采样率转换中的数字滤波器设计

fx
Lf x
Lf x
fx
fx fx fx
Lf x
fx
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内插的多相实现
相应的，内插器的多相结构可以转化为：
fx fx
fx
fx
Lf x
fx
旋转器n=0，由E0(z)输出y(0)；
旋转器n=1，由E1(z)输出y(1)； 旋转器n=L-1，由EL-1(z)输出y(L-1)；
旋转器工作在高 速率，多相支路 滤波器工作在低 速率
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多相表示
上式等效于：
H ( z )= h(0) + h(2) z + + h( N − 1) z
−1 −2
−2
− ( N −1)
+ ]
z [h(1) + h(3) z + + h( N − 2) z
定义多相分量：
− ( N −3)
E0 ( z )= h(0) + h(2) z −1 + + h( N − 1) z − ( N −1)/ 2
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4.4 FIR抽取与内插滤波器的多相实现
抗混叠滤波器位于抽取之前，抗镜像滤波器 位于内插之后，所以在采样率变换系统中的滤波 器都是工作在高采样率阶段，无疑大大提高了对 运算速度的要求。 多相滤波结构使抗混叠滤波器和抗镜像滤波 器工作在低速率阶段，降低了对处理速度的要求。
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4.4 FIR抽取与内插滤波器的多相实现
M −1 K =0
−K M ⋅ z E z ) ∑ K ( +∞
令 E= K ( z)
n = −∞
∑
+∞
eK ( n ) = ⋅z
−n
n = −∞
∑
h ( nM + K ) ⋅ z − n
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多相表示
将一个N阶的传输函数H(z)分解为M个多相分量之和 的形式，可以表示为：
H ( z ) = ∑ z Ek ( z
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多相实现的高效性：抽取器
衡量变速率系统高效性的一个常用的统计量是： 每秒钟需要进行乘法运算的次数。
fx
RM _ DEC = N × fx
直接实现结构
f y = fx / M
fx
RM _ DEC
高效实现结构
f y = fx / M
N × fx = M
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多相实现的高效性：内插器
Lf x
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4.1 引言
滤波器的设计思想： 1. 使信号产生最小失真 2. 低复杂度，实现结构简单，满足实时性要求
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4.2 六个恒等关系
恒等关系一
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恒等关系二
7/78
恒等关系三
8/78
恒等关系四
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恒等关系五
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恒等关系六
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4.3 FIR抽取滤波器的直接实现结构
fx
直接实现结构
RM _ INT = L × N × f x
f y = Lf x
fx
RM _ INT = N × fx
高效实现结构
f y = Lf x
若滤波器系数对称，乘法次数可再降低1/2
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多相滤波结构优点
1. 将抗混叠滤波器移至抽取之后，降低了运算 速度的要求； 2. 将抗镜像滤波器移至内插之前，降低了运算 速度的要求； 3. 抗混叠滤波器和抗镜像滤波器的阶数分别降 为原来的1/M、1/L。
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4.5 IIR抽取滤波器的直接实现结构
fx fx
f y = fx / M
抽取滤波器 H(z) 为 IIR 滤波器，传输函数 可以表示为：
V ( z ) B( z ) H = ( z) = X ( z ) A( z )
其中：
n = n 0= n 1
B( z ) =
∑b z
N
−n
, A( z ) = 1 + ∑ an z
= v(mM )
N −1 k =0
∑ h(k ) x(mM − k )
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4.3 FIR抽取滤波器的直接实现结构 根据上面的推导过程，抽取后的信号y(m)可 以表示为卷积和的每M点中取一个：
