不定方程的整数解修改稿

∴105＋2＝107就是这个问题的一个特解；∵3×5×7×n也可以被3、5、7整除，∴这个问题的特解107加上105n之后，被3、5、7除，余数也是2；
∴其通解是107＋105n.
例2现在把上一个问题改为：每次取3个，最后余2个；每次取5个，最后余3个；每次取7个，最后余2个；问这堆鹅卵石共多少个
…余
下面我们就要研究这一类问题的一般解法。
一、求整系数二元一次不定方程的整数解之1一般解法
求一个不定方程的整数解问题，如果都这样去凑数，就太麻烦了，下面介绍“求整系数的一次方程组的整数解”的一般方法.
【定义】我们把方程ax＋by＝c（系数a，b，c为整数，并且a，b都不为零）叫做二元一次不定方程.（如果a，b之中有一个为零，就不是不定方程了）
得到方程组的通解是 （t＝0， 1， 2， 3，…）
解法2其中x的系数比y的系数小，先解出x，
x＝ ＝ ＝3－4y－ (1)
设 ＝t，（t为整数）得y＝2＋5t(2)
代回(1)得：x＝3－4(2＋5t)－t＝－5－21t
得到方程组的通解是 （t＝0， 1， 2， 3，…）
从上面的两种解法可以看出，虽然方程组的通解的形式不同，但结果是一样的.
不定方程的整数解修改稿
一次不定方程的整数解讲稿
序言什么是不定方程
我们知道在方程（方程组）里，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的。
例如2x－y－1＝0，则：y＝2x－1.
分别令x＝1，2，3，4，5，…，就可以求出对应的n值.
我们可以列表说明：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y
1
这种解法叫做“辗转相除法”．
我们再研究整系数方程ax＋by＝c中，x、y的系数a，b有公约数的情况.
例2求整系数方程9x+6y=30的整数解.
这里，x、y的系数9和6有公约数3
解法1x，y系数的最大公约数(x，y)＝3，30也是3的倍数，
方程9x+6y=30(1)
两边同时除以3，得3x+2y=10(2)
分析求不定方程的整数解的关键是：找到一个参数t（整数），使得未知数x，y（整数）都能够用已知数和参数t表示出来.
解法1其中x的系数比y的系数小，先解出x，
x＝ ＝ ＝3－4y＋ (1)
∵两边都是整数，∴ 是整数
设 ＝t，（t为整数）
得y＝2－5t(2)
代回(1)得：x＝3－4(2－5t)＋t＝－5＋21t
这个结论表明：如果k取一切正整数1，2，3，…，那么n表示所有的奇数（1，3，5，7，9…）.
请记住这个结论：n＝2k－1表示所有的奇数.
又如x－2y＝300的解是：x＝2y＋300，
每给出一个y的值，就有一个x的值与之对应.
例如y＝0，1，2，3，4，5，…，就可以求出对应的x值，
我们可以列表说：实际上这个问题转化为数学问题就是：
有一个正整数，无论被3除，被5除或者被7除，都余2；求这个数.
如果列方程组就是：求个正整数M：
我们不妨这样来解：因为这个整数不论被3除，被5除或者被7除，总是余2；我们先求出它的一个特解：∵3×5×7＝105可以被3、5、7整除，
∴3×5×7＋2被3、5、7除余数都是2，
(1)和(2)是等价（同解）的，即(1)和(2)是同一个方程的不同形式．
其中y的系数比的x系数小，先解出y
y＝ ＝5－ ，∵两边都是整数，∴ 是整数
令x＝2t，代入(2)得：6x+2y=10，则y=5－3t.
由此，得到方程组的通解是 （t是整数）
【注】这种形式的方程组，在高中三年级学解析几何的时候称为“参数方程”．每给出t的一个值，就得到一组解．
3
5
7
9
11
13
15
…
∴它的解有无穷多组：
， ， ， ， ，…….
也就是说：2x－y－1＝0的所有的解（称为通解）为：y＝2x－1.
注意：上面只列出了它的正整数解.
如果用k代替x，用n代替y，并且k和n只代表正整数，得到的答案是：
2k－n－1＝0的所有的解（称为通解）为：n＝2k－1.n＝1，3，5，7，9，….
…余
…余
分析与解：我们不妨凑凑看，因为这个数被3和7余数都是2，
这个数可能是3和7的最小公倍数21的k倍＋2，即21k＋2：
k
21的1倍＋2
21的2倍＋2
21的3倍＋2
21的4倍＋2
…
21＋2＝23
42＋2＝44
63＋2＝65
84＋2＝86
…
23，44，65，86，107，…中哪一个能被5除余3，就是它的特解.
x
300
302
304
306
…
200
100
…
y
0
1
2
3
…
－50
－100
…
∴它的解有无穷多个.
又如方程组 ，
(2)－(1)消去一个未知数y之后，就变形为一个二元一次方程：2y－z＝80
所以它的解也是不确定的．
像这类方程或方程组就叫不定方程或不定方程组．
例1有一堆鹅卵石，不知总个数.但知道：每次取3个，最后余2个；每次取5个，最后也是余2个；每次取7个，最后还是余2个；问这堆鹅卵石共多少个
对于两个整数a，b，我们约定用记号(a，b)＝d表示a和b的最大公约数，(a，b)＝1表示a，b互质．
我们先研究整系数方程ax＋by＝c中，x、y的系数a，b互质的情况.
即(a，b)＝1，或者说：整数a，b除1之外没有公约数．
例1求整系数方程5x＋21y＝17的整数解．
这里x，y的系数5和21互质，即5和21的最大公约数（5，21）＝1.
注：《孙子算经》是南北朝时一部重要的数学着作。为我国古代《算经十书》之一，《孙子算经》的作者生平和编写年代都不清楚.现在传本的《孙子算经》共三卷.
如果把这个问题列成方程组就是：
设这个数为N，即N等于3的倍数加2，等于5的倍数加3，等于7的倍数加2，求N.
则
这是一个含4个未知数的3个方程，开始时我们已经说过这是不定方程组。要解决这一类问题，还要从二元一次不定方程学起．
太巧了，第一个23被5除余3，就是它的一个特解，根据上例的分析，其通解是3×5×7n＋23＝105n＋23.
【说明】先求出它的一个特解是问题的关键．
这就是《孙子算经》中的“物不知数”问题．
原题是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何答曰：二十三”
意思就是，有一些物品，如果三个、三个的数，最后剩2个；如果五个、五个的数，最后剩3个；如果七个、七个的数，最后剩2个；求这些物品一共有多少