)．故选A ．☆技巧点拨☆1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量与函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法． 3．向量的两个作用：(1)载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；(2)工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．4．向量中有关最值问题的求解思路：一是“形化”，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题； 二是“数化”，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题． 【注】常见的向量表示形式：(1)重心．若点G 是ABC △的重心，则GA GB GC ++=0或1()3PG PA PB PC ++=(其中P 为平面内任意一点)．反之，若GA GB GC ++=0，则点G 是ABC △的重心． (2)垂心．若H 是ABC △的垂心，则HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅.反之，若HA HB HB HC ⋅=⋅=HC HA ⋅，则点H 是ABC △的垂心．(3)内心．若点I 是ABC △的内心，则||||||BC IA CA IB AB IC ⋅+⋅+⋅=0.反之，若||||BC IA CA ⋅+⋅||IB AB IC +⋅=0，则点I 是ABC △的内心．(4)外心．若点O 是ABC △的外心，则()()()0OA OB BA OB OC CB OC OA AC +⋅=+⋅=+⋅=或||||||OA OB OC ==.反之，若||||||OA OB OC ==，则点O 是ABC △的外心.1．（湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考数学试题）已知P (6，8)，将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转3π2后得向量OQ ，则点Q 的坐标是 A ．(8,−6) B ．(−8, −6) C ．(−6, 8)D ．(−6, −8)2．（山东省师大附中2019届高三上学期第二次模拟考试数学试题）设,a b 是非零向量，则2=a b 是=a ba b成立的 A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件3．（广东省珠海市2019届高三9月摸底考试数学试题）如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =A ．1324AB AD -+ B ．1223AB AD + C ．1132AB AD -D ．1324AB AD -4．（山东省青岛市2019届高三9月期初调研检测数学试题）已知向量()()1,1,3,,m =-=a b (),=m +若∥则a a bA ．2-B ．2C ．2-D ．−35．（甘肃省师大附中2018−2019学年上学期高三期中模拟数学试卷）已知1=a ，=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 与向量b 的夹角为A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．2π36．（吉林省吉林市2019届高三上学期第一次调研测试）已知等边ABC △的边长为2，则23AB BC CA ++=A ．B ．C ．D ．127．（湖南省岳阳市第一中学2019届高三上学期第二次质检数学试题）已知P 是ABC △所在平面内一点，2PB PC PA ++=0，现将一粒黄豆随机撒在ABC △内，则黄豆落在PBC △内的概率是A ．23 B ．12C ．13D ．148．（四川省攀枝花市2019届高三第一次统一考试数学试题）在四边形ABCD 中，已知M 是AB 边上的点，且1MA MB MC MD ====，120CMD ∠=，若点N 在线段CD (端点,C D 除外)上运动，则NA NB ⋅的取值范围是 A ．[)1,0-B ．[)1,1- C ．3,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭9．（广西百色市高三年级2019届摸底调研考试数学试卷）已知4=a ，2⋅=-a b ，则向量b 在a 的方向上的投影为_______.10．（2018-2019学年第一学期安徽省高三第二次联考数学（文科）试题）若向量()23AB =，，()4BC m =-，，且A ，B ，C 三点共线，则AB BC ⋅=_______.11．（福建省泉州市永春二中、永春五中联考2019届高三上学期期中数学试题）已知向量2=a ，1=b ，a ，b 的夹角为60，如果()λ⊥+a a b ，则λ=______．