A4流体的运动微分方程
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流体动力学
（3）物理意义
p z g
——单位重量流体的总势能（m） ——位置水头+压强水头
u2 2g
——单位重量流体的动能（m）
——速度水头
p u2 z c g 2 g
单位重量流体的机械能守恒（总水头不变）
2.粘性流体元流的伯努利方程
2 p1 u12 p2 u2 z1 z2 hw ' g 2 g g 2 g
只有重力 gdz
p 不可压缩恒定流 dp d 1
2 2 ux uy u z2 u2 d d 2 2
duy dux duz dx dy dz dt dt dt
1 p p p Xdx Ydy Zdz dx dy dz x y z
是无旋流
流体的运动微分方程
1.理想流体运动微分方程 （1）平衡微分方程
1 p X 0 x 1 p Y 0 y 1 p Z 0 z
1 f p 0
（2）运动微分方程
1 du u f p u u dt t
2
p2 2
v2 1
p1
v1
θ
α F
Fx
1
Fy
e.动量方程
x : p1 A1 p2 A2 cos Fx Qv2 cos v1
y : p2 A2 sin Fy Qv2 sin 0
f.解出Fx、Fy
2 p2 2
F Fx2 Fy2
tg Fy Fx
p1 p2 Q v1 A1 2g z1 z2 K h 4 g g d1 d 2 1
理想流体的运动微分方程
u y y
uz
uz
u x z
u y z
y
1 p
Z
z
du z dz
u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
写成矢量表达式为：
1 du F p dt
式中哈密顿算子：
i j k x y z
1.3.6.2 总流
对于粘性流体的总流，作稳定流动时的柏努利方程式为：
z1
p1
1 v1
2g
2
z2
p2
2v2
2g
2
hw
式中：
v1 , v 2 为截面的平均流速； 1 , 2为动能修正系数，通常由实验确定。
对于圆形管道中的稳定缓变流： 层流时 ＝2；
湍流时 ＝1.05～1.10；
由柏努利积分式：
U
1
dp
2
u
2
2
得
或
gz
1
gz
1
p
u
C
2
p
u
2
C
2
2
对于流线上任意两个质点1和2来说，有：
g z1 1
p1
u1
2
2
gz2
1
p2
u2 2
式中各项分别为单位质量的流体具有的位能，静压能及动能， J kg ( )。
1.3.5.2 理想流体稳定流动总流的柏努利方程 任何稳定流动的总流，都可以看成是无穷多微小流束 的总和。在总流中某一微小流束的不同有效截面上的物理 参数不一定相同。 （1）均匀流与缓变流 均匀流：如果有效断面或平均流速沿程不变，且流线为 平行直线这样的稳定流称为均匀流。 非均匀流：如果有效断面沿程变化，或者有效断面不变， 但各断面上速度分布改变，这种流动称为非均匀流。 缓变流：凡有效断面上流线间夹角很小，流线曲率半经 无限大，即流线趋近于平行线的流动称缓变流。
uz
uz
u x z
u y z
y
1 p
Z
z
du z dz
u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
写成矢量表达式为：
1 du F p dt
式中哈密顿算子：
i j k x y z
1.3.6.2 总流
对于粘性流体的总流，作稳定流动时的柏努利方程式为：
z1
p1
1 v1
2g
2
z2
p2
2v2
2g
2
hw
式中：
v1 , v 2 为截面的平均流速； 1 , 2为动能修正系数，通常由实验确定。
对于圆形管道中的稳定缓变流： 层流时 ＝2；
湍流时 ＝1.05～1.10；
由柏努利积分式：
U
1
dp
2
u
2
2
得
或
gz
1
gz
1
p
u
C
2
p
u
2
C
2
2
对于流线上任意两个质点1和2来说，有：
g z1 1
p1
u1
2
2
gz2
1
p2
u2 2
式中各项分别为单位质量的流体具有的位能，静压能及动能， J kg ( )。
1.3.5.2 理想流体稳定流动总流的柏努利方程 任何稳定流动的总流，都可以看成是无穷多微小流束 的总和。在总流中某一微小流束的不同有效截面上的物理 参数不一定相同。 （1）均匀流与缓变流 均匀流：如果有效断面或平均流速沿程不变，且流线为 平行直线这样的稳定流称为均匀流。 非均匀流：如果有效断面沿程变化，或者有效断面不变， 但各断面上速度分布改变，这种流动称为非均匀流。 缓变流：凡有效断面上流线间夹角很小，流线曲率半经 无限大，即流线趋近于平行线的流动称缓变流。
