哈工大机电系统控制第三章答案

3-1 题图3-1所示的阻容网络中，i ()[1()1(30)](V)u t t t =--。

当t =4s 时，输出o ()
u t 值为多
少？当t 为30s 时，输出u o (t )又约为多少？
解：661(s)111
1(s)1110410141o i U sC
U RCs s R sC -====+⨯⨯⨯+++
(4)0.632(V)o u ≈，(30)1(V)
o u ≈
3-2 某系统传递函数为2
1
()56
s s s s +Φ=
++，试求其单位脉冲响应函数。

解：
2(s)112
(s)5623o i X s X s s s s +-==+++++ 其单位脉冲响应函数为
23(t)(e 2e )1()
t t x t δ--=-+⋅
3-3 某网络如图3-3所示，当t ≤0-时，开关与触点1接触；当t ≥0+时，开关与触点2接触。

试求输出响应表达式，并画出输出响应曲线。

1V
题图3-1 题图3-3
解：
1(s)1
1(s)2121
()o i R U RCs s sC
U RCs s R R sC
+
+===++++ 01(t)1(2)1()(V)i i i u u u t =+=+-⋅
1111212
(s)(s)121212
o i s s U U s s s s
s ++-=
==-+++ 则
2
1(t)(e 2)1()(V)
t o u t -
=-⋅
12
01(t)1(e 2)1()(V)
o o o u u u t -=+=+-⋅
其输出响应曲线如图3-3所示
图3-3 题图3-4
3-4 题图3-4所示系统中，若忽略小的时间常数，可认为
1d 0.5()d y
B s x
-=∆。

其中，ΔB 为阀芯位移，单位为cm ，令a =b （ΔB 在堵死油路时为零）。

(1) 试画出系统函数方块图，并求
(s)
(s)
Y X 。

(2) 当i ()[0.51()0.51(4)1(40)]cm x t t t s t s =⨯+⨯---时，试求t =0s,4s,8s,40s,400s 时的y (t )值，()B ∆∞为多少？ (3) 试画出x (t )和y (t )的波形。

解：（1）依题意可画出如图3-4所示的系统函数方块图，
图3-4-1
则
10.5(s)1
2
10.5X(s)41
12Y s s s
⨯
=
=++⨯ （2）该一阶惯性环节的时间常数为 4(s)T =
当(t)[0.51()0.51(4)1(40)](cm)x t t t =⋅+⋅---时，
(0)0(cm)y =
(4)0.50.6320.316(cm)y ≈⨯=
(8)0.50.8660.50.6320.749(cm)y ≈⨯+⨯= (40)1(cm)y ≈ (400)0(cm)y ≈
()0(cm)B ∆∞=
（3）x(t)和y(t)的波形如图3-4-2(a)、(b)所示。

图3-4-2
3-5 设单位反馈系统的开环传递函数为4
()(s 5)
G s s =
+，试求该系统的单位阶跃响应和单位
脉冲响应。

解：系统闭环传递函数为
24
(s)44(s 5)
4(s)54(s 1)(s 4)
1(s 5)
o i X s X s s s +===++++++ (1)当()1()i x t t =时，1()i X s s
=
41
()411
33()()()(4)(1)14
o o i i X s X s X s X s s s s s s s ===-+++++g
则
441
()1()1()1()33
t t o x t t e t e t --=-⋅+⋅
(2)当()()i x t t δ=时，()1i X s =
44
(s)4
33(s)(s)1(s)(s 4)(s 1)14
o o i i X X X X s s ==⨯=-++++
则
44()()1()3
t
t o x t e e t --=
-⋅ 3-6 设单位反馈系统的开环传递函数为1
()(s 1)
G s s =
+，试求系统的上升时间、峰值时间、最大超调量和调整时间。

当()(s 1)
K
G s s =+时，试分析放大倍数K 对单位阶跃输入产生的输出动态过程特性的影响。

解：（1）222
1
(s)1(s 1)
1(s)20.5111(s 1)
o i X s X s s s +==+⨯⨯+++ 得
1(rad/s)n ω=
则
0.5ζ=
s)2
d ωω===
arccos arccos0.5(rad)3
π
θζ===
所以
2.418(s)r t π
π-
=
≈
3.628(s)
2
r d t πω=
=≈
16.3%
p M e
e
==≈
3
3
6(s)10.5
r n t ωζ
≈
=
=⨯（进入5%误差带） （2
）222
(s)(s 1)
1(s)12(s 1)o i K
X s K X s s +==++++ 得
s)n ω=
则
ζ=
s)2d ωω===
arccos θζ==
则（Ⅰ）当1ζ=
=时，即1
4K =时，系统为临界阻尼，系统不产生振荡。

