湖北省华中师大附中2020届高三高考预测数学(文)答案
2020年湖北省华大新高考联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (含答案解析)
2020年湖北省华大新高考联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|x 2−5x +6>0}，B ={x|x −1<0}，则A ∩B =( )A. (−2,1)B. (−∞,1)C. (−3,−1)D. (3,+∞)2. 若复数z =4−i ，则z−z=( )A. −1517+817iB. 1+817iC. 1517+817iD. 1517−817i3. 若α+β=3π4.则(1−tanα)(1−tanβ)= ______ ．A. 2B. 3C. 1D. −14. 在正方形内任取一点，则该点在正方形的内切圆内的概率为( )A. π12B. π4C. π3D. π25. 如果log 12x <log 12y <0，那么( ) A. y <x <1 B. x <y <1 C. y >x >1 D. x >y >16. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A. 3B. 4C. 5D. 67. 设e 是椭圆x 24+y 2k=1的离心率，且e =23 ，则实数k 的取值是( )A. 209B. 365C. 209或525D. 209或3658. 在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，若E 是DC 的中点，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗=( ) A. −32a⃗ +b ⃗ B. 32a⃗ −b ⃗ C. −12a⃗ +b ⃗ D. 12a⃗ −b ⃗ 9. 函数f(x)=e x +1x(e x −1)(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )A.B.C.D.10. 已知函数f(x)=sin(2x +π4)，则下列结论中正确的是( )A. 函数f(x)的最小正周期为2πB. 函数f(x)的图象关于点(π4,0)对称C. 由函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度可以得到函数y =sin2x 的图象D. 由函数f(x)的图象向左平移π8个单位长度可以得到函数y =cos2x 的图象11. 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2=a 2+c 2+2accosB ，则∠B =( )A. π2B. π3C. π6D. 2π312. 已知a =sin 45，b =43sin 34，c =43cos 34，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. b <c <aC. a <c <bD. b <a <c二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)={log 12x,x >0,3x ,x ≤0,，则f(f(2))的值为___________14. 从一副混合后的扑克牌(52张，去掉大、小王)中，随机抽取1张，事件A 为“抽到梅花K ”，事件B 为“抽到红桃”，则P(A ∪B)=______．15. 已知一张矩形白纸ABCD ，AB =10，AD =10√2，E ，F 分别为AD ，BC的中点，现分别将△ABE ，△CDF 沿BE ，DF 折起，使A ，C 重合于点P ，则三棱锥P—DEF 的外接球的表面积为____________． 16. F 1、F 2为双曲线C ：x 29−y 24=1的左、右焦点，点M 在双曲线上且∠F 1MF 2=60°，则S △F 1MF 2= ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某研究机构为了解某学校学生使用手机的情况，在该校随机抽取了60名学生(其中男、女生人数之比为2：1)进行问卷调查.进行统计后将这60名学生按男、女分为两组，再将每组学生每天使用手机的时间(单位：分钟)分为[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50]5组，得到如图所示的频率分布直方图(所抽取的学生每天使用手机的时间均不超过50分钟)．(1)求出女生组频率分布直方图中a的值；(2)求抽取的60名学生中每天使用手机时间不少于30分钟的学生人数．18.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a n>0，a1=23且−3a2，1a3，1a4成等差数列，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n⋅log3(1−S n+1)=1，求满足方程b1b2+b2b3+⋯+b n b n+1=5041009的正整数n的值。
2020届华中师大附中高三第四次模拟考试数学(文)试题
2020届华中师大附中高三第四次模拟考试文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．已知集合{}{}21,20A x x B x x x =≥=--<，则AB =（ ）．A.{}1x x ≥ B.{}12x x ≤< C. {}11x x -<≤ D.{}1x x >- 2．设复数z 满足(3)3i z i +=-，则||z =（ ）．A.12B.1C.2D. 23．为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级1000名学生课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：参加场数12 3 4 567参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20%26%18%12% 4% 2%估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是（ ）．A.参加活动次数是3场的学生约为360人B.参加活动次数是2场或4场的学生约为480人C.参加活动次数不高于2场的学生约为280人D.参加活动次数不低于4场的学生约为360人4．已知双曲线C :222210,0)x y a b a b-=>>（，直线y b =与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ，O 为坐标原点．若OMN ∆为直角三角形，则C 的离心率为（ ）． A.2B.3C.2D.55．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则9a =（ ）．A.12B.54C.45D. 45-6．已知1sin()62πθ-=，且02πθ∈（，），则cos()3πθ-=（ ）．A. 0B.12 C.1 D.327．如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2. 在圆O 内，将线段MN 绕N 点按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将线段MN 绕M 点按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动……点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分.若在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（）．A.463π-B.3312π-C.332π-D.332π8．在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足2BM MA =，则CM CA ⋅=（ ）．A ．32B ． 23C ．6D ．1529．已知函数()314,025,0x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩（），，当[],1x m m ∈+时，不等式()()2f m x f x m -<+恒成立，则实数m 的取值范围是( )．A. (),4-∞-B. (),2-∞-C. ()2,2-D.(),0-∞10．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y x f x '=⋅的图象可能是（）O yxO yx O yx O yxA B C D11．已知过抛物线242y x =焦点F 的直线与抛物线交于点A ，B ，3AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AM l ⊥于点M ，则四边形AMCF 的面积为( ) A ．123B ．12C ．83D ．6312．若关于x 的方程0x e ax a +-=没有实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(2,0e -⎤⎦B ．)20,e ⎡⎣C ．(],0e -D ．[)0,e二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．13．若实数,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于______．14．已知长方体1111ABCD A B C D -的外接球体积为323π，且12A A B C ==，则直线1A C 与平面11BB C C 所成的角为______．15．将函数()sin cos f x a x b x =+(),0∈≠R ,a b a 的图象向左平移π6个单位长度，得到一个偶函数图象，则=ba______． 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}n b 满足2920n n a b n n =-+-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，.已知sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求角C 的值；(Ⅱ)若427a c ==，，求ABC ∆的面积.-2-2-2-218.(本小题满分12分)为了了解A 地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：年份x2014 2015 2016 2017 2018 足球特色学校y (百个)0.300.601.001.401.70(Ⅰ)根据上表数据，计算y 与x 的相关系数r ，并说明y x 与的线性相关性强弱(已知：0.751r ≤≤，则认为y x 与线性相关性很强；0.30.75r ≤<，则认为y x 与线性相关性一般；0.25r ≤，则认为y x 与线性相关性较弱)；(Ⅱ)求y 关于x 的线性回归方程，并预测A 地区2019年足球特色学校的个数(精确到个).参考公式：()()()()12211niii nni ii i x x yy r x x yy ===--=--∑∑∑，()2110ni i x x =-=∑，()211.3ni i y y =-=∑，13 3.6056≈，()()()121ˆˆˆ.nii i nii xx y y bay bx xx ==--==--∑∑，19.(本小题满分12分)如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，2CB GF =，BF CF =.(Ⅰ)求证：AB CG ⊥；(Ⅱ)若ABC ∆和梯形BCGF 的面积都等于3，求三棱锥G ABE -的体积.20.(本小题满分12分)已知直线:10-+=与焦点为F的抛物线2l x yC y px=(0:2p>)相切.(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.21.(本小题满分12分)已知函数()22=-+(a R3lnf x x ax a x∈).(Ⅰ)求()f x的单调区间；(Ⅱ)若对于任意的2f x≥恒成立，求a的取值范围.x e≥(e为自然对数的底数)，()0请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1232x t y a t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线()03θρπ=≥与曲线C 交于,O P 两点，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点. （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）当AB OP =时，求a 的值.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()32f x x =+. (Ⅰ)求()1f x ≤的解集；(Ⅱ)若()2f x a x ≥恒成立，求实数a 的最大值.文科数学试题参考答案一、选择题 1.D 2.B 3.D 4.A 5.C 6.C 7.B 8.D 9.B 10.C 11.A 12.A 1.【简解】()(){}{}|2+10|12B x x x x x =-<=-<<，所以{}|1A B x x =>-，故选D ．2.【简解一】因为()()()()3i 3i 3i i ==3+i3+i 3i 8610z ----=-，所以1z=，故选B ．【简解二】因为(3+i)3i =-z ，所以(3+i)(3+i)=3i z z =-，所以1z =，故选B ． 3.【简解】估计该校高一学生参加活动次数不低于4场的学生约为：1000+⨯（0.180.12+0.04+0.02)=360人，故选D.4.【简解】依题意得：因为∆OMN 为直角三角形，所以双曲线C 的渐近线为=y x ±，即C 是等轴双曲线，所以C 的离心率2=e ，故选A ．5.【简解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ． 6.【简解一】由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得，πc o s 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．【简解二】由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3cos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 7. 【简解一】依题意得：阴影部分的面积2136[222]=46322S =⨯π⨯-⨯⨯⨯π-1（）624-6333122P πππ==-⋅，故选B ． 【简解二】依题意得：阴影部分的面积2132622=46322S =π⨯-⨯⨯⨯⨯π- 24-6333122P πππ==-⋅，故选B ． 8.【简解一】依题意得：121211215)333333333232CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，故选D ．【简解二】依题意得：以C 为原点，CA 所在的直线为x 轴建立平面直角直角坐标系，则530,03,022C A M （），（），（，），所以53153,0222CM CA ⋅==（，）（），故选D ． D ABCM【简解三】依题意得：过M 点作M D A ⊥于D ，如图所示，则CM CA ⋅=CD CA ⋅=15(31cos60)32-⨯⨯=，故选D ． 9. 【简解】依题意得：函数()314,025,0x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩（）在x ∈R 上单调递减，因为()()2-<+f m x f x m ，所以2m x x m ->+，即2x m <，在[],1∈+x m m 上恒成立，所以2(1)m m +<，即2m <-，故选B ．10. 【简解】【解析】∵函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，∴当2x >-时，()0f x '>；当2x =-时，()0f x '=；当2x <-时，()0f x '<．∴当20x -<<时，()0xf x '<；当2x =-时，()0xf x '=；当2x <-或0x >时，()0xf x '>.选：C ．11.【解答】解：解：过B 作BN l ⊥于N ，过B 作BK AM ⊥于K ，设||BF m =，||3AF m =，则||4AB m =，2AK m =，1360222BAA CF p m ⇒∠=︒⇒===423m ∴=．342AM m ⇒==，3sin 603262MC AF m =︒=⨯= 则四边形AMCF 的面积为11()(2242)2612322S CF AM MC =+=+⨯=，故选：A ．12.【解答】解：方程0x e ax a +-=没有实数根，得方程(1)x e a x =--没有实数根， 等价为函数x y e =与(1)y a x =--没有交点，当0a >时，直线(1)y a x =--与x y e =恒有交点，不满足条件． 当0a =时，直线0y =与x y e =没有交点，满足条件．当0a <时，当过(1,0)点的直线x y e =相切时，设切点为(,)m m e ，则()x f x e '=，则()m f m e '=， 则切线方程为()m m m m y e e x m e x me -=-=-．即m m m y e x me e =-+， 切线过(1,0)点，则0m m m e me e -+=，得2m =，即切线斜率为2e ， 要使x y e =与(1)y a x =--没有交点，则满足20a e <-<，即20e a -<<，综上20e a <…，即实数a 的取值范围是2(e -，0]，故选：A ． 二、填空题13.【简解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：3y x z =-，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为20:220x y A x y +=⎧⎨-+=⎩解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3z x y =-的最小值()min 173122z =⋅--=-．14.【简解】设长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为R ，因为长方体1111ABCD A B C D -的外接球体积为343233R ππ=，所以2R =,即1A C 2221=24AA BC AB R ++==，因为12AA BC ==，所以22AB =.因为11A B ⊥平面11BB C C ，所以1A C 与平面11BB C C 所成的角为11ACB ∠， 在11Rt ACB △中，因为12AA BC ==，所以11122B C A B ==，所以11=4ACB π∠．15. 【简解】因为()sin cos f x a x b x =+(),0∈≠R ,a b a 的图象向左平移π6单位长度，得到偶函数图象，所以函数()sin cos f x a x b x =+的对称轴为π6x =， 所以()sin cos =(0)=333f a b f b πππ=+，因为0a ≠，所以3ba=．