微分方程在流体力学中的应用
微分方程在流体力学中的应用流体力学是研究流体力学性质和流体力学行为的科学。
在流体力学的研究中，微分方程被广泛应用于描述流体的动力学和运动。
一、流体运动的微分方程描述在流体力学中，我们常用以下两个基本的微分方程来描述流体的运动：1. 运动方程（Navier-Stokes方程）：它是描述流体动量守恒的基本方程，用于描述流体介质内部任意一点的运动状态。
它可以表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，t是时间，∇·表示散度。
2. 运动场的连续性方程（连续方程）：它是描述流体质点的连续性的方程，用于描述流体质点在空间的运动状态。
连续方程可以表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0通过求解这些微分方程，我们可以得到流体的速度分布、压力分布、流量等重要的物理量。
二、在流体力学中的应用案例1. 管道流动问题考虑一个无限长的圆形平面图案，假设进口处有一定的速度和压力，通过微分方程描述流体在管道中的运动状态，可以计算出流体在不同位置的速度和压力分布。
这对于实际的管道流动问题，如输油管道、水管道等的设计和分析非常重要。
2. 气象学中的天气预报流体力学中的微分方程也被广泛应用于天气预报中。
通过测量大气中的温度、湿度等参数，并将其转化为微分方程的形式，可以建立起大气的运动模型，从而预测未来的天气变化情况。
这对于农业生产、交通运输等方面都具有重要的实际意义。
3. 湍流流动湍流是流体力学中一个非常复杂的问题。
通过求解Navier-Stokes方程，可以研究湍流流动中的速度场和压力场的分布规律。
湍流流动在自然界和工程实践中都普遍存在，如河流、大气中的暴风雨等都与湍流有关。
总结：微分方程在流体力学中扮演着重要的角色，它通过描述流体的运动状态和守恒性质，为我们揭示了流体力学的各种现象和规律。
通过求解这些微分方程，我们可以进一步理解和优化流体的运动方式，为实际问题的解决提供有效的数学工具与方法。
第四章 流体流动微分方程
um
p L
R2
8
p L
D2
32
阻力系数
64
Re
水平管:
hf
p
g
L um2 D 2g
Re Dum
雷诺数
结论：层流流动的沿程损失与平均流速的一次方成正比。
上节课回顾:
1.学习了一维不可压缩流体稳态层流流动时建立流
体流动微分方程的方法:
输入微元体 -输出微元体+作用于微元体 = 0 的动量流量 的动量流量 的诸力之和
§ 4.3 狭缝流动分析
微元体上x方 向的诸力之和
yxdx
yx
yx y
dy
dx
pdy
p
p x
dx
dy
g cos dxdy
yx
y
p x
g cos
dxdy
0
§ 4.3 狭缝流动分析
切应力方程
yx p g cos p
y x
x
其中 p p gx cos
水平狭缝，由于有β=π/2，
p x p x const
p p0 pL
L
L
又因压差流，U=0，得水平压差流的平均速度
um
b2
12
p x
U 2
um
b2
12
p L
（4-10）
§ 4.3 狭缝流动分析
狭缝流阻力系数λ
定义式 p L b um2 2
um
b2
12
p L
24
Re
Re umb /
§4.3 狭缝流动分析
流体微元如图（b)所示，垂直于x-y平面的厚度为1 外力（ x方向）
上下表面的切应力 τ y，x
流体流动动微分方程
微元体表面 微元体表面
( vx v z ) ( v y vz ) ( vz 2) z方向动量 - z 方向动量 =[ + ] dxdydz x y z 的输出流量 的输入流量
22
微元体表面 微元体表面
6-2.2 动量流量及动量变化率
微元体内的动量变化率：
微元内x方向 ( v x ) = dxdydz t 动量的变化率
( v x ) ( v y ) ( vz ) 0 x y z t
引用随体导数的概念，可表示为另一种形式为：
D v x v y v z ( )0 Dt x y z
v 速度矢量
D / Dt
是密度
v
D ( v ) 0 Dt
7
6-1 连续性方程-直角坐标中的
