中学垂径定理总结归纳
24--垂径定理二
A
●O
B
C
D
2.两条弦在圆心的两 侧
A
●O
B
C
D
垂径定理的推论: 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
3。已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两 条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm，
求弦AB与CD之间的距离。
A
20 E
B
A
. 25
15
C
25
C
O7
D
24
E
B
.F
D
O
EF有两解：15+7=22cm 15-7=8cm
4。在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油，平放后，截面 的油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
D
O
A
600
B
A
┌E
D
B
O ø650
D
600
C
C垂径定理Fra bibliotek定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
符号语言：
C
A M└
B
●O
D
方法归纳: 1.垂径定理经常和勾股定理结合使用。
2.解决有关弦的问题时，经常
（1）连结半径；
（2）过圆心作一条与弦垂直的线段等 辅助线，为应用垂径定理创造条件。
垂径定理三角形
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E . ⑴若半径为R，AB =a, 求OE、DE 的长. ⑵若半径为R，OE =d，求AB、DE 的长. (3)若AB=a，ED=h，求半径r的长.
M D B
.O
N
垂径定理的推论
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧有什
么关系? （注意：这两条弦在圆中位置有两种情况:）
九年级数学垂径定理知识点
九年级数学垂径定理知识点数学是一门令我们既爱又恨的学科，而九年级的数学则是更加具有挑战性和深度的一门课程。
在九年级数学中，垂径定理是一个重要的知识点，它不仅在几何学中有广泛的应用，而且在实际生活中也有着许多有趣的应用。
在本文中，我们将一起来探索九年级数学中的垂径定理。
首先，我们来了解一下垂径定理的定义和概念。
垂径定理是几何学中的一个基本定理，它指出：“如果两条直线相交于一个点，并且其中一条直线垂直于另一条直线的过程中所产生的垂直线段与交点的距离相等，那么这两条直线是垂线。
”简单来说，垂径定理就是通过一个垂直线段来判断两条直线是否垂直的方法。
举个例子来说明垂径定理的应用。
假设有一个四边形的对角线相交于一个点，我们需要判断对角线是否垂直。
按照垂径定理，我们可以通过在交点处作一条垂直于对角线的线段，并将它延长至相邻的边上。
如果延长后的线段与相邻边的距离相等，那么我们可以断定对角线是垂直的；反之，如果距离不相等，则对角线不是垂直的。
通过这个简单的方法，我们可以快速判断一个四边形的对角线是否垂直。
垂径定理不仅在几何学中有重要的应用，而且在实际生活中也有许多有趣的应用。
例如，我们在修建房屋时需要确保墙体垂直，这就需要使用垂径定理来检验墙体是否垂直。
另一个应用是在导航系统中，也需要使用垂径定理来计算地球上两点之间的最短距离。
除了应用方面，垂径定理还有着一些有趣的数学性质。
一个有趣的性质是，如果两条直线是垂线，那么它们的斜率乘积为-1。
这个性质是垂径定理的一个重要推论，通过它我们可以更直观地理解垂线的概念。
此外，垂径定理还与其他几何定理有着密切的关系。
例如，垂径定理与直角三角形定理、等腰直角三角形定理以及勾股定理之间有着紧密的联系。
通过运用这些定理，我们可以更好地理解垂径定理的应用，并解决一些复杂的几何问题。
在学习垂径定理时，我们还需要注意一些容易出错的地方。
例如，我们在判断两条直线是否垂直时，不能只通过一个垂直线段的长度是否相等来判断，还需要考虑这个线段是否垂直于另一条直线。
初中九年级圆垂径定理
初中九年级圆垂径定理
初中九年级圆垂径定理是初中数学中的一条重要定理，它指出：
如果一条直线垂直于圆的一条弦，那么这条直线就称为这条弦的垂径。
下面我们来总结一下这个定理的具体内容和证明方法。
一、圆垂径定理的具体内容：
对于任意一个圆，如果有一条直线垂直于圆上的一条弦，那么这
条直线就称为这条弦的垂径。
垂径与弦的关系是：垂径通过弦的中点，并且垂径两端与圆相交的点与该弦两端与圆相交的点构成的四个点构
成一个矩形。
二、圆垂径定理的证明方法：
1. 首先，连接圆心和垂足，将圆垂径问题转化成一个三角形和
一个圆交点的问题。
2. 然后，通过割圆等分弧的方法，证明垂线与弦长度相等。
3. 最后，根据直角三角形的性质，证明垂足在弦的中点上。
三、圆垂径定理的应用：
圆垂径定理在数学中有广泛的应用，例如：
1. 计算圆弧长度和面积，特别是在环形的测量问题中应用。
2. 解决不同形式的分割问题，例如分割圆弧使其长度达到所需
大小的问题。
3. 通过圆垂径定理，证明圆心角定理，从而推出其他的几何定理。
综上所述，初中九年级圆垂径定理是数学中的重要定理之一。
通
过学习和掌握这个定理，我们可以更好地理解和应用各种形式的几何
问题。
人教版初中数学垂径定理知识点总结
人教版初中数学垂径定理知识点总结一、垂径定理的定义垂径定理是关于直径和过该直径的直线（或圆）交于圆内两点之间的线段长度和关系的重要定理。
如果一个直径和一条过该直径的直线交于圆内两点，那么这条直径平分过这两点的线段，并且这条直径垂直于过这两点的直线。
二、垂径定理的表述1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
2.垂直于弦的直径平分弦（不是直径），并且平分弦所对的两条弧。
3.垂直于弦的直径平分过弦的两条直线，并且平分弦所对的两条弧。
三、垂径定理的应用垂径定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与圆和直径相关的问题时。
例如，可以利用垂径定理来证明圆的性质，如圆的对称性、圆的周长和面积等。
此外，垂径定理还可以用于解决与圆和直线相关的问题，如求圆的半径、确定圆的中心等。
四、垂径定理的推论1.从圆心到弦的垂线是弦的中垂线。
2.圆内一条弦的两端到圆心的距离相等。
3.圆内一条过圆心的弦最短，其长度为圆的直径。
4.圆内一条不过圆心的弦最短，其长度等于从圆心到弦中点的线段长。
五、垂径定理的证明垂径定理可以通过以下两种方法证明：1.直接证明法：通过作图和推理，直接证明垂径定理。
这种方法比较直观和简洁，但需要一定的几何知识和推理能力。
2.代数法：利用圆的性质和代数运算，证明垂径定理。
这种方法比较抽象，但具有普适性，可以用于证明其他类似的定理。
六、注意事项1.在使用垂径定理时，要注意区分直径和其他弦的区别，避免混淆。
2.在作图时，要确保所作的线段是垂直于弦的直径，否则将无法使用垂径定理。
3.在解决实际问题时，要根据具体情况选择合适的方法来应用垂径定理。
七、垂径定理的应用场景1.确定圆的形状和大小：垂径定理可以用于确定圆的形状和大小。
例如，通过测量圆的直径或半径，可以确定圆的大小；通过观察垂径定理的各种表现，可以判断圆的状态和形状。
2.计算圆的周长和面积：垂径定理可以用于计算圆的周长和面积。
例如，通过已知的直径或半径，可以计算出圆的周长和面积。
垂径定理巧记口诀
垂径定理的巧记口诀
垂径定理的巧记口诀可以根据其内容概括为“五二三或知二推三”。
具体来说，垂径定理包含五点内容：过圆心的直径、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的两条弧、平分弦（不是直径）垂直于弦。
其中任取两个作为题设，另外三个作为结论都是成立的。
例如，已知平分于弦的直径，垂直于弦并且平分于弦所对的优弧和劣弧，则弦被直径平分，弦所对的两条弧也被平分。
此外，垂径定理还可以通过实际操作进行巧记。
