第三章变分法泛函极值问题
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J(X)J(Xˆ)
则称J (X )在 Xˆ 处是连续的。
.
3、线性泛函：满足下面条件的泛函称为线性泛函
JXJX
J(X Y ) J(X ) J(Y )
这里是实数，X和 Y是函数空间中的函数。
.
4、自变量函数的变分：自变量函数 X (t)的变分 X
是指同属于函数类X(t)中两个函数X1(t) 、X2(t) 之差
可得
tf t0
udvuvtt0f
tf vdu t0
Jtf t0
F xd d(t F x )xd tF x xtt0 f
.
（3-2）
J取极值的必要条件是 J 等于零。因 x 是任 意的，要使（3-2）中第一项（积分项）为零， 必有
Fd (F)0 x dt x
（3-3）
上式称为欧拉——拉格朗日方程。
（3-2）式中第二项为零的条件要分两种情况来讨论：
.
1、 固定端点的情况
这时 x(t0)x0,x(tf)xf，它们不发生变化，所 以 x(t0)x(tf)0。而（3-2）中第二项可写成
F tf F
wenku.baidu.com
F
x x t0
(x )ttf
x(tf)(x )tt0
x(t0)
（3-4）
当 x(t0)x(tf)0 时，（3-4）式自然为零。
F (x)ttf
x(tf )0
（3-7）
F (x)tt0
x(t0)0
（3-8）
（3-7）、（3-8）称为横截条件。
.
当边界条件全部给定（即固定端点）时，不需 要这些横截条件。当 x(t0 ) 给定时，不要（38）。当 x(t f ) 给定时，不要（3-7）。
.
3.2.2 泛函的自变量函数为向量函数的情况
.
2、自由端点的情况
这时 x(t0 )和 x(t f ) 可以发生化，x(t0)0,x(tf)0，
而且可以独立地变化。于是要使（3-2）中第二项 为零，由（3-4）式可得
F (x)ttf
x(tf )0
F (x)tt0
x(t0)0
（3-5） （3-6）
.
因为这里讨论 x (t )是标量函数的情况，x(t0 ) 和 x(t f ) 也是标量，且是任意的，故（3-5）、（3-6）可化 为
Jtf t0
XT X Fd d(t X F ) d tXT X F tt0 f
向量欧拉——拉格朗日方程为
式中
F X
X Fd dt( X F ) 0
F
x
1
F
x
2
F
x n
F
x 1
F
F X
x 2
F
x n
.
(3-11)
横截条件为（自由端点情况）
的线性主部。
.
6、泛函的极值：若存在 0 ，对满足的 X X* 一切X，J(X)J(X*)具有同一符号，则
称 J ( X ) 在 XX*处有极值。
.
定理：J (X ) 在 XX*处有极值的必要条件是对 于所有容许的增量函数 X（自变量的变分）， 泛函 J (X )在 X *处的变分为零
J(X*,X)0
et et
et et
ch t
, sht
2
2
.
由初始条件 x(0) 0 ，可得A=0。 再由终端条 件 x(1) 1 ，可得 B1 sh1，
为了判别是极大还是极小，要计算二阶变 分 2 J。但在实际问题中根据问题的性质容易
判别是极大还是极小，故一般不计算 2 J 。
.
3.2 无约束条件的泛函极值问题
3.2.1 泛函的自变量函数为标量函数的情况
为简单起见，先讨论自变量函数为标量函数 （一维）的情况。我们要寻求极值曲线 x(t)x*(t)， 使下面的性能泛函取极值
J tf Fx(t),x (t),tdt t0 .
（3-1）
为此，让自变量函数 x (t )、x(t )在极值曲线x* (t)、x* (t) 附
近发生微小变分x、x，即
x(t)x*(t)x(t)
x (t)x *(t)x (t)
于是泛函J 的增量J 可计算如下（以下将*号省去）
Jtf t0
第三章 用变分法解最优控制 —泛函极值问题
.
本章主要内容
➢ 3.1 变分法基础 ➢ 3.2 无约束条件的泛函极值问题 ➢ 3.3 有约束条件的泛函极值——动态系
统的最优控t f 制问题 ➢ 3.4 小结
返回主目录 .
