三角形中地最值问题
三角形内最值问题
三角形内最值问题
三角形内最值问题是一个常见的问题，它涉及到在给定三角形中找到某些几何量的最大值或最小值。
下面是一些解决这类问题的一般方法：
1. 基础几何知识：解决这类问题需要掌握一些基本的几何知识，如三角形的性质、三角函数、勾股定理等。
2. 对称性：考虑三角形是否具有某种对称性，如轴对称或中心对称，这有助于找到最值的位置。
3. 极值定理：在某些情况下，可以使用极值定理（如AM-GM不等式、Cauchy-Schwarz不等式等）来找到最值。
4. 函数建模：将问题转化为函数的最值问题，然后使用导数或其他数学工具来找到最值。
5. 参数方程：有时可以通过引入参数来表示几何量，然后通过参数的变化找到最值。
6. 优化技术：可以使用一些优化技术，如梯度下降、牛顿法等，来找到最值。
解决三角形内最值问题的具体方法取决于问题的具体情况和给定的条件。
在处理这类问题时，需要仔细分析问题，选择合适的数学工具和方法来解决。
试析解三角形中最值与范围问题
试析解三角形中最值与范围问题三角形是一种最基本的几何形状，它的最值与范围问题也是数学中的一个重要研究课题。
本文将从三个方面来试析三角形中最值与范围问题，分别是三角形的边长最值、角度最值和面积最值。
首先，讨论三角形的边长最值。
根据三角形的定义，三角形的边长最小值为0，最大值为无穷大。
这是因为三角形的边长可以是任意长度，只要满足三角形的定义即可。
其次，讨论三角形的角度最值。
根据三角形的定义，三角形的角度最小值为0度，最大值为180度。
这是因为三角形的角度必须小于180度，否则就不是三角形了。
最后，讨论三角形的面积最值。
根据三角形的定义，三角形的面积最小值为0，最大值为无穷大。
这是因为三角形的面积可以是任意大小，只要满足三角形的定义即可。
综上所述，三角形的边长最小值为0，最大值为无穷大；三角形的角度最小值为0度，最大值为180度；三角形的面积最小值为0，最大值为无穷大。
从这些最值和范围可以看出，三角形是一种非常灵活的几何形状，它的最值与范围问题也是数学中的一个重要研究课题。
三角形的最值与范围问题不仅仅是数学中的一个重要研究课题，它在实际应用中也有着重要的意义。
例如，在建筑设计中，三角形的最值与范围问题可以帮助建筑师更好地设计建筑物，以满足建筑物的结构要求。
此外，三角形的最值与范围问题也可以帮助工程师更好地设计机械设备，以满足机械设备的结构要求。
因此，三角形的最值与范围问题不仅仅是数学中的一个重要研究课题，它在实际应用中也有着重要的意义。
三角形的最值与范围问题的研究可以帮助我们更好地理解三角形，并且可以帮助我们更好地应用三角形，从而更好地解决实际问题。
解三角形面积最值问题
解三角形面积最值问题概述三角形是我们学习几何学时最常见的图形之一，其面积的计算是一个基本的几何问题。
而解三角形面积最值问题则是在给定一些限制条件下，求解三角形的最大面积或最小面积。
这涉及到数学中最优化的一个重要问题。
限制条件在解三角形面积最值问题时，我们通常会给出一些限制条件，这些条件可能包括角度的大小、边长的关系等。
下面是一些常见的限制条件：1.固定底边：给定三角形的底边长度为a，求使得面积最大或最小的三角形。
2.固定高：给定三角形的高为h，求使得面积最大或最小的三角形。
3.固定边长：给定三角形的两条边长为a和b，求使得面积最大或最小的三角形。
4.固定比例：给定三角形的边长比例为k，求使得面积最大或最小的三角形。
5.固定对角线：给定三角形的对角线长度为d，求使得面积最大或最小的三角形。
求解方法1. 利用面积公式三角形的面积可以通过以下公式来计算：A=12⋅base⋅ℎeigℎt其中A表示三角形的面积，base表示底边的长度，height表示高的长度。
根据给定的限制条件，我们可以通过求导等方法，将面积公式中的变量表示为常量，从而得到面积和其他变量之间的关系。
然后我们可以通过求解极值问题，找到使得面积最大或最小的变量取值。
2. 利用三角形特性三角形的边长、角度和面积之间有很多重要的关系。
利用这些关系，我们可以得到一些有助于解题的结论。
下面是一些常用的结论：1.等边三角形面积最大：当三角形的三条边相等时，三角形的面积最大。
2.高所对边最大：在给定三角形底边的情况下，使得三角形面积最大的情况是：底边为定长，底边两点的连线为垂线。
3.边长相等，角度越大，面积越大：在给定角度的情况下，如果三角形的两条边长相等，则面积最大的情况是这两条边垂直。
4.给定两边，夹角越大，面积越大：在给定两边的情况下，当这两边夹角最大时，三角形的面积最大。
通过利用这些有助于解题的结论，我们可以缩小解题的范围，降低解题的难度。
求解实例例题1：固定底边假设我们需要在给定底边长度为5的情况下，找到一个三角形，使得其面积最大。
专题17 三角形中的最值问题-备战2016高考技巧大全之高中数学黄金解题模板(解析版)
【高考地位】三角形中的范围与最值问题，是学生学习解三角形的过程中比较害怕的问题，它不仅仅需要用到三角变换、正余弦定理，往往还需要涉及基本不等式以及求函数值域. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一 求三角形面积的最值问题使用情景：一般三角形中解题模板：第一步 通过观察分析，决定选用合适的公式；第二步 通过运算、变形，利用三角函数的诱导公式、恒等变换以及边角转化、正弦余弦定理等，将问题转化为三角变换、基本不等式、函数值域等类型加以解决；第三步 得出结论.例1 求满足2,AB AC ==的ABC 的面积的最大值.【答案】【点评】本题结合函数的知识，以学生熟悉的三角形为载体，考察了面积公式、余弦定理等知识，是一道考察解三角形的好题.例2 在ABC 中，22223a b c ab +=+，若ABC ，求ABC 的面积的最大值.【答案】【解析】由22223a b c ab +=+及余弦定理得2221cos 23a b c C ab +-==，所以sin C =，【点评】先利用余弦定理求cos A 的大小，再利用面积公式结合基本不等式，求面积的最大值，要注意正弦定理与余弦定理的综合应用.【变式演练1】已知ABC 外接圆的半径为6，若面积22()ABC S a b c =--且4sin sin 3B C +=，则sin A = ，ABC S的最大值为 【答案】8sin 17A =，25617.考点：1．正弦定理；2．解斜三角形．【变式演练2】在ABC 中，(sin ,cos ),(cos ,sin )m A C n B A ==，且sin sin m n B C ⋅=+（1）求证：ABC 为直角三角形；（2）若ABC 外接圆的半径为1，求ABC 的周长的取值范围.【答案】（1）由(sin ,cos ),(cos ,sin )m A C n B A ==，且sin sin m n B C ⋅=+，得sin cos sin cos sin sin A B A C B C +=+，由正弦定理得cos cos a B a C b c +=+，由余弦定理得22222222a c b a b c a a b c ac ab+-+-⋅+⋅=+，整理得222()()0b c a b c +--=，又由于0b c +>，故222a b c =+，即ABC 是直角三角形.（或者：由sin cos sin cos sin sin A B A C B C +=+得，sin cos sin cos sin()sin()A B A C A C A B +=+++，化简得cos (sin sin )0A B C +=，由于sin sin 0B C +>，故cos 0A =，即ABC 是直角三角形）.（2）ABC 的周长的取值范围为(4,2+.【变式演练3】在ABC 中,,A B C 所对的边分别为,,a b c A =（1）若222a c b mbc -=-，求实数m 的值；（2）若a =ABC 面积的最大值.【答案】（1）1m =.（2类型二 求三角形中边或角的取值范围使用情景：三角形中解题模板：第一步 通过观察分析，将所给的边或角的关系转化为角或边之间的关系；第二步 利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理及其辅助角公式等转化；第三步 得出结论.例3 在锐角ABC 中，2A B =，则c b的取值范围是 . 【答案】(1,2).【点评】①本题易错在求B 的范围上，容易忽视“ABC 是锐角三角形”这个条件；②本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多元为一元，体现了解题的通性通法.例4 若ABC 的三边,,a b c 成等比数列，,,a b c 所对的角依次为,,A B C ，则sin cos B B +的取值范围是 .【答案】.【点评】本题将数列、基本不等式、三角函数、解三角形等知识结合起来，有利于提高学生解题的综合能力.【变式演练4】在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列。
三角形中的周长最大值问题(斜边法求周长)
三角形中的周长最大值问题(斜边法求周
长)
问题描述
给定一个三角形，边长为a、b、c。
我们要求在满足以下条件的情况下，使得三角形的周长最大。
条件：
- 三角形的两条边之和大于第三边。
- 三角形的两条边之差小于第三边。
解决方案
对于给定的三角形，我们可以通过斜边法来求解最大周长。
首先，我们需要找到三角形中最长的边。
通过比较a、b和c 的大小，我们可以找到最长的边l。
然后，我们需要找到两条较短的边之和s。
我们可以通过s = a + b + c - l得到。
最后，我们可以得到最大周长L = s/2 + l。
算法流程
1. 输入三角形的边长a、b、c。
2. 比较a、b和c的大小，找到最长的边l。
3. 计算两条较短边之和s = a + b + c - l。
4. 计算最大周长L = s/2 + l。
5. 输出最大周长L。
示例
假设给定三角形的边长为a = 5、b = 3、c = 7。
根据算法流程：
1. 比较a、b和c的大小，找到最长的边l = 7。
2. 计算两条较短边之和s = 5 + 3 + 7 - 7 = 8。
3. 计算最大周长L = 8/2 + 7 = 11。
因此，对于边长a = 5、b = 3、c = 7的三角形，最大周长为11。
总结
通过斜边法求解三角形中的最大周长问题，我们可以通过找到最长边和计算较短边之和来得到最终的解。
这个方法可以简单地应用于各种三角形情况，从而得到最优的结果。
知一边及其对角的三角形的最值问题
我们有一个三角形，已知一边长度和它所对的角，我们要找出这个三角形的最大面积和最小周长。
假设三角形的三边长度分别为a, b 和c，其中已知边长为a，已知角度为角A，对应的边长为b。
根据题目，我们可以建立以下方程和不等式：三角形的面积公式是：面积= (1/2) × a × b ×sin(A)。
三角形的周长是：周长= a + b + c。
根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，即：a + b > c, a + c > b, b + c > a。
同样地，任意两边之差小于第三边，即：|a - b| < c, |a - c| < b, |b - c| < a。
现在我们要来解这个问题，找出三角形的最大面积和最小周长。
为了找到三角形的最大面积，我们可以使用海伦公式来计算三角形的面积。
假设三角形的三边长度分别为a, b 和c，其中已知边长为a，已知角度为角A，对应的边长为b。
根据海伦公式，三角形的面积可以表示为：面积= sqrt[3] * (p * p * q) / (2 * q)其中，p 是半周长，q 是半周长减去已知边长a。
通过求导数并令其为0，我们可以找到面积的最大值。
最大面积是：0.5为了找到三角形的最小周长，我们可以使用不等式来求解。
根据不等式，三角形的周长可以表示为：周长= a + b + c根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，即：a + b > c, a + c > b, b + c > a。
通过求解不等式组，我们可以找到周长的最小值。
最小周长是：2.8284271247461903。
三角形中的范围(最值)问题
三角形中的范围(最值)问题三角形中的取值范围和最值问题一直是高考的热点和难点，常以小的压轴题出现，解例题：(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，且BD＝1，求4a＋c的最小值．变式1在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(2a＋c，b)，n＝(cos B，cos C)，且m，n垂直．(1)求角B的大小；(2)若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD＝1，设BC＝x，BA＝y，试确定y关于x的函数关系式，并求边AC的取值范围．变式2如图，某水域有两条直线型岸边l1和l2成定角120°，该水域中位于该角平分线上且与顶点A相距1 km的D处有一固定桩，现某渔民准备经过该桩安装一直线型的隔离网BC(B，C分别在l1和l2上)围出三角形ABC的养殖区，且AB和AC的长都不超过5 km，设AB＝x km，AC＝y km，(1)将y表示成x的函数，并求其定义域；(2)该渔民至少可以围出多少平方千米的养殖区？串讲1在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b，△ABC周长为7，求BC边上的中线AD的最小值．串讲2在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝π2，OP ＝22，点M 在线段PQ 上，点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝π6.(1)设∠POM ＝α，试用α表示OM ，ON ，并写出α的范围； (2)当α取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．(2018·全国大联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(c ＋a ，b )，n ＝(c －a ，b ＋c )，且a ＝3，m ⊥n .(1)求△ABC 面积的最大值； (2)求b ＋c 的取值范围．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，且4S ＝3(a 2＋c 2－b 2)．(1)求∠B 的大小；(2)设向量m ＝(sin2A ，3cos A )，n ＝(3，－2cos A )，求m ·n 的取值范围．答案：(1)π3；(2)(－6，32－3]．解析：(1)由题意，有4×12ac sin B ＝3(a 2＋c 2－b 2)，2分则sin B ＝3×a 2＋c 2－b 22ac ，所以sin B ＝3cos B .4分因为sin B ≠0，所以cos B ≠0，所以tan B ＝ 3.又0<B <π，所以B ＝π3.6分(2)由向量m ＝(sin2A ，3cos A )，n ＝(3，－2cos A )，得m ·n ＝3sin2A －6cos 2A ＝3sin2A －3cos2A －3＝32sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4－3.8分由(1)知B ＝π3，所以A ＋C ＝2π3，所以0<A <2π3.所以2A －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，13π12.10分所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π4∈⎝⎛⎦⎤－22，1.12分所以m ·n ∈(－6，32－3]．即m ·n 的取值范围是(－6，32－3].14分例题1 答案：9.解法1由S △ABD ＋S △CBD ＝S △ABC ，得12c·1·sin 60°＋12a·1·sin 60°＝12ac sin 120°，所以，a ＋c ＝ac.即1a ＋1c＝1.所以4a ＋c ＝(4a ＋c)(1a ＋1c )＝5＋c a ＋4ac≥5＋2c a ·4a c ＝9.当且仅当c ＝2a 即a ＝32，c ＝3取等号，所以4a ＋c 的最小值为9.解法2如图作DE ∥AB 交BC 点E ，所以∠EDB ＝∠DBA ＝∠DBE ＝60°，因为BD ＝1，所以△BDE 是边长为1的正三角形，CE CB ＝DEAB ，即a －1a ＝1c，变形得a ＋c ＝ac ，变形得44a ＋1c＝1. 于是1＝44a ＋1c ≥（2＋1）24a ＋c ，解得4a ＋c ≥9，当且仅当4a ＝2c ，当且仅当c ＝2a 即a ＝32，c ＝3时取等号，所以4a ＋c 的最小值为9.解法3设∠BDC ＝θ，易得60°<θ<120°，在△BDC 中，BC sin θ＝BDsin C ，因为BD ＝1，sin C ＝sin (θ＋60°)，所以a ＝sin θsin （θ＋60°），同理c ＝sin θsin （θ－60°）.所以4a ＋c ＝4sin θsin （θ＋60°）＋sin θsin （θ－60°）＝4sin θ12sin θ＋32cos θ＋sin θ12sin θ－32cos θ＝81＋3tan θ＋21－3tan θ≥（22＋2）2（1＋3tan θ）＋（1－3tan θ）＝9.当且仅当22(1－3tan θ)＝ 2(1＋3tan θ)时取等号，即tan θ＝33时4a ＋c 取最小值9. 解法4以B 为坐标原点，BC 为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，则A 落在第二象限，设直线AC 的方程为y －32＝k(x －12)，其中－3<k<0，令y ＝0得x C ＝k －32k >0，即a ＝k －32k，由于直线BA 的方程为y ＝－3x 代入y －32＝k(x －12)，解得x A ＝k －32（k ＋3）<0，所以c ＝－2x A ＝3－k （k ＋3）>0，则4a ＋c ＝2（k －3）k ＋3－k 3＋k＝1＋23(1－k ＋1k ＋3)≥1＋23×（1＋1）2－k ＋k ＋3＝9. 当且仅当－k·1＝(k ＋3)·1，即k ＝－32时取等号，所以4a ＋c 的最小值为9. 变式联想变式1答案：(1)2π3；(2)[23，＋∞)．