具体操作如下：在纸上画一圆，标明直径AB；沿AB对折，在两半圆上任找一重合点记为C与D；打开，连接C、D；把AB和CD的交点记作E，圆心记为O，根据轴对称图形的性质可知AB垂直平分CD，通过实际操作得AC 与AD重合，BC与BD重合，CE与DE重合。
由此可得出：若AB是直径，且AB垂直于CD，则AC=AD，BC=BD，CE=DE。
以上是垂径定理的巧记口诀和操作方法，通过这些方法可以更好地理解和记忆垂径定理。
垂径定理及其推论
圆部分知识点总结垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦直径平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
2：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
点和圆的位置关系设⊙O 的半径是r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：d<r ⇔点P 在⊙O 内；d=r ⇔点P 在⊙O 上； d>r ⇔点P 在⊙O 外。
过三点的圆1、不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线L 的距离为d,那么：直线L 与⊙O 相交⇔d<r ；直线L 与⊙O 相切⇔d=r ； 直线L 与⊙O 相离⇔d>r ；圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
(完整版)圆的垂径定理及推论知识点与练习
圆的垂径定理及其推论知识点与练习（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。
若直径AB ⊥弦CD 于点E ，则CE=DE ，⌒AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD （2）推论：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
若CE=DE ，AB是直径，则⌒ AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
若AB ⊥CD ，CE=DE ，则CD 是直径，⌒ AC =⌒ AD ；⌒ BC =⌒ BD③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
若⌒ AC =⌒AD ，AB 是直径，则AB ⊥CD ，CE=DE ，⌒ BC =⌒ BD④圆的两条平行弦所夹的弧相等。
若CD ∥FG ，CD 、FG 为弦，则⌒ FC =⌒ GD特别提示：①垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径 平分弦 知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧②垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦，并且过圆心，那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧．其中有四个条件：直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧．它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立，那么另外两个也成立”．（3）垂径定理及推论的应用：它是证明圆内线段相等、角相等、垂直关系及利用勾股定理计算有关线段的长度提供了依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。
①垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线、线段，其本质是“过圆心”；②在圆的有关计算中常用圆心到弦垂线段、弦的一半、半径构造出垂径定理的条件和直角三角形，从而应用勾股定理解决问题；例：如图，在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的31，圆的半径为2cm ，求AB 的长。
解：如图，连接OB ，过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点C ，由题意得，∵⌒ AB = 31×360º=120º ∴∠AOB=120º，∴∠AOC=60º,在Rt △AOC 中，∵∠AOC=60º，OA=2，∴OC =21OA=1，∴AB=2AC=222OC AO =23 故AB 的长为23 练习一、选择题1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是（ ）A 、CM=DMB 、∠ACB=∠ADBC 、AD=2BD D 、∠BCD=∠BDCGA A（1题图） （2题图） （3题）2、圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，AB=8m ，∠CAD=30°，则大棚高度CD 约为（ ）A 、2.0mB 、2.3mC 、4.6mD 、6.9m3、如图，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直的两条弦，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，且AB=8cm ，AC=6cm ，那么⊙O 的半径OA 长为（） A 、4cm B 、5cm C 、6cm D 、8cm4、半径为2cm 的圆中，有一条长为2cm 的弦，则圆心到这条弦的距离为（ ）A 、1cmB 、 cmC 、 cmD 、2cm5、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（ ）A 、∠COE=∠DOEB 、CE=DEC 、OE=BED 、⌒ BC =⌒BD（题5） （题6）6、如图所示，在⊙O 中，OD ⊥AB 于P ，AP=4cm ，PD=2cm ，则OP 的长等于（ ）A 、9cmB 、6cmC 、3cmD 、1cm 二、填空题有 条相等的弧。
初三数学浙教版寒假复习垂径定理知识点
初三数学浙教版寒假复习垂径定理知识点垂径定理指的是垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，今天我们要复习的内容就是垂径定理知识点，希望对大家提升成绩有帮助，快来看看吧。
知识点
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：
过圆心
垂直于弦
直径平分弦知二推三
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
课后练习
若过圆o内一点p的最长的弦为10,最短的弦长为8,求op的长。
解析：
最长弦为直径设为AB=10
最短弦为垂直该直径的弦设为CD=8
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦
则CP=4，OC=半径=5
根据勾股定理OP=√(OC²-CP²)=3
垂径定理知识点的全部内容就是这些，更多的精彩内容会持续为大家更新，预祝大家可以在寒假中更快更好的提升自己。
精心整理，仅供学习参考。
初三数学必考垂径定理
初三数学必考垂径定理
垂径定理是初中数学中非常重要的定理之一。
它是研究圆心角、圆周角、切线、弦、弧等几何概念的基础，也是解决各种几何问题的重要工具。
垂径定理指出：圆上的垂径平分弦，且相交于圆心。
具体来说，如果在圆上任取一条弦AB，以其中点C为圆心画圆，交弦AB于点D、E，则CD、CE分别是弦AB的垂线，且交于圆心O。
利用垂径定理，我们可以解决很多与圆有关的几何问题。
比如，求两条切线的交点，求一条线段在圆上的中点，求直线段是否在圆内或圆外等等。
在考试中，垂径定理也是一个必考的知识点。
因此，同学们一定要掌握好这个定理，多做一些练习题，加深对垂径定理的理解和应用能力，提高数学成绩。
- 1 -。
第07讲 垂径定理