（Ⅱ）当1ζ=
>时，即1
4K <时，系统为过阻尼，系统不产生振荡。

（Ⅲ）当0ζ=
=时，即K =∞时，系统为零阻尼，系统产生振荡。

（Ⅳ）当01ζ<<，即
1
4
K <<∞时，系统为欠阻尼，此时
2
r d
t πθ
ω-=
= K 增大时，r t 减小。

p d
t πω=
=
K 增大时，p t 减小。

p M e
e
e
===
K 增大时，p M 也增大。

3
36(s)1s n t ωζ
=
=
=
当K 较大时，s t 基本不受K 变化的影响。

3-7 已知一系统由下述微分方程描述：
1
0x y dt
dy
2dt y d 2<<=++ξξ， 当x (t )=1(t )时，试求最大超调量。

解：将微分方程两边取拉氏变换得
2(s)2sY(s)Y(s)X(s)s Y ζ++=
则
2(s)1
(s)21
Y X s s ζ=++，01ζ<<
max ()|()
()
p y t y M e
y -∞==∞
3-8 设有一系统的传递函数为222()2n
n n
ωG s s ξωs ω=++，为使系统对阶跃响应有5%的超调量和2 s 的调整时间，试求ζ和n ω。

解：5
10032n
e ζω⎧⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩ 解之，得
0.69ζ≈， 2.2(rad/s)n ω=
3-9 证明对于题图3-9所示系统，o i (s)(s)
X X 在右半s 平面上有零点，当x i (t )为单位阶跃时，求
y (t )。

解：(s)642(s 1)
(s)21(s 1)(2)
Y X s s s -=-=++++
由上式可见，s=1是系统在右半s 平面的零点。

当(t)1(t)x =时
2(s 1)1431(s)(s 1)(s 2)12Y s s s s
-==--
++++
则
2(t)(4e 3e 1)1(t)t t y --=--⋅
3-10 设一单位反馈系统的开环传递函数为10
()(s 1)
G s s =
+，该系统的阻尼比为0.157，无阻尼自振角频率为3.16 rad/s ，现将系统改变为如题图3-10所示，使阻尼比为0.5。

试确定n K 值。

题图3-9 题图3-10
解:
10 (s)(s1)
10(1
K s)
(s)1
(s1)
o
n
i
X s
X
s
+
=
+
+
+
2
2
22
10
(110K)s10
3.16
(110K)s 3.16
n
n
s
s
=
+++
=
+++
依题意，有110220.5 3.16 3.16
n n
Kζω
+==⨯⨯=
解之，得0.216
n
K=，即为所求。

3-11 二阶系统在s平面中有一对复数共轭极点，试在s平面中画出与下列指标相应的极点可能分布的区域：
(1) n
0.7072rad/s
ξω
≥>
，；
(2) n
00.7072rad/s
ξω
≤≤≤
，；
(3) 00.5
ξ
≤≤，
n
2rad/s4rad/s
ω
≤≤；
(4) n
00.7072rad/s
ξω
≤≤≤
，。

解：（1）所求区域为图3-11(a)中阴影部分。

（2）所求区域为图3-11(b)中阴影部分。

（3）所求区域为图3-11(c)中阴影部分。

（4）所求区域为图3-11(d)中阴影部分。

(a) (b)
(c) (d)
图3-11
3-12 设一系统如题图3-12(a)所示。

(1) 当控制器c ()1G s =时，求单位阶跃输入时系统的响应。

设初始条件为零，讨论L 和
J 对响应的影响。

(2) 设c d ()1s G s T =+，J =1000，为使系统为临界阻尼，求d T 值。

(3) 现在要求得到一个没有过调的响应，输入函数形式如题图3-12(b)所示。

设c ()1G s =，
L 和J 参数同前，求K 和t 1。

i ()
X s +
-
()
o X s 2
s L
J c ()
G s ()
E s U
(a)
t
x o (t )
t
x i (t )
10
K t 1
t
(b) 题图3-12
解：（1）222(s)(s)1o i L L X Js J L L X s Js J
==++
则
211(s)o L J
X L
s s s J =
=-+
对上式进行拉氏反变换，得
(t)1(t)1(t)o X =-⋅
由此可知，其单位阶跃响应为等幅振荡，当L 增大、J 减小时，角频率ω增大。

（2
）
22
(1T s)
(s)(s)1(1T s)d o i d L
X Js L X Js +==++
为使系统为临界阻尼，需使1ζ=，即
20d T === 由（1）知
(s)(s)o i X X =
当
(t)1(t)
i x =时
(t)(11(t)
o x =-⋅
所以
110t π
=
=
== 另有
1(1)(1)[1)]1K K t t -+---= 当110t t π
==，10L =，1000J =代入上式，得
[(110)](1)[10]1K πK -+--= 解之，得
0.5K =
3-13 题图3-13所示为宇宙飞船姿态控制系统方块图。

假设系统中控制器时间常数T =3 s ，
力矩与惯量比为
22
rad /9
K s J =。

试求系统阻尼比。

题图3-13
解：22
1(1)
(s)1
(s)
1(1)o i K Ts X Js X K Ts Js
+=++
(1)K
Ts +=则
322
0.7072
292
T K J ζ=
==≈ 3-14 设一伺服电动机的传递函数为()()1
s K U s Ts Ω=+。

