1992年数学建模联赛试题 (4)
数学建模试题(带答案)四
数学建模部分课后习题解答1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 解：模型假设（1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即从数学角度来看，地面是连续曲面。
这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件（3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
为了保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。
因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。
模型建立在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。
首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。
生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。
然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。
于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。
把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。
于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。
为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。
设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。
椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角）0（πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。
当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。
由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。
【全国大学生数学建模竞赛获奖优秀论文作品学习借鉴】1992年A题 施肥效果分析
K 施肥量
(kg/ha) 0 47 93 140 186 279 372 465 558 651
产量
(t/ha) 18.98 27.35 34.86 38.52 38.44 37.73 38.43 43.87 42.77 46.22
K 施肥量
(kg/ha) 0 47 93 140 168 279 372 465 554 651
N 施肥量
(kg/ha) 0 28 56 84 112 168 224 280 336 392
产量
(t/ha) 11.02 12.70 14.56 6.17 17.25 22.59 21.63 19.34 16.12 14.11
P 施肥量
(kg/ha) 0 24 49 73 98 147 196 245 294 342
产量
(t/ha) 15.75 16.76 16.89 16.24 17.56 19.20 17.97 15.84 20.11 19.40
１９９２ 年题 Ａ 施肥效果分析
某地区作物生长所需的营养素主要是氮(N),磷(P),钾(K) 某作物研究所在该地区对土豆 与生菜作乐一定数量的实验 实验数据如下列表格所示 其中 ha 表示公顷 t 表示吨 kg 表示公斤 当一个营养素的施肥量变化时 总将另二个营养素的施肥量保持在第七个水平上 如对土豆产量关于 N 的施肥量做实验时 P 与 K 的施肥量分别取为 195kg/ha 与 372kg/ha
试分析施肥量与生产量之间关系 并队所得结果从应用价值与如何改进等方面作出估 价
土豆:
生菜
Nห้องสมุดไป่ตู้施肥量
(kg/ha) 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
全国初中数学联赛试题-1992年
1992年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1.满足│a－b│＋ab＝1的非负整数对(a，b)的个数是( )Ａ.１Ｂ.２Ｃ.３Ｄ.４2.若x0是一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)的根，则判别式△＝b2－4ac 与平方式M＝(2ax0＋b)2的关系是( )Ａ.△〉M Ｂ.△＝M Ｃ.△〈M Ｄ.不确定3.若x2－13x＋1＝0，则x4＋x-4的个位数字是( )Ａ.１Ｂ.３Ｃ.５Ｄ.７─4.在半径为１的圆中有一内接多边形，若它的边长皆大于１且小于√2，则这个多边形的边数必为( )Ａ.７Ｂ.６Ｃ.５Ｄ.４6.在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆。
若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S1，把圆周经过的所有S1小方格的圆外部分的面积之和记为S2，则─的整数部分是( )S2Ａ.０Ｂ.１Ｃ.２Ｄ.３8.设x1，x2，x3，...，x9均为正整数，且x1〈x2〈...〈x9，x1＋x2＋...＋x9＝220，则当x1＋x2＋...＋x5的值最大时，x9－x1的最小值是( )Ａ.８Ｂ.９Ｃ.１０Ｄ.１１二、填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm，腰上的中线等于15cm，则这个等腰三角形的面积等于。
────────√1＋x2＋x4－√1＋x42.若x≠0，则────────────的最大值是。
x3.在△ABC中，∠C＝90°，∠A和∠B的平分线相交于P点，又PE⊥AB于E点，若BC＝2，AC＝3，则AE.EB＝。
1 1 1 b 3 a 34.若a，b都是正实数，且─－─－──＝0，则─＋─＝a b a＋b a b第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2－6x＋a＝0的两根，当这样的三角形只有一个时，试求a的取值范围。
三、某个信封上的两个邮政编吗M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：Ａ：320651 Ｂ：105263 Ｃ：612305 Ｄ：316250已知编码A、B、C各恰有两个数字的位置与M和N相同，D恰有三个数字的位置与M和N相同，试求M和N。
1992第九届全国初中数学联赛(精品)