16. 【简解】因为11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数），所以111a λ=-=，解得=2λ，所以21n n S a =-，所以()-1-1212n n S a n =-≥，所以12n n a a -=，所以12n n a -=，因为2920n n a b n n =-+-，所以2-19202n n n n b -+-=， 所以2+111+28(4)(7)22n n n nn n n n b b ----==0<，解得47n <<，又因为*n ∈N ，所以=5n 或=6n ．所以，当=5n 或=6n 时，1n n b b +<，即满足条件的n 的取值集合为{}5,6． 三、解答题：17.(本小题满分12分)解: (Ⅰ)∵sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴13sin sin cos sin sin 022B C C C B ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭，………………2分∴13sin cos 022C C +=，∴sin 03C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………………………………4分∵()0C π∈，，∴23C π=. …………………………6分(Ⅱ)∵2222cos c a b ab C =+-，∴24120b b +-=， ………………………………8分∵0b >，∴2b =， ……………………………… 10分∴113sin 2423222S ab C ==⨯⨯⨯=. …………………………12分18.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)20161x y ==，， …………………………2分()()()()122113.6 3.60.753.605610 1.3niii nni i i i x x yy r x x y y ===--===>--∑∑∑，……………………4分 ∴y x 与线性相关性很强. …………………………6分(Ⅱ)()()()()()()()5152120.710.410.420.7ˆ0.3641014iii ii x x yy bxx ==---⨯-+-⨯-+⨯+⨯===++++-∑∑， (8)分ˆˆ120160.36724.76ay bx =-=-⨯=-， ………………………………9分∴y 关于x 的线性回归方程是ˆ0.36724.76yx =-. …………………………10分当2019x =时，ˆ0.36724.76 2.08yx =-=， 即A地区2019年足球特色学校有208个. …………………………12分19.(本小题满分12分)(Ⅰ)证明：取BC 的中点为D ，连结DF . …………………………1分 由ABC EFG -是三棱台得，平面//ABC 平面EFG ，∴//BC FG .………2分 ∵2CB GF =，∴//CD GF =，……………………………………3分 ∴四边形CDFG 为平行四边形，∴//CG DF . ∵BF CF =，D 为BC 的中点，∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥.……………………4分∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ，∴CG ⊥平面ABC ，而AB ⊂平面ABC ，∴CG AB ⊥. ……………………6分 (Ⅱ)∵三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，且2CB GF =，∴2AC EG =，∴2ACG AEG S S ∆∆=， ………………………………8分 ∴1122G ABE B AEG B ACG G ABC V V V V ----===. …………………………9分 由(Ⅰ)知，CG ⊥平面ABC .∵正ABC ∆的面积等于3，∴2BC =，1GF =. …………………………10分 ∵直角梯形BCGF 的面积等于3，∴()1232CG+⋅=，∴233CG =， ∴11112233G ABE G ABC ABC V V S CG --∆==⋅⋅⋅=. (12)分20.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)∵直线:10l x y -+=与抛物线C 相切.由2102x y y px-+=⎧⎨=⎩消去x 得，2220y py p -+=，……2分从而2480p p ∆=-=，解得2p =. ………………………………4分∴抛物线C 的方程为24y x =. …………………………5分(Ⅱ)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为1ty x =-，A (11x y ，)，B (22x y ，).……6分由214ty x y x=-⎧⎨=⎩消去x 得，2440y t y --=， ………………………………7分∴124y y t +=，从而21242x x t +=+， ……………………………………8分∴线段AB的中点M 的坐标为(221 2t t +，). ………………………………9分设点A 到直线l 的距离为A d ，点B 到直线l 的距离为B d ，点M 到直线l 的距离为d ，则222222132222122242A B t t d d d t t t -+⎛⎫+==⋅=-+=-+ ⎪⎝⎭， …………………………11分∴当12t =时，可使A 、B 两点到直线l 的距离之和最小，距离的最小值为322. ………………12分21.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)()f x 的定义域为(0 +∞，). …………………………1分()()222223223a x x a a x ax a f x x a x x x⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭'=-+==. …………………………2分⑴当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 的单调递增区间为(0 +∞，)，无单调递减区间；…………3分⑵当0a >时，由()0f x '>解得0 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，() a +∞，，由()0f x '<解得2a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，.………………4分∴()f x 的单调递增区间为0 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，和()a +∞，，单调递减区间是2a a ⎛⎫⎪⎝⎭，. ……………………5分(Ⅱ)①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0 +∞，)上单调递增， ∴()2422()320≥=-+≥f x f e e ae a 恒成立，符合题意. …………………………6分②当0a >时，由(Ⅰ)知，()f x 在 0 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，和()a +∞，上单调递增，在2a a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减. (ⅰ)若202a e <≤，即22≥a e 时，()f x 在2 2a e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递增，在2a a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递减，在()a +∞，上单调递增.∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需 ()20f e ≥，且()0f a ≥.……………………………7分而当22≥a e 时，()22242223(2)()0=-+=--≥f e a ae e a e a e 且()22223ln (ln 2)0=-+=-≥f a a a a a a a 成立.∴22a e ≥符合题意. ………………………………8分(ⅱ)若22ae a <≤时，()f x 在)2e a ⎡⎣，上单调递减，在[)a +∞，上单调递增. ∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需()0≥f a 即可， 此时()22223ln (l n 2)0=-+=-≥f aa a a a a a 成立，∴222e a e ≤<符合题意.…………………………9分(ⅲ)若2e a >，()f x 在)2e ⎡+∞⎣，上单调递增. ∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需 ()2422320f e e ae a =-+≥，……………………10分即()()()2422223220f e e ae a a e a e =-+=--≥，∴202e a <≤符合题意.……………………………11分综上所述，实数a 的取值范围是)222e e ⎛⎤⎡-∞+∞ ⎥⎣⎝⎦，，. …………………………12分 22.(本小题满分10分)【解析】（1）将直线l 的参数方程化为普通方程为30x y a +-=. ·························· 2分 由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=， ··································································· 3分 从而224x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为2240x x y -+=. ··························· 5分（2）解法一：由()4cos 03ρθθρ=⎧⎪π⎨=≥⎪⎩，得2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以2OP =， ······························ 6分 将直线l 的参数方程代入圆的方程2240x x y -+=，得()22230t a t a +++=由0∆>，得234234a -<<+ …………………………………………………………8分设A 、B 两点对应的参数为12,t t ，则()22121212AB 44432t t t t t t a a =-=+-=+-= (9)分解得，0a =或43a =.所以，所求a 的值为0或43.………………………………………………10分解法二：将射线()03θρπ=≥化为普通方程为()300x y x -=≥， ······················· 6分 由（1）知，曲线C ：()2224x y -+=的圆心()2,0C ，半径为2， 由点到直线距离公式，得C 到该射线的最短距离为：23331d ==+， 所以该射线与曲线C 相交所得的弦长为()222232OP =-=． ························· 7分 圆心C 到直线l 的距离为：2323231a a --=+， ·············································· 8分由22223122a⎛⎫- ⎪+= ⎪⎝⎭，得()22312a -=，即2323a -=±， ···················· 9分解得，0a =或43a = 所以，所求a 的值为0或43.……………………………………10分23.(本小题满分10分)解：(Ⅰ)由()1f x ≤得，|32|1x +≤，所以，1321x -≤+≤，解得113x -≤≤-，所以，()1f x ≤的解集为113⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，. …………………………5分(Ⅱ)()2f x a x ≥恒成立，即232+≥x a x 恒成立. 当0x =时，a R ∈；当0x ≠时，23223+≤=+x a x x x.因为2326x x +≥(当且仅当23x x =，即63x =时等号成立)， 所以26a ≤，即a 的最大值是26. …………………………10分。
2020年湖北省华大新高考联盟高考文科数学模拟试卷及答案解析
2020年湖北省华大新高考联盟高考文科数学模拟试卷数学试题一、选择题（共12小题）1.设集合{}3,1,0,1,3A =--，()(){}120B x x x =-+≥，则A B =（ ） A.{}3,3- B.{}1,3 C.{}3,1,3-D.{}3,1,0,1,3--2.已知复数11z i=+，则z z ⋅=（ ） A.0B.1D.23.已知()tan 2αβ+=，tan 1α=-，则tan β=（ ） A.3-B.3C.13-D.134.魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是以圆内接正多边形的面积，来无限逼近圆面积.刘徽形容他的割圆术说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.”某学生在一圆盘内画一内接正十二边形，将100粒豆子随机撒入圆盘内，发现只有4粒豆子不在正十二边形内.据此实验估计圆周率的近似值为（ ） A.103B.165C.227D.2585.已知lg 2x =，ln 3y =，2log 3z =，则（ ） A.x z y <<B.z y x <<C.x y z <<D.z x y <<6.执行如图所示的程序框图，设输出数据构成集合A ，则集合A 中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.67.设椭圆2213x y m +=的离心率为e ，则4m =是12e =的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 的中点，设AC a =，BD b =，则AM =（ ）A.1344a b + B.1344a b - C.3144a b + D.3144a b - 9.设()f x ，()g x 分别为定义在[],ππ-上的奇函数和偶函数，且()()2cos x f x g x e x +=（e 为自然对数的底数），则函数()()y f x g x =-的图象大致为（ ）A. B.C. D.10.将函数2cos 214y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位得到()y f x =的图象，给出下列四个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 在(),ππ-上有4个零点；③()f x 在37,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；④3788f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则正确的结论序号是（ ） A.②④B.①②C.③④D.②③11.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a c ≠，sin2B =，ABC △的面积为2b ac -最小值为（ ）A.B. C. D.12.制作芯片的原料是晶圆，晶圆是由硅元素加以纯化得到，晶圆越薄，其体积越小且成本越低，但对工艺的要求就越高，即制作晶圆越薄其工艺就越高.某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中，成立甲，乙，丙三个科研小组，用三种不同的工艺制作晶圆.甲小组制作的晶圆厚度为11sin 32毫米，乙小组制作的晶圆厚度为11sin 23毫米，丙小组制作的晶圆厚度为17cos 28毫米，则在三个小组中制作工艺水平最高与最低的分别是（ ） A.甲小组和丙小组 B.丙小组和乙小组 C.乙小组和丙小组D.丙小组和甲小组二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设()31log ,021,0x x x f x x -+≥⎧=⎨-<⎩，则13f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦______.14.某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品.从这批产品中随机抽取一件产品检测，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为______.15.在等腰直角ABC △中，2AB =，90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 的高，将ABC △沿AD 折叠，折叠后使ABC △成等边三角形，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为______.16.设点1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过点1F 作直线l 与双曲线C 的左、右支分别交于A ，B 两点，若2234AF BF =且22AF BF ⊥，则双曲线C 的离心率为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗疫情.某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课辅导，每天共200分钟.教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女生恰好各占一半）进行问卷调查，按男女生分为两组，再将每组学生在线学习时间（分钟）分为5组[]0,40，(]40,80，(]80,120，(]120,160，(]160,200得到如图所示的频率分布直方图.全区高三学生有3000人（男女生人数大致相等），以频率估计概率回答下列问题：（1）估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数；（2）在调查的80名高三学生且学习时间不超过40分钟的学生中，男女生按分层抽样的方法抽取6人.若从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，求至少抽到1名男生的概率.18.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知417a a -=，37S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2,log ,n n na nb a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，数列{}n b 前n 项和为n T ，求2n T .19.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为菱形，160A AC ∠=︒，2AC =，侧面11CBB C 为正方形，平面11ACC A ⊥平面ABC .