最新第一节-复数及其代数运算课件ppt
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第一节 复数及其代数运算
若 z = x + iy ,
则 z = x − iy .
例2 计算共轭复数 = x + yi 与 z = x − yi 的积 z . 解
( x − yi )( x + yi ) = x − ( yi ) = x + y .
2 2 2 2
结论：两个共轭复数 z, z 的积是实数.
即 zz = x + y . ：
3) Im(i + z ) = 4 .
解：1) 表示与 −i 的距离等于 2 的所有复数 z 的集合 的集合. 为圆心， 为半径的圆. 此曲线是以 −i 为圆心，2 为半径的圆
y
o
2
⋅ −i
x
24
2) | z − 2i | = | z + 2 | ;
20
（3）三角表示法 ）
x = r cosθ , 利用直角坐标与极坐标的关系 y = r sinθ ,
复数可以表示成 z = r (cosθ + i sinθ ) （4）指数表示法 ） 利用欧拉公式 e iθ = cosθ + i sinθ , 复数可以表示成
z = re iθ
的指数表示式. 称为复数 z 的指数表示式
解
(5 − 5i )( −3 − 4i ) z1 5 − 5i = = z2 − 3 + 4i ( −3 + 4i )( −3 − 4i ) ( −15 − 20) + (15 − 20)i 7 1 = = − − i. 25 5 5
z1 7 1 = − + i. 5 5 z2
4
2 例1 实数 m 取何值时 , 复数 ( m − 3m − 4) +
复数的基本概念及运算ppt课件
8.点M是△ABC所在平面内的一点,且满足 AM =
3 4
AB +
1 4
AC
,
则△ABM与△ABC的面积之比为_____.
类似题：《作业手册》P251 选做2
（10分）已知△ABC中, AB = a , AC = b ,对于平面ABC上 任意一点O,动点P满足 OP = OA +λa +λ b ,则动点P的轨. 迹是什么?其轨迹是否过定点,并说明理由.
（1）i4n=1; i4n+1=i; i4n+2=-1 i4n+3=-i
(2)in+in+1+in+2+in+3=0；
(3) (1±i)2=±2i ；
(4) 1 i i, 1 i i; 1i 1 i
(5) 设 ω - 1 3 i 则 22
ω3 1，ω2 ω，ω2 ω 1 0.
EX1:《创新》P213 例3
今晚自修①《作业手册》P315
4. 复数 z = a+bi 的模、共轭复数的概念:
| z | a2 b2
z a bi
5. 复数相等:
a=c
a+bi=c+di (a,b,c,d∈R)
b=d
注意 : 两个虚数不能比较大小!
二、复数的代数形式及运算法则
设 z1 a bi, z2 c di (a,b,c,d R) 加减法：(a bi) (c di) (a c) (b d)i
(2)(3 4i) (1 2i) 2 2i (3)a = 0是复数z = a + bi为纯虚数的必要不充分条件 (4)z = z是复数z R的充要条件 (5)若z z 0，则复数z为纯虚数 (6)任意两个复数不能比较大小 以上说法正确的有 __________
复数课件ppt免费
02
复数的应用
Chapter
电路分析中的应用
电路分析中，复数是一种常用的数学工具，用于描述交 流电路中的电压、电流和阻抗等参数。
通过使用复数表示，可以简化计算过程，方便分析和设 计电路。
复数在交流电路分析中的应用包括计算交流阻抗、交流 功率和交流电流等。
信号处理中的应用
在信号处理中，复数常用于表示和处 理信号，如频谱分析和滤波器设计等 。
复数在信号处理中的应用还包括数字 滤波器设计和数字信号处理算法的实 现等。
通过将信号表示为复数形式，可以方 便地进行信号的频域分析和处理，如 傅里叶变换和离散余弦变换等。
控制系统中的应用
在控制系统中，复数常用于描 述系统的传递函数和稳定性等 特性。
通过使用复数表示，可以方便 地分析系统的频率响应和稳定 性，以及设计控制系统的参数 。
实例
$2(cos frac{pi}{3} + i sin frac{pi}{3}) + 1(cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4}) = sqrt{3}(cos frac{7pi}{12} + i sin frac{7pi}{12})$。
指数形式的计算
定义
复数指数形式是 $re^{itheta}$，其中 $r$ 是模长，$theta$ 是辐角 。
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目录
• 复数的基本概念 • 复数的应用 • 复数的计算方法 • 复数的历史发展 • 复数的扩展知识
01
复数的基本概念
Chapter
复数的定义
总结词
复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i 是虚数单位。