1992第九届全国初中数学联赛第一试一、选择题本题共有8个题，每小题都给出了A ．B ．C ．D ．四个结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．1．满足||1a b ab ++=的非负整数()a b ，的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．若0x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=-与平方式20(2)M ax b =+ 的关系是（ ）A ．M ∆>B ．M ∆=C ．M ∆<D ．不确定 3．若21310x x -+=，则44x x -+的个位数字是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．74．在半径为1的圆中有一内接多边形，若它的边长皆大于1，则这个多边形的边数必为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．45．如图，正比例函数y x =和(0)y ax a =>的图像与反比例函数(0)ky k x=>的图像分别相交于A 点和C 点．若Rt AOB △和COD △的面积分别为1S 和2S ，则1S 与2S 的关系是（ ）A ．12S S >B ．12S S =C ．12S S <D ．不确定6．在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为2S ，则12SS 的整数部分是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 7．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB CD =，60A ∠=︒，又E 是底边AB 上一点，且FE FB AC ==，FA AB =．A ．1:2B ．1:3C ．2:5D ．3:108．设2x ，2x ，3x ，…，9x 均为正整数，且129x x x <<<，129220x x x +++=，则当12345x x x x x +++++的值最大时，91x x -的最小值是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11二、填空题1．若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ，腰上的中线等15cm ，则这个等腰三角形的面积等于__________． 2．若0x ≠的最大值是__________．3．在ABC △中，90C ∠=︒，A ∠和B ∠的平分线相交于P 点，又PE AB ⊥于E 点，若2BC =，3AC =，则AE AB ⋅=_________．4．若a ，b 都是正实数，且1110a b a b --=+，则33b a a b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________．FC ED B第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程260x x a -+=的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围．二、如图，在ABC △中，AB AC =，D 是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且2BED CED A ∠=∠=∠． 求证：2BD CD =．三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ．320651B ．105263C ．612305D ．316250已知编码A ，B ，C ，D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同．D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同．试求：M 和N ．1992第九届全国初中数学联赛答案一、选择题1．C【解析】 由||1(10)0a b ab -=⎧⇒⎨=⎩，，(01)，，又由||0(11)1a b ab -=⎧⇒⎨=⎩，，，共有3对． 故选C ．【点评】 这道题目比较简单，非负整数的信息就决定了只有两种情况，分情况讨论就可以了，大家需要注意的就是保证准确，提高速度．2．B【解析】 设0x 是方程的根，则200ax bx c ++=． 所以2222000(2)44ax b a x abx b +=++ 22004()4a ax bx c b ac =+++- 24b ac =-．故选B ．【点评】 这是一道涉及到一元二次方程的简单题目，只需要把根带入，同时利用平方和公式把所求得M 通过拆分和配凑化成所需要的形式就可以了．3．D 【解析】 由21310x x -+=知0x ≠，所以113x x -+=，222133167x x -+=-=， 4421672x x -+=-．从而4421672x x -+=-的个位数字为927-=． 故选D ．【点评】 这道题目也比较简单，主要用到的就是配方的技巧，由此可见，同学们一定要对平方和公式AB CD E以及配方的技巧多多练习，增加熟练度，这样在考场上才能提高速度．4．C【解析】 若满足条件的多边形的边数大于或等于6，则至少有一边所对的圆心角不大于60︒．由余弦定理知该边长必不大于1故选C ．【点评】 这道题考查的主要是圆的内接多边形的性质，或者更进一步说，是弦长和圆心角的关系，熟悉这种情况的话，相信大家很快就能作出答案．5．B 【解析】 设A 点的坐标为11()x y ，，C 点的坐标为22()x y ，，则1122x y x y k ==．∴11122211112222S OB AB x y x y OD CD S =⋅===⋅=．故选B ．【点评】 这道题目比较简单，只需要把交点的坐标设出来，利用题目给出的关系列出式子，问题就迎刃而解了．6．B【解析】 据正方形的对称性，只需考虑它的14部分即可，记圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和为1S '，圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和为2S '，则 14π8S '=-，2154πS '=-． ∴112244π8 4.564154π 2.44S S S S '-==≈'-． 故12SS 的整数部分是1． 故选B ． 【点评】 这道题目也不难，关键是利用对称性，可以简化运算，这一点大家要注意，做题的时候也要有意识的利用对称性，这样可以提高做题速度．7．B 【解析】 设1CD =，则2FA AB ==，易证112BC AB ==，90ABC ∠=︒，FE FB AC ==∵ABF FBE △∽△，AB BFBF BE=，232BF BE AB ==， 于是12AE =，所以:1:3AE EB =．故选B ．【点评】 这道题目并不难，只是比较麻烦，边角的关系比较多，在这种情况下，令1CD =是一种很有效的简化手段，接下来，只要足够耐心细致，很快就可以作出解答． 8．B 【解析】 ⑴先证125110x x x +++≤．若不然，设125110x x x +++>，则525x ≥．从而626x ≥，727x ≥，828x ≥，929x ≥．于是129220x x x +++>．与假设矛盾．⑵若取120x =，221x =，322x =，423x =，524x =，则所以当125x x x +++取得最大值时，1x 最大的值是20．