化归与转化

转化与化归思想1.(优质试题·河南郑州一模)如图是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为()A.8πB.16πC.32πD.64π答案：C解析：由三视图可得，该几何体是四棱锥(如图)，其中底面BCDE ⊥侧面ABC，且底面BCDE为正方形(边长为4)，侧面ABC为等腰直角三角形(AB＝AC＝22)，利用补形可知以A，B，C，D，E为部分顶点的长方体的外接球即为四棱锥A－BCDE的外接球，其半径为R＝（22）2＋（22）2＋422＝22，所以外接球的表面积S＝4πR2＝32π，故选C.2.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A.24对B.30对C.48对D.60对答案：C解析：法一直接法：如图，在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A1C1对应的也有8对，下底面也有16对，这共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对.所以全部共有48对.法二 间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60°，所以成角为60°的共有C 212－12－6＝48.3. （优质试题年高考全国1卷理）图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O 。

D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形。

沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥。

当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______。

【答案】【解析】如下图，连接DO 交BC 于点G ，设D ，E ，F 重合于S 点，正三角形的边长为x (x >0)，则13OG x = x =.∴ 56FG SG x ==-，SO h ====，∴三棱锥的体积21333ABC V Sh x =⋅==.设()455n x x =，x >0，则()3420n x x x '=， 令()0n x '=，即4340x -=，得x =()n x 在x =大值.∴max 4812V ==4.(优质试题·山东泰安模拟)若直线l ：x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)经过点(1，2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________. 答案：3＋22解析：直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b .求直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值即求a ＋b 的最小值.由直线l 经过点(1，2)得1a ＋2b ＝1. 于是a ＋b ＝(a ＋b )×1＝(a ＋b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ， 因为b a ＋2ab ≥2b a ×2ab ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当b a ＝2a b 时取等号.所以a ＋b ≥3＋225.(优质试题·江苏，10)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.答案：63解析：联立方程组⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b 2，解得B 、C 两点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2,又F (c ,0),则FB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得：c 2－34a 2＋b 24＝0①，又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝c a ＝23＝63.6.如图所示，已知A (－2，0)，B (2，0)，C (0，2)，E (－1，0)，F (1，0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围是________．答案： (4，＋∞)解析： 如图所示，从特殊位置考虑．∵点A (－2，0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2，4)，∴直线A 1F 的斜率kA 1F ＝4.∵点E (－1，0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2，1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1，4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴kA 1F ＜k FD ，即k FD ∈(4，＋∞)．7.对于c>0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，3a－4b＋5c的最小值为________．答案：－2解析：设2a＋b＝t，则2a＝t－b，因为4a2－2ab＋4b2－c＝0，所以将2a＝t－b代入整理可得6b2－3tb＋t2－c＝0①，由Δ≥0解得－85c≤t≤85c，当|2a＋b|取最大值时t＝85c，代入①式得b＝c10，再由2a＝t－b得a＝32c10，所以3a－4b＋5c＝210c－410c ＋5c＝5c－210c＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫5c－22－2≥－2，当且仅当c＝52时等号成立.8.如图,在四棱锥PABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC＝∠BAD＝π2,PA＝AD＝2,AB＝BC＝1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.解 以{AB →,AD →,AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,则各点的坐标为B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,2,0),P (0,0,2).