输出微元体 输入微元体 ( v x ) ( v y ) ( vz ) [ ]dxdydz x y z 的质量流量 的质量流量 微元体内的 = dxdydz 质量变化率 t
( v x ) ( v y ) ( vz ) 0 x y z t ( v) 0 t
( vx 2 ) ( v y vx ) ( vz vx ) x方向动量 - x 方向动量 =[ + ] dxdydz x y z 的输出流量 的输入流量 微元体表面 微元体表面
( vx v y ) ( v y 2 ) ( vz v y ) y方向动量 - y方向动量 =[ + ]dxdydz x y z 的输出流量 的输入流量
xy
yx
dz dx yz
zx dz z xx xx dx
第六章 流体运动微分方程讲解
ρvy
x
v y
( v y ) y
dy
x
( vx ) vx dx x ρv z
y
4
可得输入微元体的质量流量：
vx dydz vy dxdz vz dxdy
输出微元体的质量流量为：
( v y ) ( vx ) ( vx dx)dydz ( v y dy)dxdz x y ( vz ) ( vz dz)dxdy z
12
例题：不可压缩流体的速度分布为
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求
A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
u v 0 x y
则有
A D 0
又由于流动无旋，则有
u v y x
代入上式的第一式并整理得：
20
Dvx vx vx vx 1 p fx ( 2 2 2 ) Dt x x y z
2 2 2
vy vy vy 1 p fy ( 2 2 2 ) 同 Dt y x y z 理 2 2 2 1 p vz vz vz 得 Dvz fz ( 2 2 2 ) Dt z x y z Dvy
5
则输出与输入之差为：
( vx ) ( v y ) ( vz ) ( )dxdydz x y z
微元体内质量变化率为：
dxdydz t
6
根据质量守恒原理有：
( vx ) ( v y ) ( vz ) 0 x y z t
或
( v ) 0 t
x
v y
( v y ) y
dy
x
( vx ) vx dx x ρv z
y
4
可得输入微元体的质量流量：
vx dydz vy dxdz vz dxdy
输出微元体的质量流量为：
( v y ) ( vx ) ( vx dx)dydz ( v y dy)dxdz x y ( vz ) ( vz dz)dxdy z
12
例题：不可压缩流体的速度分布为
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求
A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
u v 0 x y
则有
A D 0
又由于流动无旋，则有
u v y x
代入上式的第一式并整理得：
20
Dvx vx vx vx 1 p fx ( 2 2 2 ) Dt x x y z
2 2 2
vy vy vy 1 p fy ( 2 2 2 ) 同 Dt y x y z 理 2 2 2 1 p vz vz vz 得 Dvz fz ( 2 2 2 ) Dt z x y z Dvy
5
则输出与输入之差为：
( vx ) ( v y ) ( vz ) ( )dxdydz x y z
微元体内质量变化率为：
dxdydz t
6
根据质量守恒原理有：
( vx ) ( v y ) ( vz ) 0 x y z t
或
( v ) 0 t
工程流体力学：第二章 流体力学基本方程
y x
ln x t ln y t ln c
(x t)(y t) c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。
2020年12月7日 20
三、流管与流束 1.流管——在流场中任取一个有流体
从中通过的封闭曲线，在曲线上的每一个 质点都可以引出一条流线，这些流线簇围 成的管状曲面称为流管。
第二章 流体力学基本方程
1. 流体运动的基本概念-流体运动的特征 2. 4个重要方程：
连续性方程 － 根据质量守恒定律导出 运动方程－ 根据牛顿第二运动定律导出 伯努利方程－ 根据能量守恒定律导出 动量积分方程和动量矩积分方程－ 根据动量定理 和动量矩定理导出. 这些方程是分析研究和解决流体力学问题的基础.