解析：(1)因为m ⊥n ，所以(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得(4R ·sin A ＋2R ·sin C )cos B ＋2R ·sin B cos C ＝0，所以(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0，即2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0，即sin A (2cos B ＋1)＝0，因为A ，B ∈(0，π)，所以sin A ≠0，解得cos B ＝－12，B ＝2π3.(2)因为S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，S △ABC ＝12xy sin 2π3＝34xy ，S △ABD ＝12y sin π3＝34y ，S △BCD＝12x sin π3＝ 34x ，所以xy ＝x ＋y ， 即y ＝xx －1，x ∈(1，＋∞)．在△ABC 中，由余弦定理得 AC 2＝x 2＋y 2－2xy cos2π3＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ＝(x ＋y －12)2－14，因为x ＋y ＝xy ≤（x ＋y ）24，x >0，y >0，所以x ＋y ≥4，所以AC 2≥(4－12)2－14，所以AC ≥2 3.所以AC的取值范围是[23，＋∞)． 变式2答案：(1)y ＝xx －1， ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|54≤x ≤5；(2) 3. 解析：(1)由S △ABC ＝S △ABD ＋ S △ACD 得，12x sin 60°＋12y sin 60°＝12xy sin 120°，所以x ＋y ＝xy ，所以y ＝x x －1，又0<y ≤5，0<x ≤5，所以54≤x ≤5，即定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|54≤x ≤5. (2)设△ABC 的面积为S ，则结合(1)得S ＝12xy sin A ＝12x·x x －1·sin 120°＝3x 24（x －1）(54≤x ≤5)，因为x 2x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥4，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取等号． 故当x ＝y ＝2时，面积S 取得最小值3平方千米． 答：该渔民至少可以围出3平方千米的养殖区．串讲激活串讲1 答案：726. 解析：设∠BDA ＝θ，AD ＝x ，在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD·BD·cos ∠BDA ，可得15a 24－28a ＋49＝x 2－xa cos θ，①在△ACD 中，由余弦定理得3a 24＝x 2＋xa cos θ，②，由①＋②可得2x 2＝92a 2－28a ＋49＝92(a －289)2＋499≥499，所以x ≥726，当且仅当a ＝289时等号成立，所以中线AD 的最小值为726.串讲2 答案：(1)OM ＝2sin （α＋π4），ON ＝2sin （α＋5π12），0≤α≤π3；(2)α＝π6，8－4 3.解析：(1)在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OP sin ∠OMP ，即OM ＝2sin （α＋π4），同理ON ＝2sin （α＋5π12），0≤α≤π3.(2)S △OMN ＝12OM·ON sin ∠MON ＝1sin （α＋π4）×sin （α＋5π12）＝1sin （α＋π4）×sin （α＋π4＋π6）＝132sin 2（α＋π4）＋12sin （α＋π4）cos （α＋π4）＝134[1－cos （2α＋π2）]＋14sin （2α＋π2）＝134＋34sin 2α＋14cos 2α＝112sin （2α＋π6）＋34，因为0≤α≤π3，π6≤2α＋π6≤5π6，所以当α＝π6时，sin (2α＋π6)的最大值为1，此时△OMN 的面积最小．即α＝π6时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.答案：(1)334；(2)(3，23]．解析：(1)因为m ⊥n ，所以(c ＋a )(c －a )＋b (b ＋c )＝0，即c 2－a 2＋b 2＋bc ＝0，所以 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又A 是三角形的内角，所以A ＝120°，由c 2－a 2＋b 2＋bc ＝0，且a ＝3，所以b 2＋c 2＝9－bc ≥2bc ，解得bc ≤3.所以S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3·sin120°＝334.(2)由(1)可知c 2＋b 2＋bc ＝9，(b ＋c )2－bc ＝9，即(b ＋c )2－9＝bc ≤(b ＋c 2)2，解得b ＋c ≤23，又b ＋c >a ＝3，所以b ＋c 的取值范围是(3，23]．。
高中数学三角函数专题20 三角形中的范围与最值问题
专题20 三角形中的范围与最值问题一．选择题（共13小题）1．（2019•黄冈模拟）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，已知45C ∠=︒，2c =，a x =，若满足条件的三角形有两个，则x 的取值范围是( ) A ．21x << B ．22x << C ．12x <<D ．12x <<2．（2020•邵阳三模）锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin 3a C c =，1a =，则ABC ∆周长的最大值为( )A ．31+B ．21+C ．3D ．43．（2019春•河北月考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 3cos a B b A =，4b c +=，则ABC ∆面积的最大值为( )A ．1B ．3C ．2D ．234．（2020春•金安区校级月考）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin cos 0B A C +=，则当cos B 取最小值时，(c a = ) A ．2 B ．3 C ．2 D ．335．（2016•南昌校级二模）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角B 为锐角，且22sin sin sin A C B =，则a cb +的取值范围为( ) A ．(1,3) B ．(2,3) C ．13(,)22 D ．23(,)226．（2018•河南一模）已知锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2()b a a c =+，则2sin()sin A B A -的取值范围是( ) A ．2(0,)2 B ．13(,)22 C ．12(,)22 D ．3(0,)27．（2018春•雅安期末）在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=︒，2BC =，则AB 的取值范围是( )A ．(0,62)+B ．(32-，32)+C ．D ．8．（2018•惠州模拟）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为312S c =，则ab 的最小值为( ) A ．12 B ．13 C ．16 D ．3 9．（2017秋•罗庄区期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且2cos 2c B a b =-，若ABC ∆的面积为32S =，则c 的最小值为( ) A ．423- B ．31- C ．2 D ．210．（2021春•赛罕区校级期中）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为( )A ．3B ．2C ．22D ．2311．（2021春•瑶海区月考）若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是( )A ．624-B ．624+C ．622-D ．622+ 12．在ABC ∆中，3a b c +=，则cos cos cos A B C 的最大值为( )A ．781B ．18C ．19D ．88113．（2019•天河区二模）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A B =，则a b的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(1,3) C ．(0，1] D ．(1，2]二．填空题（共22小题）14．（2018春•昆山市期中）在ABC ∆中，若sin(2)2sin A B B +=，则tan B 的最大值为15．（2018•黑龙江模拟）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1cos cos 2a Bb Ac -=，当tan()A B -取最大值时，角B 的值为 ． 16．（2018秋•南城县校级期末）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222(cos cos )a b a B b A -=+，且ABC ∆的面积为25，则ABC ∆周长的最小值为 ．17．（2014•萧山区模拟）ABC ∆的三边a 、b 、c 和面积S 满足：22()S a b c =--，且ABC ∆的外接圆的周长为17π，则面积S 的最大值等于 ．18．（2017春•扬州期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22242a b c ++=，4ab =，则2sin sin 2C tan A B 的最小值是 ． 19．（2018秋•连云港期中）在ABC ∆中，4AB BC +=，sin tan24cos B A A =-，则当B ∠取最大值时，ABC ∆面积为 ．20．（2016•杭州校级模拟）直角ABC ∆中，2C π=，2AC =．若D 为AC 中点，且1sin 3ABD ∠=，则BC = ；若D 为AC 上靠近点C 的三等分点，则ABD ∠的最大值为 ．21．（2018秋•河南期中）在ABC ∆中，若cos 4AB BC B =，||32BC BA -=，则ABC ∆面积的最大值为 ．22．（2020•晋中模拟）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且sin2sin 0a B b A +=，若ABC ∆的面积3S b =，则ABC ∆面积的最小值为 ．23．（2020•渭南二模）在ABC ∆中，60B =︒，3AC =，则2AB BC +的最大值为 ．24．（2017秋•邯郸期中）在ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2A C B +=，sin 6sin b A B =，若符合条件的三角形有两解，则b 的取值范围是 ．25．（2020•郑州一模）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2cos (2cos )A a C =-，2c =，D 为AC 上一点，:1:3AD DC =，则ABC ∆面积最大时，BD = ．26．（2018春•柳南区校级月考）在ABC ∆中，D 为AC 上一点，且2AD =，1DC =，BD 为ABC ∠的角平分线，则ABC ∆面积的最大值为 ．27．（2019•江苏二模）在ABC ∆中，若sin 2C =cos cos A B ，则22cos cos A B +的最大值为 ．28．（2019春•广陵区校级期中）在ABC ∆中，若sin 2cos cos C A B =，则22sin sin A B +的最小值为 ．29．（2012秋•东台市校级月考）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，BC边上的高为2a ，则2b c a c b bc++的最大值为 ． 30．（2020春•高安市校级期中）在锐角ABC ∆中，3B π=，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cos 32A C a c ac+=，则a c +的取值范围是 ． 31．（2021•信阳开学）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，BD 为边AC 上的高，若b =23ABC π∠=，则BD 的最大值是 ． 32．（2021秋•鼓楼区校级月考）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且22222a b c +=，则111tan tan tan A B C ++的最小值为 ． 33．（2021春•朝阳区校级期末）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若3a =，3A π=，则223b c bc ++的取值范围是 ．34．（2021春•沈河区校级期末）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且32sin()3a b C π=+，则角B 为 ；若ABC ∆的面积为3，D 为AB 边的中点，则CD 的最小值 ．35．（2016•湖南模拟）已知平面四边形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且2AB =，4BC =，5CD =，3DA =，则平面四边形ABCD 面积的最大值为 ．三．解答题（共15小题）36．（2020春•包河区校级月考）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，3b =．（1）求ABC ∆的外接圆面积；（2）求2c a +的最大值．37．（2020春•香坊区校级期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，sin 1sin sin A a b B C a c-=-+-． （Ⅰ）设(sin ,1),(8cos ,cos2)m A n B A ==，判断m n ⋅最大时ABC ∆的形状． （Ⅱ）若3b =，求ABC ∆周长的取值范围．38．（2021春•龙泉驿区期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos sin sin cos 2b A C a B C b +=． （1）求角B 的大小； （2）若ABC ∆为锐角三角形，其外接圆半径为3，求ABC ∆周长的取值范围．39．（2021•章丘区模拟）已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足51sin()sin()664A A ππ-+=-． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆为锐角三角形，1a =，求ABC ∆周长的取值范围．40．（2021春•龙泉驿区期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A B C A B +-=．（1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆的外接圆半径为3，求ABC ∆周长的取值范围．41．（2020秋•浙江月考）已知函数2()2sin cos 23cos f x x x x =-．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()02A f =，2a =，求ABC ∆面积的最大值．42．（2019春•沈阳期末）已知ABC ∆的外接圆的半径为2，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，又向量(sin sin ,)m A C b a =--，2(sin sin ,sin )4n A C B =+，且m n ⊥． （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）求三角形ABC 的面积S 的最大值并求此时ABC ∆的周长．43．（2020•鹤壁模拟）如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(sin cos )a c B B =+．（1）求ACB ∠的大小；（2）若ACB ABC ∠=∠，点A ，D 在BC 的异侧，2DB =，1DC =，求平面四边形ABDC 面积的最大值．44．（2017秋•赫山区校级期中）锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的外接圆半径为R ，且满足2sin 3R a A =． （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆周长的最大值．45．（2017•资阳模拟）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知21sin sin sin 24B C B C -+=． （Ⅰ） 求角A 的大小； （Ⅱ） 若2b c +=，求a 的取值范围．46．（2015秋•北票市校级月考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin a b C c B =+．（1）求B ；（2）若4b =，求ABC ∆面积的最大值．47．（2020春•禅城区期末）在ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知=+．a b C c Bcos sin（1）求角B；（2）若2∆面积的最大值．b=，求ABC48．（2017秋•金台区期中）已知ABC∆的内角A，B，C所对底边分别是a，b，c．（1）若a，b，c成等差数列，证明：sin sin2sin()+=+；A C A C（2）若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．49．（2020春•盐城期末）在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且11 cos (1cos )a C c A =+．（1）若ABC ∆为锐角三角形，求c a 的取值范围； （2）若2b =，且[4B π∈，]2π，求ABC ∆面积的最小值．50．（2020秋•烟台期末）为提升居民生活质量，增加城市活力，某市决定充分利用城市空间修建口袋公园．如图所示，现有一处边长为40 m 的正方形空地ABCD ，若已规划出以A 为圆心、半径为30 m 的扇形健身场地AEF ，欲在剩余部修建一块矩形草坪PMCN ，其中点P 在圆弧EF 上，点M ，N 分别落在BC 和CD 上，设PAB θ∠=，矩形草坪PMCN 的面积为S ．（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）求S 的最大值以及相应θ的值．。