(1)因为AD ⊥平面PAB ,所以AD →是平面PAB 的一个法向量,AD →＝(0,2,0).因为PC →＝(1,1,－2),PD →＝(0,2,－2).设平面PCD 的法向量为m ＝(x ,y ,z ),则m ·PC →＝0,m ·PD →＝0,即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.令y ＝1,解得z ＝1,x ＝1.所以m ＝(1,1,1)是平面PCD 的一个法向量.从而cos 〈AD →,m 〉＝AD →·m |AD →||m |＝33, 所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33.(2)因为BP →＝(－1,0,2),设BQ →＝λBP →＝(－λ,0,2λ)(0≤λ≤1),又CB →＝(0,－1,0),则CQ→＝CB →＋BQ →＝(－λ,－1,2λ),又DP →＝(0,－2,2), 从而cos 〈CQ →,DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2.设1＋2λ＝t ,t ∈[1,3],则cos 2〈CQ →,DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －592＋209≤910.当且仅当t ＝95,即λ＝25时,|cos 〈CQ →,DP →〉|的最大值为31010.因为y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数,此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值.又因为BP ＝12＋22＝5,所以BQ ＝25BP ＝255.9.已知f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1，1]，a ＋b ≠0时，有f （a ）＋f （b ）a ＋b＞0成立．(1)判断f (x )在[－1，1]上的单调性，并证明； (2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －1； (3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)任取x 1，x 2∈[－1，1]，且x 1＜x 2， 则－x 2∈[－1，1]．∵f (x )为奇函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f （x 1）＋f （－x 2）x 1＋（－x 2）·(x 1－x 2)．由已知得f （x 1）＋f （－x 2）x 1＋（－x 2）＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在[－1，1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1，1]上单调递增， ∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＋12＜1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，解得－32≤x ＜－1.(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1，1]上单调递增， ∴在[－1，1]上，f (x )≤1. 问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1，1]成立． 下面来求m 的取值范围． 设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，对a ∈[－1，1]恒成立． ②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1，1]恒成立，必须g (－1)≥0，且g (1)≥0，∴m ≤－2或m ≥2.∴m 的取值范围是m ＝0或m ≥2或m ≤－2.10.已知函数f (x )＝x 2－23ax 3(a ＞0)，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1.求a 的取值范围．【解】 (1)由已知，有f ′(x )＝2x －2ax 2(a ＞0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a.) － ＋－↘所以，f (x )的单调递增区间是(0，a)；单调递区间是(－∞，0)，(1a，＋∞)．当x ＝0时，f (x )有极小值，且极小值f (0)＝0；当x ＝1a时，f (x )有极大值，且极大值f (1a )＝13a2.(2)由f (0)＝f (32a )＝0及(1)知，当x ∈(0，32a)时，f (x )＞0；当x ∈(32a，＋∞)时，f (x )＜0.设集合A ＝{f (x )|x ∈(2，＋∞)}，集合B ＝{1f x|x ∈(1，＋∞)，f (x )≠0}．则“对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1”等价于A ⊆B .显然，0∉B . 下面分三种情况讨论：①当32a ＞2，即0＜a ＜34时，由f (32a)＝0可知，0∈A ，而0∉B ，所以A 不是B 的子集．②当1≤32a ≤2，即34≤a ≤32时，有f (2)≤0，且此时f (x )在(2，＋∞)上单调递减，故A ＝(－∞，f (2))，因而A ⊆(－∞，0)；由f (1)≥0，有f (x )在(1，＋∞)上的取值范围包含(－∞，0)，则(－∞，0)⊆B .所以A ⊆B .③当32a ＜1，即a ＞32时，有f (1)＜0，且此时f (x )在(1，＋∞)上单调递减， 故1(,0)(1)B f ， A ＝(－∞，f (2))， 所以A 不是B 的子集．综上，a 的取值范围是[34，32]．11.已知函数f (x )＝nx －x n ,x ∈R ,其中n ∈N *,n ≥2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)设曲线y ＝f (x )与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为y ＝g (x ),求证：对于任意的正实数x ,都有f (x )≤g (x )； (3)若关于x 的方程f (x )＝a (a 为实数)有两个正实根x 1,x 2,求证：|x 2－x 1|＜a1－n＋2. 解:(1) 由f (x )＝nx －x n ,可得f ′(x )＝n －nx n －1＝n (1－x n －1). 