机械系统动力学

统动力学方程的方法，例如传递矩阵法，影响系
数法，这些方法仍然是建立在基本力学原理之上
的。
拉格朗日法
1.1 概述
拉格朗日方程——属于能量法，推导中使用 标量，直接对整个系统建模
特点：列式简洁、考虑全面、建模容易、过程规 范适合于线性系统也适合于非线性系统，适合于 保守系统，也适合于非保守系统。
2.1பைடு நூலகம்拉格朗日方程
数与自由度数相同。式（1）也可以表示为
d dt
T
g
qi
T
qi
U qi
Qi
(i 1, 2, 3,L N )
3.1拉格朗日方程的推导
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拉格朗日方程应用举例
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2.1 建立机械系统的动力学方程的原 理与方法
•
•
系统的动力学方程又称为运动方程，是建立
系统的输入、系统的参数与系统的状态三者之间
关系的数学表达式。他们是根据系统的动力学模
型，应用基本的力学方程或原理建立的，通常是
微分方程。常用于建立动力学方程的力学原理有
牛顿第二定理、达朗贝尔原理、拉格朗日方程、
凯恩方程。基于这些原理还有一些常用的建立系
x2 )
0
L x&2
L x2
m2&x&2 k2 (x2
x1) k3x2
0
L x&1
L x1
m1&x&1 k1x1
k2 (x1
x2 )
0
L x&2
L x2
m2&x&2 k2 (x2
x1) k3x2
0
m1
m2
&x&x&&12
k1 k2
k2
k2 k3 k2
x1 x2
系统动能
系统势能
T
1 2
m1x&12
1 2
m2 x&22
U
1 2
k1x12
1 2
k2 (x1
x2 )2
1 2
k3
X
2 2
L T U
L x1
k1x1
k2 (x1
x2 )
L x2
k2 (x2
x1) k3x2
L x&1
m1
&x&1
L x&2
m2 &x&2
L
x&1
L x1
m1&x&1 k1x1
k2 (x1
拉格朗日方程，势必使矩阵方程的阶数很
高，引起计算的困难。传递矩阵法是将各
质量的状态参数（包括力参数和运动参数）
包含在一个向量中，这个向量称为状态向
量，然后利用力学原理建立状态向量间的
• 的关系矩阵（传递矩阵）。系统内各质量 的状态向量均可通过这些传递矩阵联系起 来，而矩阵的阶数仅与状态向量中元素的 数量有关。这就大大降低了矩阵的阶数， 降低了建立动力学方程的难度。
0 0
拉格朗日法是建立微分方程一种简 单的方法：先求出系统的动能、势 能，进而得出质量矩阵和刚度矩阵
优点：系统的动能和势能都是标量， 无需考虑力的方向。
传递矩阵法
•
传递矩阵法是建立离散系统动力学方
程的有效方法（也可以用于解决静力学问
题）。这是因为对于大量复杂系统，离散
后质点很多。如果直接用达朗贝尔原理或
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n自由度系的拉格朗日方程表式：
d dt
L q&i
L qi
Qi
qi i 1, 2,3,L , n
系统的独立广义坐标
Qi i 1, 2,3,L , n
系统非有势力的广义力
拉格朗日函数
L T U
4.1.传递矩阵法的原理
4.2.传递矩阵计算步骤
• 4.2.1 构造传递矩阵
4.3 剩余矩阵的构建
4.4 振型分析及稳态响应分析
4.5 传递矩阵法应用举例
具有完整理想约束的有N个广义坐标系统的 拉格朗日方程的形式是
d T T U
dt
(
g
qi
)
qi
qi
Qi
(i 1, 2, 3,L N )（1）
式中qi —第i个广义坐标；T—系统动能；U—系统 的势能：Qi—对第i个广义坐标的广义力。
•
对于N个自由度的系统有N个广义坐标，
也相应地有N个方程。系统的独立运动方程