高考数学《与解三角形有关的最值问题》
高考数学 与解三角形有关的最值问题
例 2 在△ABC 中，已知角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，tanC＝csoinsAA＋ ＋scionsBB. (1) 求角 C 的大小； (2) 若△ABC 的外接圆直径为 1，求 a2＋b2＋c2 的取值范围． 解析：(1) 因为 tanC＝csoinsAA＋ ＋scionsBB，即csoinsCC＝csoinsAA＋＋csionsBB， 所以 sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB， 即 sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，所以 sin(C－A)＝sin(B－C)． 所以 C－A＝B－C 或 C－A＝π－(B－C)(不成立)，即 2C＝A＋B，所以 C＝π3.
tanAtanBtanC 将问题作进一步处理．
因为 2sin2A＋sin2B＝2sin2C，所以由正弦定理可得 2a2＋b2＝2c2.
由余弦定理及正弦定理可得 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝4ba2b＝4ba＝4ssiinnBA.
高考数学 与解三角形有关的最值问题
又因为 sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC， 所以 cosC＝sinAcosC4s＋incAosAsinC＝co4sC＋4stiannCA， 可得 tanC＝3tanA，代入 tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC 得 tanB＝3ta4nta2AnA－1， 所以ta1nA＋ta1nB＋ta1nC＝ta1nA＋3ta4nta2AnA－1＋3ta1nA＝3ta4nA＋121ta3nA.
高考数学 与解三角形有关的最值问题
(2) 解法一：由 C＝π3可得 c＝2RsinC＝1× 23＝ 23， 且 a＝2RsinA＝sinA，b＝2RsinB＝sinB. 设 A＝π3＋α，B＝π3－α，0<A<23π，0<B<23π，知－π3<α<3π. 所以 a2＋b2＋c2＝34＋sin2A＋sin2B＝34＋1－c2os2A＋1－c2os2B ＝74－12cos23π＋2α＋cos23π－2α＝74＋12cos2α. 由－π3<α<π3知－23π<2α<23π，－12<cos2α≤1，故32<a2＋b2＋c2≤94.
拓展四：三角形周长(定值,最值,范围)问题 (精讲)(解析版)
·四川眉山·统考一模）已知ABC的内角，且ABC的面积为，求ABC的周长.）解：由题意有cos cosB C ab ac+cos cos c B b+，且ABC 的面积为ABC S =334b =，所以由余弦定理得：924+-⨯⨯所以ABC 的周长为2．（2022春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知ABC 的内角C 所对的边分别为求角A ；若D 为BC 的中点，且ABC 的面积为cos a B a +sin sin A B ，得）根据题意可知，ABC 的面积为33322=在ABC 中，利用余弦定理可得：化简求解得：7，故BD 在ADB 和△在锐角ABC 中，角的面积为3(1)5π12k ⎡⎢⎣+-.1）由题意可得，ABC S =ABC S =根据余弦定理可得，22b c +2022春·重庆沙坪坝·已知ABC 中，若ABC 的面积为统考一模）已知ABC的内角3sin C-=，且ABC的面积为，求ABC的周长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．π3=；）如选择①cos cosBab ac+，且ABC的面积为S=，解得33ABC=+由余弦定理可得，A24313，所以ABC的周长13.2022·青海西宁已知ABC的内角+a B bcos求角A的大小及求ABC面积的最大值，并求此时ABC的周长．【答案】(1)A=(2)ABC面积的最大值为，此时ABC的周长为6+=，【详解】（1）ac时取等号，此时ABC的周长为高三校联考阶段练习）已知ABC的内角，ABC的面积为，求ABC的周长.π3b，∴结合正弦定理有）∵sin=，即∴sin B≠sin A）因为ABC的面积为由三角形的面积公式得又根据余弦定理24=2bc-=)3162=+)163bc故ABC的周长为．（2022春高三校联考阶段练习）在ABC中，角，ABC的面积是22）依题意，由正弦定理得22sin A)(S=ABC由余弦定理得2022春高三九江一中校联考阶段练习）如图，在ABC中，内角(1)求角C；6．（2022春·湖南岳阳·高二校联考期中）一块土地形状为四边形ABCD，其中120(1)求这块土地的面积；12ABC ADC S S =⨯+）连接CE ，12ABC BCE S S==15214FCE S =-ACD θ∠FCE S=，所以CF题型2：三角形周长（边长）（最值问题）春·福建宁德·高三校考期中）ABC 的内角，求ABC 周长的最大值ABC 周长ABC 周长的最大值为例题2．（2022春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）在ABC 中，,b c 分别是角A 对边，已知向量(3sin 22,cos ),(1,2cos )m x x n x =+=，设函数(f m n ⋅.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)若 )4a A ==，求b c +的最大值.【答案】(1)ππ,π(Z)36k k ⎤+∈⎥⎦ 3sin m n ⋅=π226x k ≤+≤的单调增区间为(1)判断ABD △的形状并证明；sin ABD ∠故BAD ∠（2）如图，在∴BCM BDA ，BA BDBM BC=且ABM ∠ABM BCD ，由Rt BCM △中，BM 3BMCM=，BC =春·浙江·高三慈溪中学校联考期中）已知ABC 的内角C 所对的)sin C ，若2AD DB =，1CD =，）解：法一：ADC ∠+cos 0BDC ∠=2249213c b c -=⨯⨯20a c =⇒又ABC 中cos 从而(2322a +()22b a +=所以()2b a +5法二：由()2232B A D CA CB CD C B D C D A C C D -=-⇒==⇒+ 2222294444cos CD CA CB CB CA b a ab ACB =++⋅=++∠， 24a ab ++， )()2233293929222b a a ab a b +⎛⎫=+=+⋅≤+ ⎪⎝⎭，)2726102255a ab +≤⇒+≤（当且仅当已知ABC 的内角是ABC 中BC ）22cos cos cos B C +-()()221sin 1sin C A ---2sin sin A -=由正弦定理得，22b c +-由余弦定理得，cos b A =(0,πA ∈（2）在ABC 中，由①当角B 为锐角时，cos BH AB B =⋅=2πcos 3⎛⋅- ⎝π,03A=∴当2C+②当角B③当角BBH AB=-ππ,32A=∴当2C+综上：当2．（2022在ABC中，内角求角B；若点D满足2BD BC=，且线段【答案】(1)π3 =.(2)6.【详解】（1）选①，由2sinb3sin cos sinC B+点D 满足2BD BC =，则BC CD =,故2BD a =，，故22AD c =+292ac -=，即( ，所以(2)c a +得最大值为6.(1,3=-m ，(sin ,cos n x =()m n n +⋅，在ABC 中，内角的对边分别为,a b ，且()f C =的大小； 若ABC 的面积为32，点D 12DA ，求的最小值．【答案】(1)π3C = 6【详解】（1）(1sin m n +=+)(1sin cos x x ++12sin x x ⎛+=- ⎝π113C ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，(0,πC ∈（2）1332ABCS=12CD DA =在BCD △22BD ∴≥BD ∴≥又()12CD CA CB =+，故2211222CD CA CB CA CB a =++⋅=22113322CD a b ab ab =++≥⨯=，当且仅当23a b ==时取得等号CD 的最小值为3.．（2022·四川成都·统考一模）已知锐角三角形ABC 的内角A ，，c ，满足6a =，5b =求c ；将ABC 分成面积相等的两部分，求3BA CA ⋅；③三个条件中选一个，补充在下面的横线处，并解答问题.在ABC 中，内角，ABC 的面积为，且满足___________ 求A 的大小；设ABC 的面积为2BD DC =的最小值. 【答案】(1)A =433【详解】（1）选ABC 中sin (0,πA ∈所以，32因此，A =选②，332S BA CA ⋅=，(0,πA ∈ABC 中sin ∴2sin cos B ABC 中sin ，(0,πA ∈（2）由13sin 2S bc =由23AD AB BC =+，有1233AD AB AC =+，∴222221441499999AD AB AB AC AC c b =+⋅+=+41648999bc +=，等号成立时28c b bc =⎧⎨=⎩即24c b =⎧⎨=⎩，题型3：三角形周长（边长）（范围问题）锐角ABC 中，的取值范围．又ABC 为锐角三角形，故解得π6B =.2）由正弦定理()sin A C +=由正弦定理，且ABC 为锐角三角形，故秋·新疆克拉玛依·高一克拉玛依市高级中学校考期末）在锐角ABC 中，A B C 已知向量m 、n 满足：(2,m a =，(),2sin n b B =且m n ∥． (1)求角A ；(2)若2a =，求【答案】(1)A =(23,4⎤⎦）因(2,m a = (,2sin n b =，且m n ∥， 6B b =2sin a B =在ABC 中，由正弦定理得：2sin sin A B =，而sin 0B >， 于是得sin A ，又A 为锐角， 所以3A π=．2）ABC 是锐角三角形，由（于是有02B π<<2，由正弦定理得43sin B ，春·全国·高三校联考阶段练习）已知向量(1,m =-，(sin ,cos n x =()m n n +⋅.在ABC 中，内角的对边分别为a ，，且()f C 的大小；，且ABC 的面积0,S ⎛∈ ⎝，求ABC 周长的取值范围3C π=）解：因为(1,m =-，()sin ,cos n x x =，，()()(1sin ,cos sin m n n x x x +⋅=+-⋅)(sin cos 3cos x x x +-+sin 3cos x -2sin 113C π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以3C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭k π，k ∈Z .ABCS=34，所以2a =+因为ABC 的周长62L <<，即ABC 周长4．（2022湖北孝感·高二大悟县第一中学校联考期中）已知ABC 的三个内角C 所对的边分别为，b ，c ，若，ABC 的面积sin sin C b +求A ；求ABC 周长的取值范围．综上，ABC 周长的取值范围方法二：=由正弦定理26sin ,3B c 263c +=综上，ABC 周长的取值范围2022春·山东高三校联考阶段练习）在锐角ABC 中，角sin cos b C C 的大小；的取值范围．因为ABC 为锐角三角形，π0220B A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=⎪⎩3tan 3<BABC 是锐角三角形，π02B <<ππ42B <<22c <<ABC 是锐角三角形，((2222c c c c ⎧-⎪⎨-⎪⎩．（2022春公路，BAC ∠(1)求M，N两地间的直线距离；统考三模）在ABC中，内角，且ABC的面积为83，求ABC的周长+A acos cos(B C C A==cos sin cos sin所以ABC的周长为．（2022·江苏南京2a；②b＝ab中，已知角A，求角A；3在ABC中，有A为锐角，得②因为b＝2a sin(在ABC中，有所以tan A=(2)由题意得，ABCS=b＝3c，所以所以ABC是钝角三角形cos ACD∠在直角ACD中，2022·江苏泰州在锐角ABC中，BC边上的高等于求证：sin A=45BAC=︒所以在ABE中AB 由余弦定理得BE=，33⊥点作CM BE=-2BE BM（2） ABES=BCDE ∈模拟预测）已知ABC 中，，求ABC 的面积； 求ABC 周长的取值范围．【答案】(1)32； )2,826或（，）在ABC 中，由2234sin c =于是得21b +所以ABC 的面积ABCS =）所以ABC 周长的取值范围是．（2022·青海西宁统考一模）在锐角ABC 中，角3⎛⎫-= ⎪⎝⎭C π）求角B 的大小；）若2b =，求ABC 的周长的取值范围. ；（2）(3,63⎤⎦. ）cos 3⎛- ⎝b C π0C ≠，∴B ）b BABC 为锐角三角形，,62A ππ⎛∈ ⎝43sin A ⎛⎝即ABC 的周长的取值范围是．（2022·广西广西师范大学附属外国语学校校考模拟预测）在ABC 中，角对边分别为a . 1）证明：ABC 是直角三角形；2）若ABC 面积为8，求ABC 的周长的最小值【答案】(1)证明见解析；428+. 【详解】(1)在ABC 中，由正弦定理sin sin c C a +=2sin sin C A =，sin()sin cos sin B C B C B =+=+假设ABC 不是直角三角形，2C π+>时，2B π>>sin (sin B B 矛盾， 2B C π<+<所以ABC 是直角三角形；(1)知，ABC 是直角三角形，ABCS=ABC 的周长216)l a b b =+-仅当4b =时取“=”，所以ABC 的周长的最小值是8．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）模拟预测）在ABC 中，满足23AD AC =，3BD =，求；（2）()3,3-. ）A B C π++=，B C ∴+=()()cos221cos cos2B C A +=+-，又0A <θ=，满足23AD AC =，3BD =，所以在锐角ABC 中，求ABC 周长的取值范围.1）π，⎡-⎣1）()f x =23sin 2x 因为三角形为锐角ABC ，,A 即tan A sin sin b B =2sin B ⎡++⎢⎣因为ABC 为锐角三角形，所以0223B B ππ<<<-62B ππ<<模拟预测）在ABC 中，）若ABC 为锐角三角形，且4=，求ABC 周长【答案】（1）B =4,12+⎤⎦.【详解】解：（1）2sin 2B a ， 1cos 32sin 26B A r -⋅=B ，即cos ∴1sin 1B ⎫=⎪由于ABC 为锐角三角形，223A C A ππ<=-2A π<<，ππ所以ABC 周长．（2022·河南统考模拟预测）在ABC 中，角2sin A B =+求角A 的大小；1a =，b +存在最大值，求正数λ的取值范围【答案】(1)23π统考模拟预测）在ABC 中，角，求BCD △0,3πα⎛∈ ⎝。
平面向量与三角形中的范围与最值问题
第01讲平面向量与三角形中的范围与最值问题【学习目标】1.掌握求平面向量范围与最值问题的基本方法2.掌握求解三角形中范围与最值问题的基本方法和常见的模型【基础知识】知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法：1．定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步:得出结论2．坐标法第一步: 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步: 将平面向量的运算坐标化第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解3．基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论4．几何意义法第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹第二步: 根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果知识点二．极化恒等式1．平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：()22222==+=+⋅+（1）C2AC A a b a a b b()22222==-=-⋅+（2）DB DB a b a a b b2（1）（2）两式相加得：2．极化恒等式： 上面两式相减，得：()()2214a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦————极化恒等式 （1）平行四边形模式：2214a b AC DB ⎡⎤⋅=-⎣⎦ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41。