⑶若取627x =，727x =，828x =，929x =，则6789110x x x x +++=所以，当125x x x +++取得最大值时，9x 最小的值是29．因此91x x -的最小值是29209-=．【点评】 这道题目涉及整数和不等式，应该说有一定的难度，首先猜得前五个数之和为仍小于总和的一半110，证实以后，通过尝试，得出取极值的情况，最终得出结论．总之，解这种题目的办法就是大胆的假设，小心地求证．二、填空题1．2144cm 【解析】 如图1，在ABC △中，设AB AC =，AD BC ⊥，AM MC =，则18cm AD =，15cm BM =．又设AD 与BM 相交于G ，则是ABC △的重心．∴16cm 3GD AD ==，210cm 3BG BM ==，∴8cm BD =∴21144cm 2ABC S BC AD =⋅=△．【点评】 这道题目对同学们来说应该非常简单，主要就是考察三角形重心的性质，相信大家很快就可以求解．2【解析】所以当10x x =>=【点评】 这道题目不难，主要用到了分子有理化和配方的技巧，只要大家耐心细致，作出正确的答案并不成问题．3．3 【解析】 如图2，作PD AC ⊥于D ，PF BC ⊥于F ，则：(11()522CD CF AC BC AB ==+-=，)112AD AC CD =-=+，)112BF BC CF =-=，∴3AE EB AD BF ⋅=⋅=【点评】 这道题目并不困难，看到角平分线，很显然的就想到做出P 点到AC 和BC 两边的垂线，接下来问题就迎刃而解了，只是大家在计算的时候一定要细心．4．【解析】 ∵1110a b a b --=+，即1b a a b -=，而b a a b +=．∴33333b a b a b a b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-⋅+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点评】 这道题目有一定的难度，除了考二次配方，还考到了三次配方的技巧，所以要求同学们对与低次多项式要增加熟悉．第二试一、【解析】 设方程260x x a -+=有两个正根1x ，2x ，且12x x ≤，且13x =23x =+09a <≤．⑴当12x x =时，符合条件 三角形只有一个，所以12()x x =为边的等边三角形，这时330=，∴9a =．⑵当122x x ≤时，符合条件三角形也只有一个，它以2x 为腰1x 为底，这时63-8a ≤．故符合条件 三角形只有一个时，a 的取值范围是08a <≤或9a =．【点评】 本题先用求根公式求出两条边的长度，再利用三角形的三边关系定理，当122x x ≤时三角形是唯一的．值得注意的是不要漏掉等边三角形这种情况．二、【解析】 证法1：如图3，延长AD 交ABC △的外接圆于F ．连CF ，BF ，则BFA BCA ABC CFA ∠=∠=∠=∠，即BFD CFD ∠=∠． 于是::BD DC BF FC =． 在ABC △和EBF △中，∵BAC BEF ∠=∠，ACB EFB ∠=∠， ∴ABC EBF EFB ∠=∠=∠． 因此EB EF =．作BEF ∠的平分线EG 交BF 于G ，则BG GF =．∵12GEF BEF CEF ∠=∠=∠，GFE CFE ∠=∠，EF EF =，∴EFG EFC △≌△，GF CF =． 从而2BF FC =所以2BD CD =．证法2：如图4，作DF CA ∥交AB 于F ．在BC 上取点G ，使BG DC =． 分别连接AG ，FG ∵DF CA ∥，∴FBD ABC △∽△，∴BFD BAC ∠=∠，FB FD =，∵AB AC =，ABG ACD ∠=∠，BG DC =，∴ABG ACD △≌△，AG AD =，FAG EAC ∠=∠．又∵ABE BED BAE BAC BAE EAC FDA ∠=∠-∠=∠-∠=∠=∠， 而BAE BAE ∠=∠， ∴ABE ADF △∽△． ∴::AF AD AE AB =．即::AF AG AE AC =，又∵FAG EAC ∠=∠， ∴FAG EAC △∽△，AFG AEC ∠=∠．从而111222BFG DEC BED BAC BFD ∠=∠=∠=∠=∠．∴FG 是等腰三角形BFD 顶角平分线，因而也是底边BD 上的中线，即BG GD =． 所以22BD BG DC ==．【点评】 这是一道比较难的几何题，所给的条件不是很容易联系在一起，在所给的证法中第一种是做外接圆的方法，这种方法一般不容易被注意，因为题中的已知没有给出任何关于外接圆的条件，但这种方法可以利用圆很多很好的性质，往往可以解出问题．三、【解析】 对于编码M ，考虑编码A 中恰有两个数位上的数字与M 中相应数位上的数字相同．设这两位是1x ，2x 数位．由于B ，C 中该两数位上的数字均与A 在这两数位上的数字不同，因此，B ，C 中这两位数上的数字必与M 中这两数位上的数字不同，于是B 中与M 中数字相同的数位必异于1x ，2x ．不妨设为3x ，4x ；同理C 中与M 中数字相同的数位只能是异于1x ，2x ，3x ，4x 的5x ，6x 两位．关于N 也有类似的结论．这就是说，在每个数位上，A ，B ，C 分别在该数位上的数字中，必有一个与M 在该数位上的数字相同；同样地，也必有一个与N 在该数位上的数字相同．由此知，D 中的6，0两数字必不是M ，N 在相应数位上的数字，于是D 的3，1，2，5中只有一个数字与M 在相应数位上的数字不同，与N 相比较她有类似的结果． ⑴若3不对，则有610253，013256 ⑵若1不对，则有360251，301256 ⑶若2不对，则有312056，310652 ⑷若5不对，则有310265，315206经检验知：该信封上编码M ，N 或者同为610253，或者同为310265．或者一个是610253，另一个是310265． 【点评】 这是一道很灵活的题目，它没有涉及到什么高深的数学思想，但是它可以考察考生的逻辑思维能力，是一道很好的题目．。
数模 国赛题目 1992-2010
1992年 (A) 施肥效果分析问题(北京理工大学：叶其孝） (B) 实验数据分解问题（华东理工大学:俞文此; 复旦大学：谭永基） 1993年 (A) 非线性交调的频率设计问题（北京大学：谢衷洁） (B西安电子科技大学：何大可） (B) 锁具装箱问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1995年 (A) 飞行管理问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (B) 天车与冶炼炉的作业调度问题（浙江大学：刘祥官,李吉鸾） 1996年 (A) 最优捕鱼策略问题（北京师范大学：刘来福） (B) 节水洗衣机问题（重庆大学：付鹂） 1997年 (A) 零件参数设计问题（清华大学：姜启源） (B) 截断切割问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） 1998年 (A) 投资的收益和风险问题（浙江大学：陈淑平） (B) 灾情巡视路线问题（上海海运学院：丁颂康）
四项题
