江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高二第一学期期中数学试卷 含答案
2020-2021学年江苏省南通中学高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）A.8B.16C.18D.272.（单选题，5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（单选题，5分）不等式x+12x−1≤0的解集为（）A.[-1，12）B.[-1，12]C.（-∞，-1]∪（12，+∞）D.（-∞，-1]∪[ 12，+∞）4.（单选题，5分）已知椭圆的准线方程为x=±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为（）A. x22+y2=1B.x2+ y22=1C. x24+y23=1D. x23+y24=15.（单选题，5分）数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n-1，则a10=（）A.511B.513C.1025D.10246.（单选题，5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为（）A. 53B. 103C. 56D. 1167.（单选题，5分）椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，P为椭圆C上的动点，若a= √2 b，满足∠F1PF2=90°的点P有（）个A.2个B.4个C.0个D.1个8.（单选题，5分）正数a，b满足9a+b=ab，若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[3，+∞）B.（-∞，3]C.（-∞，6]D.[6，+∞）9.（多选题，5分）若实数a＞0，b＞0，a•b=1，若下列选项的不等式中，正确的是（）A.a+b≥2B. √a+√b≥2C.a2+b2≥2D. 1a +1b≤210.（多选题，5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件11.（多选题，5分）设椭圆x29+y23=1的右焦点为F，直线y=m（0＜m＜√3）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）A.AF+BF为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]C.当m= √2时，△ABF 为直角三角形D.当m=1时，△ABF 的面积为√612.（多选题，5分）已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n．且满足a n+a n+1=2n，b n•b n+1=2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）A.0＜a1＜1B.1＜b1＜√2C.S2n＜T2nD.S2n≥T2n13.（填空题，5分）命题“∀x∈R，ax+b≤0”的否定是___ ．14.（填空题，5分）不等式x2-kx+1＞0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是___ ．15.（填空题，5分）椭圆x25+y2m=1的离心率为√105，则实数m的值为___ ．16.（填空题，5分）对于数列{a n}，定义A n= a1+2a2+⋯+2n−1a nn为数列{a n}的“好数”，已知某数列{a n}的“好数”A n=2n+1，记数列{a n-kn}的前n项和为S n，若S n≤S7对任意的n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是___ ．17.（问答题，10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆x 22 +y2=1有相同的焦点，且经过点（1，32）；（2）经过A（2，- √22），B（- √2，- √32）两点．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx-a+2．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．20.（问答题，12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．（Ⅰ）工厂第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：① 年平均获利最大时，以26万元出售该设备；② 总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点F作直线l，与椭圆相交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．22.（问答题，12分）已知各项均为正数的两个数列{a n}，{b n}满足a n+12-1=a n2+2a n，2a n=log2b n+log2b n+1+1，且a1=b1=1．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，求使得等式2S m+a m-36=T i成立的有序数对（m，i）（m，i∈N*）．2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）A.8B.16C.18D.27【正确答案】：C【解析】：由已知利用等比数列的通项公式即可求解．【解答】：解：若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n=a1•q n-1，由已知可得：a1=2，q=3，则它的通项a3=a1•q2=2×32=18．故选：C．【点评】：本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n=a1•q n-1，属于基础题．2.（单选题，5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：解得a的范围，即可判断出结论．【解答】：解：由a2＞a，解得a＜0或a＞1，故a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选：A．【点评】：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.（单选题，5分）不等式x+12x−1≤0的解集为（）A.[-1，12）B.[-1，12]C.（-∞，-1]∪（12，+∞）D.（-∞，-1]∪[ 12，+∞）【正确答案】：A【解析】：根据题意，分析可得原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】：解：根据题意，原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0，解可得：-1≤x＜12，及原不等式的解集为[-1，12）；故选：A．【点评】：本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式变形为整式不等式．4.（单选题，5分）已知椭圆的准线方程为x=±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为（）A. x22+y2=1B.x2+ y22=1C. x24+y23=1D. x23+y24=1【正确答案】：C【解析】：由椭圆的准线方程可知椭圆的焦点在x轴上，再由已知列关于a，b，c的方程组，求得a2与b2的值，则椭圆标准方程可求．【解答】：解：由椭圆的准线方程为x=±4，可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0），由 { a 2c =4c a =12a 2=b 2+c 2 ，解得a 2=4，b 2=3，c 2=1．∴椭圆的标准方程为 x 24+y 23 =1． 故选：C ．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆标准方程的求法，是基础题．5.（单选题，5分）数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n -1，则a 10=（ ）A.511B.513C.1025D.1024【正确答案】：B【解析】：直接利用构造法的应用，整理出数列{a n -1}是等比数列，进一步求出数列的通项公式，最后求出结果．【解答】：解：数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n -1，所以a n+1-1=2（a n -1），所以 a n+1−1a n −1=2 （常数），所以数列{a n -1}是以a 1-1=1为首项，2为公比的等比数列．所以 a n −1=2n−1 ，所以 a n =2n−1+1 ．所以 a 10=29+1=513 ．故选：B ．【点评】：本题考查的知识要点：数列的递推关系式，构造法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.（单选题，5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，问最小一份为（ ）A. 53B. 103C. 56D. 116【正确答案】：A【解析】：设五个人所分得的面包为a-2d ，a-d ，a ，a+d ，a+2d ，（d ＞0）；则由五个人的面包和为100，得a 的值；由较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，得d 的值；从而得最小的一份a-2d 的值．【解答】：解：设五个人所分得的面包为a-2d ，a-d ，a ，a+d ，a+2d ，（其中d ＞0）； 则，（a-2d ）+（a-d ）+a+（a+d ）+（a+2d ）=5a=100，∴a=20；由 17 （a+a+d+a+2d ）=a-2d+a-d ，得3a+3d=7（2a-3d ）；∴24d=11a ，∴d=55/6； 所以，最小的1分为a-2d=20-1106 = 53 ． 故选：A ．【点评】：本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果．7.（单选题，5分）椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1和F 2，P 为椭圆C 上的动点，若a= √2 b ，满足∠F 1PF 2=90°的点P 有（ ）个A.2个B.4个C.0个D.1个【正确答案】：A【解析】：由题意画出图形，由a= √2 b ，结合隐含条件可得b=c ，再由∠F 1PF 2=90°，可得P 为短轴的两个端点，则答案可求．【解答】：解：设椭圆的半焦距为c ，当a= √2 b 时，则 c =√a 2−b 2=√b 2=b ，如图，连接PO ，若∠F 1PF 2=90°，则|PO|=|OF 1|=b ，此时P 点在短轴的上下端点，即符合条件的P 有2个．故选：A ．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8.（单选题，5分）正数a，b满足9a+b=ab，若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[3，+∞）B.（-∞，3]C.（-∞，6]D.[6，+∞）【正确答案】：A【解析】：求出a+b=（a+b）（1a + 9b）=10+ ba+ 9ab≥10+6=16（当且仅当b=3a时取等号），问题转化为m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立，运用二次函数的最值求法和恒成立思想，即可求出实数m的取值范围．【解答】：解：∵正数a，b满足1a + 9b=1，∴a+b=（a+b）（1a + 9b）=10+ ba+ 9ab≥10+2 √ba•9ab=10+6=16（当且仅当b=3a时取等号）．由不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，可得-x2+2x+18-m≤16对任意实数x恒成立，即m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立，即m≥-（x-1）2+3对任意实数x恒成立，∵-（x-1）2+3的最大值为3，∴m≥3，故选：A．【点评】：本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用基本不等式和二次函数的最值求法，考查化简运算能力，属于中档题．9.（多选题，5分）若实数a＞0，b＞0，a•b=1，若下列选项的不等式中，正确的是（）A.a+b≥2B. √a+√b≥2C.a2+b2≥2D. 1a +1b≤2【正确答案】：ABC【解析】：直接利用不等式的性质和均值不等式的应用判定A、B、C、D的结论．【解答】：解：实数a＞0，b＞0，a•b=1，则对于A：a+b≥2√ab=2，成立，故A正确；对于B：√a+√b≥2√√a•√b=2成立，故B正确；对于C：a2+b2≥2ab=2成立，故C正确；对于D：1a +1b≥2√1ab=2成立，故D不正确．故选：ABC．【点评】：本题考查的知识要点：不等式的性质和均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.（多选题，5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件【正确答案】：CD【解析】：由题意逐一考查所给的命题是否成立即可．【解答】：解：逐一考查所给的选项：取a=2，b=3，c=0，满足ac=bc，但是不满足a=b，选项A错误，取a=2，b=-3，满足a＞b，但是不满足a2＞b2，选项B错误，“a＜5”是“a＜3”的必要条件，选项C正确，“a+5是无理数”，则“a是无理数”，选项D正确，故选：CD．【点评】：本题主要考查不等式的性质，等式的性质，命题真假的判定等知识，属于中等题．11.（多选题，5分）设椭圆x29+y23=1的右焦点为F，直线y=m（0＜m＜√3）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）A.AF+BF为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]C.当m= √2时，△ABF 为直角三角形D.当m=1时，△ABF 的面积为√6【正确答案】：AD【解析】：利用椭圆的性质以及定义，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，逐一分析四个选项得答案．【解答】：解：设椭圆的左焦点为F'，则AF'=BF，可得AF+BF=AF+AF'为定值6，故A正确；△ABF的周长为AB+AF+BF，∵|AF+BF为定值6，可知AB的范围是（0，6），∴△ABF的周长的范围是（6，12），故B错误；将y= √2与椭圆方程联立，可解得A（−√3，√2），B（√3，√2），又知F（√6，0），如图，由图可知∠ABF为钝角，则△ABF为钝角三角形，故C错误；将y=1与椭圆方程联立，解得A（−√6，1），B（√6，1），∴ S△ABF=12×2√6×1=√6，故D正确．故选：AD．【点评】：本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系．考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.（多选题，5分）已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n．且满足a n+a n+1=2n，b n•b n+1=2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）A.0＜a1＜1B.1＜b1＜√2C.S2n＜T2nD.S 2n ≥T 2n【正确答案】：ABC【解析】：利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，在求出其前2n 项和的表达式即可判断大小；【解答】：解：∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3；∵a n +a n+1=2n ，∴ {a 1+a 2=2a 2+a 3=4； ∴ {a 1+a 2＞2a 1a 2+a 3＞2a 2=4−4a 1∴0＜a 1＜1；故A 正确．∴S 2n =（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n-1+a 2n ）=2+6+10+…+2（2n-1）=2n 2；∵数列{b n }为递增数列；∴b 1＜b 2＜b 3；∵b n •b n+1=2n∴ {b 1b 2=2b 2b 3=4； ∴ {b 2＞b 1b 3＞b 2； ∴1＜b 1＜ √2 ，故B 正确．∵T 2n =b 1+b 2+…+b 2n=（b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）= b 1•(1−2n )2+b 2(1−2n )2=(b 1+b 2)(2n −1)≥2√b 1b 2(2n −1)=2√2(2n −1) ；∴对于任意的n∈N*，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．【点评】：本题考查了数列的综合运用，考查学生的分析能力与计算能力．属于中档题．13.（填空题，5分）命题“∀x∈R ，ax+b≤0”的否定是___ ．【正确答案】：[1]∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0【解析】：根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】：解：命题为全称命题，则命题“∀x∈R ，ax+b≤0”的否定是∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0， 故答案为：∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14.（填空题，5分）不等式x 2-kx+1＞0对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-2，2）【解析】：设y=x 2-kx+1，将不等式恒成立的问题转化为函数y=x 2-kx+1图象始终在x 轴上方，进而根据判别式处理即可．【解答】：解：依题意，设y=x 2-kx+1，因为不等式x 2-kx+1＞0对任意实数x 都成立，所以△=k 2-4＜0，解得k∈（-2，2），故答案为：（-2，2）．【点评】：本题考查了二次函数的性质，二次函数与二次不等式的关系，考查分析解决问题的能力，属于基础题．15.（填空题，5分）椭圆 x 25+y 2m =1 的离心率为 √105 ，则实数m 的值为___ ． 【正确答案】：[1] 253或3【解析】：分当m ＞5和m ＜5时两种情况，根据e= c a 求得m ．【解答】：解：当m ＞5时，√m−5√m = √105 ，解得m= 253 ， 当m ＜5√5−m √5 = √105 解得m=3符合题意， 故答案为： 253或3【点评】：本题主要考查了椭圆的简单性质．要利用好椭圆标准方程中a ，b ，c 的关系．16.（填空题，5分）对于数列{a n }，定义A n = a 1+2a 2+⋯+2n−1a n n为数列{a n }的“好数”，已知某数列{a n }的“好数”A n =2n+1，记数列{a n -kn}的前n 项和为S n ，若S n ≤S 7对任意的n∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] [94，167] 【解析】：先根据数列的递推式求出a n =2n+2，所以a n -kn=（2-k ）n+2，显然{a n -kn}是等差数列，所以{S n }中S 7最大，则数列{a n -kn}的第7项大于等于0，第八项小于等于0，列出不等式组，即可解得实数k 的取值范围．【解答】：解：由题意可知， a 1+2a 2+⋯…+2n−1a n =n •2n+1 ，则n≥2时， a 1+2a 2+⋯…+2n−2a n−1=(n −1)•2n ，两式相减得： 2n−1a n =n •2n+1−(n −1)•2n ，∴a n =2n+2，又∵A 1= a 11 =4，∴a 1=4，满足a n =2n+2，故a n =2n+2，∴a n -kn=（2-k ）n+2，显然{a n -kn}是等差数列，∵S n ≤S 7对任意的n∈N *恒成立，∴{S n }中S 7最大，则 {a 7−7k =7(2−k )+2≥0a 8−8k =8(2−k )+2≤0，解得： 94≤k ≤167 ， 故实数k 的取值范围是：[ 94 ， 167 ]．【点评】：本题主要考查了数列的递推式，以及等差数列的性质，是中档题．17.（问答题，10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆 x 22 +y 2=1有相同的焦点，且经过点（1， 32 ）；（2）经过A （2，- √22 ），B （- √2 ，- √32 ）两点．【正确答案】：【解析】：（1）先求出已知椭圆的焦点坐标（±1，0），则可设出所求椭圆方程，代入已知点即可求解，（2）待定系数法设出椭圆方程，代入已知点即可求解．【解答】：解：（1）由已知椭圆方程可得焦点坐标为（±1，0），则可设所求的椭圆方程为： x 2m +y 2m−1=1(m ＞1) ，代入点（1， 32 ），解得m=4或 14 （舍），所以所求椭圆方程为： x 24+y 23=1 ，（2）设所求的椭圆方程为： x 2m +y 2n =1(m ＞0，n ＞0，m ≠n) ，代入已知两点可得：{4m +12n=12 m +34n=1，解得m=8，n=1，故所求的椭圆方程为：x 28+y2=1．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程以及焦点相同和不确定的问题的椭圆方程的设法，属于基础题．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【正确答案】：【解析】：（1）根据等差中项可得q=2，即可求出通项公式；（2）利用分组求和即可求出．【解答】：解：（1）设等比数列{a n}公比为q，则q≠0，∵a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项，∴2a2=a1+a3-1，即2q=1+q2-1，解得q=2，∴a n=2n-1；（2）b n=2n+a n=2n+2n-1；∴S n=2（1+2+3+…+n）+（20+21+22+…+2n-1）=n（n+1）+2n-1=n2+n+2n-1．【点评】：本题考查等比数列的通项公式和等差数列的性质，以及等差数列和等比数列的求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx-a+2．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程ax2+bx-a+2=0的两根分别为-1和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得到实数a、b的值；（2）不等式可化成（x+1）（ax-a+2）＞0，由此讨论-1与a−2a的大小关系，分3种情形加以讨论，即可得到所求不等式的解集．【解答】：解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集是（-1，3）∴-1，3是方程ax2+bx-a+2=0的两根，∴可得{a−b−a+2=09a+3b−a+2=0，解之得{a=−1b=2------------（5分）（2）当b=2时，f（x）=ax2+2x-a+2=（x+1）（ax-a+2），∵a＞0，∴ (x+1)(ax−a+2)＞0⇔(x+1)(x−a−2a)＞0① 若−1=a−2a，即a=1，解集为{x|x≠-1}．② 若−1＞a−2a ，即0＜a＜1，解集为{x|x＜a−2a或x＞−1}．③ 若−1＜a−2a ，即a＞1，解集为{x|x＜−1或x＞a−2a}．------------（14分）【点评】：本题给出二次函数，讨论不等式不等式f（x）＞0的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题．20.（问答题，12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．（Ⅰ）工厂第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：① 年平均获利最大时，以26万元出售该设备；② 总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，第n年时累计的纯收入f （n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98，获利为f（n）＞0，解得n的值，可得第几年开始获利；（Ⅱ）计算方案① 年平均获利最大时及总收益；方案② 总纯收入获利最大时及总收益；比较两种方案，总收益相等，第一种方案需7年，第二种方案需10年，应选择第一种方案．【解答】：解：（Ⅰ）由题设每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设第n年时累计的纯收入为f（n），则f（n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98=40n-2n2-98，获利为：f（n）＞0，∴4n-2n2-98＞0，即n2-20n+49＜0，∴10- √51＜n＜10+ √51；又n∈N，∴n=3，4，5， (17)∴当n=3时，即第3年开始获利．（Ⅱ）① 年平均收入为：f(n)n =40−2(n+49n)≤40−4√n•49n=12（万元）即年平均收益最大时，总收益为：12×7+26=110（万元），此时n=7；② f（n）=-2（n-10）2+102，∴当n=10时，f（n）max=102；总收益为110万元，此时n=10；比较两种方案，总收益均为110万元，但第一种方案需7年，第二种方案需10年，故选择第一种方案．【点评】：本题考查了数列与函数的综合应用问题，也是方案设计的问题；解题时应细心分析，认真解答，以免出错．21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点F作直线l，与椭圆相交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．【正确答案】：【解析】：（1）由长轴长即等边三角形可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，代入面积公式，由均值不等式的性质可得面积的最大值，及直线l 的方程．【解答】：解：（1）由题意可得2a=4，2b= √b 2+c 2 =a ，所以a=2，b=1，所以椭圆的方程为： x 24 +y 2=1；（2）由（1）可得右焦点F 2（ √3 ，0），显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x=my+ √3 ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线l 与椭圆的方程 {x =my +√3x 24+y 2=1 ，整理可得：（4+m 2）y 2+2 √3 my-1=0， 可得y 1+y 2= −2√3m 4+m 2 ，y 1y 2= −14+m 2 ，所以S △AOB = 12 |OF 2||y 1-y 2|= 12×√3 × √(y 1+y 2)2−4y 1y 2= √32 •√12m 2(4+m 2)2+44+m 2= √32 •4√1+m 24+m 2=2 √3 •√1+m 24+m 2 =2 √3 •√1+m 2+3√2 √3 • 2√1+m 2•3√2 =1， 当且仅当 √1+m 2 = √1+m 2 m= ±√2 ，时三角形的面积最大为1，所以面积的最大值为1，这时直线l 的方程为x= ±√2 y+ √3 ．【点评】：本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．22.（问答题，12分）已知各项均为正数的两个数列{a n }，{b n }满足a n+12-1=a n 2+2a n ，2a n =log 2b n +log 2b n+1+1，且a 1=b 1=1．（1）求证：数列{a n }为等差数列；（2）求数列{b n }的通项公式；（3）设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，求使得等式2S m +a m -36=T i 成立的有序数对（m ，i ）（m ，i∈N*）．【正确答案】：【解析】：（1）根据递推关系可得a n+12=（a n+1）2，从而得到数列{a n}为等差数列；（2）根据2a n=log2b n+log2b n+1+1，可知数列{b n}的奇数项和偶数项，进而整合即可得{b n}的通项公式．（3）分别求S n，T n，带入2S m+a m-36=T i成立，则存在s，t∈N*，使得2s=m+7，即2t=m-5，从而2s-2t=12，在证明s≥5不成立，从而得到s=4，m=9，i=6．【解答】：证明（1）：由a n+12-1=a n2+2a n，可得a n+12=a n2+2a n+1即a n+12=（a n+1）2，∵各项均为正数的两个数列{a n}，{b n}，可得a n+1=a n+1，即数列{a n}是首项为1，公差d=1的等差数列．解（2）：由（1）可得a n=n，∵2a n=log2b n+log2b n+1+1，可得b n b n+1=22n-1…… ①∴b n+1b n+2=22n+1…… ②将②①可得：b n+2b n=4．所以{b n}是奇数项和偶数项都成公比q=4的等比数列，由b1=1，b2=2，可得b2k-1=4k-1，b2k=2×4k-1，k∈N*，∴b n=2n-1．故得数列{b n}的通项公式为b n=2n-1．（3）由（1）和（2）可得S n= n(n+1)2，T n=2n-1；由2S m+a m-36=m（m+1）+m-36=2i-1，即（m-5）（m+7）=2i．则存在s，t∈N*，使得2s=m+7，即2t=m-5，从而2s-2t=12，若s≥5，则2s-2t-12≥20，∴t≥5，又∵s＞t，那么2s-2t≥2t+1-2t=2t≥32，可知与2s-2t=12相矛盾，可得s≤4，根据2s-2t=12，s，t∈N*，可得s=4，t=2，此时可得m=9，i=6．【点评】：本题考查了等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于压轴题．。
江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试 化学试题 (含答案)
无锡市第一中学2024-2025学年度第一学期期中考试高一化学2024.11相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Na-23 Cl-35.5 K-39 Fe-56 I-127一、单项选择题：共13题，每题3分，共39分，每题只有一个选项最符合题意。
1.2023年9月23日第19届亚运会在杭州盛大开幕！开幕式上主火炬首次使用废碳再生的绿色燃料甲醇（CH3OH），从物质类别来看，关于甲醇说法正确的是A.属于有机物B.属于碱C.属于氧化物D.属于混合物2．化学与生活、社会发展息息相关。
下列叙述不正确的是A.我国十大科技成果之一的“纳米氮化镓（GaN）”是一种胶体B.胶体区别于其他分散系的本质特征是分散质粒子直径的大小C.“青蒿一握，以水二升渍，绞取之”，句中体现的对青蒿素的提取属于物理变化D．“碳中和”是指CO2的排放总量和减少总量相当3．下列有关物质的性质与用途均正确且有对应关系的是A.金属钠导热性良好，可用作传热介质B．Na2CO3溶液显碱性，可以用于治疗胃酸过多C.维生素C很难被氧化，可用作抗氧化剂D.次氯酸钠放置在空气中可分解出氯气，用作漂白剂4．实验室制备氯气的方法有多种，下列说法错误的是A．KCIO3与浓盐酸制备Cl2时，盐酸既表现酸性又表现还原性B．Ca（ClO）2与浓盐酸制备Cl2时，Cl2既是氧化产物又是还原产物C．KMnO4、Ca（ClO）2分别与浓盐酸反应，产生等量Cl2时转移电子数也相同D．KMnO4和浓盐酸制备Cl2无需加热，因此不能用盐酸来酸化KMnO4溶液5．用N A表示阿伏加德罗常数的值。
下列叙述正确的是A．标准状况下，22.4LH2O含有的分子数为NAB．28gN2和N4组成的混合气体中含有的原子数为2NAC.0.2mol·L-1Na2SO4溶液含有0.4N A个N a+D．56gFe与足量稀盐酸反应，转移的电子数目为3N A第1页，共6页6．下列各组离子，能在无色溶液中大量共存的是A.H +、B a 2+、C l −、C O 2−3B.K +、Na +、OH -、C l -C..C u 2+、B a 2+、C l −、N O −3D.Na+、OH -7．下列有关钠及其化合物的说法正确的是A .电解饱和食盐水可制取金属钠B .钠着火时使用泡沫灭火器灭火C .钠燃烧生成氧化钠D .焰色试验，火焰呈黄色，说明含有钠元素8．离子化合物CaO 2和NaH ，分别与水反应均产生气体，下列说法不正确的是A ．CaO 2不是碱性氧化物B .过氧化钙在水产养殖中可用于增加水体的溶氧量，有效预防鱼虾浮头现象C .二者与足量水反应产生等量气体时转移电子数不相同D ．CaO 2与水反应时，水作还原剂；NaH 与水反应时，水作氧化剂9．现有下列四种溶液：①400mL2.5 mol·L -1HCl 溶液，②250mL4.0mol·L -1HCl 溶液，③200mL2.0 mol·L -1MgCl 2溶液，④600mL 1.0 mol·L -1CuCl 2溶液，下列说法正确的是A .溶液的导电能力：B .Cr 的物质的量：③＞④C ．②④中分别加入足量的铁粉，消耗Fe 的质量比为5：6D ．标准状况下，将22.4LHCI 溶于400mL 水中可得①10．利用下列装置进行相关实验，能达到实验目的的是A B C D饱和碳酸钠溶液比较Na 2CO 3、NaHCO 3的热稳定性除CO 2中的HCI杂质观察钾的焰色沉淀的过滤第2页，共6页11．下列化学反应表示正确的是A .氧化镁与硫酸氢钠溶液反应： MgO +2HS O −4=M g 2++H 2O +2S O 2.4B .酸性条件下加碘盐中碘元素的检验： I O −3+5I −+6H +=3I 2+3O H−C .碳酸钙与盐酸反应： C O 2−3+2H +=C O 2↑+H 2OD .钠与水反应： 2Na +2H 2O =2N a ++2O H −+H 2↑12．亚氯酸钠（NaClO 2）是一种高效的漂白剂和氧化剂，可用于各种纤维和某些食品的漂白。
江苏省无锡市第一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题(艺术班)
£
2x
£
32üý ， B þ
=
x x2 - 4x + 4 - m2 £ 0,m > 0
.