（2）三角形模式：2214a b AM DB ⋅=-（M 为BD 的中点）AB CM知识点三.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。
解决这类问题，通常有下列五种解题技巧:(1)利用基本不等式求范围或最值；(2)利用三角函数求范围或最值；(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；(4)根据三角形解的个数求范围或最值；(5)利用二次函数求范围或最值.要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.【考点剖析】考点一：定义法例1．若ABC 中，2AB =，其重心G 满足条件：0BG AG ⋅=，则()22+CA CB AB BC ⋅取值范围为（） A ．()80,160-B ．()80,40-C ．()40,80-D ．()160,80-考点二：坐标法例2．在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，点E 为边AB 的中点，点F 为边BC 上的动点，则DE DF ⋅的取值范围是（）A ．[]2,4B ．[]2,3C ．[]3,4D ．[]1,4考点三：基底法例3．如图，已知点(2,0)P ，正方形ABCD 内接于⊙22:2O x y +=，M 、N 分别为边AB 、BC 的中点，当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围是（）A ．[]1,1-B ．2,2⎡⎣C ．[]2,2-D ．22⎡⎢⎣⎦考点四：几何意义法例4．在ABC 中，3AB =，4BC =，30B =︒，P 为边上AC 的动点，则BC BP ⋅的取值范围是（）A ．[]6,16B ．[]12,16C ．[]4,12D ．[]6,12考点五：极化恒等式例5．已知圆C 的半径为2，点A 满足4AC =，E ，F 分别是C 上两个动点，且23EF =则AE AF⋅的取值范围是（）A ．[6，24]B ．[4，22]C ．[6，22]D ．[4，24]【真题演练】1．在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-2．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（）A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-3．已知,a b 是单位向量，0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（ ） A ．2-12+1⎤⎦，B ．2-12+2⎡⎤⎣⎦，C ．12+1⎡⎤⎣⎦，D ．12+2⎡⎤⎣⎦，4．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．3 5．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-6．已知AB AC ⊥，1AB t =，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC =+，则·PB PC 的最大值等于（）.A ．13B ．15C ．19D ．217．已知向量,a b 满足1,2a b ==，则a b a b ++-的最小值是___________，最大值是______． 8．设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++的取值范围是_______． 9．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足()0b a b ⋅-=, 则||b 的取值范围是___________.10．如图，已知点O （0,0）,A （1,0）,B （0,−1）,P 是曲线y OP BA ⋅的取值范围是______.11．在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ== 则AE AF ⋅的最小值为_____________________. 12．已知向量12a b a b ==，，||，||，若对任意单位向量e ，均有6a e b e ⋅+⋅≤||||,则a b ⋅的最大值是． 13．已知平面向量a ，b ，||1,||2,1a b a b ==⋅=．若e 为平面单位向量，则||||a e b e ⋅+⋅的最大值是______．【过关检测】1．在ABCD 中，2,1,60AB BC DAB ==∠=︒，若E 为ABCD 内一动点（含边界），则AE BC ⋅的最大值是（）A ．1B ．2CD ．22．已知点P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+=（）A ．最大值为6B ．为定值6C ．最小值为3D ．为定值33．已为向量a ､b 的夹角为3π，||2||2b a ==，向量c xa yb =+且x ，[1,2]y ∈.则向量a ､c 夹角的余弦值的最大值为（）A B C 4．已知正方形ABCD 的边长为2，M 为正方形ABCD 的内部或边界上任一点，则MC MD ⋅的最大值是（）. A ．1B ．2C ．3D ．45．在△ABC 中，3cos 4A =，O 为△ABC 的内心，若(),R AO xAB yAC x y =+∈，则x ＋y 的最大值为（）A ．23B 6．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点A 为圆心的单位圆上．若(),R AP AB AD λμλμ=+∈，则λμ+的最大值为（）A ．3B D ．2 7．已知单位向量a ，b 满足0a b ⋅=，若()()0a c b c -⋅-=，并且c a b λμ=+，那么λμ+的最大值为（）A ．2B ．D ．32 8．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3cos 10C =，若92CB CA ⋅=，则c 的最小值为（） A ．2B ．4C D ．17 9．已知P 是等边三角形ABC 所在平面内一点，且AB =1BP =，则AP CP ⋅的最小值是（） A．1BC ．210．如图所示，点C 在以O 为圆心2为半径的圆弧AB 上运动，且AOB 120∠=，则CB CA 的最小值为（） A ．4-B ．2-C ．0D ．211．飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们在酒吧日常休闲的必备活动．某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖，该十字飞镖由四个全等的四边形拼成．在四边形ABCO 中，OA OC ⊥，4OA OC ==，AC BC ⊥，AC BC =，点P 是八边形ABCDEFGH 内（不含边界）一点，则OA AP ⋅的取值范围是（）A ．(16,48)-B ．(48,16)-C ．(-D ．(-12．如图，已知四边形ABCD 为直角梯形，AB BC ⊥，//AB DC ，AB =1，AD =3，23πBAD ∠=，设点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），则AB AP ⋅的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 13．如图，已知点P 在由射线OD 、线段OA ，线段BA 的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且OD 与BA 平行，若OP xOB yOA =+，当12x =-时，y 的取值范围是（）A ．[]0,1B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦第01讲平面向量与三角形中的范围与最值问题【学习目标】1.掌握求平面向量范围与最值问题的基本方法2.掌握求解三角形中范围与最值问题的基本方法和常见的模型【基础知识】知识点一．平面向量范围与最值问题常用方法：1．定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步:得出结论2．坐标法第一步: 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步: 将平面向量的运算坐标化第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解3．基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论4．几何意义法第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹第二步: 根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果知识点二．极化恒等式1．平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：()22222==+=+⋅+（1）AC A a b a a b bC2()22222==-=-⋅+（2）2DB DB a b a a b b（1）（2）两式相加得：2．极化恒等式： 上面两式相减，得：()()2214a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦————极化恒等式 （1）平行四边形模式：2214a b AC DB ⎡⎤⋅=-⎣⎦ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41。
二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法
数学篇纵观近年来各地中考数学试题，一类以二次函数为载体，探讨图形面积的最值问题频频出现.这类试题整合了代数和几何的部分重要知识，并融合了许多数学方法，难度颇高.如何根据题目提供的信息，依据图形的变化特征，抓住解答问题的关键，从而化难为易，正确解题呢？对此，笔者介绍四种常用方法，希望能给同学们攻破难题带来帮助.一、割补法在平面直角坐标系中，当三角形任意一边均不在坐标轴上，或者不与坐标轴平行时，一般采用割补法求解.割补法分为两部分，割是指将图形分解成几部分分别求解；补是指将所求图形填上一部分，然后用补后的图形面积减去所补部分的面积.两种方法的实质都是将二次函数中图形面积的最值问题通过“转化”思想，化为“线段（和）”最值问题，间接地求出图形面积的最值.例1如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+2x -3交x 轴于点A ，B ，在y 轴上有一点E （0，1），连接AE ．（1）求直线AE 的解析式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值．图1解：（1）∵y =x 2+2x -3=(x +3)(x -1)，∴当y =0时，x 1=-3，x 2=1，∴点A 的坐标为（-3，0），设直线AE 的解析式为y =kx +b ，∵过点A （-3，0），E （0，1），∴ìíî-3k +b =0,b =1,解得：ìíîïïk =13,b =1,∴直线AE 的解析式为y =13x +1；（2）如图1，过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，延长DG 交AE 于点F ，设D (m ,m 2+2m -3)，则F (m ,13m +1)，∴DF =-m 2-2m +3+13m +1=-m 2-53m +4，∴S △ADE =S △ADF +S △DEF=12×DF ×AG +12DF ×OG =12×3×DF =32(-m 2-53m +4)=-32(m +56)2+16924，∴当m =-56时，△ADE 的面积取得最大值为16924．二、铅垂法如图2，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”(h )．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.这种方法我们称之为铅垂法.求二次函数中三角形面积的最值，往往可以转化为求铅垂高的最值，当铅垂高取得最大值时，三角形的面积最大.二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法四川绵阳陈霖数苑纵横23数学篇例2已知：如图3，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（-2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？图3解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（-2，0），∴设抛物线解析式为y=a(x-6)(x+2)，将点A（0，6）代入，得：-12a=6，解得：a=-12，所以抛物线的解析式为y=-12(x-6)(x+2)=-12x2+2x+6；（2）如图3，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：ìíîb=6,6k+b=0,解得：ìíîk=-1,b=6,则直线AB的解析式为y=-x+6，设P(t,-12t2+2t+6)，其中0＜t＜6，则N(t,-t+6)，所以PN=PM-MN=-12t2+2t+6-(-t+6)=-12t2+3t，所以S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN⋅AG+12PN⋅BM=12PN(AG+BM)=12PN⋅OB=12×(-12t2+3t)×6=-32(t-3)2+272，所以当t=3，P位于（3，152）时，△PAB三、切线法切线法体现了数学中最为常见的数形结合思想，将三角形的一边作为三角形的底，只要求出高的最大值就可以求出面积的最值．将底边所在的直线平移，与抛物线只有一个交点，即相切时，两直线的距离即高的长度最大，然后将直线与抛物线的解析式联立方程组，求出切点的坐标，此时不用求出三角形面积的解析式就可直接运用三角形的面积公式求出最值．例3如图4，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x-4与x轴，y轴分别交于点A和点B.抛物线y=ax2+bx+c经过A，B两点，且对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的另一交点为点C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）设点E是抛物线上一动点，且点E在直线AB下方.当△ABE的面积最大时，求点E的坐标，及△ABE面积的最大值S.图4解：（1）在y=-x-4中分别令x=0，y=0，可得点A（-4，0），B（0，-4），根据A，B坐标及对称轴为直线x=-1，可得方程组ìíîïïïï-b2a=-1,16a-4b+c=0,c=-4,解方程组可得：ìíîïïïïa=12,b=1,c=-4,∴抛物线的函数表达式为y=12x2+x-4；（2）设点E的坐标为(m，12m2数苑纵横数学篇上且距AB 最远，此时E 点所在直线与AB 平行，且与抛物线相切，只有一个交点，设点E 所在直线为l ：y =-x +b ，联立得方程组：ìíîïïy =-x +b ,y =12x 2+x -4,消去y ，得：12x 2+2x -4-b ＝0，据题意得Δ=22-4×12(-4-b )=0，解得b =-6，∴直线l 的解析式为y =-x -6，联立方程，得ìíîïïy =-x -6,y =12x 2+x -4,解得：ìíîx =-2,y =-4,∴点E (-2,-4)，过点E 作y 轴的平行线交直线AB 于H ，此时点N （-2，-2），EN =-2-（-4）=2，∴S △ABE =12EN ×AO =12×2×4=4，△ABE 面积的最大值为4.四、三角函数法对于三角形问题，三角函数的引入可以为求线段长度提供新的解题思路.在直角三角形中，只需要知道一边的长度和除直角外任意一个角的度数，就可以用三角函数式表示出其余的边长或高.然后将三角函数式带入三角形面积公式，求出三角形面积的解析式，利用二次函数的性质即可求得面积最值.例4如图5，已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A （-1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C .（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线交y 轴于点C ，在抛物线上的第一象限上是否存在一点P ，使△PAC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PAC 面积的最大值；若不存在，请说明理由.图5解：（1）把A （-1，0），B （3，0）代入y =-x 2+bx +c ，可得，{-1+b +c =0，-9-3b +c =0，解得{b =-2，c =3，∴抛物线的解析式为：y =-x 2-2x +3.（2）如图5，作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点F ，作PM ⊥AC 于点M .设直线AC 的解析式为y =mx +n ，把B （-3，0）、C （0，3），代入得{-3m +n =0，n =3，解得{m =1，n =3，故直线BC 的解析式为y =x +3.设点P 的坐标为（x ，-x 2-2x +3）（-3＜x ＜0），则点F 的坐标为（x ，x +3）.由A 、C 坐标可知，AC =32，S ΔPAC =12AC ∙PM=12×32PF ∙sin ∠PFM =]()-x 2-2x +3-()x +3∙sin ∠ACO =32()-x 2-3x =-32æèöøx +322+278,当x =-32时，-x 2-2x +3=154，即P (-32,154).所以存在一点P ，使△PAC 的面积最大，最大值为278，P 点坐标为(-32,154).通过对以上四种方法的分析介绍，相信同学们对二次函数背景下三角形面积的最值问题的解法有了一定的了解.同学们只要掌握好了这四种方法，在二次函数的综合题中，再出现求图形面积的最值问题，就能轻松应对了.数苑纵横25。
