量子物理之角动量空间量子化模型

{范例14.8} 角动量空间量子化模型
根据氢原子薛定谔方程的结论，说明角动量空间量子 化模型，求出角动量与特定方向(例如Bz方向)的夹角。
[解析]氢原子是由质子和电子组成的系统，质子形成带 正电的原子核，其质量是电子质量的1836倍，因此在电 子绕核运动时可认为原子核是静止的。
2 e 电子和原子核之 V (r ) 4π 0 r 间的电势能为
{范例14.8} 角动量空间量子化模型
根据氢原子薛定谔方程的结论，说明角动量空间量子 化模型，求出角动量与特定方向(例如Bz方向)的夹角。
电子在球坐标系中的薛定谔方程为 1 2 1 1 2 2me e2 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 (E ) 0 2 2 r r r r sin r sin h 4π 0 r ψ=ψ(r,θ,φ)是球坐标系中的波函数。 设ψ(r,θ,φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ)，
当氢原子中电 子的角量子数 为2时，轨道角 动量为2.450ħ。
轨道磁量子数可 取-2，-1，0，1， 2，这时，轨道 角动量与竖直方 向的夹角分别为 35.26º ，65.9º ， 和90º 等。
当氢原子中电 子的角量子数 为3时，轨道角 动量为3.464ħ。
轨道磁量子数 可取-3，-2，-1， 0，1，2，3， 这时，轨道角 动量与竖直方 向的最小夹角 为30º ，最大夹 角为150º 。
me e4 1 (1)氢原子的能量是不连续的， En 2 2 2 8 0 h n 处在第n个定态的总能量为
n是主量子数。
Байду номын сангаас
根据氢原子的定态薛定谔方程解得的能级公式 与玻尔氢原子理论所得结果完全相同，但是不 需要象玻尔理论那样人为地加上量子化条件。 (2)氢原子中电子的角动量也只能取分立的值，其大小为
ml Lz arccos arccos L l (l 1)
由于ml是整数，所以角动量只能取一些特定的方向。
当氢原子中电 子的角量子数 为1时，轨道角 动量为1.414ħ。
轨道磁量子数 可取-1，0，1， 这时，轨道角 动量与竖直方 向的夹角分别 为45º ，90º 和 135º 。
2me 1 d 2 dR e2 ( r ) [ ( E ) ]R 0 r 2 dr dr h2 4π 0 r r 2
和有限)和归一化条件，可 得出一些重要的结论。
{范例14.8} 角动量空间量子化模型
根据氢原子薛定谔方程的结论，说明角动量空间量子 化模型，求出角动量与特定方向(例如Bz方向)的夹角。
其中，e为电子电量，r 为电子到核的距离。
由于V(r)不随时间改变，所以是一个定态问题。
2me e2 电子绕核运动的 2 2 (E ) 0 薛定谔方程为 h 4π 0 r
势能是球 对称的。
直角坐标和球坐标变换如下 x = rsinθcosφ，y = rsinθsinφ，z = rcosθ。
当氢原子中电 子的角量子数 为4时，轨道角 动量为4.472ħ。
轨道磁量子数 可取-4到4共9 个整数，这时， 轨道角动量与 竖直方向的最 小夹角为26.57º ， 最大夹角为 153.4º 。
当角量子数为 5时，轨道角 动量为5.477ħ。
轨道磁量子数可 取-5，-4，...，4， 5，共有11个值， 因而轨道角动量 与竖直方向的夹 角有11个不同值。
R(r)，Θ(θ)和Φ(φ)分别是 r，θ和φ的函数。
经过严密数学运算，可得三个函数所满足的三个常微分方程
d 2 2 m 0, 其中ml和λ是常数。 l 2 d 解这些微分方程并利用波 ml2 1 d d (sin ) ( 2 ) 0 函数标准条件(单值，连续 sin d d sin
L l (l 1)h
(l = 0，1，2，…，n - 1)
l为角量子数或副量子数。 对于同一个n值，l可以取 从0到n - 1共n个不同的值。
l = 0，1，2，3，4，5 的状态通常用字母 s，p，d，f，g，h表示。
{范例14.8} 角动量空间量子化模型
根据氢原子薛定谔方程的结论，说明角动量空间量子 化模型，求出角动量与特定方向(例如Bz方向)的夹角。 (3)在量子力学中，氢原子核外电子的角动量在空间任意 方向(如外磁场方向)的投影也是不连续的，只能取一些 特殊的不连续的值Lz = mlħ (ml = 0，±1，±2，…，±l) Bz 即：角动量在空间任一方向的投影也是量子 L 化的，这种现象称为角动量空间量子化。 Lz=mlħ θ 对于确定的l，ml只能取0，±1，±2，…， ±l共2l + 1个值，ml称为轨道磁量子数。 O Lr (L在LxLy平面的投影用Lr表示。) 如图所示，角动量与某一方向的夹角为