利用导数判断函数的单调性(教师版有答案)

利用导数判断函数的单调性

函数的单调性与导函数正负的关系

[提示]不一定成立．例如f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(0)＝0，即f′(x)＞0是f(x)在该区间上为增函数的充分不必要条件．

例1、已知函数f（x）=x3-3x+1．试判断函数f（x）的单调性．

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例2、已知f （x ）= 14x 4-lnx ，求f （x ）的单调区间．

例3、已知函数f （x ）= 13x 3-x 2+bx ，且f '（2）=-3．

（Ⅰ）求b ；

（Ⅱ）求f （x ）的单调区间．

例4、已知函数f （x ）=x 3+2x 2．

（Ⅰ）求f （x ）在（1，f （1））处的切线方程；

（Ⅱ）讨论函数f （x ）e x 的单调性．

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1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( )

A ．增函数

B ．减函数

C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭

⎪⎫1e ，6上是增函数 D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭

⎪⎫1e ，6上是减函数 A [∵x ∈(0，＋∞)，f′(x )＝1＋1x ＞0，∴函数在(0,6)上单调递增．]

2．函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间是( )

A ．(－∞，1]

B ．[1，＋∞)

C ．(－∞，0]

D ．(0，＋∞)

D [由f′(x )＝e x －1＞0得x ＞0，故选D.]

3．若函数y ＝x 3＋ax 在R 上是增函数，则a 的取值范围是________．

[0，＋∞) [∵y ′＝3x 2＋a 且y ＝x 3＋ax 在R 上是增函数．

∴3x 2＋a ≥0在R 上恒成立，即a ≥－3x 2在R 上恒成立．∴a ≥(－3x 2)max ，∴a ≥0.]

判断或证明函数的单调性

【例1】 判断y ＝ax 3－1(a ∈R )在(－∞，＋∞)上的单调性．

[思路探究] 求导数→对a

进行分类讨论→

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每种情况下确定函数在(－∞，＋∞)上的单调性

[解] ∵y ′＝3ax 2，又x 2≥0.

(1)当a ＞0时，y ′≥0，函数在R 上单调递增；

(2)当a ＜0时，y ′≤0，函数在R 上单调递减；

(3)当a ＝0时，y ′＝0，函数在R 上不具备单调性．

判断函数单调性的两种方法

(1)利用函数单调性的定义，在定义域内任取x 1，x 2，且x 1

(2)利用导数判断可导函数f (x )在(a ，b )内的单调性，步骤是：①求f′(x )；②确定f′(x )在(a ，b )内的符号；③得出结论．

提醒：所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．

1．证明函数y ＝ln x ＋x 在其定义域内为增函数．

[证明] 显然函数的定义域为{x |x ＞0}，

又因为y ′＝(ln x ＋x )′＝1x ＋1，当x ＞0时，y ′＞1＞0，所以y ＝ln x ＋x 在其定义域内为增

函数.

利用导数求函数的单调区间

【例2】 (1)求函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调区间；

(2)讨论函数f (x )＝x 2－a ln x (a ≥0)的单调性．

[思路探究] (1)求定义域→求导数f ′(x )→解f ′(x )＞0得增区间→解f ′(x )＜0得减区间

(2)用分类讨论的方法确定f′(x )的符号，确定函数在各区间内的单调性．

[解] (1)f (x )＝3x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞)．

f′(x )＝6x －2x ＝2(3x 2－1)x ＝2(3x －1)(3x ＋1)x

， 当x ＞0，解f′(x )＞0，得x ＞33，由x ＜0，解f′(x )＜0，得0＜x ＜33.

∴函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，单调递减区间为⎝

⎛⎭⎪⎫0，33. (2)函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f′(

x

)＝

2x －a x ＝2x 2－a x .

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设g (x )＝2x 2－a ，由g (x )＝0，得2x 2＝a .

当a ＝0时，f′(x )＝2x ＞0，函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；

当a >0时，由g (x )＝0，得x ＝2a 2或x ＝－2a 2(舍去)．

当x ∈⎝

⎛⎭⎪⎫0，2a 2时，g (x )＜0，即f′(x )＜0， 当x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫2a 2，＋∞时，g (x )＞0，即f′(x )＞0. 所以当a ＞0时，函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫2a 2，＋∞上单调递增． 综上，当a ＝0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；

当a ＞0时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2，＋∞上单调递增，在⎝

⎛⎭⎪⎫0，2a 2上单调递减．

(1)求函数y ＝f (x )单调区间的步骤

①确定函数y ＝f (x )的定义域.

②求导数y ′＝f ′(x ).,③解不等式f ′(x )>0，函数在单调区间上为增函数；

解不等式f ′(x )<0，函数在单调区间上为减函数.

(2)含有参数的函数单调性问题的处理方法

①在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f ′(x )的符号，否则会产生错误.

②分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了.

2．已知函数f (x )＝12

x 2－(a ＋m )x ＋a ln x ，且f′(1)＝0，其中a ，m ∈R . (1)求m 的值；

(2)求函数f (x )的单调递增区间．

[解] (1)由题设知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，

f′(x )＝x －(a ＋m )＋a x .由f′(1)＝0，得1－(a

＋

m

)＋a ＝0，解得m ＝1.