第三章变分法泛函极值问题
变分法求泛函极值-概述说明以及解释
变分法求泛函极值-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以介绍本篇文章的主题和背景，以及变分法在数学和实际应用中的重要性。
概述：变分法是一种用于求解泛函极值的重要数学方法。
泛函是一个对函数进行操作的函数，如积分、微分等运算。
在数学领域，变分法广泛应用于各个领域，包括微分方程、优化问题、控制理论等。
在实际应用中，变分法被广泛用于物理学、工程学、经济学等学科中的模型建立和问题求解。
本篇文章旨在介绍变分法及其在求解泛函极值问题中的应用。
文章将从变分法的基本概念开始，进一步探讨其在求解泛函极值中的具体应用，以及相关的数学原理。
通过对变分法的深入分析和讨论，我们将探索变分法在求解泛函极值中的意义和局限性，并对未来研究方向进行展望。
通过阅读本篇文章，读者将能够了解变分法的基本概念和数学原理，并掌握如何应用变分法求解泛函极值的方法和技巧。
同时，本篇文章还将对变分法在实际应用中的意义和局限性进行讨论，以及未来研究方向的展望，为读者提供更深入的思考和研究的方向。
下一节将介绍本文的结构和各个部分的内容。
1.2 文章结构本文共分为三个主要部分：引言、正文和结论。
每个部分都有特定的目标和内容。
引言部分主要介绍本文的背景、研究意义和目的。
首先，我们将对变分法的基本概念和相关术语进行简要的介绍，以便读者对后续内容有初步的了解。
其次，我们将说明本文的结构和章节安排，帮助读者快速了解文章的整体框架和逻辑。
正文部分是本文的核心内容，主要包括三个小节。
首先，我们将详细介绍变分法的基本概念，包括泛函、变分和变分问题的定义。
然后，我们将探讨变分法在求泛函极值中的应用，介绍一些典型的例子和实际问题。
最后，我们将解释变分法的数学原理，包括欧拉-拉格朗日方程和变分问题的极值条件。
结论部分对本文的主要内容进行总结，并进行进一步的讨论和展望。
首先，我们将对整个文章进行简要回顾，概括出变分法求泛函极值的关键点。
然后，我们将探讨变分法在求泛函极值中的意义和局限性，以及对未来研究方向的展望。
泛函与变分简介 ppt课件
ppt课件
11
泛函的极值――变分法
对于不同的自变量函数
，与此相应的泛函
也有不同的数值．找出一个确定的自变量函数
，使泛函
具有极值（极小或极大），这种泛函的极小值与极大
值统称为泛函的极值．
ppt课件
12
引入泛函的概念后，对于上述的最速降线问题变为泛函 的极小值问题．物理学中常见的有光学
中的费马(Fermat)原理，分析力学中的哈密顿 (Hamiton)原理等，都是泛函的极值问题．
ppt课件
5
变分法的基本概念
泛函 变分法研究的对象是泛函，泛函是函数概念的推广．
为了说明泛函概念先看2个例题：
பைடு நூலகம்
ppt课件
6
ppt课件
7
ppt课件
8
ppt课件
9
ppt课件
10
泛函通常以积分形式出现，比如上面描述的最速降线 落径问题的公式．更为一般而又典型的泛函定义为
其中
称为泛函的核．
ppt课件
17
ppt课件
18
ppt课件
19
ppt课件
20
ppt课件
21
ppt课件
22
ppt课件
23
ppt课件
24
ppt课件
25
即为
ppt课件
26
不显含 ，故其E-L方程为（17.2.7）式
令
，故有
ppt课件
27
令 再令
，分离变量得到 ，代入上式得到
即得到
此即为摆线的参p数pt课方件 程，积分常数可由初始位置28
．由(17.1.8)，有
，即
ppt课件
（17.2.3）
泛函和泛函的极值
泛函和泛函的极值泛函和泛函的极值泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。
变分法的基本问题是求解泛函的极值。
作为变分法的简单例题。
考察x,y平面上连接两个定点的所有曲线中，求满足边界条件的任意曲线y(x)中最短曲线。
设P(x，y)和P(x，y)为平面上给定的两点，y(x)为连接两点的任意曲111222 线。
于是，这一曲线的长度为连接P，P2两点的曲线有无数条，每一条曲线都有一个L值与其对应。
满1 足边界条件的(xy)称为容许函数，问题是要从这些曲线，容许函数中找出使得曲线长度L最小的一条。
根据上式，L [y]依赖于y(x)，而y(x)是x的函数，因此称y(x)为自变函数;L [y]是倚赖于自变函数的函数，称为泛函。
求解最短程线问题，即在满足边界条件在x=x时， y(x)=y y'(x)= y' 1111在x=x时， y(x)=y y'(x)= y' 2211的函数y(x)中，求使得泛函L [y]为极值的特定函数。
因此 y(x)称为容许函数。
上述问题应用变分法可以概括为求解泛函在边界条件 y(x)=y, y(x)=y2的极小值问题。
112假设函数y(x)是使得泛函L [y]为最小的特定函数(真实的)。
变分法有兴趣研究的是邻近于y(x)的任意容许函数引起泛函L []的改变。
设其中, 为小参数，而, (x)为边界值为零的任意函数。
当x固定时，容许函数与y(x)的差 , y 称为泛函自变函数的变分，即类似地，容许函数的斜率与y(x)斜率的差, y', 称为泛函自变函数斜率的变分，即应该注意 , y 与函数y(x)的微分dy之间的差别，dy是自变量x的改变量dx 引起的y(x)的无穷小增量。
而变分, y 是 y(x)的任意一个微小的改变量。
设泛函增量按泰勒级数展开，则设泛函的增量由泛函的变分表示，有分别定义为泛函的一阶，二阶或k阶变分，分别为, 的一次，二次或者k次齐次式。
数学中的泛函方程与变分法
数学中的泛函方程与变分法泛函方程与变分法是数学中重要的概念和方法，广泛应用于物理学、工程学等领域。