合；
对于定常流动，流线与迹线重合。
❖ 流线不能相交（驻点和速度无限大的奇点除外）。
❖ 流线的走向反映了流速方向，疏密程度反映了流速的大小分 布。
❖ 迹线和流线的区别： ❖ 迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与Lagrange
观点对应； ❖ 流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与
Euler观点对应。
的速度向量
相切v。x, y, z, t
❖ 流线微分方程：
v2 v1
v3
v4
dr v 0
dx dy dz u(x, y, z,t) v(x, y, z,t) w(x, y, z,t)
2020年12月7日 16
迹线与流线的区别
❖ 流线的性质：
❖ 对于非定常流动，不同时刻通过同一空间点的流线一般不重
u u u u
ax
t
u
x
v
y
流体力学第6章流体运动微分方程
代入上式的第一式并整理得：
20
Dv x vx vx vx 1 p fx ( 2 2 2 ) Dt x x y z
2 2 2
同 理 Dv z 1 p 2vz 2vz 2vz 得 fz ( 2 2 2 ) Dt z x y z
（1）两板固定不动; （2）下板固定上板以等速U沿流动方向运动； 两板间流体运动的速度分布。
y 流向 b x
33
解：由于流体水平运动，则有
f x 0, f y g , f z 0
由于流动是一维的，有vy=vz=0；
由于流动是定常的，有
v y v x v z 0 t t t
d vx p 2 x dy
2
(4)
思考题：为什么上式右端偏导数改写成全导数？
对上式进行两次积分可得
1 p 2 vx y C1 y C2 2 x
(5)
37
下面根据两种情况下的不同边界条件来 确定常数C1，C2。 （1）两板固定不动 这时的边界条件为
vx | y 0 0, vx | y b 0
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求
A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
u v 0 x y
则有
A D 0
又由于流动无旋，则有
则有
u v y x B C 0
14
练习： 有一个三维不可压流场，已知其x向和y向的分 速度为
对不可压缩流体，ρ=常数，有әρ/әt=0，则 连续性方程为
v 0
不可压缩流体的连续性方程不仅形式简单，而 且应用广泛，很多可压缩流体的流动也可按常 密度流动处理。
流体主要计算公式
主要的流体力学事件有：•1738年瑞士数学家：伯努利在名著《流体动力学》中提出了伯努利方程。
•1755年欧拉在名著《流体运动的一般原理》中提出理想流体概念，并建立了理想流体基本方程和连续方程，从而提出了流体运动的解析方法，同时提出了速度势的概念。
•1781年拉格朗日首先引进了流函数的概念。
•1826年法国工程师纳维，1845年英国数学家、物理学家斯托克思提出了著名的N-S方程。
•1876年雷诺发现了流体流动的两种流态：层流和紊流。
•1858年亥姆霍兹指出了理想流体中旋涡的许多基本性质及旋涡运动理论，并于1887年提出了脱体绕流理论。
•19世纪末，相似理论提出，实验和理论分析相结合。
•1904年普朗特提出了边界层理论。
•20世纪60年代以后，计算流体力学得到了迅速的发展。
流体力学内涵不断地得到了充实与提高。
理想势流伯努利方程（3-14）或（3-15）物理意义:在同一恒定不可压缩流体重力势流中，理想流体各点的总比能相等即在整个势流场中，伯努利常数C 均相等。
（应用条件：“”所示）符号说明物理意义几何意义单位重流体的位能（比位能）位置水头单位重流体的压能（比压能）压强水头单位重流体的动能（比动能）流速水头单位重流体总势能（比势能）测压管水头总比能总水头二、沿流线的积分1.只有重力作用的不可压缩恒定流，有2.恒定流中流线与迹线重合：沿流线（或元流）的能量方程：（3-16）注意：积分常数C，在非粘性、不可压缩恒定流流动中，沿同一流线保持不变。
一般不同流线各不相同（有旋流）。
（应用条件：“”所示，可以是有旋流）流速势函数（势函数）观看录像>>•存在条件：不可压缩无旋流，即或必要条件存在全微分d直角坐标（3-19）式中： ——无旋运动的流速势函数，简称势函数。
•势函数的拉普拉斯方程形式对于不可压缩的平面流体流动中，将（3-19）式代入连续性微分方程（3-18），有：或（3-20）适用条件：不可压缩流体的有势流动。
流体力学中的三大基本方程
dx
dt
p x
fx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
16
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p y
fy
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
17
向量形式：
dr
r f
1
gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
2x
z 2
)
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
1
p y
( 2 y
x2
2 y
y 2
2 y )
z 2
19
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
1
p z
( 2z
x 2
2z
y 2
2z )
z 2
1.