(1)若 m = 3 ，求 A È B ；
(2)若存在正实数 m ，使得“ xÎ A ”是“ xÎ B ”成立的________，求正实数 m 的取值 范围. 从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完 整该问题，并进行作答.
2 <
，则 2
f
(1)
-
f
(9)
=
（
）
A． -1
B． -2
C．6
D．7
5．在函数 y = x , x Î[-1,1] 的图象上有一点 P (t, t ) ，此函数与 x 轴、直线 x= - 1 及
x = t 围成图形如图阴影部分的面积为 S，则 S 与 t 的函数关系图可表示为
试卷第11 页，共33 页
<
1 b2
，
Qc < 0，
\
c a2
>
c b2
，故 C 为真命题，
对于 D，Q -1 £ x < y £ 5 ，
\当 x= - 1 ， y = 5 时，取得最小值为 -6 ，且 x - y < 0 \ -6 £ x - y < 0 故 D 为真命题． 故选：BCD． 10．ABC
【解析】根据自变量 x 是有理数和无理数进行讨论，可判定 A、C、D，举特例根据 x = 2
f ( x) = -x2 + 2x .给定集合 A = {1, 2,3, 4} ，定义集合 B = { f ( x) x Î A} ，则集合 B =
.
15．若函数
无锡市第一中学高二数学期中试卷
无锡市第一中学2013—2014学年度第一学期期中试卷高 二 数 学 2014.11命题人：唐从仁 审核人：徐川林一、填空题：（共14小题，每小题5分，共70分）120y -+=的倾斜角等于_______2．若夹在两个平行平面间的线段AB 长为20，且AB 与这两个平面所成的角为60︒，则这两个平行平面间的距离为________3．已知椭圆()22:105x y C m m +=>的一个焦点坐标为()20，，则m =______ 4．已知以点()21-，为圆心的圆C 过点M ()22-，,则圆C 的方程为_____________5．直线x y =被圆10)4()2(22=-+-y x 所截得的弦长为__________6．如果用半径为r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的体积是________7．已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为____________8．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中错误的序号为________. ①若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n; ②若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ； ③若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β； ④若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β.9．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过第________象限10．有一根长为6，底面半径为0.5的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为_______11．已知圆x 2＋y 2＝9上有且仅有两个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则正实数c的取值范围是_______12．长方体1111ABCD A B C D -中,14,3,2AB BC AA ===,则四面体11A BC D 的体积为13．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>和圆222:O x y b +=，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ，满足60APB ∠=，则椭圆C 的离心率的取值范围是_________．14．已知点A ()2,0，O 为坐标原点，动点M 满足2MO MA =，则点M 到直线:34120l x y -+=的最大距离为二、解答题：（共6大题，共90分）15．（本题共15分）已知矩形ABCD 的对角线交于点P (2,0)，边AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，点Q(－1,1)在边AD 所在的直线上. (1)求直线CD 的方程； （2）求矩形ABCD 的外接圆的方程；(3)已知直线l ：(1－2k )x ＋(1＋k )y －5＋4k ＝0(k ∈R )，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆恒相交.16．（本题共14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1BB AB =，B A AC 11⊥，D 为AC 的中点.（1）求证：1B C ∥平面BD A 1；（2）求证：平面11AB C ⊥平面11ABB A .A CB 1A D 1B 1C如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E、F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝42，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积.18．（本题共15分）a .已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)，0(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；(2)若a＝2，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求四边形ABCD面积的最大值和最小值.设圆C 与两圆()64522=++y x ，22(4x y +=中的一个内切，另一个外切.（1）求圆心C 的轨迹L 的方程； （2）已知点M （553，554），1F （5，0），且P 为L 上的动点．求1PM PF +的最大值．20．（本题共16分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，右焦点F 关于直线20x y -=对称的点在圆224x y +=上. （1）求此椭圆的方程；（2）设M 是椭圆C 上异于长轴端点的任意一点，试问在x 轴上是否存在两个定点,A B ，使得直线,MA MB 的斜率之积为定值？若存在，求出所有符合条件的两个定点的坐标及定值；若不存在，请说明理由.。
2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一(下)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．i是虚数，复数＝（）A．﹣1+3i B．C．1+3i D．2．在△ABC中，若||＝||＝|﹣|，则△ABC的形状为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形3．已知、是不共线的向量，，（λ、μ∈R），当且仅当（）时，A、B、C三点共线．A．λ+μ＝1B．λ﹣μ＝1C．λμ＝﹣1D．λμ＝14．若非零向量，满足||＝3||，（2+3）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．5．已知2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，则实数a＝（）A．2﹣i B．﹣4C．2D．46．当复数z满足|z+3﹣4i|＝1时，则|z+2|的最小值是（）A．B．C．D．7．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若c sin C＝a sin A+（b﹣a）sin B，角C的角平分线交AB于点D，且CD＝，a＝3b，则c的值为（）A．B．C．3D．8．以C为钝角的△ABC中，BC＝3，，当角A最大时，△ABC面积为（）A．3B．6C．5D．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知复数z＝2+i，则下列结论正确的是（）A．B．复数z的共轭复数为2﹣iC．zi2021＝1+2i D．z2＝3+4i10．下列说法中正确的为（）A．已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C．非零向量，，满足且与同向，则D．非零向量和，满足，则与的夹角为30°11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）A．若A＞B，则sin A＞sin BB．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解C．若△ABC为钝角三角形，则a2+b2＞c2D．若A＝60°，a＝2，则△ABC面积的最大值为12．如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝b，且（a cos C+c cos A）＝2b sin B，D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，则下列说法正确的是（）A．△ABC是等边三角形B．若AC＝2，则A，B，C，D四点共圆C．四边形ABCD面积最大值为+3D．四边形ABCD面积最小值为﹣3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
无锡市第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中开始英语
无锡市第一中学2024-2025学年度第一学期期中考试高一英语2024.11第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.What will the man do next?A.Take an exercise class.B.Have a shower.C.Swim in a pool.2.How does the man suggest the woman get to the airport?A.By subway.B.By bus.C.By car.3.Why does the man want to study abroad?A.To learn English quicker.B.To.gain valuable experience.C.To study at a good university.4.What is the man doing?A.Receiving a health checkup.B.Interviewing an applicant.C.Applying for a job.5.What are the speakers mainly talking about?A.A winter sport.B.A hiking trip.C.Weather conditions.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
2022-2023学年江苏省无锡市高二年级上册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省无锡市第一中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．椭圆22:1y C x k+=的一个焦点是()0,1，则k 的值是（ ）A ．12B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由题意可得焦点在y 轴上，由222a b c =+，可得k 的值． 【详解】椭圆22:1y C x k+=的一个焦点是()0,1，焦点在y 轴上， 1c ∴=，2a k =，1b =，222k c b ∴=+=． 故选：B2．若点()1,1P 为圆2260x y y +-=的弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．230x y +-= D ．230x y +-=【答案】B【分析】利用点差法求出直线AB 的斜率，进而得到方程，注意检验是否符合题意即可.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2211160x y y +-=，2222260x y y +-=，两式做差可得2222121212660x x y y y y -+--+=，即()()()()()121212121260x x x x y y y y y y +-++---=， 又因为()1,1P 是AB 的中点，则12122,2x x y y +=+=，因此()()()1212122260x x y y y y -+---=，即()()1212240x x y y ---=， 所以11212AB y y k x x -==-， 因此直线AB 的方程为()1112y x -=-，即210x y -+=， 经检验，符合题意，故弦AB 所在直线的方程为210x y -+=. 故选：B.3．已知圆2225x y +=，则过圆上一点()3,4A 的切线方程为（ ） A ．34250x y +-= B ．43240x y +-= C ．3470x y -+=D ．430x y -=【答案】A【解析】由于直线OA 与切线垂直，得1OA k k ⋅=-求得切线斜率故可求切线方程. 【详解】圆2225x y +=的圆心为()0,0O ，则直线AO 的斜率43OA k =， 故切线的斜率134OA k k =-=-，所以切线方程为()3434y x -=-- 化简得：34250x y +-= 故选：A4．不论实数m 为何值，直线2210mx y m --+=恒过定点（ ）A ．1(2,)2-B ．1(2,)2--C ．1(2,)2-D ．1(2,)2【答案】D【分析】将直线的方程转化为()2210m x y --+=，再求出定点的坐标． 【详解】解：由2210mx y m --+=，可得()2210m x y --+=， 由20x -=，可得2x =，此时12y =， 所以直线恒过定点1(2,)2．故选：D ．5．给出下列命题，其中是真命题个数的是（ ）①若直线l 的方向向量()0,1,1a =-，平面α的法向量()1,1,1n =--，则l α⊥； ②若平面α，β的法向量分别为()10,1,3=n ，()21,6,2n =-，则αβ⊥；③若平面α经过三点()1,0,1A -，()0,1,0B ，()1,2,0C -，向量()1,,n u t =是平面α的法向量，则1u t +=；④若点()1,2,3A ，()1,1,4B -，点C 是A 关于平面yOz 的对称点，则点B 与C A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】利用空间向量判断空间线面位置关系即，共线向量定理，面面垂直转为法向量垂直，空间两点间距离公式即可判断正误.【详解】解：①不存在实数λ，使得a n λ=， ∴a 与n 不共线，因此l α⊥是假命题；②120660n n ⋅=+-=，∴12n n ⊥，则αβ⊥，因此是真命题；③()1,1,1AB =-，()2,2,1AC =-， 向量()1,,n u t =是平面α的法向量， ∴0n AB n AC ⋅=⋅=，1220u t u t ∴-++=-++=，解得1u =，0=t ，则1u t +=，因此是真命题；④若点()1,2,3A ，()1,1,4B -，点C 是A 关于平面yOz 的对称点，则()1,2,3C -， ∴点B 与C 的距离()()()22211213414d =--+++-=，因此是真命题．综上可得：真命题个数的是3． 故选：C ．6．已知正四面体A BCD -的边长为3，点P ，Q 分别为线段AB ，CD 上的点，满足1AP =，2CQ =，M 为线段PQ 的中点，则线段AM 的长为（ ）A ．112B ．32C ．74D ．3【答案】A【分析】作图连接AQ ，根据向量的运算法则得到：1111122636AM AP AQ AB AD AC =+=++，再根据模长公式求解即可．【详解】解：连接AQ ，作图如下：由题意知：1122AM AP AQ =+111622AB AC CQ =++ 111623AB AC CD =++ 11116233AB AC AD AC =++-111636AB AD AC =++， 则22111||636AM AB AD AC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭222111111111236936636636AB AD AC AB AD AB AC AD AC ⎛⎫=+++⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭， ∵正四面体A BCD -为四面体，且边长为3，933cos602AB AD AB AC AD AC ⋅=⋅=⋅⨯︒∴=⨯=， 211119191911||9992369361823621824AM ⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭，112AM ∴=故选：A ．7．直线()1:20l x my m R --=∈与直线2:20l mx y +-=交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，O 为坐标原点，则||AB 的最大值为（ ）A ．B ．C ．5+D ．3+【答案】C【分析】由题意得直线1l 过定点(2,0)M ，直线2l 过定点(0,2)N ，且12l l ⊥，从而得点A 在以MN 为直径的圆22:(1)(1)2C x y -+-=上，又点B 是圆()()22:232D x y +++=上的动点，从而可得||AB 的最大值为||CD 与两圆半径之和，再计算即可得解．【详解】解：由题意可得直线1l 过定点(2,0)M ，直线2l 过定点(0,2)N ，当0m =时，12l l ⊥， 当0m ≠时，1l 的斜率11k m=，2l 的斜率2k m =-，因为121k k ，得12l l ⊥，∴点A 在以MN 为直径的圆22:(1)(1)2C x y -+-=上（不包含O ），且圆心(1,1)C ，半径1r又点B 是圆()()22:232D x y +++=上的动点，且圆心(2,3)D --，半径2r =||AB ∴的最大值为125CD r r ++=+故选：C.8．已知1F ，2F 是椭圆2213625x y+=的左，右焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（ ） A ．6 B ．5C ．2D ．1【答案】D【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得OQ 是12F MF 的中位线，||6OQ a ==，可得Q 点的轨迹是以O 为圆心，以6为半径的圆，由此可得选项．【详解】因为P 是焦点为1F ，2F 的椭圆2213625x y+=上的一点，PQ 为12F PF ∠的外角平分线，1QF PQ ⊥，设1F Q 的延长线交2F P 的延长线于点M ，11PQM PQF PQ PQMPQ FQP∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，所以1PQF PQM ≅， 所以1||||PM PF =，1QF QM =，12||||212PF PF a +==，212MF PF PF ∴=+，由于O 是线段12F F 的中点，所以OQ 是△12F MF 的中位线，所以6OQ =， 所以Q 点的轨迹是以O 为圆心，以6为半径的圆，所以当点Q 与y 轴重合时， Q 与短轴端点取最近距离651d =-=．故选：D二、多选题9．已知三条直线2310x y ++=，4350x y -+=，10x my +-=不能构成三角形，则实数m 的取值为（ ） A ．34-B ．23C ．32D ．6【答案】ACD【分析】对直线的位置关系分三种情况讨论得解.【详解】由于三条直线2310x y ++=，4350x y -+=，10x my +-=不能构成三角形， 则直线存在以下三种情况；①当2310x y ++=与10x my +-=平行时，则213m-=-，解得32m =；②当4350x y -+=与10x my +-=平行时，则413m =-，解得34m =-； ③当三条直线交于同一点时，由23104350x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得113x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，代入10x my +-=解得6m =．故选：ACD10．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为右焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长､焦距分别为2a ､2c ，下列结论正确的是（ ）A ．卫星向径的取值范围是[,]a c a c -+B ．卫星运行速度在远地点时最小，在近地点时最大C ．卫星在左半椭圆弧的运行时间小于其在右半椭圆弧的运行时间D ．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越圆 【答案】AB【分析】根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案．【详解】解：A 选项，由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为a c -，最大值为a c +，卫星向径的取值范围是[a c -，]a c +，故A 正确；B 选项，因为运行速度是变化的，速度的变化服从卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，故B 正确；C 选项，当卫星在左半椭圆弧运行时，对应的向径更大，根据面积守恒规律，速度更慢，所以卫星在左半椭圆弧的运行时间大于在右半椭圆弧的运行时间，故C 不正确；D 选项，卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即1e 211e 1ea c a c --==-++++越小，则e 越大，椭圆轨道越扁，故D 不正确． 故选：AB ．11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A ､B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,2)A ，(4,2)B -，点P 满足||1||2PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ）A ．C 的方程为228440x y x y +--+=B ．在C 上存在点M 到点(3,2)--的距离为4 C ．C 上的点到直线3460x y -+=的最大距离为6D ．过点B 作直线l ，若C 上恰有三个点到直线l 的距离为2，则该直线的斜率为1515± 【答案】ACD【分析】根据题意求出P 的轨迹，结合圆中的相关知识进行分析判断即可. 【详解】设(,)P x y ，则()()()()2222221242x y PA PBx y -+-==++-， 化简得，228440x y x y +--+=，则选项A 正确；将圆C 的方程化为标准方程为22(4)(2)16x y -+-=，则圆心为(4,2)，半径为4， 则圆上的点到点(3,2)--的最小距离为()()22342246544--+---=->，则在圆C 上不存在点M 到点(3,2)--的距离为4，则选项B 错误；C 上的点到直线3460x y -+=的最大距离为圆心到直线3460x y -+=的距离加半径，即128646916-++=+，则选项C 正确；显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2(4)y k x -=+，即420kx y k -++=， 由于圆C 的半径为4，则要使C 上恰有三个点到直线l 的距离为2， 只需圆心到该直线的距离为2，即2821k k =+，解得1515k =±，则选项D 正确． 故选：ACD ．12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ､F ､G 分别为BC ､1CC ､1BB 的中点，P 为线段EF 上的动点（不含端点），则下列选项正确的是（ ）A ．直线1A G 与EF 5B ．存在点P ，使得1223D P AF =C ．三棱锥1D ADP -的体积为定值 D ．存在实数λ､μ使得1λμ=+AG AF AE 【答案】BCD【分析】对于A ：连接1D F ，GF ，1D E ，易知1A G ∥1D F ，则角1D FE ∠即为1A G 与EF 所成角补角，2221111cos 2D F EF D E D FE D F EF+-∠=⋅求解即可；对于B ：连接1D E ，1D F ，根据221215D F =+=，22212213D E =++=，求得()15,3D P ∈，再根据()1225,33D P AF =∈即可判断；对于C ：根据1D ADP -的体积与1P ADD -的体积相等即可判断； 对于D ：连接1AD ，1D F ，11D F AG =即可． 【详解】解：设正方体棱长为2，对于A ：连接1D F ，GF ，1D E ，作图如下：因为G ，F 都为中点，易知1A G ∥1D F ，则1D FE ∠即为1A G 与EF 所成角或补角， 易知221215D F =+2EF =22212213D E =++， 则222111110cos 2252D F EF DE D FE DF EF +-∠===⋅⨯⨯则直线1A G 与EF 10A 错误； 对于B ：连接1D E ，1D F ，作图如下：由A 知221215D F =+=，22212213D E =++=，P 为线段EF 上的动点（不含端点），所以()15,3D P ∈，易知2222213AF =++=， 所以()122223225,333D P AF ==⨯=∈，所以存在点P ，使得1223D P AF =，B 正确； 对于C ：因为EF ∥平面11ADD A ，所以EF 到平面11ADD A 的距离是定值，则点P 到平面ADP 的距离是定值2， 又因为112222ADD S =⨯⨯=△是定值，所以三棱锥11142233D ADP P ADD V V --==⨯⨯=的体积为定值，C 正确．对于D ：连接1AD ，1D F ，作图如下：易知1A G ∥1D F ，又因为E ，F 分别为中点，所以易知1AD ∥EF ，且1AD =2EF ，则A ，E ，F ，1D 四点共面， 所以1AEFD 为梯形，,AE AF 为相交直线， 所以存在实数λ､μ使得1E D A A F F λμ=+，又因为1A G ∥1D F ，且1A G =1D F ， 所以11D F AG =，所以存在实数λ､μ使得1λμ=+AG AF AE ，D 正确， 故选：BCD ．三、填空题13．经过点且倾斜角为3π的直线方程为___________．20y --=【分析】先求出斜率，再结合直线的斜截式公式，即可求解【详解】解：直线过点1)且倾斜角为3π，所以，直线的斜率tan3k π==所以，直线的方程为1y x -=-20y --=．20y --=．14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1A ，2A ，1B ，2B 为顶点，1F ，2F 为焦点，四边形1221A B A B 的内切圆过焦点1F ，2F ，则椭圆的离心率为___________．【分析】由平面几何知识可得椭圆中心到四边的距离等于椭圆的半焦距，求得直线方11A B 的方程0bx ay ab +-=c =，求解即可．【详解】由题意知四边形1221A B A B 的四边均与内切圆相切， 故椭圆中心到四边形1221A B A B 的四边的距离等于椭圆的半焦距， 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，右顶点1A (,0)a ，上顶点1B (0,)b ，直线11A B 的方程为1x ya b +=，即0bx ay ab +-=，∴c =，()()2222222a a c a c c ∴-=-，()22212e e e ∴-=-，解得23512e +=>（舍去）或2352e -=．由22356255251512442e ⎛⎫---+-==== ⎪ ⎪⎝⎭，所以512e -=. 故答案为：512- 15．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为平面11A ABB 的中心，E 为BC 的中点，则点O 到直线1A E 的距离为________. 【答案】23【分析】如图，以D 为原点建系，利用向量法即可求出答案. 【详解】解：如图，以D 为原点建系， 则()()()12,0,2,2,1,1,1,2,0A O E ，则()()110,1,1,1,2,2AO A E =-=--， 则1111112222cos ,323AO A E AOA E AO A E ⋅+===⨯， 又[]11,0,AO A E π∈，所以111sin ,3AO A E =， 所以点O 到直线1A E 的距离为11112sin ,233A O A O A E =⨯=. 故答案为：23.16．已知点()11,P x y 是圆22:1C x y +=上的动点，点()22,Q x y 是直线:2250l x y +-=上的动点，记1212PQ L x x y y =-+-，则PQ L 的最小值是___________．【答案】52【分析】设()cos ,sin P θθ，结合图象，利用三角函数表示PQ L ，结合三角函数最值的求法求得正确答案.【详解】如图，根据题意设()cos ,sin P θθ，过P 作//PN x 轴，交l 于N ；过Q 作QM //y 轴，交PN 于M ，则可得N 为()252sin ,sin θθ-，又直线:2250l x y +-=的斜率为12-，12MQ MN ∴=，122PQ PN PM L PM MQ PM MN +∴=+=+=252sin cos 2PMθθ--+=()255sin 2PMθϕ-++=255522PM-+≥≥，1(tan )2ϕ=，当且仅当P ，M 重合时，取得等号， PQ L ∴的最小值是52．故答案为：52四、解答题17．已知以点(1,3)C 为圆心的圆与圆22:10221010D x y x y +--+=相外切，过点(2,0)P 的动直线l 与圆C 相交于M ､N 两点． (1)求圆C 的标准方程；(2)当4MN =时，求直线l 的方程．【答案】(1)22(1)(3)5x y -+-= (2)2x =或4380x y +-=【分析】（1）根据两圆外切建立方程即可求解；（2）先由弦长4MN =，可得圆心(1,3)C 到直线l 的距离1d =，接着再分类讨论设出直线l 的方程，再通过1d =建立方程即可求解．【详解】（1）圆D 方程可化为：()()2251145x y -+-=， ∴圆心()5,11D ，半径r =又圆心C 为(1,3)，设圆C 的半径为R ， 又圆C 与圆D 相外切，CD r R ∴=+， ∴R =，R ∴= ∴圆C 的标准方程为22(1)(3)5x y -+-=；（2）弦长4MN =，又圆C 的半径R =∴圆心(1,3)C 到直线l 的距离1d ==，①当过点(2,0)P 的直线l 与x 轴垂直时，l 的方程为2x =，满足1d =；②当过点(2,0)P 的直线l 与x 轴不垂直时， 设l 的方程为(2)y k x =-，即20kx y k --=，1d ∴==，解得43k =-，∴直线l 的方程为48033x y --+=，即4380x y +-=，综合可得直线l 的方程为2x =或4380x y +-=．18．已知椭圆E 过点Q 1)，且与椭圆22194x y+=有公共的焦点，点P 在椭圆E 上，且位于x 轴上方．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若△12F PF 的面积等于3，求点P 的坐标； (3)若1260F PF ∠=︒，求△12PF F 的面积．