河北省廊坊市2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析

河北省廊坊市2021届新高考第一次适应性考试数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．

3

π B ．3

π-

C ．

23

π D ．23

π-

【答案】B 【解析】 【分析】

因为时针经过2小时相当于转了一圈的16

，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】

因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263

ππ-⨯=-. 故选：B 【点睛】

本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题. 2．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a L 的最小值为（ ） A ．24(

)27

B ．34(

)27

C ．44()27

D ．5

4()27

【答案】D 【解析】 【分析】

由2317,927S S ==，可求出等比数列{}n a 的通项公式1

227

n n a -=，进而可知当15n ≤≤时，1n a <；当

6n ≥时，1n a >，从而可知12n a a a L 的最小值为12345a a a a a ，求解即可.

【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，

由题意得，332427a S S =-=，得21114

27

190

a q a a q q ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎪⎩

，解得11272a q ⎧

=

⎪⎨⎪=⎩，

当15n ≤≤时，1n a <；当6n ≥时，1n a >，

则12n a a a L 的最小值为5

51234534()(

)27

a a a a a a ==. 故选：D. 【点睛】

本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

3．已知f(x)=-1

x x e e a

+是定义在R 上的奇函数，则不等式f(x-3)

A ．(-2,6)

B ．(-6,2)

C ．(-4,3)

D ．(-3,4)

【答案】C 【解析】 【分析】

由奇函数的性质可得1a =，进而可知()f x 在R 上为增函数，转化条件得239x x -<-，解一元二次不等式即可得解. 【详解】

因为()1

x x e f x e a

-=+是定义在R 上的奇函数，所以()()011f f +-=，

即11

101e e e a a e

--+=++，解得1a =，即()12

111x x x e f x e e -==-++， 易知()f x 在R 上为增函数. 又()(

)2

39f x f x -<-，所以2

39x x

-<-，解得43x -<<.

故选：C. 【点睛】

本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.

4．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini a

S

=

称为基尼系数.

对于下列说法：

①Gini 越小，则国民分配越公平；

②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()

1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2

=. 其中正确的是： A ．①④ B ．②③ C ．①③④ D ．①②④

【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】

对于①，根据基尼系数公式Gini a

S

=

，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可得

()1f x x

<，所以②错误.对于③，因为1223100111

()d ()|236a x x x x x =-=-=⎰，所以1

16Gini 132a S ===，所以③错误.对于④，因为13

24100111()d ()|244

a x x x x x =-=-=⎰，所以1

14Gini 122

a S ===，所以④正确.故选A ． 5．若双曲线()222210,0x y a

b a b

-=>>的渐近线与圆()2

221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )

A ．2

B ．

3

2

C 23

D 3

【分析】

利用圆心(2,0)到渐近线的距离等于半径即可建立,,a b c 间的关系. 【详解】

由已知，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故圆心(2,0)到渐近线的距离等于1

1=，

所以223a b =

，c e a ===

=

故选：C. 【点睛】

本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立,,a b c 三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.

6．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：

①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式

1

()3

V S S h =下上•）.

A ．2寸

B ．3寸

C ．4寸

D ．5寸

【答案】B 【解析】

试题分析：根据题意可得平地降雨量2221

9(106)

33

14πππ

⨯⨯==，故选B.

考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.

7．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是 ①函数()f x 的最小正周期为π； ②函数()f x 的图象是轴对称图形； ③函数()f x

； ④函数()f x 的最小值为1-． A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．②③④

【答案】D 【解析】