12．（江苏省扬州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题）在△ABC 中，AH 是边BC 上的高，点G 是△ABC 的重心，若△ABC 的面积为1，AC ＝，tan C ＝2，则()()AH BC GB GC +⋅+＝_______．13．（盐城市2019届高三年级第一学期期中模拟考试数学试题）如图，给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它的夹角为120，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC xOA yOB =+，其中x y ∈R ，，求x y +的最大值.14．（湖南省岳阳市第一中学2019届高三上学期第二次质检数学试题）在锐角ABC △中，已知2AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅． （1）求tan tan tan tan C CA B+的值； （2）求cos C 的取值范围．15．（安徽省江南十校2019届高三第二次联考数学试题）在ABC △中，三内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知向量()2s i n cos 2x x =，m ，)1x =，n ，函数()f x =⋅m n 且()1f B =.（1）求角B 的值；（2）若23BA BC +=a b c ，，成等差数列，求b .1．（2018年高考新课标Ⅰ卷理科）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +2．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．03．（2016新课标全国Ⅱ理科）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m =A ．−8B ．−6C ．6D ．84．（2017新课标全国Ⅲ理科）在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为A ．3B ．CD ．25．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-6．（2016新课标全国Ⅲ理科）已知向量1(2BA =uu r ，1),2BC =uu u r 则ABC ∠= A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°7．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．8．（2017新课标全国Ⅰ理科）已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b|=___________．9．（2016新课标全国Ⅰ理科）设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=___________．。
2019年高考理科数学分类汇编：平面向量(解析版)
设 A（x1 ，y1 ）， B（ x2， y2），则 x1+x2=- m， x1x2
m2 1
，
2
y1y2=（ x1+m）（ x2+m） =x1x2+m（ x1 +x2）+m2， AO =（ -x1， -y1）， AB =（ x2-x1， y2-y1），
专题 07 平面向量
1．【 2019 年高考全国 I 卷理数】已知非零向量 a，b 满足 | a | 2 | b | ，且 (a b) b，则 a 与 b 的夹角为
π
A．
6 2π
C．
3
【答案】 B
π
B．
3 5π
D．
6
【解析】因为 (a b)
b，所以 ( a b) b a b b2 =0，所以 a b b2 ，所以 cos = a b ab
为坐标原点，若 AO AB
3
，则实数 m=
2
A． 1
3
B．
2
y=x+m 和圆 x2+y2=1 交于 A、 B 两点， O
2
C．
2
1
D．
2
【答案】 C
【解析】联立
y x2
x y2
m 1
，得 2x2+2mx+m2- 1=0，
7
∵直线 y=x+m 和圆 x2+y2=1 交于 A、 B 两点， O 为坐标原点，
6 AO EC 3 AD AC AE
3
1
AB AC AC AB
2
3
3 AB AC AC AE ，
2
3
2019高考数学(京、津)专用(理)优编增分练：8+6分项练4 平面向量与数学文化+Word版含解析