第07讲垂径定理（核心考点讲与练）【知识梳理】一．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．二．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【核心考点精讲】一．垂径定理（共5小题）1．（2022•拱墅区一模）已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若DO＝DC，AB＝12，则⊙O的半径为（）A．4B．4C．6D．62．（2016秋•北仑区期末）⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝6，EB＝2，∠CEA＝30°，则弦CD的长为（）A．8B．4C．2D．23．（2022春•长兴县月考）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB＝10，BE＝2，则OF的长度是（）A．B．3C．D．4．（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．B．C．D．5．（2021秋•北仑区校级期中）如图，⊙•O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（）A．B．C．2﹣D．﹣1二．垂径定理的应用（共4小题）6．（2021秋•鹿城区校级期中）如图是一个小圆同学设计的一个鱼缸截面图，弓形ACB是由优弧AB与弦AB组成，AC是鱼缸的玻璃隔断，弓形AC部分不注水，已知CD⊥AB，且圆心O在CD上，AB＝CD＝80cm．注水时，当水面恰好经过圆心时，则水面宽EF为cm；注水过程中，求水面宽度EF的最大值为cm．7．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米8．（2021秋•温岭市期末）把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是cm．9．（2021秋•诸暨市期末）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝12，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022春•市中区校级月考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，OC＝5，则弦AB的长为（）A．5B．10C．5D．102．（2021秋•温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D．已知OC＝5，OD＝4，则弦AB的长为（）A．3B．4C．5D．63．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，则CD的长为（）A．2B．4C．4D．84．（2021秋•嵊州市期末）如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为M，连结AD．若CD＝8，BM＝2，则AD的长为（）A．10B．5C．4D．35．（2021秋•东阳市期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cm．A．1B．3C．3或4D．1或7 6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（）A．3cm B．cm C．cm D．cm 7．（2021秋•拱墅区期中）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则DE的长为（）A．6B．7C．8D．9二．填空题（共8小题）8．（2021秋•余姚市期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为米．9．（2021秋•瑞安市期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝3，则AE长为．10．（2021秋•拱墅区期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度CD＝4cm．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了cm（结果保留根号）．11．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为米．12．（2022•瑞安市开学）如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝．13．（2021秋•镇海区期末）⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为cm．14．（2020•金华模拟）如图，依据九上教材中的丁字尺，小明开始自制丁字尺：F、A、D、E在同一直线上，AF⊥AB，AB∥CD，AF＝4cm，AD＝DE＝2cm．（1）现有一圆经过F、E，弧EF为劣弧，且与AB交于G，如果测得AG的长为10cm，那么圆的半径为；（2）小明在DC上制作单位刻度时不小心把尺子割断了，只余DM＝1cm，此时只运用这把残破的丁字尺的已知数据（一条线段不能分段测量且不能作延长线），能计算或测量（不计误差）得到的最大半径是．15．（2022•海曙区一模）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，AP＝1，过P 的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为；作弦DE∥AB，CH ⊥DE于H，则CH的最大值为．三．解答题（共5小题）16．（2021秋•西湖区校级月考）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CE＝8，DE＝2，求AB的长．17．（2021•柯桥区模拟）如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝2．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的周长．18．（2021秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB 的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．19．（2021秋•下城区校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM 为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：（1）拱桥所在的圆的半径；（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．20．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD 交AC于点E，AD＝CD．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．。
初三数学垂径定理
OA OB
∵
AD
BC
，
∴Rt△ADO≌Rt△BCO， ∴OD=OC，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=DC， 设 AD=acm，则 OD=OC= 1 DC= 1 AD= 1 acm，
222 在△AOD 中，由勾股定理得：OA=OB=OE= 5 acm，
2 ∵小正方形 EFCG 的面积为 16cm2，
1．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16cm2，则该半圆的半径
为（ ）
A． 4 5 cm
B．9 cm
C． 4 5 cm
【例题解析】
解：
D． 6 2 cm
