2020高考文科数学二轮考前复习方略练习：专题八 第1讲 数学文化 Word版含解析

第1讲数学文化[研考点考向·破重点难点]

考点1 渗透数学的美

[典型例题]

(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)

古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－1 2

(5－1

2≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的

头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－1

2.若某人满足上述两个黄金分割比例，

且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是() A．165 cm B．175 cm

C．185 cm D．190 cm

(2)(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有____________个面，其棱长为____________．

【解析】 (1)不妨设此人咽喉至肚脐的长度为x cm ，则26

x ≈0.618，得x ≈42，故此人

身高大约为26＋42＋105＝173(cm)，考虑误差，结合选项，可知选B.

(2)依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体由18个正方形和8个正三角形围成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x ，则

22x ＋x ＋2

2x ＝1，解得x ＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1. 【答案】 (1)B (2)26 2－1

■ 规律方法

数学文化的美学特征是构成数学文化的重要内容．数学美表现为一种抽象、严谨、含蓄的理性美，从表现形式上分为数学内容的和谐美、数学结构的形式美、几何图形的构造美、数学公式的简洁美．纵观数学领域的一切公式、公理和定理，无不是对客观世界存在的秩序、对称、和谐、统一的美的反映．

[对点训练]

太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被函数y ＝3sin π6x 的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图)，其

中小圆的半径均为1，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )

A.136

B.118

C.112

D.19

解析：选B.函数y ＝3sin π

6x 的图象与x 轴相交于点(6，0)和点(－6，0)，则大圆的半径

为6，面积为36π，而小圆的半径为1，两个小圆的面积和为2π，所以所求的概率是2π

36π＝

1

18

，故选B. 考点2 渗透古代名家(学派)的研究

[典型例题]

(1)两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他

们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如图中实心点的个数5，9，14，20，…为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第2 017项为a 2 017，则a 2 017－5＝( )

A ．2 023×2 017

B ．2 023×2 016

C ．1 008×2 023

D ．2 017×1 008

(2)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6＝________．

【解析】 (1)观察梯形数的前几项，得 5＝2＋3＝a 1， 9＝2＋3＋4＝a 2， 14＝2＋3＋4＋5＝a 3， …

a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝（n ＋1）（2＋n ＋2）2

＝1

2

(n ＋1)(n ＋4)， 由此可得a 2 017＝1

2×2 018×2 021＝1 009×2 021.

所以a 2 017－5＝(1 008＋1)(2 023－2)－5＝1 008×2 023. (2)由题意，得S 6＝6×12×1×1×sin 60°＝33

2

.

【答案】 (1)C (2)33

2

■ 规律方法

本例(1)以古希腊毕达哥拉斯学派的研究故事为背景，本例(2)以我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”为命题背景，分别考查了数列问题和圆内接正六边形的面积问题．其中毕达哥拉斯学派的“形数”问题，备受命题者的青睐，已成为高考命题的热点问题．

[对点训练]

1．(2019·长沙市统一模拟考试)我国南北朝时期的数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是面积，“势”是高，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所载，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．已知某不规则几何体与如图所示三视图对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )

A ．8－4π

3

B ．8－π

C ．8－2π

3

D ．4－π

2

解析：选B.题中三视图对应的几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为1、高为2的半圆柱后剩余的部分，三视图对应的几何体的体积V ＝23－1

2×π×12×2＝8－π，

由祖暅原理得不规则几何体的体积为8－π，故选B.

2．(2019·江西七校第一次联考)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，则a 2 017a 2 019－a 22 018等于( )

A ．1

B ．－1

C ．2 017

D ．－2 017

解析：选A.因为a 1a 3－a 22＝1×2－1＝1，a 2a 4－a 23＝1×3－22＝－1，a 3a 5－a 24＝2×5－