3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义课件人教新课标
复数的减法法则：
（a+bi）－（c+di）=(a－c)+(b－ d)i
点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法 则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。
归纳总结
一、复数加法与减法的运算法则
即：两个复数相加(减)就是实部与实部,虚 部与虚部分别相加(减).结果还是一个复数。
例题讲授
例1、计算(5－6i )+(-2－i) － (3+4i)
y
Z2
| z1 z2 || (a c) (b d )i |
Z1
(a c)2 (b d )2
0
x
❖复平面内两点距离就是对应两个复数的差的模
已知复数z对应点A,说明下列各 式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)| 点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
点A到点(－1, －2)的距离
z1=a1+b1i， z2=a2+b2i ，z1+z2=？
我们规定复数的加法法则：
（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0， d=0时与实数加法法则保持一致。 （2）两个复数的和仍然是一个复数。对于复数的 加法可以推广到多个复数相加的情形。
距离。
|z|=
z=a+bi Z (a,b)
y
O
x
思考：
(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
(2)这些复数对应的点在复平面上构 成怎样的图形？
满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形？
（a+bi）－（c+di）=(a－c)+(b－ d)i
点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法 则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。
归纳总结
一、复数加法与减法的运算法则
即：两个复数相加(减)就是实部与实部,虚 部与虚部分别相加(减).结果还是一个复数。
例题讲授
例1、计算(5－6i )+(-2－i) － (3+4i)
y
Z2
| z1 z2 || (a c) (b d )i |
Z1
(a c)2 (b d )2
0
x
❖复平面内两点距离就是对应两个复数的差的模
已知复数z对应点A,说明下列各 式所表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)| 点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
点A到点(－1, －2)的距离
z1=a1+b1i， z2=a2+b2i ，z1+z2=？
我们规定复数的加法法则：
（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0， d=0时与实数加法法则保持一致。 （2）两个复数的和仍然是一个复数。对于复数的 加法可以推广到多个复数相加的情形。
距离。
|z|=
z=a+bi Z (a,b)
y
O
x
思考：
(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
(2)这些复数对应的点在复平面上构 成怎样的图形？
满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形？
复数的代数运算乘除ppt课件
思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么
ห้องสมุดไป่ตู้
2a
2bi
a2 b2
另外不难证明:
引例：化简 1 2 (1 2)(2 3) 2 3 (2 3)(2 3)
复数除法的法则:
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac
复数的乘法与多项式的乘法是类似的.
例3设 Z 1 2 3i, Z 2 3 2i, 计算：
（1）Z 1
•
Z
; ( 2)
2
2
Z1
练习．计算：
（1） (1 4i) (1 4i)
（2） (1 4i) (7 2i) (1 4i)
（3） (3 2i)2
共轭复数：两复数 a bi与a bi 叫做互为共轭复数，当 b 0时
即对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有
z1 z2 z2 z1 , (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ), z1(z2 z3 ) z1z2 z1z3.