连接 OA、OB、OE， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD=BC，∠ADO=∠BCO=90°， ∵在 Rt△ADO 和 Rt△BCO 中
∴EF=FC=4cm，
在△OFE 中，由勾股定理得：
5 2
a
2
=42+
1 2
a
8， 5 a=4 5 （cm）， 2
故选：C．
2．如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D，若⊙O 的半径为 5，AB=8，则 CD 的长是
另一条弧 推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 (证明时的理论依据就是上面的五条定理) 但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断: 在 5 个条件中（知二推三）:
1.平分弦所对的一条弧 2.平分弦所对的另一条弧 3.平分弦 4.垂直于弦 5.经过圆心(或者说直径) 只要具备任意两个条件,就可以推出其他的三个结论 【例题】
4．已知在以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于点 C，D（如图）． （1）求证：AC=BD； （2）若大圆的半径 R=10，小圆的半径 r=8，且圆 O 到直线 AB 的距离为 6，求 AC 的长．
垂径定理九年级数学知识点
垂径定理九年级数学知识点垂径定理是九年级数学中的一个重要知识点，它涉及到平面几何的基本概念和性质。
在学习垂径定理之前，我们先来了解一下什么是垂径。
一、垂径的定义和性质垂径是在平面上与一条直线垂直相交的线段。
根据垂径的定义，我们可以得到以下性质：1. 一个点到直线的垂径只有一个。
2. 直径的两个垂径互相垂直。
3. 如果两条直径互相垂直，那么它们一定相交于圆的圆心上。
了解了垂径的定义和性质，我们就可以进一步探讨垂径定理了。
二、垂径定理的表述垂径定理是指：如果一条直径和一条垂径相交于圆上的一个点，那么这条垂径所对的弧就是直径所对的弧的一半。
换句话说，直径和垂径所对的弧互为一半。
三、垂径定理的证明垂径定理的证明可以通过利用圆的基本性质和几何知识来完成。
下面我们通过具体的例子来进行证明。
假设在圆O中，AB是直径，CD是与AB垂直相交于点E的垂径。
我们要证明的是：弧CD是弧AB的一半。
首先，连接OA和OB。
根据垂径的性质，我们知道OA和CD互相垂直，所以OA和CD构成一对垂直线段。
同样地，OB和CD也构成一对垂直线段。
由于OA和OB是圆的直径，所以它们穿过圆心O，并且与圆相交于圆上的两个点A和B。
根据圆的性质，直径的两条垂径与圆相交的弧互为一半。
因此，我们可以得出结论：弧CA等于弧CB的一半。
根据弧度的性质，我们知道弧度等于圆心角的度数。
所以弧度CA等于角CBA的度数。
同理，弧度CB等于角CAB的度数。
既然我们已经知道角CBA和角CAB是互补角，而且它们的两条弧互为一半。
所以我们可以得出结论：弧CD等于弧AB的一半。
四、垂径定理的应用垂径定理的应用非常广泛，不仅在九年级的几何学中常常被使用，而且在实际生活中也可以见到它的应用。
例如，在建筑设计中，我们经常会使用垂径定理来确定建筑物的位置和相对位置。
通过利用垂径定理，我们可以确定建筑物的中心位置，从而达到平衡和美观的效果。
此外，在航空和导航领域，垂径定理也被广泛运用。
九年级圆的垂径定理知识点
九年级圆的垂径定理知识点在九年级的数学学习中，圆的垂径定理是一个非常重要的概念，也是学习圆形的几何性质的关键之一。
在这篇文章中，我们将深入探讨圆的垂径定理的知识点，了解其背后的原理和应用。
一、圆的定义和性质首先，我们需要回顾一下圆的定义和基本性质。
在数学中，圆是由平面上所有到一个固定点的距离相等的点的集合组成。
而这个固定点被称为圆心，半径则是圆心到圆上任意一点的距离。
圆具有很多重要性质，例如任意两点到圆心的距离相等，直径是圆的特殊弦，且它的长度是半径的两倍，而弧则是圆上的一段曲线，它与圆心对应的角叫做圆心角。
二、垂径定理的表述圆的垂径定理是指，如果一个直径和一个弦垂直相交，那么它就是弦的垂径，且它把弦分为两个相等的部分。
或者反过来说，如果一个弦被圆心角所分为两个相等的部分，那么它就与直径垂直相交。
这个定理的表述可能有点晦涩难懂，但是我们可以通过几何图形来直观地理解。
三、垂径定理的证明圆的垂径定理是可以通过简单的几何推导证明的。
假设有一个圆，圆心为O，直径为AB，弦为CD垂直于直径AB于点E。
我们需要证明CE = DE。
首先，连接AC和BD，并假设它们交于点F。
由于CD垂直于AB，所以CDE是一个直角三角形。
而由于圆心角的性质，角COD的度数是弦CD对应的角，即∠COE。
由于COE和COD是同位角，所以它们的度数相等，即∠COE = ∠COD。
而∠COD是一个直角，所以∠COE也是一个直角。
因此，我们可以得出结论，CE与DE相等，即CE = DE，证明了定理。
四、垂径定理的应用垂径定理在实际学习和应用中非常有用。
例如，在解决证明问题时，我们可以利用垂径定理来简化问题和推导证明过程。
此外，垂径定理还与圆的切线有着密切的关系。
当一个直径与一个切线相交时，由于切线与半径垂直，我们可以通过垂径定理得出切线与直径相交的两点的性质。
最后，垂径定理也与三角形的性质相关。
当我们在一个三角形内有一个圆时，利用垂径定理可以推导得出一些重要的三角形性质，如内切圆和外接圆的性质等。
九年级下册数学讲义6垂径定理(提高)
1对3辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题垂径定理—知识讲解（提高）学习目标1．理解圆的对称性；2．掌握垂径定理及其推论；3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．教学内容【知识梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【例题精讲】例1.类型一、应用垂径定理进行计算与证明1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．【答案】5.【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA，∵AB=CD，CE=1，ED=3，∴OM=EN=1，AM=2，∴OA=.【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题. 【试一试】1.如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，222+1=5∴ ， ， ∴ 在Rt △BOM 中，． 例2.已知：⊙O 的半径为10cm ，弦AB ∥CD ，AB=12cm ，CD=16cm ，求AB 、CD 间的距离. 【思路点拨】在⊙O 中，两平行弦AB 、CD 间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB 、CD 的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB 、CD 间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O 的圆心O 位于AB 、CD 之间时，作OM ⊥AB 于点M ， 并延长MO ，交CD 于N 点.分别连结AO 、CO. ∵AB ∥CD∴ON ⊥CD ，即ON 为弦CD 的弦心距. ∵AB=12cm ，CD=16cm ，AO=OC=10cm ，=8+6 =14(cm)图1 图2(2)如图2所示，当⊙O 的圆心O 不在两平行弦AB 、CD 之间(即弦AB 、CD 在圆心O 的同侧)时， 同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O 中，平行弦AB 、CD 间的距离是14cm 或2cm.【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.【巩固练习】1.