点M 为1A C 的中点，点N 为AB 的中点.（1）证明：MN ∥平面11BCC B ； （2）求三棱柱11A ABC -的体积.20.设点F 为抛物线22y px =（0p >）的焦点，A ，B ，C 三点在抛物线上，且四边形ABCF 为平行四边形，当B 点到y 轴距离为1时，5BF =. （1）求抛物线的方程；（2）平行四边形ABCF 的对角线AC 所在的直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由. 21.已知函数()22cos 2f x ax x =+-，（a ∈R ）.（1）若1a =，求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程； （2）若()0f x ≥，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为cos 32sin 3x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为253cos 2θρα=-，点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上.（1）求曲线1C 的一般方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）求PQ 的最大值. [选修4-5：不等式选讲]23.设a ，b ，c 都是正数，且1a b c ++=. （1）求11a b c++的最小值； （2）证明：444a b c abc ++≥.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}3,1,0,1,3A =--，()(){}120B x x x =-+≥，则A B =（ ） A.{}3,3- B.{}1,3 C.{}3,1,3-D.{}3,1,0,1,3--【分析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可.解：集合{}3,1,0,1,3A =--，()(){}(][)120.21,B x x x =-+≥=-∞-+∞， 则{}3,1,3A B =-， 故选：C.2.已知复数11z i=+，则z z ⋅=（ ） A.0B.1D.2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由2z z z ⋅=求解. 解：∵21111iz i i i -=+=+=--，∴222z z z ⋅===. 故选：D.3.已知()tan 2αβ+=，tan 1α=-，则tan β=（ ） A.3-B.3C.13-D.13【分析】利用βαβα=+-，进行拆角，结合两角和差的正切公式进行计算即可. 解：()()()tan tan 21tan tan 31tan tan 12αβαβαβααβα+-+=+-===-++-，故选：A.4.魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是以圆内接正多边形的面积，来无限逼近圆面积.刘徽形容他的割圆术说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.”某学生在一圆盘内画一内接正十二边形，将100粒豆子随机撒入圆盘内，发现只有4粒豆子不在正十二边形内.据此实验估计圆周率的近似值为（ ） A.103B.165C.227D.258【分析】设圆的半径为1，圆的面积为S ，求得圆内接正多边形的中心角，再由三角形的面积公式，计算可得正多边形的面积，注意运用近似计算，即可得到所求结论.解：设圆的半径为1，圆的面积为S ， 由圆内接正十二边形的每条边的中心角为3603012︒=︒， 则12111211sin 306322S =⨯⨯⨯⨯︒=⨯=； ∴2310042511008ππ-≈⇒≈⋅； 故选：D.5.已知lg 2x =，ln 3y =，2log 3z =，则（ ） A.x z y <<B.z y x <<C.x y z <<D.z x y <<【分析】利用对数函数的性质求解. 解：∵lg 21x =<，ln 31y =>，2log 31z =>， 所以x 最小， 又∵lg 3lg y e=，lg 3lg 2z =，而lg lg 2e >， ∴x y z <<， 故选：C.6.执行如图所示的程序框图，设输出数据构成集合A ，则集合A 中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.6【分析】先根据流程图进行逐一进行运行，即可求出集合A ，从而得解. 解：当20x y =-⇒=；2111x y =-+=-⇒=-， 1100x y =-+=⇒=， 0113x y =+=⇒=，1128x y =+=⇒=，213x =+=，退出循环，所以{}0,1,3,8A =-，则集合A 中元素的个数为4. 故选：B.7.设椭圆2213x y m +=的离心率为e ，则4m =是12e =的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【分析】讨论椭圆焦点位置，从而求出m ，在判断其充分必要性.解：当3m >时，12e ==， ∴4m =当3m <时，12e ==， ∴94m = ∴4m =是12e =的充分不必要条件 故选：A.8.在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 的中点，设AC a =，BD b =，则AM =（ ） A.1344a b +B.1344a b -C.3144a b +D.3144a b -【分析】利用平面向量的基本定理，分解AM AB BM =+，根据题意，找到AB ，BM 与a ，b 的关系，代入即可得答案. 解：如图，∵1122AB DC a b ==-，1122BC b a =+， ∴111244BM BC b a ==+， ∴111131224444AM AB BM a b b a a b =+=-++=-. 故选：D.9.设()f x ，()g x 分别为定义在[],ππ-上的奇函数和偶函数，且()()2cos x f x g x e x +=（e 为自然对数的底数），则函数()()y f x g x =-的图象大致为（ ）A. B.C. D.【分析】依题意，可得()()2cos xxf xg x e-=-，当0.01x =时，0y <，可排除选项C ，D ；又4x π=-为极值点，则排除选项B ；由此得出正确答案.解：∵()()2cos xf xg x e x +=，∴()()()2cos x f x g x e x --+-=-，即()()2cos xf xg x e x --+=，∴()()2cos xxf xg x e -=-， ∵2cos xxy e=-，当0.01x =时，0y <，∴可排除选项C ，D ；又()2sin cos 4x xx x x y e e π⎛⎫+ ⎪+⎝⎭'==，故4x π=-为极值点，即选项B 错误； 故选：A.10.将函数2cos 214y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位得到()y f x =的图象，给出下列四个结论： ①()f x 为偶函数；②()f x 在(),ππ-上有4个零点；③()f x 在37,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；④3788f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则正确的结论序号是（ ） A.②④B.①②C.③④D.②③【分析】先根据图象的平移变换，求出()f x 的解析式.对于①，只需()0f 取得最值即可；对于②，令()0f x =，求出该区间上的根即可；对于③，根据x 的区间，求出x ωϕ+的范围，看看是否是sin x 的减区间即可；对于④，由函数的对称性判断对称轴即可.解：依题意，()2cos 22cos 21444f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 对于①，因为()01f =，不是最值，故①错；对于②，由()0f x =得1cos 242x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2243x k πππ-=±+，k Z ∈，所以24x k ππ=-+或724x k ππ=+，k Z ∈.令0k =，1-，1，可得1724z π=-，或24π-，或724π，或2324π.故②对； 对于③，当3788x ππ<<时，32242x πππ<-<，此时，cos y x =在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭先减后增，故③错；对于④，3788f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭表示函数关于58x π=对称，此时538f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭最小值，故④对. 故选：A.11.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a c ≠，sin23B =，ABC △的面积为2b ac -最小值为（ ）A.B. C. D.【分析】根据二倍角公式和同角的三角函数的关系和面积公式可得6ac =，再根据余弦定理可得()228b a c =-+，则28b ac a c a c=-+--根据均值不等式即可求出.解：因为sin 23B =，所以21cos 12sin 23BB =-=，所以sin 3B =，又因为1sin 2ac B = 所以6ac =，所以()()2222242cos 83b ac ac B a c ac a c =+-=-+=-+，所以28b ac a ca c=-+≥=--，当且仅当a c -=a =，c =故2ba c-最小值为故选：C.12.制作芯片的原料是晶圆，晶圆是由硅元素加以纯化得到，晶圆越薄，其体积越小且成本越低，但对工艺的要求就越高，即制作晶圆越薄其工艺就越高.某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中，成立甲，乙，丙三个科研小组，用三种不同的工艺制作晶圆.甲小组制作的晶圆厚度为11sin 32毫米，乙小组制作的晶圆厚度为11sin 23毫米，丙小组制作的晶圆厚度为17cos 28毫米，则在三个小组中制作工艺水平最高与最低的分别是（ ） A.甲小组和丙小组 B.丙小组和乙小组 C.乙小组和丙小组D.丙小组和甲小组【分析】设11sin 32a =，11sin 23b =，17cos 28c =，可得：162sin 2a =，163sin 3b =，763cos 8c =.利用三角函数的单调性可得：733cos 3cos 832π>=.12sin 2sin 126π<=，133sin 3sin 362π<=.可得c 最大，否定B ，D.设()sin x f x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.利用导数研究其单调性即可得出b a >.解：设11sin 32a =，11sin 23b =，17cos 28c =， ∴162sin 2a =，163sin 3b =，763cos 8c =. ∵783π<，∴733cos 3cos 832π>=.又126π<，136π<，∴12sin 2sin126π<=，133sin 3sin 362π<=. ∴c 最大，否定B ，D. 设()sin x f x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.()2cos sin x x x f x x -'=. 令()cos sin g x x x x =-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.()sin 0g x x x '=-<. ∴函数()g x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时为减函数，∴()()00g x g <=.∴()0f x '<. ∴函数()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时为减函数. ∴1132f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11sinsin321132>，∴113sin 2sin 32>.∴b a >. 故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设()31log ,021,0x x x f x x -+≥⎧=⎨-<⎩，则13f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦34-.【分析】推导出3111log 233f ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，从而()212213f f f -⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由此能求出结果.解：∵()31log ,021,0x x x f x x -+≥⎧=⎨-<⎩，∴3111log 233f ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭， ()21322134f f f -⎡⎤⎛⎫=-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：34-.14.某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品、二等品、三等品.从这批产品中随机抽取一件产品检测，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为0.21.【分析】抽到一等品、二等品、三等品的事件分别为A ，B ，C ，利用互斥事件概率加法公式列出方程组，能求出抽到二等品的概率.解：设抽到一等品、二等品、三等品的事件分别为A ，B ，C ，则()()()()()()()0.860.351P A P B P B P C P A P B P C +=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩， 解得抽到二等品的概率()0.21P B =. 故答案为：0.21.15.在等腰直角ABC △中，2AB =，90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 的高，将ABC △沿AD 折叠，折叠后使ABC △成等边三角形，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为6π. 【分析】将三角形沿AD折叠使得，则可求出AD BD CD ===BD CD ⊥，又AD BD ⊥，AD CD ⊥，以A ，D ，B ，C 为顶点构造正方形，可得()226R =，解得即可求出外接球的表面积.解：沿AD 折叠后使ABC △为等边三角形，即折叠后2BC =，易得AD BD CD ===又222224BD CD BC +=+==，所以BD CD ⊥，又AD BD ⊥，AD CD ⊥，以A ，D ，B ，C 为顶点构造正方形， 设三棱锥A BCD -的外接球的半径为R ，则()222222226R AD BD CD =++=++=，解得232R =，所以该三棱锥的外接球的表面积246D R ππ==. 故答案为：6π.16.设点1F ，2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过点1F 作直线l 与双曲线C 的左、右支分别交于A ，B 两点，若2234AF BF =且22AF BF ⊥，则双曲线C的离心率为5. 【分析】利用已知条件，结合直角三角形以及双曲线的定义，通过余弦定理，转化求解双曲线的离心率即可. 解：2234AF BF =，设24BF m =，23AF m =，因为22AF BF ⊥，所以5AB m =，由双曲线的定义可得：1132542m AF am AF m a⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩解得m a =，1AF a =，在直角三角形2ABF 中，233cos 55a BAF a ∠==， 在12AF F △中，()22224923cos c a a a a BAF π=+-⋅-∠，所以22173c a =，可得e =.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗疫情.某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学.某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课辅导，每天共200分钟.教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女生恰好各占一半）进行问卷调查，按男女生分为两组，再将每组学生在线学习时间（分钟）分为5组[]0,40，(]40,80，(]80,120，(]120,160，(]160,200得到如图所示的频率分布直方图.全区高三学生有3000人（男女生人数大致相等），以频率估计概率回答下列问题：（1）估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数；（2）在调查的80名高三学生且学习时间不超过40分钟的学生中，男女生按分层抽样的方法抽取6人.若从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，求至少抽到1名男生的概率.【分析】（1）利用频率分布直方图性质能求出男生自主学习不超过40分钟的人数和女生自主学习不超过40分钟的人数，由此能估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数.（2）在80名学生中，男生网上学习时间不超过40分钟的人数4人，女生网上学习时间不超过45分钟的人数2人，从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，基本事件总数2615n C ==，至少抽到1名男生包含的基本事件个数21144214m C C C =+=，由此能求出至少抽到1名男生的概率.解：（1）男生自主学习不超过40分钟的人数为：0.0025401500150⨯⨯=人，女生自主学习不超过40分钟的人数为：0.0012540150075⨯⨯=人，∴估计全区高三学生中网上学习时间不超过40分钟的人数为：15075225+=人. （2）在80名学生中，男生网上学习时间不超过40分钟的人数：400.0025404⨯⨯=人，女生网上学习时间不超过45分钟的人数：400.00125402⨯⨯=人， ∴选4名男生，2名女生，从这6人中随机抽取2人进行电话访谈，基本事件总数2615n C ==，至少抽到1名男生包含的基本事件个数21144214m C C C =+=，∴至少抽到1名男生的概率1415m p n ==. 18.