例 2．计算：
（1） (1 4i)(7 2i)
（2）(7 2i)(1 4i)
（3）[(3 2i)(4 3i)](5 i) （4）(3 2i)[(4 3i)(5 i)]
(a+bi)÷(c+di)=
ac c2
bd d2
bc c2
ad d2
i
2.共轭复数
两复数 a bi与a bi 叫做互为共轭复数；两复数互为共轭 复数，则它们的乘积为实数。
四、正本作业：课本 68 页习题 1（3）（4）（5）（6）
1 i2 i
补充：（1）
i3
（2） i i2 i3 i4 i5
《复数的概念》课件
乘法与除法
总结词
理解复数的乘法与除法规则，掌握与共轭复数相关的运算方 法。
详细描述
复数的乘法与除法可以通过将分母转化为共轭复数并约分来 实现。例如，对于两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，其乘积为 $(ac-bd) + (ad+bc)i$，除法运算则需要利 用共轭复数进行化简。
共轭复数与模运算
总结词
理解共轭复数的概念，掌握模运算的方法。
详细描述
共轭复数是改变一个复数的虚部的符号得到的复数。模运算则用于表示一个复数 的大小，定义为 $|z| = sqrt{a^2 + b^2}$，其中 $z = a + bi$。模运算在解决 实际问题中具有广泛的应用，如物理、工程等领域。
03
复数可以用向量表示，向量的起点为 原点，终点为复平面上对应点的位置 。
02
复数的运算
加法与减法
总结词
理解复数的加法与减法规则，掌握实部与虚部的运算方法。
详细描述
复数的加法与减法可以通过实部和虚部分别进行运算，最终合并结果。例如， 对于两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，其和或差为 $(a+c) + (b+d)i$ 或 $(a-c) + (b-d)i$。
02
复数可以用来表示具有实数和虚 数部分的量，广泛应用于数学、 物理、工程等领域。
复数的形式
01
02
03
代数形式
复数可以用实部和虚部的 形式表示，如z=a+bi，其 中a和b是实数，i是虚数 单位。
三角形式
复数可以用模长和幅角的 形式表示，如z=r(cosθ+i sinθ)，其中r是模长，θ是 幅角。
复数的表示及其运算页PPT文档
cos3
10
,
co5ssin25
sin
3
10
,
zcos3isin3
10 10
3 i
e 10
.
思考题1
复数为什么不能比较大小？
参考答案
观察复 i和 数 0, 由复数的定义i 可0, 知 (1)若i0, 则 ii0i, 即 10,矛;盾 (2)若i0, 则 ii0i, 同样 10,有 矛. 盾 由此可见, 在复数中无法定义大小关系.
小结
本课学习了复数的有关概念、性质、四种表 示形式及相关的运算. 重点掌握复数的四种表示 形式（代数形式、几何形式、三角形式、指数形 式），复数的模和辐角是表示后三种形式的重点.
例 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
( 1 )z 1 2 2 i; ( 2 )z 1 2 + 2 i;
r z 124 4,
z在 第 二 象 限 ,
arctan 122+πarctan（-
3)
3
5, 6
z4cos56isin56
5 i
4e6 .
(3) zsinicos
5
5
显r然 z1,
sin5cos25
的 观 念 ， 这 称 为 复 数 的 点 表 示 法 .