本文将介绍泛函方程的定义和变分法的基本原理，并通过实例来说明其在数学中的应用。
一、泛函方程的定义泛函方程是指以函数为未知量的方程。
与常见的代数方程不同，泛函方程涉及到函数的变化与整体性质，需要运用变分法来求解。
以泛函方程的典型形式为例，设函数空间F中的函数为y(x)，泛函方程可写为：J[y]=∫(a, b) F(x, y, y') dx = 0其中，a和b是给定的常数；F是一个关于x、y和y'（即y的导数）的已知函数。
二、变分法的基本原理变分法是通过对泛函进行极值问题的求解方法，其基本原理是最小作用量原理，即作用量的极值对应于物理系统的真实运动。
对于泛函J[y]，设有函数y(x)在区间[a, b]上有连续的变分δy(x)，则可定义泛函的变分为：δJ = J[y + δy] - J[y]根据变分的数学性质，可以将δJ展开为：δJ = ∫(a, b) [∂F/∂y δy + ∂F/∂y' δy'] dx其中，δy和δy'分别是y和y'的变分。
根据变分法的基本原理，要使泛函J[y]取得极值，必须满足变分δJ=0的条件。
三、泛函方程与变分法的应用举例1. 最小作用量原理最小作用量原理是变分法的典型应用之一。
以经典力学中的拉格朗日力学为例，根据哈密顿原理，系统的运动轨迹为使作用量S取极值的轨迹。
作用量S可以表示为：S = ∫(t1, t2) L(q, q', t) dt其中，q是广义坐标；q'是广义速度；L是拉格朗日函数。
根据变分法的原理，要使作用量S取得极小值，即变分δS=0。
通过对作用量S进行变分运算，可以得到系统的欧拉－拉格朗日方程，从而求解系统的运动方程。
2. 微分方程的边界值问题变分法还可以应用于求解微分方程的边界值问题。
考虑一个一维边界值问题，设函数y(x)在区域[a, b]上满足微分方程和边界条件：F(x, y, y') = 0, G(y(a), y(b)) = 0通过引入拉格朗日乘子λ(x)和一个新的泛函K[y, λ]，可以将边界值问题转化为极值问题。
泛函极值问题的求解
泛函极值问题的求解泛函极值问题的求解使用变分法。
泛函极值问题是指在给定约束条件下，求一个泛函的极值。
泛函是一个函数的函数，即输入是函数，输出是一个实数。
假设有一个泛函J[f]，其中f是一个函数，我们要求使得J[f]取得极小值或极大值。
解决这个问题的方法是通过变分法，变分法的基本思想是将函数f沿着任意变化，并计算J[f]的变化。
如果变化很小，那么我们可以认为J[f]的变化主要来自于f的变化。
为了使用变分法求解泛函极值问题，需要定义一个变分算子δ，表示函数f的变分。
变分算子的定义如下：δ[f(x)] = εh(x)其中，ε是一个很小的实数，h(x)是一个任意函数。
使用变分算子之后，泛函的变化可以表示为：δJ[f] = J[f + εh(x)] - J[f]对δJ[f]进行展开，再取ε趋近于0的极限，得到以下关系：δJ[f] = 0这个关系成为欧拉方程，它是求解泛函极值问题的基本方程。
根据具体的泛函形式和约束条件，可以使用欧拉方程得到具体的解。
需要注意的是，在变分法中，要求函数f满足一定的边界条件。
边界条件是泛函极值问题中的附加条件，通过这些条件可以得到具有特定特征的解。
总结起来，求解泛函极值问题的步骤如下：1. 定义泛函J[f]以及函数f满足的边界条件；2. 引入变分算子δ并计算δJ[f]；3. 使用欧拉方程δJ[f] = 0 求解得到f的表达式；4. 检验解是否满足边界条件，如果不满足，则舍去；5. 找到所有满足边界条件的解，分别计算J[f]，选择其中极小值或极大值作为泛函的极值。
需要注意的是，求解泛函极值问题需要具备一定的数学知识和技巧，对欧拉方程的求解以及边界条件的选择都有一定的要求。
因此，在具体求解时可能需要借助一些数学工具和方法。
有限元基础(泛函、变分与变分法)
因此
aT K a ＝ aT K a
＝ aT( Ka - P ) ＝ 0 由 a 的任意性，就得到(1.3.6)式：
Ka — P ＝ 0
1.3.2 变分原理的建立
1.线性、自伴随微分算子
线性算子
具有以下性质的算子 L 称为线性算子
其中和是两个常数
内积
算子L(u)与任意函数v的 内积 定义为
则被积函数 (x) 在区间 a ≤x≤b 上必处处为零，即
1.3 变分原理和里兹方法
1.3.1 变分原理
变分原理定义
部分物理问题存在一个泛函： 而问题的解 u 使泛函取驻值，即 利用此式求解的方法称为变分法或变分原理
里兹（Ritz）法
选择试探函数：
其中N为已知函数，a为待定参数
代入泛函积分式，泛函变为普通实函数 令泛函变分为零
5. 变分法
求泛函极值的数学方法称为变分法。 泛函极值的必要条件： J = 0
充分条件：J = 0 且：2J >0 极小值 2J < 0 极大值
变分法基本预备定理：
设 (x) 是闭区间 a ≤x≤b 上的连续函数，y 是该区间上自变函数 y(x) 的变分，如果 y 在满足 约束条件的前提下任意变化时，下式始终成立
与以上微分提法相等效的伽辽金提法为
(1.3.21)
若算子L是线性、自伴随的，则有如下关系：
将其代入(1.3.21)式得
若令 则上式可表示为变分原理：
(1.3.23) 此处Π就是原问题的泛函，因为此泛函中u的最高 次为二次，所以是二次泛函。
3. 泛函的极值性
条件：
1.算子L是偶数（2m）阶的；
由于 y 与 y, y, , y(n) 无关，所以
泛函和变分法
四】
依赖于多个函数的泛函
泛函的一般形式
欧拉J [ 方y 1 , 程y 2 , ,y m ]= x x 0 1 F ( x ,y 1 ,y 2 , ,y m ,y 1 ,y 2 , ,y m ) d x
F-d(F)=0, i=1,2, ,m yi dxyi
例：求解以下泛函的极值问题