假定电动机以0ω的恒定速度转动，当电动机的控制电压u o 突然降到0时，试求其速度响应方程式。

解：电动机的控制电压如图3-14所示
图3-14
22()()111o o o U KU KU K K s U s Ts Ts s s s T
-Ω=
==-
+++
则
2()(1)1()t T
o t KU e
t ω-
=-⋅
又有
10()o t KU ωω==
所以
120()()()1()t T
t t t e
t ωωωω-
=+=⋅
3-15 对于题图3-15所示的系统，如果将阶跃输入i θ作用于该系统，试确定表述角度位置0
θ的方程式。

假定该系统为欠阻尼系统，初始状态静止。

i
o
k
J
D
题图3-15
解：依题意，有
[()()]()()o o i o K t t D t J t θθθθ•
••
--=
得
2()()o i t K
t Js Ds K
θθ==++
则
n ω=
ζ= 所以，当()1()i t a t θ=⋅时
()[1arccos )]1()n t o t a t ζωθωζ-=-
+⋅
2[11()D
t J
a t -=-
+⋅
3-16 某系统如题图3-16所示，试求单位阶跃响应的最大超调量M p 、上升时间t r 和调整时
间t s 。

题图3-16
解：22
29
(s)3(3)
9(s)20.5331(3)
o i X s s X s s s s +==+⨯⨯++
+ 则
0.5ζ=
3(rad/s)n ω=
所以
16.3%
p M e e ==≈
0.806(s)r t =
=
=
3
3
2(s)
0.53
s n t ζω===⨯ 3-17 单位反馈系统的开环传递函数为K
()(Ts 1)
G s s =
+。

其中，K >0，T >0。

问放大器增益减
少多少方能使系统单位阶跃响应的最大超调由75%降到25%？
解：(s)(1)(s)1(1)o i K X s Ts K X s Ts +==++ 则
ζ=
所以
p M e
e
e
===
即
2
21(ln )4p M K T
π+=
令
175%p M =，225%p M =
则
2
211(ln 0.75)4K T
π+=
2
221(ln 0.25)4K T
π+=
所以
2
2
1
2
2
2
1(ln 0.75)19.61(ln 0.25)K K ππ+==+
3-18 单位阶跃输入情况下测得某伺服机构的响应为-10t -60t o e 2.1-e 2.01)(x +=t 。

试求：
(1) 系统的闭环传递函数；
(2) 系统的无阻尼自振角频率及阻尼比。

解：（1）6010()(10.2 1.2)1()t t o x t e e t --=+-⋅ 则
10.2 1.2600
()6010(60)(10)
o X s s s s s s s =+-=++++
又已知
()1()i x t t =
则
1
()i X s s
=
所以
(s)6001600
/(s)(60)(10)(60)(10)
o i X X s s s s s s ==++++
（2
）2
(s)600
(s)(60)(10)
o i X X s s =
=++
所以
/s)n ω=
ζ=
3-19 某单位反馈系统的开环传递函数为K
()(s 10)
G s s =
+，阻尼比为0.5时，求K 值，并求
单位阶跃输入时该系统的调整时间、最大超调量和峰值时间。

解：222
(s)(10)
5(s)1(10)o i K
X s s K X s s s +==++++
由
0.5ζ=
= 得
100K =
则
10(rad /s)n ω==
3
3
0.6(s)0.510
s n
t ζω≈
=
=⨯
16.3%p M e e
==≈
0.363(s)p t =
=
=
3-20 试比较题图3-20所示两个系统的单位阶跃响应。

题图3-20
解：对于图（a ）所示系统
12(1)
(s)(1)
(1)(s)(1)1(1)
h o h h i h K K s X KK s K s Ts K K s X Ts KK s K
s Ts +++==++++++ 12(s)(s)(1)h o i h KK s K
X X Ts KK s K
+=
+++
22
(s)(s)(1)(1)h i i h h KK K
sX X Ts KK s K Ts KK s K
=
+++++++ 对于图（b ）所示系统
22
(s)(1)
(1)(s)(1)1(1)
o h i h K X K s Ts K K s X Ts KK s K s Ts +==++++++
22(s)(s)(1)o i h K
X X Ts KK s K
=
+++
可见，两系统的单位阶跃响应是不同的，图（a ）所示系统的响应相当于在图（b ）所
示系统的单位阶跃响应上再叠加对于闭环传递函数为2(1)h
h KK Ts KK s K
+++系统的一个单位
脉冲响应。

3-21 一电路如题图3-21所示，当输入电压i 0V,t 0()5V,00.1s
0V,0.1s u t t t <⎧⎪
=<<⎨⎪>⎩时，试求的响应函数。

题图3-21
解：()[51()51(0.1)](V)i u t t t =⋅-⋅- 则
0.155
()i U s e s s
-=-
()11
()10.11
o i U s U s RCs s ==
++ 0.1()155
()()()()0.11s o o i i U s U s U s e U s s s s
-=
=-+
0.15555()()1010s e s s s s -=---++ 所以
1010(0.1)()(55)1()[55]1(0.1)(V)
t t o u t e t e t ---=-⋅--⋅-。