2019高考数学（京、津）专用（理）优编增分练8＋6分项练4 平面向量与数学文化1．(2018·贵阳模拟)如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AO →等于( )A.12a ＋12bB.12a ＋14bC.14a ＋12bD.14a ＋14b答案 B解析 ∵在△ABC 中，BE 是AC 边上的中线，∴AE →＝12AC →，∵O 是BE 边的中点，∴AO →＝12(AB →＋AE →)，∴AO →＝12AB →＋14AC →，∵AB →＝a ，AC →＝b ，∴AO →＝12a ＋14b .2．若两个非零向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|2a ＋b |＝23，则a 与b 的夹角为() A.π6 B.π4 C.π3 D.2π3答案 C解析 设a ，b 的夹角为θ，θ∈[0，π]，则由|a |＝1，|b |＝2，|2a ＋b |＝23，得(2a ＋b )2＝12，即(2a )2＋4a ·b ＋b 2＝4＋4a ·b ＋4＝12，所以a ·b ＝1，所以cos θ＝12，所以θ＝π3. 3．(2018·上饶模拟)设D ，E 为正三角形ABC 中BC 边上的两个三等分点，且BC ＝2，则AD →·AE→等于( )A.49B.89C.269D.263答案 C解析 如图，|AB →|＝|AC →|＝2，〈AB →，AC →〉＝60°，∵D ，E 是边BC 的两个三等分点，∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎫AC →＋13CB →＝⎝⎛⎭⎫23AB →＋13AC →·⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →＝29|AB →|2＋59AB →·AC →＋29|AC →|2＝29×4＋59×2×2×12＋29×4＝269. 4．(2018·南昌模拟)在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻．有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有23＝8(种)组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．有放回地取阳爻和阴爻一次有两种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次有八种情况．所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析．在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻和三个阴爻的概率是( ) A.17 B.516 C.916 D.58答案 B解析 在一次所谓“算卦”中得到六爻，基本事件的总数为n ＝26＝64，这六爻恰好有三个阳爻包含的基本事件数为m ＝C 36＝20，所以这六爻恰好有三个阳爻和三个阴爻的概率是P ＝m n ＝2064＝516. 5．(2018·聊城模拟)在△ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是△ABC 所在平面上的任意一点，则P A →·PB →＋P A →·PC →的最小值为( )。
2019届高考数学专题八平面向量精准培优专练理
地地道道的达到 培优点八 平面向量1．代数法例 1：已知向量 a ， b 满足 a =3 ， b =2 3 ，且 a a b ，则 b 在 a 方向上的投影为 （）A ． 3B ． 3C ． 3 3 3 32D ．2【答案】 C【剖析】 考虑 b 在 a 上的投影为 a b ，所以只需求出a， b 即可．b由 aa b 可得： a2 a b 0 ，a b a所以 a b 9 ．进而a b93 3．应选 C ．b2 322．几何法例 ：设 a ， b 是两个非零向量，且 ab a b 2 ，则 a b =_______ ．2【答案】 2 3【剖析】 可知 a ， b ， a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由 aba b2 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长 a2 的菱形，进而可求出另一条对角线的长度为3a 2 3 ．3．建立直角坐标系例 3：在边长为 uuuvuuuv uuv uuuv uuuv uuuv__________ ．1 的正三角形 ABC 中，设 BC2BD ， CA 3CE，则AD BE AEBDCuuuv uuuv 1【答案】 AD BE4【剖析】 上周是用合适的基底表示所求向量，进而解决问题， 本周仍以此题为例， 从另一个角度解题，地地道道的达到观察到此题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系： A 0,3， B1,0 ， C1,0 ，222下面求 E 坐标：令 E x, yuuuv1, y uuv1 , 3 ， ，∴ CEx， CA2 2 231 1 1uuvuuuvxx3 1 3可得：22由 CA3CE 3，∴E ,，3yy3 3 626uuuv0,3uuuv5 3 uuuv uuuv 1 ． ∴ AD， BE6,，∴ AD BE264对点增分集训一、单项选择题1．