1999年 (A) 自动化车床管理问题（北京大学：孙山泽） (B) 钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） (C) 煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰） (D) 钻井布局问题（郑州大学：林诒勋） 2000年 (A) DNA序列分类问题（北京工业大学：孟大志） (B) 钢管订购和运输问题（武汉大学：费甫生） (C) 飞越北极问题（复旦大学：谭永基） (D) 空洞探测问题（东北电力学院：关信） 2001年 (A) 血管的三维重建问题（浙江大学：汪国昭） (B) 公交车调度问题（清华大学：谭泽光） (C) 基金使用计划问题（东南大学：陈恩水） (D) 公交车调度问题（清华大学：谭泽光） 2002年 (A) 车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (B) 彩票中的数学问题（解放军信息工程大学：韩中庚） (C) 车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此） (D) 赛程安排问题（清华大学：姜启源） 2003年 (A) SARS的传播问题（组委会） (B) 露天矿生产的车辆安排问题（吉林大学：方沛辰） (C) SARS的传播问题（组委会） (D) 抢渡长江问题（华中农业大学：殷建肃） 2004年 (A) 奥运会临时超市网点设计问题(北京工业大学：孟大志) (B) 电力市场的输电阻塞管理问题(浙江大学:刘康生) (C) 酒后开车问题（清华大学：姜启源） (D) 招聘公务员问题（解放军信息工程大学：韩中庚） 2005年 (A) 长江水质的评价和预测问题（解放军信息工程大学：韩中庚） (B) DVD在线租赁问题(清华大学:谢金星等) (C) 雨量预报方法的评价问题(复旦大学:谭永基) (D) DVD在线租赁问题(清华大学:谢金星等) 2006年 (A) 出版社的资源配置问题(北京工业大学：孟大志) (B) 艾滋病疗法的评价及疗效的预测问题（天津大学：边馥萍） (C) 易拉罐的优化设计问题（北京理工大学：叶其孝） (D) 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题（解放军信息工程大学：韩中庚） 2007年 (A) 中国人口增长预测 (B) 乘公交，看奥运 (C) 手机“套餐”优惠几何 (D) 体能测试时间安排 2008年 （A）数码相机定位， （B）高等教育学费标准探讨， （C）地面搜索， （D）NBA赛程的分析与评价 2009年 （A）制动器试验台的控制方法分析 （B）眼科病床的合理安排 （C）卫星和飞船的跟踪测控 （D）会议筹备 2010年 （A）储油罐的变位识别与罐容表标定 （B）2010年上海世博会影响力的定量评估 （C）输油管的布置 （D）对学生宿舍设计方案的评价
11522-数学建模-1992年B题《实验数据分解》题目、论文、点评
1992年B题《实验数据分解》题目、论文、点评
离散模型, 组合最优化
题目：1992年B题实验数据分解.pdf (13.31 KB)
出题人：复旦大学：谭永基，华东理工大学:俞文此
主要建模方法：离散模型、组合最优化
优秀论文：1、《蛋白质氨基酸的组合问题》
作者：程龙; 张云军; 赵蕊; 胡云芳; 龙永红;
学校：中国人民大学
论文摘要：试题 B 要求参赛者给出模型测定,给定分子量的某一蛋白质的氨基酸组成,这是一个组合问题.文章首先给出了一般的多元线性方程模型,测试结果表明当 X=1000时,解的个数为28268个.而实际蛋白质的分子量均在5000以上,因此文章对一般模型加入补充信息和约束条件,给出模型 A、B、C 和 D.考虑到不拥有微机的情况,加强了补充信息和约束条件,给出了模型 E 和 F.文章还对每一个模型都选取了一组或多组数据进行测试,并对测试结果,主要是解的个数与运行时间作了分析。
从整体结构上,文章划分为三部分.第一部分是建立模型前的准备,包括问题重述,问题分析,假设条件和符号约定;第二部分是文章的主体,详细阐述了最一般模型及改进模型 A 至F 的建立,数据测试和结果分析;第三部分是建立模型的善后工作,包括对模型进一步推广和改进的设想,模型误差分析
和优缺点分析.
论文下载：蛋白质氨基酸的组合问题.pdf (532.66 KB)
专家点评：《关于“蛋白质氨基酸的组合问题”的评注》
作者：韩继业中国科学院应用数学研究所
点评下载：关于_蛋白质氨基酸的组合问题_的评注.pdf (143.91 KB)。
1992 年加拿大数学竞赛试题
所有 U 及 V 的位置, 使得四邊形 P UQV 之面積為最大。
4. 5.
試解方程式 x2 +
x2 = 3。 (x + 1)2
假定一副牌由一張百搭 (Joker) 及其他 2n 張牌組成, 而對 1, 2, . . . , n 中之每一個數 k
均有兩張牌的號碼是 k。 今欲將此 2n + 1 張牌排成一列, 滿足下述條件: 百搭在當中, 而對任 意整數 k (1 ≤ k ≤ n), 在兩張號碼為 k 的牌中間恰好有 k − 1 張牌。 (a) 試求出所有使這種排列可能之 n (n ≤ 10) 之值。 (b) 對那些 n 之值所求之排列為不可能? —本文譯者任教於加拿大滑鐵盧之 Wilfrid Laurier 大學並為加拿大數學競賽委員會之會員—
1992 年加拿大數學競賽試題
王子俠譯
1. 試證 1 × 2 × . . . × n 能被 1 + 2 + . . . + n 整除之充分且必要條件為: n + 1 不為奇質數。 2. 設 x, y, z 為非負實數。 試證不等式 x(x − z)2 + y(y − z)2 ≥ (x − z)(y − z)(x + y − z) 並決定出等號成立பைடு நூலகம்情形。 3. 在附圖中,ABCD 為一正方形。U及V 分別表在邊 AB 及 CD 上之任意內點。 試決定出
1
1992年全国高中数学联赛试题及解答
f m －1(x)= y
m －1
－C
1 m －3 i －1 +…+(－1) m －2y
C
Cm2 －1
2
④
用 y 乘③减去④，同上合并，并注意最后一项常数项为
m －1 m －1 m －1 2 m +1 m +1
－(－1)
2
Cm 2 －1 =－(－1)
2 m +1 2
C m2+1=(－1) 2 ．
2
于是得到 yfm (x)－f m －1(x)=y
Σ
k=1
80
1
80 80 1 <1+2 ( k－ k －1)即 16< <1+2( 80－1)<1+2(9－1)=17． k k=1 k=1 k
Σ
Σ
四、(20 分)设 l，m 是两条异面直线，在 l 上有 A ，B ，C 三点，且 AB=BC，过 A ，B ，C 分别作 m 的垂线 7 AD，BE ，CF ，垂足依次是 D，E ，F ，已知 AD= 15，BE= CF= 10，求 l 与 m 的距离． 2 解：过 m 作平面 α∥l，作 AP ⊥α 于 P ，AP 与 l 确定平面 β，β∩α=l ，l ∩m=K． 作 BQ⊥α，CR ⊥α，垂足为 Q、 R ，则 Q、 R ∈l，且 AP=BQ=CR=l 与 m 的距离 d． 连 PD、QE 、RF ，则由三垂线定理之逆，知 PD、QE 、RF 都⊥m． 49 －d2 ，RF= 10－d2 ． 4 当 D、E 、F 在 K 同侧时 2QE=PD+RF ， PD= 15－d2 ，QE=
2 2 2
l
C
B
A
1992—2008年全国大学生数学建模竞赛获奖论文