J[y,z]=/2(y2z22y)zdx 0
L y = l r 【x】 y
本征值：l一 l二 l三 …
本征函数：y一【x】!! y二【x】!! y三【x】!! … 构成完备正
lr r d 交系L n ( x ) y = n( x ) y n ( x ),a b y m ( x ) y n ( x )( x ) d x = mn
任意函数 f【x】 【要求一阶导数连续、二阶导数分段连
√
泛函和变分的基本概念【四/四】
最简泛函的一阶和二阶变分
其中 d J 称为泛函的一阶变分!!d 二J 称为二阶变分 泛函的极值条件就是一阶变分为零：d J = 0
√
最简泛函的极值问题【一/九】
最简泛函的欧拉方程
最简泛函的极值——欧拉方程
欧拉方程的解仅仅对应极值函数!!不关心泛函的大小
解：
√
四】
依赖于多元函数的泛函
泛函的一般形式
J[u1(x,y)u ,2(x,y)]=DF(x,y,u1,u2,p1,p2,q1,q2)dxdy
p1= u x1,
q1= u y1,
p2= u x2,
q=u2 y
欧拉方程
F - ( F ) - ( F )= 0 , F - ( F ) - ( F )= 0 u 1 x p 1 y q 1 u 2 x p 2 y q 2
变分法和泛函分析的研究
变分法和泛函分析的研究变分法和泛函分析是数学中的两个重要分支。
变分法是研究函数极值问题的数学方法，泛函分析则是研究无限维函数空间及其性质的数学方法。
本篇文章将简单讨论这两个领域的研究方向和应用。
一、变分法变分法是研究函数极值问题的数学方法，主要应用于微积分，控制论，力学，量子力学等领域。
它的主要思想是将函数极值问题转化为求函数满足一定条件下使得某一个积分或泛函取得最小值。
在变分法中，关键是如何寻找函数使得积分或泛函取得最小值。
常见的变分法问题有：1. 线性泊松方程问题。
研究在区域Ω内满足边界条件和齐次边界条件的调和函数u(x,y)的最大值和最小值。
2. 自然边界问题。
研究在区域Ω内满足边界条件和齐次边界条件的函数u(x,y)的最大值和最小值。
3. 牛顿优化问题。
研究带有约束条件的非线性优化问题。
4. 最小化曲线问题。
研究如何使得曲率最小的曲线，或满足特定要求的曲线。
在变分法中，最重要的数学工具是变分和变分运算。
a. 变分对于一个函数f，定义其变分为δf。
变分的数学表达式为：δf= lim(ε→0) (f(x+ε)-f(x))/ε，其中ε为一个很小的正数，x为函数的自变量。
b. 变分运算变分运算就是利用变分对函数进行改变，以求出最小值或最大值。
变分运算有以下几种形式：1. 线性变分对于一个函数f(x)，它的线性变分为：δf= ∫ δf(x)φ(x)dx其中φ为一个定义在R上的函数。
2. 泛函的导数对于一个泛函F(f)，它的导数为：dF(f)/dt= lim(ε→0) [F(f+εh)-F(f)]/ε其中h为定义在R上的函数。
3. 求极值将要求的极值代入泛函的导数中，得到求极值的条件。
dF(f)/dt=0以上就是变分法的基本理论和方法。
二、泛函分析泛函分析是研究无限维函数空间及其性质的数学方法。
它的研究对象是无限维的函数空间和在此空间上的函数，例如Sobolev空间，L2空间等。
泛函分析发展起来的原因是线性代数和实变函数分析的方法无法处理无限维空间中的问题。
第3章条件极值问题的变分法(16K)
第3章 条件极值问题的变分法§3.1 函数的条件极值问题，拉格朗日乘子这里让我们概要的说明在给定的约束条件下，函数的极值问题。
这类附带约束条件的极值问题，称为函数或泛函的条件极值问题。
对于一个函数，如),(y x F ，其绝对极小值是根据下面条件求得，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∂∂==∂∂0),(0),(y x F y Fy x F x F y x （3-1）解（3-1）式，可以求出相应的解11,y x ，将1x 与1y 代入函数),(y x F 则可获得函数的绝对极小（极大）值。
如果我们给定一约束条件),(y x ϕ，则表示),(y x F 在给定的约束条件),(y x ϕ的情形下，求),(y x F 的极值。
显然，这种带有约束条件下求极值，相当于把所求范围缩小了，如果存在有极值的话，那么，这个极值不是绝对极小（或极大）值，而是相对值，它总大于（或等于）无条件时的极小值，或总小于（或等于）无条件时的极大值。
对这类条件极值问题，一般多利用所谓的拉格朗日乘子法。
拉格朗日乘子法可以如此理解，),(y x F 的极值条件可以写成0d d d =∂∂+∂∂=y yFx x F F （3-2） 约束条件可以写成0),(=Φy x （3-3）因此（3-2）式中的x d ,y d 不是独立的，而是由（3-3）式的微分关系式0d d =∂Φ∂+∂Φ∂y yx x （3-4） 连系着的。
假定0≠∂Φ∂y ，解（3-4）式，得yx xy∂Φ∂∂Φ∂-=d d （3-5）而（3-2）式可化为0d )(d )d d (d =∂Φ∂∂Φ∂-∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=x yx y F x F x x y y F x F F （3-6）于是把（3-6）式与（3-3）式连在一起，是求解极值点11,y x 的两个方程式。
如果用拉格朗日乘子法，可构造以下函数，如),(),(),,(y x y x F y x F Φλ+=λ* （3-7）式中λ称为拉格朗日乘子。
变分法泛函极值问题PPT课件
F x
d dt
(
F x
)
0
（3-3）
上式称为欧拉——拉格朗日方程。
（3-2）式中第二项为零的条件要分两种情况来讨论：
.