【答案】(1)221105x y +=(2)⎛ ⎝⎭【分析】（1）设椭圆的方程22194x y λλ+=++，将Q 点代入椭圆方程，即可求得λ的值，求得椭圆方程；（2）根据三角形的面积公式，即可求得P 的纵坐标，代入椭圆方程，即可求得P 点坐标； （3）利用余弦定理，椭圆的定义，即可求得1220||||3PF PF ⋅=，再利用三角形的面积公式，即可△12PF F 的面积．【详解】（1）与22194x y +=有公共的焦点的椭圆的方程：22194x y λλ+=++，4λ>-，将Q 1)代入椭圆方程，可得81194λλ+=++，整理得：2450λλ+-=， 解得1λ=或5λ=-，舍去，所以椭圆方程221105x y +=；（2）由（1）可知，椭圆的焦点坐标分别为1(F ，2F ，设0(P x ，0)y ，00y >，由△12F PF 的面积120132S F F y =⨯⨯=，所以0y =代入椭圆方程，20325x =，则0x =，所以P 点坐标为⎛ ⎝⎭；（3）由椭圆的定义可知，12PF PF +=，由余弦定理可知，22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，所以((()22121221cos PF PF F PF =-⋅+∠，所以1220||||3PF PF ⋅=，所以△12PF F 的面积121sin602S PF PF =⋅⋅︒=所以△12PF F ．【点睛】本题第三问可考虑利用二级定理进行求解（光速解）：在椭圆中，△12PF F 的面积2tan2S b θ=．其中b 为半短轴长，12F PF θ∠=．因此△12PF F 的面积353533S =⨯=，所以，△12PF F 的面积533． 19．如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 上靠近A 的三等分点，6PA =，4AC =，2AB =．(1)求直线ND 与直线BE 所成角的余弦值； (2)求平面CEM 与平面MNE 夹角的余弦值． 【答案】238311【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，求出相应的点的坐标，进一步可得ND ，BE ，代入向量夹角公式计算即可．（2）求得平面MNE 与平面CEM 的法向量，利用空间数量积求角公式即可求得平面CEM 与平面MNE 夹角的余弦值．【详解】（1）在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，,AB AC ⊂平面ABC ， 所以,PA AB PA AC ⊥⊥，由于90BAC ∠=︒，所以AB AC ⊥，故以A 为坐标原点，AB ，AC ，AP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 因为点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 上靠近A 的三等分点，6PA =，4AC =，2AB =，所以()()()()()0,0,1,2,0,0,0,4,0,1,2,0,0,0,3M B C N D ，()()0,0,6,0,2,3P E ， 所以()()1,2,3,2,2,3ND BE =--=-， 设直线ND 与直线BE 所成角为θ，所以249238cos cos 341417,ND BE ND BE ND BEθ⋅-+====⨯⋅， 即直线ND 与直线BE 所成角的余弦值为23834． （2）由（1）得()()()1,2,1,0,4,1,0,2,2MN MC ME =-=-=， 设平面MNE 的一个法向量(,,)m a b c =， 则22020m ME b c m MN a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1b，则3a =，1c =，得()3,1,1m =-，易知AB ⊥平面CEM ，故可设平面CEM 的一个法向量(1,0,0)p =， 设平面CEM 与平面MNE 的夹角为α， 故300311cos 119111m pm pα⋅++===⋅++⨯， 即平面CEM 与平面MNE 夹角的余弦值为31111．20．新冠疫情期间，作为街道工作人员的王叔叔和李阿姨需要上门排查外来人员信息，王叔叔和李阿姨分别需走访离家不超过3百米､a 百米的区域，如图，1l ､2l 分别是经过王叔叔家(O 点）的东西和南北走向的街道，且李阿姨家(C 点）在王叔叔家的北偏东45︒方向，以点O 为坐标原点，1l ､2l 为x 轴､y 轴建立平面直角坐标系，已知李阿姨负责区域中最远的两个检查点A 和B ，A 到南北和东西走向街道的垂直距离分别为5百米和3百米，B 到南北和东西走向街道的垂直距离分别为7百米和5百米．(1)求出a ，并写出王叔叔和李阿姨负责区域边界的曲线方程；(2)王叔叔和李阿姨为交接防疫物资，从家中出发，需在龙山路（直线:2100)l x y -+=上碰头见面，你认为在何处最为便捷､省时间（两人所走的路程之和最短）？【答案】(1)2a =，王叔叔和李阿姨负责区域边界的曲线方程分别为229x y +=，()()22554x y -+-= (2)可选择在地点(2,6)处碰面，此时距离之和最近【分析】（1）由题意得王叔叔家(O 点）负责区域边界的曲线方程为2223x y +=，且(5,3)A ，(7,5)B ，设(,)C c c ，利用CA CB =，求出c ，即可得出a ，即可得出答案；（2）设王叔叔家O 点关于直线:2100l x y -+=对称点(,)D m n ，则2OD k =-，且(,)22m n，在直线l 上，即可求出4m =-，8n =，求出直线DC 的方程，联立直线l 求出交点坐标，即可得出答案． 【详解】（1）由题意得：王叔叔家(O 点）负责区域边界的曲线方程为22239x y +==，且(5,3)A ，(7,5)B ， 由题意可设李阿姨家(,)C c c ，则CA CB =， 即()()()()22225375c c c c -+-=-+-，解得5c =， 则()()2255532a CA ==-+-百米，则李阿姨负责区域边界的曲线方程()()2225524x y -+-==， 故2a =，王叔叔和李阿姨负责区域边界的曲线方程分别为229x y +=，()()22554x y -+-=； （2）设王叔叔家O 点关于直线:2100l x y -+=对称点(,)D m n ， 则2100222mn n m⎧-⨯+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得4m =-，8n =，此时直线DC 的方程为()855545y x --=---，即12033y x =-+， 联立直线DC 与直线l 的方程得21003200x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得26x y =⎧⎨=⎩，故王叔叔和李阿姨为交接防疫物资，可选择在地点(2,6)处碰面，此时距离之和最近．21．直三棱柱111ABC A B C 中，AB BC ⊥，12AB BC CC ===，点D 为线段AC 的中点，直线1BC 与1B C 的交点为M ，若点P 在线段1CC 上运动，CP 的长度为m ．(1)求点M 到平面1A BD 的距离；(2)是否存在点P ，使得二面角1P BD A --的余弦值为13-，若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由；(3)求直线DP 与平面1A DB 所成角正弦值的取值范围． 【答案】23(2)存在；25m = (3)6⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）以B 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法可直接求得结果；（2）假设存在点()2,0,P m ，利用二面角的向量求法，结合已知二面角的余弦值可构造方程求得m 的值，由此可得结论；（3()212191344212m m +++-+的单调性可求得正弦值的取值范围.【详解】（1）三棱柱111ABC A B C 为直三棱柱，∴四边形11BCC B 为矩形，M ∴为1B C 中点， 以B 为坐标原点，1,,BC BA BB 正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()1,0,1M ，()0,0,0B ，()10,2,2A ，()1,1,0D ，()1,0,1BM ∴=，()10,2,2BA =，()1,1,0BD =，设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =，12200BA n y z BD n x y ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，解得：1y =-，1z =，()1,1,1n ∴=-， ∴点M 到平面1A BD 的距离2233BM n d n⋅==（2）假设存在点()2,0,P m ，使得二面角1P BD A --的余弦值为13-，设平面PBD 的法向量(),,s a b c =，()2,0,BP m =，()1,1,0BD =，200BP s a mc BD s a b ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令2c =，解得：a m =-，b m =，(),,2s m m ∴=-，2221cos ,3324n s m n s n sm ⋅-+∴<>===⋅⋅+，解得：2m =或25m =，当2m =时，P 与1C 重合，此时二面角1P BD A --为锐二面角，不合题意； 当25m =时，二面角1P BD A --为钝二面角，符合题意；综上所述：存在点22,0,5P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得二面角1P BD A --的余弦值为13-，此时25m =.（3）由（1）（2）知：()2,0,P m ，平面1A DB 的法向量()1,1,1n =-， P 在线段1CC 上，02m ∴≤≤，设直线DP 与平面1A DB 所成角为θ，()1,1,DP m =-，sin cos ,3DP nDPn DP n θ⋅∴=<>==⋅⨯==02m ≤≤，1215m ∴≤+≤，令21t m =+，则[]1,5t ∈， 由对勾函数性质知：()()91544t f t t t=+≤≤在[)1,3上单调递减，在(]3,5上单调递增， 又()332f =，()512f =，()17510f =，()min 32f t ∴=，()max 52f t =，即()32195244212m m +≤+≤+， ()212219144212m m ∴≤≤++-+，sin 1θ≤≤， 即直线DP 与平面1A DB 所成角正弦值的取值范围为⎤⎥⎣⎦. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用空间向量法求解立体几何中的距离和角度问题，第三问中求解线面角正弦值的取值范围的关键是能够将所求正弦值表示为关于变量m 的函数的形式，从而利用函数值域的求解方法求得取值范围.22．已知圆22:(1)16C x y -+=，直线:50l x y +-=，0(P x ，0)y 是直线l 上的动点，点D 在圆C 上运动，且点T 满足3(DT TO O =为原点），记点T 的轨迹为E ． (1)求曲线E 的方程；(2)过点(1,0)C 且不与x 轴重合的直线与曲线E 交于A ，B 两点，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22114x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ (2)存在；19,012N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）设(,)T x y ，(,)D m n ，根据相关点法可求出曲线E 的方程；（2）当直线AB x ⊥轴时，x 轴平分ANB ∠；在直线斜率存在条件下，设出直线方程并与圆的方程联立，求得韦达定理，利用设而不求法求点N 的坐标，即可得解．【详解】（1）设(,)T x y ，(,)D m n ，所以(),DT x m y n =--，(),TO x y =--，因为3DT TO =，所以(x m -，)3(y n x -=-，)y -，所以33x m x y n y -=-⎧⎨-=-⎩，所以44m x n y =⎧⎨=⎩， 因为(,)D m n 在圆22:(1)16C x y -+=上运动，所以()22116m n -+=，所以()()2241416x y -+=， 整理得，22114x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 所以曲线E 的方程为22114x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭； （2）当直线AB x ⊥轴时，x 轴平分ANB ∠，当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为(1)y k x =-， 联立()221141x y y k x ⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=-⎩，化简可得()2222115120216k x k x k ⎛⎫+-++-= ⎪⎝⎭， ()222221157241402164k k k k ⎛⎫⎛⎫∆=+-+-=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设(,0)N t ，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，221212221512162,11k k x x x x k k -++==++， 若x 轴平分ANB ∠，则0AN BN k k +=，所以12120y y x t x t+=--， 又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-，所以12122(1)()20x x t x x t -+++=， 所以()22221512162212011k k t t k k -+⋅-++=++， 所以()()2228110931k t k t k ⎛⎫ ⎪--++++⎝=⎭， 整理得，319028t -=， 解得1912t =， 所以当19,012N ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，能使x 轴平分ANB ∠．。
专题10 圆锥曲线的方程(多选题)(12月)(人教A版2021)(解析版)
专题10 圆锥曲线的方程（多选题）1．椭圆2219x y m +=的焦距是4，则实数m 的值可以为．A ．5B ．8C ．13D ．16【试题来源】湖北省襄阳市宜城市第三中学2020-2021学年高二上学期10月月考 【答案】AC【分析】计算得到2c =，讨论9m >和09m <<两种情况得解．【解析】椭圆2219x y m +=的焦距是4，故24c =，2c =．当9m >时，94m -=，解得13m =；当09m <<时，94m -=，解得5m =．故选AC ． 2．已知12,F F 为椭圆22143x y +=的左、右焦点，M 为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是A ．2MF 的最大值大于3B ．12MF MF ⋅的最大值为4C ．12F MF ∠的最大值为60°D ．若动直线l 垂直于y 轴，且交椭圆于A B 、两点，P 为l 上满足||||2PA PB ⋅=的点，则点P 的轨迹方程为222123x y +=或222169x y +=【试题来源】人教A 版（2019） 选择性必修第一册 过关斩将 第三章 圆锥曲线的方程 【答案】BCD【解析】由椭圆方程得2224,3,1a b c ==∴=，因此12(1,0),(1,0)F F -． 选项A 中，2max3=+=MF a c ，A 错误；选项B 中，2121242⎛+⎫⋅= ⎪⎝⎭MF MF MF MF ，当且仅当12MFMF =时取等号，B 正确；选项C 中，当点M 为短轴的端点时，12F MF ∠取得最大值，取M ，则1212tan30232∠∠=∴=F MF F MF ，12F MF ∴∠的最大值为60°，C 正确； 选项D 中，设()()11(,),,,,-P x y A x y B x y ．11||||2,2⋅=∴-⋅+=PA PB x x x x ，2212∴-=x x ，即2212=+x x 或2212=-x x ．又由题意知221143+=x y ，222143-∴+=x y 或222143++=x y ，化简得222169x y +=或222123x y +=，D 正确．故选BCD ．3．把方程||||14x x y y +=表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有 A ．函数()f x 的图象不经过第三象限 B ．函数()f x 在R 上单调递增C ．函数()f x 的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D ．函数()()2g x f x x =+不存在零点【试题来源】江苏省苏州市相城区2020-2021学年高三上学期阶段性诊断测试 【答案】ACD 【解析】由题意，方程||||14x x y y +=， 当0,0x y ≥≥时，2214x y +=，表示椭圆在第一象限的部分；当0,0x y ><时，2214x y -=，表示双曲线在第四象限的部分；当0,0x y <>时，2214x y -+=，表示双曲线在第二象限的部分；当0,0x y <<时，2214x y --=，此时不成立，舍去，其图象如图所示，可得该函数的图象不经过第三象限，所以A 是正确的； 由函数的图象可得，该函数在R 为单调递减函数，所以B 不正确；由图象可得，函数()f x 的图象上的点P 到原点的距离的最小的点在0,0x y ≥≥的图象上，设点(,)P x y ，则点P 满足0,0x y ≥≥时，2214x y +=，即2214x y =-则PO ===0x =时，min 1PO =，所以C 正确；令()0g x =，可得()20f x x +=，即()12f x x =-，则函数()()2g x f x x =+的零点，即为函数()y f x =与12y x =-的交点，又由直线12y x =-为双曲线2214x y -=和2214x y -+=渐近线，所以直线12y x =-与函数()y f x =没有交点，即函数()()2g x f x x =+不存在零点，所以D 是正确的．故选ACD ．4．已知双曲线E 的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的标准方程可以是A ．22124x y -=B ．22124y x -=C ．2212y x -=D ．2212y x -=【试题来源】广东省湛江市第二十一中学2021届高三上学期9月月考 【答案】ACD【分析】分别求出四个选项中双曲线的渐近线方程可得结果．【解析】选项A 中，a =2b =，所以双曲线有一条渐近线方程为by x a==，选项C 中，a =1b =，所以双曲线有一条渐近线方程为ay x b ==，选项D 中，1a =，b =by x a==，选项B 中，a =2b =，所以双曲线的渐近线方程都是a y x x b =±=．故选ACD ． 5．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的一条渐近线为12:l y x =，则下列结论正确的是 A ．a b >B ．2a b =C ．双曲线ED ．双曲线E 的焦点在x 轴上【试题来源】重庆市万州沙河中学2020-2021学年高二上学期10月月考 【答案】CD【分析】由双曲线标准方程，结合已知渐近线即可知焦点位置、参数关系、离心率． 【解析】由双曲线渐近线by x a=±，知2b a =，又222+=a b c ，所以e ==综上，有：2b a a =>，x 轴上，故选CD ． 6．下列双曲线中，以2y x =±为渐近线的双曲线的标准方程为A ．2214y x -=B ．221416x y -=C ．2214x y -=D ．221164y x -=【试题来源】江苏省扬州市邗江中学2020-2021学年高二（2019级新疆班）上学期期中 【答案】ABD【分析】根据双曲线的几何性质之求渐近线的方法可得选项．【解析】2214y x -=的渐近线方程为2y x =±，所以A 正确；221416x y -=的渐近线方程为2y x =±，所以B 正确； 2214x y -=的渐近线方程为12y x =±，所以C 不正确；221164y x -=的渐近线方程为2y x =±，所以D 正确，故选ABD ． 7．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于,P Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则 A ．C 的准线方程为1y =- B ．线段PQ 长度的最小值为4 C ．2OPQS≥D ．3OP OQ ⋅=-【试题来源】江苏省盐城市响水中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BCD【解析】焦点F 到准线的距离为p =2，所以抛物线C 的焦点为(1，0)， 准线方程为x=－1，则选项A 错误；当PQ 垂直于x 轴时长度最小，此时P (1，2)，Q (1，－2)，所以|PQ|=4，则选项B 正确； 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x =my +1，联立x =my +1，y 2＝2px ， 消去y 可得x 2－(4m 2+2)x+1=0，消去x 可得y 2－4my －4=0， 所以x 1+x 2=4m 2+2，y 1+y 2=4m ，124y y =-1211112222OPQSOF y y =-=⨯=， 当0m =时成立， 则选项C 正确；又x 1x 2=1，y 1y 2=－4，所以OP OQ ＝x 1x 2+y 1y 2=－3，则选项D 正确；故选BCD.8．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的焦点与抛物线24x y =的焦点之间的距离为2，且CA ．C的渐近线方程为y = B ．C 的标准方程为2212y x -=C ．C的顶点到渐近线的距离为3D．曲线1x y e =-经过C 的一个焦点【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高三上学期8月月考 【答案】ABD【解析】设抛物线24x y =的焦点为(0,1)F ，双曲线C 的一个焦点坐标为1(,0)(0)F c c >， 由题意可知12FF =2c =⇒=c =（舍去）， 因为C1ce a b a===⇒=== 选项A：因为1,a b ==，所以C的渐近线方程为y =，故本选项说法正确；选项B：因为1,a b ==C 的标准方程为2212y x -=，故本选项说法正确；选项C ：设C 的一个顶点坐标为(1,0)0y -=的距离为=，根据双曲线和渐近线的对称性可知C的顶点到渐近线的距离为，故本选项的说法不正确． 选项D：当x =10y e =-=，而(恰好是双曲线的一个焦点，因此本选项的说法正确．故选ABD.9．已知双曲线的方程为221169x y -=，则下列说法正确的是A．焦点为(0) B ．渐近线方程为3x ±4y =0 C ．离心率5e 4=D ．焦点到渐近线的距离为4【试题来源】广东省佛山市顺德区2021届高三上学期第二次教学质量检测 【答案】BC【分析】根据双曲线的方程依次求出焦点、渐近线方程、离心率等，即可得答案；【解析】对A ，焦点为(5,0)±，故A 错误；对B ，渐近线方程为220340169x y x y -=⇒±=，故B 正确；对C ，54c e a ==，故C 正确；对D ，焦点到渐近线的距离为3b =，故D 错误；故选BC ．10．已知,A B 两监测点间距离为800米，且A 监测点听到爆炸声的时间比B 监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是 A ．爆炸点在以,A B 为焦点的椭圆上 B ．爆炸点在以,A B 为焦点的双曲线的一支上C ．若B 监测点的声强是A 监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B 监测点的距离为6803米 D ．若B 监测点的声强是A 监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B 监测点的距离为680米【试题来源】江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BD【解析】依题意，,A B 两监测点间距离为800米，且A 监测点听到爆炸声的时间比B 监测点迟2秒，设爆炸点为C ，则3402680800CA CB -=⨯=<，所以爆炸点在以,A B 为焦点的双曲线的一支上．所以A 选项错误，B 选项正确．若B 监测点的声强是A 监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，所以224CA CB=，即2CA CB =，结合680CA CB -=可得680CB =． 所以C 选项错误，D 选项正确．故选BD.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)，抛物线2y =的准线过双曲线的左焦点，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是A ．双曲线C 的渐近线方程为y =±2xB ．双曲线C 的方程为2214x y -=C ．1k 2k 为定值14D ．存在点P ，使得1k +2k =2【试题来源】福建省福州市八县（市）一中2020-2021学年高二上学期期中联考 【答案】BCD【解析】因为双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)，所以2c e a ==，12b a ==，渐近线方程为12y x =±，故A 错误；又c =22,1a b ==，所以双曲线方程为2214x y -=，故B 正确；因为()()2,0,2,0A B -，设(),P x y ，则1k 22212244y y y x x k x =⋅==+--⋅，故C 正确；2212222122442y y xy y x xx x x y yk k x =+==⋅=⋅+---+，因为点P 在第一象限，渐近线方程为12y x =±，所以102OP k <<，则 2x y >，所以121k k +>，所以存在点P ，使得1k +2k =2，故正确；故选BCD12．椭圆22116x y m+=的焦距为m 的值为A ．9B ．23C ．16D ．16+【试题来源】江苏省南航附中2020-2021学年高二（9月份）月考 【答案】AB【解析】椭圆22116x y m+=的焦距为2c =得c =依题意当焦点在x 轴上时，则167m -=，解得9m =；当焦点在y 轴上时，则 167m -=，解得 23m =， 所以m 的值为9或23．故选AB ． 13．下列说法正确的是A ．平面内到两个定点12,F F 的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆；B ．在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，若A B >则a b >； C ．若数列{}n a 为等比数列，则{}1n n a a ++也为等比数列；D ．垂直于同一个平面的两条直线平行．【试题来源】湖北省四地六校2020-2021学年高二上学期10月联考【答案】BD【解析】若距离之和等于12F F ，则轨迹是线段12F F ，不是椭圆，A 错； 三角形中大边对大角，大角对大边，B 正确；{}n a 的公比1q =-时，10n n a a ++=，{}1n n a a ++不是等比数列，C 错；由线面垂直的性质定理知D 正确．故选BD ．14．点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 的方程可以是A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221168x y +=【试题来源】山东省济南市商河县第一中学2020-2021学年高二10月月考 【答案】ACD【解析】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则需1290F BF ∠≥︒，221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，则222a b ≥，所以选项ACD 满足．故选ACD ．15．在平面直角坐标系xoy 中，F 1，F 2分别为椭圆 22142x y +=的左、右焦点，点A 在椭圆上．若△AF 1F 2为直角三角形，则AF 1的长度可以为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【试题来源】江苏省南京市2020-2021学年高二上学期期中调研测试 【答案】ABC【解析】由椭圆 22142x y +=可知，2,a b c ===焦点坐标为(，通径为222b a=，因为△AF 1F 2为直角三角形，所以A 为直角顶点时，A 在短轴端点，此时AF 1的长为2；1F 为直角顶点时，A 在y 轴左侧，此时AF 1的长为1；2F 为直角顶点时，A 在y 轴右侧，此时AF 1的长为3；故选ABC ．16．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是直角，则满足条件的一个e 的值可以是A ．12BC．3D ．45【试题来源】江苏省南京市六合区大厂高级中学2020-2021学年高二上学期10月学情调研 【答案】BD【解析】1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点，∴()1,0F c -，()2,0F c ，222c a b =-，设点(),P x y ，因为椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是直角，所以12PF PF ⊥， 所以()(),,0x c y x c y -⋅+=，化简得222x y c +=，联立方程组22222221x y c x yab ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，整理，得()2222220a xc a c =-⋅≥，所以2220c a -≥，解得2e ≥，又01e <<，12e ∴≤<．故选BD ．17．设椭圆22193x y +=的右焦点为F，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ， B 两点，则下述结论正确的是 A ．AF +BF 为定值 B ．△ABF 的周长的取值范围是[6，12] C．当m =时，△ABF 为直角三角形D ．当m =1时，△ABF【试题来源】江苏省南通中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】AD【解析】设椭圆的左焦点为F '，则AF BF '=， 所以=6AF BF AF AF '+=+为定值，A 正确；ABF 的周长为AB AF BF ++，因为AF BF +为定值6，所以AB 的范围是()0,6，所以ABF 的周长的范围是()6,12，B 错误；将y =(A ，B，因为)F，所以(60BA BF ⋅=-=-，所以ABF 不是直角三角形，C 不正确；将1y =与椭圆方程联立，解得()A -，)B ，所以112ABFS=⨯=D 正确．故选AD. 18．下列判断正确的是A ．抛物线2y x =与直线0x y +-=仅有一个公共点B ．双曲线221x y -=与直线0x y +-=仅有一个公共点C ．若方程22141x y t t +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则542t <<D ．