1992—2008年全国大学生数学建模竞赛获奖论文序号年份试题名称11992A题施肥效果分析（论文下载地址）B题试验数据分解（论文下载地址）21993A题非线性交调的频率设计（论文下载地址）B题足球队排名次（论文下载地址）31994A题逢山开路（论文下载地址）B题锁具装箱（论文下载地址）41995A题一个飞行管理问题（论文下载地址）B题天车与冶炼炉的作业调度（论文下载地址）51996A题最优捕鱼策略（论文下载地址）B题节水洗衣机（论文下载地址）61997A题零件的参数设计（论文下载地址）B题截断切割（论文下载地址）71998A题投资的收益和风险（论文下载地址）B题灾情巡视路线（论文下载地址）81999A题自动化车床管理（论文下载地址）B题钻井布局（论文下载地址）C题煤矸石堆积（论文下载地址）D题钻井布局（论文下载地址）92000B题钢管订购和运输（论文下载地址）C题飞跃北极（论文下载地址）D题空洞探测（论文下载地址）102001A题血管的三维重建（论文下载地址）B题公交车调度（论文下载地址）C题基金使用计划（论文下载地址）D题公交车调度（论文下载地址）112002A题车灯线光源的优化设计（论文下载地址）B题彩票中数学（论文下载地址）C题车灯线光源的计算（论文下载地址）D题赛程安排（论文下载地址）122003A题 SARS的传播（论文下载地址）B题露天矿生产的车辆安排（论文下载地址）C题 SARS的传播（论文下载地址）D题抢度长江（论文下载地址）132004A题奥运会临时超市网点设计（论文下载地址）B题电力市场的输电阻塞管理（论文下载地址）C题饮酒驾车（论文下载地址）D题公务员招聘（论文下载地址）142005A题长江水质的评价和预测（论文下载地址）B题 DVD在线租赁（论文下载地址）C题雨量预报方法的评价（论文下载地址）152006A题出版社的资源配置（论文下载地址）B题艾滋病疗法的评价及疗效的预测（论文下载地址）C题易拉罐形状和尺寸的最优设计（论文下载地址）D题煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制（论文下载地址）162007A题中国人口增长预测（论文下载地址）B题乘公交，看奥运（论文下载地址）C题手机“套餐”优惠几何（论文下载地址）D题体能测试时间安排（论文下载地址）172008A题数码相机定位（论文下载地址【1】【2】）B题高等教育学费标准探讨（下载地址【1】【2】）C题地面搜索（论文下载地址）D题 NBA赛程的分析与评价（论文下载地址）。
1992年全国初中数学竞赛试题及答案(修正版)
O AB C D x y1992年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题本题共有8个题，每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的，请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内1. 满足 |a －b |＋ab ＝1的非负整数（a ，b ）的个数是（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 42. 若x 0是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根，则判别式δ＝b 2－4ac 与平方式M ＝(2ax 0＋b )2的关系是（ ）(A) δ＞M (B) δ＝M (C) δ＜M (D) 不确定3. 若x 2－13x ＋1＝0，则x 4＋x -4的个位数字是（ ）(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 74. 在半径为1的圆中有一内接多边形，若它的边长皆大于1且小于2，则这个多边形的边数必为（ ）(A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 45. 如图，正比例函数y ＝x 和y ＝ax （a ＞0）的图像与反比例函数y ＝k x（k ＞0）的图像分别相交 于A 点和C 点，若Rt △AOB 和△COD 的面积分别为S 1和S 2，则S 1与S 2的关系是（ ）(A) S 1＞S 2 (B) S 1＝S 2(C) S 1＜S 2 (D)不确定6. 在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S 1，把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S 2，则21S S 的整数部分是（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3A B C D EF 7. 如图,在等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ＝2CD ，∠A ＝60°，又E 是底边AB 上一点，且FE ＝FB ＝AC ，F A ＝AB ，则AE :EB 等于（ ）(A) 1:2 (B) 1:3 (C) 2:5 (D) 3:108. 设x 1，x 2，x 3，…… x 9均为正整数，且x 1＜x 2＜x 3＜……＜x 9, x 1＋x 2＋x 3＋……＋x 9＝220则当x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的值最大时，x 9－x 1的最小值是（ ）(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11二、填空题1. 若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ，腰上的中线等15cm ，则这个等腰三角形的面积等于________________2. 若x ≠0，则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3. 在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 和∠B 的平分线相交于P 点，又PE ⊥AB 于E 点，若BC ＝2，AC ＝3，则AE •EB ＝ .4. 若a ，b 都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab .A B C D E第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x 2－6x ＋a ＝0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且∠BED ＝2∠CED ＝∠A求证：BD ＝2CD三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同，D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同试求：M 和N1992全国初中数学联合竞赛试卷答案第一试一．选择题1.(C) 由⎩⎨⎧==-01ab b a ⇒(1,0)(0,1). 又由⇒⎩⎨⎧==-1,0ab b a (1,1).∴共有3对.2.(B)设0x 是方程的根,则0020=++c bx ax .所以202022044)2(b abx x a b ax ++=+ac b c bx ax a 4)(42020-+++=ac b 42-=.3.