已知向量 a ， b 满足 a1 ， b2 ，且向量 a ， b 的夹角为，若 a b 与 b 垂直，则实4数 的值为（）A ．11C ．22 2B ．4D ．24【答案】 D【剖析】 因为 a b 1 2cos2，所以 ab b 24 02，应选 D ．44．已知向量 a ， b 满足 a1 ， b2 ， ab7 ，则a b（）2A ． 1B ． 2C ． 3D ． 2地地道道的达到【答案】 A【剖析】 由题意可得： 222a b 1a bab2a b1 4 2a b7 ，则．应选 ．A3．如图，平行四边形 ABCD 中， AB ，1 ， A 60 o ，点 M 在 AB 边上，且 AM12ADAB ，uuuv uuuv3则DM DB（ ）A ． 1B ． 1C ．3D ．333【答案】 B【剖析】 因为 AM 1uuuv uuuvuuuv uuuuv uuuv uuuv 1 uuuv uuuvAB ，所以 DB ABAD ， DM AM AD AB AD ，uuuv uuuv uuuv 3 1 uuuv uuuv 1 uuuv 4 uuuv uuuv uuuv 3uuuv 2 2 则DB BM AB AD AB AD AB AB AD AD 3 331 4 1 1 1 ．应选 B ．4 2 13 3 24．如图，在 △ABC 中， BE 是边 AC 的中线， O 是 BE 边的中点，若 uuuvuuuv b ，则AB a ， AC uuuvAO（ ）A ． 1a 1b B ． 1a 1 bC ． 1a 1 bD ． 1a 1 b2224 4244【答案】 B【剖析】 由题意，在 △ABC 中， BE 是边 AC 的中线，所以 uuuv 1 uuuvAE AC ，2 又因为 O 是 BE 边的中点，所以 uuuv 1 uuv uuuv ，AO 2 AB AEuuuv 1 uuuv uuuv 1 uuuv 1 uuuv 1 a 1所以 AO AB AE AB AE 2 b ，应选 B ．2 2 2 4地地道道的达到uuvuuuv uuuv 1 uuuvuuuv uuuv在线段 BC 和 CD 上，且 BPBC ， DQDC ，则 AP BQ 的最大值为（ ）8A ． 2B ． 3C ．3D ．9248【答案】 D【剖析】 因为 AB ∥CD ， CD 1 ， AB BC 2， BCD 120o ，所以 ABCD 是直角梯形，且 CM3 ， BCM 30 ，以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y轴，建立以下列图的平面直角坐标系：uuv uuuvuuuv1 uuuv因为 BPBC ， DQ8 DC ，动点 P 和 Q 分别在线段 BC 和 CD 上，则0，1，B 2，0，P2, 3 ，Q 1， 3 ，8uuuv uuuv 2 ，3 1 ， 31 41所以 AP BQ8 25 ，48令 f 5 1 4 1 0，1 ，4且8由基本不等式可知，当 1时可获取最大值，则 fmaxf1 51 1 9．应选 D ．4 8486．已知 △ABC 中， AB 2 ， AC 4 ， BAC 60uuv uuuv， P 为线段 AC 上任意一点， 则 PB PC的范围是（ ）A ． 1，4B ． 0，4C ．9，D ．2，444【答案】 C【剖析】 依照题意， △ABC 中， AB2 ， AC 4 ， BAC 60 ，24 16 2 2 4 cos6012 ，即 BC 2 3 ．∴ △ABC 为直角则依照余弦定理可得 BC三角形地地道道的达到以 B 为原点， BC 为x轴， BA 为y轴建立坐标系，则 A 0，2 ， C 23，0 ，则线段 AC 的方程为x y 1 ， 0 x 2 3 ．3 22设 P x, y ，则uuv uuuv，， 2 24 2 10 3．PB PC y 2 3 x x x 4y 2 3 x y x33∵ 0 x 2 3，∴9 uuv uuuv．应选 C．4 PB PC 47．已知非零向量a，b，满足 a2b 且 a b 3a 2b 0 ，则a与b的夹角为（）2A．B．C．3D．4 2 4 【答案】 A【剖析】非零向量 a ，b，满足 a 2b且 a b 3a 2b 0 ，则 a b 3a 2b 0 ，2∴ 3a2 a b 2b2 2 a b cos 2 00 ，∴ 3 a 2 b ，1 2 2b cos 2 0 ，∴ 3 b b 2 b2 2∴ cos 2 ，，∴ a 与b的夹角为，应选 A．2 4 48．在Rt△ABC中斜边BC a ，以 A 为中点的线段PQuuv uuuv2a ，则 BP CQ 的最大值为（）A．2 B． 0 C． 2 D．2 2 【答案】 B【剖析】∵在 Rt△ ABC 中斜边 BC a ，∴ BA CA ，∵ A 为线段PQ中点，且PQ 2a ，∴原式2 uuv uuuv uuuv uuv 2 uuuv uuv uuv 2 uuuv uuv 2 2a BA AQ AQ CA a AQ BA CA a AQ CB a a cos ，当 cosuuv uuuv0 ．