第08讲 拓展三：三角形中面积(定值,最值,取值范围)问题 (精讲)(学生版)
第08讲 拓展三：三角形中面积（定值，最值，取值范围）问题 (精讲）目录第一部分：知识点精准记忆 第二部分：典型例题剖析高频考点一：求三角形面积（定值问题） 高频考点二：根据三角形面积求其它元素高频考点三：求三角形面积最值 高频考点四：求三角形面积取值范围第三部分：高考真题感悟1、三角形面积的计算公式：①12S =⨯⨯底高； ②111=sin sin sin 222S ab C ac B bc A ==； ③1()2S a b c r =++（其中，,,a b c 是三角形ABC 的各边长，r 是三角形ABC 的内切圆半径）； ④4abcS R=(其中，,,a b c 是三角形ABC 的各边长，R 是三角形ABC 的外接圆半径). 2、三角形面积最值：核心技巧：利用基本不等式222()22a b a b ab ++≤≤，再代入面积公式. 3、三角形面积取值范围：核心技巧：利用正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.高频考点一：求三角形面积（定值问题）1．（2022·河南·模拟预测（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos cos c C a B b B C =-+.(1)求角C ；(2)若6c =，ABC 的面积6sin S b B =，求S .2．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()()sin sin sin sin sin sin 3sin sin A B C A B C A B+++-=.(1)求角C 的大小；(2)若ABC 外接圆的面积为12π，6b =，求ABC 的面积.3．（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2B Ca C +=. (1)求角A 的大小；(2)若点D 在边BC 上，且33CD BD ==，π6BAD ∠=，求△ABC 的面积.4．（2022·河南三门峡·模拟预测（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos ba C c A C +=.(1)求tan C ；(2)若3c =，16sin sin 27A B =，求ABC 的面积.5．（2022·全国·高三专题练习）在①()()()sin sin sin sin A B a b C B c +-=-，②sin sin 2B C b a B +=，③2tan tan tan B bA B c=+中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________． (1)求角A 的大小；(2)已知2AB =，D 为AB 中点，且2CD ab =，求ABC 面积．高频考点二：根据三角形面积求其它元素1．（2022·江苏南京·模拟预测）请在①向量,sin c a x B b c -⎛⎫=⎪+⎝⎭，,sin b c y A c a -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，且x y ；π2sin 3c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个填入横线上并解答．在锐角三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，． (1)求角C ；(2)若ABC 的面积为2a b +的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．2．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）在ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos b a c B =-(1)求C 的大小；(2)若ABC 的面积为cos2cos2A B +的值.3．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））如图，在ABC 中，2AC =，120ACB ∠=︒，D 是边AB 上一点.(1)若CAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，求BD 的长；(2)若D 是边AB 的中点，ABC 的面积为CD 的长.4．（2022·河南郑州·高一期中）在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量(2,3a a =，(,sin )b c C =，且a b ∥． (1)求角A(2)若c ＝2，且△ABC AC 边上的中线BM 的大小．5．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()cos cos sin a B C A C a -=-.以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3O .(1)求A ；(2)若a =123O O O ABC 的周长.高频考点三：求三角形面积最值1．（2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习）ABC ∆中，60,A a =︒=(1)若2b c =，求(2)求三角形面积的最大值2．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习（理））在ABC 中，b ，c 分别为内角B ，C 的对边长，设向量cos ,sin 22A A m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且有22m n ⋅=．(1)求角A 的大小；(2)若a =3．（2022·上海·高三专题练习）已知()21cos cos 2f x x x x =-+. （1）若ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的取值范围；（2）设ABC 的三边分别是a ，b ，c ，周长为2，若()12f B =-，求ABC 面积的最大值.4．（2022·河南·高三阶段练习（理））在ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()(),2,cos ,cos m a b c n B A =-=，且m n ⊥.（1）求角A 的大小；（2）若ABC 外接圆的半径为2，求ABC 面积的最大值.5．（2022·福建省厦门第六中学高一阶段练习）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=．(1)求A ；(2)若2a =，求ABC 的面积的最大值．6．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知等腰三角形ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin b A B =，c (c ＋b )＝(a ＋b )(a －b )． (1)求A 和b ；(2)若点E ，F 分别是线段BC (含端点)上的动点，且BF ＞BE ，在运动过程中始终有3EAF π∠=，求△EAF 面积的最小值．7．（2022·福建·厦门双十中学高一期中）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC 区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA 区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC 周围筑起护栏.已知40m AC =，BC =，AC BC ⊥，30MCN ∠=︒.(1)若20m AM =时，求护栏的长度（△MNC 的周长）；(2)当ACM ∠为何值时，鱼塘△MNC 的面积最小，最小面积是多少？8．（2022·上海徐汇·二模）某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形ABC 的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，90BAC ∠=︒，20AB AC ==（单位：米），E 、F 为BC 上的两点，且45EAF ∠=︒，AEF 区域为休息区，ABE △和ACF 区域均为活动区．设()045EAB αα∠=<<︒．(1)求AE 、AF 的长（用α的代数式表示）；(2)为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当α为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？高频考点四：求三角形面积取值范围1．（2022·江苏·无锡市第一中学高一期中）已知ABC 的内角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，且()sin sin sin b c B c C a A -+=，cos cos 1b C c B +=.(1)求A 和a 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积的取值范围.2．（2022·四川绵阳·高一期中）在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，且2tan tan tan B bA B c=+．(1)求角A 的大小；(2)若ABC 是锐角三角形，2b =，求ABC 面积的取值范围．3．（2022·浙江·瑞安市瑞祥高级中学高一阶段练习）ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知(),,sin ,sin 2A C m a b n A +⎛⎫== ⎪⎝⎭，且//m n .(1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且a =ABC 的面积的取值范围.4．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）在ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin a b A Cc A B--=+． (1)求角B 的值；(2)若ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求ABC 的面积S 的取值范围．5．（2022·广东茂名·高一阶段练习）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin A B a cC a b--=+．(1)求角B 的值；(2)若△ABC 为锐角三角形，且2c =，求△ABC 的面积S 的取值范围．6．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知cos cos 2sin a bB AC c c+=．(1)求角C 的大小；(2)若ABC 是锐角三角形，且4b =，求ABC 面积的取值范围．7．（2022·江苏省苏州第十中学校高一期中）已知ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且()2cos cos a b C c B -= (1)求角C(2)若2a =，3b =，CD 为角C 的平分线，求CD 的长； (3)若cos cos 4a B b A +=，求锐角ABC 面积的取值范围.1．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=． （1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件②：ABC 的周长为4+条件③：ABC2．（2019·全国·高考真题（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．3．（2017·上海·高考真题）已知函数()()221cos sin ,0,2f x x x x π=-+∈．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC 的面积．4．（2013·湖北·高考真题（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．5．（2015·山东·高考真题（理））设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.。
解三角形最值 范围问题
解三角形最值范围问题嘿，朋友们！今天咱们来聊聊解三角形中的最值和范围问题，这就像是在三角形的奇妙世界里玩一场寻宝游戏，超级有趣呢！你看，三角形就像一个小小的王国，三条边和三个角就是这个王国里的居民。
当我们要找三角形的最值和范围时，就像是在这个王国里寻找最珍贵的宝藏或者探索居民们活动的边界。
比如说，正弦定理和余弦定理就是我们探险的重要工具。
正弦定理就像是一把神奇的钥匙，可以打开角度和边长关系的大门。
想象一下，你拿着这把钥匙在三角形的城堡里，左扭扭右扭扭，就把那些隐藏在角落里的边长与角的秘密给找出来了。
余弦定理呢，那简直就是一个超级放大镜。
它能把三角形的边和角之间那种微妙的关系放大得清清楚楚。
就好像你本来只能看到三角形这个小世界里模模糊糊的影子，余弦定理一来，“啪”的一下，所有细节都展现在眼前了。
有时候啊，我们遇到求三角形面积的最值。
这就好比是在这个三角形王国里找最大的一块土地。
你得小心翼翼地利用那些定理，像个精明的地主一样，把边和角摆弄来摆弄去，想办法让这块“土地”面积最大。
要是不小心弄错了，就像一个糊涂的农夫，把好好的地种得乱七八糟。
还有求角的范围的时候，那就像是在给三角形里的角们划地盘。
这些角啊，可调皮了，你得用那些定理和不等式把它们死死地限定在一个范围内，不然它们就像一群调皮的小猴子，到处乱窜，让你的答案变得乱七八糟。
在这个过程中，我们可能会遇到各种陷阱。
比如有些看似简单的条件，其实就像隐藏在草丛里的小怪兽，冷不丁就会把你绊倒。
你得仔细分辨，像个勇敢的骑士一样，把这些小怪兽一一打败。
而且啊，有时候你以为你已经找到了宝藏的准确位置，也就是求出了最值或者范围，结果一检查，发现自己掉进了一个大坑里，就像你满心欢喜以为挖到了金子，结果发现是个破铜烂铁。
这时候你就得重新审视自己的解题步骤，看看是哪个调皮的定理被你用错了。
解三角形的最值和范围问题虽然有点像走迷宫，但只要我们掌握好那些神奇的定理工具，小心那些隐藏的陷阱，就能在这个三角形的奇妙世界里顺利地找到宝藏，成功完成这场有趣的冒险啦！怎么样，是不是感觉没那么可怕了呢？。
高考数学复习考点题型专题讲解3 三角中的最值、范围问题
高考数学复习考点题型专题讲解专题3 三角中的最值、范围问题高考定位 以三角函数、三角形为背景的最值及范围问题是高考的热点，常用的方法主要有：函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等.1.(2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4D.π 答案 A解析法一f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π， 得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A. 法二 因为f (x )＝cos x －sin x ， 所以f ′(x )＝－sin x －cos x ，则由题意，知f ′(x )＝－sin x －cos x ≤0在[－a ，a ]上恒成立， 即sin x ＋cos x ≥0，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥0在[－a ，a ]上恒成立，结合函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象可知有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，解得a ≤π4， 所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A. 2.(2022·全国甲卷)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，136 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，196 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤136，83 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤136，196答案 C解析 由题意可得ω>0，故由x ∈(0，π)，得ωx ＋π3∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，πω＋π3.根据函数f (x )在区间(0，π)上恰有三个极值点，知5π2<πω＋π3≤7π2，得136<ω≤196. 根据函数f (x )在区间(0，π)上恰有两个零点，知2π<πω＋π3≤3π，得53<ω≤83.综上，ω的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤136，83.3.(2018·北京卷)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝________；ca的取值范围是________. 答案 60° (2，＋∞)解析 △ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝34×2ac cos B ，所以tan B ＝3，因为0°<∠B <90°， 所以∠B ＝60°.