(D)由01132-+-x x 知0≠x .所以131=+-x x ,167213222=-=+-x x .2167244-=+-x x ,从而42-+x x 的个位数字为9－2＝7.4.(C)若满足条件的多边形的边数大于或等于6,则至少有一边所对的圆心角不大于60°.由余弦定理知该边长必不大于1;同理,若存在满足条件的四边形,则它至少有一边长不小于2.5.(B)设A 点的坐标为(11,y x ),C 点的坐标为(22,y x ),则k y x y x ==2211. ∴22211121212121S CD OD y x y x AB OB S =⋅===⋅=.6.(B)据正方形的对称性,只需考虑它的41部分即可.记圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和为1'S ，圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和为2'S ，则841'-=πS ，π4152'-=S .∴ 44.256.44158444212'1'≈--==ππS S S S . 故21S S 的整数部分是1.7.(B)设1=CD ,则2==AB FA ,易证121==AB BC , 90=∠ABC , 3===AC FB FE .∵△ABF ∽△FBE∴AB BF ＝BF BE ，BE ＝BF 2AB ＝32于是AE ＝12，所以AE ∶EB ＝1∶38.（B ）（1）先证x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5≤110，则x 5≥25从而x 6≥26，x 7≥27，x 8≥28，x 9≥29，于是x 1＋x 2＋x 3＋……＋x 9＞220与假设矛盾.（2）若取x 1＝20，x 2＝21，x 3＝22，x 4＝23，x 5＝24，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝110.所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5当取得最大值时，x 1最大的值是20（3）若取x 6＝26，x 7＝27，x 8＝28，x 9＝29，则＝110. 所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5当取得最大值时，x 9最小的值是29因此x 9－x 1的最小值是29－20＝9∴ FG是等腰三角形BFD顶角平分线，因而也是底边BD上的中线．即BG＝GD．所以BD＝2BG＝2DC．三、对于编码M，考虑编码A中恰有两个数位上的数字与M中相应数位上的数字相同．设这两位是x1，x2数位．由于B、C中该两数位上的数字均与A在这两数位上的数字不同，因此B，C中这两数位上的数字必与M中这两数位上的数字不同，于是B中与 M中数字相同的数位必异于x1，x2．不妨设为x3，x4；同理C中与 M中数字相同的数位只能是异于x1，x2，x3，x4的x5，x6两位．关于 N也有类似的结论．这就是说，在每个数位上，A，B，C分别在该数位上的数字中，必有一个与M在该数位上的数字相同；同样地，也必有一个与N在该数位上的数字相同．由此知，D中的6，0两数字必不是M，N在相应数位上的数字．于是D的3，1，2，5中只有一个数字与M在相应数位上的数字不同；与Ⅳ相比较也有类似的结果．(A)若3不对，则有610253，013256；(B)若1不对，则有360251，301256；(C)若2不对，则有312056，310652；(D)若5不对，则有310265，315206．经检验知：该信封上编码M，N或者同为610253，或者同为310265．或者一个是610253，另一个是310265．。
1992美国数学建模数学竞赛试题及翻译
1992 MCM A: Air-Traffic-Control Radar Power 空中交通雷达控制问题你将决定雷达在一个大型综合城市机场辐射的能量。
机场当局希望在减少雷达辐射能的情况下，保持安全与降低成本一致。
机场当局希望利用原有的高塔和接收电路系统。
为加大雷达使用度，唯一的选择就是：提升发送电路系统。
你所要回答的问题是：雷达必须释放多少能量以保证在离地100千米的高空飞行的普通客运机的检测。
1992 MCM B: Emergency Power Restoration紧急电力修复问题由于暴风雨的侵袭，沿海一带的电力公司必须有防控断电的应急系统。
这种系统要求：一输入数据，系统估算出修复所需的时间和成本，以及客观估算出由断电造成的损失。
在过去，夏威夷电力公司曾因为缺少这样一个优化项目被媒体抨击。
现在你是夏威夷电力公司的一名顾问。
HECO拥有一个电脑化的数据库和实时访问服务需要,目前需要以下的信息：报告的时间，报告者类型，受影响者人数估量，位置（x,y）.电力公司位于坐标轴的（0，0）和（40，40）之间，其中x,y的单位为米。
夏威夷电力公司的服务范围为-65 < x < 60 and -50 < y < 50。
该区域拥有优良的网络系统。
公司明确规定：在暴风雨离开之前，任何工作不得开始，除非求助区域是医院和铁路单位，这些区域需要立即处理如果工作人员可得到。
夏威夷电力公司聘用你制定客观评判标准并安排暴风雨后的修复工作。
要求见表1，人力资源见表2.注意：最早客户热线为4:20 A.M.暴风雨离开时间为6:00 A.M。
还要注意很多停电用户总是推迟才保修的。
夏威夷电力公司出自自身目的需要一份技术报告和一份用外行术语写的“执行简要“提交给新闻媒介。
另外，他们希望公众能为将来提供些建议。
为制定出你的优先计划安排系统，你还需做一些附加假设，并详细陈述这些假设。
全国大学生数学建模竞赛竞赛题目汇编(1992-2000)
K
产量
(t/ha) 18.98 27.35 34.86 38.52 38.44 37.73 38.43 43.87 42.77 46.22
施肥量
(kg/ha) 0 47 93 140 186 279 372 465 558 651
K
产量
(t/ha) 15.75 16.76 16.89 16.24 17.56 19.20 17.97 15.84 20.11 19.40
全国大学生数学建模竞赛 竞赛题目汇编(1992-2000)
[注]相关优秀论文已经汇编成册正式出版：全国大学生数学建模竞赛组委会编，《全国大学 生数学建模竞赛优秀论文汇编（1992-2000）》，北京：中国物价出版社，2002 年 3 月出版。
1992 年赛题
A 题 施肥效果分析 某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N）、钾（K）、磷（P）。某作物研究所在该地区对
2.25 6.80 20.15 35.70 56.40 75.10 87.85 98.50
输入信号为 u(t) = A1 cos2πf1t + A2 cos2πf 2t + A3 cos2πf 3t ，其中 A1 = 25，A2 = 10，A3 = 45
是输入信号的振幅。对输入信号频率 f1、f2、f3 的设计要求为：
产量 (t/ha) 33.46 32.47 36.06 37.96 41.04 40.09 41.26 42.17 40.36 42.73
产量 (t/ha) 6.39 9.48 12.46 14.38 17.10 21.94 22.64 21.34 22.07 24.53