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知417a a -=，37S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2,log ,n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，数列{}n b 前n 项和为n T ，求2n T .【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为1q ≠，由417a a -=，37S =.可得3117a q a -=，()31171a q q-=-，联立解得：1a ，q .即可得出n a .（2）设2,log ,n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，则12,1,n n n b n n -⎧⎪=⎨-⎪⎩为偶数为奇数.利用等差数列等比数列的求和公式即可得出.解：（1）设等比数列{}n a 的公比为1q ≠，∵417a a -=，37S =. ∴3117a q a -=，()31171a q q-=-，联立解得：11a =，2q =.∴12n n a -=.（2）设2,log ,n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，则12,1,n n n b n n -⎧⎪=⎨-⎪⎩为偶数为奇数. 数列{}n b 前n 项和为n T ，则()()321222202422n n T n -=++++++++-()()()22412412204123n nn n n n ---+=+=+--.19.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为菱形，160A AC ∠=︒，2AC =，侧面11CBB C 为正方形，平面11ACC A ⊥平面ABC .点M 为1A C 的中点，点N 为AB 的中点.（1）证明：MN ∥平面11BCC B ； （2）求三棱柱11A ABC -的体积.【分析】（1）连结1AC 、1BC ，推导出1MN BC ∥，由此能证明MN ∥平面11BCC B.（2）取AC 的中点H ，连1A H ，则1A H AC ⊥，从而1A H ⊥平面ABC ，进而1A H BC ⊥，由11CBB C 为正方形，得1BC CC ⊥，推导出1BC AA ⊥，1BC AA ⊥，从而BC ⊥平面11ACC A ，由此能求出三棱柱11A ABC -的体积. 解：（1）证明：连结1AC 、1BC ，∵11ACC A 是菱形，点M 为1A C 的中点，∴11AC AC M ⋂=， 又点M 为1AC 的中点，点N 为AB ，∴1MN BC ∥， ∵1BC ⊂平面11BCC B ，MN ⊄平面11BCC B ， ∴MN ∥平面11BCC B .（2）∵侧面11ACC A 为菱形，160A AC ∠=︒， ∴1AAC △为等边三角形，112AA A C AC ===， 取AC 的中点H ，连1A H ，则1A H AC ⊥， ∵平面11ACC A ⊥平面ABC ，∴1A H ⊥平面ABC ， ∴1A H BC ⊥，而11CBB C 为正方形，∴1BC CC ⊥， 又11AA CC ∥，∴1BC AA ⊥， 又11AA CC ∥，∴1BC AA ⊥，又111AA A H A ⋂=，∴BC ⊥平面11ACC A ，∵11AAC △的面积122sin1202S =⨯⨯⨯︒=∴三棱柱11A ABC -的体积11111233A ABCB A AC V V --===.20.设点F 为抛物线22y px =（0p >）的焦点，A ，B ，C 三点在抛物线上，且四边形ABCF 为平行四边形，当B 点到y 轴距离为1时，5BF =. （1）求抛物线的方程；（2）平行四边形ABCF 的对角线AC 所在的直线是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.【分析】（1）依题意1B x =，再利用抛物线的定义即可求出p 的值，从而得到抛物线的方程；（2）设直线AC 的方程为：x ty m =+，设()11,A x y ，()22,C x y ，(),B B B x y ，()4,0F ，由FA FC FB +=可得12124B B x x x y y y =+-⎧⎨=+⎩，联立方程直线AC 与抛物线方程，利用韦达定理得到2162416B Bx t m y t ⎧=+-⎨=⎩，代入抛物线方程，即可求出m 的值，从而得到直线AC 恒过定点()2,0. 解：（1）依题意，1B x =， 由抛物线的定义可得：152p+=，∴8p =， ∴抛物线的方程为：216y x =；（2）设直线AC 的方程为：x ty m =+，设()11,A x y ，()22,C x y ，(),B B B x y ，()4,0F ， ∴()114,FA x y =-，()4,B B FB x y =-，()224,FC x y =-， 依题意，FA FC FB +=，所以1212444B B x x x y y y -+-=-⎧⎨+=⎩，即12124B B x x x y y y =+-⎧⎨=+⎩，联立方程216x ty m y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：216160y ty m --=，∴()2164160t m ∆=-+⨯>，即240t m +>，且1216y y t +=，1216y y m =-，∴()212122162x x t y y m t m +=++=+，∴2162416B B x t m y t⎧=+-⎨=⎩，又∵216B B y x =， ∴()()2216161624t t m =+-，解得2m =，即直线AC 的方程为：2x ty =+，令0y =，2x =， ∴直线AC 恒过定点()2,0.21.已知函数()22cos 2f x ax x =+-，（a ∈R ）.（1）若1a =，求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程； （2）若()0f x ≥，求a 的取值范围.【分析】（1）先求导，根据导数的几何意义即可求出切线方程；（2）先判断函数的奇偶性，再根据导数和函数最值的关系即可求出a 的范围，需要分类讨论.解：（1）若1a =时，()22cos 2f x x x =+-，则()22sin f x x x '=-，∴斜率()2k f ππ'==，∵()24f ππ=-，∴曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()242y x πππ-+=-，即2240x y ππ---=.（2）∵()()f x f x -=， ∴()f x 为偶函数， ∵()0f x ≥，∴当0x ≥时，()0f x ≥， ∵()22sin f x ax x '=-，0x ≥， 令()22sin g x ax x =-，∴()()22cos 2cos g x a x a x '=-=-，①当1a ≥时，()0g x '≥，()g x 在[)0,+∞上单调递增，∴()()00g x g ≥=， 即()0f x '≥，()f x 在[)0,+∞上单调递增，∴()()00f x f ≥=，满足条件，②当0a ≤时，22024f a ππ⎛⎫=⋅-< ⎪⎝⎭，显然不满足条件，③当01a <<时，若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()0g x '=，解得0cos x a =， ∴存在0x ，使得当()00,x x ∈，()0g x '<，∴()g x 在()00,x 上单调递减，即()()00g x g <=，即()0f x '<， ∴()f x 在()00,x 上单调递减，即()()00f x f <=，所以不满足条件， 综上所述a 的取值范围为[)1,+∞.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为cos 32sin 3x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为253cos 2θρα=-，点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上.（1）求曲线1C 的一般方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）求PQ 的最大值.【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.（2）利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和二次函数性质的应用求出结果.解：（1）曲线1C的参数方程为323x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），转换为直角坐标方程为()22723x y +-=.曲线2C 的极坐标方程为253cos 2θρα=-，转换为直角坐标方程为2214x y +=.（2）设()2cos ,sin Q θθ，()10,2C ，则：()()22212282cos 0sin 23sin 33C Q θθθ⎛⎫=-+-=-++ ⎪⎝⎭，当2sin 3=-时，1max C Q =所以max 33PQ =+=. [选修4-5：不等式选讲]23.设a ，b ，c 都是正数，且1a b c ++=. （1）求11a b c++的最小值； （2）证明：444a b c abc ++≥.【分析】（1）由a ，b ，c 都是正数，且1a b c ++=，利用“1的代换”代入，再由基本不等式求最值；（2）()()4444444442222222221122a b c a b b c a c a b b c a c ++++++++=+≥， 而()()2222222222222222221122222a b b c a c a b b c a b a c b c a c ++=+++++ ()()22212222ab c a bc abc abc a b c abc ≥++=++=，两次基本不等式等号同时成立，结论得证.【解答】（1）解：∵a ，b ，c 都是正数，且1a b c ++=，∴111124a b c a b c c a b a b c a b c a b c ++++++=+=+++≥+=+++. 当且仅当a b c +=时取“=”，∴11a b c++的最小值为4； （2）证明：()()4444444442222222221122a b c a b b c a c a b b c a c ++++++++=+≥. 当且仅当13a b c ===时“=”成立.而()()2222222222222222221122222a b b c a c a b b c a b a c b c a c ++=+++++ ()()22212222ab c a bc abc abc a b c abc ≥++=++=. 当且仅当13a b c ===时“=”成立.∴444a b c abc ++≥，当且仅当13a b c ===时“=”成立.。
专题35 空间中线线角、线面角,二面角的求法-
专题35 空间中线线角、线面角、二面角的求法【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.类型一 空间中线线角的求法方法一 平移法例1正四面体ABCD 中， E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为 A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 【变式演练1】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】如图，正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为6，点F 是棱1AA 的中点，AC 与BD 的交点为O ，点M 在棱BC 上，且2BM MC =，动点T （不同于点M ）在四边形ABCD 内部及其边界上运动，且TM OF ⊥，则直线1B F 与TM 所成角的余弦值为（ ）A B C D ．79【变式演练2】【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期9月月考模拟测试】当动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上运动时，异面直线1D P 与1BC 所成角的取值范围（ ）A ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【变式演练3】【甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学（文科）第四次联考】在四面体ABCD 中，2BD AC ==，AB BC CD DA ====E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【变式演练4】【2020年浙江省名校高考押题预测卷】如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，4AB BC ==，90ABC ∠=︒，侧棱SB 与平面ABC 所成的角为45︒，M 为AC 的中点，N 是侧棱SC上一动点，当BMN △的面积最小时，异面直线SB 与MN 所成角的余弦值为（ ）A ．16B ．3C D ．6方法二 空间向量法例2、【重庆市第三十七中学校2020-2021学年高三上学期10月月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱1AA ，11C D ，1DD 的中点，12AB AA AD ==，则异面直线EF 与BG 所成角的大小为（ ） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒例3、【四川省泸县第四中学2020-2021学年高三上学期第一次月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，2BC =，14AB BB ==，E ，F 分别是11A D ，CD 的中点，则异面直线1A F 与1B E 所成角的余弦值为（ ）A ．34B ．34-C D ．6【变式演练5】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【变式演练6】【云南省云天化中学、下关一中2021届高三复习备考联合质量检测卷】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段AB 的中点，点F 在线段AD 上移动，异面直线1B C 与EF 所成角最小时，其余弦值为（ ）A ．0B ．12C D ．1116类型二 空间中线面角的求法方法一 垂线法第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角； 第三步 得出结论.例3如图，四边形ABCD是矩形，1,AB AD ==E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；（Ⅰ）若AF FG =，求直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值.【变式演练7】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．13 B． C．3 D ．23【变式演练8】【北京市朝阳区2020届高三年级下学期二模】如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 是正方形，AD DE ⊥，4=AD ，2DE EF ==，且π3EDC ∠=．（1）求证：AD ⊥平面CDEF ；（2）求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值；GFEDCBA（3）设M 是CF 的中点，棱AB 上是否存在点G ，使得//MG 平面ADE ？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由．方法二 空间向量法第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标； 第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；第三步 再利用a bsin a bθ→→→→⋅=即可得出结论.例4 【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）模拟】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，222AD BC CD ===，O 是AD 的中点，PO ⊥平面ABCD ，过AB 的平面交棱PC 于点E （异于点C ，P 两点），交PO 于F .（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）若F 是PO 中点，且平面EFD 与平面ABCD 求PC 与底面ABCD 所成角的正切值.【变式演练9】【2020年浙江省名校高考仿真训练】已知三棱台111ABC A B C -的下底面ABC 是边长为2的正三角形，上地面111A B C △是边长为1的正三角形.1A 在下底面的射影为ABC 的重心，且11A B A C ⊥.（1）证明：1A B ⊥平面11ACC A ；（2）求直线1CB 与平面11ACC A 所成角的正弦值.类型三 空间二面角的求解例4【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】三棱锥S ABC -中，2SA BC ==，SC AB ==，SB AC ==记BC 中点为M ，SA 中点为N（1）求异面直线AM 与CN 的距离； （2）求二面角A SM C --的余弦值.【变式演练10】【2021年届国著名重点中学新高考冲刺】如图，四边形MABC 中，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，MAC △是边长为2的正三角形，以AC 为折痕，将MAC △向上折叠到DAC △的位置，使D 点在平面ABC 内的射影在AB 上，再将MAC △向下折叠到EAC 的位置，使平面EAC ⊥平面ABC ，形成几何体DABCE .（1）点F 在BC 上，若//DF 平面EAC ，求点F 的位置； （2）求二面角D BC E --的余弦值. 【高考再现】1．【2020年高考山东卷4】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为 （ ）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒2. 【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A B C D 3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数16】如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，1,3,,,30AC AB AD AB AC AB AD CAE ===⊥⊥∠=︒，则cos FCB ∠=_____________．4.