2020届宁夏石嘴山市第三中学高三一模考试数学(理)试题及答案

PF 3, PM 的 最 小 值 为 PE 1 ， 故 PN PM 最 大 值 是
PF 3 PE 1 PF PE 4 ; F (4，5) 关 于 x 轴 的 对 称 点 F(4， 5) ，
PF PE PF PE EF (4 1)2 (5 1)2 5 ， 故 PF PE 4 的 最 大 值 为 5 4 9 ，故选 B．
11．在三棱锥 D ABC 中， AB BC CD DA 1，且 AB BC,CD DA, M , N 分别是棱 BC ， CD 的中点，下面四个结论： ① AC BD ； ② MN / / 平面 ABD ；
③三棱锥 ACMN 的体积的最大值为 2 ； 12
④ AD 与 BC 一定不垂直.
8．已知双曲线 C 的一个焦点为 0,5，且与双曲线 x2 y2 1 的渐近线相同，则双曲线 C 的标准
4
方程为()
A． x2 y2 1 4
B． y2 x2 1 5 20
C． x2 y2 1 20 5
D． y2 x2 1 4
答案：B
根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的标准方程，结合焦点坐标求解.
正确；
使用 app 主要玩游戏的人数为 8130 ，而调查的总人数为 56290 ， 8130 0.14 ，故超过10% 的 56290
大学生使用 app 主要玩游戏，所以②错误； 使用 app 主要找人聊天的大学生人数为16540 ，因为 16540 1 ，所以③正确.
56290 4
故选：C.
A． 2 5 4
B．9
C．7
D． 2 5 2
答案：B
试题分析：圆 C1： x 12 y 12 1的圆心 E(1，1) ，半径为1，圆 C2： x 42 y 52 9 的
圆心 F (4，5) ，半径是 3 ．要使 PN PM 最大，需 PN 最大，且 PM 最小， PN 最大值为
4 ，故 an
4 3n 2
，
因为
a1
4 也适合上式，所以
an
4 3n
2
.
依题意，
an1an2
3n
16
1 3n
4
16 3
1 3n 1
1 3n
4
，
故 a2a3 a3a4
a21a22
16 3
1 4
1 7
1 7
1 10
1 10
1 13
1 61
1 64
16 3
1 4
1 64
5 4
.
故选：C.
点评：
本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于
基础题.
7．已知命题 p ：任意 x 4 ，都有 log2 x 2 ；命题 q ： a b ，则有 a2 b2 ．则下列命题为真命
题的是（
）
A． p q
B． p (q)
C． (p) (q) D． (p) q
t 2
1 2
.
故选 B.
点评：
本题考查了向量共线及向量运算知识，利用向量共线及向量运算知识，用基底向量向量来表示所求
向量，利用平面向量表示法唯一来解决问题.
5．已知空间两不同直线 、 ，两不同平面 ， ，下列命题正确的是（）
A．若 且 ，则 B．若 且 ，则
C．若 且 ，则 D．若 不垂直于 ，且 ，则 不垂直于
答案：A
x 2 0 可得集合 B ,求出补集 CRB ,再求出 A CRB 即可.
解：
由 x 2 0 ,得 x 2 ,即 B (2, ) ,
所以 CRB (, 2],
所以 A CRB (1, 2].
故选:A
点评：
本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.
2．已知复数 z (2 ai)i 是纯虚数，其中 a 是实数，则 z 等于（） 1i
所以 z 2i .
故选 A 项
点评： 本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题.
3．若θ是第二象限角且
sinθ= 12 13
，则
tan
4
=
A． 17 B． 7 C． 17 D． 7 7 17 7 17
答案：B
由θ是第二象限角且 sinθ= 12 知： cos 1 sin2 5 ， tan 12 ．
解：
∵双曲线 C 与 x2 y2 1 的渐近线相同，且焦点在 y 轴上， 4
∴可设双曲线 C 的方程为 y2 x2 1，一个焦点为 0,5 ， k 4k
∴ k 4k 25 ，∴ k 5 ，故 C 的标准方程为 y2 x2 1 . 5 20
故选：B 点评：
此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴 导致方程形式出错.
解：
结合题意可知 f x 为偶函数,且在0, 单调递减,故
f 2mx lnx 3 2 f 3 f 2mx lnx 3可以转换为
f 2mx lnx 3 f 3 对应于 x1,3恒成立,即 2mx lnx 3 3
即 0 2mx lnx 6 对 x1,3 恒成立
即 2m lnx 且2m 6 lnx 对 x1,3 恒成立
绝密★启用前
2020届宁夏石嘴山市第三中学高三一模考试数学（理）试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写
在答题卡上
一、单选题
1．已知实数集 R ，集合 A {x |1 x 3}，集合 B x | y
1 x
2
，则
A
CR
B
（）
A．{x |1 x 2} B．{x |1 x 3} C．{x | 2 x 3} D．{x |1 x 2}
查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：
①可以估计使用 app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计不足10% 的大学生使用 app 主要玩游戏； ③可以估计使用 app 主要找人聊天的大学生超过总数的 1 .
4
其中正确的个数为（）
A． 0 答案：C
B．1
C． 2
D． 3
根据利用 app 主要听音乐的人数和使用 app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①
的正误；计算使用 app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用 app 主要找人
聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论.
