不等式的证明--均值定理

作业
课本P48,习题2-1,B.4
这个也是均值定理 均值定理
练习:1
若a > 0, b > 0, c > 0
) ;
a, b, c的算术平均数是 a + b + c (
3
a, b, c的几何平均数是
(
3
abc
)
2
对于一正数数列 {a n }
)
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n 的算术平均数是 ( a 1 + a 2 + ... + a n n a1 , a 2 ,..., a n的几何平均数是 ( n a a ... a )
均值定理
教学目标:
1.掌握均值定理 2.会用均值定理证明不等式
知识回顾
学过的不等式证明方法:作差比较法 作差比较法的要领是:1,作差;2,与0比较
a > b ⇔ a = b ⇔ a < b ⇔
a − b > 0 a − b = 0 a − b < 0
课前练习
课本P47,A,3(1),(3)
3.已知 : a ∈ R , 求证 : (1) a 2 + 7 > 5a;
例5
a + b ≥ ab , ( a > 0 , b > 0 ), 求证 : 2 当且仅当 a = b 时 ， 等号成立 .
a + b − 2 ab a +b 证明 : Q − ab = 2 2 ( a)2 +( b)2 −2 a b ( a − b)2 = = ≥0 2 2 a+b ∴ ≥ ab 2
1 2 n
练习3
求证:
对 ∀ 实数 a , 都有 a 2 + 4 ≥ 4 a , 并说明 ， 当且仅当 a = 2时 ， 等号成立 .
证明 : 由均值定理知 ，
a2 + 4 = a 2 + 22 ≥ 2 ⋅ a ⋅ 2 = 4 a
∴a 2 + 4 ≥ 4a
当a = 2时， 代入上式 等号成立: ， 要使a 2 + 4 = 4a， 即a 2 + 4 − 4a = 0, 也就是(a − 2) 2 = 0.故a = 2.
5 5 证明: (1)Qa + 7 − 5a = a − 5a + − + 7 2 2 52 3 = (a − ) + > 0 2 4 ∴a2 + 7 > 5a
2 2
(3) a 2 + 1 ≥ 2 a;
2
2
(2) Q a 2 + 1 − 2a = (a − 1) 2 ≥ 0 ∴ a 2 + 1 ≥ 2a
= a 2 + 12 ≥ 2a (2 2 + 1 ≥ 2a
当且仅当 a = 1时 ， 取等号 。
课堂练习
P 47.练习B.6.已知 : a > 0, b > 0, 求证 : 9 a b (1)a + ≥ 6; (2) + ≥ 2. a b a 9 9 (1)证明 : 由均值定理知 ，a + ≥ 2 a ⋅ = 2 ⋅ 3 = 6 a a
当且仅当 9 a = 时 ， 即 a = 3时 ， 等号成立 a
a b a b ( 2 )证明 : 由均值定理知 ， + ≥ 2 ⋅ = 2⋅ b a b a
当且仅当 a b = 时 ， 即 a = b 时 ， 等号成立 . b a
小结
本节学习两个重要的均值定理:
a+b 若 a > 0, b > 0, 则 ≥ ab .(当且仅当 a = b 时 ， 等号成立 ) 2 若 a , b ∈ R , 则 a 2 + b 2 ≥ 2 ab .(当且仅当 a = b 时 ， 等号成立 )
当且仅当a = b时， 等号成立.
课堂识记
a +b 则有 ≥ 若a > 0, b > 0， 2 ab 当且仅当 a = b 时 ， 取等号
此为均值定理
我们把
a+b 叫做a, b的算术平均数 2 我们把 ab 叫做 a , b 的几何平均数
思考:两个正实数的算术平均数和它的几何平均数比较,哪个大?
若a, b ∈ R， 则有 a 2 + b 2 ≥ 2 ab 当且仅当 a = b 时 ， 取等号
所以 ， 当且仅当 a = 2时 ， 等号成立 。
练习4
P 47 . 3 .已知 : a ∈ R , 求证 (1) a 2 + 7 > 5 a ; (3) a 2 + 1 ≥ 2 a ;
(1)证明 : a + 7 =a +( 7) ≥ 2 ⋅ a ⋅ 7 = 28a > 25a Q
2
2 2
∴ a 2 + 7 > 5a