山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第13章 根轴

第13章 根轴

定义 从一点P 作一圆周的任一割线PAB ，从点P 起到和圆周相交为止的两线段之积PA PB ⋅，称为点P 对于这个圆周的幂1．

由相交弦定理及割线定理，知点P 的幂是定值．若点P 在圆内，则点A 的幂等于以该点为中点的弦半弦长的平方；若点P 在圆外，则点P 的幂等于从该点所引圆周的切线长的平方；若点P 在圆周上，则点P 的幂等于0．

由定义，关于圆周的幂有下列结论．

结论1 点P 对于以O 为圆心、以R 为半径的圆周的幂，等于OP 及半径R 的关系式22OP R -． 结论2 对于两已知圆有等幂的点的轨迹，是一条过连心线上一定点且垂直连心线的直线．

事实上，设点P 到圆1O 和圆2O 的幂相等，圆1O ，圆2O 的半径分别为1R ，2R （12R R >），则

22221122PO R PO R -=-，即222212

12PO PO R R -=-=常数 如图13-1，

设12

O O 的中点为D ，12PM O O ⊥于点M ，则

2

2

2

1

11

2P

O P D O

D O D D M =

++⋅2

22

2222P O P D D

O D

O

D

M

=+-⋅

O 1

O 2

P

D M

图13-1

易得2212

12

2R R

DM O O -=

=常数

所以，过定点M 的垂线即是两圆等幂点的轨迹． 这条直线称为两圆的根轴或等幂轴．

特别地，若两圆同心，则120O O =．从而，同心圆的根轴不存在；若20R =，圆2O 变成一点2O ，则点A 对

于圆2O 的幂是22AO ．此时，直线（轨迹）称为一圆与一定点的根轴． 根轴有下面的性质．

性质1 若两圆相交，其根轴就是公共弦所在的直线． 性质2 若两圆相切，其根轴就是过两圆切点的公切线． 性质3 三个圆，其两两的根轴或相交于一点，或互相平行． 事实上，若三条根轴中有两条相交，则这一交点对于三个圆的幂均相等，所以必在第三条根轴上，这一点，称为三个圆的根心．

显然，当三个圆的圆心的一条直线上时，三条根轴互相平行．当三个圆的圆心不共线时，根心存在． 性质4 若两圆相离，则两圆相离，则两圆的四套公切线的中点在根轴上．

性质 5 一点P 对于不同心两圆11()O r ⊙、22()O r ⊙的幂为1t ，2t ，l 是这两圆的等幂轴，PA l ⊥于A ，则12122t t AP O O -=⋅．即一点对于不同心两圆的幂之差等于等幂轴到该点的距离乘以圆心距之积的2倍．

①

沈文君. 根轴的性质及应用[J]. 中等数学，2004（1）：6-10.

图13-2

l

f 2

f 1A

B

Q P

O 1

O 2

r 2

r 1 证明 设12l O O ⊥于

Q ，

作12

PB O O ⊥于B

，

便得2

2

121

1

2

2()()t t P

O

r

P O r -

=---

2

222

2

1

2121

1

2

1

()

()(B

O B

O r r

B O

O

O

=-

--=-

-22

12112121212112112112

2()()2[()]O O BO O O QO QO QO QO O O BO O O QO O O QO O O =⋅---+=⋅----⋅21

211

2

12

1

1

212

11

2

2(2)(22)O O B O

O O

O

O Q O O O O O B O

=⋅

--

⋅-

=--+1222O O BQ AP O O =⋅=⋅ 推论 若两圆不同心，则其中一个圆的任何点对于另一圆的幂的绝对值，必等于该点到等幂轴的距离乘以圆心距之积的2倍．

即若P 点在2O ⊙上，则20P =，此时1122t AP O O =⋅． 下面给出运用上述性质解题的例子．

例1 （IMO50预选题）已知ABC △的内切圆分别与边AB ，AC 切于点Z ，Y ，BY 与CZ 交于点G ，点R ，S 满足四边形BCYR 和四边形BCSZ 式平行四边形．证明：GR GS =．

证明 如图13-3，设ABC △的内切圆和A ∠内的旁切圆分别为圆Γ和圆a Γ，圆Γ和圆a Γ与边BC 分别切于点X ，T ，圆a Γ与直线AB ，AC 分别切于点P ，Q ．

由BX CT =，得ZP ZB BP XB BT BX CX ZS =+=+=+=，CQ CT BX BZ CZ ====．

因此，对于点Z ，C ，它们到点S 的距离等于它们向圆a Γ所引的切线段的长．从而，ZC 是点圆S 和圆a Γ的根轴．

Γ

图13-3

G A

B

C

I a

P

X

S Y

Z R

T

同理，BY 是点圆R 和圆a Γ的根轴．

于是，ZC 与BY 的交点G 为圆S ，圆R ，圆a Γ的根心．所以GR GS =． 例2 （2007年第45届越南数学奥林匹克题）已知下底边为BC （即BC AD ∥，且B C A D >）

的梯形ABCD 内接于O ⊙．P 是在直线BC 上移动的点，且使得PA 不与O ⊙相切．以PD 为直径的圆交O ⊙于点

()E E D ≠，记BC 与DE 交于点M ，N 是PA 与O ⊙的交点（N A ≠）

．求证：直线MN 通过一定点． 证明 如图13-4，记A 关于O 的对称点为A '．