15
1、 固定端点的情况
这时 x(t0 ) x0 , x(t f ) x f，它们不发生变化，所 以 x(t0 ) x(t f ) 0 。而（3-2）中第二项可写成
F x
x
JX ,X X
这里，JX ,X 是X 的线性泛函，若 X 0时， 有 0，则称JX ,X 是泛函 JX 的变分。J 是 J
的线性主部。
.
9
6、泛函的极值：若存在 0 ，对满足的
X X一* 切 X，
J (X ) 具J (有X *同) 一符号，则
称 J ( X ) 在 X X *处有极值。
（3-21）与（3-22）一起称为哈密顿正则程。
.
39
（3-23）是控制方程，它表示 H 在最优控制处取 极值。
注意，这是在U为任意时得出的方程，当 U (t)有界且 在边界上取得最优值时，就不能用这方程，这时要用 极小值原理求解。
（3-24）是在 固定、t f
自X (t由f ) 时得出的横截条件。
容易验证 x(t) 0时， J 0 对应局部极小；x(t) 2t 3
时， J 4 27 ，对应局部极大。
.
28
3.3 有约束条件的泛函极值 ——动态系统的最优控制问题
前面讨论泛函极值问题时，对极值轨迹 X *(t) 没有附 加任何约束条件。但在动态系统最优控制问题中， 极值轨迹必须满足系统的状态方程，也就是要受到 状态方程的约束。考虑下列系统
是指同属于函数类X (t)中两个函数X1(t) 、X 2 (t) 之差
非线性泛函分析中的变分问题与极值点
非线性泛函分析中的变分问题与极值点在非线性泛函分析中，变分问题与极值点是一个重要的研究方向。
本文将介绍非线性泛函分析中的变分问题与极值点，并对其进行详细的探讨和分析。
一、引言非线性泛函分析是数学中的一个重要分支，研究具有非线性性质的泛函和方程的性质与解的存在性、唯一性等问题。
变分问题与极值点是非线性泛函分析中的一个重要概念，它在实际问题中有着广泛的应用，例如物理学中的最小作用量原理以及经济学中的效用最大化原理等。
二、变分问题的定义在非线性泛函分析中，变分问题是研究泛函的极值性质的一个重要问题。
给定一个泛函J[u]，其中u是一个函数或曲线，变分问题要求寻找这样的函数或曲线u，使得J[u]取得极值。
其中，泛函J[u]可以表示为一个积分表达式，即J[u]=∫(a,b)L(x,u,u')dx其中L是关于x、u和u'的函数，u'表示u关于x的导数。
三、极值点的定义在非线性泛函分析中，极值点是指使得泛函取得极值的点。
对于泛函J[u]，如果存在一个函数或曲线u_0，使得J[u_0]≤J[u]对于所有的函数或曲线u成立，则称u_0为泛函J[u]的极小点。
反之，如果J[u_0]≥J[u]对于所有的函数或曲线u成立，则称u_0为泛函J[u]的极大点。
四、变分问题的解法变分问题的解法主要有两种方法，一种是通过直接极值原理求解，另一种是通过变分法求解。
1. 直接极值原理直接极值原理是通过求解变分问题的欧拉-拉格朗日方程得到极值解。
欧拉-拉格朗日方程是由变分问题的泛函求导得到的常微分方程。
通过求解欧拉-拉格朗日方程，可以得到变分问题的极值解。
2. 变分法变分法是通过选择一个合适的函数类，利用泛函的特性和性质，推导出变分问题的解。
变分法常用的方法有弱解和弱极值解等。
五、实例探究为了更好地理解非线性泛函分析中的变分问题与极值点，我们以一道经典的例题进行探究。
例题：考虑如下泛函J[u]=∫(0,1)(u'^2-2u)dx其中u(0)=0，u(1)=1。
第三章待定边界泛函的变分原理(16K)
第三章 待定边界泛函的变分问题§3.1 泛函为x y y x F x x d ),,(21⎰'的边界待定的变分原理前面两章中，泛函积分限都是已给的，在边界或端点上，)(x y 的边界值是一定的，是不变的。
而对于那些边界限已给，但)(x y 的边界值不固定的问题而言，都可以找到相应的自然边界条件。
总的讲来，所有这类问题的边界都是预先给定了的。
这类问题极多，如梁给出了两端的坐标物理参数及几何尺寸，板同样也给出了边界的相应参数等等。
但也有其他情况，其边界并不给定而是待定的，如弹塑性问题就属于这一类问题，当物体受力时，在物体内部即有弹性区域，又有塑性区域，而弹性区域的交界面并不是事先给定的，这个交界面总是由总体平衡和内部应力分布相互制约下达到的，是根据一定的受力状态待定的边界面、交界面决定的，也属于待定边界变分问题的目的之一。
类似这类问题是很多的，如接触问题也是如此，因为接触面是随受力情况而变化的，接触面的尺寸不能事先给出。
现在从最简单的变分泛函开始。
设泛函⎰'=∏21d ),,(x x x y y x F （3-1）泛函的积分限1x 及2x 都可以是待定的，也可以一个1x 为已给，而另一个2x 为待定的。
在下面，让我们首先研究1x 已给，2x 待定的终点待定问题。
这类问题往往对终点也有限制，如限制终点在某已知曲线（或曲面上）等，或其它限制终点变化的约束条件等。
这类终点待定的变分原理虽然是属于最简单的待定边界的变分问题，但它可以反映这类问题的基本特点，也可以反映处理这类问题的基本原理。
对于边界已给定不变的变分问题，其欧拉方程为0)(d d ='∂∂-∂∂y Fx y F （3-2） 在固定的边界条件下，使泛函（3-1）式达到极值)(x y ，必为欧拉方程（3-2）式的解。
（3-2）式是一个)(x y 的二阶微分方程，其解中有两个积分常数1c 和2c 。