【2020年高考全国Ⅱ卷理数20】如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：1AA //MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为Ⅰ111C B A 的中心，若F C EB AO 11平面∥，且AB AO =，求直线E B 1与平面AMN A 1所成角的正弦值．5.【2020年高考江苏卷24】在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO Ⅰ平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．6．【2020年高考浙江卷19】如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．（I）证明：EF⊥DB；（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．7．【2020年高考山东卷20】如图，四棱锥P ABCD-的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知1PD AD==，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【反馈练习】1．【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是线段BC ，1BB 的中点，则异面直线DE 与1D F 所成角的余弦值为（ ）A B C ．35 D ．452．【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】某四棱锥的三视图如图所示，点E 在棱BC 上，且2BE EC =，则异面直线PB 与DE 所成的角的余弦值为（ ）A ．BCD ．153．【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟】如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足12DP PB +=1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围为（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12⎡⎢⎣⎦D ．1,22⎡⎢⎣⎦4．【广西玉林市2021届高三11月教学质量监测理科】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AD ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与BF 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 5．【山东省泰安市2020届高三第四轮模拟复习质量】如图，在三棱锥A —BCD 中，AB =AC =BD =CD =3，AD =BC =2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是（ ）A ．58B ．8C ．78D ．86．【福建省厦门市2020届高三毕业班（6月）第二次质量检查（文科）】如图，圆柱1OO 中，12OO =，1OA =，1OA O B ⊥，则AB 与下底面所成角的正切值为( )A ．2BC ．2D ．127．【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）】若正方体1AC 的棱长为1，点P 是面11AA D D 的中心，点Q 是面1111D C B A 的对角线11B D 上一点，且//PQ 面11AA B B ，则异面直线PQ 与1CC 所成角的正弦值为__.8．【吉林省示范高中（四平一中、梅河口五中、白城一中等）2020届高三第五次模拟联考】如图，已知直三棱柱ADF BCE -，AD DF ⊥，2AD DF CD ===，M 为AB 上一点，四棱锥F AMCD -的体积与该直三棱柱的体积之比为512，则异面直线AF 与CM 所成角的余弦值为________.9．【湖北省华中师大附中2020届高三下学期高考预测联考文科】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，PA ⊥平面ABC ，E 、F 分别是PC 、PB 边上的中点，点M 是线段AB 上任意一点，若2AP AC BC ===.（1）求异面直线AE 与BC 所成的角：（2）若三棱锥M AEF -的体积等于19，求AM BM10．【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研测试】如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，侧面11BCC B 为菱形，且平面11BCC B ⊥平面ABC ，160CBB ∠=︒，D 为棱1AA 的中点．（1）证明：1BC ⊥平面1DCB ；（2）求二面角11B DC C --的余弦值．11．【河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学（理）】如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，四边形BDFE 为矩形，平面BDFE ⊥平面ABCD ，点P 在AD 上，EP BC ⊥.（1）证明：AD ⊥平面BEP ；（2）若EP 与平面ABCD 所成角为60°，求二面角C PE B --的余弦值.12．【广西南宁三中2020届高三数学（理科）考试】如图1，在直角ABC 中，90ABC ∠=︒，AC =AB =D ，E 分别为AC ，BD 的中点，连结AE 并延长交BC 于点F ，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示.（1）求证：AE CD ⊥；（2）求平面AEF 与平面ADC 所成锐二面角的余弦值.13．【广西柳州市2020届高三第二次模拟考试理科】已知三棱锥P ABC -的展开图如图二，其中四边形ABCD ABE △和BCF △均为正三角形，在三棱锥P ABC -中：（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若M 是PA 的中点，求二面角P BC M --的余弦值．14．【浙江省“山水联盟”2020届高三下学期高考模拟】四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，侧面PBC 为正三角形，平面PBC ⊥平面ABCD ，3ABC π∠=，点M 为AD 中点.；（1）求证：CM PB（2）若点N是线段PA上的中点，求直线MN与平面PCM所成角的正弦值.。
2020届湖北省高考全国统考预测密卷(2)数学(文)试卷(有答案)(已审阅)
高考文数预测密卷二本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1. 已知集合{}2|230A x x x =--≥，4|5B y y ⎧⎫=≥-⎨⎬⎩⎭，则R A C B I =（ ） A.{}|1x x ≤- B. {}|3x x ≥ C. 5|4x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭ D. 5|14x x ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭2.若复数()12a iz a R i+=∈+为纯虚数，其中i 为虚数单位，则2017z =（ ） A ．i - B. i C.1 D.-1 3. 0000cos 45sin105sin135sin15-=（ ）A. 32-B. 32C. 12-D. 124. 3m =是直线(3)20m x my ++-=与直线650mx y -+=垂直的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.已知正项数列{}n a 满足1*12()n n a a n N +=∈，则2017a =（ ） A. 20152B. 20162C. 20172D. 201826．我们可以用随机模拟的方法估计的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数）．若得到的π的近似值为3.126,则输出的结果为（ ）A. 512B. 521C. 520D. 5237.已知实数x ，y 满足1,21,3,y y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩则31z x y =++（ ）A. 有最大值20 B ．有最小值20C ． 有最大值8，最小值203D ．有最大值8，最小值5 8.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，离心率为52， 若以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于点M ，且OMF ∆的面积为16，则双曲线方程为（ ）A. 22125664x y +=B. 2216416x y +=C. 221164x y +=D. 2214x y +=9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积与底面积之比为（ ）225217++74541++22521741+++24541++10.数列{}n a 满足111,(1)(1)n n a na n a n n +==+++，数列cos n n b a n π=，设n S 为数列{}n b的前n 项和，则27S =（ ）A. 351B. 406C. 378-D. 324-11.已知函数322,0()69,0x f x x x x a x <⎧=⎨-+-+≥⎩，若存在()f x 图象上的相异两点,A B ，使得,A B 关于原点的对称点仍然落在()f x 图象上,则实数a =（ ） A. 2- B. 2 C. 1 D. 012．设点M 为圆C ：222(5)(0)x y r r +-=>上一点，过点M 作圆C 的切线l 交抛物线214y x =于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 只有2条，则r 的取值范围是（ ） A. (0,2] B. (2,4] C. [4,5) D. (0,2][4,5)U第Ⅱ卷（13-21为必做题，22-23为选做题）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
湖北省华中师大附中2020届高三教学质量联合测评(文数)
湖北省华中师大附中2020届高三教学质量联合测评数 学（文科）本试题卷共4页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1．已知集合{}3,2,1=A ，{}5,3,1=B ，则=B A A ．{}3,1 B ．{}3,2,1 C ．{}5,3,1 D ．{}5,3,2,1 2．复平面内表示复数i i z 2121+-=的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．设向量b a ,满足1==b a ，21-=⋅b a ，则=+b a 43 A ．1 B ．13 C ．37 D ．74．设有不同的直线b a ,和不同的平面,,βα给出下列四个命题：①若α//a ，α//b ，则;//b a ②若α//a ，β//a ，则βα//③若α⊥a ，α⊥b 则;//b a ④若α⊥a ，β⊥a ，则⋅βα// 其中正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．45．甲、乙2名党员干部各自等可能地从D C B A ,,,4个贫困村中选择1个驻村扶贫，则他们选择不 同的贫困村驻村扶贫的概率为A ．43B ．43C ．41D ．161 6．已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲 和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小．由此可以推知：甲、乙、丙三人中A ．甲不是海南人B ．湖南人比甲年龄小C ．湖南人比河南人年龄大D ．海南人年龄最小7．已知2)4tan(=+πα，则=+αα2cos 12sin A ．31 B ．21 C ．2 D ．38．函数x x x f sin 3)(3+=的图像大致为9．已知21,F F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，P 是C 上一点，满足 ,212F F PF ⊥且2PF 21F F =,则C 的离心率为A ．22B ．212- C ．22- D ．12- 10．函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 与)1(-x f 都是偶函数，则 A ．)(x f 是偶函数B ．)(x f 是奇函数C ．)3(+x f 是偶函数D ．)2()(+=x f x f11．如图来自某中学数学研究性学习小组所研究的几何图形，大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有1个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，小球相交部分（图中阴影部分）记为I ，大球内、小球外的部分（图中黑色部分）记为Ⅱ，若在大球中随机取一点，此点取自I ，Ⅱ的概率分别记为21,p p ，则A ．211>p B ．212<p C ．21p p < D ．21p p > 12．已知函数x x x f 2sin sin )(⋅=，下列结论错误的是A ．)(x f y =的图像关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2π对称B ．)(x f y =的图像关于直线π=x 对称C ．)(.x f 的最大值为23D ．)(x f 是周期函数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
华师大附中2020届高考冲刺押题卷(一)数学(文)试题(word版)
华师大附中2020届高考冲刺押题卷（一）数学试卷（文史类）考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.做答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.做答第Ⅱ卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R集合，，则（）A．B．C．D．2．已知复数（为虚数单位），则（）A．B．C．D．3．已知等差数列满足，，则它的前8项的和为A．95 B．80 C．40 D．204．某英语初学者在拼写单词“”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“”、“”、“”三个字母组成并且“”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为（）.A．B．C．D．5．已知向量，，则在上的投影为（）A．2 B．C．1 D．-16．已知三棱锥中，平面ABC，，，，则三棱锥的外接球的表面积为A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出p为（）A．6 B．24 C．120 D．7208．已知双曲线：的左右焦点分别为，，以坐标原点为圆心，的长为半径作圆，与在第一象限交于点，若直线的倾斜角为且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．49．已知函数，点，分别为图像在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，为坐标原点，若为锐角三角形，则的取值范围为（）A．30,2π⎛⎫⎪⎪⎝⎭B．3,22ππ⎛⎫⎪⎪⎝⎭C．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D．,2π⎛⎫+∞⎪⎝⎭10.已知函数f(x)是定义在区间[－a，a](a＞0)上的奇函数，若g(x)＝f(x)＋2 019，则g(x)的最大值与最小值之和为( )A．0 B．1 C．2 019 D．4 03811.已知l是直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中为真命题的是()A. 若l∥α,l∥β,则α∥βB. 若α⊥β,l∥α,则l⊥βC. 若l⊥α,l∥β,则α⊥βD. 若l∥α,α∥β,则l∥β12．已知函数，且在上单调递增，且函数与的图象恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题，23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．已知实数，满足线性约束条件，则的最小值为__________．14．抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为______.15．某次考试结束，甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天甲说：“你们的成绩都没有我高”乙说：“我的成绩一定比丙高”丙说：“你们的成绩都比我高”成绩公布后，三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，若将三人成绩从高到低排序，则甲排在第______名16.如图所示,在杨辉三角中,斜线上方从1开始箭头所指的数组成一个锯齿数列1,3,3,4,6,5,10,….记其前n项和为S n,则S19= .三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在中，角，，的对边分别为，，，已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为152，求的值．18.(本小题满分12分)如图，四边形PCBM 是直角梯形，90,PCB PM ∠=︒∥,12BC PM BC ==，，又1120AC ACB AB PC =∠=︒⊥，，，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒.（1）求证： PC AC ⊥； （2）求点B 到平面ACM 的距离。
5.2020届华师大一附中高三数学文科试题含答案
△ 14.在 ABC 中，角 A 、 B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b = 2 7 ，c = 3 ， B = 2C ，则cos 2C 的值为
____________.
15.正四棱锥S − ABCD 底面边长为2 ，高为1 ，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保
为 持PE ⋅ AC = 0 ，则动点P 的轨迹的周长为____________.
x1
<
x2
<
a
，都有
x2
ln
x1 x1− −x1 x2 Nhomakorabealn
x2
> 1 ，则a 的最大值为
A. 2e
B. e
1
C.