因为∠C 为钝角，所以0°<∠A <30°， 所以0<tan A <33，所以c a ＝sin C sin A ＝sin （120°－A ）sin A＝sin 120°cos A －cos 120°sin Asin A＝32tan A ＋12>2， 故ca的取值范围为(2，＋∞).4.(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A1＋sin A ＝sin 2B1＋cos 2B.(1)若C ＝2π3，求B ；(2)求a 2＋b 2c2的最小值.解 (1)因为cos A 1＋sin A ＝sin 2B1＋cos 2B ，所以cos A 1＋sin A ＝2sin B cos B1＋2cos 2B －1，所以cos A 1＋sin A ＝sin Bcos B，所以cos A cos B ＝sin B ＋sin A sin B ， 所以cos(A ＋B )＝sin B ， 所以sin B ＝－cos C ＝－cos2π3＝12. 因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以B ＝π6.(2)由(1)得cos(A ＋B )＝sin B ， 所以sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－（A ＋B ）＝sin B ，且0<A ＋B <π2，所以0<B <π2，0<π2－(A ＋B )<π2，所以π2－(A ＋B )＝B ，解得A ＝π2－2B ，由正弦定理得a 2＋b 2c 2＝sin 2A ＋sin 2Bsin 2C＝sin 2A ＋sin 2B 1－cos 2C ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2B ＋sin 2B 1－sin 2B＝cos 22B ＋sin 2B cos 2B ＝（2cos 2B －1）2＋1－cos 2B cos 2B＝4cos 4B －5cos 2B ＋2cos 2B ＝4cos 2B ＋2cos 2B －5≥24cos 2B ·2cos 2B －5＝42－5，当且仅当cos 2B ＝22时取等号， 所以a 2＋b 2c2的最小值为42－5.热点一 三角函数式的最值或范围求三角函数式的最值或范围问题，首先把函数式化为一个角的同名三角函数形式，接着利用三角函数的有界性或单调性求解.例1(2022·宁波调研)已知函数f (x )＝2sin x cos x －23cos 2x ＋ 3. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)因为f (x )＝2sin x cos x －23cos 2x ＋3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3＝2sin π6＝1.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，所以，当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，f (x )取到最大值2； 当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取到最小值－ 3.易错提醒 求三角函数式的最值范围问题要注意： (1)把三角函数式正确地化简成单一函数形式；(2)根据所给自变量的范围正确地确定ωx ＋φ的范围，从而根据三角函数的单调性求范围.训练1(2022·潍坊质检)在①函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，②函数y ＝f (x ) 的图象关于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，③函数y ＝f (x )的图象经过点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－1，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.问题：已知函数f (x )＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且________，判断函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时的x 值；若不存在，说明理由.解f (x )＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ＝sin(ωx ＋φ)， 由已知函数f (x )的周期T ＝2πω＝π，得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ). 若选①，则有2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )， 解得φ＝k π－π6(k ∈Z ).又因为|φ|<π2，所以φ＝－π6， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，则2x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数f (x )取得最大值，最大值为1.若选②，则有2×π6＋φ＝k π(k ∈Z )， 解得φ＝k π－π3(k ∈Z ). 又因为|φ|<π2，所以φ＝－π3， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2时，则2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3， 所以当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，函数f (x )取得最大值，最大值为1.若选③，则有2×2π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π－11π6(k ∈Z ).又因为|φ|<π2， 所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，则2x ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，7π6，显然，函数f (x )在该区间上没有最大值. 热点二 与三角函数性质有关的参数范围与三角函数性质有关的参数问题，主要分为三类，其共同的解法是将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的ωx ＋φ看作一个整体，结合正弦函数的图象与性质进行求解. 考向1 由最值(或值域)求参数的范围例2 若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，则ω的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，72D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，72答案 B解析 因为ω>0，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ωx －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，ωπ2－π4.又因为函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，所以π2≤ωπ2－π4≤5π4，解得32≤ω≤3.故选B.考向2 由单调性求参数的范围例3 已知f (x )＝sin(2x －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是增函数，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，7π8上有最小值，那么φ的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π3答案 B解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，得2x －φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－φ，2π3－φ， 又由0<φ<π2，且f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是增函数，可得2π3－φ≤π2，所以π6≤φ<π2. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，7π8时，2x －φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－φ，7π4－φ， 由f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，7π8上有最小值，可得7π4－φ>3π2，则φ<π4.综上，π6≤φ<π4.故选B.考向3 由函数的零点求参数的范围例4 已知a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin ω2x ，sin ωx ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ω2x ，12，其中ω>0，若函数f (x )＝a·b －12在区间(π，2π)上没有零点，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤0，18B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，58C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤58，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58答案 D 解析f (x )＝sin 2ω2x ＋12sin ωx －12＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12(sin ωx －cos ωx )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4.由函数f (x )在区间(π，2π)上没有零点，知其最小正周期T ≥2π， 即2πω≥2π，所以ω≤1. 当x ∈(π，2π)时，ωx －π4∈⎝⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ－π4≥k π，2ωπ－π4≤（k ＋1）π(k ∈Z )，解得k ＋14≤ω≤k 2＋58(k ∈Z ).因为0<ω≤1， 当k ＝0时，14≤ω≤58，当k ＝－1时，0<ω≤18，所以ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58.故选D.规律方法 由三角函数的性质求解参数，首先将解析式化简，利用对称性、奇偶性或单调性得到含有参数的表达式，进而求出参数的值或范围.训练2 (1)(2022·广州调研)若函数f (x )＝12cos ωx －32sin ωx (ω>0)在[0，π]内的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则ω的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43C.⎝⎛⎦⎥⎤0，23D.(0，1](2)(2022·金华质检)将函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x 的图象向左平移π8个单位长度后，得到g (x )的图象，若函数y ＝g (ωx )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递减，则正数ω的最大值为( )A.12B.1 C.32D.23答案 (1)A (2)A解析 (1)f (x )＝12cos ωx －32sin ωx ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，当x ∈[0，π]时，π3≤ωx ＋π3≤ωπ＋π3. 又f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以π≤ωπ＋π3≤5π3，解得23≤ω≤43， 故ω的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43.(2)依题意，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2x 22＝1＋cos 22x 2＝3＋cos 4x4， 其图象向左平移π8个单位长度得到g (x )＝34＋14cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝34＋14cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2 ＝34－14sin 4x 的图象， 故g (ωx )＝34－14sin(4ωx ).令－π2＋2k π≤4ωx ≤π2＋2k π，k ∈Z ，由于ω>0，得－π8＋k π2ω≤x ≤π8＋k π2ω，k ∈Z .由于函数g (ωx )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递减，故⎩⎪⎨⎪⎧－π8＋k π2ω≤－π12，π8＋k π2ω≥π4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω≤32－6k ，ω≤12＋2k ，k ∈Z ，所以当k ＝0时，ω＝12为正数ω的最大值.热点三 三角形中有关量的最值或范围三角形中的最值、范围问题的解题策略(1)定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围.(2)构建函数：根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式.(3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值.例5(2022·滨州二模)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知6cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＋cos A ＝5. (1)求A 的大小；(2)若a ＝2，求b 2＋c 2的取值范围. 解 (1)由已知得6sin 2A ＋cos A ＝5，整理得6cos 2A －cos A －1＝0， 解得cos A ＝12或cos A ＝－13.又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos A ＝12，即A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 及a ＝2，A ＝π3得4＝b 2＋c 2－bc ， 即b 2＋c 2＝4＋bc ，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝232＝433，即b ＝433sin B ，c ＝433sin C ，又C ＝2π3－B ，所以bc ＝163sin B sin C ＝163sin B sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝833sin B ·cos B ＋83sin 2B＝433sin 2B －43cos 2B ＋43＝83sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋43， 又由⎩⎪⎨⎪⎧0<B <π2，0<23π－B <π2，解得π6<B <π2，所以π6<2B －π6<56π，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，所以bc ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤83，4，所以b 2＋c 2＝4＋bc ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤203，8.易错提醒 求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清楚变量的范围，若已知边的范围，求角的范围可以利用余弦定理进行转化.(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A <π，|b －c |<a <b ＋c ，三角形中大边对大角等.训练3 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知S ＝34(b 2＋c 2－a 2)，a ＝4.(1)求角A 的大小.(2)求△ABC 周长的取值范围. 解 (1)由S ＝34(b 2＋c 2－a 2)， 得12bc sin A ＝34(b 2＋c 2－a 2)＝34×2bc cos A ， 整理得tan A ＝3，因为A ∈(0，π), 所以A ＝π3.(2)设△ABC 的周长为L ， 因为a ＝4，A ＝π3， 由余弦定理得：42＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即42＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝14(b ＋c )2， 所以b ＋c ≤8， 又b ＋c >a ＝4，所以L ＝a ＋b ＋c ∈(8，12].一、基本技能练1.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，则ω的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 A解析 函数f (x )的周期T ≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，则2πω≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.2.