A4流体的运动微分方程

dy
du z dt
dz
u x du x
u y du y
u z du z
1 d (u 2 ) 2
因此，方程是沿流线才适用的。——条件之二
②
p x
dx
p y
dy
p z
dz
dp
（3）
则（1）式
(
Xdx
Ydy
Zdz)
1
(
p x
dx
p y
dy
p z
dz)
dux dx duy dy duz dz
式4-2
Z
1
( pz z
xz
x
yz )
y
du z dt
对于不可压缩均质流体，ρ= c，而 X，Y，Z
通常是已知的, 故在三个方程中有九个表面应力、 三个速度分量，共十二个未知量，既使加上连续 性微分方程（四个方程，解十二个未知量），也 无法求得唯一的解，所以还应再找出其它的关系。
2、流体质点的应力状态
dy)
(
p
1 2
p y
dy)dxdz
p y
dxdydz
切应力（四个表面） ：
ABGH CDEF ABCF GDEH
E
H τzx
τzy
D
G
s F
Z A τzy
M
t
C
τzx
B
y x
切应力（四个表面） ：
ABGH:
( xy
1 2
xy
x
dx ) dydz
CDEF:
( xy
1 2
xy
x
dx ) dydz
等压面是以坐标原点为中心的圆。
§4.2 元流的的伯努利方程
dx
X
1
p x
du x dt
dx
dy
Y
1
p duy y dt
dy
dz
Z
1
p z
duz dt
dz
Euler方程三式分别乘以流线上微元线段的投影dx、dy、dz，则相加后得：
(Xdx Ydy
Zdz)
1
( p x
dx
p y
dy
p z
dz)
实际液体具有粘滞性，由于内摩擦阻力的影响，液体流动
时，其能量将沿程不断消耗，总水头线因此沿程下降，固
有
H1＞H 2
设单位重量液体沿元流(或流线)两点间的能量损失为hw'， 按能量守恒原理，上式可写成
即
上式即恒定流、不可压缩实际液体动能量方程，又称实际 液体元流伯努利方程。
－
一、渐变流及其性质
（1）按运动要素是否随流程改变，可将流动划分 为均匀流与非均匀流。
判断：
1.在位置高度相同，管径相同的同一管道的两断面上，其势能、动能 都相等。 （×）
2.运动水流的测压管水头线可以沿程上升，也可以沿程下降。 （√）
4. 解题步骤 （三选一列 ）
（1）选择基准面：
原则上可任选，一般可尽量使 位置水头为零（即：Z=0）。 （2）选择计算断面：
1> 渐变流过流断面； 2> 已知数较多的断面； 3> 包含未知数的断面。
（1）势能积分：在渐变流断面或均匀流断面上，有 则：
（2）动能积分： （3）损失积分：
实际流体恒定总流的能量方程（对单位重流体而言）
式中：
z —— 比位能（位置水头） —— 比压能（压强水头，测压管高度） —— 比动能（流速水头） —— 比势能（测压管水头） —— 总比能（总水头）
—— 平均比能损失 （水头损失）,单位重流体克服 流动阻力所做的功。
4.结论
X
1
p x
du x dt
Y
1
p y
du y dt
Z
1
p z
du z dt
3.导出关系 由牛顿第二运动定律 ，
x方向有：
化简得：
——无黏性流 体运动微分方 程
无黏性流体运动微分方程
X
1
p x
du x dt
Y
1
p y
du y dt
Z
1
p z
duz dt
流体平衡微分方程
单位质量流体的表面力在X、Y、Z坐标轴上分量
（3）选择计算点： 1> 对圆形管路，可选择在轴心处；
2> 对明渠，可选择在液面上。 （4）列方程解题
注意与连续性方程的联合使用。
注意：
简言之，分析流动，划分断面，
1）公式中的压强 p可以是绝对压强，也可以是相对压强， 只要方程前后统一即可（对气体必须是绝对压强）。
选择基准面，写出方程。
2)公式中的γ是指计算流体的重度，各项单位要统一。
GDEH:
(
zy
1 2
zy
z
dz)dydx
ABCF:
(
zy
1 2
zy
z
dz)dydx
将以上所有的力代入
Fy= m ay =
m
du y dt
整理，
即可得实际流体运动微分方程。
（3）、公式： X
1
( px x
yx
y
zx )
z
du x dt
Y
1
( p y y
xy
x
zy )
z
du y dt
三、毕托管
测量点流速的仪器
原理：利用无粘性元流流体伯努利方程。
图：
uA
h
A
h
uA
A
BA Z
V Z
图 4-17 皮托管测速原理
公式：