y
横 轴 即 x轴 上 的 点 对 应 复 数 的 实 部 ，
虚轴
所 以 也 称 x轴 为 实 轴 ；
y
纵 轴 即 y轴 上 的 点 对 应 复 数 的 虚 部 ，Leabharlann zxiy (x, y)
所 以 也 称 y轴 为 虚 轴 ；
oxx
由 实 轴 和 虚 轴 确 定 的 平 面 称 为 复 平 面 . 实轴
《复数的加减乘除》课件
复数在物理学、工程学等领域中广泛应用，有 助于解决实际问题。
结论和总结
复数的加减乘除是解决复杂计算和问题的重要工具。我们学习了复数的概念 和表示方法，并探讨了复数运算的规律和实际应用。复数在数学和应用科学 中具有重要意义。
将复数的实部和虚部分别相减。
复数的乘法和除法
复数相乘相当于根据实部和虚部的乘法规则计算得出的结果。复数相除相当于根据实部和虚部的 除法规则计算得出的结果。
复数乘法
将复数的实部和虚部分别相乘。
复数除法
将复数的实部和虚部分别相除。
复数运算的公式和规律
复数运算有很多公式和规律，如共轭复数的定义和性质，复数的模、辐角等。
1 共轭复数
共轭复数是实部相同但虚部符号相反的复数。
2 复数的模
复数的模表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理计算。
3 复数的辐角
复数的辐角表示复数与正实数轴的夹角，可以通过三角函数计算。
实际应用举例
复数在物理学、电气工程、控制理论等领域有广泛的应用。以下是一些实际应用的举例：
电路分析
复数可以用来描述电路中的电压、电流等复杂的参数。
《复数的加减乘除》PPT 课件
本课件将介绍复数的概念和表示方法，探讨复数的加法和减法，讨论复数的 乘法和除法，并解释复数运算的公式和规律。我们还会给出实际应用的举例， 进一步探讨复数的重要性和意义，并在结论中进行总结。
复数的概念和表示方法
复数由实部和虚部组成，可以用实数a和b表示为a+bi的形式。实部表示实数部分，虚部表示虚数 部分。
复数表示法
复数可以用直角坐标形式或极坐标形式来表 示。
复平面图
可以使复数图
将复数在复平面图上绘制，可以形成复数图。
结论和总结
复数的加减乘除是解决复杂计算和问题的重要工具。我们学习了复数的概念 和表示方法，并探讨了复数运算的规律和实际应用。复数在数学和应用科学 中具有重要意义。
将复数的实部和虚部分别相减。
复数的乘法和除法
复数相乘相当于根据实部和虚部的乘法规则计算得出的结果。复数相除相当于根据实部和虚部的 除法规则计算得出的结果。
复数乘法
将复数的实部和虚部分别相乘。
复数除法
将复数的实部和虚部分别相除。
复数运算的公式和规律
复数运算有很多公式和规律，如共轭复数的定义和性质，复数的模、辐角等。
1 共轭复数
共轭复数是实部相同但虚部符号相反的复数。
2 复数的模
复数的模表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理计算。
3 复数的辐角
复数的辐角表示复数与正实数轴的夹角，可以通过三角函数计算。
实际应用举例
复数在物理学、电气工程、控制理论等领域有广泛的应用。以下是一些实际应用的举例：
电路分析
复数可以用来描述电路中的电压、电流等复杂的参数。
《复数的加减乘除》PPT 课件
本课件将介绍复数的概念和表示方法，探讨复数的加法和减法，讨论复数的 乘法和除法，并解释复数运算的公式和规律。我们还会给出实际应用的举例， 进一步探讨复数的重要性和意义，并在结论中进行总结。
复数的概念和表示方法
复数由实部和虚部组成，可以用实数a和b表示为a+bi的形式。实部表示实数部分，虚部表示虚数 部分。
复数表示法
复数可以用直角坐标形式或极坐标形式来表 示。
复平面图
可以使复数图
将复数在复平面图上绘制，可以形成复数图。
3.2.2复数代数形式的乘除运算课件人教新课标1
【即时练】
若
z＝1
i
2i
，则复数
z
等于(
)
A．－2－i
B．－2＋i
C．2－i
D．2＋i
【解析】选D.由
z＝1 2i i
(1 2i) (－i)
i －i
2－i，
故z =2＋i.
【题型示范】
类型一 复数代数情势的乘法运算
【典例1】
(1)已知x，y∈R，i为虚数单位，且xi-y=-1+i，则(1+i)x+y的
【自主解答】(1)选B.由复数的几何意义知，z1=－2－i，
z2=i，所以 z1 －2－i －1 2i，对应的点在第二象限.
z2
i
2① 1 2i2 31－i －3 4i 3－3i
2i
2i
i i2－i 1 2 i．
2i 5 5 5
②
1－
3i
2
3 i －i
2
3 i
3i
x1y2
x 2 y1 ,
的复数是( )
复数
z
3i
3 i
1
i
(i是虚数单位)对应
A. 3 1 3 1 i C. 3 1 3 1 i
B. 3 1 3 1 i D. 3 1 3 1 i
【解析】选A.由题意，得 z 3 i i 1 3 i 3 1 3 1 i.