将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位长度，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为( ) A.π12B.π6C.π3D.5π6 答案 B解析 将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位长度，得到图象的函数解析式为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ，此函数为奇函数，所以－2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝7π6＋k π(k ∈Z )， 则当k ＝－1时，|φ|取得最小值π6.3.(2022·海南模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin A ＋2c sinC ＝2b sin C cos A ，则角A 的最大值为( ) A.π6B.π4 C.π3D.2π3答案 A解析 因为a sin A ＋2c sin C ＝2b sin C cos A ， 由正弦定理可得，a 2＋2c 2＝2bc cos A ，① 由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，② ①＋②得2a 2＝b 2－c 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝b 2＋c 2－12（b 2－c 2）2bc＝b 2＋3c 24bc ≥23bc 4bc ＝32(当且仅当b ＝3c 时取等号)，所以角A 的最大值为π6.4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a －cb＝cos Ccos B，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为( ) A.43B.2 3 C.2 D. 3 答案 A解析 ∵在△ABC 中，2a －cb＝cos C cos B， ∴(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 整理得sin(B ＋C )＝2sin A cos B ， ∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0. ∴cos B ＝12，即B ＝π3，由余弦定理可得16＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ， ∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时取等号， ∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤4 3.即△ABC 的面积的最大值为4 3.5.(2022·苏北四市模拟)若函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在(0，α)上恰有2个零点，则α的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，4π3 B.⎝⎛⎦⎥⎤5π6，4π3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π3，8π3 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤5π3，8π3 答案 B解析 由题意，函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，因为0<x <α，所以π3<2x ＋π3<2α＋π3， 又由f (x )在(0，α)上恰有2个零点， 所以2π<2α＋π3≤3π，解得5π6<α≤4π3， 所以α的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤5π6，4π3.故选B. 6.已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为π，且对x ∈R ，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，若函数y ＝f (x )在[0，a ]上单调递减，则a 的最大值是( ) A.π6B.π3 C.2π3D.5π6答案 B解析 因为函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的最小正周期为π， 所以ω＝2ππ＝2， 又对x ∈R ，都有f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以函数f (x )在x ＝π3时取得最小值，则2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ， 即φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2k π≤2x ＋π3≤π＋2k π，k ∈Z ， 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，则函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递减，故a 的最大值是π3，故选B.7.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________. 答案⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，因为ω>0，－π3ω≤ωx ≤π4ω， 由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32，故ω取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.8.已知函数f (x )＝cos ωx ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点，则ω的取值范围是________. 答案⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，136解析函数f (x )＝cos ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)， 由x ∈[0，π]，得ωx ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，ωπ＋π3.又f (x )在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点， 则2π≤ωπ＋π3<52π， 解得53≤ω<136.9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的角平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________. 答案 9解析 因为∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ， 所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，由三角形的面积公式可得12ac sin 120°＝12a ×1·sin 60°＋12c ·1·sin 60°，化简得ac ＝a ＋c ，又a >0，c >0，所以1a ＋1c＝1，则4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥5＋2c a ·4ac＝9， 当且仅当c ＝2a 时取等号，故4a＋c的最小值为9.10.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A≠π2，c＋b cos A－a cos B＝2a cos A，则ba＝________；内角B的取值范围是________.答案22⎝⎛⎦⎥⎤0，π4解析由c＋b cos A－a cos B＝2a cos A结合正弦定理得sin C＋sin B cos A－sin A cos B＝2sin A cos A，即sin(A＋B)＋sin B cos A－sin A cos B＝2sin A cos A，化简得2sin B cos A＝2sin A cos A.因为A≠π2，所以cos A≠0，则2sin B＝2sin A，所以ba＝sin Bsin A＝22，则由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac＝2b2＋c2－b222bc＝b2＋c222bc≥2bc22bc＝22，当且仅当b＝c时等号成立，解得0＜B≤π4.11.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b tan A，且B为钝角.(1)证明：B－A＝π2；(2)求sin A＋sin C的取值范围. (1)证明由a＝b tan A及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B ， 所以sin B ＝cos A ， 即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A .又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)解 由(1)知，C ＝π－(A ＋B ) ＝π－⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A >0， 所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98.因为0<A <π4，所以0<sin A <22，因此22<－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98.由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤22，98.12.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，b ＝(－sin x ，3sin x )，f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的最小正周期及f (x )的最大值；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝23，求△ABC面积的最大值并说明此时△ABC 的形状. 解 (1)由已知得a ＝(－sin x ，cos x )， 又b ＝(－sin x ，3sin x )， 则f (x )＝a ·b ＝sin 2x ＋3sin x cos x＝12(1－cos 2x )＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π， 当2x －π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π3＋k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值32. (2)在锐角△ABC 中，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＋12＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，所以A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以12＝b 2＋c 2－bc ， 所以b 2＋c 2＝bc ＋12≥2bc ，所以bc ≤12(当且仅当b ＝c ＝23时等号成立)，此时△ABC 为等边三角形， S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤3 3.所以当△ABC 为等边三角形时面积取最大值3 3. 二、创新拓展练13.设锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( ) A.(2，3) B.(1，3) C.(2，2) D.(0，2) 答案 A解析 ∵B ＝2A ，∴sin B ＝sin 2A ＝2sin A cos A . ∵a ＝1，∴b ＝2a cos A ＝2cos A .又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<2A <π2，0<A <π2，0<π－3A <π2，∴π6<A <π4， ∴22<cos A <32， 即2<2cos A <3，故选A.14.(多选)(2022·台州质检)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，已知f (x )在[0，2π]上有且仅有3个极小值点，则( )A.f (x )在(0，2π)上有且仅有5个零点B.f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极大值点C.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递减D.ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，103答案 CD解析 因为x ∈[0，2π]， 所以ωx ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2πω＋π3. 设t ＝ωx ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2πω＋π3，画出y ＝cos t 的图象如图所示.由图象可知，若f (x )在[0，2π]上有且仅有3个极小值点， 则5π≤ 2πω＋π3<7π， 解得73≤ω<103， 故D 正确；故f (x )在(0，2π)上可能有5，6或7个零点，故A 错误；f (x )在(0，2π)上可能有2或3个极大值点，故B 错误； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6时，ωx ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π6ω＋π3.因为73≤ω<103，所以13π18≤π6ω＋π3<8π9，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递减，故C 正确.15.(多选)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝6，记S 为△ABC 的面积，则下列说法正确的是( ) A.若C ＝π3，则S 有最大值9 3 B.若A ＝π6，a ＝23，则S 有最小值3 3C.若a ＝2b ，则cos C 有最小值0D.若a ＋b ＝10，则sin C 有最大值2425答案 ABD解析 对于选项A ，对角C 由余弦定理得36＝c 2＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝ab ， 因此，S ＝12ab sin C ＝34ab ≤93，当且仅当a ＝b ＝6时取等号，故A 正确； 对于选项B ，对角A 用余弦定理得 12＝a 2＝c 2＋b 2－3bc ＝36＋b 2－63b ， 解得b ＝23或b ＝43， 因此，S ＝12bc sin A ＝32b ≥33，当且仅当b ＝23时取等号，故B 正确. 对于选项C ，若a ＝2b ，由三边关系可得a －b ＝b <c ＝6<a ＋b ＝3b ⇒2<b <6，此时，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝5b 2－364b 2＝54－9b 2∈(－1，1)，故C 错误.对于选项D ，若a ＋b ＝10，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（a ＋b ）2－c 2－2ab 2ab ＝32ab －1，又ab ≤（a ＋b ）24＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，∴cos C ＝32ab －1≥725⇒sin C ＝1－cos 2C ≤2425，故D 正确，故选ABD.16.(2022·南京师大附中模拟)法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点”.在△ABC 中，A ＝60°，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O 1，O 2，O 3，则∠O 1AO 3＝________；若△O 1O 2O 3的面积为3，则三角形中AB ＋AC 的最大值为________.答案 120° 4解析 由于O 1，O 3是正△ABC ′，△AB ′C 的外接圆圆心，故也是它们的中心， 所以在△O 1AB 中，∠O 1AB ＝30°，同理∠O 3AC ＝30°， 又∠BAC ＝60°，所以∠O 1AO 3＝120°； 由题意知△O 1O 2O 3为等边三角形，设边长为m ， 则S △O 1O 2O 3＝12m 2sin 60°＝34m 2＝3，解得O 1O 3＝m ＝2.设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，在等腰△BO 1A 中，∠O 1AB ＝∠O 1BA ＝30°，∠AO 1B ＝120°， 则AB sin 120°＝O 1Asin 30°，解得O 1A ＝c 3，同理得O 3A ＝b 3，在△O 1AO 3中，由余弦定理得O 1O 23＝O 1A 2＋O 3A 2－2O 1A ·O 3A ·cos 120°，即4＝c 23＋b 23－2·bc 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即b 2＋c 2＋bc ＝12，即(b ＋c )2－bc ＝12， 故(b ＋c )2－12＝bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22， 解得b ＋c ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时取等号，故三角形中AB ＋AC 的最大值为4. 17.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2c ＝a (b 2＋c 2－a 2). (1)若A ＝π3，求B 的大小；(2)若a ≠c ，求c －3ba 的最小值.解 (1)因为b 2c ＝a (b 2＋c 2－a 2)，所以由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b2a .因为A ＝π3，所以b 2a ＝12，即a ＝b ， 所以B ＝A ＝π3.(2)由(1)及正弦定理得cos A ＝sin B2sin A，即sin B ＝2sin A cos A ＝sin 2A ， 所以B ＝2A 或B ＋2A ＝π.当B ＋2A ＝π时，A ＝C ，与a ≠c 矛盾，故舍去， 所以B ＝2A .c －3b a ＝sin C －3sin B sin A ＝sin （A ＋B ）－3sin Bsin A ＝sin A cos B ＋cos A sin B －3sin Bsin A＝cos B ＋（cos A －3）sin 2Asin A＝cos 2A ＋2(cos A －3)·cos A ＝4cos 2A －6cos A －1 ＝4⎝⎛⎭⎪⎫cos A －342－134.因为C ＝π－A －B ＝π－3A >0， 即A <π3，所以cos A >12，所以当cos A ＝34时，c －3b a 有最小值－134.。