z
pB
g
u2 2g
z
pA
g
0
h
pA
g
pB
g
u2 2g
理论流速： u
2
pA
pB
2 gh
实际流速： u 2gh
μ：修正系数，数值接近于1，由实验确定，μ =0.97 ； h：为两管水头差。
本章学习重点：
•透彻理解流体元流伯努利方程，会用毕托管测流速。
•了解N—S 方程。
•掌握实际流体能量方程、动量方程； •掌握流体运动总流的分析方法，能熟练运用三大运动
方程解决实际问题； •理解速度势函数、流函数，会建立简单的势函数和
流函数方程；
学习内容： （1）流体动力学 ——研究流体运动且涉及力的规律及在工程中的应用。
（1）、切应力的特性：
yx
xy
( u y
x
ux ) y
式4-3
yz
zy
( uz
y
u y z
)
zx
xz
( uz
x
u x z
)
实际流体切 应力普遍表达 式，也称广义 的牛顿内摩擦
定律。
（2）、压应力的特性和大小：
p ——平均压应力
px= p+ px’ p y= p+ py’ pz= p+ pz’
n A dL
θ
Z2
B
dA
G
Z1
说明： 1> 对不同的过水断面，常数 C 是不同的。
2> 过水断面两侧液体互相作用的动水压力可按静水
压力公式计算。 4、急变流
如突扩、水跌等
——流线间的夹角较大，流线的曲率半径较小的流动。
动压强特性：在断面上有
注：
渐变流、急变流是相对而言的，两者的区分
要视工程精度而言。渐变流简单、易计算。
dL
θ
Z2
B
dA
G
Z1
假设：
A点：
B点：
微元 体的密
度为 ρ
压强为 pA , 面积为 dA 压强为 pB ,面积为 dA
n A dL
θ
Z2
B
dA
G
Z1
平衡方程： －pA dA ＋ pB dA －ρg dA dl cosθ= 0
其中：
cosθ=
Z2 - Z1 dl
代入上式 即可得证：
p Z +ρg = C
2.方程的物理意义和几何意义
hw
3.总流能量方程的限制条件
（1）恒定流； （2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力； （4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可 以是急变流。 （5）总流的流量沿程不变。 （6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。 （7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能 量方程应各项乘以ρgQ。
1
dt
dt
dt
变成
(Xdx
Ydy
Zdz)
1
dp
1 2
d
u2
（4）
条件三：质量力仅为重力
X Y 0
Z g
gdz
1
dp
1 2
d (u2 )
0
条件四：不可压缩流体 c
（5）
gz
p
u2 2
c
z
p
u2 2g
c
（6）
对于任意两点 1、2
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
（7）
——（6）、（7）式为
单位质量流体的质 量力在X、Y、Z坐 标轴上分量
X 1 p du x x dt
Y
1
p y
du y dt
Z
1
p z
du z dt
单位质量流体的惯 性力在X、Y、Z坐标 轴上分量
二、黏性流体运动微分方程
1、以应力表示的实际流体运动微分方程 （1）、方程推导依据：
牛顿第二定率： F = m a
（2）、分析受力： 因为是实际流体，故运动流体 的表面力既有压应力（动压强）也 有切应力。
以 y 方向为例：
设M点的相应要素为： py , u y ,
τzy , τxy
τzy
E
τzx
与 Z 轴垂直的平面
H
上，沿 y 方向。
s
τxy
F
τzy
Z
与 x 轴垂直的平 面上，沿 y 方向。
A y
τzy
M
τzx
D G
t C
B
x
A. 质量力：
Yρdx dy dz
B. 表面力：
压力 ：
(
p
1 2
p y
pz
2 uz
z
2zz
pz
p
2
uz z
式
式
4-4
4-5
3、N—S 方程 将以上关系式4-3、4-5代入实际流体运动微分方程
4-3，结合不可压缩、均质流体连续性微分方程整理即可 得N—S方程。
拉普拉斯算子 例：
此 N—S方程 + 连续性微分方程
共 4 个方程，解 4 个未知量。