解：
使用 app 主要听音乐的人数为 5380 ，使用 app 主要看社区、新闻、资讯的人数为 4450 ，所以①
其中所有正确命题的序号是（）Biblioteka Baidu
A．①②③
B．②③④
C．①④
D．①②④
答案：D
①通过证明 AC 平面 OBD ，证得 AC BD ；②通过证明 MN / /BD ，证得 MN / / 平面 ABD ； ③求得三棱锥 A CMN 体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得 AD 与 BC 一定
不垂直.
答案：B
先分别判断命题 p, q 真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论.
解：
p 为真命题；命题 q 是假命题，比如当 0 a b ,
或 a=1，b 2 时，则 a2 b2 不成立.
则 p q ， (p) (q) ， (p) q 均为假.
故选:B 点评： 本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题.
x1 x2
x 1,3 上恒成立，则实数 m 的取值范围是（）
A．
1 2e
,1
ln6 6
B．
1 2e
,1
ln3 6
C．
1 e
,
2
ln3 3
D．
1 e
,
2
ln6 3
答案：B
结合题意可知 f x 是偶函数,且在 0, 单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数
与原函数的单调性关系,构造新函数 h x, g x ,计算最值,即可.
9．已知数列an满足 a1 4a2 7a3 3n 2 an 4n ，则 a2a3 a3a4 a21a22 （）
A． 5 8
B． 3 4
C． 5 4
D． 5 2
答案：C
利用 3n 2 an 的前 n 项和求出数列 3n 2 an 的通项公式，可计算出 an ，然后利用裂项法可
答案：C 因答案 A 中的直线 可以异面或相交，故不正确；答案 B 中的直线 也成立，故不正确；答 案 C 中的直线 可以平移到平面 中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面 互相垂直，是正确 的；答案 D 中直线 也有可能垂直于直线 ，故不正确。应选答案 C。
6．近年来，随着 4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的 app 相继出世，其功能也是 五花八门.某大学为了调查在校大学生使用 app 的主要用途，随机抽取了 56290 名大学生进行调
点评： 本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想象能力 和逻辑推理能力，属于中档题.
12．定义在 R 上函数 f x 满足 f x f x ，且对任意的不相等的实数 x1, x2 0, 有 f x1 f x2 0 成立，若关于 x 的不等式 f 2mx lnx 3 2 f 3 f 2mx lnx 3 在
AN
1t 2
AB
t 2
AC
，结合条
件即可得解.
解：
设 BM t BC ，
则有 AN 1 AM 1 AB BM 1 AB 1 t BC 1 AB t AC AB 1 t AB t AC .
2
2
22
22
2
2
又 AN AB AC ，
所以
1
2 t 2
t
，有
1t 2
A． 2i
B． 2i
C． i
D． i
答案：A
对复数 z 进行化简，由于 z 为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为 0，得到 a 的值，从而得到
复数 z . 解：
z
2 aii
1i
a 2i 1 i
a 2i1 i 1 i1 i
2
2
a
a
2
2
i
因为 z 为纯虚数，所以 2 a 0 ，得 a 2 2
13
13
5
所以
tan
4
tan tan45 1 tan tan45
7 17
．
4．设 M 是 ABC 边 BC 上任意一点，N 为 AM 的中点，若 AN AB AC ，则 的值为()
A．1 答案：B
B． 1 2
C． 1 3
D． 1 4
设
BM
t BC
，通过
AN
1 2
AM
，再利用向量的加减运算可得
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使 PN PM | 最大，需 PN 最大，且 PM
最 小 ， PN 最 大 值 为 PF 3, PM 的 最 小 值 为 PE 1 ， 故 PN PM 最 大 值 是
PF 3 PE 1 PF PE 4 ，再利用对称性，求出所求式子的最大值．
x
x
令 g x lnx ,则 g ' x 1 lnx 在1, e 上递增,在 e,3 上递减,
x
x
所以 g x 1
max e
令
h
x
6
lnx x
,
h
'
x
5 lnx x2
0
,在
1,
3
上递减
所以 h x min
6 ln3 3
.故
m
1 2e
,1
ln3 6
,故选
B.
点评：
本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函
点评：
本题考查利用 Sn 求 an ，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题. 10．已知圆 C1 ： (x 1)2 ( y 1)2 1 ，圆 C2 ： (x 4)2 ( y 5)2 9 ，点 M 、 N 分别是圆 C1 、
圆 C2 上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 PN PM 的最大值是（）
VN ACM
11 34
2 4
2， 48
故③错误；若 AD 与 BC 垂直，又因为 AB BC ，所以 BC ⊥平面 ABD ，所以 BC BD ，又 BD AC ，所以 BD 平面 ABC ，所以 BD OB ，因为 OB OD ，所以显然 BD 与 OB 不可
能垂直，故④正确. 故选：D
解：
设 AC 的中点为 O ，连接 OB,OD ，则 AC OB ， AC OD，又 OB OD O ，所以 AC 平
面 OBD ，所以 AC BD ，故①正确；因为 MN / /BD ，所以 MN / / 平面 ABD ，故②正确；当
平面 DAC 与平面 ABC 垂直时，VACMN 最大，最大值为VACMN
求出 a2a3 a3a4 a21a22 的值.
解：
a1 4a2 7a3 3n 2 an 4n.
当 n 1 时， a1 4 ；
当 n 2 时，由 a1 4a2 7a3 3n 2 an 4n ，
可得 a1 4a2 7a3 3n 5 an1 4n 1 ，
两式相减，可得 3n 2 an