D.1
二.填空题(本大题共4 小题，每题5 分，共20 分.) 2
13.某校高三科创班共 48 人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按 1 至 48 的学号用系统抽样方法抽
取 8 人进行调查，若抽到的最大学号为 48，则抽到的最小学号为____________.
离得20心.△(本率((P小21A.))求若题B椭过是12圆原以分点CP)已的的为直知方直线椭程角圆；l顶1 :C点y:的=axk直22x+角与by三椭22 角圆=形1C(，a交>求于b实>A数0，)kB，的点两取(点1值,，e范)且和围在.直2线, l222:
都在椭圆C
上，其中e
为椭圆C
的
2kx − y + k − 2 = 0 上存在点P ，使
=
1 n2 + n
=
1 n
−
1 n +1
…………9
， 分 1
a12 + b1
湖北省华中师范大学第一附属中学2020届高考数学押题试卷 文
湖北省华中师范大学第一附属中学2020届高考数学押题试卷 文本试题卷共4页,23题。
全卷满分150 分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1.答题前,先将自己的姓名.准考证号填写在答题卡上.并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号餘黑。
写在试题卷.草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。
3.填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区城内。
写在试题卷.草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。
5.考试结束后,请将答题卡上交。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若集合{}{}2,,2,A y y x x R B x x x R ==∈=≤∈,则A I B=A.{x|-2≤x ≤2}B. {x|0≤x ≤2)C. {}0x x ≥ D. φ 2.已知复数z 满足(13)(1)(3)i z i i -=++ ,则z 的共轭复数为 A.-1+i B.1+i C.-1- i D.1-i3.已知11331231,log ,()23a b c ===,则A. b>a>cB. c>a>b .C. c>b>aD. a>b>c4.函数23cos()2()cos()x x f x x x ππ--=--在[,]ππ-的图象大致为5.本周日下午1点至6点学校游泳馆照常开放,甲、乙两人计划前去游泳,其中甲连续游泳2小时,乙连续游泳3小时.假设这两人各自随机到达游泳馆,则下午5点钟时甲、乙两人都在游泳馆游泳的概率是A.12 B. 13 C. 16 D. 186.若平面向量a r 与b r 的夹角为60°, 6,(2)(3)72a a b a b =+⋅-=-r r r r r,则向量b r 的模为A.2B.4C.6D.12 7.随着电商行业的蓬勃发展，快递行业近几年也保持着增长的态势,我国已经成为快递大国，快递业已成为人民群众生活的“必需品"。
湖北省2020年高考文科数学预测题及答案
①
∵
，∴
.∴
由①式可得当
时，有
.
∵
，∴
.
，∴
∴
.
综上所述，有 22. （ 1）因为直线过点
，∴
.
，且倾斜角为 ，
9
所以直线的参数方程为
（为参数） ，
因为圆 的极坐 的标准方程为：
， ，
.
（ 2）直线的参数方程为
，代入圆 的标准方程得
整理得
，
设 、 两点对应的参数分别为
、 ，则
恒成立，
所以
，
.
因为
，所以
或.
23. （ 1）依题意得
可得
.
（ 2）依题意得
，
即
，
（
）由柯西不等式得，
，
当且仅当
，即
，
，
时取等号 .
， 的最大值为
，
，
， ， =-4<0
10
100 个不同层次员工的税前收入， 并
制成下面的频数分布表：
收入 （元）
3000,5000
5000,7000
7000,9000
9000,11000 11000,13000 13000,15000
人数
30
40
10
8
7
5
先从收入在 3000,5000 及 5000,7000 的人群中按分层抽样抽取 7 人，再从中选 2 人作为新纳
三点共线，
∴有 y1 3 x1
y0 ，∴ y0 2
2 y1 9 分 x1 3
而 y0 y2
2 y1 x1 3
y2
2k x1 1 x1 3
k x2 1
华中师大一附中2020届高三6月高考文科数学模拟试卷 (解析版)
2020年高考数学模拟试卷（文科）（6月份）一、选择题（共12小题）.的模等于（）1．若复数（1+mi）（3+i）（i是虚数单位，m∈R）是纯虚数，则复数m+3i1−i A．1 B．2 C．3 D．4”是“直线（m+2）x+3my+1＝0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0相互2．“m=12垂直”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件3．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（）A．甲队平均得分高于乙队的平均得分B．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C．甲队得分的方差大于乙队得分的方差D．甲乙两队得分的极差相等4．已知有下面程序，若程序执行后输出的结果是11880，则在程序后面的“横线”处应填（）A．i≥9 B．i＝8 C．i≥10 D．i≥85．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n﹣1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前55项和为（）A．4072 B．2026 C．4096 D．20486．有两条不同的直线m，n与两个不同的平面α，β，下列结论中正确的是（）A．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥βB．m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n C．m∥n，n⊆α，则m∥αD．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n 7．已知函数f(x)=|x+1|+|2−x+12−x|，则下列关于函数f（x）图象的结论正确的是x（）A．关于点（0，0）对称B．关于点（0，1）对称C．关于y轴对称D．关于直线x＝1对称8．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP →=mAB →+nAF →（m ，n 为实数），则m +n 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．69．设p ＝0.50.7，q =13log 30.3，则有（ ）A ．p ﹣q ＞pq ＞p +qB ．p ﹣q ＞p +q ＞pqC ．pq ＞p ﹣q ＞p +qD ．p +q ＞p ﹣q ＞pq 10．设点M （x 0，1），若在圆O ：x 2+y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是（ ） A ．[﹣1，1]B ．[−12，12]C ．[−√2，√2]D ．[−√22，√22]11．如图，已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点P 在第一象限，且满足|F 2P|→=a ，（F 1P →+F 1F 2→）•F 2P →=0，线段PF 2与双曲线C 交于点Q ，若F 2P →=5F 2Q →，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±√55xB ．y ＝±12xC ．y ＝±√32xD ．y ＝±√33x12．已知数列{a n }中，a 1＝2，n （a n +1﹣a n ）＝a n +1，n ∈N *，若对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *，不等式a n+1n+1＜2t 2+at ﹣1恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D ．[﹣2，2]二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数f （x ）＝cos （2x +5π6）+sin （2x +π）（x ∈[−π4，π4]）的最大值为 ． 14．已知实数x ，y 满足{3x −2y −3≤0x −3y +6≥02x +y −2≥0，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 ．15．已知A ，B 是圆C ：x 2+y 2﹣8x ﹣2y +16＝0上两点，点P 在抛物线x 2＝2y 上，当∠APB 取得最大值时，|AB |＝ ．16．△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若A ＝2B ，则cb +2b a的取值范围为 ．三、解答题（本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17．已知向量a →，b →满足a →=（﹣2sin x ，√3（cos x +sin x ）），b →=（cos x ，cos x ﹣sin x ），函数f （x ）=a →•b →（x ∈R ）．（Ⅰ）求f （x ）在x ∈[−π2，0]时的值域； （Ⅱ）已知数列a n ＝n 2f （nπ2−11π24）（n ∈N +），求{a n }的前2n 项和S 2n ．18．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝2，BC ＝4，AB =AC =2√2，过BC 的截面α与面AB 1C 1交于EF ． （1）求证：EF ∥BC ．（2）若截面α过点A 1，求证：α⊥面AEF ． （3）在（2）的条件下，求V A 1−EFA ．19．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布表和频率分布直方图如下，回答下列问题：分组人数频率[39.5，49.5）a0.10[49.5，59.5）9x[59.5，69.5）b0.15[69.5，79.5）180.30[79.5，89.5）15y[89.5，99.5]30.05（1）分别求出a，b，x，y的值，并补全频率分布直方图；（2）估计这次环保知识竞赛平均分；（3）若从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率有多大？20．设函数f （x ）＝（1+a ﹣ax ）lnx ﹣b （x ﹣1），其中a ，b 是实数．已知曲线y ＝f （x ）与x 轴相切于点（1，0）． （1）求常数b 的值；（2）当1≤x ≤2时，关于x 的不等式f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 21．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点 （1，√32），离心率为√32，点A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆相交于不同于点A 的两个点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当AP →⋅AQ →=0时，求△OPQ 面积的最大值；（Ⅲ）若直线l 的斜率为2，求证：△APQ 的外接圆恒过一个异于点A 的定点． （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =t y =4−√3t （t 为参数），圆C的方程为x 2+（y ﹣1）2＝1．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求l 和C 的极坐标方程；（2）过O 且倾斜角为α的直线与l 交于点A ，与C 交于另一点B ．若π6≤α≤5π12，求|OB||OA|的取值范围．23．不等式|x +2|+|x +4|＜8的解集为（n ，m ）． （1）求m 的值；（2）设a ，b ，c ∈R *，且a 2+b 2+c 2＝m ，求a +2b +3c 的最大值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数（1+mi）（3+i）（i是虚数单位，m∈R）是纯虚数，则复数m+3i1−i的模等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由已知求得m，代入m+3i1−i，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：∵（1+mi）（3+i）＝3﹣m+（3m+1）i为纯虚数，∴m＝3，则m+3i1−i =3+3i1−i=3(1+i)2(1−i)(1+i)=3i，∴复数m+3i1−i的模等于3．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．2．“m=12”是“直线（m+2）x+3my+1＝0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0相互垂直”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】判断充分性只要将“m=12”代入各直线方程，看是否满足（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）＝0，判断必要性看（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）＝0的根是否只有1 2．解：当m=12时，直线（m+2）x+3my+1＝0的斜率是−53，直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0的斜率是35，∴满足k1•k2＝﹣1，∴“m=12”是“直线（m+2）x+3my+1＝0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0相互垂直”的充分条件，而当（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）＝0得：m=12或m＝﹣2．∴“m=12”是“直线（m+2）x+3my+1＝0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0相互垂直”充分而不必要条件．故选：B．【点评】本题是通过常用逻辑用语考查两直线垂直的判定．3．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（）A．