度量空间的列紧性与紧性

(2)必要性 ：设 是 的任一点列，取 ， ，因为 是全有界集，故 存在有限 网，记为 ．
以有限集 的各点为中心，以 为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了 ，从而覆盖了 ，于是至少有一个开球(记为 )中含有 的一个子列 ．
同样以有限集 的各点为中心，以 为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了 ，于是至少有一个开球(记为 )中含有 的一个子列 ．依次可得一系列点列：
注9：对于一般的度量空间：列紧集是全有界集；全有界集是有界集，有界集却不一定是全有界集，wenku.baidu.com有界集却不一定是列紧集．
例如：让 表示 上的有理数全体，在欧氏距离定义下，由于 ，所以 不是完备的度量空间、 不是列紧集．由于 ，存在正整数 ，使得 ，那么 是 的 网，所以 是全有界．
综上所述，紧集、列紧集、全有界集及有界集、可分集有如下的关系：
图4.1 是 的一个 网示意图
例如：全体整数集是全体有理数的0.6网；平面上坐标为整数的点集是 的0.8网．
图4.2整数集 是全体有理数 的0.6网示意图
定义1.4.3全有界集
设 是度量空间， ，如果对于任给的 ， 总存在有限的 网,则称 是 中的全有界集．
注5：根据定义可知 是 中的全有界集等价于 ， ,使得 ，其中 表示以 中心，以 为半径的开邻域．
证明(1)若 为紧空间，那么 本身为列紧集，而列紧集有界，故 为有界空间．
(2)若 为紧空间，即它的任何点列有收敛子列，从而知 中的基本列有收敛子列，根据基本列的性质(若基本列含有收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到子列的极限)，可得 中的基本列收敛，因此 为完备的空间．□
关于 维殴氏空间 中的列紧集、紧集的特性有如下定理．
紧集 列紧集 全有界集
紧集 列紧集 全有界集
定理1.4.6 中点集列紧的的充要条件
设 ，则 是列紧集的充要条件为以下两条成立．
(1) 一致有界： ， ，对任何 有 成立；
(2) 等度连续： ， ( 与 及 无关)，当 及 时， 有 ．
注意区别等度连续与映射的一致连续两个概念．
推论1.4.3阿尔采拉(Arzela)引理设 是 的一致有界且等度连续的函数族，则从 中必可选出在 上一致连续的子序列 ．
，即可得 ．
再由 为紧集知存在 ，使得 ( ),于是
令 ，有 ，因此 是 在 上取得的最大值．□
1.4.2
刻画列紧性的重要概念之一是全有界性，通过以下的讨论可知：(1)度量空间中的列紧集必是全有界集；(2)在完备度量空间中，列紧集和全有界集二者等价．
定义1.4.2 网
设 是度量空间， ，给定 ．如果对于 中任何点 ，必存在 中点 ，使得 ，则称 是 的一个 网．即
定理1.4.2设 ， 是 维殴氏空间，那么
(1) 是列紧集当且仅当 是有界集；
(2) 是紧集当且仅当 是有界闭集．
证明(1)必要性显然成立；利用闭球套定理可以证明：如果 是有界的无限集，则 具有极限点，从而可证充分性．
(2)由(1)易得．□
注4：由于 中的非空紧集 就是有界闭集，定义 上的连续函数具有最大与最小值，这一事实在度量(距离)空间中依然成立．首先说明连续映射将紧集映射为紧集．
反过来， 是有界集， 未必列紧．反例：空间 上的闭球 有界，而不是列紧集(见例1.1)．□
注2： 中的开区间 是列紧集，却不是紧集．(由于 中的有界数列必有收敛子列，所以 中的数列必有收敛子列，但 不是闭集，故列紧不紧．)
注3：自然数 不是列紧集．( 无界)
推论1.4.1(1)紧空间是有界空间；(2)紧空间是完备空间．
设 是度量空间， ，若 是全有界集，则(1) 是有界集；(2) 是可分集．
证明(1)设 是全有界集，取 ，由定义知， 及 ,使得
．
现令 ，则易知 ，可见 是有界集．
(2)设 是全有界集，下证 有可列的稠密子集．
由引理1.4.2知对于 ( )，存在 ，使得 ，下面证明 是 的稠密子集．
， ，存在 ，使得 ，由于 是 的 网，故 ，使 ，从而， ，即 在 中稠密，显然 是可列集，故 可分．□
例1.4.3设 为紧的度量空间， 是 的闭子集，证明 是紧集．(2-21)
证明1由于 是闭子集，所以只需证明 是列紧集．设 是 的一个点列，显然 ，又知 是紧的度量空间，于是 存在收敛于 的子列 ，即 是列紧集．□
证明2由于 是列紧集，且列紧集的子集是列紧集，所以 是列紧集．又知 是闭子集，因此 是紧集．□
(2)若 是完备的度量空间，则 是列紧集当且仅当 是全有界集．
