集合与二元关系

集合与关系部分习题参考答案

习题三

3.1 （1）假（2）真（3）真（4）真（5）假（6）假（7）假（8）真（9）假（10）真3.2 (1)A∪B={1,2,3,5,7,9,11}

(2)A∩C={3}

(3)(A∪B)∩C={1,5,7,9,11}

(4)A－B={1,9}

(5)C－D={3,6,12}

(6)B⊕D ={3,4,5,7,8,11}

3.3 (1)A∪B={1,2,3,5,7,9,11} (2)A∩C={3} (3)(A∪B)∩C={1,5,7,9,11}

(4)A－B={1,9} (5)C－D={3,6,12} (6)B⊕D ={3,4,5,7,8,11} 3.4

(1)如下图

（2）

（3）

（4）

3.5

（1）)

P={∅,{∅}}

(A

（2）)

P={∅,{{1}},{1},{{1},1}}

(A

（3）)

P={∅,{∅},{{1}},{{2}},{{1,2}},{∅,{1}},{∅,{2}},{∅,{1,2}},

(A

{{1},{2}},{{1},{1,2}},{{2},{1,2}},{∅,{1},{2}},{∅,{1},{1,2}},{∅,{2},{1,2}} ,{{1},{2},{1,2}},A}

（4）

P={∅,{{1,1}},{{2,1}},{1,2,1},{{1,1},{2,1}},{{1,1},{1,2,1}},{{2,1},{1,2

(A

)

,1}},A}

3.6 原式=((A∪(B－C))∩A)∪(B－(B－A))

=A∪（A∩B）=A

3.7

（1）假。例如，A={1,2},B={1,3},C={2,3}不成立

（2）假。例如，A=∅, B={1},C={2}不成立

3．8

证明(A∪C)-(B∪C)=A-B-C。（原题有误，右式少了C）

证明：(A∪C)-(B∪C)= (A∪C) ∩C

B

=(A ∪C ) ∩C

B

=B

C C A ))((

=B C A

=C

B A --

3.9

（1）(A ∩B )-C =A ∩(B -C )，

右式

左式=-===)()(C B A C B A C B A

（2）A ∪(B -A )=A ∪B ，

右式

左式=====B A E B A A A B A A B A ))()()()(

（3）A -(A -B )=A ∩B ，

右式

左式=====B A B A A A B A A B A A )()()(()(

（4）A -(B -C )=(A -B )∪(A ∩C )，

右式

左式====)()()(()(C A B A C B A C B A

（5）(A ∪B )-C =(A -C )∪(B -C )，

右式

左式=--===)()()()())(C B C A C B C A C B A

（6）A ∪B =A ∪(B ∪(A ∩B ))。

吸收律）

右式

（右式())(===A B B A A B

3.10 设256|)(|,64|)(|,3||===B A P B P A 。求 |,||,|B A B |||,|B A B A ⊕-。 解：,1||,6||==B A B 7||,2||=⊕=-B A B A 。

3.11

解：假设会英、日、德和法语的人分别为A ，B ，C ，D ，则 |A|=13，|B|=5，|C|=10，|D|=9，|A ∩B| =2，|A ∩C|=|A ∩D|=|C ∩D|=4, |B ∩C|=|B ∩D|=0, 因B 只与A 相交，所以集合关系图如下，可知：只会日语的为|B| - |A ∩B|=5-2=3，根据图可计算： |A ∪C ∪D |=24 -3=21， 根据容斥原理：|A ∪C ∪D |=|A|+|D|+|C|-|A ∩C|-|A ∩D|-|C ∩D|+| A ∩C ∩D| 可知会三种语言的有： | A ∩C ∩D|=21-32+4+4+4=1 人

只会英语的：|A|-| A ∩B |- |A ∩C|- |A ∩D|+| A ∩C ∩D |=13-2-4-4+1= 4 人 只会德语的：|C|-| D ∩C |- |A ∩C|+| A ∩C ∩D|=10-4-4+1 = 3 人 只会法语的：|D|-| D ∩C |- |A ∩D|+| A ∩C ∩D|=9-4-4+1= 2 人 只会日语的: |B| - |A ∩B|=5-2=3人。

习题四

4.1 设A={a,b}，求

P(A)×A={<Φ,a>,<Φ,b>,<{a},a>,<{a},b>,<{b},a>,<{b},b>,<{a,b},a>,<{a,b},b>}

4.2 设A,B为集合，|A|=n,|B|=m。

（1）问A到B的二元关系共多少个？

2nm

（2）问A上二元关系共多少个？

2

2n

4.3 列出下列二元关系R的所有元素：

（1）A={0,1,2}，B={0,2,4}，R={|x,y∈A∩B}；

R={<0,0>,<0,2>,<2,0>,<2,2>}

（2）A={1,2,3,4,5}，B={1,2}，R={|2≤x+y≤4且x∈A且y∈B}；

R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}

（3）A={1,2,3}，B={-3,-2,-1,0,1}，R={| x∈A, y∈B且|x|=|y|}；

R={<1,1>,<1,-1>,<2,2>,<2,-2>,<3,3>,<3,-3>}

4.4 列出所有从X={a,b,c}到Y={d}的关系。

X ×Y ={ ,,}，X ×Y的所有子集为X到Y的关系，有8个，分别是：R1=Φ, R2={}, R3={}, R4={}, R5={,}, R6={,},

R7={,}, R8={,,}。