差分法(点差法)在圆锥曲线中的应用

差分法（点差法）在圆锥曲线中的应用

圆锥曲线综合题是每年高考必考的题目，这些题目的解法灵活多变，其中涉及圆锥曲线中点弦的有关问题，用差分法求解，具有构思精巧，简便易行的优点，现举例说明如下： （一）在椭圆中的应用：

()()()()()()()()2222

11 22

221212121212

1212121122 11 11

2

2,,mx ny mx ny mx ny m x x x x n y y y y y y x x y y AB AB x x AB A x y B x y +=+=+=+-++-=-++-⎧⎪⎨⎪⎩⎛⎫

⎪⎝⎭

设是椭圆上不重合的两点，

则，， 两式相减得是直线的斜率，，是线段的中点坐标，所以1式可以解决与椭圆弦的斜率及中点有关的问题，

此法称为代点作差法，简称，点差法。

()221 1625400 x y +=例：求以椭圆内一点P 3，1为中点的弦AB 所在的直线方程。

()()()()()()11222222

1122

221212121212121212,, A B 1625400 1625400

1625400

25048

6 2A x y B x y x y x y x y x x x x y y y y y y x x y y x x +=⎧+=⎪⎨+=⎪⎩+-++-=-+=+=∴=-- 解：设弦AB 的两个端点的坐标分别为，、两点在椭圆上，

则，两式相减得 16由题知，，()12AB 12,

25

48

:

3, 48251690.

25

y y l x x y x x -∴=--+-=-即

（二）在双曲线中的应用：

在处理有关弦的问题时,也可以应用”点差法”。但特别需要注意的是椭

圆是封闭型曲线，而双曲线是开放型曲线，求解后应检查其存在性，否则容易产生增根。

(

))

()()22

11222: 1 ,6 13

,0 , 5.y x A x y B C x y F AC -=例在双曲线的一支上有不同的三点，，，

12与焦点的距离成等差数列证明线段的垂直平

分线经过某一点,并求出该点坐标.

分析：与椭圆的焦半径相同，双曲线一支上的三点与一个焦点形成的焦半径成等差数列的充要条件是这三个点的横坐标（或纵坐标）成AP 。另外，题目中涉及到弦的中点问题，可以考虑用点差法来求解。

()()1222221122121212AC 121212121212 261213121213, 13121213,12 k

1313

y 2 213 6, 2y y y x y x x x y y x x x x y y y y x x x x x y x x x +=⨯=-=⨯-=⨯+-+===-+++⎛

⎫-

=-- ⎪+⎝⎭

-=-++解:依题意有，

又 则 ，

13故AC 的中垂线方程为，13即由方.

⎛⎫

⎪⎝⎭25程知其必经过定点0,2()()()()2

2

112

12123: 1.

2

12,1,.

21,1,,, y x A l P P P B m m -=例给定双曲线 过点的直线与所给双曲线交于两点 求线段 的中点的轨迹方程过点能否作出直线使与所给双曲线于两点Q Q 且B 是线段Q Q 的中点?并说明理由.

()()()()()()()()1112222212121212121212121212

12

1212

,,,,

1,1,

22

22 2 21 ,,, . , 22P x y P x y P x y y y x x x x x x y y y y y y x

x x x y y y y x x y y y P P P A x x x x y y -=-=+-=+--+=+=∴=---∴=--= 解：1设 ，,中点则 两式相减得 而，， 四点共线 由此得轨迹方程

221

,240.2

x y x y x ---+=-即

()()()()()()()()

()1332443434343434

343434

222,,,,12 2 22,

121,2 1.21

12m x y x y x x x x y y y y y y x x y y x x m y x y x y x y x m +-=+--+=+=∴

=-∴-=-=-=-⎧⎪

⎨-=⎪⎩

假设直线存在Q ,Q 仿得 ，， 即直线的斜率为2,方程为 即 由于方程组无解

所以满足条件的直线不存在.

（三）在抛物线中的应用：

和椭圆，双曲线一样，涉及到有关弦的中点和斜率问题时，也可以应用“点差法”。

24:43(0), y x y kx k ==+≠例若抛物线 上存在关于直线 对称的两点求k 的取值范围.

()()()()()()()1122221122001212121201212000000: ,,30,4,4,,. 4, 4421

. 2233

3, 2 AB A x y B x y y kx k y x y x AB p x y y y y y x x y y k y k

x x y y y y k

y y kx x k k

p =+≠==∴+-=--=

====-∴=--+-=+∴==-- 解设，是抛物线上关于直线 对 称的两点则 设的中点 又点在抛物线内部,

()()()()()22323233 42, 20

0,230,

130, 1,0,230,

130, 1,-10.

k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎛

⎫∴<--++< ⎪⎝

⎭>++<∴+-+<<-<++>∴+-+>>-<<-2k 即 当则 即无解. 当则 即故点评：本题的难点在于通过点p 在抛物线内部建立关于k 的不等式，这个显然的几何条件往往被忽视。