若方程22141x y t t +=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则t >4【试题来源】江苏省南京市五校2020-2021学年高二上学期10月联合调研考试 【答案】BD【解析】对于A ，抛物线2y x =与直线方程0x y +=，联立方程，消去x ，可得20y y +=，10∆=+>，所以抛物线2y x =与直线0x y +=有两个个公共点，故A 错误；对于B ，双曲线221x y -=的渐近线方程为y x =±，直线0x y +=与渐近线y x =-平行，故双曲线221x y -=与直线0x y +-=仅有一个公共点，故B 正确；对于C ，若方程22141x y t t +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则410t t ->->，解得512t <<，故C 错误；对于D ，若方程22141x y t t +=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则4010t t -<⎧⎨->⎩，解得4t >，故D 正确．故选BD ．19．在平面直角坐标系中，有两个圆22211:(2)++=C x y r 和22222:(2)-+=C x y r ，其中常数12,r r 为正数满足124r r +<，一个动圆P 与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是 A ．两个椭圆B ．两个双曲线C ．一个双曲线和一条直线D ．一个椭圆和一个双曲线【试题来源】人教A 版（2019） 选择性必修第一册 过关斩将 全书综合测评 【答案】BC【解析】由题意得，圆1C 的圆心为1(2,0)C -，半径为1r ，圆2C 的圆心为2(2,0)C ，半径为2r ，所以124C C =，设动圆P 的半径为r ．当124r r +<时，两圆相离，动圆P 可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切． ①若均内切，则1122,PC r r PC r r =-=-， 此时1212PC PC r r -=-，当12r r ≠时，点P 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线， 当12r r =时，点P 在线段12C C 的垂直平分线上． ②若均外切，则1122,PC r r PC r r =+=+， 此时1212PC PC r r -=-，则点P 的轨迹与①相同．③若一个外切，一个内切，不妨设与圆1C 内切，与圆2C 外切，则11222112,,PC r r PC r r PC PC r r =-=+-=+．同理，当与圆2C 内切，与圆1C 外切时，1212PC PC r r -=+．此时点P 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．故选BC ． 20．已知曲线22:1C mx ny += A ．若0m =，0n >，则C 是两条直线B ．若0m n =>，则C C ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上D ．若0mn <，则C是双曲线，其渐近线方程为y = 【试题来源】重庆市第八中学2020-2021学年高二上学期（期中）半期 【答案】AD【分析】由曲线方程及圆锥曲线的性质逐项判断即可得解． 【解析】对于A ，若0m =，0n >，则2:1C ny =即y =A 正确； 对于B ，若0m n =>，则221:C x y n +=，所以CB 错误； 对于C ，若0m n >>，则110m n <<， 所以22:1C mx ny +=即22:111x y C m n +=为椭圆，且焦点在y 轴上，故C 错误； 对于D ，若0mn <，则22:111x y C m n +=为双曲线，且其渐近线为y ==，故D 正确．故选AD ．21．在平面直角坐标系xOy 中，下列结论正确的是A ．椭圆2212516x y +=上一点P 到右焦点的距离的最小值为2；B ．若动圆M 过点(2,0)且与直线2x =-相切，则圆心M 的轨迹是抛物线； C6=表示的曲线是双曲线的右支；D ．若椭圆22112x y m+=的离心率为12，则实数9m =．【试题来源】江苏省盐城市一中、射阳中学等五校2020-2021学年高二上学期期中联考 【答案】ABC【解析】对于A ，椭圆2212516x y +=的长半轴长5a =，半焦距3c ==，∴椭圆的右顶点到右焦点的距离最小为2a c -=，故A 正确；对于B ，若动圆M 过点(2,0)且与直线2x =-相切，则圆心M 到(2,0)的距离等于到直线2x =-的距离，则圆心M 的轨迹是抛物线，故B 正确；对于C6=的几何意义是平面内动点(,)x y 到两个定点(4,0)-，(4,0)距离差等于6的点的轨迹，表示以(4,0)-，(4,0)为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，故C 正确；对于D ，椭圆22112x y m+=的离心率为12，当焦点在y 轴上时，2a m =，212b =，则c =12e ==，解得16m =，故D 错误．故选ABC ． 22．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ．若抛物线C 上存在一点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3．则下列说法正确的是 A ．抛物线的方程是22x y = B ．抛物线的准线是1y =- C ．sin QMN ∠的最小值是12D ．线段AB 的最小值是6【试题来源】江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期期初 【答案】BC【解析】抛物线()2:20C x py p =>的焦点为02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，得抛物线的准线方程为2p y =-， 点()2E t ，到焦点F 的距离等于3，可得232p+=，解得2p =， 则抛物线C 的方程为24x y =，准线为1y =-，故A 错误，B 正确；由题知直线l 的斜率存在，()0F ，1，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1y kx =+，由21 4y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=，所以124x x k +=，124x x =-， 所以()21212242y y k x x k +=++=+，所以AB 的中点Q 的坐标为()2221k k +，， 221242244AB y y p k k =++=++=+，故线段AB 的最小值是4，即D 错误；所以圆Q 的半径为222r k =+， 在等腰QMN 中，22221111sin 11222222Qy k QMN r k k +∠===-≥-=++，当且仅当0k =时取等号，所以sin QMN ∠的最小值为12，即C 正确，故选BC ． 23．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆交y 轴于M 、N 两点，则A ．若抛物线上存在一点()2,E t 到焦点F 的距离等于3，则抛物线的方程为24y x =B ．若2AF BF =，则直线l的斜率为C ．若直线l43p AB =D ．设线段AB 的中点为P ，若点F 到抛物线准线的距离为2，则sin PMN ∠的最小值为12【试题来源】重庆市育才中学2020-2021学年高二上学期10月月考 【答案】AD【解析】对于A 选项，由抛物线的定义可得232pEF =+=，解得2p =， 所以，抛物线的标准方程为24y x =，A 选项正确；对于B 选项，如下图所示： 抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2p x my =+，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 并整理得2220y mpy p --=，222440m p p ∆=+>恒成立，由根与系数关系可得122y y mp +=，212y y p =-，由于2AF BF =，由图象可得2AF FB =，即1122,2,22p p x y x y ⎛⎫⎛⎫--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，122y y =-，可得121221222y y y y mp y y p =-⎧⎪+=⎨⎪=-⎩，解得4m =±，所以，直线l的斜率为1m=±B 选项错误； 对于C 选项，当直线lB选项可知，3m =，123y y p +=， 由抛物线的焦点弦长公式可得)12128223AB x x p y y p p p p =++=++=+=，C 选项错误；对于D 选项，抛物线的焦点F 到准线的距离为2p =，则该抛物线的方程为24y x =．设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 可得2440y my --=，216160m ∆=+>， 则124y y m +=，()21212242x x m y y m ∴+=++=+，()212241AB x x m =++=+，点P 到y 轴的距离为212212x x d m +==+， 所以，()22221111sin 1112222212d m PMN m m AB+∠===-≥-=++， 当且仅当0m =时，等号成立，D 选项正确．故选AD ． 24．设A ，B 是抛物线2yx 上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是A ．若OA OB ⊥，则2OA OB ≥ B ．若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0)C ．若OA OB ⊥，O 到直线AB 的距离不大于1D ．若直线AB 过抛物线的焦点F ，且13AF =，则||1BF = 【试题来源】江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中模拟 【答案】ACD【解析】B ．设直线AB 方程为y kx b =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 将直线AB 方程代入抛物线方程2y x ，得20x kx b --=，则12x x k +=，12x x b =-，OA OB ⊥，1OA OB k k b ∴=-=-，1b =．于是直线AB 方程为1y kx =+，该直线过定点(0,1)．故B 不正确； C ．O 到直线AB的距离1d ，即C 正确；A．||||OA OB =．||||2OA OB ∴正确； D ．由题得11111,4312y y +=∴=，所以211==12x x ∴，x =．所以113k-==-，所以直线AB的方程为14y x=+，所以14b=．由题得212121211111 ||()2244222 AB y y y y k x x b k b=+++=++=+++=++=1114++=3223．所以41||133BF=-=．所以D正确．故选ACD．25．已知1F，2F是双曲线()2222:10,0x yE a ba b-=>>的左、右焦点，过1F作倾斜角为30的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P，1PM MF=，下列判断正确的是A．21π3PF F B．2112MF PF=C．ED．E的渐近线方程为y=【试题来源】福建省厦门市2019-2020学年高二下学期期末【答案】BCD【解析】如右图，由1PM MF=，可得M为1PF的中点，又O为12F F的中点，可得2//OM PF，2190PF F∠=︒，1230PF F∠=︒，2112MF PF=，故A错误，B正确；设122F F c=，则12cos30cPF==︒，22tan30PF c=︒=，则1223a PF PF c=-=，可得==cea，ba==，则双曲线的渐近线方程为by xa=±即为y=．故C，D正确．故选BCD．26．已知双曲线222(0)63x yλλ-=≠，则不因λ改变而变化的是A．渐近线方程B．顶点坐标C．离心率D．焦距【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二上学期教学质量调研（一）【答案】AC【解析】双曲线222(0)63x yλλ-=≠可化为2222163x yλλ-=，所以22226,3a b λλ==，所以229c λ=，所以2231()2b e a=+=，渐近线方程为b y x a =±=，故选AC ． 27．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为右支上一点，若123PF PF =，则双曲线的离心率可能为A ．2 BCD ．3【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二上学期教学质量调研（一） 【答案】AB【解析】由已知12||3||PF PF =和12||||2PF PF a -=得， 所以21|||3,|PF PF a a ==，所以1212||||||2PF PF F F c ≥=+， 即42a c ≥，12e <≤，故选AB ．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，且双曲线C 的左焦点在直线0x y ++=上，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是A ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±B ．双曲线C 的方程为2214x y -=C ．12k k 为定值14D ．存在点P ，使得121k k +=【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研 【答案】BC【解析】因为双曲线C 的左焦点(,0)c -在直线0x y +=上，所以c =c e a ==，所以2a =，故2221b c a =-=，所以双曲线方程为2214x y -=，故双曲线的渐近线方程为20x y ±=，故A 错误；B 正确； 由题意可得(2,0),(2,0)A B -，设P (m ， n )，可得2214m n -=，即有22144n m =-，所以212212244n n n k k m m m =⋅==+--，故C 正确；因为点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，所以120,0k k >>，则121212k k +≥=⨯=，当且仅当12k k =时，等号成立， 由A ，B 为左右顶点，可得12k k ≠，所以121k k +>，故D 错误．故选BC29．已知抛物线24y x =的准线过双曲线2222:1x y C a b-=(0,a >0b >)的左焦点F ，且与双曲线交于,A B 两点，O 为坐标原点，AOB 的面积为32，则下列结论正确的有 A ．双曲线C 的方程为224413y x -=B ．双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°C ．点F 到双曲线CD ．双曲线C 的离心率为2 【试题来源】江苏省扬州市宝应中学2020-2021学年高二上学期阶段考试 【答案】ABD【解析】因为抛物线24y x =的准线过双曲线2222:1x y C a b-=(0,a >0b >)的左焦点F ，所以1c =-，又与双曲线交于,A B 两点，所以221,,1,b b A B a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以AOB 的面积为2123122b a ⨯⨯=，即232b a =，解得213,24a b ==，所以双曲线C 的方程为22441y x -=，故A 正确；双曲线C 的渐近线方程为y =，所以两渐近线的的夹角为60°，故B 正确；点F 到双曲线C 的渐近线的距离为2d =，故C 错误； 双曲线C 的离心率为1212c e a ===，故正确；故选ABD.30．设1F ，2F 是双曲线:C ()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF OP =，则下列说法正确的是 A ．2F P b =BC．双曲线的渐近线方程为y =D ．点P在直线x =上 【试题来源】江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段检测 【答案】ABD【解析】由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=， 焦点()1,0F c -，()2,0F c ，()0,0,0a b c >>>因为过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，所以2bcF P b c===，故A 正确；因为OP a ===，则()1222cos cos 180cos OP aFOP F OP F OP OF c∠=︒-∠=-∠=-=-，所以1PF ==，在三角形1OPF 中，根据余弦定理可知2221111cos 2OP OF F PFOP OP OF +-∠==⋅22262a c a aac c +-=-，解得223a c =，即离心率e =或e =，故B 正确；因为e ==b a =y =，故C 错误； 因为点P在直线y =上，可设()()0P x x >，由OP a =可知，OP a ===，解得3x a =，故D 正确．故选ABD ． 31．如果双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线上的点(M -关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F ，P 为双曲线上的动点，已知(3,1)A ，则12PA PF +的值可能为 A ．32 B ．2 C ．52D ．4【试题来源】江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段检测【答案】CD【解析】依题意可知点(3)M -在渐近线b y x a =-上，所以3b a =3b a =， 设(c,0)F ，则3030122abb c a -=--+=⨯⎩，结合3b a =解得2c =，由222c a b =+，所以21a =，23b =，所以离心率2c e a ==，右准线为212a x c ==，设点P 到右准线12x =的距离为d ，则根据双曲线的定义可知2PFe d==， 所以12PA PF PA +=+122d PA d ⨯=+132≥-52=．根据四个选项可知，,C D 正确．故选CD.32．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且122=PF PF ，若1215sin F PF ∠=a ，b ，c ，e 的有关结论正确的是 A ．6e =B ．4e =C ．5b a =D ．3b a =【试题来源】江苏省南通市如东高级中学、泰州高级中学2020-2021学年高二11月联考 【答案】ACD 【解析】122PF PF =，∴由双曲线定义可知1222PF PF PF a -==，14PF a ∴=，由1215sin F PF ∠=121cos 4F PF ∠=±，在12PF F △中，由余弦定理可得2221241641cos 2244a a c F PF a a +-∠==±⨯⨯，解得，224c a =或226c a=，2c a ∴=或c =，b ∴==或b =，2ce a∴==，故选ACD ． 33．已知2a =，4c =，则双曲线的标准方程为A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．221412y x -=D ．221124y x -=【试题来源】江苏省南京市江浦高级中学2020-2021学年高二上学期检测（一） 【答案】AC【解析】由已知得22212b c a =-=，所以当焦点在x 轴上，双曲线的标准方程为221412x y-=；当焦点在y 轴上，双曲线的标准方程为221412y x-=．故选AC34．已知双曲线C过点且渐近线方程为3y x =，则下列结论正确的是 A ．双曲线C 的方程为2213x y -=B ．双曲线CC ．曲线21x y e -=-经过双曲线C 的一个焦点D ．焦点到渐近线的距离为1【试题来源】江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】ACD【分析】根据已知条件求得,,a b c ，由此对选项逐一分析，从而确定正确选项．【解析】设双曲线方程为221Ax By +=，将(代入得921A B +=．双曲线的渐近线方程为y =133A B =⇒=-． 由92113A B A B+=⎧⎪⎨=-⎪⎩解得1,13A B ==-，所以双曲线的方程为2213x y -=．所以1,2a b c ===．故A 选项正确．双曲线的离心率为ca==，故B选项错误．双曲线的焦点坐标为()2,0±，其中()2,0满足21xy e-=-，所以C选项正确．双曲线一个焦点为()2,0，渐近线方程y x=30y-=，1=，故D选项正确．故选ACD35．已知双曲线C的标准方程为2213yx-=，则A．双曲线C的离心率为2B．直线2x=与双曲线C相交的弦长为6C．双曲线2213xy-=与双曲线C有相同的渐近线D．双曲线C【试题来源】重庆市育才中学2020-2021学年高二上学期10月月考【答案】ABD【解析】由2213yx-=得1,2,2ca b c ea=====，渐近线为y=，故A正确，C中双曲线2213xy-=的渐近线为3y=±，故C错；B中将2x=代入2213yx-=解得3=±y，故2x=与双曲线C相交的弦长为6，故B正确；D中，双曲线C的焦点到渐近线的距离为d b===D正确故选ABD 36．设双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的右焦点为F，直线l为C的一条斜率为正数的渐近线，O为坐标原点．若在C的左支上存在点P，使点P与点F关于直线l对称，则下列结论正确的是．A．2PF b=B．POF的面积为abC．双曲线CD．直线l的方程是2y x=【试题来源】湖南师大附中2020-2021学年高二上学期10月月考（第二次大练习）【答案】ABD【解析】设左焦点为1F，PF与l的交点为M，如下图所示：因为点P 与点F 关于直线l 对称，所以OM PF ⊥，M 为PF 中点，且O 为1FF 中点， 所以112OM PF =，2PF MF =，因为(),0,:0F c l bx ay -=，所以MF b ==，所以2OM a ==，所以2PF b =，故A 正确；因为112POFPFF SS =，且1122222PFF PF PF a b Sab ⋅⨯===，所以POFSab =，故B 正确；由双曲线的定义可知12PF PF a -=，所以222b a a -=，所以2b a =，所以:2l y x =，2b a ===，所以e =，故C 错误，D 正确，故选ABD ． 37．已知点P 在双曲线221169x y -=上，1F ，2F 分别是左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有 A ．点P 到x 轴的距离为203B ．12503PF PF += C ．12PF F △为钝角三角形D ．123F PF π∠=【试题来源】江苏省南京市天印高级中学2020-2021学年高二上学期10月学情调研 【答案】BC【解析】由双曲线方程得4a =，3b =，则5c =，由△12PF F 的面积为20， 得112||10||2022P P c y y ⨯⨯=⨯=，得||4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 错误， 将||4P y =代入双曲线方程得20||3P x =，根据对称性不妨设20(3P ，4)，则213||3PF ，由双曲线的定义知12||||28PF PF a -==， 则11337||833PF =+=，则12133750||||333PF PF +=+=，故B 正确， 在△12PF F 中，113713||210||33PF c PF =>=>=，则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角， 则△12PF F 为钝角三角形，故C 正确，2222121212121212121337641002||||||(||||)2||||10033cos 13372||||2||||233PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⨯⨯+--+-∠===⨯⨯3618911121337133729⨯=-=-≠⨯⨯⨯，则123F PF π∠=错误，故正确的是BC ，故选BC ．38．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为1F ，点A 坐标为0,1，点P 双曲线左支上的动点，且1APF △的周长不小于14，则双曲线C 的离心率可能为 AB ．2 CD ．3【试题来源】江苏省南京市天印高级中学2020-2021学年高二上学期10月学情调研 【答案】ABC【解析】由右焦点为1F ，点A 的坐标为(0,1)，1||5AF ， 1APF △的周长不小于14，即周长的最小值不小于14，可得1||||PA PF +的最小值不小于 9，又2F 为双曲线的左焦点，可得12||||2PF PF a =+，1||||PA PF +=2||||2PA PF a ++ ， 当A ，P ，2F 三点共线时，2||||2PA PF a ++取最小值52a + 所以529a +≥，即2a ≥，因为c =ce a=≤．故选ABC ． 39．已知1F 、2F 是双曲线22:12y C x -=的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段12F F 为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的有 A ．双曲线C的渐近线方程为y = B ．以12F F 为直径的圆方程为222x y += C ．点M的横坐标为D ．12MF F △【试题来源】江苏省徐州市铜山区大许中学2020-2021学年高三上学期第二次调研考试 【答案】AD【解析】由双曲线方程2212yx-=知a=，1b=，焦点在y轴，渐近线方程为ay xb=±=，A正确；c==，以12F F为直径的圆的方程是223x y+=，B错误；由223x yy⎧+=⎪⎨=⎪⎩得1xy=⎧⎪⎨=⎪⎩1xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩223x yy⎧+=⎪⎨=⎪⎩得1xy=⎧⎪⎨=⎪⎩1xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩所以，M点横坐标是±1，C错误；121211122MF F MS F F x=⋅=⨯=△D正确．故选AD．【名师点睛】双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的渐近线方程为by xa=±，而双曲线()222210,0y xa ba b-=>>的渐近线方程为ay xb=±（即bx ya=±），应注意其区别与联系．40．双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的左、右焦点分别为12,F F，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，PQ l⊥，垂足为Q．当2||||PF PQ+的最小值为3时，1F Q的中点在双曲线C上，则A．C的方程为22122x y-=B．CC．C的渐近线方程为y x=±D．C的方程为221x y-=【试题来源】广东省东莞市东华高级中学2021届高三上学期第二次联考【答案】BCD【解析】因为21||||2PF PF a-=，所以21122.PF PQ PF PQ a FQ a+=++≥+因为焦点到渐近线的距离为b，所以1FQ的最小值为b，所以2 3.b a+=不妨设直线OQ 为by xa=，因为1F Q OQ⊥，所以点1(,0)F c-，2(,)a abQc c--，1F Q的中点为22(,2a cc+-)2ab c -．将其代入双曲线C 的方程，得2222222()144a c a a c c+-=，即2222222(1)144a a c a c c +-=，解得.c = 因为22223,b a a b c +=+=，所以1a b ==，故双曲线C 的方程为221x y -=，yx =±故选BCD41．若椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>和椭圆()222222222:10x y C a b a b +=>>的离心率相同，且12a a >，则下列结论正确的是 A ．椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点B ．1122a b a b = C ．22221212a a b b -<-D ．1212a a b b -<-【试题来源】人教A 版（2019） 选择性必修第一册 过关斩将 第三章 圆锥曲线的方程 【答案】AB【解析】依题意，1212==c c e a a ，=所以1212b b a a =，所以1122a b a b =，因此B 正确；又12a a >，所以椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点，因此A 正确； 设1212==b b m a a ，其中01m <<，则有()()()()222222211221210a b a b m a a ---=-->， 即有22221122->-a b a b ，则22221212->-a a b b ，因此C 错误；()()()112212(1)0---=-⋅->a b a b m a a ，即有1122->-a b a b ，则1212->-a a b b ，因此D 错误．故选AB ． 42．已知曲线E 的方程为()22,ax by ab a b R +=∈，则下列选项正确的是A ．当1ab =时，E 一定是椭圆B ．当1ab =-时，E 是双曲线C ．当0a b =>时，E 是圆D ．当0ab =且220a b +≠时，E 是直线【试题来源】江苏省百校联考2020-2021学年高三上学期第一次考试 【答案】BCD【解析】对于A ，若1a =，1b =，此时22ax by ab +=变为221x y +=，不表示椭圆，故A 错误；。
江苏省2020-2021学年高一上学期数学期中试题汇编04：函数的概念与性质【填选题】(答案版)
8.（江苏省南京市第十二中学2020-2021学年上学期期中4）下面各组函数中表示同个函数的是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】对于A， 的定义域为 ，而 的定义域为 ，两函数的定义域不相同，所以不是同一函数；
对于B，两个函数的定义域都为 ，定义域相同， ，所以这两个函数是同一函数；
A.0B.2
C.4D.-2
【答案】B
【解析】取 ，则 ，
因为函数为奇函数，则 ， 即 ，
整理可得 ，即 .故选：B
10.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中4）已知函数 ，若 ＝10，则实数a的值为（）
A 5B.9C.10D.11
【答案】B
【解析】由 ，令 ，则 .
因为 ，所以a=9.故选：B
A．－4 B．5 C．14 D．23
【答案】C
【解析】由题意可设 ，则当 时， 单调，且 ≥0恒成立，因为 的对称轴方程为 ，则 或 ，解得6≤a≤17或－3≤a≤－2，即 ，则只有14满足题意，故答案选C.
23.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中6）已知 是偶函数，且其定义域为 ，则 的值是（）
【答案】C
【解析】满足条件的函数的定义域为 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 个.故选：C.