应选 B．1 时，有最大值，BP CQ9．设向量a，b，c，满足 a b 1 ，a b 1， a c, b co，则 c 的最大值等于260地地道道的达到A ． 1B ． 2C ． 3D ． 2【答案】 Duuvuuuv uuuvc ，因为 a b1， a c ,bc 60 o【剖析】 设 OAa ， OBb ， OC ，2所以 AOB 120 ，ACB 60 ，所以 O ，A ，B ，C 四点共圆，uuuvuuv 22223 ，所以 AB 3 ，因为AB ba ， ABb a b a 2a b由正弦定理知 2RAB 2，即过 O ， A ， B ，C 四点的圆的直径为2，sin120所以 c 的最大值等于直径 2，应选 D ．10．已知 a 与 b 为单位向量， 且 a b ，向量 c 满足 c a b2 ，则 c 的取值范围为 （ ）A ． 1,12B ． 22,22C ． 2,2 2D ． 3 2 2,3 2 2【答案】 B【剖析】 由 a ， b 是单位向量， a b 0 ，可设 a1,0 ， b0,1 ， cx, y ，由向量 c 满足 ca b2 ，∴ x 1, y 12 ，∴ x 121 2，即 x2y 12，半径 r 2 ，y 2 1 4 ，其圆心 C 1,1∴ OC2，∴ 22cx 2 y 22 2 ．应选 B ．uuuvuuuv uuuvuuuv uuuv 11．平行四边形 ABCD 中， AC，BD 在AB 上投影的数量分别为 3， 1，则 BD 在 BC 上的 投影的取值范围是（ ）A ． 1,B ． 1,3C ．0,D ． 0,3【答案】 A【剖析】 建立以下列图的直角坐标系：设B a,0 ，地地道道的达到则 C 3,b ， D a 1,b ，则3 a 1a ，解得 a 2 ．所以 D 1,b ， C 3,b uuuv uuuv上的摄影 BMuuuv 1 2cos．BD在 BC BD cosb ，当 b0 时， cos 1 ，获取： BM 1，当 b时，0 ， BM ，应选 A ．12．如图，在等腰直角三角形ABC 中， ABAC2，D ， E 是线段 BC 上的点，且DE1 uuuv uuv）3 BC ，则 AD AE 的取值范围是（A ． 8,4B ． 4,8C ． 8,8D ． 4,9 3 3 3 9 33【答案】 A【剖析】 以下列图，以 BC 所在直线为 x 轴，以 BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则A0,1，B1,0 ， C 1,0 ，设 D x,0 ，则 E x2 1,0 ，1 x ．33uuuv x, 1 uuuvx2, 1据此有 AD， AE ，3uuuv uuuv22 2x 1 x1 8 ．则 AD AE x 3 39据此可知，当 x1uuuv uuv 获取最小值 8 ； 时， AD AE 93当 x1 uuuv uuuv 4 1或 x时， AD AE 获取最大值 3 ；3uuuv uuuv8 4AD AE的取值范围是,．应选 A ．9 3二、填空题13．已知向量 a 1,2 ， b2, 2 ， c 1,，若 c ∥ 2ab ，则________．【答案】 1．2【剖析】 因为 a1,2 ， b 2, 2 ，所以 2a b 4,2 ， 又 c 1, ，且 c ∥ 2a b ，则 42 ，即1．2．若向量 a ， b 满足 a 1 ，b2 ，且 aa b ，则 a 与 b 的夹角为__________ ． 14【答案】34【剖析】 由 a a b 得， aa b0 ，即 a 2 a b0 ，据此可得 a ba b cos a ,ba 2 ，∴ cos a , b122 ，1 2又 a与 b 的夹角的取值范围为0, ，故 a与 b 的夹角为3．4uuuv uuuv15．已知正方形ABCD 的边长为 2 ， E 是 CD 上的一个动点，则求 的最大值为AE BD ________． 【答案】 4uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv【剖析】 设 DE DC AB ，则 AE AD DE ADAB ，uuuv uuuv uuuv又BDAD AB ，uuuv uuuv uuuv uuv uuuv uuuvuuuv 2 uuuv 2uuuv uuuv 4 4 ，∴ AE BD AD ABAD ABAD AB1 AB AD∵ 01 ，∴当0 时， uuuv uuuv获取最大值 4，故答案为 4．AE BD16．在 △ABC 中， C 90B 30 ， AC2 ， P 为线段 AB 上一点，则uuv uuuv， PB PC 的取值范围为 ____．【答案】3,2 7【剖析】 以 C 为坐标原点， CB ， CA 所在直线为 x ， y 轴建立直角坐标系，可得 C 0,0 ， A 0,2，B 2 3,0 ，则直线 AB 的方程为x y1 ，322 设 P x, y ，则 y 2x，0 xuuvuuuv32 3，PB2 3 x, y ， PCx, y ，uuv uuuv 23 2x22则| PB PC22yx24x 24 y 28 3x 12 4 x 24 28 3x 123216 x 2 40 3x 28 16 x5 33 ，3 3 345 3 uuv uuuvuuv uuuv，可得 PB PC 的最小值为，时，则 PB PC 的最大值为由 x0,2 34uuv uuuv即 PB PC 的取值范围为3,2 7 ．故答案为3,2 7 ．。