于是，它的解可以写成),,(21c c x y y =。
泛函极值问题
最大收益：手把手教你解决泛函极值问题泛函极值问题是数学领域的一个热门话题，近年来受到越来越多的关注。
其实，泛函极值问题也是一道数学问题，主要是针对对应一些映射关系的函数中，找到最大（最小）值点的问题。
本文将介绍泛函极值问题的相关知识点和解决方法。
首先，我们需要了解的是泛函的概念。
泛函是一类将元素集合映射成某个数域上的元素的映射函数，其中元素集合可以是一个函数空间或若干个函数空间的笛卡尔积。
泛函可以看作是一种从函数空间到数域上的函数映射，常用于函数空间中的极值问题。
接下来，我们来讲解一下泛函求最值的方法。
通常情况下，我们使用变分法进行求解。
变分法，又叫变分原理，是一种数学、力学、物理用于求解函数极值问题的方法，是一种求变分的极值，即求泛函的最小值的方法，是泛函分析的基本工具。
使用变分法求解泛函极值问题，通常需要先写出泛函和变分定义式，再对变分定义式进行接下来的运算，求解出泛函极值。
具体步骤为：
1.将泛函用变分定义式进行表达
2.对变分定义式进行展开和简化
3.利用变分定义式求一阶变分
4.把一阶变分代入变分定义式
5.消去高阶无穷小
6.得到泛函极值条件
通过以上步骤，我们可以使用变分法轻松解决泛函极值问题。
总的来说，泛函极值问题是一道比较困难的数学问题，需要我们结合数学知识和实际应用场景进行解决。
通过本文的介绍，相信读者们能够深入了解泛函极值问题的相关概念和解决方法，进而提升自己的求解能力。
第三章极大值原理（MaximumPrinciple）（MaximumPrinciple）
• 取 Z 2 g 可以保证g非负；而由 u(t) 的分段连续性，有 w (t) 的分
段连续性，则进一步有w(t)分段光滑连续。因此，可以采用
Lagrange乘子法进行求解。
• 分别取Lagrange乘子 Rn， Rr， R ，p 构造广义性能指标
Ja (u) [ x(t f ), t f ] T [ x(t f ), t f ]
g[x(t),u(t),t] ≥0
（3-2-4）
则为把状态x(t)自初始状态
x(t0 ) x0
转移到满足边界条件
[ x(t f ), t f ] 0
的终态，其中tf未知，并使性能指标（泛函）
达J到(u最) 小 值[x，(t实f )现, t f最]优tt控0f L制[x的(t)条, u件(t)是, t：)]dt
u
以上即为极大值原理的简单推导。
（3-2-32） （3-2-33） （3-2-33’）
至此可以将庞特里亚金极大值原理表示为：
定理3-1：设系统的状态方程为
x(t) f [x(t),u(t),t]
（3-2-1）
控制变量u(t)是有第一类间断点的分段连续函数，属于m维空间中 的有界闭集Ω，满足不等式约束条件
以上定义可以从平面场拓展到n维空间场。
维尔斯特拉斯E函数 （Weierstrass Erdmann Function）
设有泛函
J ( x) t f L[ x(t ), x(t ), t] dt t0
若用p(x,t)表示其极值曲线场中极值曲线斜率，则可以证 明泛函增量可表示为
J( x) t f E[x(t), x(t), p( x, t), t] dt t0
F w
(Z
Z * )T
泛函极值与变分法
泛函极值与变分法7.2 泛函极值与变分法变分法是解决泛函极值的基本方法。
1. 泛函TJFxtutttSxT,，[(),(),]d[()]例指标的值 ,t0utttT(),[,],依xt()、是函数的函数,泛函 0xt()和ut()作为泛函的“自变量”，称为泛函的宗量例7.1 最短弧长问题:Axyx(,())Bxyx(,())yyx,()设过和 1122第 1 页共 27 页y B(x,y(x))22,若连续可微，则 yx()y(x)x22Jyx,，1d，(7.5) ,x1,A(x,y(x))11是的泛函. yx()ox图 7.12. 泛函极值yxY(){},,函数集设 JJyx,(())，若有，使 yY,,JyJy()min(),,JyJy()max(),,或，yY,yY,则称泛函J有极小值或极大值。
第 2 页共 27 页3. 变分 ,函数的微分宗量变分: 在处的增量,yxyxyx()()(),, yx() yx()yx()yx(),yxyxyx()()(),,OxOx第 3 页共 27 页泛函增量: ,JJyxJyx,,[()][()] ,，,JyxyxJyx[()()][()],泛函变分:若,,,JLyxyxryxyx,，[(),()][(),()],式中:Lyxyx[(),()],是,yx()的线性连续泛函，即LyxkyxkLyxyx[(),()][(),()],,,,,ryxyx[(),()],是,yx()的高阶无穷小项，则称泛函J是可微的，Lyxyx[(),()],而称为泛函的变分，第 4 页共 27 页记为。
,,JLyxyx,[(),()]引理7.1 若泛函可微，则变分,,,JJyxayx()(),，. ,,a,a,0证,,JJyxayx()(),，,lim ,,a,0a,aa,0Lyxayxryxayx[(),()][(),()],,,， limlimaa,,00aa第 5 页共 27 页aLyxyxryxayx[(),()][(),()],,,，limlim()yx,aa,,00aayx() ,。
现代控制理论7-2变分法求泛函极值问题（六页版）.