【变式】在⊙O 中，直径MN ⊥AB ，垂足为C ，MN=10，AB=8，则MC=_________．12MO HN CN CH CD CH ==-=-11()(38)3 2.522CH DH CH =+-=+-=111()(46)5222BM AB BH AH ==+=+=22552OB BM OM =+=【答案】2或8．1.要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm 的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h ＝8mm(如图所示)，求此小孔的直径d ．【思路点拨】此小孔的直径d 就是⊙O 中的弦AB ．根据垂径定理构造直角三角形来解决． 【答案与解析】过O 作MN ⊥AB ，交⊙O 于M 、N ，垂足为C ，则，OC ＝MC －OM ＝8－5＝3mm ． 在Rt △ACO 中，AC ＝， ∴ AB ＝2AC ＝2×4＝8mm ． 答：此小孔的直径d 为8mm ．【点评】应用垂径定理解题，一般转化为有关半径、弦、弦心距之间的关系与勾股定理的运算问题.2.. 不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F ．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； (2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA ＝OB 除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如图所示，在图①中AB 、CD 延长线交于⊙O 外一点；在图②中AB 、CD 交于⊙O 内一点； 在图③中AB ∥CD ．1105mm 2OA =⨯=22534mm -=(2)在三个图形中均有结论：线段EC ＝DF ．(3)证明：过O 作OG ⊥l 于G ．由垂径定理知CG ＝GD ． ∵ AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F ， ∴ AE ∥OG ∥BF ． ∵ AB 为直径，∴ AO ＝OB ，∴ EG ＝GF ，∴ EC ＝EG －CG ＝GF －GD ＝DF ．【点评】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.一、选择题1.如图所示，三角形ABC 的各顶点都在⊙O 上，AC=BC ，CD 平分∠ACB ，交圆O 于点D ， 下列结论：①CD 是⊙O 的直径；②CD 平分弦AB ；③；④；⑤CD ⊥AB ． 其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 2．下面四个命题中正确的是( )．A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心3．如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD=，BD=，则AB 的长为（ ）A ．2 B.3 C.4 D.5第3题 第5题 第6题»»AC BC =»»AD BD=223COBDA4．⊙O 的半径OA ＝1，弦AB 、AC 的长分别是、，则∠BAC 的度数为( )．A ．15°B ．45°C ．75°D ．15°或75° 5．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE 为1寸，AB 为10寸，求直径CD 的长.依题意，CD 长为( )．A ．寸 B ．13寸 C ．25寸 D ．26寸 6．如图，EF 是⊙O 的直径，AB 是弦，EF=10cm ，AB=8cm ，则E 、F 两点到直线AB 的距离之和为（ ）．A ．3cmB ．4cmC ．8cmD ．6cm 二、填空题7．如图，⊙O 的弦AB 垂直于CD ，E 为垂足，AE =3，BE =7，则圆心O 到CD 的距离是______． 8．如图，P 为⊙O 的弦AB 上的点，P A =6，PB =2，⊙O 的半径为5，则OP =______．7题图 8题图 9题图9．如图，⊙O 的弦AB 垂直于AC ，AB =6cm ，AC =4cm ，则⊙O 的半径等于______cm ．10．圆心都在y 轴上的两圆相交于A 、B 两点，如果A 点的坐标为，那么B 点的坐标为____________． 11．在图11中，半圆的直径AB=4cm ，O 为圆心，半径OE ⊥AB ，F 为OE 的中点，CD ∥AB ，则弦CD 的长为 ．(第12题)12．如图，点A 、B 是⊙O 上两点，AB=10，点P 是⊙O 上的动点（P 与A ，B 不重合）连结AP ，PB ，过点O 分别作OE ⊥AP 于点E ，OF ⊥PB 于点F ，则EF= . 三、解答题13.如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CD=15，，求弦AB 和AC 的长．14．如图所示，C 为的中点，CD 为直径，弦AB 交CD 于P 点，PE ⊥BC 于E ，若BC=10cm ， 且CE ：BE=3：2，求弦AB 的长．23252(22)，35OE OC ∶∶¼ACBAEOFBP15．如图所示，已知O 是∠MPN 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆与角的两边分别交于点A 、B 和C 、D.⑴求证：PB=PD.⑵若角的顶点P 在圆上或圆内，⑴中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.16.如图，点M ，N 分别是、的中点，且MN 交AB 于D ，交AC 于E ， 求证：△ADE 是等腰三角形.【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】D ．【解析】由圆的对称性、等腰三角形的三线合一的性质可得到5个结论都是正确的. 2．【答案】D ．【解析】根据垂径定理及其推论来判断. 3．【答案】B ． 【解析】由垂径定理得HD=，由勾股定理得HB=1，设圆O 的半径为R ，在Rt △ODH 中，则，由此得R=， 所以AB=3.故选 B. 4.【答案】D ．【解析】分弦AB 、AC 在圆心的同侧和异侧讨论. 5．【答案】D ．【解析】连结AO ，∵ CD 为直径，CD ⊥AB ，∴ ． »AB »AC 2()()22221R R =+-32152AE AB ==设⊙O 半径为R ，则OE ＝R －1．Rt △AOE 中，OA 2＝AE 2+OE 2，∴ R 2＝52+(R-1)2， ∴ R ＝13，∴ CD ＝2R ＝26(寸)． 故选D ．6．【答案】D ．【解析】E 、F 两点到直线AB 的距离之和为圆心O 到AB 距离的2倍. 二、填空题 7．【答案】2． 8．【答案】 9．【答案】 10．【答案】．【解析】因为y 轴是两圆的对称轴，所以两圆的交点关于y 轴对称，则B . 11．【答案】.【解析】连接OC,易求CF= CD=. 12.【答案】5.【解析】易证EF 是△APB 的中位线，EF=三、解答题13.【答案与解析】连结OA ，∵CD=15，， ∴OA=OC=7.5，OE=4.5，CE=3，∴14.【答案与解析】因为C 为的中点，CD 为直径，弦AB 交CD 于P 点，所以 CD ⊥AB. 由BC=10cm ，且CE ：BE=3：2，得CE=6cm ，BE=4cm ，设则解得，. 15.【答案与解析】（1）证明：过O 作OE ⊥PB 于E ，OF ⊥PD 于F..13.13(22)-，(22)-，23cm 3.23cm 15.2AB =35OE OC =∶∶222222227.5 4.562126335AE OA OE AB AE AC AE CE =-=-====+=+=，¼ACB,,BP a CP b ==22222221046a b a b ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩210a =2410AB a cm ==∵ PO 平分∠MPN ∴ OE=OF ，PE=PF ∴ AB=CD ，BE=DF ∴ PE+BE=PF+DF ∴ PB=PD（2）上述结论仍成立.如下图所示.证明略.16.【答案与解析】连结OM 、ON ，分别交AB 、AC 于F 、G 点．∵ M 、N 分别为、中点， ∴ ∠MFD ＝90°＝∠EGN ．∵ OM ＝ON ，有∠M ＝∠N ，知∠MDB ＝∠NEC ，而∠MDB ＝∠1，∠NEC ＝∠2，于是∠l ＝∠2，故AD ＝AE ． 所以△ADE 是等腰三角形A A E EP O P O F FC C PA=PC PA=PC»AB »AC。