【警示误区】注意分析新定义的运算规则中字母的顺序.
(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，பைடு நூலகம் 法公式也适用． (3)常用结论： ①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； ③(1±i)2＝±2i.
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义PPT课件(人教版)
(2)对角线C→A所表示的复数； (3)对角线O→B所表示的复数及O→B的长度. 解 (2)因为C→A＝O→A－O→C， 所以C→A所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为对角线O→B＝O→A＋A→B＝O→A＋O→C， 所以O→B所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 所以|O→B|＝ 12＋62＝ 37.
【训练 2】 (1)已知复平面内的平面向量O→A，A→B表示的复数分别是－2＋i，3＋
2i，则|O→B|＝____1_0___.
(2)若 z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数 z2－z1 所对应的点在第四象限内，则实数 a 的 取值范围是__(_－__∞_，__1_)__. 解析 (1)∵O→B＝O→A＋A→B， ∴O→B表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， ∴|O→B|＝ 12＋32＝ 10. (2)z2－z1＝1＋(a－1)i， 由题意知a－1<0，即a<1.
2.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于( B )
A.8i
B.6
C.6＋8i D.6－8i
解析 根据复数的加法法则得z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝6.
3.设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( D )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
【 训 练 3 】 设 复 数 z ＝ a ＋ bi(a ， b∈R) ， 1≤|z|≤2 ， 则 |z ＋ 1| 的 取 值 范 围 是 __[0_，__3_]__. 解析 由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所 示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点 B(－1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合 时，dmin＝0，当点A与点C(2，0)重合时，dmax＝3，∴0≤|z＋1|≤3.
7.2.2 复数的乘除运算PPT课件(人教版)
A.1＋2iB.12iC.2＋i D.2－i
－
(2)若z (1＋i)＝1－i，则 z＝( D )
A.1－i
B.1＋i
C.－i D.i
解析 (1)31＋ ＋ii＝（ （31＋ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝4－2 2i＝2－i.
－
(2)由z (1＋i)＝1－i，
得－z＝11－ ＋ii＝（1＋（i1）－（i）1－2 i）＝－i，故 z＝i.
D.1＋2i
解析 31＋ －ii＝（ （31＋ －ii） ）（ （11＋ ＋ii） ）＝2＋2 4i＝1＋2i.
－
4.设复数 z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数zi1＋z52的虚部等于____1____.
－
解析 ∵zi1＋z52＝2－i i＋1＋5 3i＝i（25＋i）＋15＋35i
＝－15＋25i＋15＋35i＝i，
题型三 复数范围内解方程
【例3】 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数). (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否为方程的根. 解 (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0， 即(b＋c)＋(2＋b)i＝0. ∴b2＋ ＋cb＝＝00，，得bc＝＝2－. 2，∴b＝－2，c＝2. (2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得 x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i也是方程的一个根.
思维升华
1.进行复数的运算时，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其 结果，这样可简化运算过程.例如，1i ＝－i，(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，11＋ －ii＝ i，11－ ＋ii＝－i，a＋bi＝i(b－ai)，ba－＋abii＝i 等.
－
(2)若z (1＋i)＝1－i，则 z＝( D )
A.1－i
B.1＋i
C.－i D.i
解析 (1)31＋ ＋ii＝（ （31＋ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝4－2 2i＝2－i.
－
(2)由z (1＋i)＝1－i，
得－z＝11－ ＋ii＝（1＋（i1）－（i）1－2 i）＝－i，故 z＝i.
D.1＋2i
解析 31＋ －ii＝（ （31＋ －ii） ）（ （11＋ ＋ii） ）＝2＋2 4i＝1＋2i.
－
4.设复数 z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数zi1＋z52的虚部等于____1____.