施肥量
(kg/ha) 0 47 93 140 186 279 372 465 558 651
[小学]数学建模大赛历年试题
![[小学]数学建模大赛历年试题](https://img.taocdn.com/s3/m/7ac40fd6d4bbfd0a79563c1ec5da50e2524dd149.png)
数学建模大赛历年试题1．MCM（美国大学生数学建模竞赛）1985 A题动物群体管理1985 B题战略物资存储管理1986 A题水道测量数据1986 B题应急设施的位置1987 A题盐的贮存1987 B题停车场1988 A题确定走私船的位置1988 B题两辆铁路平板车的装货问题1989 A题蠓的分类1989 B题飞机排队1990 A题药物在大脑中的分布1990 B题扫雪问题1991 A题估计水箱的流水量1991 B题最小费用极小生成树1992 A题航空控制雷达的功率1992 B题应急电力修复系统1993 A题加速餐厅剩菜堆肥的生成1993 B题倒煤台的操作方案1994 A题建筑费用1994 B题计算机传输1995 A题单螺旋线1995 B题教师薪金分配1996 A题海底探测1996 B题竞赛论文的评定1997 A题疾走龙属问题1997 B题开会决策1998 A题MRI扫描仪1998 B题学生等级划分1999 A题小型星撞击1999 B题非法集会1999 C题大地污染2000 A题空中交通控制2000 C题大象的数量2002 A题风和喷水池2002 B题航空公司超员订票2003 A题特技人员2003 B题GAMMA刀治疗计划2004 A题指纹是独一无二的吗？2004 B题更快的快通系统2．CUMCM（全国大学生数学建模竞赛）1993年A题非线性交调的频率设计1993年B题球队排名问题1994年A题逢山开路1994年B题锁具装箱1995年A题一个飞行管理模型1995年B题天车与冶炼炉的作业调度1996年A题最优捕鱼策略1996年B题节水洗衣机1997年A题零件的参数设计1997年B题截断切割1998年A题投资的收益和风险1998年B题灾情巡视路线1999年A题自动化车床管理1999年B题钻井布局2000年A题DNA序列分类2000年B题钢管定购和运输2001年A题血管的三维重建2001年B题公交车调度2002年A题车灯线光源的优化设计2002年B题彩票中的数学2003年A题SARS的传播2003年B题露天矿生产的车辆安排2004年A题奥运会临时超市网点设计2004年B题电力市场的输电阻塞管理。
1992年全国初中数学竞赛试题及答案(修正版)
O AB C D x y1992年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题本题共有8个题，每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的，请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内1. 满足 |a －b |＋ab ＝1的非负整数（a ，b ）的个数是（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 42. 若x 0是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根，则判别式δ＝b 2－4ac 与平方式M ＝(2ax 0＋b )2的关系是（ ）(A) δ＞M (B) δ＝M (C) δ＜M (D) 不确定3. 若x 2－13x ＋1＝0，则x 4＋x -4的个位数字是（ ）(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 74. 在半径为1的圆中有一内接多边形，若它的边长皆大于1且小于2，则这个多边形的边数必为（ ）(A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 45. 如图，正比例函数y ＝x 和y ＝ax （a ＞0）的图像与反比例函数y ＝k x（k ＞0）的图像分别相交 于A 点和C 点，若Rt △AOB 和△COD 的面积分别为S 1和S 2，则S 1与S 2的关系是（ ）(A) S 1＞S 2 (B) S 1＝S 2(C) S 1＜S 2 (D)不确定6. 在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S 1，把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S 2，则21S S 的整数部分是（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3A B C D EF 7. 如图,在等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ＝2CD ，∠A ＝60°，又E 是底边AB 上一点，且FE ＝FB ＝AC ，F A ＝AB ，则AE :EB 等于（ ）(A) 1:2 (B) 1:3 (C) 2:5 (D) 3:108. 设x 1，x 2，x 3，…… x 9均为正整数，且x 1＜x 2＜x 3＜……＜x 9, x 1＋x 2＋x 3＋……＋x 9＝220则当x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的值最大时，x 9－x 1的最小值是（ ）(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11二、填空题1. 若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ，腰上的中线等15cm ，则这个等腰三角形的面积等于________________2. 若x ≠0，则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3. 在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 和∠B 的平分线相交于P 点，又PE ⊥AB 于E 点，若BC ＝2，AC ＝3，则AE •EB ＝ .4. 若a ，b 都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab .A B C D E第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x 2－6x ＋a ＝0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且∠BED ＝2∠CED ＝∠A求证：BD ＝2CD三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同，D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同试求：M 和N1992全国初中数学联合竞赛试卷答案第一试一．选择题1.(C) 由⎩⎨⎧==-01ab b a ⇒(1,0)(0,1). 又由⇒⎩⎨⎧==-1,0ab b a (1,1).∴共有3对.2.(B)设0x 是方程的根,则0020=++c bx ax .