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2D．【解析】考虑b在a上的投影为a⋅b，所以只需求出a，b即可．培优点八平面向量1．代数法例1：已知向量a，b满足a=3，b=23，且a⊥(a+b)，则b在a方向上的投影为（）A．3B．-3C．-33332【答案】Cb由a⊥(a+b)可得：a⋅(a+b)=a2+a⋅b=0，所以a⋅b=-9．进而a⋅b-933==-．故选C．b2322．几何法例2：设a，b是两个非零向量，且a=b=a+b=2，则a-b=_______．【答案】23【解析】可知a，b，a+b为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由a=b=a+b=2可知满足条件的只能是底角为60o，边长a=2的菱形，从而可求出另一条对角线的长度为3a=23．3．建立直角坐标系uuuv uuuv uuv uuuv uuuv uuuv例3：在边长为1的正三角形ABC中，设BC=2BD，CA=3CE，则AD⋅BE=__________．AEB D Cuuuv uuuv1【答案】AD⋅BE=-4【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系：A 0,3⎫⎛1⎛1⎛⎪⎪，B -,0⎪，C ,0⎪，(x,y)，∴CE uv=⎛x-1,y⎫⎪，CA v=⎛ -1,3⎫⎝⎭⎪3 x-⎪=-1x=1⇒⎨333⎪y=⎪⎩3y=2⎪⎩，∴E ,36⎪⎭∴AD= 0,-3⎫⎪⎪，BE=,⎪⎪，∴AD⋅BE=-．⎝2⎭⎝66⎭4，若a-λb与b垂直，则实数λ的值为（v uv v2B．4D．4=2，所以(a-λb)⋅b=2-λ⋅4=0⇒λ=4，故选D．3AB，⎫⎫⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭下面求E坐标：令Euu uu⎝2⎭ 22⎪⎪，由CA=3CE可得：⎨⎪uuu⎛uu⎛53⎫uuu uu uv14对点增分集训一、单选题1．已知向量a，b满足a=1，b=2，且向量a，b的夹角为π）A．-112C．-224【答案】D【解析】因为a⋅b=1⨯2⨯cosπ22．已知向量a，b满足a=1，b=2，a+b=7，则a⋅b=（）A．1B．2C．3D．2【答案】A【解析】由题意可得：a+b2=a2+b2+2a⋅b=1+4+2a⋅b=7，则a⋅b=1．故选A．3．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60o，点M在AB边上，且AM=13D．【解析】因为AM=AB，所以DB=AB-AD，DM=AM-AD=AB-AD，uuuv uuuv uuuv uuuv)⎛1uuuv uuuv⎫1uuuv24uuuv uuuv uuuv2则DB⋅BM=AB-AD⋅ AB-AD⎪=AB-AB⋅AD+AD()()v2C．uuuuv uuuv则DM⋅DB=（）A．-1B．1C．-333【答案】B1uuuv uuuv uuuv uuu uv uuuv uuuv1uuuv uuuv33⎝3⎭33141=⨯4-⨯2⨯1⨯+1=1．故选B．332uuuv uuuv uuuv4．如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若AB=a，AC=b，则AO=（）11A．a+b2211B．a+b2411C．a+b4211D．a+b44【答案】Buuuv1uuuv【解析】由题意，在△ABC中，BE是边AC的中线，所以AE=AC，2uuuv1uuuv uuuv又因为O是BE边的中点，所以AO=AB+AE，2uuuv1uuuv uuuv1uuuv1uuuv11所以AO=AB+AE=AB+AE=a+b，故选B．222245．在梯形ABCD中，AB∥C D，CD=1，AB=BC=2，∠BCD=120o，动点P和Q分别在线段BC和CD上，uuv uuuv uuu且BP=λBC，DQ=1uuuv uuuv uuuvDC，则AP⋅BQ的最大值为（）8λA．-2B．-334D．98【答案】D【解析】因为AB∥CD，CD=1，AB=BC=2，∠BCD=120o，因为BP=λBC，DQ=1uuu vuuu v则λ∈(01]，B(2，)，P2-λ,3λ，Q ⎛1⎝8λ，3⎪，()⎛1uu uv uu uv所以AP⋅BQ=2-λ，3λ⋅⎝8λ-2，3⎪=5λ+令f(λ)=5λ+14λ-4-且λ∈(01]，1max=f(1)=5+6．已知△ABC中，AB=2，AC=4，∠BAC=60︒，P为线段AC上任意一点，则PB⋅PC的范围是（4⎤⎦D．