中考数学——平行四边形的综合压轴题专题复习及详细答案

8k b 2 k 1
{
，{
，
2k 8 b 10
∴ 直线 BC : y x 10 ，
联立{
y y
x
x
10
，得
x
y
5 5
，
∴ E(0, 0) ， F (5,5) ．
2．如图，四边形 ABCD 中，AD∥ BC，∠ A=90°，BD=BC，点 E 为 CD 的中点，射线 BE 交 AD 的延长线于点 F，连接 CF． （1）求证：四边形 BCFD 是菱形； （2）若 AD=1，BC=2，求 BF 的长．
【答案】（1）作图见解析；（2） y 2x 5 ， 3 5 ；（3） E(0, 0) ， F (5,5) ．
【解析】 试题分析：（1）连接 AC、BD 交于点 O，作直线 PO，直线 PO 将平行四边形 ABCD 的面积 和周长分别相等的两部分．
（2）连接 AC，BD 交于点 O ，过 O 、P 点的直线将矩形 ABCD 的面积和周长分为分别相
【答案】（1） y x2 2x 3 0 x 3 ；（2）∠ AEC=105°；（3）边 BC 的长为
2 或 1 17 . 2
【解析】 试题分析：（1）过 A 作 AH⊥BC 于 H，得到四边形 ADCH 为矩形．在△ BAH 中，由勾股定 理即可得出结论． （2）取 CD 中点 T，连接 TE，则 TE 是梯形中位线，得 ET∥ AD，ET⊥CD， ∠ AET=∠ B=70°． 又 AD=AE=1，得到∠ AED=∠ ADE=∠ DET=35°．由 ET 垂直平分 CD，得∠ CET=∠ DET=35°，即 可得到结论． （3）分两种情况讨论：①当∠ AEC=90°时，易知△ CBE≌ △ CAE≌ △ CAD，得∠ BCE=30°， 解△ ABH 即可得到结论． ②当∠ CAE=90°时，易知△ CDA∽ △ BCA，由相似三角形对应边成比例即可得到结论． 试题解析：解：（1）过 A 作 AH⊥BC 于 H．由∠ D=∠ BCD=90°，得四边形 ADCH 为矩形．
，
交
BC
于
M
11 2
,
6
，
MN
62
11 2
5 2 2
3
5．
（ 3 ）存在，直线 y x 平分五边形 OABCD 面积、周长．
∵ P(10 5 2,10 5 2) 在直线 y x 上，
∴ 连 OP 交 OA 、 BC 于点 E 、 F ， 设 BC : y kx b ， B(8, 2)C(2,8) ，
在 Rt△ BAD 中，AB= BD2 AD2 3 ， ∵ AF=AD+DF=1+2=3，在 Rt△ BAF 中，BF= AB2 AF 2 =2 3 ．
3．如图，四边形 ABCD 中，∠ BCD=∠ D=90°，E 是边 AB 的中点.已知 AD=1，AB=2. （1）设 BC=x，CD=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域； （2）当∠ B=70°时，求∠ AEC 的度数； （3）当△ ACE 为直角三角形时，求边 BC 的长.
在△ BAH 中，AB=2，∠ BHA=90°，AH=y，HBΒιβλιοθήκη Baidu x 1 ，∴ 22 y2 x 12 ，
则 y x2 2x 3 0 x 3
（2）取 CD 中点 T，联结 TE，则 TE 是梯形中位线，得 ET∥ AD，ET⊥CD， ∴ ∠ AET=∠ B=70°． 又 AD=AE=1，∴ ∠ AED=∠ ADE=∠ DET=35°．由 ET 垂直平分 CD，得∠ CET=∠ DET=35°， ∴ ∠ AEC=70°＋35°=105°． （3）分两种情况讨论：①当∠ AEC=90°时，易知△ CBE≌ △ CAE≌ △ CAD，得∠ BCE=30°， 则在△ ABH 中，∠ B=60°，∠ AHB=90°，AB=2，得 BH=1，于是 BC=2．
轴正半轴上，点 B 坐标为 (8, 6) ．已知点 P(6, 7) 为矩形外一点，请过点 P 画一条同时平分 矩形 OABC 面积和周长的直线 l ，说明理由并求出直线 l ，说明理由并求出直线 l 被矩形 ABCD 截得线段的长度．
问题解决：
（ 3 ）如图③，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABCD 的边 OA 、 OD 分别在 x 轴、 y 轴正半轴上， DC∥x 轴， AB∥y 轴，且 OA OD 8 ， AB CD 2 ，点 P(10 5 2,10 5 2) 为五边形内一点．请问：是否存在过点 P 的直线 l ，分别与边 OA 与 BC 交于点 E 、 F ，且同时平分五边形 OABCD 的面积和周长?若存在，请求出点 E 和 点 F 的坐标：若不存在，请说明理由．
②当∠ CAE=90°时，易知△ CDA∽ △ BCA，又 AC BC2 AB2 x2 4 ，
【答案】（1）证明见解析（2）2 3
【解析】 （1）∵ AF∥ BC，∴ ∠ DCB=∠ CDF，∠ FBC=∠ BFD， ∵ 点 E 为 CD 的中点，∴ DE=EC，
FBC BFD 在△ BCE 与△ FDE 中， DCB CDF ，
DE EC
∴ △ BCE≌ △ FDE，∴ DF=BC， 又∵ DF∥ BC，∴ 四边形 BCDF 为平行四边形， ∵ BD=BC，∴ 四边形 BCFD 是菱形； （2）∵ 四边形 BCFD 是菱形，∴ BD=DF=BC=2，
等的两部分．
（3）存在，直线 y x 平分五边形 OABCD 面积、周长． 试题解析：（1）作图如下：
（ 2 ）∵ P(6, 7) ， O(4,3) ， ∴ 设 PO : y kx 6 ，
6k b 7 k 2
{
，{
，
4k b 3 b 5
∴ y 2x 5，
交
x
轴于
N
5 2
,
0
中考数学——平行四边形的综合压轴题专题复习及详细答案
一、平行四边形
1．问题发现：
（1）如图①，点 P 为平行四边形 ABCD 内一点，请过点 P 画一条直线 l ，使其同时平分 平行四边形 ABCD 的面积和周长．
问题探究：
（ 2 ）如图②，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA 、 OC 分别在 x 轴、 y