所以202022044)2(b abx x a b ax ++=+ac b c bx ax a 4)(42020-+++=ac b 42-=.3.(D)由01132-+-x x 知0≠x .所以131=+-x x ,167213222=-=+-x x .2167244-=+-x x ,从而42-+x x 的个位数字为9－2＝7.4.(C)若满足条件的多边形的边数大于或等于6,则至少有一边所对的圆心角不大于60°.由余弦定理知该边长必不大于1;同理,若存在满足条件的四边形,则它至少有一边长不小于2.5.(B)设A 点的坐标为(11,y x ),C 点的坐标为(22,y x ),则k y x y x ==2211. ∴22211121212121S CD OD y x y x AB OB S =⋅===⋅=.6.(B)据正方形的对称性,只需考虑它的41部分即可.记圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和为1'S ，圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和为2'S ，则841'-=πS ，π4152'-=S .∴ 44.256.44158444212'1'≈--==ππS S S S . 故21S S 的整数部分是1.7.(B)设1=CD ,则2==AB FA ,易证121==AB BC , 90=∠ABC , 3===AC FB FE .∵△ABF ∽△FBE∴AB BF ＝BF BE ，BE ＝BF 2AB ＝32于是AE ＝12，所以AE ∶EB ＝1∶38.（B ）（1）先证x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5≤110，则x 5≥25从而x 6≥26，x 7≥27，x 8≥28，x 9≥29，于是x 1＋x 2＋x 3＋……＋x 9＞220与假设矛盾.（2）若取x 1＝20，x 2＝21，x 3＝22，x 4＝23，x 5＝24，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝110.所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5当取得最大值时，x 1最大的值是20（3）若取x 6＝26，x 7＝27，x 8＝28，x 9＝29，则＝110. 所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5当取得最大值时，x 9最小的值是29因此x 9－x 1的最小值是29－20＝9∴ FG是等腰三角形BFD顶角平分线，因而也是底边BD上的中线．即BG＝GD．所以BD＝2BG＝2DC．三、对于编码M，考虑编码A中恰有两个数位上的数字与M中相应数位上的数字相同．设这两位是x1，x2数位．由于B、C中该两数位上的数字均与A在这两数位上的数字不同，因此B，C中这两数位上的数字必与M中这两数位上的数字不同，于是B中与 M中数字相同的数位必异于x1，x2．不妨设为x3，x4；同理C中与 M中数字相同的数位只能是异于x1，x2，x3，x4的x5，x6两位．关于 N也有类似的结论．这就是说，在每个数位上，A，B，C分别在该数位上的数字中，必有一个与M在该数位上的数字相同；同样地，也必有一个与N在该数位上的数字相同．由此知，D中的6，0两数字必不是M，N在相应数位上的数字．于是D的3，1，2，5中只有一个数字与M在相应数位上的数字不同；与Ⅳ相比较也有类似的结果．(A)若3不对，则有610253，013256；(B)若1不对，则有360251，301256；(C)若2不对，则有312056，310652；(D)若5不对，则有310265，315206．经检验知：该信封上编码M，N或者同为610253，或者同为310265．或者一个是610253，另一个是310265．。
1992年第九届全国初中数学联赛决赛试卷
1992年第九届全国初中数学联赛决赛试卷第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A)21S S > (B)21S S =(C)21S S < (D)不确定 答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD , ︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , F A=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( ) 二.填空题 1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________. 3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab .第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A C E D BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A：320651 B：105263C：612305 D：316250已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M和N相同.试求：M和N.声明：本资料由考试吧（）收集整理，转载请注明出自服务：面向较高学历人群，提供计算机类，外语类，学历类，资格类，会计类，工程类，医学类等七大类考试的全套考试信息服务及考前培训.。
1992年全国初中数学竞赛试题及答案
1992年全国初中数学联合竞赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是 (A)21S S > (B)21S S =(C)21S S < (D)不确定 答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB ︒=∠60A 则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则x x x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90ο的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.。
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1992年数学建模联赛试题
题A 施肥效果分析
某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N ），钾（K ），磷（P ）。
某作物研究所在该地区对土豆与生菜作了一定数量的实验， 实验数据如下表格所示，其中ha 表示公顷，t 表示吨，kg 表示千克。
当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第7个水平上，如对土豆产量关于N 的施肥量做实验时，P 与K 的施肥量分别取为196 kg/ha 与372 kg/ha 。
试分析施肥量与产量之间的关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面作出估价。
土豆
N P K
生菜：
N P K。