含有四个未知量（
，
x
y，完 z整, P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始 条件）→特解。
流体力学第二讲流体运动学
如可果得是不可压缩流体的平面无旋流动，必然同时存在速度势
和流函数。u x
＝ y x
uy
＝ x y
联系流函数与速度势的一对重要的关系式，在数学分析中 称柯西－黎曼（Cauchy-Riemann）条件，满足这种关系的两个 函数称为共轭函数。
grad
注 : rotgrad 0
2024/6/5
21
把
u
代入连续性方程
u 0
,可以得到:
0 0
在直角坐标系中：
2 2 2
x 2
y 2
z 2
0
----拉普拉斯方程。
它是一个线性的二阶偏微分方程。
线性方程的一个突出特点就是解的可以叠加性,
即如果 1,2,......, n是上式的解,则这些解的任意线性 组合 c11 c22 ...... cnn 也是上式的解。
解：（1）流线的微分方程是
dx dy xt yt
上式中的 t 是参数变量，当作常数，对上式积分，得
上式可写为
ln(x+t)=-ln(-y+t)+lnc
（x+t）.（-y+t）=c
由上式可知，在流体中任一瞬时的流线是一双曲线族。
当 t=0，x=-1，y=-1，代入上式，得 c=-1。因此，通过点 A
x t 1
消去 t，得 x y 2
y t 1
2024/6/5
10
３、脉线：
是指运动流体中，用下述方法做成的一种“染色线” ，在流场中的一个固定点处，用某种装置（尽量小，而不 致于对所要考虑的流动发生明显干扰）连续不断的对流经 该点的流体质点染色，许多染色点形成一条纤细色线称为 脉线．
烟筒
2024/6/5
流体运动微分方程
du du d 牛顿内摩擦定律 ，且 dy dy dt
d dt
流体为团运动时的角变形速度是纯剪切变形速度的两倍,顾有：
u y u x d 2 xy dt x y
则 xy yx
u y u x d ( ) dt x y
法向应力与线变形速度的关系
u x p xx p 2 x u y p yy p 2 y u z p zz p 2 z
d ux u 1 u x u x p u y u x u X [ ( ) ( ) ( x z )] dt x x x x y x y z z x
, p zz -p pzz
对于不可压缩均值流体，附加法向应力等于流体动力粘度与两倍的线变形速度 的乘积，即
u x p 2 xx 2 x u y , p yy 2 yy 2 y u z , p zz 2 zz 2 z
, xx
pxx pyy pzz
可以用任意一点三个相互垂直方 向上的 法向应力的平均值p的负 值作为黏性流体在该店的压强 黏性流体哥哥方向的法向应力等于 这个平均值加以个附加法向应力
1 p ( p xx p yy p zz ) 3
, p xx -p pxx
p yy -p p,yy
因此，切应力方向分量与角变形速度的关系
xy zy xz
粘性流体运动时存在切应力，所以法向 应力的大小与其作用面的方向有关，三个 相互垂直的法向应力大小一般不相等，即
u x u y yx ( ) 2 xy y x u y u yz ( z ) 2 zy y z u u zx ( x z ) 2 xz z x
流体力学中三大基本方程
（ d t） d x d y d zd x d y d z d td x d y d z
t
t
单位时间内，微元体质量增量：
dtdxd/dyt dzdxdydz
t
t
（微团密度在单位时间内的变率及微团体积的乘积）
⑶根据连续性条件：
t x （ x ） y （ y） z （ z） 0
ax
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
ay
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
az