垂径定理—中等
垂径定理知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的推论根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．举一反三：【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.举一反三：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．类型二、垂径定理的综合应用3. 要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h＝8mm(如图所示)，求此小孔的直径d．4. 不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F ． (1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA ＝OB 除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．课后练习1.如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，若120AOB ∠=°，则大圆半径R 与小圆半径r 之间满足（ ）A．R = Ｂ．3R r =Ｃ．2R r =Ｄ．R =3.如图，在平面直角坐标系中，P ⊙的圆心是()()22a a >，，半径为2，函数y x =的图象被P ⊙截得的弦AB的长为a 的值是（ ） A． B．2C． D．24. 已知O ⊙的半径为5，圆心O 到直线AB 的距离为2，则O ⊙上有且只有__________个点到直线AB 的距离为3．5.如图，DE 是O ⊙的直径，弦AB DE ⊥，垂足为 C ，若6AB =，1CE =，则OC =_________，CD =__________．7. 如图，在O ⊙中，AB AC 、是互相垂直的两条弦，OD AB ⊥于点D ，OE AC ⊥于 点E ，且8cm 6cm AB AC ==，，那么O ⊙的半径OA 长为___________．8.如图，O ⊙过点B C 、，圆心O 在等腰Rt ABC △的内部，90BAC ∠=°，1OA =，6BC =．则O ⊙的半径为（ ）A ．6B ．13 CD．9.如图，O ⊙的直径5cm CD =，AB 是O ⊙的弦，AB CD ⊥，垂足为M ，35OM OD =∶∶，则AB 的长是（ ）A ．2cm Ｂ．3cm C ．4cm D．12.如图，已知AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝6cm ，∠AOB ＝120º，则AB ＝ cm ．13. 如图，O ⊙的直径AB 与弦CD 交于点E ，若5AE =，1BE =，CD =，则AED ∠=____________.AB OC14.如图，在O ⊙中，圆心角120AOB ∠=°，弦cm AB =，则OA =_________cm ．15.如图，CD 是O ⊙的弦，直径AB 过CD 的中点M ，若40BOC ∠=︒，则ABD ∠=（ ） A ．40︒ B ．60︒ C ．70︒ D ．80︒16.已知O ⊙的半径10cm OA =，弦16cm AB =，P 为弦AB 上的一动点，则OP 的最短距离为（ ） （A ）5cm （B ）6cm （C ）8cm （D ）10cm17.一条公路弯道处是一段圆弧（AB ），点O 是这条弧所在圆的圆心，点O 是AB 的中点，半径OC 与AB 相交于点D ，AB =120m ，CD =20m ，这段弯道的半径是（ ） （A ）200m （B）m （C ）100m （D）20.一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB ＝10， 截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是（ ）A ．16B ．10C ．8D ．6A BOC21. 如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB 的长，就计算出了圆环的面积．若测量得AB 的长为20米，则圆环的面积为（ ） A ．10平方米 B ．10π平方米 C ．100平方米 D ．100π平方米22.如图，CD 是O ⊙的直径，弦AB CD ⊥，垂足为点M ，20AB =，分别以DM ，CM 为直径作两个大小不同的1O ⊙和2O ⊙，则图中所示阴影部分的面积为 （结果保留π）．23. 已知O 的直径AB =40，弦CD ⊥AB 于点E ，且CD =32，则AE 的长为（ ） A ．12 B ．8 C ．12或28 D ．8或32 27.如图，⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC，若AB =，则⊙O 的半径为（ ）AB． C ．D ．28. 如图，⊙O 的弦AB =8，M 是AB 的中点，且OM =3， 则⊙O 的半径等于（ ）A ．8B ．4C ．10D ．5MBAO ·。
33垂径定理—知识讲解(基础)
垂径定理一知识讲解（基础）【学习目标】1. 理解圆的对称性；2. 掌握垂径定理及其推论；3. 利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明【要点梳理】知识点一、垂径定理1. 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 .2. 推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧要点诠释：（1）垂径定理是由两个条件推出两个结论，即（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧， 在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【典型例题】 类型一、应用垂径定理进行计算与证明1.如图，AB 是O O 的弦，半径 Od AB 于点D,且AB= 6 cm , OD= 4 cm ，贝U DC 的长为（ A . 5 cm B .2.5 cm C . 2 cm D . 1 cm直径 垂直于弦J 平分弦 〔平分弦所对的弧所以在 Rt △ AOD 中, AO J ODAD 2 J 42 325 (cm ). 所以 DC = OC- ODt OA — ODt 5 — 4= 1 (cm).主要是解由半径、弦的一半和弦心距(圆心到弦的垂线段的长度)构成的直角三角形。
举一反三:【变式】如图，O O 中，弦AB 丄弦CD 于 E ,且AE=3cm BE=5cm 求圆心 O 到弦CD 距离。