甲队平均得分高于乙队的平均得分B．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C．甲队得分的方差大于乙队得分的方差D．甲乙两队得分的极差相等【分析】根据中位数，平均数，极差，方差的概念计算比较可得．解：对于A，甲的平均数为15（26+28+29+31+31）＝29，乙的平均数为15（28+29+30+31+32）＝30，故错误；对于B，甲队得分的中位数是29，乙队得分的中位数是30，故错误；对于C，甲成绩的方差为：s2=15×[（26﹣29）2+（28﹣29）2+（29﹣29）2+（31﹣29）2+（31﹣29）2]=185．乙成绩的方差为：s2=15×[（28﹣30）2+（29﹣30）2+（30﹣30）2+（31﹣30）2+（32﹣30）2]＝2．可得甲队得分的方差大于乙队得分的方差，故正确；对于D，甲的极差是31﹣26＝5．乙的极差是32﹣28＝4，两者不相等，故错误．故选：C．【点评】本题考查了考查茎叶图的性质等基础知识，考查中位数，平均数，极差，方差的概念计算及运算求解能力，是基础题．4．已知有下面程序，若程序执行后输出的结果是11880，则在程序后面的“横线”处应填（）A．i≥9 B．i＝8 C．i≥10 D．i≥8【分析】根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s＝1×12×11×10×9＝11880得到程序的条件是什么．解：因为输出的结果是11880，即s＝1×12×11×10×9，需执行4次，则程序中的“条件”应为i≥9．故选：A．【点评】本题主要考查了循环语句的应用问题，语句的识别问题是一个逆向性思维，是基础题．5．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n﹣1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前55项和为（）A．4072 B．2026 C．4096 D．2048【分析】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．解：n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x2+2x+1，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令x＝1，就可以求出该行的系数之和，第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为S n=1−2n=2n﹣1，1−2若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，，则T n=n(n+1)2可得当n＝12，去除两端的“1”可得78﹣23＝55，则此数列前55项的和为S12﹣23＝212﹣1﹣23＝4072．故选：A．【点评】本题主要考查数列的求和，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列、等差数列的求和公式是解决本题的关键，6．有两条不同的直线m，n与两个不同的平面α，β，下列结论中正确的是（）A．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥βB．m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n C．m∥n，n⊆α，则m∥αD．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n【分析】对于A，只有在满足n⊂α时，可得n⊥β；对于B，由m⊥α，α∥β，得m⊥β，由n∥β，可得m⊥n；对于C，m∥α或m在α内；对于D，m，n相交、平行或异面．解：对于A，由α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，只有在满足n⊂α时，可得n⊥β，所以A不正确；对于B，由m⊥α，α∥β，可得m⊥β，又由n∥β，所以可得m⊥n，所以B正确；对于C，由m∥n，n⊆α，则m∥α或m在α内，所以C不正确；对于D，由m∥α，n∥β且α∥β，则m，n相交、平行或异面，所以D不正确．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7．已知函数f(x)=|x+1x|+|2−x+12−x|，则下列关于函数f（x）图象的结论正确的是（）A．关于点（0，0）对称B．关于点（0，1）对称C．关于y轴对称D．关于直线x＝1对称【分析】令x＝2﹣t，那么|2﹣x+12−x |＝|t+1t|，|x+1x|＝|2﹣t+12−t|，可得f（x）＝f（2﹣x）则f（x）关系x＝1对称．解：函数f(x)=|x+1x|+|2−x+12−x|，令x＝2﹣t，那么|2﹣x+12−x |＝|t+1t|，|x+1x|＝|2﹣t+12−t|，可得f（x）＝f（2﹣x）则f（x）关于直线x＝1对称．故选：D．【点评】本题考查了函数图象变换，对称问题，是中档题．8．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量AP→=mAB→+nAF→（m，n为实数），则m+n的最大值是（）A．2 B．3 C．5 D．6【分析】利用平面向量的运算法则结合题意将原问题转化为向量的投影问题，然后数形结合即可求得最终结果．解：由题意可得：AP →⋅AE →=mAB →⋅AE →+nAF →⋅AE →=nAF →⋅AE →=n|AF →||AE →|cos ∠FAE =6n ，同理，AP →⋅AC →=6m ，两式相加可得：AP →⋅(AE →+AC →)=6(m +n)； ∵AE →+AC →=2AO →，∴2AP →⋅AO →=6(m +n)． ∵AP →⋅AO →=|AP →||AO →|cos ∠PAO =3|AP →|cos ∠PAO ．∴m +n =|AP →|cos ∠PAO ，其几何意义就是AP →在AO →上的投影． ∴求m +n 的最大值就转化为求AP →在 AO →上投影最大值．从图形上可以看出：当点Q 和D 点重合时，AP →在 AO →上的投影取到最大值5． 故选：C ．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，数形结合解题等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．9．设p ＝0.50.7，q =13log 30.3，则有（ ）A ．p ﹣q ＞pq ＞p +qB ．p ﹣q ＞p +q ＞pqC ．pq ＞p ﹣q ＞p +qD ．p +q ＞p ﹣q ＞pq 【分析】比较p 与12的大小，求出q 的范围即可得到结论．解：依题意，p ＝0.50.7＞0.5，q =13log 30.3=log 3(310)13＜log 31＝0，又因为(310)13＞(13)12，所以q=log3(310)13＞log3(13)12=log33(−12)=−12，即−12＜q＜0，所以p﹣q＞p+q＞0，pq＜0，所以p﹣q＞p+q＞pq，故选：B．【点评】本题考查了指数函数幂函数的图象和性质，考查分析和解决问题的能力，属于中档题．10．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[−12，12] C．[−√2，√2] D．[−√22，√22]【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN＝45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN＝1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN＝1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是快速解得本题的策略之一． 11．如图，已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点P 在第一象限，且满足|F 2P|→=a ，（F 1P →+F 1F 2→）•F 2P →=0，线段PF 2与双曲线C 交于点Q ，若F 2P →=5F 2Q →，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±√55xB ．y ＝±12xC ．y ＝±√32xD ．y ＝±√33x【分析】由题意，|PF 1|＝|F 1F 2|2c ，|QF 1|=115a ，|QF 2|=15a ，由余弦定理可得4c 2+125a 2−12125a 22×2c×15a=12a 2c，确定a ，b 的关系，即可求出双曲线C 的渐近线方程．解：由题意，（F 1P →+F 1F 2→）•F 2P →=0，∴|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，|QF 1|=115a ，|QF 2|=15a ， ∴由余弦定理可得4c 2+125a 2−12125a 22×2c×15a=12a 2c，∴c =√52a ，∴b =12a ，∴双曲线C 的渐近线方程为y =±12x ． 故选：B ．【点评】本题考查双曲线C 的渐近线方程，考查学生的计算能力，确定a ，b 的关系是关键．12．已知数列{a n }中，a 1＝2，n （a n +1﹣a n ）＝a n +1，n ∈N *，若对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *，不等式a n+1n+1＜2t 2+at ﹣1恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D ．[﹣2，2]【分析】由题意可得a n+1n+1−a n n=1n(n+1)=1n−1n+1，运用裂项相消求和可得a n+1n+1，再由不等式恒成立问题可得2t 2+at ﹣4≥0，设f （a ）＝2t 2+at ﹣4，a ∈[﹣2，2]，运用一次函函数的性质，可得t 的不等式，解不等式即可得到所求t 的范围． 解：根据题意，数列{a n }中，n （a n +1﹣a n ）＝a n +1， 即na n +1﹣（n +1）a n ＝1， 则有a n+1n+1−a n n=1n(n+1)=1n−1n+1，则有a n+1n+1=（a n+1n+1−a n n）+（a n n−a n−1n−1）+（a n−1n−1−a n−2n−2）+…+（12a 2﹣a 1）+a 1＝（1n −1n+1）+（1n−1−1n）+（1n−2−1n−1）+…+（1−12）+2＝3−1n+1＜3， a n+1n+1＜2t 2+at ﹣1即3−1n+1＜2t 2+at ﹣1， ∵对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *，不等式a n+1n+1＜2t 2+at ﹣1恒成立，∴2t 2+at ﹣1≥3， 化为：2t 2+at ﹣4≥0，设f （a ）＝2t 2+at ﹣4，a ∈[﹣2，2]， 可得f （2）≥0且f （﹣2）≥0，即有{t 2+t −2≥0t 2−t −2≥0即{t ≥1或t ≤−2t ≥2或t ≤−1， 可得t ≥2或t ≤﹣2，则实数t 的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）． 故选：A ．【点评】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是对n （a n +1﹣a n ）＝a n +1的变形． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数f （x ）＝cos （2x +5π6）+sin （2x +π）（x ∈[−π4，π4]）的最大值为．【分析】利用和差公式、诱导公式化简f （x ），再利用三角函数的单调性即可得出． 解：f(x)=cos(2x +5π6)+sin(2x +π)=−√32cos2x −12sin2x ﹣sin2x=−√32cos2x −32sin2x =−√3sin （2x +π6）． ∵x ∈[−π4，π4]，∴（2x +π6）∈[−π3，2π3]，∴sin （2x +π6）∈[−√32，1]．∴f （x ）的最大值为32．故答案为：32．【点评】本题考查了和差公式、诱导公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知实数x ，y 满足{3x −2y −3≤0x −3y +6≥02x +y −2≥0，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 9 ．【分析】利用数列的关系推出三项和关于x ，y 的表达式，画出约束条件的可行域，利用线性规划知识求解最值．解：设构成等差数列的五个数分别为x ，a ，b ，c ，y ， 因为等差数列的公差d =y−x4， 则b +c +y =(x +2×y−x 4)+(x +3×y−x 4)+y =34(x +3y) （另解：因为由等差数列的性质有x +y ＝a +c ＝2b ，所以b =x+y 2，c =b+y 2=x+y2+y 2．） 则等差数列后三项和为b +c +y =x+y 2+x+y2+y 2+y =34x +94y=34(x +3y)．）．所以设z ＝x +3y ，实数x ，y 满足{3x −2y −3≤0x −3y +6≥02x +y −2≥0，作出约束条件所表示的可行域如图所示：可知当经过点A（3，3）时，目标函数z＝x+3y有最大值12，此时b+c+y有最大值9．故答案为：9．【点评】本题考查数列以及线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．15．已知A，B是圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0上两点，点P在抛物线x2＝2y上，当∠APB取得最大值时，|AB|＝4√55．【分析】求出圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0的圆心与半径，设出抛物线x2＝2y上当点P，当∠APB取得最大值时，就是PC最小时，利用距离公式以及函数的导数求解最值，然后转化求解即可．解：圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+16＝0的圆心（4，1），半径为1，设抛物线上的点P（m，n），则m2＝2n，|PC|=√(m−4)2+(n−1)2=√m2−8m+m44−m2+17=√m44−8m+17，令g（m）=m44−8m+17，可得g′（m）＝m3﹣8，令g′（m）＝m3﹣8＝0，解得m＝2，m＜2，g′（m）＝m3﹣8＜0，m＞2，g′（m）＝m3﹣8＞0，所以g（m）的最小值为：4﹣16+17＝5．|PC|≥√5，所以切线长为：|PA|＝2，如图：|PC|•12|AB|＝|PA|•|AC|，γ√52|AB|=2×1|AB|=4√55．故答案为：4√55．