在动态系统最优控制问题中，性能指标是一个 泛函，性能指标最优即泛函达到极值。解决泛函极 值问题的有力工具是变分法。所以下面就来列出变 分法中的一些主要结果，大部分不加证明，但读者 可对照微分学中的结果来理解。
XX 1(t)X2(t)
这里, t 看作为参数。当 X (t) 为一维函数时，X 可用图3-1来表示。
.
图3-1自变量函数的变分
.
5、泛函的变分：当自变量函数 X (t)有变分X时， 泛函的增量为
J J X X J X
JX,XX
这里，JX,X是X 的线性泛函，若 X 0时， 有 0，则称JX,X是泛函 JX的变分。J 是 J
.
3.1 变分法基础
先来给出下面的一些定义。
1、泛函： 如果对某一类函数X(t)中的每一个函
数X (t)，有一个实数值J与之相对应，则称J为依赖于
函数X (t)的泛函，记为
JJX(t)
粗略来说，泛函是以函数为自变量的函数。
.
2、泛函的连续性：若对任给的 0，存在 0
当 X(t)Xˆ(t) 时，就有
F X
0
（当 t t0 和 t t f 时）
.
例3-1 求通过点（0，0）及（1，1）且使
J 1(x2 x2)dt 0
取极值的轨迹 x * (t )。
.
解 这是固定端点问题，相应的欧拉——拉格朗日方
程为 即
2x d (2x) 0 dt
x x0
它的通解形式为
式中：
x(t)AchB t sht
现在，将上面对 x(t) 是标量函数时所得到的公式推 广到X (t)是n维向量函数的情况。这时，性能泛函为
式中
J tf F(X,X,t)dt t0
x1(t)
X
x
2
(
t
)
x n (t)
x1 ( t )
X
x2
(
t
)
xn
(
t
)
.
(3-9) (3-10)
泛函变分由（3-2）式改为
F xx ,x x ,t F x ,x ,t d
t
tt0 f F xx F x & x & o (x)2,(x & )2 d t
上式中 o[(x)2,(x&)2]是高阶项。
.
根据定义，泛函的变分 J 是 J的线性
主部，即
J
tf t0
F xx F x x d
t
对上式第二项作分部积分，按公式
则称J (X )在 Xˆ 处是连续的。
.
3、线性泛函：满足下面条件的泛函称为线性泛函
JXJX
J(X Y ) J(X ) J(Y )
这里是实数，X和 Y是函数空间中的函数。
.
4、自变量函数的变分：自变量函数 X (t)的变分 X
是指同属于函数类X(t)中两个函数X1(t) 、X2(t) 之差
可得
tf t0
udvuvtt0f
tf vdu t0
Jtf t0
F xd d(t F x )xd tF x xtt0 f
.
（3-2）
J取极值的必要条件是 J 等于零。因 x 是任 意的，要使（3-2）中第一项（积分项）为零， 必有
Fd (F)0 x dt x
（3-3）
上式称为欧拉——拉格朗日方程。
（3-2）式中第二项为零的条件要分两种情况来讨论：
.
1、 固定端点的情况
这时 x(t0)x0,x(tf)xf，它们不发生变化，所 以 x(t0)x(tf)0。而（3-2）中第二项可写成
F tf F
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F
x x t0
(x )ttf
x(tf)(x )tt0
x(t0)
（3-4）
当 x(t0)x(tf)0 时，（3-4）式自然为零。
F (x)ttf
x(tf )0
（3-7）
F (x)tt0
x(t0)0
（3-8）
（3-7）、（3-8）称为横截条件。
.
当边界条件全部给定（即固定端点）时，不需 要这些横截条件。当 x(t0 ) 给定时，不要（38）。当 x(t f ) 给定时，不要（3-7）。
.
3.2.2 泛函的自变量函数为向量函数的情况
.
2、自由端点的情况
这时 x(t0 )和 x(t f ) 可以发生化，x(t0)0,x(tf)0，
而且可以独立地变化。于是要使（3-2）中第二项 为零，由（3-4）式可得
F (x)ttf
x(tf )0
F (x)tt0
x(t0)0
（3-5） （3-6）
.