－
解析 ∵zi1＋z52＝2－i i＋1＋5 3i＝i（25＋i）＋15＋35i
＝－15＋25i＋15＋35i＝i，
题型三 复数范围内解方程
【例3】 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数). (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否为方程的根. 解 (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0， 即(b＋c)＋(2＋b)i＝0. ∴b2＋ ＋cb＝＝00，，得bc＝＝2－. 2，∴b＝－2，c＝2. (2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得 x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i也是方程的一个根.
思维升华
1.进行复数的运算时，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其 结果，这样可简化运算过程.例如，1i ＝－i，(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，11＋ －ii＝ i，11－ ＋ii＝－i，a＋bi＝i(b－ai)，ba－＋abii＝i 等.
高一数学必修课件复数的概念与运算
复数的模
复数$a+bi$的模定义为 $sqrt{a^2+b^2}$，记作$|z|$。模表 示复数在复平面上的点到原点的距离 。
02
复数的四则运算
复数的加法与减法
复数加法定义
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$（$a,b,c,d in mathbf{R}$） 是任意两个复数，则它们的和是
复数与圆的对应关系
一个圆可以用一个复数表示，该复数的模等于圆的半径，辐角等于圆心的横坐 标。通过复数的运算，可以方便地求出圆的方程、判断点与圆的位置关系等。
复数在立体几何中的应用
复数与空间向量的对应关系
在立体几何中，空间向量可以用复数表示。通过复数的运算 ，可以方便地进行向量的加、减、数乘和点积等运算，从而 解决立体几何中的一些问题。
复数与向量的对应关系
复数可以表示为向量，向量的模等于复数的模，向量的辐角等于复数的辐角。因 此，复数的加、减、数乘等运算可以转化为向量的相应运算。
复数在解析几何中的应用
复数与直线的对应关系
在解析几何中，一条直线可以用一个复数表示，该复数的实部和虚部分别对应 直线的斜率和截距。通过复数的运算，可以方便地求出两直线的交点、判断两 直线是否平行等。
复数与旋转的对应关系
复数在极坐标下的表示形式为$r(costheta+isintheta)$，其 中$r$为模长，$theta$为辐角。当复数乘以$i$时，相当于逆 时针旋转$90^circ$，因此可以利用复数进行旋转操作。这在 立体几何中求解旋转体等问题时非常有用。
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复数在物理和工程中的应用
复数在定义
对于任意非零复数z = a + bi，可以表示为z = r(cos θ + i sin θ)的形式，其中r = |z|，θ为z的辐角。
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（二）联系脏腑器官
大肠，肺; 口，下齿，鼻。 （三）主治概要
本经腧穴主要治疗头面、五官、咽喉 病，胃肠病，热病以及经脉循行部位的其 他病证。如头痛、齿痛、咽喉肿痛、鼻病、
、发热、泄痢、上肢外侧前缘疼 痛等。
（四）本经腧穴
本经单侧共20穴，首穴商阳，末穴迎香。 其穴位依次为：商阳、二间、三间、合谷、 阳溪、偏历、温溜、下廉、上廉、手三里、 曲池、肘髎、手五里、臂臑、肩髃、巨骨、 天鼎、扶突、口禾髎、迎香。
z1 z2
z1 z2
;
(2)zz;
(3 )zz R z )2 e I (m z )2 ; (
( 4 ) z z 2 R z )z , e z ( 2 i Iz m ). (
以上各式证明略.
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例3 将下列复数 x表 iy的 示形 为 . 式
(1)1 1 ii7;
(2) i 1且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
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观察复 i和 数 0, 由复数的定义i 可0, 知 (1)若i0, 则 ii0i, 即 10,矛;盾 (2)若i0, 则 ii0i, 同样 10,有 矛. 盾 由此可见, 在复数中无法定义大小关系.
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思考题答案
观察复 i和 数 0, 由复数的定义i 可0, 知 (1)若i0, 则 ii0i, 即 10,矛;盾 (2)若i0, 则 ii0i, 同样 10,有 矛. 盾 由此可见, 在复数中无法定义大小关系.