y ( m) =
x ( n)
fx
∑ h(k ) x(mM − k )
k =0
N −1
y ( m)
f y = fx / M
第4章采样率转换中的数字滤波器设计
北京理工大学信息学院 专业移动通信实验室
第4章 目录
4.1 引言 4.2 六个恒等关系 4.3 FIR抽取与内插滤波器的直接实现结构 4.4 FIR抽取与内插滤波器的多相实现 4.5 IIR抽取与内插滤波器的直接实现结构 4.6 基于多相分解的IIR滤波器结构 4.7 典型的高速数字滤波器
fx
fx / M
z z z
f y = fx / M
fx / M
fx / M
fx / M
z
工作在抽取之前 滤波在高速率阶段
工作在抽取之后 滤波在低速率阶段
实时性要求降低了
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抽取的多相实现
再分析抽取器的多相实现，每个多相支路的输 入序列{x0(m)},{x1(m)},…,{xM-1(m)}为输入序列{x(n)} 的延时和抽取。 序列{xk(m)}是输入序列{x(n)} 的M倍抽取，各 个支路的相位偏移为k，k = 0,1,…,M-1。 多相支路输入序列可表示为：
抽取因子M，抗混叠滤波器的脉冲响应h(n)，时域输入输出 关系为： N −1 = v ( n) ∑ h( k ) x ( n − k )
k =0
f y = fx / M
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4.3 FIR抽取滤波器的直接实现结构 对滤波器输出信号v(n)进行抽取得到
y (m) = v(mM )
y(m)相当于在滤波器输出的每M点中取一点， 因此，v(n)也只需要每M点计算一次。
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4.1 引言 采样速率变换中滤波器的作用：
抽取滤波器：抑制混叠
ωx ≤ π / M
内插滤波器：滤除镜像
= f s mf s′ / L = m 1, 2, , L − 1
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4.1 引言
由于滤波器设计的非理想性和可实现性， 变速率系统的性能往往决定于滤波器设计。 例如：高阶变速率系统，考虑到滤波器 的通带和阻带特性，以及实现阶数，需采取 多级结构来实现，多级结构采用了多个滤波 器。
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4.5 IIR抽取与内插滤波器的直接实现结构 IIR滤波器具有低复杂度的特点，相 同性能下，相比 FIR 滤波器需要更少的 阶数。尽管FIR滤波器可以采用多相结构 简化实现，降低运算量，但是简化后的 运算量还是大于IIR滤波器。 IIR 滤波器典型的缺点是相位非线性 以及对量化噪声敏感。
fx
fx
f y = fx / M
注：分支个数必须等于抽取因子M， 否则后面没法利用恒等关系三。
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抽取的多相实现
恒等关系三：
M倍抽取器的多相实现：
fx
fx / M
z z z
f y = fx / M
fx / M
fx / M
fx / M
z
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抽取多相实现的优点
fx
fx
f y = fx / M
M −1 +∞ K = 0 n = −∞
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∑∑
h(nM + K ) ⋅ z − ( nM + K )
多相表示
= H ( z)
=
=
M −1 +∞
K = 0 n = −∞
M −1 K =0 −K z ∑
∑∑
z − K ⋅ h(nM + K ) ⋅ z − nM
+∞ M −n ∑ h(nM + K ) ⋅ ( z ) n = −∞
注：h(n)前面乘以系数L，是为了保证内插零值后的信号能量和直接从连 续信号进行采样后的信号能量相等。类似于抽取前后信号的频谱有一个 1/M的因子。
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4.3 FIR内插滤波器的直接实现结构
直接实现结构：
f y = Lf x
fx
f y = Lf x
从滤波器输入信号表达式可知，输入信号每L个值 中，只有一个为非零值，其余为内插的零值，零值 在滤波器乘加运算中不起作用，所以乘法操作可运 行在内插前。
fx / M fx / M fx / M
fx
f y = fx / M
fx / M
旋转器n=0，将x(0)输入E0(z)； 旋转器n=1，将x(1)输入EM-1(z)； 旋转器n=M-1，将x(M-1)输入E1(z)；
旋转器工作在 高速率，多相 支路滤波器工 作在低速率
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内插的多相实现 恒等关系六：
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多相实现的高效性
fx
fx
