垂径定理在实际问题中的应用

垂径定理在实际问题中的应用

垂径定理是《圆》中的一个重要的定理，由垂径定理可解决一些实际问题．现举例说明．

一、实际计算问题

例1 如图1，在直径为130mm 的圆铁片上切去一块高为32mm 的弓形铁片．求这个弓形铁片弦AB 的长．

解：将实物图转化为几何图形，如图2，则有CD =32mm ，1130mm 65mm 2

OA =⨯=，OC ⊥AB 于D ，

因为OC ⊥AB ，根据垂径定理，得AB =2AD ．

在Rt △ADO 中，∠ADO =90°，OA =OC =65mm ，OD =OC -CD =65-32=33(mm)，

所以2222653356(mm)AD OA OD =-=-= (mm)，

所以弦AB 的长为56×2=112(mm)．

例2 今有一圆木砌入壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？ 分析：如图4，将实物图（图3）转化为几何图形，则BE 表示锯道，CD 表示锯深，求⊙O 的直径是多少？

解：如图4，设圆木的半径OB =x 寸，

则OC =（x -1）寸，152BC BE =

=寸，

在Rt △OCB 中，由勾股定理得x 2=（x -1）2+52，

解得x =13．

所以圆木半径是13寸，直径为26寸．

二、弧形物体平分问题

例3 如图5，是一自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋友做玩具？ 分析：根据实物画出几何图形，利用垂径定理解决问题．

作法：如图6，用表示自行车内胎的一部分．

（1）连接AB ．

（2）作AB 的垂直平分线CD ，交于点E ，则点E 为的中点．从点E 处将内胎剪开后，即可分给两个小朋友．

三、判断问题

例4 某地方有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现由一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱形桥吗?

分析：判断货船能否通过这座拱桥，关键是看船舱顶部两角是

否会被拱桥顶部挡住．用表示拱桥，画出如图7几何图形，实际问

题就转化为求FN 的长度．

解： 设圆心为O ，连接OA 、0B ，作OD ⊥AB 于D ，交圆于点

C ，交MN 于点H ，由垂径定理可知，

D 为AB 的中点．

设OA =r ，则OD =OC -DC =r -2.4，1 3.62AD AB =

=， 在Rt △AOD 中，OA 2=AD 2+OD 2，

即r 2=3.62+（r -2.4）2，解得r =3.9，

在Rt △OHN 中，22223.9 1.5 3.6OH ON NH =-=-=．

所以FN =DH =OH -OD =3.6-（3.9-2.4）=2.1，

因为2.1米>2米．所以货船可以通过这座拱桥．