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程：
得x方向上的运动微分方程：
d d txd x d y d z p xd x d y d z fx d x d y d z
单位体积流体的运动微分方程：
dx
dt
同理可得在单位时间内沿y，z方向流出 及 流入控制体的质
量差为
vy
d
x
d
yd和z
vz
dxdydz
y
z
故单位时间内流出及流入微元体流体质量总变化为：
x （ x） y （ y） z（ z） dxdydz
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：
pxfx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
同理可得y,z方向上的：
第三章 流体运动学讲解
1 v1
2
3 3
v3
4 v4
v2 1
2
解：由题意 v4 A4 4 v4 4
v1
4
取过水断面1-1到3-3和4-4间 为对象
有： Q1 Q3 Q4 所以：
Q3 Q1 Q4
取过水断面1-1到2-2 为对象
4
有： v1 A1 v2 A2
试检查流动是否满足连续条件。
解：代入连续性方程，看是否满足连续性条件：
(2 x) (2 y ) (1) 22 0 x y
满足连续性条件
(0) (3xy) (2) 0 3x 0 x y
不满足连续性条件，说明该流动不存在。
见“流体力学课内练习”
例：不可压缩二维流动的流速分量为 ux x 4 y, u y y 4x 求 （1）流动是否存在，若存在，写出流函数表达式；（2）流 动是否有势，若有势，写出速度势表达式。 解：（1） （2） u y 4, u x 4 x y u x u y 1 u y u x 1 (1) 0 z ( )0 x y 2 x y
3-2 描述流体运动的基本概念 一、流管、元流和总流 1、流管
在流场中任取一封闭曲线，通过此封闭曲线上的每 一点作某一瞬时的流线，由这些流线所构成的管状曲 面称为流管。（P44图3-5）
2、元流 当封闭曲线所包围的面积无限小时，充满微小流管内 的液流称为元流。 3、总流 当封闭曲线取在运动液体的边界上时，则充满流管内 的整股液流称为总流。
5、掌握流函数、速度势函数与速度的关系。
3-1 1、拉格朗日法
流动描述
一、描述流体运动的两种方法
拉格朗日法又称质点系法，它是跟踪并研究每一个 液体质点的运动情况，把它们综合起来掌握整个液体 运动的规律。 在固体力学中应用较多。 2、欧拉法
第3章流体运动的基本概念与方程
位时间内通过控制面的该物理量的净通量。
定常流动：
dN dt
vndA
CS
在定常流动条件下，整个系统内部的流体所具有 的某种物理量的变化率只与通过控制面的流动有 关，而不必知道系统内部流动的详细情况。
§3.6 连续方程
一、连续方程（积分形式）
本质：质量守恒定律
单位质量
1
dm 0
dt
系统的质量 N dV m
x
nv
z
III
v II ' n
I
o y
N : t时刻该系统内流体所具 有的某种物理量（如质量、 动量等）
t时刻
系统所占有 的空间体积
II
t+t时刻
n : 单位质量流体所具有的物 理量
II’+III
控制体所占有 的空间体积
II
II’+I
§3.5 系统与控制体
二、输运公式（续）
推导过程（续）：
dN dt
2.控制体
流场中某一确定的空间区域，欧拉法研究流体运动的研究对象。
➢ 控制体的周界称为控制面
➢ 一旦选定后，其形状和位置就固定不变
§3.5 系统与控制体
一、系统 控制体 （续）
z
II
o y
x t时刻
nv
z
III
v II ' n
I
o y
x
系统 控制体
t+t时刻
§3.5 系统与控制体
二、输运公式
将拉格朗日法求系统内物理量的时间 变化率转换为按欧拉法去计算的公式 推导过程： (1)符号说明
V
vdV
V
dv dt
dV
V