因为这里讨论 x (t )是标量函数的情况，x(t0 ) 和 x(t f ) 也是标量，且是任意的，故（3-5）、（3-6）可化 为
Jtf t0
XT X Fd d(t X F ) d tXT X F tt0 f
向量欧拉——拉格朗日方程为
式中
F X
X Fd dt( X F ) 0
F
x
1
F
x
2
F
x n
F
x 1
F
F X
x 2
F
x n
.
(3-11)
横截条件为（自由端点情况）
的线性主部。
.
6、泛函的极值：若存在 0 ，对满足的 X X* 一切X，J(X)J(X*)具有同一符号，则
称 J ( X ) 在 XX*处有极值。
.
定理：J (X ) 在 XX*处有极值的必要条件是对 于所有容许的增量函数 X（自变量的变分）， 泛函 J (X )在 X *处的变分为零
J(X*,X)0
et et
et et
ch t
, sht
2
2
.
由初始条件 x(0) 0 ，可得A=0。 再由终端条 件 x(1) 1 ，可得 B1 sh1，
为了判别是极大还是极小，要计算二阶变 分 2 J。但在实际问题中根据问题的性质容易
判别是极大还是极小，故一般不计算 2 J 。
.
3.2 无约束条件的泛函极值问题
3.2.1 泛函的自变量函数为标量函数的情况
为简单起见，先讨论自变量函数为标量函数 （一维）的情况。我们要寻求极值曲线 x(t)x*(t)， 使下面的性能泛函取极值
J tf Fx(t),x (t),tdt t0 .
（3-1）
为此，让自变量函数 x (t )、x(t )在极值曲线x* (t)、x* (t) 附
近发生微小变分x、x，即
x(t)x*(t)x(t)
x (t)x *(t)x (t)
于是泛函J 的增量J 可计算如下（以下将*号省去）
Jtf t0
第三章 用变分法解最优控制 —泛函极值问题
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本章主要内容
➢ 3.1 变分法基础 ➢ 3.2 无约束条件的泛函极值问题 ➢ 3.3 有约束条件的泛函极值——动态系
统的最优控t f 制问题 ➢ 3.4 小结
返回主目录 .
在动态系统最优控制问题中，性能指标是一个 泛函，性能指标最优即泛函达到极值。解决泛函极 值问题的有力工具是变分法。所以下面就来列出变 分法中的一些主要结果，大部分不加证明，但读者 可对照微分学中的结果来理解。
XX 1(t)X2(t)
这里, t 看作为参数。当 X (t) 为一维函数时，X 可用图3-1来表示。
.
图3-1自变量函数的变分
.
5、泛函的变分：当自变量函数 X (t)有变分X时， 泛函的增量为
J J X X J X
JX,XX
这里，JX,X是X 的线性泛函，若 X 0时， 有 0，则称JX,X是泛函 JX的变分。J 是 J
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3.1 变分法基础
先来给出下面的一些定义。
1、泛函： 如果对某一类函数X(t)中的每一个函
数X (t)，有一个实数值J与之相对应，则称J为依赖于
函数X (t)的泛函，记为
JJX(t)
粗略来说，泛函是以函数为自变量的函数。
.
2、泛函的连续性：若对任给的 0，存在 0
当 X(t)Xˆ(t) 时，就有
F X
0
（当 t t0 和 t t f 时）
.
例3-1 求通过点（0，0）及（1，1）且使
J 1(x2 x2)dt 0
取极值的轨迹 x * (t )。
.
解 这是固定端点问题，相应的欧拉——拉格朗日方
程为 即
2x d (2x) 0 dt
x x0
它的通解形式为
式中：
x(t)AchB t sht
现在，将上面对 x(t) 是标量函数时所得到的公式推 广到X (t)是n维向量函数的情况。这时，性能泛函为
式中
J tf F(X,X,t)dt t0
x1(t)
X
x
2
(
t
)
x n (t)
x1 ( t )
X
x2
(
t
)
xn
(
t
)
.
(3-9) (3-10)
泛函变分由（3-2）式改为
F xx ,x x ,t F x ,x ,t d
t
tt0 f F xx F x & x & o (x)2,(x & )2 d t
上式中 o[(x)2,(x&)2]是高阶项。
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根据定义，泛函的变分 J 是 J的线性
主部，即
J
tf t0
F xx F x x d
t
对上式第二项作分部积分，按公式