18.（江苏省南京市南师附中2020-2021学年上学期期中5）函数 的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
19.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中5）已知函数 的值域是（）
C.[－4，－1]∪[0，2]D.(－∞，－1]∪[0，2]
江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试 物理 (含解析)
无锡市第一中学2024-2025学年度第一学期期中考试高一物理 2024.11一、单项选择题（共11题，每题4分，共44分）1．下列情形下物体可以看做质点的是( )A .研究体操运动员的动作时B .研究马拉松长跑比赛中运动员的平均速度时C .研究跳高运动员背越式过杆跳技术动作要领时D .研究正在行驶的火车匀速通过隧道所用的时间时2．如图，这是某一类似太极图的广场（大圆的半径为R ，中央的“S ”部分是两个直径为R 的半圆，O 为大圆的圆心，A 、B 、C 、D 为圆周的四个等分点）。
某人在某次晨练中，从A 点出发沿曲线ABCOAD 箭头所示方向前进，直到D 点，则这一过程中该人运动的（）A .路程为5πR 2B .路程为3πR 2C .位移大小为2R ，方向为由D 指向AD .位移大小为R ，方向为由A 指向O3．让质量为1kg 的石块P 1从足够高处自由下落，P 1在下落的第1s 末速度大小为v 1，再将P 1和质量为2kg 的石块绑为一个整体P 2，使P 2从原高度自由下落，P 2在下落的第1s 末速度大小为v 2，不计空气阻力，g 取10m/s 2，则 ()A. v 1=5m/sB. v 1=10m/sC. v 2=15m/sD. v 2=30m/s4．一个物体做直线运动，其v -图像如图所示，以下说法正确的是 ( )A ．前2s 内的位移达到最大值B ．0-2s 内物体的加速度为1m /s 2C ．4-6s 内物体的速度大小一直在减小D. 0<t<2s 和5s ＜t ＜6s 内加速度方向与速度方向相同5．一根轻质弹簧一端固定，用大小为F 1 的力压弹簧的另一端，平衡时长度为4；改用大小为F 2的力拉弹簧，平衡时长度为l 2，弹簧在拉伸或压缩时均在弹性限度内，则弹簧的劲度系数为 ( )A. F 2+F 1l 2-l 1B. F 2+F 1l 2+l 1C. F 2-F 1l 2-l 1D. F 2-F 1l 2+l 16．工人卸货时常利用斜面将重物从高处滑下。
江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省无锡一中高二（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知i是虚数单位，复数的虚部为（）A．B．C．D．2．（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为（）A．﹣15B．﹣10C．10D．153．环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业．该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择A、B、C、D、E、F中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（）A．B．C．D．4．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为（）A．600种B．504种C．480种D．384种5．我国古代珠算算具，算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，至多含有一颗上珠的概率为（）A．B．C．D．6．复数集中，一个数的平方恰好为这个数的共轭复数的数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．函数的图象不可能是下列图中的（）A．B．C．D．8．定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x），有不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中y＝f′（x）为函数y＝f（x）的导函数，则（）A．4＜＜16B．4＜＜8C．3＜＜4D．2＜＜4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列命题正确的有（）A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B．若z为复数，|z|2＝z2C．若复数z满足，则|z|＝5D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线10．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A．二项展开式中各项系数之和为36B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为90x311．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．若f（x）＝a有唯一解，则B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜212．对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）在x＝e处取得极大值B．f（x）有两个不同的零点C．f（2）＜f（π）＜f（3）D．若在（0，+∞）上恒成立，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量ξ～N（3，σ2），且，则P（3＜ξ＜5）＝．14．若，则m＝．15．已知函数f（x）＝2lnx，g（x）＝ax2﹣x﹣1（a＞0），若直线y＝2x﹣b函数y＝f（x），y＝g（x）的图象均相切，则a的值为．16．定义：设函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），若f′（x）在（a，b）上也存在导函数，则称函数y＝f（x）在（a，b）上存在二阶导函数，简记为f″（x）．若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数y＝f（x）在区间（a，b）上为“凸函数．已知f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①；②复平面上表示的点在直线x+2y＝0上；③z1（a﹣i）＞0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数z1＝1+i，z2＝a+3i（a∈R）（i为虚数单位），满足____．（1）若，求复数z以及|z|；（2）若z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，求实数m的值．18．现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球．（1）若将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数．（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果保留数字）19．已知（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010．（1）求n和a0的值；（2）求a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1的值；（3）求a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n的值．20．某学校准备举办数学文化知识竞赛，进入决赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机产生5道数学文化试题，能够正确解答3道及以上的参赛者进入决赛．若学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为．（1）求甲在初赛中恰好正确解答4道试题的概率；（2）进入决赛后，采用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4道不同的数学文化试题，每道试题解答正确加20分，错误减10分，由于难度增加，甲正确解答每道试题的概率变为，求甲在决赛中积分X的概率分布，并求数学期望．21．已知函数，其中m为正实数．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）设，若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，求m的取值范围．22．已知函数，且函数f（x）与g（x）有相同的极值点．（1）求实数a的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知i是虚数单位，复数的虚部为（）A．B．C．D．解：∵＝，∴复数的虚部为﹣．故选：A．2．（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为（）A．﹣15B．﹣10C．10D．15解：∵（x+1）5展开式的通项公式为T r+1＝•x5﹣r，分别令5﹣r＝3，5﹣r＝2，可得r＝2，3，故（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为3﹣2＝10，故选：C．3．环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业．该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择A、B、C、D、E、F中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（）A．B．C．D．解：由题意可知，若使洒水车能够不重复地走遍全部街道，则要选择B，E两点开始驶入，若从B点驶入，则有B→A→F→E→D→C→B→E或B→C→D→E→F→A→B→E，同理E点也是如图，若选择除B，E外的其它点开始驶入，则会有重复路线，所以6个点中有2个点，故选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为．故选：B．4．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为（）A．600种B．504种C．480种D．384种解：根据题意，分2种情况讨论：①课程“射”排在第五周，剩下5“艺”任意安排在其他五周即可，有A55＝120种安排方法，①课程“射”不排在第五周，则课程“射”有4种排法，课程“乐”有4种排法，剩下4“艺”任意安排在其他四周即可，此时有4×4×A44＝384种安排方法，则有120+384＝504种安排方法；故选：B．5．我国古代珠算算具，算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，至多含有一颗上珠的概率为（）A．B．C．D．解：算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，基本事件总数n＝＝35，至多含有一颗上珠包含的基本事件有m＝＝30，∴至多含有一颗上珠的概率为P＝＝＝．故选：A．6．复数集中，一个数的平方恰好为这个数的共轭复数的数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：设z＝a+bi，（a，b∈R），则，∴（a+bi）2＝a﹣bi，∴a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴，解得，，∴z＝0，1，．因此满足条件的复数z共有4个．故选：A．7．函数的图象不可能是下列图中的（）A．B．C．D．解：根据题意，对于，当a＝0时，f（x）＝x2+x+1，为二次函数，开口向上，其对称轴为x＝﹣1，与y轴交于（0，1），D选项符合；当a＜0时，f′（x）＝ax2+x+1，f′（x）＝0有一正一负的两根，f（x）先减再增最后为减函数，与y轴交于（0，1），C选项符合，当a＞0时，f′（x）＝ax2+x+1，则有△＝1﹣4a，当1﹣4a＜0，即a＞时，f′（x）＝0无解，即f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上为增函数，与y轴交于（0，1），B选项符合，当1﹣4a＞0，即0＜a＜时，f′（x）＝0有两个负根，在（﹣∞，0）上，先增再减最后增，A选项不符合；故选：A．8．定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x），有不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中y＝f′（x）为函数y＝f（x）的导函数，则（）A．4＜＜16B．4＜＜8C．3＜＜4D．2＜＜4解：2f（x）＜xf'（x），即f'（x）⋅x﹣2f（x）＞0，∵y＝f（x）定义在（0，+∞）上，∴f'（x）⋅x2﹣2xf（x）＞0，令，则，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，由g（2）＞g（1）得，，即，同理令，，则函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，由h（2）＜h（1），得，即，∴．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列命题正确的有（）A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B．若z为复数，|z|2＝z2C．若复数z满足，则|z|＝5D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线解：若z1，z2互为共轭复数，设z1＝a+bi，z2＝a﹣bi（a，b∈R），则z1z2＝a2+b2，故是实数，即z1z2为实数，所以A正确；若z为复数，|z|2≥0，z2可能是复数，所以两者不一定相等，所以B不正确；复数z满足，则|z|＝＝＝＝5，所以C正确；复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为到（1，0）与（﹣1，0）距离相等的点的轨迹，是中垂线，是直线，所以D正确．故选：ACD．10．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A．二项展开式中各项系数之和为36B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为90x3解：∵的二项展开式中二项式系数之和为2n＝64，∴n＝6．令x＝1，可得二项展开式中各项系数之和为36，故A正确；根据展开的通项公式为T r+1＝•26﹣r•，可得第四项（r＝3）的二项式系数最大，该项为160，故B正确；对于通项公式，令x的幂指数等于零，即令6﹣＝0，求得r＝4，可得展开式第四项为常数项，故C错误；由于第r+1项的系数为•26﹣r，检验可得，当r＝2时，该项的系数取得最大值，该项为240x3，故D错误．故选：AB．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．若f（x）＝a有唯一解，则B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1），∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．因此函数f（x）有三个零点：0，±1．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），f′（x）＝）＝e x（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，f（﹣2）＝﹣可得其图象：f（x）＜0时的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（0+）﹣f（0﹣）|＜2．因此BCD都正确．故选：BCD．12．对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）在x＝e处取得极大值B．f（x）有两个不同的零点C．f（2）＜f（π）＜f（3）D．若在（0，+∞）上恒成立，则解：函数f（x）＝＝，定义域为x∈（0，+∞），因为f'（x）＝，令f'（x）＝0，则有x＝e，f'（x）＞0⇒0＜x＜e；f'（x）＜0⇒x＞e；即得函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；所以函数f（x）在x＝e处取得极大值为，f（e）＝，故A正确；又因为当x→0时，lnx→﹣∞；当x→+∞时，lnx→0；据此作出函数图像如下：故可得函数f（x）只有一个零点，故B错误；由上可得，因为π＞3，所以f（π）＜f（3），又因为f（2）＝＝，f（3）＝＝，即得f（2）＜f（3），又因为f（π）＝，f（2）＝，即得f（π）＞f（2）综上可得，f（2）＜f（π）＜f（3），故C正确；若f（x）＜k﹣在（0，+∞）上恒成立，即f（x）+＜k在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝f（x）+（x＞0），则有g'（x）＝f'（x）﹣＝，令g'（x）＝0⇒﹣2﹣2lnx＝0⇒x＝，g'（x）＞0⇒0＜x＜；g'（x）＜0⇒x＞，所以函数g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，即得，故得k＞，即D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量ξ～N（3，σ2），且，则P（3＜ξ＜5）＝0.3．解：由正态分布的性质可知：μ＝3，曲线关于ξ＝3对称，故P（ξ＜1）＝P（ξ＞5），结合正态分布的性质可知：，即为，结合P（ξ＞5）+P（ξ＜5）＝1解得：P（ξ＞5）＝0.2．故P（3＜ξ＜5）＝P（ξ＜5）﹣P（ξ≤3）＝（1﹣0.2）﹣0.5＝0.3．故答案为：0.3．14．若，则m＝7．解：，可得m（m﹣1）（m﹣2）＝6×，解得m＝7．故答案为：7．15．已知函数f（x）＝2lnx，g（x）＝ax2﹣x﹣1（a＞0），若直线y＝2x﹣b函数y＝f（x），y＝g（x）的图象均相切，则a的值为．解：设直线y＝2x﹣b与函数y＝f（x）的图象相切的切点为（m，2lnm），由f′（x）＝，可得＝2，即m＝1，切点为（1，0），则b＝2，切线的方程为y＝2x﹣2，联立y＝g（x）＝ax2﹣x﹣1，可得ax2﹣3x+1＝0，由题意可得△＝9﹣4a＝0，解得a＝．故答案为：．16．定义：设函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），若f′（x）在（a，b）上也存在导函数，则称函数y＝f（x）在（a，b）上存在二阶导函数，简记为f″（x）．若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数y＝f（x）在区间（a，b）上为“凸函数．已知f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为[，+∞）．解：∵f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2，∴f′（x）＝﹣2mx，∵f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，∴f″（x）＝﹣2m＝﹣2m≤0恒成立，∴m≥＝（﹣1＜x＜1））恒成立，令t＝e x（＜t＜e），y＝e x++4可化为g（t）＝t++4，由基本不等式得，t++4≥2+4＝8（当且仅当t＝2时取“＝”），∴y＝e x++4的最小值为8，∴m≥，故答案为：[，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①；②复平面上表示的点在直线x+2y＝0上；③z1（a﹣i）＞0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数z1＝1+i，z2＝a+3i（a∈R）（i为虚数单位），满足____．（1）若，求复数z以及|z|；（2）若z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，求实数m的值．解：（1）选条件①，因为z1＝1+i，z2＝a+3i，所以z2＝a2+9＝10，解得a2＝1；又a＞0，所以a＝1；选条件②，复平面上表示的点在直线x+2y＝0上，因为z1＝1+i，z2＝a+3i，（a∈R），所以＝＝＝+i，在复平面上表示的点为（，），依题意可知+2×＝0，解得a＝1；选条件③，z1（a﹣i）＞0，因为z1＝1+i，所以z1（a﹣i）＝（1+i）（a﹣i）＝（a+1）+（a﹣1）i＞0，所以，解得a＝1，所以+＝+＝+＝﹣i，|z|＝＝1；（2）z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，则也是该方程的根，所以实数m＝﹣（z2+）＝﹣（1+3i+1﹣3i）＝﹣2．18．现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球．（1）若将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数．（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果保留数字）解：（1）编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球，将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则把D、E2个白球捆在一起看做一个，和其他的小球排列，方法有•＝48种．（2）将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则先把A安在中间位置，从A的2侧各选一个位置插入D、E，其余小球任意排，方法有•••＝16种．（3）将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数为﹣＝9种．（4）将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中．若按311分配，方法有••＝20种，若按221分配，方法有••＝30种．综上可得，方法共有20+30＝50种．19．已知（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010．（1）求n和a0的值；（2）求a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1的值；（3）求a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n的值．解：（1）∵（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010＝，∴n＝2021，a0＝＝1．（2）令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a n＝0，再令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+⋅⋅⋅+（﹣1）n a n＝2n＝22021，两式相加除以2，可得a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1＝a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a2020 ＝22020．（3）对于（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，两边对x求导数，可得﹣n（1﹣x）n﹣1＝a1+2a2x+⋅⋅⋅+na n x n﹣1，再令x＝1，可得a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n＝0．20．某学校准备举办数学文化知识竞赛，进入决赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机产生5道数学文化试题，能够正确解答3道及以上的参赛者进入决赛．若学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为．（1）求甲在初赛中恰好正确解答4道试题的概率；（2）进入决赛后，采用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4道不同的数学文化试题，每道试题解答正确加20分，错误减10分，由于难度增加，甲正确解答每道试题的概率变为，求甲在决赛中积分X的概率分布，并求数学期望．解：（1）记“甲在初赛中恰好正确解答4道试题的”为事件A，学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为，则P（A）＝××＝．（2）甲的积分X的可能的取值为80分，50分，20分，﹣10分，﹣40分，则P（X＝80）＝×＝，P（X＝50）＝××＝，P（X＝20）＝××＝＝，P（X＝﹣10）＝××＝，P（X＝﹣40）＝××＝，所以X的概率分布列为：X805020﹣10﹣40P所以数学期望E（X）＝80×+50×+20×﹣10×﹣40×＝0．21．已知函数，其中m为正实数．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）设，若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，求m的取值范围．解：（1）根据题意，f'（x）＝mx2﹣（m+1）x+1＝（mx﹣1）（x﹣1），∵m＞0，∴f'（x）＝0⇒（mx﹣1）（x﹣1）＝0⇒x＝，或x＝1，所以①当m＞1时，，则有f'（x）＞0⇒x＜，或x＞1；f'（x）＜0⇒＜x＜1，此时可得，f（x）在（），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减．②当0＜m＜1时，，则有f'（x）＞0⇒x＞，或x＜1；f'（x）＜0⇒1＜x＜，此时可得，f（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．③当m＝1时，恒有f'（x）≥0，此时函数f（x）在R上单调递增．综上可得，①当m＞1时，f（x）在（），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减．②当0＜m＜1时，f（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．③当m＝1时，函数f（x）在R上单调递增．（2）根据题意，由（1）可得，＝（x＞0），若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，则需使g（x）min＜0，∵g'（x）＝＝，由（1）可知，①当m＞1时，，则有g'（x）＞0⇒x＜，或x＞1；f'（x）＜0⇒＜x＜1，此时可得，g（x）在（﹣∞，），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，即得g（x）在[1，2]上单调递增，故有＜0⇒m＞1；②当0＜m＜1时，，则有g'（x）＞0⇒x＞，或x＜1；g'（x）＜0⇒1＜x＜，此时可得，g（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．（i）当≥2时，即0＜m≤时，g（x）在[1，2]上单调递减，则有＞0，不合题意；（ii）当1＜＜2时，即＜m＜1时，g（x）在[1，）上单调递减，在（]，则有，此时令（1＜t＜2），则⇒＞0，即得此时h（t）在（1，2）上单调递增，所以h（t）＞h（1）＝0恒成立，即g（x）min ＞0恒成立，不合题意；综上可得，m＞1．22．已知函数，且函数f（x）与g（x）有相同的极值点．（1）求实数a的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：．解：（1）令，解得x＝1，易知函数f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，故函数f（x）的极大值点为x＝1，令，则由题意有，g′（1）＝1﹣a＝0，解得a＝1，经验证符合题意，故实数a的值为1；（2）由（1）知，函数f（x）在单调递增，在（1，3）单调递减，又，且，∴当时，f（x）max＝f（1）＝﹣1，f（x）min＝f（3）＝ln3﹣3，①当k+1＞0，即k＞﹣1时，对，不等式恒成立，即为k+1≥f（x1）﹣f（x2）恒成立，则k+1≥f（x）max﹣f（x）min＝﹣1﹣（ln3﹣3）＝2﹣ln3，∴k≥1﹣ln3，又1﹣ln3＞﹣1，∴此时k的取值范围为k≥1﹣ln3；②当k+1＜0，即k＜﹣1时，对，不等式恒成立，即为k+1≤f（x1）﹣f（x2）恒成立，则k+1≤f（x）min﹣f（x）max＝ln3﹣3+1＝ln3﹣2，∴k≤ln3﹣3，又ln3﹣3＜﹣1，∴此时k的取值范围为k≤ln3﹣3，综上，实数k的取值范围为（﹣∞，ln3﹣3]∪[1﹣ln3，+∞）；（3）证明：所证不等式即为xlnx﹣e x＜cos x﹣1，下证：xlnx﹣e x＜﹣x﹣1，即证xlnx﹣e x+x+1＜0，设h（x）＝xlnx﹣e x+x+1（x＞0），则h′（x）＝lnx+1﹣e x+1＝lnx﹣e x+2，，易知函数h''（x）在（0，+∞）上单调递减，且，故存在唯一的，使得h''（x0）＝0，即，lnx0＝﹣x0，且当x∈（0，x0）时，h''（x）＞0，h′（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，h''（x）＜0，h′（x）单调递减，∴＝，∴h（x）在（0，+∞）单调递减，又x→0时，h（x）→0，故h（x）＜0，即xlnx﹣e x＜﹣x﹣1；再证：﹣x﹣1＜cos x﹣1（x＞0），即证cos x+x＞0在（0，+∞）上恒成立，设m（x）＝cos x+x，m′（x）＝﹣sin x+1≥0，∴m（x）在（0，+∞）单调递增，则m（x）＞m（0）＝1，故﹣x﹣1＜cos x﹣1，综上，xlnx﹣e x＜cos x﹣1，即得证．。
2020-2021学年高二数学新题速递22 导数及其应用(多选题)11月理(解析版)
专题22 导数及其应用（多选题）1．以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是 A ．（1x ）′21x= B ．（cos 2x ）'＝﹣2sin 2x C ．333x x ln '⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．（lgx ）′110xln -=【试题来源】山东省潍坊市潍坊中学2019-2020学年高二下学期4月阶段测试 【答案】BC【解析】211'x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（cos 2x ）′＝﹣2sin 2x ，3'33x xln ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1'10lgx xln =．故选BC ． 2．已知函数2()(0)(0)cos 2f x x f x f x '=+⋅-⋅+，其导函数为()'f x ，则 A ．(0)1f =- B ．(0)1f '= C ．(0)1f =D ．(0)1f '=-【试题来源】湖北省百所重点中学2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】BC【解析】因为2()(0)(0)cos 2f x x f x f x '=+⋅-⋅+，所以()()020f f '=-．又()2(0)(0)sin f x x f f x ''=++⋅，所以()()00f f '=．故()()001f f '==．故选BC 3．定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是A ．-3是()f x 的一个极小值点B ．-2和-1都是()f x 的极大值点C ．()f x 的单调递增区间是()3,-+∞D ．()f x 的单调递减区间是(),3-∞-【试题来源】福建省福州市仓山区福建师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末 【答案】ACD【解析】当3x <-时，()0f x '<，(3,)x ∈-+∞时()0f x '≥，所以3-是极小值点，无极大值点，增区间是()3,-+∞，减区间是(),3-∞-．故选ACD ． 4．如图是()y f x =的导函数()'f x 的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是．A ．()f x 在[2,1]-上是增函数B ．当4x =时，()f x 取得极小值C ．()f x 在[1,2]-上是增函数、在[2,4]上是减函数D ．当1x =时，()f x 取得极大值【试题来源】湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高二下学期期末 【答案】BC【分析】这是一个图象题，考查了两个知识点：①导数的正负与函数单调性的关系，若在某个区间上，导数为正，则函数在这个区间上是增函数，若导数为负，则这个函数在这个区间上是减函数；②极值判断方法，在导数为零的点处左增右减取极大值，左减右增取极小值． 【解析】由图象可以看出，在[2-，1]-上导数小于零，故A 不对；1x =-左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以1x =-是()f x 的极小值点，故B 对；在[1-，2]上导数大于零，在[]2,4上导数小于零，故C 对；1x =左右两侧导数的符号都为正，所以1x =不是极值点，D 不对．故选BC ．5．设()'f x 为函数()f x 的导函数，已知2()()ln x f x xf x x '+=，1(1)2f =，则下列结论不正确的是A ．()xf x 在(0,)+∞单调递增B ．()xf x 在(1,)+∞单调递增C ．()xf x 在(0,)+∞上有极大值12D ．()xf x 在(0,)+∞上有极小值12【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AC【解析】由2()()ln x f x xf x x '+=得0x >，则ln ()()xxf x f x x'+=，即ln [()]'=xxf x x ，设()()g x xf x =，ln ()01x g x x x'=>⇒>，()001g x x '<⇒<<， 即()xf x 在(1,)+∞单调递增，在(0,1)单调递减， 即当1x =时，函数()()g x xf x =取得极小值()()1112==g f ．故选AC ． 6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '≤<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是 A ．(2)(1)2f f > B ．(2)(1)2f f <C ．(2)1(1)42f f <+ D ．(2)1(1)42f f +< 【试题来源】金太阳联考2020-2021学年新高考（广东卷） 【答案】BD 【解析】设2()()f x xg x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞，则[][]243()12()()2()()f x x x f x x xf x f x x g x x x '---'-+'==，2()()()xf x f x h x x '-'=． 因为()()2()f x xf x f x x '<<-对()0,x ∈+∞恒成立，所以()0g x '<，()0h x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，()h x 在()0,∞+上单调递增，则()()12g g >，()()12h h <， 即22(1)1(2)212f f -->，(1)(2)12f f <即(2)1(2)(1)422f f f +<<．故选BD ． 7．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且(1)()0x f x '-<，若1(0),,(3)2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系正确的有A ．