[-2，]C．⎢-，⎥⎡944(0)2则线段AC的方程为x()()设P(x,y)，则PB⋅PC=(-x，-y)23-x，-y=x2+y2-23x=4x2-103x+4．9∵0≤x≤23，∴-≤PB⋅PC≤4．故选C．所以ABCD是直角梯形，且CM=3，∠BCM=30︒，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系：uu v uu uv8λDC，动点P和Q分别在线段BC和CD上，，0()⎫⎭⎫⎭114λ-4-8，，8由基本不等式可知，当λ=1时可取得最大值，则f(λ)14-4-18=98．故选D．uu v uu uv）A．[1，]B．[0，]⎣44【答案】C【解析】根据题意，△ABC中，AB=2，AC=4，∠BAC=60︒，则根据余弦定理可得BC2=4+16-2⨯2⨯4⨯cos60︒=12，即BC=23．∴△ABC为直角三角形以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，则A(0，)，C23，，23+y2=1，0≤x≤23．u uv u u uv33uu v uu uv42 b 且 (a + b )⋅ (3a - 2b ) = 0 ，则 a 与 b 的夹角为（4B ． 2C ． 2 b 且 (a + b )⋅ (3a - 2b ) = 0 ，则 (a + b )⋅ (3a - 2b ) = 0 ，2 b 2 +2 b ⨯ b ⨯cos θ - 2 b 2 = 0 ， 2 ， θ =4，∴ a 与 b 的夹角为 4 ，故选 A ．uuu (uu uu)9．设向量 a ， b ， c ，满足 a = b = 1， a ⋅ b = - ， a - c , b - c = 60o ，则 c 的最大值等于（【解析】设 OA = a ， OB = b ， OC = c ，因为 a ⋅ b = - ， a - c , b - c = 60o ，因为 AB = b - a ， AB 2 = (b - a )2 = b 2 + a 2 - 2a ⋅ b = 3 ，所以 AB = 3 ， sin120︒ = 2 ，即过 O ， A ， B ， C 四点的圆的直径为 2，v v v v v v7．已知非零向量 a ， b ，满足 a = 2）A ．ππ3π 4 D ． π【答案】A【解析】非零向量 a ， b ，满足 a =2∴ 3a 2 + a ⋅ b - 2b 2 = 0 ，∴ 3 a 2 + a ⨯ b ⨯ cos θ - 2 b 2 = 0 ，∴ 3 ⨯1 2∴ cos θ =2 π πu uv u uuv8．在 Rt △ABC 中斜边 BC = a ，以 A 为中点的线段 PQ = 2a ，则 BP ⋅ CQ 的最大值为（）A ． -2B ．0C ．2D ． 2 2【答案】B【解析】∵在 Rt △ABC 中斜边 BC = a ，∴ BA ⊥ CA ，∵ A 为线段 PQ 中点，且 PQ = 2a ，uu uuu uuu uu uuuuuv ∴原式 = -a 2 + BA ⋅ AQ - AQ ⋅ CA = -a 2 + AQ BA - CA = -a 2 + AQ ⋅ CB = -a 2 + a 2 cos θ ，uuv uuuv当 cos θ = 1 时，有最大值， BP ⋅ CQ = 0 ．故选 B ．12A ．1B ． 2C ． 3D ．2【答案】Duu v uu uv uuu 1 2所以 ∠AOB = 120 ︒ ， ∠ACB = 60︒ ，所以 O ， A ， B ， C 四点共圆，uu uv u u uv由正弦定理知 2R =AB所以 c 的最大值等于直径 2，故选 D ．10．已知 a 与 b 为单位向量，且 a ⊥ b ，向量 c 满足 c - a - b = 2 ，则 c 的取值范围为（）A ． ⎡⎣1,1 + 2 ⎤⎦B ． ⎡⎣2 - 2,2 + 2 ⎤⎦）⎦⎦v vuuuv uuu v所以D(1,b)，C(3,b)．BD在BC上的摄影BM=BD cosθ=1+b2cosθ，12．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D，E是线段BC上的点，且DE=BC，则AD⋅AE的A．⎢,⎥B．⎢,⎥C．⎢,⎥D．⎢,+∞⎪C．⎡⎣2,22⎤D．⎡⎣3-22,3+22⎤【答案】B【解析】由a，b是单位向量，a⋅b=0，可设a=(1,0)，b=(0,1)，c=(x,y)，由向量c满足c-a-b=2，∴(x-1,y-1)=2，∴(x-1)2+(y-1)2=2，即(x-1)2+(y-1)2=4，其圆心C(1,1)，半径r=2，∴OC=2，∴2-2≤c=x2+y2≤2+2．故选B．uuuv u u u uuuv uuuv uuu11．平行四边形ABCD中，AC，BD在AB上投影的数量分别为3，-1，则BD在BC上的投影的取值范围是（）A．(-1,+∞)B．(-1,3)C．(0,+∞)D．