(t x x= ([]tJJ x=ty泛函的变分e ecaccatc([]([]00≥−=Δt J t J J x x ([]([]0 0≤−=Δt J t J J x xcay HOT ⎤+⎥⎥⎦0fTt t L dt δ∂⎛⎞=⎜⎟∂⎝⎠∫x x ∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−f t t T dt L dt d 0x xδ&(例3：设有泛函J [x] = ∫0 极值的极值轨线 x*(t 已知边界条件 x(0＝0，x(π/2＝2。
求使J [x]达到 & & 解：L(x, x = x (t − x (t 2 2 欧拉方程c ∂L d ∂L − =0 & ∂x dt ∂x e a 。
π 2 & [x (t − x (t ]dt 2 2 返回x * (t = 2 sin t J* = ∫ =∫ π 2 2 0 & [x (t − x (t ]dt 2 2 ∂L ＝−2 x ∂x π 2 0 x + && = 0 x d ∂L ∂L ＝ && 2x ＝x ⇒ 2& & & dt ∂x ∂x 特征方程： r 2 + 1 = 0 x* (t = C1 cos t + C2 sin t 提醒：r1, 2 = α ± iβ x(t = eαt (C1 cos βt +C2 sin βt 横截条件 x(0＝0，x(π/2＝2 x(0＝0，x(π/2＝2 x * (t = 2 sin t t ds y c J* = ? dx = 4∫ [cos t − sin t ]dt = 4 ∫ [2 cos t − 1]dt π 2 2 2 0 c π 2 0 [(2 cos t − (2 sin t ]dt 2 2 e a π 2 0 ∫ π 2 0 cos 2 tdt 1 + cos 2t dt 2 前页=∫ π 2 0 π 2 1 π2 = ⎛ ∫ dt + ∫ cos 2tdt ⎞⎜⎟ 0 ⎠ 2⎝ 0 换元积分= = = 8∫ π 2 0 cos tdt − 4 ∫ 2 dt = 2π − 4 =0 π 2 1 π2 1 π dt + ∫ cos 2td ( 2t 2 ∫0 4 0 1 π2 1 = t |0 + sin 2t |π 2 0 2 4 = π 4 +0 t t0 y c tf 1 π cos udu 2 ∫0 例4：求平面上两固定点连线最短的曲线。
数学中的泛函分析与变分法
数学中的泛函分析与变分法泛函分析是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的泛函，即将函数映射到一个实数的映射。
泛函分析在理论物理学、优化理论、微分方程等领域有着广泛的应用。
而变分法是泛函分析中的一种重要工具，用于求解极值问题。
一、泛函分析泛函分析研究的是无限维的向量空间上的函数。
在实际应用中，常常会遇到无法用有限维向量空间中的向量来描述的问题，比如说波函数的描述、函数的优化等。
这时，泛函分析就发挥了重要作用。
在泛函分析的基础上，我们可以定义范数和内积的概念，使得我们能够在无限维的函数空间中度量距离和角度。
特别地，当我们考虑完备的函数空间时，我们能够定义连续性、收敛性等概念，并建立相应的定理和推论。
二、变分法变分法是求解极值问题的一种数学方法。
这种方法通过将问题转化成泛函极值问题，从而求解相应的函数。
变分法在物理学中有着广泛的应用，比如拉格朗日力学、经典场论等。
在变分法中，我们考虑对一个函数进行微小的变化，然后求得其对应的泛函的变分。
通过对变分进行求导，我们可以得到极值条件，进而求得极值解。
变分法所求得的极值解通常能够给出问题的最优解。
三、泛函分析与变分法的关系泛函分析为变分法的推导提供了数学基础。
在变分法中，我们需要考虑函数空间上的连续性、收敛性等性质，从而保证所求的极值解的存在性和唯一性。
这正是泛函分析的研究内容。
通过泛函分析中的概念和定理，我们能够得到变分法中的重要结果。
同时，变分法的应用也反过来推动了泛函分析的发展，为其研究提供了新的视角和问题。
结语泛函分析与变分法是数学中两个紧密相关的领域。
它们在物理学、工程学等方面的应用十分广泛，为解决实际问题提供了有效的数学工具。
通过深入研究泛函分析和变分法，我们能够更好地理解数学的美妙和应用的实用性。
数学中的泛函分析与变分法
数学中的泛函分析与变分法泛函分析和变分法是数学中重要的分支领域，它们在多个学科领域中有广泛的应用，尤其在物理学、工程学和经济学中。
本文将介绍泛函分析和变分法的基本概念、主要应用以及其在数学研究中的重要性。
一、泛函分析的基本概念泛函分析是研究函数空间及其上的泛函的数学分支。
在泛函分析中，函数被视为向量，函数空间被视为向量空间。
泛函是将函数映射到实数域的运算。
泛函分析的基本概念包括：1. 函数空间：函数空间是一组函数的集合，常用的函数空间有无限可微函数空间、连续函数空间和Lebesgue可积函数空间等。
2. 泛函：泛函是将函数映射到实数的映射，常见的泛函有函数的积分、导数和极限等。
3. 内积空间：内积空间是指具有内积运算的向量空间，它能够定义向量之间的夹角和长度。
4. 范数：范数是向量空间上的度量，它能够衡量向量的大小。
二、泛函分析的主要应用泛函分析在许多学科领域中有广泛的应用，以下是其中的几个主要应用：1. 物理学：泛函分析在量子力学中的应用非常重要，可以描述量子力学的态矢量和算符。