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（2）遵循的规律
牛顿第二定律
（3）对于理想流体，因没有黏性，故作用于流体的表面力 只有压应力，即动水压强。
p = p ( x，y，z，t )
（4）实际流体运动微分方程；伯努利方程；动量方程。
基本思路:(1)取微元体 (4)得出结论
(2)受力分析 (3)导出关系
1.取微元体
在某一瞬时在运动无黏性流体中 取出棱边为dx，dy，dz的一微小 平行六面体。
2.受力分析
作用在流体上力：(1) 表面力；(2) 质量力 (1)表面力（以X方向为例） 包括压应力和剪应力 左表面 右表面
(2)质量力 X、Y、Z表示流体单位质量力在坐标轴上的分量。这个微元体的
质量为ρdxdydz ，质量力在各个在坐标轴上的分量分别为：
Xρdxdydz 、Yρdxdydz 、Zρdxdydz
（1）、切应力的特性：
yx
xy
( u y
x
ux ) y
式4-3
yz
zy
( uz
y
u y z
)
zx
xz
( uz
x
u x z
)
实际流体切 应力普遍表达 式，也称广义 的牛顿内摩擦
定律。
（2）、压应力的特性和大小：
p ——平均压应力
px= p+ px’ p y= p+ py’ pz= p+ pz’
三、毕托管
测量点流速的仪器
原理：利用无粘性元流流体伯努利方程。
图：
uA
h
A
h
uA
A
BA Z
V Z
图 4-17 皮托管测速原理
公式：
z
pB
g
u2 2g
z
pA
g
0
h
pA
g
pB
g
u2 2g
理论流速： u
2
pA
pB
2 gh
实际流速： u 2gh
μ：修正系数，数值接近于1，由实验确定，μ =0.97 ； h：为两管水头差。
单位质量流体的质 量力在X、Y、Z坐 标轴上分量
X 1 p du x x dt
Y
1
p y
du y dt
Z
1
p z
du z dt
单位质量流体的惯 性力在X、Y、Z坐标 轴上分量
二、黏性流体运动微分方程
1、以应力表示的实际流体运动微分方程 （1）、方程推导依据：
牛顿第二定率： F = m a
（2）、分析受力： 因为是实际流体，故运动流体 的表面力既有压应力（动压强）也 有切应力。
2.方程的物理意义和几何意义
hw
3.总流能量方程的限制条件
（1）恒定流； （2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力； （4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可 以是急变流。 （5）总流的流量沿程不变。 （6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。 （7）式中各项均为单位重流体的平均能（比能），对流体总重的能 量方程应各项乘以ρgQ。
实际液体具有粘滞性，由于内摩擦阻力的影响，液体流动
时，其能量将沿程不断消耗，总水头线因此沿程下降，固
有
H1＞H 2
设单位重量液体沿元流(或流线)两点间的能量损失为hw'， 按能量守恒原理，上式可写成
即
上式即恒定流、不可压缩实际液体动能量方程，又称实际 液体元流伯努利方程。
－
一、渐变流及其性质
（1）按运动要素是否随流程改变，可将流动划分 为均匀流与非均匀流。
。
（1）. 公式
：无粘性流体、恒定流动、质量力
只有重力、不可压流缩体、沿流线或微小流束。
（2）. 几何意义和
：
位置水头、比位能 单位重量流体 所具有的位能
z
p
u2 2g
c
流速水头、比动能
单位重量流体所具 有的动能
压强水头、比压能 单位重量流体所具有的压能
三种形式的能量和功在流动的过程中是可以相互转化的，三者之和始 终保持一常数。
（1）势能积分：在渐变流断面或均匀流断面上，有 则：
（2）动能积分： （3）损失积分：
实际流体恒定总流的能量方程（对单位重流体而言）
式中：