其中n ∈N *,且n ≥2,下面分两种情况讨论： ①当n 为奇数时.令f ′(x )＝0,解得x ＝1,或x ＝－1. 当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表：所以,f(x).②当n为偶数时.当f′(x)＞0,即x＜1时,函数f(x)单调递增；当f′(x)＜0,即x＞1时,函数f(x)单调递减；所以,f(x)在(－∞,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减.(2)证明设点P的坐标为(x0,0),则x0＝n1n－1,f′(x0)＝n－n2.曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0),即g(x)＝f′(x0)(x－x0).令F(x)＝f(x)－g(x),即F(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0),则F′(x)＝f′(x)－f′(x0).由于f′(x)＝－nx n－1＋n在(0,＋∞)上单调递减,故F′(x)在(0,＋∞)上单调递减,又因为F′(x0)＝0,所以当x∈(0,x0)时,F′(x)＞0,当x∈(x0,＋∞)时,F′(x)＜0,所以F(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,＋∞)上单调递减,所以对于任意的正实数x,都有F(x)≤F(x0)＝0,即对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x). (3)证明不妨设x1≤x2.由(2)知g(x)＝(n－n2)(x－x0),设方程g(x)＝a的根为x2′,可得x2′＝an－n2＋x0.当n≥2时,g(x)在(－∞,＋∞)上单调递减,又由(2)知g(x2)≥f(x2)＝a＝g(x2′),可得x2≤x2′.类似地,设曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝h(x),可得h(x)＝nx .当x ∈(0,＋∞),f (x )－h (x )＝－x n ＜0,即对于任意的x ∈(0,＋∞),f (x )＜h (x ).设方程h (x )＝a 的根为x 1′,可得x 1′＝an .因为h (x )＝nx 在(－∞,＋∞)上单调递增,且h (x 1′)＝a ＝f (x 1)＜h (x 1),因此x 1′＜x 1.由此可得x 2－x 1＜x 2′－x 1′＝a1－n＋x 0. 因为n ≥2,所以2n －1＝(1＋1)n －1≥1＋C 1n －1＝1＋n －1＝n , 故2≥n 1n －1＝x 0.所以,|x 2－x 1|＜a 1－n ＋2.B 组1.设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案：B解析：因为[]x 表示不超过x 的最大整数.由1][=t 得21<≤t ，由2][2=t 得322<≤t ，由3][4=t 得544<≤t ，所以522<≤t ，所以522<≤t ，由3][3=t 得433<≤t ，所以5465<≤t ，由5][5=t 得655<≤t ，与5465<≤t 矛盾，故正整数n 的最大值是4.2.对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( )A.－1是f (x )的零点B.1是f (x )的极值点C.3是f (x )的极值D.点(2,8)在曲线y ＝f (x )上 答案：A解析：A 正确等价于a －b ＋c ＝0,① B 正确等价于b ＝－2a ,② C 正确等价于4ac －b 24a ＝3,③ D 正确等价于4a ＋2b ＋c ＝8.④ 下面分情况验证,若A 错,由②、③、④组成的方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－10，c ＝8.符合题意；若B 错,由①、③、④组成的方程组消元转化为关于a 的方程后无实数解；若C 错,由①、②、④组成方程组,经验证a 无整数解； 若D 错,由①、②、③组成的方程组a 的解为－34也不是整数.综上,故选A.3.已知函数f(x)＝|e x＋ae x|(a∈R，e是自然对数的底数)在区间[0,1]上单调递增，则a的取值范围是()A．[0,1] B．[－1,0]C．[－1,1] D．(－∞，－e2]∪[e2，＋∞) 答案 C解析因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，取a＝－1，则函数f(x)＝e x－1e x ，当0≤x≤1时，f′(x)＝e x＋1e x>0，所以函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，排除A，D；取a＝1，则函数f(x)＝e x＋1e x ，当0≤x≤1时，f′(x)＝e x－1e x＝e2x－1e x≥0，所以函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，排除B，故选C.4.（江西省南昌市第二中学优质试题届高三上学期第四次考试）已知Rλ∈，函数1,0,()lg,0,x xf xx x⎧+<=⎨>⎩2()414g x x xλ=-++，若关于x的方程(())f g xλ=有6个解，则λ的取值范围为（）A．2(0,)3B．12(,)23C．21(,)52D．2(0,)5答案：D解析：函数()f x在(,1]-∞-上递减，在[1,0)-和(0,)+∞上递增，()f x的图象如图所示，由于方程()g x m =最多只有两解，因此由题意()f n λ=有三解，所以01λ<<且三解123,,n n n 满足11n <-，210n -<<，31n >，11n λ=--，所以2()4141g x x x λλ=-++=--有两解，2(2)520x λ-=-+>，25λ<，所以205λ<<，故选D ．5.（河北省衡水中学优质试题届高三上学期四调考）利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥CD R-A B ，其中底面四边形CD A B 是边长为1的正方形，1R A=，且R A^平面CD A B ，则球体毛坯体积的最小值应为 ．答案：2.解析：如图，将四棱锥CD R-AB 补全为一个正方体，则：当正方体为球的内接正方体时球的体积最小，此时正方体的体对角线为球的直径，长为222321113,R R =++==，∴球的体积为：33443333V R πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭；故答案应填：32p ．