它还在经典力学中的变分原理和哈密顿力学中起到关键作用。
2. 工程学：泛函分析在工程学中的应用包括信号处理、图像处理、控制论和优化问题等。
例如，优化问题中的最优控制和最优化方法都是基于泛函分析的算法。
3. 经济学：泛函分析在经济学中的应用主要集中在最优化理论和均衡分析等方面。
它可以通过建立合适的目标函数和约束条件，来研究经济系统中的最优决策和均衡状态。
4. 数学研究：泛函分析在数学研究中非常重要，它为其他分支领域提供了理论支撑。
例如，在偏微分方程的研究中，泛函分析提供了强大的工具和方法。
三、变分法的基本原理变分法是一种用于求解泛函极值的数学方法，它是泛函分析中的重要内容。
通过变分法，可以求解函数的极值问题，对于约束条件下的极值问题也同样适用。
变分法的基本原理包括：1. 变分问题的建立：首先建立一个泛函，然后将其转化为一个求解极值问题。
第3章 用变分法解最优控制-泛函极值问题
基本概念：
如果对于某一类函数集合{X(t)}中的每一个 函数X(t)，均有一个确定的数J与之对应， 则称J为依赖于函数X(t)的的泛函，记作 J=J[X(t)]。
泛函 的连 续性
线 性 泛 函 自变 量函 数的 变分 自变量函数X(t)的变分δX是指同属于函数类 {X(t)}中两个函数X1(t)、X2(t)之差 δX= X1(t)- X2(t) 这里，t为参数。
Department of Industrial Engineering and Management
第3章 用变分法解最优控制 ——泛函极值问题
变分法基础
变分法：是处理函数的函数的数学领域，和处
理数的函数的普通微积分相对。变分法最终寻求 的是极值函数，它们使得泛函取得极大或极小值。 在动态系统最优控制问题中，性能指标是一 个泛函，性能指标最优即泛函达到极值
泛函问题
自变量函数为标量函数：
欧拉-拉格 朗日方程
1. 固定端点的情况
x(t0)=x0 ,x(tf)=xf
：
当δx(t0)=δx(tf)=0时，J取极值
2. 自由端点的情况
自变量函数为向量函数：
向量欧 拉-拉格 朗日方 程
变分法与极值问题的数学分析与解法
变分法与极值问题的数学分析与解法变分法是一种数学工具，用于解决极值问题。
它在数学和物理学中都有广泛的应用。
本文将对变分法的数学分析和解法进行探讨。
首先，我们来了解一下什么是极值问题。
在数学中，极值问题是指在一定条件下，求解函数的最大值或最小值。
通常，我们通过求函数的导数为零的点来找到极值点。
然而，对于一些特殊的问题，这种方法并不适用。
这时，变分法就派上了用场。
变分法起源于经典力学中的最小作用量原理。
它的基本思想是，将函数的变分看作是一个新的未知函数，通过对这个未知函数进行变分，求解出使得泛函（函数的函数）取得极值的函数。
在变分法中，我们通常将泛函写成一个积分形式，如下所示：\[J[y]=\int_{a}^{b}F(x,y,y')dx\]其中，\[y\]是未知函数，\[y'\]是\[y\]的导数，\[F(x,y,y')\]是\[x,y,y'\]的函数。
我们的目标是找到使得\[J[y]\]取得极值的\[y\]。
接下来，我们将通过一个具体的例子来说明变分法的应用。
考虑如下的极小化问题：\[J[y]=\int_{0}^{1}(y'^{2}-y^{2})dx\]其中，\[y(0)=0\]，\[y(1)=1\]。
我们的目标是找到使得\[J[y]\]取得极小值的\[y\]。
首先，我们将\[J[y]\]写成泛函的形式：\[J[y]=\int_{0}^{1}(y'^{2}-y^{2})dx=\int_{0}^{1}L(y,y')dx\]其中，\[L(y,y')=y'^{2}-y^{2}\]是拉格朗日密度。
接下来，我们对\[y\]进行变分，即将\[y\]替换为\[y+\epsilon\eta\]，其中\[0\leqx\leq 1\]，\[\epsilon\]是一个无穷小量，\[\eta\]是一个任意函数。
然后，我们将\[J[y+\epsilon\eta]\]展开成泰勒级数：\[J[y+\epsilon\eta]=J[y]+\epsilon\int_{0}^{1}\left(\frac{\partial L}{\partialy}\eta+\frac{\partial L}{\partial y'}\eta'\right)dx+O(\epsilon^{2})\]其中，\[O(\epsilon^{2})\]表示高阶无穷小。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
F (x)ttf
x(tf )0
（3-7）
F (x)tt0
x(t0)0
（3-8）
（3-7）、（3-8）称为横截条件。
.
当边界条件全部给定（即固定端点）时，不需 要这些横截条件。当 x(t0 ) 给定时，不要（38）。当 x(t f ) 给定时，不要（3-7）。
.
3.2.2 泛函的自变量函数为向量函数的情况
Jtf t0
XT X Fd d(t X F ) d tXT X F tt0 f
向量欧拉——拉格朗日方程为
式中
F X
X Fd dt( X F ) 0
F
x
1
F
x
2
F
x n
F
x 1
F
F X
x 2
F
x n
.
