动能定理综合例题例题

C 2mg
FCx
F
2mRaA ( F mg) R
由动量定理，有
4 F mg 3
vA
A mg
0 FCx maA FCy mg 2mg F
所以
FCy 0
FCx 4.5mg
§13-６ 普遍定理的综合应用举例
3.取梁CK为研究对象。
FKy MK C F'Cy F'Cx

§13-６ 普遍定理的综合应用举例
解：取整体为研究对象，假设轮B的中心C由静止开始沿斜 面向上运动一段距离s，则各力所作功的和为 A M
W12 M mgs sin (
T1 0 1 1 2 1 2 2 T2 J O A mv C J C B 2 2 2 B v 1 J O J C mR 2 A B C R 2
面上，可以无摩擦地滑动。质量为m2的均质圆柱体O由静
止沿斜面AB向下滚动而不滑动。如斜面的倾角为θ ,求三
棱柱的加速度。
A O
C

B
§13-６ 普遍定理的综合应用举例

A
解：取整体为研究对象。
vr

B
v1
O
应用动量定理 因为 Fx 0 ，所以
v1
C
m1g
m2g FN
m1v1 m2 (v1 vr cos ) 0
§13-６ 普遍定理的综合应用举例
例：如图所示两均质圆轮质量均为m，半径为R，A轮 绕固定轴O转动，B轮在倾角为θ的斜面上作纯滚动，B轮 中心的绳绕到A轮上。若A轮上作用一力偶矩为M的力偶， 忽略绳子的质量和轴承的摩擦，求B轮中心C点的加速度、 绳子的张力、轴承O的约束力和斜面的摩擦力。
A M B C O
A
B
C
§13-６ 普遍定理的综合应用举例
z Fx

A
Fy
解：取整体为研究对象。 1.小球A→B 应用动量矩定理
因为 M z 0 ，所以
B
mg P
C
J JB mR B
2
F1x F1z
F1y
应用动能定理 1 1 2 1 2 J B mv B J 2 mgR 2 2 2 J2 2 2m gR J 1 2 2 (J m R ) vB m
h
P
§13-６ 普遍定理的综合应用举例
由于F=F'，开始时系统静止，所以
v A B 2R
代入前面的方程，得
5P 2 v Ph 8g
上式两边求导，得
2 v2 gh 5
4 a g 5
5P va Pv 4g
§13-６ 普遍定理的综合应用举例
例：图示三棱柱体ABC的质量为m1, 放在光滑的水平
x
应用动能定理
m1 m2 vr v1 m2 cos
1 1 1 1 2 2 2 2 m1v1 m2 v2 ( m2 r ) 0 m2 gS sin 2 2 2 2 其中 vr 2 2 2 v2 v1 vr 2v1vr cos r
§13-６ 普遍定理的综合应用举例
K C H A B E
D
§13-６ 普遍定理的综合应用举例
解：1.取整体为研究对象。
1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 T m vA ( 2m R )C m vB 2m vD ( 2m R )D 2 2 2 vA 1 1 vA 式中
C
C
R
C H
E
vD vB
得
2
vA
D
2 R
K
3 2 T mv A 2
D
D
该系统所有力的功率为
vB
vA
A
B
1 P 3mgv B mgv A 2 mgv A
§13-６ 普遍定理的综合应用举例
1 dT aA g P 可解得 由功率方程 dt 6 2.取轮C和重物A为研究对象。 d 1 FCy ( 2mR 2C mv A R) ( F mg ) R C dt 2
§13-６ 普遍定理的综合应用举例
例：图示弹簧两端各系以重物A和B，放在光滑的水平 面上, 重物A和B的质量分别为m1、m2, 弹簧的原长为l0，刚 性系数为k。若将弹簧拉到 l 然后无初速地释放，问当弹簧 回到原长时，重物A和B的速度各为多少？
A
B
l0 l
§13-６ 普遍定理的综合应用举例
A
m1 g
n CA
t CA
t CA
沿铅垂方向投影，得
aC a
l 2
A
FN
C
aC

mg FN 4
mg
vA
vB
m2 g
B
解：取整体为研究对象。 应用动量定理
x
因为
FA
l0
l
FB
0 m1v A m2vB （1）
F
x
0 ，所以
1 1 1 2 2 m1v A m2 vB 0 k (l l0 ) 2 0 2 2 2 2
由(1)、(2)两式解得：