(0,3)【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系：设B(a,0)，则C(3,b)，D(a-1,b)，则3-(a-1)=a，解得a=2．uuuv当b→0时，cos→-1，得到：BM→-1，当b→+∞时，θ→0，BM→+∞，故选A．1uuuv uuuv3取值范围是（）⎡84⎤⎣93⎦⎡48⎤⎣33⎦⎡88⎤⎣93⎦⎡4⎫⎣3⎭【答案】A【解析】如图所示，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则 A (0,1) ， B (-1,0) ， C (1,0 ) ，设 D (x ,0 )，则 E x + ,0 ⎪ ， -1 ≤ x ≤ ⎪ ．据此有 AD = (x , -1) ， AE = x + , -1⎪ ，2 1 ⎫2 8 uuuv uuuv 则 AD ⋅ AE = x 2 + x + 1 = x + ⎪ + ．据此可知，当 x = - 时， AD ⋅ AE 取得最小值 ；当 x = -1 或 x = 1 时， AD ⋅ AE 取得最大值 ； uuuv ⎛ 3 的取值范围是 ⎢ , ⎥ ．故选 A ． 1⨯ 2 =- 又 a 与 b 的夹角的取值范围为 [0, π]，故 a 与 b 的夹角为 π ．⎛ 2 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎝3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ uuuv 2 ⎫ ⎝⎭⎛ 3 ⎝ 3 ⎭ 91 uuuv uuuv 83 9 uuuv uuuv4 3 3uuuv uuuv AD ⋅ AE⎡ 8 4 ⎤ ⎣ 9 3 ⎦二、填空题13．已知向量 a = (1,2 ) ， b = (2, -2) ， c = (1,λ ) ，若 c ∥(2a + b )，则 λ = ________．【答案】 1．2【解析】因为 a = (1,2 ) ， b = (2, -2) ，所以 2a + b = (4,2 )，又 c = (1,λ ) ，且 c ∥(2a + b )，则 4λ = 2 ，即 λ = 1 2．14．若向量 a ， b 满足 a = 1 ， b = 2 ，且 a ⊥ (a + b ) ，则 a 与 b 的夹角为__________．3【答案】 π4【解析】由 a ⊥ (a + b ) 得， a ⋅ (a + b ) = 0 ，即 a 2 + a ⋅ b = 0 ，据此可得 a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos a , b = -a 2，∴ cos a , b = - 1 2 2，34uuuv uuuv15．已知正方形 ABCD 的边长为 2， E 是 CD 上的一个动点，则求 AE ⋅ BD 的最大值为________．( )()∴ AE ⋅ BD = AD + λ AB ⋅ AD - AB = AD 2 - λ AB 2 + (λ - 1) A B ⋅ AD = 4 - 4λ ，可得 C (0,0 )， A (0,2 )， B 2 3,0 ，则直线 AB 的方程为 x2 3 +()设 P (x , y )，则 y = 2 - x3 ， 0 ≤ x ≤ 2 3 ， PB = 2 3 - x , - y ， PC = (-x , - y ) ，()+ (2 y ) 2= 4x + 4 y - 8 3x + 12 = 4x + 4 2 - x ⎫2⎪ - 8 3x + 123 x 2 - 40 x - 5 3 ⎫2⎪ + 3 ， ⎝ ⎭ 由 x = 5 3⎣【答案】4uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv【解析】设 DE = λ DC = λ AB ，则 AE = AD + DE = AD + λ AB ，uuuv uuuv uuuv 又 BD = AD - AB ，uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuvuuuv uuuv∵ 0 ≤ λ < 1 ，∴当 λ = 0 时， AE ⋅ BD 取得最大值 4，故答案为 4．uuv uuuv16．在 △ABC 中， ∠C = 90 ︒ ， ∠B = 30︒ ， AC = 2 ， P 为线段 AB 上一点，则 PB + PC 的取值范围为____．【答案】 ⎡⎣ 3,2 7 ⎤⎦【解析】以 C 为坐标原点， CB ， CA 所在直线为 x ， y 轴建立直角坐标系，( ) y2 = 1 ，uuvu uuvu uv u u uv 则| PB + PC 2 = 2 3 - 2 x 2⎛ 2 2 2 ⎝3 ⎭= 16 3 3 x + 28 = 16 ⎛ 3 4 ⎪uuv uuuv 4 ∈ ⎡0,2 3 ⎤⎦ ，可得 PB + PC 的最小值为为uuv uu uv即 PB + PC 的取值范围为 ⎡⎣ 3,2 7 ⎤⎦ ．故答案为 ⎡⎣ 3,2 7 ⎤⎦ ．，uuv uu uv时，则 PB + PC 的最大值。