fx / M
z z z
f y = fx / M
直接实现结构
fx
f y = fx / M
fx / M
fx / M
fx / M
z
高效实现结构
f y = fx / M
多相结构
若多相分解时，按照滤波器阶数分解为N个多相分 量，多相结构就成为了高效实现结构，可认为高效 实现结构为多相结构的一个特例。
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4.3 FIR抽取滤波器的直接实现结构
恒等关系一
fx
乘法次数降 低为1/M
直接实现结构
f y = fx / M
fx
若滤波器系 数对称,乘法次 数可再降低约 1/2
高效实现结构
f y = fx / M
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4.3 FIR抽取滤波器的直接实现结构
fx
f y = fx / M
将该式按照偶次系数和奇次系数分为两部分，不失 一般性，假定阶数N为奇数，则表达式可改写为：
H ( z )= h(0) + h(2) z −2 + + h( N − 1) z − ( N −1) + h(1) z −1 + h(3) z −3 + + h( N − 2) z − ( N − 2)
偶数阶系数对称FIR抽取器的高效结构
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4.3 FIR内插滤波器的直接实现结构
fx
f y = Lf x f y = Lf x
内插倍数L，镜像抑制滤波器的脉冲响应h(n)。低 速信号x(n)内插L倍，然后经过镜像抑制滤波器。 注意滤波器输入信号v(m)：
x(m / L), m = 0, ± L, ±2 L, v ( m) = 其它 0,
E1 ( z ) = h(1) + h(3) z −1 + + h( N − 2) z − ( N −3)/ 2
那么H(z)的多相表示为：
= H ( z ) E0 ( z 2 ) + z −1 E1 ( z 2 )
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多相表示
将以上结果推广，把h(n)的系数分为M组：
H ( z ) = + h(− M ) ⋅ z M + h[−( M − 1)] ⋅ z ( M −1) + + h(−1) ⋅ z1 +
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4.3 FIR内插滤波器的直接实现结构
高效实现结构：
fx
f y = Lf x
高效实现结构的乘法次数降低为1/L，若FIR滤波器 系数对称，则高效实现结构的乘法次数可再降低约 1/2。
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4.3 FIR内插滤波器的直接实现结构
fx
f y = Lf x
奇数阶系数对称FIR内插器高效实现结构
{x0 (m)} = {x(0), x( M ), x(2 M ), } {x1 ( m)} = {x( −1), x( M − 1), x(2 M − 1), } {xM −1 ( n)} = {x( − M + 1), x(1), x( M + 1), }
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抽取的多相实现
很显然抽取器的多相结构可以转化为：
h(0) ⋅ z 0 + h(1) ⋅ z −1 + + h( M ) ⋅ z − M + h( M + 1) ⋅ z − ( M +1) + = + h(− M ) ⋅ z M + h(0) ⋅ z 0 + h( M ) ⋅ z − M + + h[−( M + 1)] ⋅ z − ( M +1) + h(−1) ⋅ z1 + h( M − 1) ⋅ z − ( M −1) + + h[−( M − 1)] ⋅ z − ( M −1) + h(1) ⋅ z −1 + h( M + 1) ⋅ z − ( M +1) + +
一个高阶的FIR滤波器可以由基于多相分解 的并行结构来实现。FIR滤波器的传输函数被分 解为M个低阶传输函数，称之为多相分量，M个 低阶传输函数之和等效于原始传输函数。 这种由多相分量表示的方式，称为多相表示。
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多相表示
FIR滤波器传输函数的展开形式：
H ( z) = h(0) + h(1) z −1 + h(2) z −2 + h(3) z −3 + h( N − 2) z − ( N − 2) + h( N − 1) z − ( N −1)
−k k =0
M −1
M
)
其中
= Ek ( z )

N / M
∑
n =0
h[nM + k ]z − n , 0 ≤ k ≤ M − 1
表示取整。
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注：当N不能被M整除时，各个组分得的h(n)的个数可以不相等.
抽取的多相实现
FIR滤波器可以分解为并行的M个多相分量，在 输出端相加。这样的多相分量有时也被称为多相子 滤波器或者多相支路。 M倍抽取滤波器分解为M个多相分支：