b a >B ．c b >C ．b c >D ．c a >【试题来源】湖南省长沙市长沙县第九中学2020-2021学年高三上学期10月月考 【答案】AC【分析】确定函数关于1x =对称，再确定函数的单调性，综合两者判断大小得到答案．【解析】由()()2f x f x =-得()()11f x f x +=-，则函数关于1x =对称， 当1x >时，由()()10x f x '-<得()0f x '<，函数单调递减； 当1x <时，由()()10x f x '-<得()0f x '>，函数单调递增． 又()()02a f f ==，1322b f f ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3c f =，故b a c >>．故选AC ． 8．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '>-，则下列式子成立的是 A ．()()20192020f ef < B ．()()20192020ef f >C ．()f x 是R 上的增函数D ．若0t >，则有()()tf x e f x t <+【试题来源】广东省高研会高考测评研究院2021届高三上学期第一次阶段性检测调研 【答案】AD【解析】由()()f x f x '>-，得()()0xxe f x e f x '+>，即()0x e f x '⎡⎤>⎣⎦，所以函数()x e f x 为增函数，故()()2019202020192020e f e f <，所以()()20192020f ef <，故A 正确，B 不正确；函数()xe f x 为增函数时，()f x 不一定为增函数，如122xxx e e ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是增函数，但12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，所以C 不正确； 因为函数()xe f x 为增函数，所以0t >时，有()()xx te f x ef x t +<+，故有()()tf x e f x t <+成立，所以D 正确．故选AD ．9．已知函数()f x 为R 上的可导函数，则下列判断中正确的是（ ） A ．若()f x 在0x x =处的导数值为0，则()f x 在0x x =处取得极值 B ．若()'f x 为奇函数，则()f x 为偶函数 C ．若()'f x 为偶函数，则()f x 为奇函数D ．若()f x 的图象关于某直线对称，则()'f x 的图象关于某点成中心对称【试题来源】福建省龙岩市“长汀、连城、上杭、武平、永定、漳平”六县（市区）一中2021届高三上学期期中联考【答案】BD【解析】A 选项，若3()f x x =，则2()3f x x '=，所以(0)0f '=，而3()f x x =显然是单调函数，没有极值，故A 错；B 选项，若()'f x 为奇函数，则原函数一定是偶函数，加上常数C 后，也为偶函数，故B 正确；C 选项，若()'f x 为偶函数，则()f x 不一定为奇函数，如2()3f x x '=显然为偶函数，但3()f x x C =+，若C 不为0，则3()f x x C =+不是奇函数；故C 错；D 选项，若()f x 的图象关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-， 两边求导，可得()()f a x f a x ''+=--，即()()0f a x f a x ''++-=， 所以函数()'f x 的图象关于(),0a 中心对称，故D 正确．故选BD ． 10．已知函数31()423f x x x =-+，下列说法中正确的有 A ．函数()f x 的极大值为223，极小值为103-B ．当[]3,4x ∈时，函数()f x 的最大值为223，最小值为103-C ．函数()f x 的单调减区间为[]22-,D ．曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为42y x =-+ 【试题来源】河北省邢台市第二中学2021届高三上学期11月月考 【答案】ACD【解析】因为31()423f x x x =-+，所以2()4f x x =-'， 由()0f x '>，得2x <-或2x >，由()0f x '<，得22x -<<，所以函数()f x 在(,2)-∞-上递增，在[]22-,上递减，在(2,)+∞上递增，故选项C 正确， 所以当2x =-时，()f x 取得极大值3122(2)(2)4(2)233f -=⨯--⨯-+=， 在2x =时，()f x 取得极小值3110(2)242233f =⨯-⨯+=-，故选项A 正确，当[]3,4x ∈时，()f x 为单调递增函数，所以当3x =时，()f x 取得最小值31(3)343213f =⨯-⨯+=-，当4x =时，()f x 取得最大值3122(4)444233f =⨯-⨯+=，故选项B 不正确，因为(0)4f '=-，所以曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为24(0)y x -=--，即42y x =-+，故选项D 正确．故选ACD ．11．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论，其中正确结论为A ．在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；B ．在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；C ．在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；D ．甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 【试题来源】江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高三上学期10月检测 【答案】ABC 【解析】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；A 正确； 甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．D 错误；在2t时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；B 正确； 在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；C 正确； 故选ABC ． 12．若直线12y x b =+是函数()f x 图象的一条切线，则函数()f x 可以是 A ．1()f x x=B ．4()f x x =C ．()sin f x x =D ．()x f x e =【试题来源】江苏省淮安市五校2020-2021学年高三上学期第一次联考 【答案】BCD 【解析】直线12y x b =+的斜率为12k =， 由1()f x x =的导数为'21()f x x=-，即切线的斜率小于0，故A 不正确； 由4()f x x =的导数为'3()4f x x =，而3142x =，解得12x =，故B 正确；由()sin f x x =的导数为'()cos f x x =，而1cos 2x =有解，故C 正确；由()x f x e =的导数为'()x f x e =，而12xe =，解得ln 2x =-，故D 正确，故选BCD13．若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是 A ．cos y x = B ．ln y x = C ．e x y =D ．2yx【试题来源】辽宁省本溪满族自治县高级中学2019-2020学年高二下学期期末考试 【答案】AD【分析】由题意关键看选项中的函数的导函数'()f x ，否存在点1x ，2x ，使得()1f x '()21f x '=-成立．【解析】由题意()y f x =具有T 性质，则存在1x ，2x ，使得()1f x '()21f x '=-． 对于选项A ，因为'()sin f x x =-，存在12x π=，22x π=-，使得()1f x '()21f x '=-；对于选项B ，因为'1()0f x x=>，不存在1x ，2x ，使得()1f x '()21f x '=-； 对于选项C ，因为'()e 0x f x =>，不存在1x ，2x ，使得()1f x '()21f x '=-； 对于选项D ，因为'()2f x x =，存在11x =，214x =-，使得()1f x '()21241f x x x '==-． 故选AD ．14．设函数ln ,0()(1),0xx x f x e x x ⎧>=⎨+≤⎩，若方程21[()()01]6f x af x -+=有六个不等的实数根，则实数a 可取的值可能是A ．12B ．23C ．1D ．2【试题来源】湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】BC【解析】当0x ≤时，()()1xf x ex =+，则()(1)(2)x x x f x e x e e x '=++=+由()'0f x <得20x +<，即2x <-，此时()f x 为减函数， 由()0f x '>得20x +>，即20x -<≤，此时()f x 为增函数， 即当2x =-时，()f x 取得极小值21(2)f e -=-，作出()f x 的图象如图：由图象可知当()01f x <≤时，有三个不同的x 与()f x 对应， 设()t f x =，方程21[()()01]6f x af x -+=有六个不等的实数根， 所以21016t at -+=在(]0,1t ∈内有两个不等的实根， 设21()16g t t at =-+，即21016(0)01(1)01011716012164016012012g g a a a a a ⎧⎧>⎪⎪>⎪⎪⎪⎪≥-+≥⎪⎪⎪∴∴<≤⎨⎨∆>⎪⎪-⨯>⎪⎪<<⎪⎪⎪⎪<<⎪⎩⎩，，， 则实数a 可取的值可能是23，1，故选BC ．15．已知函数f (x )＝21xx x e+-，则下列结论正确的是 A ．函数f (x )不存在两个不同的零点 B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e <k <0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝25e ，则t 的最大值为2 【试题来源】辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2021届高三上学期第一次联考 【答案】BCD【解析】A ．()2010f x x x =⇒+-=，解得12x -±=，所以A 不正确； B ．()()()2122x xx x x x f x e e +---'=-=-， 当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >()(),1,2,-∞-+∞是函数的单调递减区间，()1,2-是函数的单调递增区间，所以()1f -是函数的极小值，()2f 是函数的极大值，所以B 正确．C ．当x 趋向于+∞时，y 趋向于0，根据B 可知，函数的最小值是()1f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；D ．由图象可知，t 的最大值是2，所以正确．故选BCD ． 16．关于函数()2ln f x a x x=+，下列判断正确的是 A ．当1a =时，()ln 21f x ≥+；B ．当1a =-时，不等式()()210f x f x -->的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭；C ．当a e >时，函数()f x 有两个零点；D ．当()f x 的最小值为2时，2a =．【试题来源】江苏省扬州中学2020-2021学年高三上学期10月月考 【答案】ABD【解析】对函数()2ln ,0f x a x x x =+>求导得()2222a ax f x x x x -'=-=， 当1a =时，()2ln f x x x =+，()22x f x x-'=， 当()0,2x ∈时，()0f x '<，单调递减，当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，单调递增， 所以()()2ln 21f x f ≥=+，故A 正确； 当1a =-时，()2ln f x x x=-+，在()0,∞+上单调递减，因为()()210f x f x -->即()()21f x f x ->，所以021x x <-<，解得1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故B 正确；当2a e =时，()22ln f x e x x =+，()222ex f x x -'=，则当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增，所以()112ln20f x f e e e e⎛⎫≥=+= ⎪⎝⎭，函数只有一个零点，故C 错误； 当0a ≤时，()2ln f x a x x=+单调递减，无最小值； 当0a >时，由()22ax f x x-'=可得当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减， 当2,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增， 所以()min 22ln 2f x f a a a a ⎛⎫==+=⎪⎝⎭，解得2a =，故D 正确．故选ABD ． 17．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a cb d -+-的值可能是A ．7B ．8C ．9D ．10【试题来源】广东省深圳市外国语学校2021届高三上学期第一次月考【答案】BCD【解析】由212a a a e b a e b-=⇒=-，令()2x f x x e =-，()12xf x e '∴=-由1121cd c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()22a cb d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),Ncd 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y 由()0001210xf x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值．故选BCD ．18．已知函数()sin cos f x x x x x =+-的定义域为[)2,2ππ-，则 A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在[)0,π上单调递增C ．()f x 恰有4个极大值点D ．()f x 有且仅有4个极值点【试题来源】2020届山东省临沂市高三上学期期末考试 【答案】BD【解析】因为()f x 的定义域为[)2,2ππ-，所以()f x 是非奇非偶函数，()sin cos f x x x x x =+-，()()1cos cos sin 1sin f x x x x x x x '∴=+--=+，当0,x 时，()0f x '>，则()f x 在0,上单调递增．显然()00f '≠，令()0f x '=，得1sin x x=-， 分别作出sin y x =，1y x=-在区间[)2,2ππ-上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[)2,2ππ-上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故()f x 在区间[)2,2ππ-上的极值点的个数为4，且()f x 只有2个极大值点．故选BD ．19．已知函数32()247f x x x x =---，其导函数为()f x '，下列命题中真命题的为 A ．()f x 的单调减区间是2(,2)3B ．()f x 的极小值是15-C ．当2a >时，对任意的2x >且x a ≠，恒有()f x f >（a ）f +'（a ）()x a -D ．函数()f x 有且只有一个零点【试题来源】江苏省泰州中学2019-2020学年高二下学期第二次月考 【答案】BCD【解析】32()247f x x x x =---，其导函数为2()344f x x x '=--．令()0f x '=，解得23x =-，2x =，当()0f x '>时，即23x <-，或2x >时，函数单调递增，当()0f x '<时，即223x -<<时，函数单调递减；故当2x =时，函数有极小值，极小值为()215f =-，当23x =-时，函数有极大值，极大值为2()03f -<，故函数只有一个零点，A 错误，BD 正确；令2()344g x x x =--，则()64g x x '=-故在()2,+∞上()640g x x '=->，即2()344f x x x '=--在()2,+∞上单调递增，根据切割线的定义可知，当2a >时，对任意的x a >，恒有()()()f x f a f a x a-'<-，即()()()()f x f a f a x a '>+-，对任意的2x a <<，恒有()()()f x f a f a x a-'>-，即()()()()f x f a f a x a '>+-，故C 正确；故选BCD ．20．定义在R 的函数()f x ，已知()000x x ≠是它的极大值点，则以下结论正确的是 A ．0x -是()f x -的一个极大值点 B ．0x -是()f x -的一个极小值点 C ．0x 是()f x -的一个极大值点D ．0x -是()f x --的一个极小值点【试题来源】福建省福州市仓山区福建师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末 【答案】AD【解析】()000x x ≠是()f x 的极大值点，就是存在正数m ，使得在00(,)x m x -上，()0f x '>，在00(,)x x m +上，()0f x '<．()()g x f x =-，()()g x f x ''=--，当00x x x m -<<-+时，00x m x x -<-<，()0f x '->，()0g x '<，同理00x m x x --<<-时，()0g x '>，所以0x -是()f x -的一个极大值点，从而0x -是()f x --的一个极小值点，0x 是()f x -的一个极小值点．不能判定0x -是不是()f x -的极值点．故选AD ．21．设函数()ln x e f x x=，则下列说法正确的是A ．()f x 定义域是()0,∞+B ．()0,1x ∈时，()f x 图象位于x 轴下方C ．()f x 存在单调递增区间D ．()f x 有且仅有一个极值点【试题来源】福建省福州市2021届高三数学10月调研B 卷试题 【答案】BCD【分析】求出函数定义域判断A ，根据函数值的正负判断B ，求出导函数，利用导函数确定原函数的增区间，判断C ，由导函数研究函数的单调性得极值，判断D ．【解析】由题意，函数()ln xe f x x =满足0ln 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠，所以函数()ln xe f x x=的定义域为()()0,11,+∞，所以A 不正确；由()ln xe f x x=，当()0,1x ∈时，ln 0x <，所以()0f x <，所以()f x 在()0,1上的图象都在轴的下方，所以B 正确；因为21ln '()(ln )x e x x f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，所以()'0f x >在定义域上有解，所以函数()f x 存在单调递增区间，所以C 是正确的； 由()1ln g x x x =-，则()211'(0)g x x x x=+>，所以()'0g x >，函数()g x 单调增，则函数'()0f x =只有一个根0x ，使得0'()0f x =，当0(0,)x x ∈时，'()0f x <，函数单调递减，当()0,x x ∈+∞时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D 正确； 故选BCD ．22．下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是 A ．()sin f x x x =-B ．()ln(1)ln(1)f x x x =--+C ．e e ()2x xf x -+=D ．e 1()e 1x x f x -=+【试题来源】江苏省苏州市吴江区平望中学2020-2021学年高三上学期阶段性测试（一） 【答案】AD【解析】对于A ，()f x 的定义域为R ，且()()sin f x x x f x -=-+=-，()f x ∴是奇函数，关于原点对称，又()1cos 0f x x '=-≥，则()f x 单调递增，故A 正确； 对于B ，()ln(1)ln(1)f x x x =--+满足1010x x ->⎧⎨+>⎩，解得1x >，即()f x 定义域为()1,+∞，不关于原点对称，故B 错误；对于C ，()e e ()2x xf x f x -+-==，故()f x 是偶函数，不关于原点对称，故C 错误；对于D ，()f x 定义域为R ，且()e 11e ()e 11e x xx xf x f x -----===-++，则()f x 是奇函数，关于原点对称，又e 1()1e 12e 1x x xf x -==-++，可知其单调递增，故D 正确．故选AD ．23．已知函数()ln f x x x =，则A ．()f x 的单调递增区间为()e ∞+，B ．()f x 在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是减函数 C ．当(]01x ∈，时，()f x 有最小值1e- D ．()f x 在定义域内无极值【试题来源】辽宁省辽河油田第二高级中学2020-2021学年高三上学期第一次月考 【答案】BC【分析】先求解出()f x '，根据()0f x '=分析出()f x 的单调性以及极值，由此可确定各选项是否正确． 【解析】因为()()ln 10f x x x '=+>，令()0f x '=，所以1=x e， 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>， 所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，1=x e 是极小值点， 所以A 错误，B 正确；当(]0,1x ∈时，根据单调性可知，()min 11f x f e e⎛⎫==-⎪⎝⎭，故C 正确；显然()f x 有极小值1f e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 错误，故选BC ．24．已知函()sin cos f x x x =-且π2a f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，ππ,b f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22c f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A ．()f x 为偶函数B ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增C ．a c b >>D ．b a c >>【试题来源】百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考新高考数学试卷（一） 【答案】ABC【解析】对于A ：因为()()()sin cos sin cos f x x x x f x x -==--=--，所以函数()f x 为偶函数，故选项A 正确；对于B ：当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos f x x x =-，()sin cos 0f x x x '=+>，此时()f x 单调递增；故选项B 正确； 对于C 和D ：令()x x g x e =，则()1x xg x e-'=，则()g x 在(),1-∞单调递增，在()1,+∞单调递减，因为2π<，所以π2π2πe e 2<<，由函数()f x 的单调性有： π2π2ππe e 22f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．即a c b >>，故选项C 正确，选项D 不正确 故选ABC ． 25．若函数()ln f x y x=在(1,)+∞上单调递减，则称()f x 为P 函数．下列函数中为P 函数的为A ．()1f x =B ．()f x x =C ．1()f x x=D ．()f x =【试题来源】江苏省泰州中学2020-2021学年高三上学期第二次检测 【答案】AC【解析】对于A ，()1ln ln f x y x x ==，当(1,)x ∈+∞，ln y x =为增函数，故1ln y x=为减函数，所以()1f x =为P 函数，故A 符合；对于B ，()ln ln f x xy x x==，求导2ln 1(ln )-'=x y x ，令0y '=，得x e = 当(1,)x e ∈时，0y '<，即ln xy x=在(1,)e 上单调递减；当[),x e ∈+∞时，0y '>，即ln x y x=在[),e +∞上单调递增；所以()f x x =不是P 函数，故B 不符合；对于C ，()1ln ln f x y x x x ==，求导2(ln 1)0(ln )x y x x -+'=<，所以1ln y x x=在(1,)+∞上单调递减，所以1()f x x=为P 函数，故C 符合；对于D ，()ln f x y x ==y '=0y '=，得2x e =当2(1,)x e ∈时，0y '<，即ln y x=在2(1,)e 上单调递减；当)2,x e ⎡∈+∞⎣时，0y '>，即y =在)2,e ⎡+∞⎣上单调递增；所以()f x =P 函数，故D 不符合；故选AC ．26．关于函数()e ,x f x ax x R =-∈，其中e 为自然对数的底数，下列说法正确的是A ．当1a =时，()f x 在(,0)-∞上单调递增B ．当0a =时，()lnx 3f x -≥在(0,)x ∈+∞上恒成立C ．对任意0a <，()f x 在(,0)-∞上一定存在零点D ．存在0a >，()f x 有唯一的极小值【试题来源】江苏省镇江市名校2020-2021学年高三上学期10月月考 【答案】CD【分析】就a 的不同取值，利用导数讨论各选项的函数性质或不等式在给定的范围上是否成立后可得正确的选项．【解析】对于A ，当1a =时，()x f x e x =-，()1x f x e =-'， 当0x <时，()0f x '<，故()f x 在(,0)-∞上单调递减，故A 不正确． 对于B ，当0a =时，()x f x e =，此时()ln ln x f x x e x -=-， 因为1(1)ln103f e -=-<，故B 错误．对于C ，当0a <时，()x f x e ax =-，()0x f x e a '=->，故()f x 在R 上为单调递增函数，又()01f =，1110a f e a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()f x 在(,0)-∞上一定存在零点，故C 正确．对于D ，取2a =，则()2x f x e x =-，则()2x f x e '=-， 当ln 2x <时，()0f x '<，当ln 2x >时，()0f x '>， 故()f x 有唯一的极小值点ln 2x =，故D 正确．故选CD ．27．已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠有两个互异的极值点()1212,x x x x <，下列说话正确的是 A ．230b ac ->B ．有三个零点的充要条件是12()()0f x f x <C ．0a >时，()f x 在区间12(,)x x 上单调递减D ．0a <时，1()f x 为极大值，2()f x 为极小值【试题来源】辽宁省凌海市第二高级中学2020-2021学年高三上学期第二次月考 【答案】ABC【解析】因为函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，所以2()32f x ax bx c '=++，因为()f x 有两个互异的极值点()1212,x x x x <，所以()()22212430b ac b ac ∆=-=->，故A 正确；所以若()f x 有三个零点则12()()0f x f x <，故B 正确；当0a >时，2()32f x ax bx c '=++开口向上，则12(,)x x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 区间12(,)x x 上单调递减，故C 正确；当0a <时，当1x x <或2x x >时，()0f x '<，当12x x x <<时，()0f x '>，所以1()f x 为极小值，2()f x 为极大值，故D 错误；故选ABC ．28．定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()()21'2x f x f x x x +-<+对()0,x ∈+∞恒成立．下列结论正确的是A ．()()22315f f ->B ．若()12f =，1x >，则()21122f x x x >++ C ．()()3217f f -<D ．若()12f =，01x <<，则()21122f x x x >++ 【试题来源】江苏省南通市四校2020-2021学年高三上学期第二次联考 【答案】CD【分析】构造函数()()21f x xg x x -=+，然后求导，可得到函数()g x 的单调性，然后根据单调性判断所给选项的正误．【解析】构造函数()()21f x xg x x -=+，则()()()()()()()()()2222211211f x x x f x x x f x f x x x g x x x '⎡⎤⎡⎤-+--'+---⎣⎦⎣⎦'==++， 因为()()()21'2x f x f x x x +-<+对()0,x ∈+∞恒成立，所以()()()()()221201x f x f x x x g x x '+---'=<+在()0,x ∈+∞上恒成立，即()g x 在()0,∞+上递减，所以()()21g g <，即()()241132f f --<，整理得()()22315f f -<，故A 错；所以()()31g g <，即()()391142f f --<，整理得()()3217f f -<，故C 正确；对于B 选项，若()12f =，1x >，则()()1g x g <在()1,+∞恒成立，所以()()2111122f x x f x --<=+整理得()21122f x x x <++，所以B 错； 对于D 选项，当01x <<时，()()1g x g >，则可得()21122f x x x >++，故D 正确． 故选CD ．29．已知函数()y f x =在R 上可导且()01f =，其导函数()f x '满足[](1)()()0x f x f x '+->，对于函数()()xf xg x e =，下列结论正确的是 A ．函数()g x 在(),1-∞-上为增函数 B ．1x =-是函数()g x 的极小值点 C ．函数()g x 必有2个零点D ．2()(2)e e f e e f >【试题来源】湖南省郴州市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测 【答案】BD 【解析】函数()()x f x g x e =，则()()()xf x f xg x e'-'=， 当1x >-时，()()0f x f x '->，故()g x 在()1,-+∞上为增函数，A 错误；当1x <-时，()()0f x f x '-<，故()g x 在(),1-∞-单调递减，故1x =-是函数g (x )的极小值点，B 正确；若()10g -<，则()y g x =有两个零点，若()10g -=，则()y g x =有一个零点， 若()10g ->，则()y g x =没有零点，故C 错误；()g x 在()1,-+∞上为增函数，则()()2g g e <，即()()22e f f e e e<，化简得2()(2)e e f e e f >，D 正确；故选BD30．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '>-，则下列式子成立的是 A ．()()20192020f ef < B ．()()20192020ef f > C ．()f x 是R 上的增函数D ．0t >，则有()()tf x e f x t <+【试题来源】广东省2021届高三上学期10月联考 【答案】AD【解析】由()()f x f x '>-，得()()0xxe f x e f x '+>，即()0x e f x '⎡⎤>⎣⎦，所以函数()xe f x 为增函数，故()()2019202020192020ef e f <，所以()()20192020f ef <，故A 正确，B 不正确； 函数()xe f x 为增函数时，()f x 不一定为增函数，如122x x xe e ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是增函数，但12x⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，所以C 不正确；因为函数()xe f x 为增函数，所以0t >时，有()()xx te f x ef x t +<+，故有()()tf x e f x t <+成立，所以D 正确．故选AD ．31．关于函数()2ln f x x x=+，下列说法正确的是 A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点 C ．存在正整数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x ≠，若()()12f x f x =，则124x x +> 【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高三上学期月考（三） 【答案】BD【解析】对于A 选项，函数的的定义域为()0,∞+，函数的导数()22212'x f x x x x-=-+= ， 所以()0,2x ∈时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，()2,x ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x单调递增，所以2x =是()f x 的极小值点，故A 错误；对于B 选项，()2ln y f x x x x x =-=+-，所以222212'10x x y x x x-+-=-+-=<， 所以 函数在()0,∞+上单调递减，因为()112ln1110f -=+-=>，()221ln220f -=+-<，所以函数()y f x x =-有且只有1个零点，故B 正确；对于C 选项，若()f x kx >，可得()22ln f x xk x x x<=+， 令()22ln x g x x x =+，则()34ln 'x x xg x x -+-=，令()4ln h x x x x =-+-， 则()'ln h x x =-，所以在()0,1x ∈上，()'0h x >，函数()h x 单调递增，()1,x ∈+∞上，()'0h x <，函数()h x 单调递减，所以()()130h x h ≤=-<，所以()'0g x <，所以()22ln xg x x x=+在()0,∞+上函数单调递减，函数无最小值， 所以不存在正实数k ，使得()f x kx >成立，故C 错误；对于D 选项，由12x x >，()()12f x f x =可知122,02x x ><<， 要证124x x +>，即证124x x >-，且1242x x >->，由函数()f x 在()2,x ∈+∞是单调递增函数，所以有()()124x f f x >-，由于()()12f x f x =，所以()()224x f f x >-，即证明()()()4,0,2f x f x x >-∈， 令()()()()()224ln ln 4,0,24m x f x f x x x x x x=--=--+-∈-， 则()()()22282'04x m x x x --=<-，所以()m x 在()0,2是单调递减函数，所以()()20m x m >=，即()()()4,0,2f x f x x >-∈成立，故124x x +>成立，所以D 正确．