应用动能定理

（2）
vA
km2 (l l0 ) m1 (m1 m2 )
vB
km1 (l l0 ) m2 (m1 m2 )
§13-６ 普遍定理的综合应用举例
例：图示圆环以角速度ω绕铅垂轴AC自由转动。此圆 环半经为R, 对轴的转动惯量为J。在圆环中的点A放一质量 为m的小球。设由于微小的干扰小球离开点A，小球与圆环 间的摩擦忽略不计。求当小球到达点B和C时，圆环的角速 度和小球的速度。
所以
m2 sin 2 a1 g 2 3m1 m2 2m2 sin
§13-６ 普遍定理的综合应用举例
例：物块A、B的质量均为m, 两均质圆轮C、D的质量 均为2m, 半径均为R。C轮铰接于无重悬臂梁CK上, D为动 滑轮，梁的长度为3R，绳与轮间无滑动。系统由静止开始 运动, 求：1.A物块上升的加速度；2.HE段绳的拉力；3.固 定端K处的约束力。
J B J mR 2
§13-６ 普遍定理的综合应用举例
2.小球A→C
z Fx

A
应用动量矩定理
Fy
因为 M z 0 ，所以
mg P
C
J JC
B
解得
C
应用动能定理
F1y F1z
F1x
1 1 2 1 2 JC mv C J 2 2mgR 2 2 2 解得 vC 2 gR
vC 2vC CP l cos 1 2 1 1 1 2 2 T mv C J C m(1 )v C 2 2 2 3 cos 2

vC mg
P
C

由动能定理，得
1 1 l 2 m(1 )vC mg (1 sin ) 2 2 2 3 cos
vA
A
FN
3 (m1 m2 ) 2 1 2 (m1 m2 )v1 m2 gS sin 2 4 m2 cos 2
dS m1 m2 v1 ），得 两边求导（注意： vr dt m2 cos
3 (m1 m2 ) 2 m1 m2 (m1 m2 )v1a1 m2 g v1 sin 2 m2 cos 2 m2 cos
F F
x
0 0
K
FKx F 0
' Cx
FKx K
y
FKy F 0
' Cy
M
解得
0
' Cy
M K 3R F 0
' Cy
FKx 0
' Cy
FKy F FCy 4.5mg
M K 3R F 13.5mgR
§13-６ 普遍定理的综合应用举例
2 C
M mgR sin aC 2mR
§13-６ 普遍定理的综合应用举例
(2)取轮A为研究对象，应用定轴转 动微分方程 J O A M FT R
其中
1 J O mR 2 2
aC A R
y FT
得
1 mg FT (3M mgR sin ) 4R 应用质心运动定理，得 maOx FOx FT cos maOy FOy mg FT sin 因 aox=aoy=0，得 1 (3M mgR sin ) cos FOx FT cos 4R 1 [mgR (4 sin 2 ) 3M sin ] FOy mg FT sin 4R
T2
M mg sin ) s R
B vC C mg Fs FN
A
O
FOy
FOx
mg

v v 1 1 1 2 1 1 2 ( mR 2 )( C ) 2 mv C ( mR 2 )( C ) 2 mvC 2 2 R 2 2 2 R
由动能定理，得
M mv 0 ( mg sin ) s R
§13-６ 普遍定理的综合应用举例
例：两个相同的滑轮A和B，半径各为R，重量各为P， 用绳缠绕连接。两滑轮可视为均质圆轮。系统从静止开始 运动。求轮B质心C的速度v及加速度a与下落距离h的关系。
A
C B
h
§13-６ 普遍定理的综合应用举例
解：取整体为研究对象。
1 1P 2 2 1 1P 2 2 1P 2 ( R ) A ( R )B v 0 Ph 2 2g 2 2g 2g 由运动学知： A Fy A Fy v R A RB Fx A A Fx 取轮A为研究对象 F 1 P 2 d A P P R FR B B 2g dt F' 取轮B为研究对象 C C 1 P 2 dB v v R F 'R B B 2g dt P
例: 均质细长杆为l、质量为m，静止直立于光滑水平 面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的 角速度和地面约束力。
C
A
§13-６ 普遍定理的综合应用举例
解：取杆为研究对象。由于水平方向不受力，到下过程中 质心将铅直下落。设杆左滑于任一角度θ，如图所示，P 为杆的瞬心。由运动学知, 杆的角速度
当 0 时解出
1 vC 3 gl 2
3g l
§13-６ 普遍定理的综合应用举例
杆刚到达地面时。由刚体平面运动微分方程，得
mg FN maC
l ml FN J C 2 12
2
点A的加速度aA为水平,由质心守恒，aC 应为铅垂,由运动 学知
aC a A a a
A
O
A M FOy
FOx
x
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§13-６ 普遍定理的综合应用举例
(3)取轮B为研究对象，应用 质心运动定理，得
B aC F'T
maC F mgsin Fs
' T
B
mg
Fs FN
代入已知量，得
1 Fs ( M mgR sin ) 4R
本问题也可应用相对质心的动量矩定理来求解。