z —— 比位能（位置水头） —— 比压能（压强水头，测压管高度） —— 比动能（流速水头） —— 比势能（测压管水头） —— 总比能（总水头）
—— 平均比能损失 （水头损失）,单位重流体克服 流动阻力所做的功。
例1：水深1.5m、水平截面积为3m×3m的水箱，箱底接一直径为 200mm，长为2m的竖直管，在水箱进水量等于出水量情况下作 恒定出流，略去水头损失，试求点2的压强。
解: 根据题意和图示，水流为恒定流；水箱 表面，管子出口，管中点2所在断面，都 是渐变流断面；符合总流能量方程应用 条件。水流不可压缩，只受重力作用。
解：本题为无黏性流体平面运动，由欧拉运动微分方程式，不计质量力
1
p x
uy
u x y
abx
1
p y
ux
u y x
aby
将方程组化为全微分形式
1
(
p x
dx
p y
dy )
ab ( xdx
ydy )
1
dp
ab ( xdx
ydy
)
积分，得
p ab x 2 y 2 C ' 2
令p=常数，即得到等压面方程 x 2 y 2 C
GDEH:
(
zy
1 2
zy
z
dz)dydx
ABCF:
(
zy
1 2
zy
z
dz)dydx
将以上所有的力代入
Fy= m ay =
m
du y dt
整理，
即可得实际流体运动微分方程。
（3）、公式： X
1
( px x
yx
y
zx )
z
du x dt
Y
1
( p y y
xy
x
zy )
z
du y dt
判断：
1.在位置高度相同，管径相同的同一管道的两断面上，其势能、动能 都相等。 （×）
2.运动水流的测压管水头线可以沿程上升，也可以沿程下降。 （√）
4. 解题步骤 （三选一列 ）
（1）选择基准面：
原则上可任选，一般可尽量使 位置水头为零（即：Z=0）。 （2）选择计算断面：
1> 渐变流过流断面； 2> 已知数较多的断面； 3> 包含未知数的断面。
4.结论
X
1
p x
du x dt
Y
1
p y
du y dt
Z
1
p z
du z dt
3.导出关系 由牛顿第二运动定律 ，
x方向有：
化简得：
——无黏性流 体运动微分方 程
无黏性流体运动微分方程
X
1
p x
du x dt
Y
1
p y
du y dt
Z
1
p z
duz dt
流体平衡微分方程
单位质量流体的表面力在X、Y、Z坐标轴上分量
dux dt
dx
du y dt
dy
duz dt
dz
1、公式推导前提条件：
（
）即
p t
0
,
u t
0
ux uy uz 0 t t t
因为恒定流动时，流线与迹线重合，则此时的dx，dy，dz与时间 dt 的比为速度分量，即有：ux
dx dt
uy
dy dt
uz
dz dt
则：①
du x dt
dx
du y dt
以 y 方向为例：
设M点的相应要素为： py , u y ,
τzy , τxy
τzy
E
τzx
与 Z 轴垂直的平面
H
上，沿 y 方向。
s
τxy
F
τzy
Z
与 x 轴垂直的平 面上，沿 y 方向。
A y
τzy
M
τzx
D G
t C
B
x
A. 质量力：
Yρdx dy dz
B. 表面力：
压力 ：
(
p
1 2
p y
dy
du z dt
dz
u x du x
u y du y
u z du z
1 d (u 2 ) 2
因此，方程是沿流线才适用的。——条件之二
②
p x
dx
p y
dy
p z
dz
dp
（3）
则（1）式
(
Xdx
Ydy
Zdz)
1
(
p x
dx
p y
dy
p z
dz)
dux dx duy dy duz dz
dy)
(
p
1 2
p y
dy)dxdz
p y
dxdydz
切应力（四个表面） ：
ABGH CDEF ABCF GDEH
E
H τzx
τzy
D
G
s F
Z A τzy
M
t
C
τzx
B
y x
切应力（四个表面） ：
ABGH:
( xy
1 2
xy
x
dx ) dydz
CDEF:
( xy
1 2
xy
x
dx ) dydz
dL
θ
Z2
B