高中数学必修1函数调性,最值,以及奇偶性

函数专题：单调性与最值

一、增（减）函数

1.概念

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

注意：

①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

②增（减）函数是相对于相应区间而言的，不能离开相应的区间讨论增减性。

二、判断函数单调性的常用方法

1、（图像法）根据函数图象说明函数的单调性．（直观）

例1、 如图是定义在区间[－5，5]上的函数

y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以

及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

2．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：

① 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

② 作差f(x 1)－f(x 2)；

③变形（通常是因式分解和配方）；

④定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；

⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． 例、证明函数x

x y 1+

=在（0,1）上为减函数．

例、判断函数x

p x y +=单调性.(p>0)

【归纳小结】

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

3、直接法

对基本初等函数，如一次函数、二次函数、反比例函数可以直接写出它们的单调区间.

（1） 一次函数y=kx+b,当k>0时，增区间是（-∞，+∞）；当k<0时,减区间是（-∞，+∞）

（2）

〖针对性练习〗

1.函数1y x

=-的单调区间是（ ） A ．（-∞，+∞） B.（-∞，0）和（1，∞，）

C.（-∞，1）和（1，∞）

D. （-∞，1）（1，∞）

2. 若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞），求a 的值。

3．函数y=的增区间是（）。

A．[-3，-1] B．[-1,1] C．

1

1

3

a

-<<-(,3)

-∞- D．(1,)

-∞

4、已知函数

1

()

f x x

x

=+

，

判断()

f x在区间〔0，1〕和（1，+∞）上的单调性。

5、已知函数y=()

f x是定义在[-1,2]上的增函数，且满足：f(a-1)>f(1-3a)，求实数a的取值范围。

6、已知f（x）=x2-2(1-a)x+2在（-∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围.

☆☆☆复合函数的单调性☆☆☆

1、定义：

设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为

y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)

2、复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律

如下：

例、已知()1,()32y f u u u g x x ==+==-+，求[]()y f g x =的单调性。

例、已知2()1,()1y f u u u g x x ==+==+，求函数[]()y f g x =的单调性。

〖针对性训练〗

1、已知2()1,()1y f u u u g x x ==+==-+，求函数[]()y f g x =的单调性。

2、已知2()82f x x x =+-，如果2()(2)g x f x =-，那么()g x （ ）

A. 在区间（-1，0）上是减函数

B. 在区间（0，1）上是减函数

C. 在区间（-2，0）上是增函数

D. 在区间（0，2）上是增函数

3、已知函数f(x)=8+2x-x 2,g(x)=f(2-x 2),试求g(x)的单调区间.

三、函数的最大（小）值

1．函数最大（小）值定义

1）最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：

（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =． 那么，称M 是函数()y f x =的最大值．

2）最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：

（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≥； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =． 那么，称M 是函数()y f x =的最小值．

注意：

①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =；

②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有()(())f x M f x m ≤≥．

例、求函数223y x x x =-+当自变量在下列范围内取值时的最值．

①10x -≤≤ ② 03x ≤≤ ③(,)x ∈-∞+∞

例、求函数21y x =

-在区间[2，6] 上的最大值和最小值．

例、设函数f (x )＝(x ＋a )2对于任意实数t ∈R 都有f (1－t )＝f (1＋t )．

(1)求a 的值；

(2)如果x ∈[0，5]，那么x 为何值时函数y ＝f (x )有最小值和最大值?并求出最小值与最

大值．

【针对性练习】

一、选择题

1．函数y ＝4x －x 2，x ∈[0，3]的最大值、最小值分别为( )

(A)4，0

(B)2，0 (C)3，0 (D)4，3 2．函数21x x y -=

的最小值为( ) (A)21

(B)1 (C)2

(D)4