E■ 0【答案与解析】解：•/ E 为弧AC 的中点,••• OE 丄AC ,•• AD=-^C=4cm ,•/ OD=OE - DE= ( OE - 2) cm , OA=OE ,•••在 Rt △ OAD 中，OA 2=OD 2+AD 2 即 OA 2= ( OE - 2) 2+42, 又知OA=OE ，解得：OE=5 ,•• OD=OE - DE=3cm .【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距(圆心到弦的垂线段的长度)构成的直角三角形 举一反三：【变式】已知：如图，害熾AC 与圆O 交于点BC,割线AD 过圆心O.若圆O 的半径是5,且 DAC 30,【思路点拨】欲求CD 的长，只要求出OD ；O 的半径 r 即可，可以连结 OA 在Rt △ AOD 中，由勾股定理求出 OA. 【答案】 【解析】 连OA 由垂径定理知 AD3cm ,【点评】AD=13.求弦BC的长.【答案】6.1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m,拱的半径为13m,则拱高为()5m B . 8m C . 7m D . 51/3 m【思路点拨】解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题, 题转化为数学问题中的已知条件和问题.B；【答案】即能够把题目中的已知条件和要求的问【解析】如图2，A B表示桥拱，弦AB的长表示桥的跨度, C为A B的中点,CDIAB于D, CD表示拱高，0为A B的圆心，根据垂径定理的推论可知,【点评】C D 0三点共线，且0C平分AB.在Rt△ A0D中, 0A= 13, AD= 12,贝U 0C5= 0A —AD= 132- 122= 25 . ••• 0D = 5,CD = 0C- 0D= 13—5= 8，即拱高为8m在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形, 理(推论)及勾股定理求解.运用垂径定4. (2015?蓬溪县校级模拟)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为0, 弦CD是水位线，CD // AB，且AB=26m , OE丄CD于点E.水位正常时测得0E:(1 )求CD的长；(2)现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满? 直径AB是河底线, CD=5 :24 ■/【答案与解析】解：（1） •••直径 AB=26m , ••6=訥号 26二 13ID ，•/ OE 丄 CD ,•/ OE : CD=5 : 24,••• OE : ED=5 : 12,•••设 OE=5x , ED=12x ,•••在 Rt △ ODE 中(5x ) 2+ (12x ) 2=132, 解得x=1 ,••• CD=2DE=2 (2 )由(1) 延长OE 交圆【点评】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，求阴影部分面积经常运用求出空白面积 来解决.举一反三:【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽 当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m 时拱桥就有危险，现在水面宽请说明理由. DE \■-■'4【答案】不需要采取紧急措施设 OA=R 在 Rt △ AOC 中，AC=30, OC=OD-CD=R-18R 2=3O 2+(R-18) 2, R 2=900+F 2-36R+324 ,解得 R=34(m).连接 OM 设 DE=x 在 Rt △ MOEK ME=16 34 2=162+(34-X ) 2,2 X -68X +256=0 ,解得x i =4, x 2=64（不合题意，舍）, /• DE=4m > 3m ，•••不需采取紧急措施. 2小时桥洞会刚刚被灌满. ••• EF=OF - OE=13 -5=8m , r J4 :c ■|P1X12 X1=24m ; 得0E=1 X5=5m ,O 于点F ,AB=60m 水面到拱顶距离 CD=18m MN=32n 时是否需要采取紧急措施？。
初中数学新课标垂径定理
初中数学新课标垂径定理
垂径定理是初中数学中一个重要的几何定理，它描述了圆中一条直径
与圆周上任意一点连线所形成的两个三角形的性质。
这个定理在解决
圆的相关问题时非常有用，尤其是在计算圆的面积、周长以及与圆相
关的几何问题时。
垂径定理的内容是：如果一条直线是圆的直径，那么这条直线上的任
意一点到圆周的距离相等。
换句话说，圆的直径将圆分成两个相等的
半圆，并且直径上的点到圆周上任意两点的距离是相等的。
在应用垂径定理时，我们通常会遇到以下两种情况：
1. 已知圆的直径和圆周上的一点，求该点到圆心的距离。
在这种情况下，我们可以利用垂径定理，知道直径上的点到圆心的距离等于半径。
2. 已知圆的半径和圆周上的一点，求该点到直径的距离。
在这种情况下，我们可以利用垂径定理，知道该点到直径的距离等于半径。
垂径定理的证明通常涉及到圆的性质和三角形的等分性质。
证明过程
如下：
假设有一个圆，圆心为O，直径为AB，圆周上有一点C。
连接OC，根
据圆的性质，我们知道OC是圆的半径，即OC=OB。
因为AB是直径，所以AC=BC。
根据三角形的等分性质，如果一个三角形的两边相等，那么这两边所对的角也相等。
因此，∠AOC=∠BOC。
由于OC是半径，所以
∠AOC和∠BOC都是直角。
这意味着三角形AOC和三角形BOC是全等的，因此AC=BC。
垂径定理的应用非常广泛，它不仅能够帮助我们解决几何问题，还能够在实际生活中找到应用，比如在测量和设计中确定距离和角度。
掌握垂径定理对于提高解决几何问题的能力是非常重要的。
初中数学 什么是垂径定理
初中数学什么是垂径定理
垂径定理是初中数学中的一个重要定理，它涉及到圆的直径和垂直关系。
下面我将详细介绍垂径定理的定义、性质和相关的概念。
1. 垂径定理的定义：
-垂径定理：如果一条线段垂直于一条直径，并且与直径的两个端点相交，那么这条线段与圆的边界上的两个交点连线所得的弦一定也是垂直于这条直径。
2. 垂径定理的性质：
-垂直关系：垂径定理表明，如果一条线段垂直于圆的直径，并且与直径的两个端点相交，那么这条线段与圆的边界上的两个交点连线所得的弦一定也是垂直于这条直径。
-直径与垂直弦的关系：垂径定理还表明，直径与垂直于它的弦是垂直的。
3. 垂径定理的应用：
-判断垂直关系：根据垂径定理，可以通过判断一条线段是否垂直于圆的直径来判断这条线段与圆的边界上的两个交点连线所得的弦是否垂直于这条直径。
-求解问题：根据垂径定理，可以在已知一条线段垂直于圆的直径，并且与直径的两个端点相交的情况下，得到与这条线段所得的弦垂直的弦。
垂径定理是圆的直径和垂直关系之间的重要定理，它可以帮助我们判断垂直关系和求解相关问题。
在应用垂径定理时，需要注意理解垂径定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。
希望以上内容能够满足你对垂径定理的了解。
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中学垂径定理总结归纳 一.选择题★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8答案：D★★2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ）A ．9cmB ．6cmC ．3cmD ．cm 41答案：C★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）A ．12个单位B ．10个单位C ．1个单位D ．15个单位答案：B★★5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ）A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm答案：D★★6．下列命题中，正确的是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心答案：D★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A．5米 B．8米 C．7米 D．53米答案：B★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( ) A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm答案：D★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( )A．