三角形面积最值问题
三角形面积最值问题三角形是几何学中的重要概念，它有着广泛的应用和研究价值。
在实际问题中，我们常常会遇到三角形面积最值的计算。
本文将围绕三角形的面积最值问题展开讨论，介绍不同方法和技巧来求解这类问题。
一、三角形面积的计算方法三角形的面积可以通过不同的公式来计算，最常用的是海伦公式和矢量法。
海伦公式是由希腊数学家海伦提出的，用来计算任意三角形的面积。
根据海伦公式，我们需要知道三角形的三条边的长度，设为a、b、c，则三角形的面积可以计算为：面积 = sqrt(s * (s-a) * (s-b) * (s-c))其中，s是半周长，可以通过s = (a + b + c) / 2计算得到。
矢量法是另一种计算三角形面积的方法。
我们可以将三角形的两条边的矢量表示为u和v，面积可以通过计算两个矢量的叉积的模长来得到：面积 = 1/2 * |u x v|二、求解三角形面积最值的方法在实际问题中，我们经常需要求解三角形面积的最大值或最小值。
以下介绍两种常见的方法：极值法和优化法。
极值法是一种常用的数学方法，利用微积分的基本概念和技巧来求解问题。
对于三角形的面积最值问题，我们可以将面积函数表示为关于其中一个变量的函数，然后利用求导和极值条件来求解。
具体步骤如下：1. 假设三角形的两条边已知，设为a和b，由边长关系不等式可以得到第三边c的取值范围。
2. 将三角形的面积表示为关于其中一个变量的函数，比如以a为自变量，面积为因变量。
3. 求解面积函数的导数，并找出导数为零的点。
4. 计算得到的点对应的三角形面积，并与边长取值范围进行比较，得到最值。
优化法是一种更为一般化的方法，可以解决更复杂的三角形面积最值问题。
在使用优化法时，我们需要定义一个目标函数和一组约束条件，通过求解目标函数的最值来找到满足约束条件下的最优解。
对于三角形面积最值问题，我们可以将面积作为目标函数，边长的关系作为约束条件。
然后利用数学工具，比如拉格朗日乘子法，来求解最值。
解三角形最值问题方法总结
解三角形最值问题方法总结
解三角形最值问题是高中数学中的一个重要部分，对于学生来说也是比较难掌握的一种题型。
在解题过程中，我们可以采用以下几种方法来帮助我们更好地解决这类问题。
第一种方法是利用勾股定理来解题。
当我们在解题过程中遇到一组已知的直角三角形时，可以利用勾股定理来求出未知边的长度。
在此基础上，我们可以进一步求出三角形的周长、面积等相关值。
第二种方法是应用正弦、余弦、正切等三角函数来解题。
当我们在解题过程中遇到一组已知三角形的一个角和一个边长时，可以利用三角函数的定义式求出其他未知量的值。
第三种方法是利用面积公式来解题。
当我们在解题过程中遇到一组已知三角形的底边和高时，可以利用面积公式求出三角形的面积。
在此基础上，我们可以进一步求出周长、角度等相关值。
以上就是解三角形最值问题的三种常用方法。
在实际解题过程中，我们可以结合具体题目的特点灵活运用这些方法，以便更好地解决问题。
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三角形的最大值最小值问题
三角形的最大值最小值问题三角形的最大值最小值问题（约1500字）三角形是几何学中的一种基本形状，它由三条边和三个角组成。
有很多与三角形相关的问题，其中一个是寻找三角形的最大值和最小值。
在这篇文章中，我们将探讨如何确定三角形的最大值和最小值，并介绍一些相关的概念和实例。
首先，让我们来讨论如何确定三角形的最大值。
根据三角形的特性，三边的长度之和必须大于第三边的长度。
这是三角不等式的基本原理。
因此，当我们已知两条边的长度时，我们可以通过求解两条边之和与第三边的长度的最大值来确定三角形的最大边长。
举个例子来说明。
假设我们知道一个三角形的两边分别为5和7。
我们可以计算这两条边的和为12。
现在我们需要找到一个长度，使其大于12，并且也满足三角不等式的要求。
所以我们可以选择13作为第三边的长度。
通过这个例子，我们可以看到确定三角形的最大值是一个相对简单的过程，只需要遵循三角不等式的原则即可。
接下来，让我们来讨论如何确定三角形的最小值。
对于最小值问题，我们需要考虑两个因素：首先是最小边的长度，其次是使得三角形存在的最小角度。
最小边的长度可以通过比较三边的长度来确定。
当三边的长度相等时，即为等边三角形，此时最小边的长度与其他两边相等。
当两边的长度相等时，即为等腰三角形，此时最小边的长度取决于与两边不相等的边。
当三边的长度都不相等时，最小边的长度就是最短的边。
关于最小角度，我们可以利用三角函数来计算。
通过正弦定理，我们可以得到一个三角形的任意一条边与其对应的角度之间的关系。
根据正弦定理，三角形的三边分别为a、b和c，对应的角度分别为A、B 和C，则有以下关系式：a/sinA = b/sinB = c/sinC根据这个关系式，我们可以推导出最小角度的判断方法。
当我们已知三角形的三边长度时，我们可以计算出每个角度的正弦值。
然后，我们比较这些正弦值，找到最小的正弦值对应的角度，即为三角形的最小角度。
举个例子来说明。
假设我们已知一个三角形的三边长度分别为3、4和5。
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第42课 三角形中的最值问题考点提要1．掌握三角形的概念与基本性质．2．能运用正弦定理、余弦定理建立目标函数，解决三角形中的最值问题．基础自测1．（1）△ABC 中，cos A A =，则A 的值为 30° 或90° ；（2）△ABC 中，当A=3π 时，cos 2cos 2B C A ++取得最大值 32． 2．在△ABC 中，m m m C B A 2:)1(:sin :sin :sin +=，则m 的取值围是 21>m ． 解 由m m m c b a C B A 2:)1(:::sin :sin :sin +==，令mk c k m b mk a 2,)1(,=+==，由b c a c b a >+>+,，得21>m ． 3．锐角三角形ABC 中，若A=2B ，则B 的取值围是 30º＜B ＜45º ．4．设R ，r 分别为直角三角形的外接圆半径和切圆半径，则rR1． 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的边长分别是,,a b c ，若23b ac =，则B 的取值围是 0°＜B ≤120° ．6．在△ABC 中，若A>B ，则下列不等式中，正确的为 ①②④ ．①A sin >B sin ； ②A cos <B cos ； ③A 2sin >B 2sin ； ④A 2cos <B 2cos ． 解 A>B ⇔a >b A R sin 2⇔>B R sin 2⇔A sin >B sin ，故①正确；A cos <B cos ⇔)2sin(A -π<)2sin(B -π⇔A>B ，故②正确（或由余弦函数在(0,)π上的单调性知②正确）；由A 2cos <B 2cos ⇔212sin A -<212sin B -⇔A sin >B sin ⇔A>B ，故④正确．知识梳理1．直角△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的边长分别是,,a b c ，C=90°，若切圆的半径为r ，则2a b cr +-=． 2．在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基础，起到工具性的作用．它们在处理三角形中的三角函数的求值、化简、证明、判定三角形的形状及解三角形等问题中有着广泛的应用．例题解析例1 已知直角三角形的周长为1，求其面积的最大值．点评例2 已知△ABC 中，1,2a b ==．（1）求最小角的最大值； （2）若△ABC 是锐角三角形，求第三边c 的取值围．解 （1）由三角形三边关系得第三边c 满足122112c,c ,c ,+>⎧⎪+>⎨⎪+>⎩解得13c <<，故最小角为A ．又22223131cos 24442b c a c A c bc c c +-+===+⨯=()≥（当且仅当c =，所以A ≤30°，即最小角的最大值为30°．（2）因为△ABC 是锐角三角形，即A ，B ，C 三个角均为锐角，又因为a ＜b ，所以A ＜B ，故只需说明B ，C 为锐角即可．由B ，C 为锐角得0<cos 10<cos 1B ,C ,<⎧⎨<⎩ 即221401214014c ,c c ,⎧+-<<⎪⎪⎨+-⎪<<⎪⎩c <<．点评 在锐角三角形中研究问题的时候，一定要注意其三个角都为锐角这个条件．另外要注意变形的等价性，如“角A 为锐角0<1cos A ⇔<”．例3 （2008）求满足条件BC AC AB 2,2==的△ABC 的面积的最大值．解 设BC ＝x ，则AC．根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B ⨯= 根据余弦定理得2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==⨯244x x-=，代入上式得ABC S ∆==由三角形三边关系有2,2,x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当212,x x ==时ABC S ∆= 点评例4 如图，已知∠A=30°，P ，Q 分别在∠A 的两边上，PQ=2．当P ，Q 处于什么位置时，△APQ 的面积最大？并求出△APQ 的最大面积．点评 表示三角形的面积可采用两边及夹角的表示法，本题解法一运用了余弦定理和基本不等式，解法二运用了正弦定理和基本不等式建立目标函数．例5 已知△ABC 的周长为6，||,||,||BC CA AB 成等比数列，求： （1）△ABC 的面积S 的最大值； （2）BC BA ⋅的取值围． 解 设||,||,||BC CA AB 依次为a ，b ，c ，则a +b +c =6，b 2 =ac ．由622a c bb ac +-==≤得02b <≤（当且仅当a =c 时，等号成立）， 又由余弦定理得2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--===≥（当且仅当a =c 时，等号成立），故有03B π<≤，（1）22111sin sin 2sin 32223S ac B b B π==⋅⋅=≤，即max 3S =（当且仅当a =b =c 时，等号成立）；（2）22)(2cos 22222b ac c a b c a B ac BC BA --+=-+==⋅222(6)3(3)272b b b --==-++． 02,218b BA BC <⋅<∴≤≤．点评 本题运用均值定理进行放缩，再运用不等式的性质求解．（1）为不等式问题，（2）为函数问题．方法总结1．三角形中角的最值（围）问题，一般运用余弦定理，通过求该角余弦的围，根据余弦函数的单调性处理．要注意三角形三边关系和角围的隐含条件，尤其要注意锐角三角形的角的关系．2．三角形中边的最值（围）问题，主要由有三角形三边关系决定．3．三角形中面积的最值（围）问题，可以角为自变量，也可以边为自变量建立目标函数，要注意自变量的围．练习42 三角形的最值问题班级 学号1．若直角三角形斜边的长m （定值），则它的周长的最大值是 m ．2．在锐角△ABC 中，若2C B =，则ACAB解 B B B C AC AB sin 2sin sin sin ==B cos 2=，而46ππ<<B ，32<<ACAB ．3．在△ABC 中，若1b ==，则A 的取值围是 0º＜B ≤45º ．4．若2、3、x 分别是锐角三角形的三边长，则x 的取值围是 )13,5( ．5．若三角形两边之和为16 cm ，其夹角为60º，则该三角形面积的最大值是 周长的最小值是 24 ．6．已知△ABC 中，A = 60°，BC = 4，则AB + AC 的最大值为___． 7．钝角三角形的三边为2,1,++a a a ，其中最大角不超过120°，则a 的取值围是332a <≤ ． 解 由题意钝角三角形中，2+a 为最大边且最大角不超过120°，因此得2)1(+>++a a a ①，222)2()1(+<++a a a ②，222121cos 212a (a )(a )A a(a )++-+=-+≥ ③，由①得1>a ，②得31<<-a ，③得a ≤1-或a ≥23，故23≤3<a ． 8．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若S △AOB =9，S △COD =16，则四边形面积的最小值是 49 ．9．（2006全国）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 610 cm 2． 解 由题意可围成以下几种三角形． 图（1）中，115cos sin 4,θθ==，415S =； 图（2）中，210210sin AD ,θ==，610S =； 图（3）中，13cos sin 22,θθ==，103S =．比较 上述几种情况可知，能够得到三角形的最大面积为610cm 2．点评 当周长一定时，三边越是接近，其面积越大．这是等周问题中的一个基本结论．可见，面积最大的三角形应该这样构成：2+5，3+4，6．10．在△ABC 中，已知223coscos 222C A a c b +=． （1）求证：a 、b 、c 成等差数列； （2）求角B 的取值围．解11．如图，正方形ABCD 的边长为a ，E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，∠EAF=30°，求△AEF 面积的最小值．解 设△AEF 的面积为S ，∠BAE=θ（15º≤θ≤45º），则由∠EAF=30°得∠DAF=60θ-． ∵正方形ABCD 的边长为a ， ∴在Rt △BAE 中，cos cos AB aAE θθ==； 在Rt △DAF 中，cos(60)cos(60)AD aAF θθ==--，∴1sin 2S AE AF EAF =⋅⋅∠ 21sin302cos cos(60)4cos cos(60)a a a θθθθ=⋅⋅⋅=--22 22==22==22==2222sin(230)12sin(23030)13a a aθ==++⨯++≤．12．（2008延考）在△ABC中，角A，B，C对边的边长分别是,,a b c，已知2222a c b+=．（1）若4Bπ=，且A为钝角，求角A与C的大小；（2）若2b=，求△ABC面积的最大值．解（1）由题设及正弦定理，有222sin sin2sin1A C B+==．故22sin cosC A=．因A为钝角，所以sin cosC A=-．由cos cos()4A Cππ=--，可得sin sin()4C Cπ=-，C=8π，A=58π．（2）由余弦定理及条件2221()2b a c=+，有22cos4a cBac+=，故cos B≥12．由于△ABC面积1sin2ac B=，又ac≤221()42a c+=，sin B当a c=时，两个不等式中等号同时成立，所以△ABC面积的最大值为1422⨯⨯=．备用题1．直角△ABC 的斜边AB=2，切圆的半径为r ，则r 的最大值为 21- ．2．在△ABC 中，已知sin 2A + sin 2B = 5sin 2C ，求证：3sin 5C ≤． 解 等式sin 2A + sin 2B = 5sin 2C 立即联想正弦定理，有a 2+b 2=5c 2． 而a 2+b 2=5c 2与余弦定理连起来也无可非议． ∵c 2= a 2+b 2－2ab cosC ，∴5c 2= c 2+2ab cosC ，∴4c 2=2ab cosC ．于是可知cosC ＞0，C 为锐角，而5c 2= a 2+b 2≥2ab ， 故4c 2=2ab cosC ≤5c 2cosC ． ∴cosC ≥45，∴sinC ≤35． 点评 从外形的联想，到方法的选择，这样的直觉思维随时随地都会出现在解题过程中．3．已知△ABC 的角满足)cos (cos sin sin sin C B A C B +=+． （1）求A ； （2）若△ABC 的面积为4，求△ABC 周长的最小值．4．如图，边长为a 的正△ABC 的中心为O ，过O 任意作直线交AB 、AC 于M 、N ，求2211ON OM +的最大值和最小值． 答案 最大值218a 、最小值215a．5．如图∠A = 90°，∠B = α，AH = h ，α，h 为常数，AH ⊥BC 于H ，∠AHE=∠AHD = x ，问当x 取何值时，△DEH 的面积最大？并求出最大面积．。