例4-1 无黏性流体速度场为 ux ay uy bx uz 0 ，a、b为常数，质量力忽略不计，试求等压面方程。
（2）在非均匀流中，按流线是否接近平行直线，可 将流动划分渐变流与急变流。
1、均匀流
——某时刻，流体各相应点（位于同一流线上的点）的流 速都不随流程改变的流动。
特点： 1> 流体的迁移加速度为零； 2> 流线是平行的直线； 3> 各过流断面上流速分布沿程不变。
2、非均匀流
——某一时刻，流体相应点的流速因位置的不同而不 同的流动。
例1：水深1.5m、水平截面积为3m×3m的水箱，箱底接一直径为 200mm，长为2m的竖直管，在水箱进水量等于出水量情况下作 恒定出流，略去水头损失，试求点2的压强。
解: 根据题意和图示，水流为恒定流；水箱 表面，管子出口，管中点2所在断面，都 是渐变流断面；符合总流能量方程应用 条件。水流不可压缩，只受重力作用。
p=
1 3
（px+py+pz
）
切应力互等定律。原 方程减少3个变量。
因为实际流体运动存在切应力，故各方位的压应力不 尽相等，可取其平均值，每个方向上的压应力均可看
作由均值 p 加上附加压应力 px’ 、 py’ 、 pz’ 。
px
2
ux x
2xx
px
p
2
ux x
py
2
uy y
2yy
py
p
2
uy y
2.受力分析
作用在流体上力：(1) 表面力；(2) 质量力 (1)表面力（以X方向为例） 包括压应力和剪应力 左表面 右表面
(2)质量力 X、Y、Z表示流体单位质量力在坐标轴上的分量。这个微元体的
质量为ρdxdydz ，质量力在各个在坐标轴上的分量分别为：
Xρdxdydz 、Yρdxdydz 、Zρdxdydz
。
（1）. 公式
：无粘性流体、恒定流动、质量力
只有重力、不可压流缩体、沿流线或微小流束。
（2）. 几何意义和
：
位置水头、比位能 单位重量流体 所具有的位能
z
p
u2 2g
c
流速水头、比动能
单位重量流体所具 有的动能
压强水头、比压能 单位重量流体所具有的压能
三种形式的能量和功在流动的过程中是可以相互转化的，三者之和始 终保持一常数。
（2）遵循的规律
牛顿第二定律
（3）对于理想流体，因没有黏性，故作用于流体的表面力 只有压应力，即动水压强。
p = p ( x，y，z，t )
（4）实际流体运动微分方程；伯努利方程；动量方程。
基本思路:(1)取微元体 (4)得出结论
(2)受力分析 (3)导出关系
1.取微元体
在某一瞬时在运动无黏性流体中 取出棱边为dx，dy，dz的一微小 平行六面体。
渐变流过流断面
h1 2
p2 = p1 +γh
急变流过流断面
1 2
二、恒定总流能量方程
1.方程的推导
z1
p1 gz1
u12
1
2g1
z2
p2 g
u
2 2
2g
h' w1, 2
2 2 z2
设元流的流量为dQ=u1dA1=u2dA2，则在上述等式两端同乘以ρgdQ 。
沿总流过水断面上积分可得总流能量关系：
dux dt
dx
du y dt
dy
duz dt
dz
1、公式推导前提条件：
（
）即
p t
0
,
u t
0
ux uቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ uz 0 t t t
因为恒定流动时，流线与迹线重合，则此时的dx，dy，dz与时间 dt 的比为速度
分量，即有：
ux
dx dt
uy
dy dt
uz
dz dt
则：①
du x dt
dx
du y dt
3、均匀流与非均匀流的判别标准 可据迁移加速度（位变导数）是否为零来判断。
3、渐变流 ——流线之间夹角很小，各流线为近似的平行直线。
特点： （1）过流断面近似平面； （2）同一过流断面上，流体各点的动压强分布符合静压强分布。 （3）均匀流是渐变流的特例，同时具有以上两点。
简单分析：
在渐变流过流断面上作任一微小柱体，长为 dL，截面积为 dA。然后， 分析该微元体的受力情况。由于n 流体在 n 方向（轴 向）上没有流速，故 n 方向上的合力应平A衡。
解：本题为无黏性流体平面运动，由欧拉运动微分方程式，不计质量力
1
p x
uy
u x y
abx
1
p y
ux
u y x
aby
将方程组化为全微分形式
1
(
p x
dx
p y
dy )
ab ( xdx
ydy )
1
dp
ab ( xdx
ydy
)
积分，得
p ab x 2 y 2 C ' 2
令p=常数，即得到等压面方程 x 2 y 2 C