6.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n ＋a n ，用[x ]表示不超过x的最大整数，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2 013＋1＝________. 答案：0 解析：因为1a n ＋1＝1a na n ＋1＝1a n －1a n ＋1，所以1a n ＋1＝1a n－1a n ＋1，所以1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2 013＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a 2 013－1a 2 014＝1a 1－1a 2 014，又a 1＝1，所以1a 2 014∈(0,1)，所以1a 1－1a 2 014∈(0,1)，故⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a 1－1a 2 014＝0.7.(优质试题·杭州七校模拟)已知函数f (x )＝x 2＋(x －1)·|x －a |. (1)若a ＝－1，解方程f (x )＝1；(2)若函数f (x ) 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围； (3)若a <1且不等式f (x )≥2x －3对一切实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝－1时，有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥－1，1，x <－1.当x ≥－1时，2x 2－1＝1，解得：x ＝1或x ＝－1，当x <－1时，f (x )＝1恒成立.∴方程的解集为：{x |x ≤－1或x ＝1}.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－（a ＋1）x ＋a ，x ≥a ，（a ＋1）x －a ，x <a .若f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤a a ＋1>0，解得：a ≥13， 即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.(3)设g (x )＝f (x )－(2x －3)，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－（a ＋3）x ＋a ＋3，x ≥a ，（a －1）x －a ＋3，x <a .即不等式g (x )≥0对一切实数x ∈R 恒成立.∵a <1，∴当x <a 时，g (x )单调递减，其值域为：(a 2－2a ＋3，＋∞).∵a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2≥2，∴g (x )≥0恒成立.当x ≥a 时，∵a <1，∴a <a ＋34，∴g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋34＝a ＋3－（a ＋3）28≥0，得－3≤a ≤5. ∵a <1，∴－3≤a <1，综上：a 的取值范围是[－3，1).8. 如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角. （1）证明：1cos tan ;2sin AAA-=（2）若180,6,3,4,5,A C AB BC CD AD +=====o 求tantan tan tan 2222A B C D+++的值.【解析】（1）2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222A AA A A A A A-===. （2）由180A C +=，得180,180C A D B =-=-.由（1），有tantan tan tan 2222A B C D+++ 1cos 1cos 1cos(180)1cos(180)sin sin sin(180)sin(180)A B A B A B A B ------=+++--22sin sin A B =+，连结BD ，在ABD ∆中，有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅，在BCD ∆中，有2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅，所以 222cos AB AD AB AD A +-⋅222cos BC CD BC CD A =++⋅，则2222222265343cos 2()2(6534)7AB AD BC CD A AB AD BC CD +--+--===⋅+⋅⨯+⨯，于是223210sin 1cos 1()77A A =-=-=.连结AC ，同理可得2222222263541cos 2()2(6354)19AB BC AD CD B AB BC AD CD +--+--===⋅+⋅⨯+⨯，于是221610sin 1cos 1()19B B =-=-=.所以tan tan tan tan 2222A B C D+++22sin sin A B =+210210=+410=.A B9.已知x∈R，函数f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数，且f(2m＋1)＋f(m2－2m－4)>0，求实数m的取值范围；(2)若对任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)>2－x成立，求实数k 的取值范围．解析(1)∵函数f(x)为奇函数且x∈R，∴f(0)＝0，即20＋k×20＝0，解得k＝－1，∴f(x)＝2x－2－x.∵f′(x)＝2x ln2＋2－x ln2＝(2x＋2－x)ln2>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．∵f(2m＋1)＋f(m2－2m－4)>0，即f(2m＋1)>f[－(m2－2m－4)]，∴2m＋1>－(m2－2m－4)，∴m<－3或m> 3.(2)∵∀x∈[0，＋∞)，2x＋k·2－x>2－x，即22x＋k>1，∴k>1－22x对任意的x∈[0，＋∞)恒成立，∴k>(1－22x)max.又∵t＝1－22x＝1－4x在[0，＋∞)上单调递减，∴t≤1－40＝0，∴k>0.10.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22,且右焦点F到左准线l的距离为3.。