证明(1)因为列紧集中的任何点列都有收敛子列，故它必是基本子列，由上述定理1.4.5知 是全有界集；
(2)必要性 ：由(1)知，度量空间中的列紧集一定是全有界集．
充分性 ： ，因为 是全有界集，所以 含有基本子列 ，又知 完备，于是 在 中收敛，可见 的任何点列都有收敛 的子列，即 是列紧集．□
1.4度量空间的列紧性与紧性
1.4.1
在微积分中，闭区间上的连续函数具有最大值、最小值、一致连续等，这些性质的成立基于一个重要的事实： 的紧性，即有界数列必有收敛子列．但这一事实在度量空间中却未必成立．
例1.4.1设 ，对于 ，定义
，
令 ，那么 是有界的发散点列．
证明由于
所以 为有界点列．对于任意的 ，有
引理1.4.2 是度量空间 的全有界集当且仅当 ， ,使得 ．
证明当 是全有界集时， ， ,使得 ．不妨设 有 ，选取 ，显然 以及 ，因此
．□
注6：在 中，不难证明全有界集与有界集等价，那么在一般的度量空间中这样的结论成立吗？还是只在完备的度量空间中成立？下面给出有界集和全有界集的关系．
定理1.4.4全有界集的特性
定理1.4.7设 ，则 是列紧集的充要条件为以下两条成立．
(1) 一致有界： ， ，有 ；
(2) 等度连续： ， ， ，有 ．
例1.4.2设 为离散的度量空间， ，证明： 是紧集的充要条件为 是有限点集．(2-18)
证明(1)充分性 ：设 是有限点集，则 必为闭集，又无点列，故为紧集．
(2)必要性 ：反证法．假设 为无限点集，则必有可列子集 ，且 种元素各不相同，不妨设为 ，当 时，根据离散度量空间中距离的定义知 ，从而 无收敛子列，这与 的紧性矛盾，故 必为有限集．□
，
即 是闭集．□
定理1.4.3最值定理
设 是度量空间 中的紧集， 是定义在 上的实值连续函数(泛函)，即 ，那么 在 上取得最大值与最小值．
证明设 ，由上述引理知 是 中的紧集．所以 是 中的有界集，于是上、下确界存在，设
， ．
下证 是 在 上取得的最大值，同理可证 是 在 上取得的最小值．由确界性的定义知， ， ，使得
因此 不是基本列，当然不是收敛列．□
定义1.4.1列紧集、紧集与紧空间Sequentiallycompactset,Compactset,Compactspace
设 是度量空间， ．
(1)如果 中任何点列都有收敛于 的子列，则称 为列紧集(或致密集、或相对紧集)；
(2)如果 是列紧集，也是闭集，则称 为紧集；
引理1.4.1设 是从度量空间 到 上的连续映射(称为算子)， 是 中的紧集，那么 是 中的紧集．
证明设 ，首先证明 是 中的列紧集．
， ，使得 ， ．由于 是紧集，所以点列 存在收敛的子列 ，且 ，又知 是 上的连续映射，于是
．
即 有收敛于 的子列 ，因此 为 中的列紧集．
再证 是闭集．设 ， ，根据 的紧性和连续映射 可得，对应的点列 ( )存在收敛的子列 ， ．从而
注10：在离散的度量空间中， 是紧集 是有限点集．
在 维欧氏空间 中， 是紧集 是有界闭集．
在完备度量空间中， 是紧集 是全有界闭集．
紧的度量空间的闭子集是紧集．完备的度量空间的闭子集是完备的．
(3)如果 本身是列紧集(必是闭集)，则称 为紧空间．
注1：若 是 的列紧集， 且 ，那么 ？若 是 的紧集， ？．
定理1.4.1设 是度量空间，下列各命题成立：
(1) 的任何有限集必是紧集；
(2)列紧集的子集是列紧集；
(3)列紧集必是有界集，反之不真．
证明(1)、(2)易证．下面仅证(3)．
假设 是列紧集，但 无界．取 固定，则存在 ，使得 ．对于 ，必存在 ，使得 、 ．由于 是无界集，可依此类推得到 的点列 满足：只要 ，就有 ．显然点列 无收敛子列，从而 不是列紧集导致矛盾，故 是有界集．
： ．
： ．
．
： ．
且每一个点列是前一个点列的子列，取对角线元素作为 的子列，即
是 的子列．下证 是基本列．
，取 ，使得 ，那么当 时，不妨设 ，则有 ，记开球 的中心为 ，那么有
，
故 是 的基本子列．□
推论1.4.2豪斯道夫(Hausdorff)定理设 是度量空间， ．
(1)若 是列紧集，则 是全有界集；
注7：由上述定理知全有界集一定是有界集，然而有界集却不一定是全有界集．
例如全体实数对应的离散度量空间 中的子集 是有界集，却不是全有界集．
定理1.4.5全有界的充要条件
设 是度量空间， ，则 是全有界集当且仅当 中的任何点列必有基本子列．
证明(1)充分性 ：反证法．若 不是全有界集，则存在 ， 没有有限的 网，取 ，再取 ，使 ，(这样的 存在，否则 为 的 网)．再取 ，使 ， (这样的 存在，否则 为 的 网)．以此类推，可得 ，而 没有基本子列，产生矛盾，故 是全有界集．