集合充要条件与四种命题真假
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线(即PQ 为焦点弦);②P 、O 、M 共线;
③MQ ∥x 轴.若把上述三部分中任两个组合成条件,必定可以导出第三个性质.
图7
【例7】 已知抛物线y 2=2px ,焦点为F ,顶点为O ,经过F 的直线交抛物线于P 、Q 两点,点M 在抛物线的准线上,且MQ ∥x 轴,证明:P 、O 、M 三
点共线.
证:如图7,
∵F (
p
2
,0),
∴经过点F 的直线PQ 的方程可设为
x =my +
p
2
,代入抛物线方程得
y 2
-2pmy -p 2
=0,
设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则y 1,y 2是上面方程的两个根,∴y 1y 2=-p 2.
∵MQ ∥x 轴,且点M 在准线上,
∴点M 的坐标为(-p
2
,y 2),
故直线OM 的斜率为
k =
y 2-p 2
=2p
y 1=y 1x 1
.即k 也是直线OP 的斜率,
∴直线PM 经过原点,即P 、Q 、M 三点共线.【例8】 已知抛物线y 2=2px ,焦点为F ,顶点为O ,PQ 为抛物线的一条弦,连结PO 并延长交准线于M 点,若MQ ∥x 轴,则弦PQ 的长最小值为 .
解:∵P 、Q 、M 三点共线,且MQ ∥x 轴,故PQ 为焦点弦,而焦点弦的长最小值是通径的长,∴弦PQ 的最小值为2p.
学习体验
集合、充要条件与四种命题真假
浙江绍兴市二中 王 琛
高中数学实验课本新增了“简易逻辑”一节,放在“集合”一节之后,并与“集合”共同组成整个高中数学教材的第一章,体现了两者的工具性与重要性,同时还暗示了两者之间的一些内在联系.本文想与大家共同探讨这些内在联系的一部分.
1.集合与充要条件
设满足条件p 的元素x 组成集合为P ,满足结论q 的元素x 组成集合为Q ,则集合与充要条件有以下结论(图为韦恩图):
(1)P 是q 的充分条件ΖP ΑQ.
(2)P 是q 的充分不必要条件ΖP (3)P 是q 的必要条件ΖQ ΑP. (4)P 是q 的必要不充分条件ΖQ (5)P 是q 的充要条件ΖP =Q (如图3).(6)P 是q 的既不充分也不必要条件ΖP ∩Q ≠P 且P ∩Q ≠Q (如图4) . 图1 图2 图3 数学大世界·高中版 2004.1、2 图4 2.集合与四种命题真假关系 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系(新教材第一册(上)第31页): (1)原命题为真,它的逆命题不一定为真.(2)原命题为真,它的否命题不一定为真.(3)原命题为真,它的逆否命题一定为真.与之相应的集合及韦恩图关系如下(以下符号意义同上): (1)原命题“若p 则q ”的集合表示:x ∈P ]x ∈Q (如图5). (2)逆命题“若q 则p ” 不一定为真的集合表示:x ∈Q ]\ x ∈P (如图6).(3)否命题“若 p 则 q ”不一定为真的集合表示:x |P ]\ x |Q (如图6). (4)逆否命题“若 q 则 p ”为真的集合表示:x |Q ]x |P (如图7) . 图5 图6 图7 3.充要条件与四种命题真假关系 (1)p 是q 的充要条件Ζ原命题“若p 则q ”与逆命题“若q 则p ”皆为真命题. (2)p 是q 的充分不必要条件Ζ原命题 “若p 则q ”为真命题且逆命题“若q 则p ”为假命题. (3)p 是q 的必要不充分条件Ζ原命题“若p 则q ”为假命题且逆命题“若q 则p ”为真命题. (4)p 是q 的既不充分也不必要条件Ζ原命题“若p 则q ”与逆命题,“若q 则p ”皆为假命题. 4.应用举例 数学解题中若能充分利用上述集合、充 要条件及四种命题真假关系之间的联系,会使问题的理解更为清晰,解题更为简洁.以下举例说明. 【例1】 已知二次函数y =2x 2-1在区间[a ,b ]上有最小值-1,则下列关系式一定 成立的是 ( ).(A )a ≤0或a <0≤b (B )a <0 (C )a 分析:二次函数y =2x 2-1在区间[a ,b ]上有最小值-1Ζa <0≤b 或a <0≤b ,所以一定成立的选项的范围应比a <0≤b 或a <0≤b 范围大,所以选(A ).【例2】 已知a 为非零实数,x 为某一实数,记命题p :x ∈{-a ,a};命题q :|x |= a 则命题p 成立是命题q 成立的( )条件.(A )充分不必要 (B )必要不充分(C )充分必要 (D )既不充分也不必要分析:命题q 对应集合有可能是空集,此时为命题p 对应集合的真子集,所以答案为B. 【例3】 已知集合M ={x |log a (2-12 x 2 )>log a (a -x )},Z 表示整数集合.若M ∩Z ={1},求实数a 的取值范围. 分析及略解:M ∩Z ={1}充要条件为1∈M ……①且M Α(0,2) ……②. 由①可得a >1;原不等式的同解不等