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第三节 手三阳经
一、手阳明大肠经 （一）经脉循行
起于食指桡侧端，沿上肢外侧前缘上 行，经肩颈，通过面颊，在人中部左右 交叉，止于对侧鼻翼旁，与足阳明胃经 相接。
第一节-复数及其代数运算
第一章 复数与复变函数
第一节 复数及其代数运算
一、复数的概念 二、复数的代数运算 三、小结与思考
一、复数的概念
1. 虚数单位: 实例 :方程 x21在实数集. 中无解 为了解方,引 程入 的一 需i个 ,要新数
称为虚.数单位 对虚数单位的规定: (1) i21; (2) i可以与实数在样 一的 起法 按则 同进行
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二、复数的代数运算
设z 两 1 x 1 i1 复 ,yz 2 x 2 数 i2 , y 1. 两复数的和:
z 1 z 2 ( x 1 x 2 ) i ( y 1 y 2 ). 2. 两复数的积:
z 1 z 2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 2 y 1 x 1 y 2 ). 3. 两复数的商:
(1 52)0(1 52)0 i 7 1i.
25
55
z 1 7 1i. z2 5 5
15
例6 设z13i , 求 R z )e I,m ( z )与 z( z. i 1i
解
z1i13iiiii(13 i(i1 ) 1 ( i)i)
3 2
1 2
i,
Rze) (3, Im z) (1,
2
z z1 2x1 x x 22 2 y y1 22 y2ixx 2y 22 1 x y1 22 y2.
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复数的运算满足
加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 加法对乘法的分配律 乘法运算存在单位元素1，零元素0 每一非零元素有逆元素
10
4. 共轭复数: 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两
或 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 2 R z 1 z 2 ) e .(
17
例8 化 ( 1 )5 简 1 i;2 ( 2 )i i .
解 (1 ) 51i2 xi,y 51i2 (x2y2)2x,yi
x2 y2 5,
x 3 ,y 2 ,
解 (1) 1 i (1 i)2 (1 i )2 i, 1 i (1 i)(1 i) 2
11ii
7
(i)7
i.
(2) i 1i i2 (1 i)2 1 2i 1i i (1 i)i 1 i
(12i)(1i) 3 1i.
2
22
13
例4
计算 i 2 1i i
.
i 1
解
i2 1i i
2
zz Rz)e 2 (Im z)2( 32 12
2 2
5 2
.
16
例7 设z 两 1 x 1 i1 复 ,yz 2 x 2 数 i2 , y 证 z 1 z 2 明 z 1 z 2 2 R z 1 z 2 ) e.(
证 z1z2z1z2 ( x 1 i 1 ) ( x y 2 i 2 ) y ( x 1 i 1 ) x y 2 ( i 2 ) y ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 2 y 1 x 1 y 2 ) ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 2 y 1 x 1 y 2 ) 2 (x 1 x 2 y 1y 2 )2Rz1 ez(2).
个复数称为共轭复数. 与z共轭的复数记 z, 为 若 z x i,y 则 z x i.y
例2 计算共 x轭 y与 i x 复 y的 数 i .积 解 (xy)ix (y)ix2(yi)2 x2y2. 结论： 两个共轭z复 ,z的 数积是一个 . 实数
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5. 共轭复数的性质:
(1 )z1 z2 z1 z2; z1z2z1z2;
(i2)(i1) (1i)(i1)i
i1
i2
i 2i 2 i2 1i
1
2
3i i
(13i)(2i) (2i)(2i)
2(i2)26ii23i2 1i.
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例5
设 z 1 5 5 i ,z 2 3 4 i ,求 zz12
与
z1 z2
.
解 z1 55i (55i)(34i) z2 34i (34i)(34i)
2xy 12
5 1i2 (32 i).
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(2) ixy,i
x2 y2 0, 2xy 1
xy 1 , 2
i
1 2
12i,
i
1 2
12i,
ii2 或 2 i.
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三、小结与思考
本课学习了复数的有关概念、性质及其运 算. 重点掌握复数的运算, 它是本节课的重点.
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思考题
复数为什么不能比较大小？