(3-11)
横截条件为（自由端点情况）
可得
tf t0
udvuvtt0f
tf vdu t0
Jtf t0
F xd d(t F x )xd tF x xtt0 f
.
（3-2）
J取极值的必要条件是 J 等于零。因 x 是任 意的，要使（3-2）中第一项（积分项）为零， 必有
Fd (F)0 x dt x
（3-3）
上式称为欧拉——拉格朗日方程。
J tf Fx(t),x (t),tdt t0 .
（3-1）
为此，让自变量函数 x (t )、x(t )在极值曲线x* (t)、x* (t) 附
近发生微小变分x、x，即
x(t)x*(t)x(t)
x (t)x *(t)x (t)
于是泛函J 的增量J 可计算如下（以下将*号省去）
Jtf t0
为了判别是极大还是极小，要计算二阶变 分 2 J。但在实际问题中根据问题的性质容易
判别是极大还是极小，故一般不计算 2 J 。
.
3.2 无约束条件的泛函极值问题
3.2.1 泛函的自变量函数为标量函数的情况
为简单起见，先讨论自变量函数为标量函数 （一维）的情况。我们要寻求极值曲线 x(t)x*(t)， 使下面的性能泛函取极值
（3-2）式中第二项为零的条件要分两种情况来讨论：
.
1、 固定端点的情况
这时 x(t0)x0,x(tf)xf，它们不发生变化，所 以 x(t0)x(tf)0。而（3-2）中第二项可写成
F tf F
F
x x t0
(x )ttf
x(tf)(x )tt0
x(t0)
（3-4）
当 x(t0)x(tf)0 时，（3-4）式自然为零。
.
2、自由端点的情况
这时 x(t0 )和 x(t f ) 可以发生化，x(t0)0,x(tf)0，
而且可以独立地变化。于是要使（3-2）中第二项 为零，由（3-4）式可得
F (x)ttf
x(tf )0
F (x)tt0
x(t0)0
（3-5） （3-6）
.
因为这里讨论 x (t )是标量函数的情况，x(t0 ) 和 x(t f ) 也是标量，且是任意的，故（3-5）、（3-6）可化 为
F X
0
（当 t t0 和 t t f 时）
.
例3-1 求通过点（0，0）及（1，1）且使
J 1(x2 x2)dt 0
取极值的轨迹 x * (t )。
.
解 这是固定端点问题，相应的欧拉——拉格朗日方
程为 即
2x d (2x) 0 dt
x x0
它的通解形式为
式中：
x(t)AchB t sht
.
3.1 变分法基础
先来给出下面的一些定义。
1、泛函： 如果对某一类函数X(t)中的每一个函
数X (t)，有一个实数值J与之相对应，则称J为依赖于
函数X (t)的泛函，记为
JJX(t)
粗略来说，泛函是以函数为自变量的函数。
.
2、泛函的连续性：若对任给的 0，存在 0
当 X(t)Xˆ(t) 时，就有
第三章 用变分法解最优控制 —泛函极值问题
.
本章主要内容
➢ 3.1 变分法基础 ➢ 3.2 无约束条件的泛函极值问题 ➢ 3.3 有约束条件的泛函极值——动态系
统的最优控t f 制问题 ➢ 3.4 小结
返回主目录 .
在动态系统最优控制问题中，性能指标是一个 泛函，性能指标最优即泛函达到极值。解决泛函极 值问题的有力工具是变分法。所以下面就来列出变 分法中的一些主要结果，大部分不加证明，但读者 可对照微分学中的结果来理解。
et et
et et
ch t
, sht
2
2
.
由初始条件 x(0) 0 ，可得A=0。 再由终端条 件 x(1) 1 ，可得 B1 sh1，
的线性主部。
.
6、泛函的极值：若存在 0 ，对满足的 X X* 一切X，J(X)J(X*)具有同一符号，则
称 J ( X ) 在 XX*处有极值。
.
定理：J (X ) 在 XX*处有极值的必要条件是对 于所有容许的增量函数 X（自变量的变分）， 泛函 J (X )在 X *处的变分为零
J(X*,X)0
F xx ,x x ,t F x ,x ,t d
t
tt0 f F xx F x & x & o (x)2,(x & )2 d t
上式中 o[(x)2,(x&)2]是高阶项。
.
根据定义，泛函的变分 J 是 J的线性
主部，即
J
tf t0
F xx F x x d
t
对上式第二项作分部积分，按公式
现在，将上面对 x(t) 是标量函数时所得到的公式推 广到X (t)是n维向量函数的情况。这时，性能泛函为
式中
J tf F(X,X,t)dt t0
x1(t)
X
x
2
(
t
)
x n (t)
x1 ( t )
X
x2
(
t
)
xn
(
t).(3-) (3-10)泛函变分由（3-2）式改为
J(X)J(Xˆ)
则称J (X )在 Xˆ 处是连续的。
.
3、线性泛函：满足下面条件的泛函称为线性泛函
JXJX
J(X Y ) J(X ) J(Y )
这里是实数，X和 Y是函数空间中的函数。
.
4、自变量函数的变分：自变量函数 X (t)的变分 X
是指同属于函数类X(t)中两个函数X1(t) 、X2(t) 之差
XX 1(t)X2(t)
这里, t 看作为参数。当 X (t) 为一维函数时，X 可用图3-1来表示。
.
图3-1自变量函数的变分
.
5、泛函的变分：当自变量函数 X (t)有变分X时， 泛函的增量为
J J X X J X
JX,XX
这里，JX,X是X 的线性泛函，若 X 0时， 有 0，则称JX,X是泛函 JX的变分。J 是 J