综上，故正确的是BD ．故选BD【名师点睛】函数中涉及极值、零点，不等式恒成立，一般都需要通过导数研究函数的单调性极值最值来处理，特别的要根据所求问题，适时构造恰当的函数，利用所构造函数的单调性、最值解决问题是常用方法．32．材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数()()0xf x x x =>，我们可以作变形：()ln ln xxx x x t f x x ee e ====()ln t x x =，所以()f x 可看作是由函数()tf t e=和()ln g x x x =复合而成的，即()()0xf x x x =>为初等函数．根据以上材料，对于初等函数()()10xh x x x =>的说法正确的是A ．无极小值B ．有极小值1C ．无极大值D ．有极大值1ee【试题来源】百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考新高考数学试卷（一） 【答案】AD【解析】根据材料知()111ln ln xx x xxh x x e e===，所以()()111ln ln ln 2221111ln ln 1ln x x x xx xh x ex e x e x x xx x '⎛⎫⎛⎫'=⋅=-⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0h x '=得x e =，当0x e <<时，()0h x '>，此时函数()h x 单调递增； 当x e >时，()0h x '<，此时函数()h x 单调递减．所以()h x 有极大值且为()1eh e e =，无极小值．故选AD ．33．已知函数1n ,0()31,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若直线y kx =与()y f x =交于三个不同的点(,()),(,()),(,())A a f a B b f b C c f c （其中a b c <<），则13b a++的可能值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【试题来源】山东省泰安市泰山国际学校2020-2021学年高三10月月考 【答案】BC【解析】在0x >时，()ln f x x =，'1()f x x =，设切点的坐标为00(,)x y ，'1()f x x=， 因此有'001()f x x =，所以切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，当该切线过原点时，00010ln (0)x x x e x-=-⇒=，所以切点的坐标为(,1)e ， 因为直线y kx =与()y f x =交于三个不同的点，所以有(1,)b e ∈，当切线与直线31yx 相交时，解方程组：31131113e y x x ey x y e e ⎧=+=⎧⎪⎪⎪-⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪-⎩， 因此有1(,)133e a e ∈--，于是有11(3,3)a e ∈--+， 所以113(1,)b e a e++∈+，显然选项BC 符合，故选BC ．34．已知函数()ln f x x ，若()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，则A12+= B ．12128x x <C ．1232x x +<D ．2212512x x +>【试题来源】广东省深圳高级中学2021届高三上学期10月月考 【答案】AD【解析】由题意知1()(0)f x x x'=->，因为()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，所以()()12f x f x ''=1211x x -=-12=，A 正确；由基本不等式及12x x ≠，可得12=>即12256x x >，B错误；1232x x +>>，C 错误；2212122512x x x x +>>，D 正确．故选AD ． 35．已知函数()sin x f x e a x =+，下列说法正确的是 A ．0a R ∃∈，使得()f x 是周期函数；B ．(1,1)a ∀∈-，函数()f x 在(0,)+∞单调递增；C ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=；D ．当1a =时，()f x 在(,)π-+∞内存在唯一极小值点0x ，且01()0f x -<<．【试题来源】福建省三明市泰宁一中学2021届高三上学期第二阶段考试 【答案】BCD【分析】逐一验证选项，选项A ，假设成立，推出矛盾，则不成立；选项B ，求导后判断正负，得出结论；选项C ，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项D ，通过导数求出函数极值并判断极值范围．【解析】选项A ，若()f x 是周期函数，周期为0T ≠，则不0a R ∃∈，使得()()sin sin ()x T x f x T e a x T e a x f x ++=++=+=成立，故选项A 不符合题意；选项B ，'()cos x f x e a x =+，0x，1x e ∴>，1cos 1x -≤≤，(1,1)a ∀∈-，1cos 1a x ∴-≤≤，()'0f x ∴>，即函数()f x 在(0,)+∞单调递增，故选项B 符合题意；选项C ，当a ＝1时，f （x ）＝e x +sin x ，所以f （0）＝1，故切点为（0，1），f ′（x ）＝e x +cos x ，所以切线斜率K ＝f ′（0）＝2，故切线方程为y ﹣1＝2（x ﹣0），即2x ﹣y +1＝0．故选项C 符合题意；选项D ，当a ＝1时，f （x ）＝e x +sin x ，x ∈（﹣π，+∞），f ′（x ）＝e x +cos x ，f ″（x ）＝e x ﹣sin x ＞0恒成立，所以f ′（x ）在（﹣π，+∞）单调递增， 又f ′（﹣34π）＝e 34π-+cos （﹣34π）＜0 ， f ′（﹣2π）＝20e π->，故f （x ）在（﹣π，+∞）存在唯一极值点0x ，不妨设0x ∈（﹣34π，2π-），则f ′（0x ）＝0，即00cos 0xe x +=，f （x 0）＝e 0x +sin x 0＝sin x 0﹣cos x 0（x 0﹣4π）∈（﹣1，0），故选项D 符合题意； 故选BCD ．36．函数()()322320f x x ax a x a =-+≠在1x =处的切线方程为40x y +-=，若()1212,x x x x <是函数()()4g x f x x λ=-的两个极值点，且()()120f x f x -<，则λ的值可能为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【试题来源】决胜新高考名校交流2020-2021学年高三9月联考卷 【答案】CD【解析】由已知得()()223620f x x ax a a '=-+≠，所以()21362f a a '=-+， 由已知得()13f =，()11f '=-，解得2a =，所以()3268f x x x x =-+，()()324684g x f x x x x x x λλ=-=-+-，()231284g x x x λ'=-+-．若1λ=，则()23124g x x x '=-+，101x <<，234x <<．又()()()24f x x x x =--，所以()10f x >，()20f x <，不满足要求，排除A 选项； 若2λ=，则()2312g x x x '=-，10x =，24x =．又()()()24f x x x x =--，所以()10f x =，()20f x =，不满足要求，排除B 选项； 若3λ=，则()23124g x x x '=--，110x -<<，245x <<．又()()()24f x x x x =--，所以()10<f x ，()20f x >，满足要求，故C 选项正确； 若4λ=，则()23128g x x x '=--，110x -<<，245x <<．又()()()24f x x x x =--，所以()10<f x ，()20f x >，满足要求，故D 选项正确． 故选CD ．37．已知函数()243,1ln 2,1x x x f x x x ⎧+-≤=⎨+>⎩，则函数()()()10g x f x ax a =-->的零点个数可能为 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【试题来源】河北省邯郸市永年县第二中学2021届高三上学期月考（一） 【答案】BCD【解析】由()()10g x f x ax =--=可得()1f x ax =+，则函数()g x 的零点即是函数()y f x =与直线()10y ax a =+>图象交点的横坐标，画出()243,1ln 2,1x x x f x x x ⎧+-≤=⎨+>⎩的大致图象如下，由ln 2y x =+得1y x'=，所以曲线ln 2y x =+在点()1,2处的切线斜率为11x k y ='==，此时的切线方程为21y x -=-，即1y x =+，恰好过点()0,1，又直线()10y ax a =+>也过点()0,1，所以由图象可得，当1a =时，直线1y ax =+与函数()y f x =的图象有两个交点；即函数()g x 有两个零点；当1a >时，直线1y ax =+只与函数()y f x =在1x <的图象有一个交点，即函数()g x 有一个零点；当01a <<时，直线1y ax =+与函数()y f x =有三个不同的交点，即函数()g x 有三个零点； 综上，函数()()()10g x f x ax a =-->的零点个数可能为1，2，3．故选BCD ．38．在直角坐标系内，由A ，B ，C ，D 四点所确定的“N 型函数”指的是三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，其图象过A ，D 两点，且()f x 的图象在点A 处的切线经过点B ，在点D 处的切线经过点C ．若将由()0,0A ，()1,4B ，()3,2C ，()4,0D 四点所确定的“N 型函数”记为()y f x =，则下列选项正确的是 A ．曲线()y f x =在点D 处的切线方程为28y x =-+ B ．()()()1488f x x x x =-- C ．曲线()y f x =关于点()4,0对称 D ．当46x ≤≤时，()0f x ≥【试题来源】江苏省百校联考2020-2021学年高三上学期第一次考试 【答案】ABC【分析】A ．根据函数在点D 处的切线经过点C ，利用点斜式求解判断；B ．根据()f x 的图象过点()0,0A 及()4,0D ，设()()()4f x x x kx m =-+(其中0k ≠)，然后再利用()'04f =，()'42f =求解判断；C ．由B 得到()()80f x f x +-=判断；D ． 由B 结合46x ≤≤，有40x -≥，80x -<判断． 【解析】因为直线CD 的斜率为02243-=--，所以CD 的方程为()024y x -=--，即28y x =-+，所以A 正确．因为()f x 的图象过点()0,0A 及()4,0D ，所以()f x 有两个零点0，4，故可设()()()4f x x x kx m =-+(其中0k ≠)，则()()()()'424f x kx x kx m x =-++-，由()'04f =，()'42f =，得1m =-，18k =，所以()()()1488f x x x x =--，故B 正确．由选项B 可知，()()80f x f x +-=，所以曲线()y f x =关于点()4,0对称，故C 正确． 当46x ≤≤时，有40x -≥，80x -<，所以()0f x ≤，故D 不正确．故答案为ABC ． 39．已知函数()ln xf x x=，下列说法正确的是 A ．()f x 在1x =处的切线方程为1y x =- B ．单调递增区间为(),e -∞ C ．()f x 的极大值为1eD ．方程()2f x =-有两个不同的解【试题来源】江苏省连云港市赣榆智贤中学2020-2021学年高三上学期9月月考 【答案】AC 【解析】()21ln xf x x -'=（0x >），因为()11f '=，()10f =， 所以()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-，故A 正确； 令()21ln 0xf x x-'=>，即1ln 0x ->，解之得x e <，因为0x >， 所以()f x 的单调递增区间为()0,e ，故B 错误；再令()21ln 0-'=<xf x x，即1ln 0x -<，解之得x e >， 所以()f x 的单调递减区间为(),e +∞，所以()f x 在x e =处取得极大值，极大值为1()f e e=，故C 正确；方程()2f x =-即ln 2xx=-，也即ln 2x x =-，函数ln y x =与函数2y x =-的图象只有一个交点，所以方程()2f x =-有一个解，故D 错误．故选AC ．【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查导数的几何意义，考查函数。
2020-2021学年江苏省常州高级中学高二上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年江苏省常州高级中学高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.以下判断正确的是( )A. 命题“负数的平方是正数”不是全称命题B. 命题“∀x ∈N ，x 3>x 2”的否定是“∃x ∈N ，x 3<x 2”C. “a =1”是函数f(x)=cos 2ax −sin 2ax 的最小正周期为π的必要不充分条件D. “b =0”是“函数f(x)=ax 2+bx +c 是偶函数”的充要条件2.数列{a n }满足a n =4a n−1+3，且a 1=0，则此数列的第5项是( )A. 15B. 255C. 16D. 363.已知各项不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=2a 2，则S6a 2=( )A. 4B. 162C. 9D. 124. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在平面BCC 1B 1内，且D 1P ⊥AC 1，则线段D 1P 的长度的最小值为( )A. √3B. √6C. 2√2D. 2√65.现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是1，2，3，4的四个座位上，他们分别有以下要求，甲：我不坐座位号为1和2的座位； 乙：我不坐座位号为1和4的座位； 丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不坐座位号为2的座位，我就不坐座位号为1的座位． 那么坐在座位号为3的座位上的是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6.如图，在△ABC 中，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗+14AC ⃗⃗⃗⃗⃗B. 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 7.设数列lg100，lg(100sin π4)，lg(100sin 2π4)，⋯⋯，lg(100sin n−1π4)⋯的前n 项和为S n ，那么数列{S n }中最大的项是( )A. 13B. 14C. S 13D. S 148.△ABC 中，AB =6，AC =8，∠BAC =90°，△ABC 所在平面α外一点P 到点A 、B 、C 的距离都是13，则P 到平面α的距离为( )A. 7B. 9C. 12D. 13二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.已知空间向量a ⃗ =(−2,−1,1)，b ⃗ =(3,4,5)，则下列结论正确的是( )A. (2a ⃗ +b ⃗ )//a ⃗B. 5|a ⃗ |=√3|b ⃗ |C. a ⃗ ⊥(5a ⃗ +6b ⃗ )D. a ⃗ 与b ⃗ 夹角的余弦值为−√3610. 下列说法正确的是( )A. 过直线l 外一点P ，有且仅有一个平面与l 垂直B. 空间中不共面的四点能确定无数多个球C. 如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面D. 过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内11. 狄利克雷函数f(x)={1,x ∈Q0,x ∈C R Q是高等数学中的一个典型函数，对于狄利克雷函数f(x)，下列命题中真命题的有( )A. 对任意x ∈R ，都有f[f(x)]=1B. 对任意x ∈R ，都有f(−x)+f(x)=0C. 若a <0，b >1，则有{x|f(x)>a}={x|f(x)<b}D. 存在三个点A(x 1,f(x 1))，B(x 2,f(x 2))，C(x 3,f(x 3))，使得△ABC 为等腰三角形12. 关于下列命题，正确的是( )A. 若点(2,1)在圆x 2+y 2+kx +2y +k 2−15=0外，则k >2或k <−4B. 已知圆M ：(x +cosθ)2+(y −sinθ)2=1与直线y =kx ，对于任意的θ∈R ，总存在k ∈R 使直线与圆恒相切C. 已知圆M：(x+cosθ)2+(y−sinθ)2=1与直线y=kx，对于任意的k∈R，总存在θ∈R使直线与圆恒相切D. 已知点P(x,y)是直线2x+y+4=0上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2−2y=1的两条切线，A、B是切点，则四边形PACB的面积的最小值为√6三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在数列中，，，则．14.下列函数为偶函数，且在上单调递增的函数是．①②③④15.直线与圆相交于、两点，若，则.(其中为坐标原点)16.在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|2≤x≤6,x∈R}，B={x|−1<x<5,x∈R}，全集U=R．(1)求A∩(∁U B)；(2)若集合C={x|x<a,x∈R}，A∩C=⌀，求实数a的取值范围．(3)若集合D={x|m+1<x<2m−1,x∈R}，B∩D≠⌀，求实数m的取值范围．18.某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．(1)记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{a n}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{b n}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；a1=10a2=9.5a3=______ a4=______ …b1=2b2=______ b3=______ b4=______ …(2)从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？19. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是底面ABCD对角线的交点．(Ⅰ)求证：BD⊥平面ACC1A1；(Ⅱ)求直线BC1与平面ACC1A1所成的角．20. 已知等差数列{a n}的公差为2，且a1−1，a2−1，a4−1成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n a n+1(n∈N∗)，数列{b n}的前n项和S n，求使S n<17成立的最大正整数n的值．21. 如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=4，AA1=3√2，M，N分别是棱A1C1，AC的中点，E在侧棱A1A上，且A1E=2EA．(1)求证：平面MEB⊥平面BEN；(2)求平面BEN与平面BCM所成的锐二面角的余弦值．22. 在数列{a n}中，a1=1，a4=7，an+2−2a n+1+a n=0(n∈N﹢)(1)求数列a n的通项公式；(2)若b n=1n(3+a n))(n∈N+)，求数列{b n}的前n项和S n．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题之间的转化及充分必要条件的概念及应用，考查函数的周期性与奇偶性，属于中档题．A，命题“负数的平方是正数”的含义为“任意一个负数的平方是正数”，是全称命题，可判断A；B，写出命题“∀x∈N，x3>x2”的否定，可判断B；C，利用充分必要条件的概念，从充分性与必要性两个方面可判断C；D，利用充分必要条件的概念与偶函数的定义可判断D．解：对于A，命题“负数的平方是正数”是全称命题，故A错误；对于B，命题“∀x∈N，x3>x2”的否定是“∃x∈N，x3≤x2”，故B错误；=π，充分性成立；对于C，a=1时，函数f(x)=cos2x−sin2x=cos2x的最小正周期为T=2π2反之，若函数f(x)=cos2ax−sin2ax=cos2ax的最小正周期T=2π2|a|=π，则a=±1，必要性不成立；所以“a=1”是函数f(x)=cos2ax−sin2ax的最小正周期为π的充分不必要条件，故C错误；对于D，b=0时，函数f(−x)=ax2+c=f(x)，y=f(x)是偶函数，充分性成立；反之，若函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数，f(−x)=f(x)，解得a=0，即必要性成立；所以“b=0”是“函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数”的充要条件，故D正确．故选：D．2.答案：B解析：解：a2=4a1+3=3a3=4a2+3=4×3+3=15a4=4a3+3=4×15+3=63a5=4a4+3=4×63+3=255故选B．分别令n=2，3，4，5代入递推公式计算即可．本题考查数列递推公式简单直接应用，属于简单题．3.答案：C。
娄底市第一中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题
湖南省娄底市第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题一、单选题1．“1m ”是“方程22115y x m m +=--表示焦点在y 轴上的双曲线"的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若关于x 的不等式242x x mx-+>的解集为{}|02x x <<，则实数m 的值为（ ) A ．1- B ．1 C ．2D ．2- 3．已知,a b 为非零实数，且a b <,则下列命题一定成立的是( )A ．22ab <B ．|a ｜〈|b|C ．3223a ba b < D ．22acbc <4．已知(2,1,3)a =-，(4,1,2)a x y =-+-，若//a b ，则x y +=（ ） A ．6-B ．5-C ．4-D ．3-5．设函数()()310f x x ax a =++<,曲线()y f x =在点()(),a f a 处的切线方程为2y x b=+，则a b +=( ）A ．1-B ．1C ．2D ．46．已知数列—1， 1a ,2a ，—4成等差数列，—1，b 1,b 2，b 3，—4成等比数列，则212b a a -的值为（ ）A ．12B ．-12C ．12或-12D ．7．已知点A 是抛物线2:2(0)C xpy p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点(0,10)M 为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点,且ABO ∆为等边三角形,则P 的值是( )A ．52B ．53C ．56D ．598．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()''0f x g x f x g x ->,且()03g =,则不等式()()0f x g x <的解集是(）A ．()()3,03,-⋃+∞B ．()()3,00,3-C ．()(),33,-∞-+∞D ．()(),30,3-∞-二、多选题9．下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有( ） A ．B ．所有的正方形都是矩形C ．D ．至少有一个实数x ，使310x+=10．已知实数a 、b ，判断下列不等式中哪些一定是正确的( )A ．2a bab +≥B ．12a a+≥C ．||2a bb a+≥ D ．()()2222a b a b +≥+11．如图所示，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．不是定值C ．三棱锥11B D PC -的体积为定值D ．11DCD P ⊥12．首项为正数，公差不为0的等差数列{}na ，其前n 项和为nS ，现有下列4个命题中正确的有（ ) A ．若10S =，则280S S +=；B ．若412S S =,则使0nS>的最大的n 为15C ．若150S>，16S<,则{}nS 中8S 最大D ．若78SS <，则89SS <三、填空题13．当x 〉1时，x ＋的最小值为________14．若函数()()32'123f x f xx =-+,则()'1f 的值为 。
2020-2021学年江苏省无锡市江阴市澄江片八年级(上)期中数学试卷 (含解析)
2020-2021学年江苏省无锡市江阴市澄江片八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．4，6，8B．6，8，10C．6，9，10D．5，11，133．已知等腰三角形的一边长为3，周长为12，那么它的腰长为（）A．4.5B．6C．4.5或6D．不能确定4．下列说法中，正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等B．线段不是轴对称图形C．等腰三角形的底角必小于90°D．周长相等的两个三角形全等5．“三角形具有稳定性”这个事实说明了（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS6．如图，△ABC中，∠B＝90°，边AC的垂直平分ED，交AC于点D，交BC于点E，已知∠C＝36°，则∠BAE的度数为（）A．16°B．17°C．18°D．19°7．如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．50°8．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是（）A．45B．36C．25D．189．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF ⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④10．△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4．过C作∠BAC的角平分线的垂线，垂足为D，连结BD，CD，则S△BDC的最大值为（）A．10B．15C．12D．14二、填空题（共8小题，每小题2分，共16分）11．如图，∠A＝∠D，∠1＝∠2，要得到△ABC≌△DEF，添加一个条件可以是．12．如图，在边长为1的正方形网格中，两格点A，B之间的距离为d3．（填“＞”，“＝”或“＜”）．13．如图，AD、BE是等边△ABC的两条高线，AD、BE交于点O，则∠AOB＝度．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝26cm，BC的垂直平分线交AB于点D，则点C 与点D的距离是cm．15．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？若设AC＝x尺，则可列方程为．16．如图，正方形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AE⊥EB于E，CF⊥BF于F，AE ＝5，CF＝7，则AF的长为．17．如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON 于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E．设OA ＝10，DE＝12，则OD＝．18．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝12，AB＝9，DE⊥AC，CD＝BC，CE＝AC，P是直线AC上一点，把△CDP沿DP所在的直线翻折后，点C落在直线DE上的点H 处，CP的长是．三、解答题（共8小题，共54分）19．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．20．如图，在△ABC中，AC＝20，AD＝16，CD＝12，BC＝15，求AB的长．21．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．（1）在图1中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；（2）在图2中画出∠ABC的角平分线；（3）在正方形网格中存在个格点，使得该格点与A、C两点构成以AC为腰的等腰三角形．22．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数；（2）已知△ADE的周长7cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为15cm，求OA的长．23．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上且CE＝CA，试求∠DAE的度数；（2）如图2，如果把第（1）题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE 的度数会改变吗？说明理由．24．在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是90°．如图，长方形ABCD中，AD＝9cm，AB＝4cm，E为边AD上一动点，从点D出发，以1cm/s 向终点A运动，同时动点P从点B出发，以acm/s向终点C运动，运动的时间为ts．（1）当t＝3时，求线段CE的长；（2）若a＝1，当△CEP是以C为顶点的等腰三角形时，求t的值；（3）连接DP，当点C与点E关于DP对称时，直接写出t与a的值．25．阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积从而得数学等式：；（用含字母a、b、c的式子表示）化简证得勾股定理：a2+b2＝c2【初步运用】（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6此时空白部分的面积为；【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．26．已知，如图1，线段AB＝10，点C为线段AB上一点，DC⊥AC，DC＝AC＝2，点E 从点C开始，以1cm/s的速度向点B运动，点E的运动过程中，△DEF始终为等腰直角三角形，∠EDF＝90°，DE＝DF，若点E运动的时间为t秒．（1）若t＝4时，点F的运动路程为．（2）如图2，过点A作直线l⊥AB，取EF的中点M，直线CM与直线l相交于点N，则AN的长是否为定值？若为定值，请求出这个定值，若不是，请用t的代数式表示．参考答案一、选择题（共10小题）.1．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．4，6，8B．6，8，10C．6，9，10D．5，11，13解：A、42+62＝52≠82，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B、62+82＝102，能构成直角三角形，故本选项符合题意；C、62+92≠102，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D、52+112＝146≠132，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B．3．已知等腰三角形的一边长为3，周长为12，那么它的腰长为（）A．4.5B．6C．4.5或6D．不能确定解：①3是腰长时，三边分别为3、3、6，不能组成三角形；②3是底边时，腰长为（12﹣3）＝4.5，三边分别为4.5、4.5、3，能组成三角形．综上所述，腰长为4.5．故选：A．4．下列说法中，正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等B．线段不是轴对称图形C．等腰三角形的底角必小于90°D．周长相等的两个三角形全等解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，故本选项不合题意；B、线段是轴对称图形，故本选项不合题意；C、等腰三角形的底角必小于90°，说法正确，故本选项符合题意；D、周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项不合题意．故选：C．5．“三角形具有稳定性”这个事实说明了（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS解：当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．6．如图，△ABC中，∠B＝90°，边AC的垂直平分ED，交AC于点D，交BC于点E，已知∠C＝36°，则∠BAE的度数为（）A．16°B．17°C．18°D．19°解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝36°，∴∠BAC＝90°﹣36°＝54°，∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C＝36°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝18°，故选：C．7．如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．50°解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠A′CB′＝∠ACB＝70°，∵∠ACB′＝100°，∴∠BCB′＝∠ACB′﹣∠ACB＝30°，∴∠BCA′＝∠A′CB′﹣∠BCB′＝40°，故选：C．8．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是（）A．45B．36C．25D．18解：设直角三角形两条直角边长分别为a和b，由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b＝3，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知：225＝4×ab+9，所以2ab＝216，根据勾股定理，得a2+b2＝152，所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝225+216＝441，因为a+b＞0，所以a+b＝21，所以21+15＝36．所以一个直角三角形的周长是36．故选：B．9．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF ⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE＝（∠BAC+∠ABC）＝45°，∴∠APB＝135°，故①正确．∴∠BPD＝45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB＝90°+45°＝135°，∴∠APB＝∠FPB，又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP，∴△ABP≌△FBP，∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确．在△APH和△FPD中，∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF，∴△APH≌△FPD，∴PH＝PD，故③正确．∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，∴点P到BC、AC的距离相等，∴点P在∠ACB的平分线上，∴CP平分∠ACB，故④正确．故选：D．10．△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4．过C作∠BAC的角平分线的垂线，垂足为D，连结BD，CD，则S△BDC的最大值为（）A．10B．15C．12D．14解：如图：延长AB，CD交点于E，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°，在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（ASA），∴AC＝AE，DE＝CD；∵AC﹣AB＝4，∴AE﹣AB＝4，即BE＝4；∵DE＝DC，∴S△BDC＝S△BEC，∴当BE⊥BC时，S△BDC面积最大，即S△BDC最大面积＝××10×4＝10．故选：A．二、填空题（共8小题，每小题2分，共16分）11．如图，∠A＝∠D，∠1＝∠2，要得到△ABC≌△DEF，添加一个条件可以是DF＝AC 或CD＝AF．．解：∵∠1＝∠2，∠D＝∠A，∴要得到△ABC≌△DEF，必须添加条件DF＝AC或CD＝AF．故答案为：DF＝AC或CD＝AF．12．如图，在边长为1的正方形网格中，两格点A，B之间的距离为d＜3．（填“＞”，“＝”或“＜”）．解：由勾股定理得，AB＝＝＝2，∵＜，∴2＜3，故答案为：＜．13．如图，AD、BE是等边△ABC的两条高线，AD、BE交于点O，则∠AOB＝120度．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ABC＝60°，∵AD、BE是等边△ABC的两条高线，∴∠BAD＝BAC＝30°，∠ABE＝ABC＝30°，∴∠AOB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故答案为：120．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝26cm，BC的垂直平分线交AB于点D，则点C 与点D的距离是13cm．解：连接CD，∵BC的垂直平分线交AB于点D，∴DC＝DB，∴∠DCB＝∠B，∵∠B+∠A＝90°，∠DCA+∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCA，∴DC＝DA，∴CD＝AB＝13（cm），故答案为：13．15．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？若设AC＝x尺，则可列方程为x2+32＝（9﹣x）2．解：∵设竹子折断处离地面AC＝x尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为BC＝3尺，则斜边为AB＝（9﹣x）尺，根据勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝（9﹣x）2，故答案为：x2+32＝（9﹣x）2．16．如图，正方形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AE⊥EB于E，CF⊥BF于F，AE ＝5，CF＝7，则AF的长为13．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，又∵AE⊥EB于E，CF⊥BF于F，∴∠AEB＝∠BFC＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BF＝AE＝5，CF＝BE＝7，∴EF＝BE+BF＝7+5＝12，在Rt△AEF中，AF＝＝＝13，故答案为：13．17．如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON 于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E．设OA ＝10，DE＝12，则OD＝16．解：连接AB．由作图可知，OA＝OB，OD平分∠AOB，∴OD⊥AB，∵DE⊥OD，∴AB∥DE，∵AD∥BE，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD＝BE，∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠DOE＝∠ADO，∴AD＝OA＝OB＝BE＝10，∴OE＝20，∵∠ODE＝90°，∴OD＝＝＝16．故答案为16．18．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝12，AB＝9，DE⊥AC，CD＝BC，CE＝AC，P是直线AC上一点，把△CDP沿DP所在的直线翻折后，点C落在直线DE上的点H 处，CP的长是10或．解：当P点在E点左边时，如图1，由折叠性质得PC＝PH，DC＝DH，∵∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝9，∴BC＝15，∵CD＝BC，CE＝AC，∴CD＝5，CE＝4，∵DE⊥AC，∴DE＝＝＝3，∴DH＝CD＝5，∴EH＝ED+DH＝8，设PC＝x，则PH＝x，PE＝x﹣4，∵PH2﹣PE2＝EH2，∴x2﹣（x﹣4）2＝64，解得，x＝10，即CP＝10；当P点在E点右边时，如图2，由折叠知，DH＝DC＝5，∴EH＝DH﹣DE＝5﹣3＝2，设PC＝x，则PE＝CE﹣PC＝4﹣x，PH＝x，∵PH2﹣PE2＝EH2，∴x2﹣（4﹣x）2＝4，解得，x＝，即PC＝；综上，PC＝10或．故答案为：10或．三、解答题（共8小题，共54分）19．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．【解答】证明：在△ABE与△ACD中，∴△ABE≌△ACD（ASA）．∴AD＝AE．∴BD＝CE．20．如图，在△ABC中，AC＝20，AD＝16，CD＝12，BC＝15，求AB的长．解：∵AC＝20，AD＝16，CD＝12，∴CD2+AD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，在直角△BCD中，BC＝15，CD＝12，∴BD＝＝9，∴AB＝AD+BD＝25．21．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．（1）在图1中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；（2）在图2中画出∠ABC的角平分线；（3）在正方形网格中存在8个格点，使得该格点与A、C两点构成以AC为腰的等腰三角形．解：（1）如图1中，△A1B1C1即为所求．（2）如图2中，射线BP即为所求．（3）如图2中，使得该格点与A、C两点构成以AC为腰的等腰三角形的格点有8个，故答案为：8．22．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数；（2）已知△ADE的周长7cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为15cm，求OA的长．解：（1）∵∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣40°＝110°，∵DM是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，同理，EA＝EC，∴∠EAC＝∠ACB＝40°，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝110°﹣30°﹣40°＝40°；（2）连接OA，OB，OC，∵△ADE的周长7cm∴AD+DE+EA＝7（cm），∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝7（cm）；∵△OBC的周长为15，∴OB+OC+BC＝15，∵BC＝7，∴OB+OC＝8，∵OM垂直平分AB，∴OA＝OB，同理，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC＝4（cm）．23．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上且CE＝CA，试求∠DAE的度数；（2）如图2，如果把第（1）题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE 的度数会改变吗？说明理由．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝67.5°，∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22.5°，在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112.5°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝112.5°﹣67.5°＝45度；（2）不改变，理由：设∠CAE＝x，∵CA＝CE，∴∠E＝∠CAE＝x，∴∠ACB＝∠CAE+∠E＝2x，在△ABC中，∠BAC＝90°，∴∠B＝90°﹣∠ACB＝90°﹣2x，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝x+45°，在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E，＝180°﹣（90°﹣2x）﹣x＝90°+x，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD，＝（90°+x）﹣（x+45°）＝45°．24．在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是90°．如图，长方形ABCD中，AD＝9cm，AB＝4cm，E为边AD上一动点，从点D出发，以1cm/s 向终点A运动，同时动点P从点B出发，以acm/s向终点C运动，运动的时间为ts．（1）当t＝3时，求线段CE的长；（2）若a＝1，当△CEP是以C为顶点的等腰三角形时，求t的值；（3）连接DP，当点C与点E关于DP对称时，直接写出t与a的值．解：（1）∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，BC＝AD＝9，CD＝AB＝4，当t＝3时，由运动知，BP＝at＝3a，DE＝t＝3，∴CP＝BC﹣BP＝9﹣3a在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE＝＝5；（2）当a＝1时，由运动知，DE＝t，BP＝t，∴CP＝9﹣t，在Rt△CDE中，CE＝，∵△CEP是以CE为腰的等腰三角形，∴①CE＝CP，∴16+t2＝（9﹣t）2，∴t＝②CE＝PE，∴CP＝DE，∴9﹣t＝2t，∴t＝3，即：t的值为3或；（3）如图，由运动知，BP＝at，DE＝t，∴CP＝BC﹣BP＝9﹣at，∵点C与点E关于DP对称，∴DE＝CD，PE＝PC，∴t＝4，∴BP＝4a，CP＝9﹣4a，过点P作PF⊥AD于F，∴四边形CDFP是长方形，∴PF＝CD＝4，DF＝CP，在Rt△PEF中，PF＝4，EF＝DF﹣DE＝5﹣4a，根据勾股定理得，PE2＝（5﹣4a）2+16，∴（5﹣4a）2+16＝（9﹣4a）2，∴a＝．25．阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×ab；（用含字母a、b、c的式子表示）化简证得勾股定理：a2+b2＝c2【初步运用】（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝5：9；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6此时空白部分的面积为28；【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．解：[探索新知]由题意：大正方形的面积＝（a+b）2＝c2+4×ab，∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2【初步运用】（1）由题意：b＝2a，c＝a，∴小正方形面积：大正方形面积＝5a2：9a2＝5：9，故故答案为5：9．（2）空白部分的面积为＝52﹣2××4×6＝28．故答案为28．[迁移运用]结论：a2+b2﹣ab＝c2．理由：由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积可得：（a+b）×k（a+b）＝3××b×ka+×c×ck，∴（a+b）2＝3ab+c2∴a2+b2﹣ab＝c2．26．已知，如图1，线段AB＝10，点C为线段AB上一点，DC⊥AC，DC＝AC＝2，点E 从点C开始，以1cm/s的速度向点B运动，点E的运动过程中，△DEF始终为等腰直角三角形，∠EDF＝90°，DE＝DF，若点E运动的时间为t秒．（1）若t＝4时，点F的运动路程为4．（2）如图2，过点A作直线l⊥AB，取EF的中点M，直线CM与直线l相交于点N，则AN的长是否为定值？若为定值，请求出这个定值，若不是，请用t的代数式表示．解：（1）如图1，当点E'与点C重合时，作出等腰直角三角形DE'F'，连接F'F，∵t＝4，∴CE＝4，∵△DE'F'，△DEF都是等腰直角三角形，∴DE＝DF，DE'＝DF'，∠E'DF'＝∠EDF＝90°，∴∠E'DE＝∠F'DF，在△E'DE和△F'DF中，，∴△E'DE≌△F'DF（SAS），∴E'E＝F'F＝4，故答案为4；（2）如图2，过点F作FG⊥CD，交CD的延长线于点G，延长GF交直线CM与点H，∵FG⊥CD，∴∠G＝∠DCE＝∠FDE＝90°，∴∠GDF+∠CDE＝90°＝∠CDE+∠DEC，∴∠GDF＝∠DEC，在△CDE和△GFD中，，∴△CDE≌△GFD（AAS），∴CD＝GF，CE＝GD，∵点M是EF的中点，∴FM＝EM，∵GH∥CE，∴∠H＝∠HCE，在△MFH和△MEC中，，∴△MFH≌△MEC（AAS），∴FH＝CE，∴GD＝FH，∴GC＝GH，∴∠GCH＝45°，∴∠ACN＝45°＝∠ANC，∴AC＝AN＝2．。
无锡市第一中学高二(上)数学期中复习1
高二数学复习一2014.11.10 班级________姓名__________1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：焦点在x 轴上，焦距是4，且经过点(3,M -：________________ 与椭圆2212x y +=有相同的焦点，且经过点3(1,)2：________________经过点(2,0)P -和(0,3)Q -：___________经过点(4,0),P Q -：______________2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：a b =，一个焦点为F ：__________;经过点：________________ 2a b =，经过点(3,1)-：________________渐近线方程为34y x =±，焦点坐标为(±：________________ 与双曲线22153x y -=有公共渐近线，且焦距为8：________________ 3．若θ是第四象限的角，则方程22sin sin 2x y θθ+=表示的曲线是焦点在______轴上的____________.（填“椭圆”、“双曲线”或“抛物线”）4．若方程222222(2)60k x k y k k -++--=表示椭圆，则k 的取值范围是____________. 5．设双曲线C 以椭圆221259x y +=长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点，则双曲线C 的方程为____________.6．已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线的方程为20x y -=，则该双曲线的离心率____________.7.已知椭圆的焦点为12(6,0),(6,0)F F -，且该椭圆过点(5,2)P .（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上的点00(,)M x y 满足12MF MF ⊥，求0y 的值.8.直线1y ax =+与双曲线2231x y -=相交于,A B 两点.（1）求AB 的长；（2）当a 为何值时，以AB 为直径的圆经过坐标原点？9.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽为22m ，要求通行车辆限高4.5m ，隧道全长为2.5km ，隧道的拱线可近似的看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高h 为6m ，则隧道设计的拱宽l 是多少（精确到0.1m ）？（2）若最大拱高h 不小于6m ，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使建造这个隧道的土方工程量最小（半个椭圆的面积公式为lh S 4π=，柱体体积=底面积⨯高）？作业1．设双曲线2221(0)9x y a a -=>的两条渐近线方程为320x y ±=，则a =____________. 2.椭圆221167x y +=上横坐标为3的点到右焦点的距离为____________. 3．已知双曲线224640x y -+=上一点M 到它的一个焦点的距离等于1，则点M 到另一个焦点的距离为____________.4.已知经过双曲线221168x y -=的一个焦点，且垂直于实轴的直线l 与双曲线交于,A B 两点，则线段AB 的长为____________.5.已知点(2,0)N ，圆22:(2)36M x y ++=，点A 是圆M 上一个动点，线段AN 的垂直平分线交AM 于点P ，则点P 的轨迹方程是____________.6．已知(,0),(,0)(0)M a N a a ->，点P 满足22(0)PM PN b k k b a⋅=->， 试求点P 的轨迹方程_ ． 变式：已知(,0),(,0)(0)M a N a a ->，点P 满足22(0)PM PNb k k b a ⋅=>， 求点P 的轨迹方程 ．7.若椭圆221ax by +=与直线1x y +=交于,A B 两点，M 为AB 的中点，直线(OM O 为原点)的斜率为2，又OA OB ⊥，求,a b 的值.8．已知ABC ∆的顶点,A B 在椭圆2234x y +=上，C 在直线:2l y x =+上，且//AB l ．（1）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC ∆的面积；（2）当90ABC ∠=︒，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．9．椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点.（1）求2211b a +的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围.。
2019-2020学年江苏省无锡市第一中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省无锡市第一中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{0,1}A =，{},1,2B m =，若A B ⊆，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．0C ．0或2D ．1【答案】B【解析】根据集合的包含关系得到实数m 的值. 【详解】因为{0,1}A =，{},1,2B m =，A B ⊆， 所以0m =. 故选：B 【点睛】本题主要考查子集的定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2．函数ln y x = ） A ．[1,)+∞ B ．(0,1)C ．[0,1]D ．(0,1]【答案】D【解析】可看出，要使得原函数有意义，则需满足210x x >⎧⎨-⎩…，解出x 的范围即可． 【详解】要使原函数有意义，则210x x >⎧⎨-⎩…，解得01x <…， ∴原函数的定义域为(0，1]．故选：D ． 【点睛】本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．3．已知()f x 满足()x f e x =，则(1)f =（ ） A ．0B ．1C ．eD ．ln 2【解析】由()f x 满足()xf e x =，利用f （1）0()f e =，能求出结果．【详解】()f x 满足()x f e x =，f ∴（1）0()0f e ==．故选：A ． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4．设20.3a =，0.32b =，2c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得a ，b ，c 的大小关系． 【详解】因为200.30.31a =<=，0.32(1,2)b =∈，22c ==， 所以a b c <<． 故选：A ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属基础题． 5．函数()33log f x x x =-+的零点所在区间是( ) A ．()0,1 B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,+∞【答案】C【解析】计算各区间端点的函数值，根据零点的存在性定理判断． 【详解】()f x 在()0,+∞上为增函数，且()120f =-<，()3321log 21log 30f =-+<-+=，()33log 310f ==>，()()230f f ∴<，()f x ∴的零点所在区间为()2,3．故选：C ．本题考查了函数零点的存在性定理，对数运算，属于基础题.6．已知函数()f x 与函数()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x +=++，则(1)(1)f g -=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】根据题意，由函数的解析式可得(1)(1)(1)111f g -+-=-++=，结合函数的奇偶性可得(1)(1)f g f -+-=（1）g -（1），即可得答案． 【详解】根据题意，32()()1f x g x x x +=++，则(1)(1)(1)111f g -+-=-++=， 又由函数()f x 与函数()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数， 则(1)(1)(1)(1)f g f g -+-=-， 故f （1）g -（1）1=； 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．7．已知关于x 的方程22(28)160x m x m --+-=的两个实根为12,x x 满足123,2x x <<则实数m 的取值范围为（ ） A ．4m < B ．142m -<< C ．742m << D ．1722m -<< 【答案】D【解析】利用二次方程实根分布列式可解得. 【详解】设22()(28)16f x x m x m =--+-,根据二次方程实根分布可列式:3()02f <,即2233()(28)16022m m --⨯+-<, 即241270m m --<,解得:1722m -<<. 故选D. 【点睛】本题考查了二次方程实根的分布.属基础题.8．已知函数()()1,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．516B ．54C ．52D ．5【答案】A【解析】先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值. 【详解】22221114log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222244416log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22216log 516log 5log 116522161615log 0,log 2255216f⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫>∴====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选A. 【点睛】本题考查分段函数和对数运算，属于基础题. 9．已知函数2()1xf x x =+，关于()f x 的性质，有以下四个推断： ①()f x 的定义域是(,)-∞+∞； ②()y f x =与(1)=-y f x 的值域相同； ③()f x 是奇函数； ④()f x 是区间(0,2)上的增函数. 其中推断正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对于①，求函数的定义域再判断；对于②，利用图象变换分析判断得解；对于③，利用函数的奇偶性判断；对于④，举出反例即可判断得解. 【详解】根据题意，依次分析4个推断， 对于①，函数2()1xf x x =+，定义域是(,)-∞+∞，所以①正确； 对于②，()y f x =的图象向右平移一个单位得到(1)=-y f x 的图象，两者的值域相同，所以②正确；对于③，2()1x f x x =+，2()()1xf x f x x -=-=-+，则()f x 为奇函数，所以③正确； 对于④，2()1x f x x =+，则f （1）12=，3362()921314f ==+，有f （1）3()2f >，故()f x 在区间(0,2)上不是增函数， 则4个推断中有3个是正确的； 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性以及定义域、值域的分析，属于基础题． 10．性质①()(),f x f x x R -=∈；②在(0,)+∞对任意1212,()x x x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x --<.下列函数中，性质①②均满足的是（ ）A ．31y x =-+B ．221,01,0x x x y x x x ⎧--+≥=⎨--<⎩C ．411y x =- D．)y x x =【答案】D【解析】根据①可知()f x 在R 上为偶函数，选项A 不是偶函数，选项B 不是偶函数，选项C 的定义域不是R ，从而排除选项A ，B ，C ，从而只能选D ． 【详解】根据①知()f x 在R 上为偶函数，根据②知()f x 在(0,)+∞上为减函数， 选项A 的函数为非奇非偶函数，A ∴错误； 选项B 的函数为奇函数，B ∴错误；选项C 的函数的定义域是{|1}x x ≠±，不是R ，C ∴错误； 排除选项A ，B ，C ，D ∴正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查了偶函数、奇函数和非奇非偶函数的定义及判断，减函数的定义，排除法做选择题的方法，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．二、填空题11．函数212log (32)y x x =-+的单调递增区间是（ ） A (,1)-∞ B (2,)+∞ C 3(,)2-∞ D3(,)2+∞ 【答案】A【解析】由二次函数的性质和复合函数的单调性及函数的定义域可得结论． 【详解】由题可得x 2-3x+2＞0，解得x ＜1或x ＞2，由二次函数的性质和复合函数的单调性可得函数()212log 32y x x =-+的单调递增区间为：（-∞，1）故选：A ． 【点睛】本题考查对数函数的单调性和复合函数的单调性，属基础题．12．已知一次函数()f x 满足条件(1)()2f x f x x ++=，则函数()f x 的解析式为()f x =__________.【答案】1()2f x x =-【解析】先设()f x kx b =+，0k ≠，然后根据(1)()2f x f x x ++=，代入后根据对应系数相等可求k ，b ，即可求解． 【详解】设()f x kx b =+，0k ≠， (1)()2f x f x x ++=， (1)2k x b kx b x ∴++++=，即222kx k b x ++=，∴2220k k b =⎧⎨+=⎩，解可得，1k =，12b =-， 1()2f x x ∴=-故答案为：1()2f x x =- 【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解函数的解析式，属于基础试题． 13．函数log (23)2a y x =-+的图象恒过定点P ，P 在幂函数()f x x α=的图象上，则(9)f =_________. 【答案】13【解析】先求出点P 的坐标，再代入幂函数()f x x α=的解析式求得α，即可得f （9）．【详解】令231,2x x -=∴=，所以y =，即P ； 设()f x x α=，则2α=，12α=-； 所以12()f x x -=，1(9)3f =故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及幂函数的性质，属于容易题．主要方法是待定系数法．14．已知函数25,1(),1x ax x f x ax x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞上单调递増，则a 的取值范围是________.【答案】32a --≤≤【解析】先确定二次函数25y x ax =---在(),1-∞上单调递增，需12ax =-≥和反比例函数在上()1,+∞单调递增，需0a <，与此同时还需满足当1x =时，二次函数的函数值小于或等于反比例函数的函数值，从而得出a 的取值范围。
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y2 b2
= 1(a
b 0) 的一个焦点， P 为椭圆 C 上一点，O 为坐标
原点，若 POF 为等边三角形，则椭圆 C 的离心率为 ▲ .
16.如图，在 ABC 中，| AB |= 4 ，点 E 为 AB 的中点，点 D 为线段 AB
垂直平分线上的一点，且| DE |= 3 5 ，固定边 AB ，在平面 ABD 内移
A.双曲线 C 的方程为 x2 − y2 = 1 3
B.双曲线 C 的离心率为 3
C.曲线 y = ex−2 −1 经过双曲线 C 的一个焦点 D.焦点到渐近线的距离为1
11.下列说法正确的是
A.“ a b ”是“ ac2 bc2 ”的必要不充分条件
B.“ x 1 ”是“ x2 1”的充分不必要条件
17.（本小题满分 10 分）
已知公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， a1 = 1且 a2 , a4 , a8 成等比数列.
(1)求 {an } 的通项公式；
(2)已知 bn
=
1 Sn
+ 2an
，求数列{bn} 的前 n
项和 Tn
.
▲▲▲
18.（本小题满分 10 分）
已知命题
p
：“曲线 C1 :
所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之
差或者高次差成等差数列，如数列 1,3,6,10，前后两项之差得到新数列 2,3,4，新数列 2,3,4
为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后
一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前 7 项分别为 3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第
江苏省无锡市第一中学 2020—2021 学年第一学期期中试卷
高二数学
2020.11
命题：吴明飞
审核：程言峰
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.如果命题 p : x 2 ，命题 q : x 2 ，那么命题 p 是命题 q 的
4.已知等比数列{an}的各项均为正实数，其前 n 项和为 Sn ，若 a3 = 4 ， a2 a6 = 64 ，则
S5 =
A.32
B.31
C.64
D.63
5.若椭圆 x2 + y2 = 1的焦距为 2，则实数 m 的值为 9 m+3
A.5
B.2
C.2 或 9
D.5 或 7
6.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，
x2 4m − 3
+
y2 m2
= 1表示焦点在 x
轴上的椭圆”，命题 q
：“曲线
C2
:
x2 m−
t
+
m
y2 −t
−1
= 1表示双曲线”.
（1）若 p 是真命题，求实数 m 的取值范围；
（2）若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 t 的取值范围．
▲▲▲
19.（本小题满分 12 分）
已知直线 l : y = kx+ m 与椭圆 x2 + y2 = 1交于 A, B 两点. 4
A.爆炸点在以 A, B 为焦点的椭圆上
B.爆炸点在以 A, B 为焦点的双曲线的一支上
C.若 B 监测点的声强是 A 监测点的 4 倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到 B 监
测点的距离为 680 米 3
D.若 B 监测点的声强是 A 监测点的 4 倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到 B 监 测点的距离为 680 米
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2.在平面内，到直线 x = −2与到定点 P(2,0) 的距离相等的点的轨迹是
A.抛物线
B.双曲线
C.椭圆
D.直线
3.在等差数列{an}中， a3 + a4 + a5 = 6 ，则 a1 + a7 =
2
B. 3
C. 4
D.5
中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得
0 分.
1
9.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，若 S3 = 0 ， a4 = 8 ，则有
A. Sn = 2n2 − 6n B. Sn = n2 − 3n
C. an = 4n − 8
D. an = 2n
( ) 10.已知双曲线 C 过点 3, 2 且渐近线方程为 y = 3 x ，则下列结论正确的是 3
动顶点 C ，使得 ABC 的内切圆始终与 AB 切于线段 BE 的中点，且 C、D 在直线 AB 的异侧，在移动过程中，当| CD | − | CA| 取得最大值
时， ABC 的面积为 ▲ .
2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答。解答时应
写出文字说明、证明过程或演算步骤.
8.数列{an}是等差数列，a5 = 6a12 0 ，数列{bn} 满足 bn = an+1an+2an+3 ，n N* ，设 Sn
为{bn} 的前 n 项和，则当 Sn 取得最大值时， n 的值等于
A.9
B.10
C.11
D.12
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项
C.“ ac = b2 ”是“ a、b、c 成等比数列”的充要条件
D.设{an}是公比为 q 的等比数列，则“ q 1”是“{an}为递增数列”的充分必要条件
12.已知 A, B 两监测点间距离为 800 米，且 A 监测点听到爆炸声的时间比 B 监测点迟 2 秒，
设声速为 340 米/秒，下列说法正确的是
19 项为
A. 184
B. 174
C. 188
D. 160
7.已知数列{an}满足 a1
=
1 2
，an+1
=
1 2
an (n
N*)
．设 bn
=
n
− 2 an
，n N*
，且数列{bn }
是单调递增数列，则实数 的取值范围是
A. (−,1)
B. (−1, 3) 2
C. (−, 3) 2
D. (−1,2)
（1）在 k = 0 ， 0 m 1 条件下，求 AOB 的面积 S 的最大值；
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把答案直接填写在答．题．
卡．相．应．位．置．上．.
13.命题“ x R，x2 0 ”的否定是 ▲ .
14.椭圆 x2 + y2 = 1的右焦点为 F ，以点 F 为焦点的抛物线的标准方程是
▲
.
4
15.已知 F
是椭圆 C :
x2 a2
+