2 B．8 C．2或8 D．3答案：C二.填空题★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm答案：5 cm★2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm答案：3 cm★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于答案：6★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm答案：5 cm★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝厘米O图 4E DCBA答案：63 cm★★6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为 cm.答案：63 cm★★7．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于 cm答案：5★★8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________答案：217★★9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是答案：6★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为 m答案：4★★11．如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2)和A(2，0)，则点B的坐标是答案：(6，0)★★12．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm答案：3★★13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=BAPOyx答案：3★★14．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点,PO=8cm，∠P=30º,则AB= cmPBAO答案：6★★★15．⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是Cm答案：7cm 或17cm★★★16．已知AB是圆O的弦，半径OC垂直AB，交AB于D，若AB=8，CD=2，则圆的半径为答案：5★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为米答案：52★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米答案：7或1★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB宽为8米，净高CD为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA是___________米答案：5★★★20．如图，AB为半圆直径，O 为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D。
若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为 cm答案：3★★★21．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为答案：8或2★★★22．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为ODA BC答案：23★★★23．如图，⊙O的的半径为5，直径AB⊥弦CD，垂足为E，CD=6，那么∠B的余切值为_________答案：3三.解答题★★1．已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长答案：26★★2．已知⊙O的半径长为50cm，弦AB长50cm.求：（1）点O到AB的距离；（2）∠AOB的大小答案：（1）253（2）060★★3．如图，直径是50cm圆柱形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度ABDOBCA答案：40★★4．如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，他们之间距离为7，AB=6求：弦CD的长．答案：8★★5．如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=12m，求△ACD的周长ＯＡＢOCADB答案：254★★★10．如图，已知⊙O的半径长为25，弦AB长为48，C是弧AB的中点．求AC的长．答案：30★★★11．1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）答案：27.9★★★12．已知：在△ABC中，AB=AC=10, BC=16.求△ABC的外接圆的半径.答案：253★★★13．本市新建的滴水湖是圆形人工湖。
为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，如图CA BO5所示。
请你帮他们求出滴水湖的半径。
答案：1442.5★★★14．如图是地下排水管的截面图（圆形），小敏为了计算地下排水管的直径，在圆形弧上取了A ,B 两点并连接AB ，在劣弧AB 上取中点C 连接CB ，经测量45=BC 米， 87.36=∠ABC °，根据这些数据请你计算出地下排水管的直径。
（87.36sin °60.0≈，87.36cos °80.0≈，87.36tan °75.0≈）答案：2512★★★15．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB 为0.6米．（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．答案：（1）0.1 （2）0.1或0.7★★★16．已知：如图，AB 是O e 的直径，C 是O e 上一点，CD ⊥AB ，垂足为点D ，F 是»AC 的中点，OF 与AC 相交于点E ，AC =8 cm ，2EF =cm.（1）求AO 的长；（2）求sin C 的值.CA BA B O答案：（1）5 （2）45★★★★17．如图，在半径为1米，圆心角为60°的扇形中有一内接正方形CDEF，求正方形CDEF面积。
答案：23四.证明题★★1．如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD。
求证：OC=OD答案：略★★2．如图，AB是⊙O的弦，点D是弧AB中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C．求证：AD＝DC答案：略★★3．已知：如图所示：是两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于CD，求证：AC=BDABCDOEFBADCO·答案：略★★★4．如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别是点M、N， BA、DC的延长线交于点P ．求证：PA=PC答案：略★★★5．已知：如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD．求证：（1）PO平分∠BPD；（2）PA=PC答案：略★★★6．已知：如图所示，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD.求证：（1）PA=PC；（2）»»AE EC答案：略五.作图题★★1．已知弧AB,用直尺和圆规平分这条弧．O PBACDODCPAB。