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，圆的方程的综合应用，考查数形结合以及转化思想的应用．16．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A＝2B，则cb +2ba的取值范围为（2，4）．【分析】先根据正弦定理化简整理可得cb +2ba=4cos2B+1cosB−1，设cosB=t∈(12，1)，构造函数，利用导数判断出函数的单调性，求出其值域即可．解：.cb +2ba=sinCsinB+2sinBsinA=sin3BsinB+2sinBsin2B=sinBcos2B+cosBsin2BsinB+1cosB＝cos2B+2cos2B+1cosB =4cos2B+1cosB−1．又2B∈（0，π），且A+B＝3B∈（0，π），所以B∈(0，π3)．设cosB=t∈(12，1)，令c b +2ba=4t2+1t−1＝f（t），则f'（t）＝8t−1t2=8t3−1t2＞0，故f（t）在(12，1)上单调递增，所以2＜f（t）＜4．所以cb +2ba的取值范围为（2，4），故答案为：（2，4）【点评】本题考查三角函数的化简和求值，主要考查二倍角公式和正弦定理的运用，同时考查函数的单调性的运用，属于中档题．三、解答题（本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17．已知向量a→，b→满足a→=（﹣2sin x，√3（cos x+sin x）），b→=（cos x，cos x﹣sin x），函数f（x）=a→•b→（x∈R）．（Ⅰ）求f（x）在x∈[−π2，0]时的值域；（Ⅱ）已知数列a n＝n2f（nπ2−11π24）（n∈N+），求{a n}的前2n项和S2n．【分析】（Ⅰ）利用平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用可求解析式f（x ）＝2sin （2x +2π3），由x ∈[−π2，0]，可求2x +2π3的范围，利用正弦函数的图象和性质即可求值域．（Ⅱ）利用（Ⅰ）可得a n ＝2n 2sin （n π−π4），可求得S 2n =√2[12﹣22+32﹣42+…+（2n ﹣1）2﹣（2n ）2]，利用（2n ﹣1）2﹣（2n ）2＝﹣4n +1，由等差数列的求和公式即可得解．解：（Ⅰ）f （x ）=a →•b →=−sin2x +√3cos2x ＝2sin （2x +2π3）， 当x ∈[−π2，0]时，2x +2π3∈[−π3，2π3]， 可得：2sin （2x +2π3）∈[−√3，2]…4分 （Ⅱ）∵a n ＝n 2f （nπ2−11π24）＝2n 2sin[2（nπ2−11π24）+2π3]＝2n 2sin （n π−π4），∴S 2n =√2[12﹣22+32﹣42+…+（2n ﹣1）2﹣（2n ）2]， 又∵（2n ﹣1）2﹣（2n ）2＝﹣4n +1，∴解得：S 2n =√2×(−3−4n+1)n 2=√2（﹣2n 2﹣n ）…10分【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，数列的求和，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝2，BC ＝4，AB =AC =2√2，过BC 的截面α与面AB 1C 1交于EF ． （1）求证：EF ∥BC ．（2）若截面α过点A 1，求证：α⊥面AEF ． （3）在（2）的条件下，求V A 1−EFA ．【分析】（1）由题意得BC∥B1C1，可得BC∥面AB1C1，再由BC⊂面α，α∩面AB1C1＝EF，利用平面与平面平行的性质定理可得BC∥EF；（2）取EF的中点O，连接A1O和AO，由已知可得AO⊥EF，求解三角形证明A1O ⊥AO，再由直线与平面垂直的判定可得A1O⊥面AEF，进一步得到α⊥面AEF；（3）由（2）可得A1O⊥面AEF，得A1O⊥AO，且A1O=AO=√2，证明EO⊥面AA1O，并求得EO=12B1C1=1，再由V A1−EFA=V E−A1AO+V F−A1AO=2V E−A1AO求解．【解答】（1）证明：由题意，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得BC∥B1C1，∵BC⊄面AB1C1，B1C1⊂面AB1C1，∴BC∥面AB1C1，又∵BC⊂面α，α∩面AB1C1＝EF，由线面平行的性质定理，可得BC∥EF；（2）证明：取EF的中点O，连接A1O和AO，∵截面α过点A1，∴截面α即为面A1BC，∴E、F分别为B1A，AC1中点，即AE＝AF，又∵O为EF中点，∴AO⊥EF，在Rt△AOE中，AE=√3，EO＝1，∴AO=√2，同理，A1O=√2，在△A1OA中，A1O2+AO2=AA12=4，∴△A1OA为直角三角形，即A1O⊥AO，又∵A1O⊥EF，AO∩EF＝O，∴A1O⊥面AEF，∴α⊥面AEF．（3）解：由（2）可得A1O⊥面AEF，∴A1O⊥AO，且A1O=AO=√2，又由AO⊥EO，且A1O⊥EO，可得EO⊥面AA1O，且EO=12B1C1=1，又由V A1−EFA =V E−A1AO+V F−A1AO=2V E−A1AO，∴VA1−EFA=2×13×12×A1O×AO×EO=2×13×12×√2×√2×1=23．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布表和频率分布直方图如下，回答下列问题：分组人数频率[39.5，49.5）a0.10[49.5，59.5）9x[59.5，69.5）b0.15[69.5，79.5）180.30[79.5，89.5）15y[89.5，99.5]30.05（1）分别求出a，b，x，y的值，并补全频率分布直方图；（2）估计这次环保知识竞赛平均分；（3）若从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率有多大？【分析】（1）根据频率分布表求出出a，b，x，y，再作出频率分布直方图；（2）用组中值估计平均分即可；（3）先求出本次竞赛及格率，用样本估计总体，每个人被抽到的概率相同，故可以求出抽到的学生成绩及格的概率．解：（1）a＝60×0.1＝6，b＝60×0.15＝9，x=9=0.15，y=1560=0.25；60频率分布直方图如图所示：（2）用组中值估计平均分：44.5×0.1+54.5×0.15+64.5×0.15+74.5×0.3+84.5×0.25+94.5×0.05＝70.5；（3）本次竞赛及格率为：0.015×10+0.025×10+0.03×10+0.005×10＝0.75，用样本估计总体，每个人被抽到的概率相同，∴从所有参加环保知识竞赛的学生中随机抽取一人采访，抽到的学生成绩及格的概率为0.75．【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图以及样本估计总体，考查了学生的运算能力与作图能力，属于基础题．20．设函数f（x）＝（1+a﹣ax）lnx﹣b（x﹣1），其中a，b是实数．已知曲线y＝f（x）与x轴相切于点（1，0）．（1）求常数b的值；（2）当1≤x≤2时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）对f（x）求导，根据条件知f′（1）＝0，即可求常数b的值；（2）求得f′（x）＝﹣alnx+1+a−axx −1，x∈[1，2]，f″（x）=−a x−1+ax2=−ax+a+1x2，分类讨论当a≤﹣1时，当a≥0时，当﹣1＜a＜0时，确定函数的单调性，即可求实数a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝（1+a﹣ax）lnx﹣b（x﹣1）的导数为f′（x）＝﹣alnx+1+a−axx−b，因为y＝f（x）与x轴相切于（1，0），故f'（1）＝0，即﹣aln1+1﹣b＝0，解得b＝1；（2）由f′（x）＝﹣alnx+1+a−axx−1，x∈[1，2]，f″（x）=−ax −1+ax2=−ax+a+1x2，①当a≤﹣1时，由于x∈[1，2]，有f″（x）≥0，于是f'（x）在x∈[1，2]上单调递增，从而f'（x）≥f'（1）＝0，因此f（x）在x∈[1，2]上单调递增，即f（x）≥f（1）＝0，而且仅有f（1）＝0，符合；②当a≥0时，由于x∈[1，2]，有f″（x）＜0，于是f'（x）在x∈[1，2]上单调递减，从而f'（x）≤f'（1）＝0，因此f（x）在x∈[1，2]上单调递减，即f（x）≤f（1）＝0不符；③当﹣1＜a＜0时，令m＝min{1，−a+1a}，当x∈[1，m]时，f″（x）＜0，于是f'（x）在x∈[1，m]上单调递减，从而f'（x）≤f'（1）＝0，因此f（x）在x∈[1，m]上单调递减，即f（x）≤f（1）＝0，仅有f（1）＝0，不符．综上可知，所求实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查单调性的运用，以及分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．21．已知椭圆C：x 2a +y2b=1（a＞b＞0）经过点（1，√32），离心率为√32，点A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点P（x1，y1），Q（x2，y2）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当AP→⋅AQ→=0时，求△OPQ面积的最大值；（Ⅲ）若直线l的斜率为2，求证：△APQ的外接圆恒过一个异于点A的定点．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率，求得a和b的关系，将P代入椭圆方程，即可求得a 和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）当斜率不存在时，求得P和Q点坐标，由AP→⋅AQ→=0，求得m的值，求得|PQ|求得，△OPQ 的面积，当斜率存在时，设直线l 方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式及三角形的面积公式，即可求得△OPQ 面积的最大值；（Ⅲ）设直线y ＝2x +m ，代入椭圆方程，设外接圆的方程，联立直线l 的方程，将A 代入外接圆方程，联立方程，即可求得△APQ 的外接圆恒过一个异于点 A 的定点．解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e =c a =√32，即c 2=34a 2，即b 2＝a 2﹣c 2=14a 2，a 2＝4b 2，将点 （1，√32）代入椭圆方程x 24b 2+y 2b 2=1，即14b 2+34b 2=1，解得：b 2＝1， ∴a 2＝4，∴椭圆的标准方程：x 24+y 2=1；（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，设l ：x ＝m ，代入椭圆方程x 24+y 2=1，P （m ，√1−m 24），Q （m ，−√1−m 24），由AP →⋅AQ →=0，（m ﹣2）2﹣（1−m 24）＝0，解得：m =65，m ＝2（舍去），此时|PQ |=85，△OPQ 的面积为2425，当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx +m ，代入椭圆方程，（4k 2+1）x 2+8kmx +4（m 2﹣1）＝0，由△＞0，则4k 2﹣m 2+1＞0，x 1+x 2=−8km 4k 2+1，x 1•x 2=4(m 2−1)4k 2+1，由 AP →⋅AQ →=0，（x 1﹣2）（x 2﹣2）+y 1y 2＝（k 2+1）x 1•x 2+（km ﹣2）（x 1+x 2）+m 2+4＝0， 代入求得12k 2+5m 2+16km ＝0，即m =−65k ，m ＝﹣2k ，（此时直线l 过点A ，舍去），|PQ |=√1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=44k 2+1√(1+k 2)(4k 2−m 2+1)，点O 到直线l 的距离d =|m|√k +1，△OPQ 的面积为2|m|√4k 2−m+14k 2+1，将m =−65k 代入，2425×√−9256×(1k 2+14)2−764×1k 2+14+1＜2425，△OPQ 面积的最大值2425；（Ⅲ）证明：设直线y ＝2x +m ，代入椭圆方程，整理得：17x 2+16mx +4（m 2﹣1）＝0，设△APQ 的外接圆方程x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，联立直线l 的方程，5x 2+（4m +D +2E ）x +（m 2+mE +F ）＝0， 代入可知175=16m 4m+D+2E=4(m 2−1)m +mE+F，由外接圆过点A （2，0），则2D +F ＝﹣4， 从而可得关于D ，E ，F 的三元一次方程组，{ 2D +F =−4D +2E =1217m mE +F =317m 2−2017，解得：{ D =6m−2417E =3m+1217F =−12m+2017， 代入圆方程，整理得：（x 2+y 2−2417x +1217y −2017）+3m 17（2x +y ﹣4）＝0， ∴{x 2+y 2−2417x +1217y −2017=02x +y −4=0，解得：{x =3017y =817，或{x =2y =0，△APQ 的外接圆恒过一个异于点A 的定点（3017，817）．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，考查三角形的外接圆的性质，考查计算能力，属于难题． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =ty =4−√3t （t 为参数），圆C的方程为x 2+（y ﹣1）2＝1．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求l 和C 的极坐标方程；（2）过O 且倾斜角为α的直线与l 交于点A ，与C 交于另一点B ．若π6≤α≤5π12，求|OB||OA|的取值范围．【分析】（1）直接利用和转换关系的的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用三角函数关系式的变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果． 解：（1）直线l 的参数方程为{x =t y =4−√3t （t 为参数），转换为直角坐标方程为√3x +y −4=0，转换为极坐标方程为√3ρcosθ+ρsinθ−4=0． 整理得：ρ=42sin(θ+π3)=2sin(α+π3)．圆C 的方程为x 2+（y ﹣1）2＝1，整理得x 2+y 2＝2y ，转换为极坐标方程为ρ＝2sin θ． （2）过O 且倾斜角为α的直线为θ＝α，由于该直线与l 交于点A ，所以{ρ=2sin(θ+π3)θ=α，所以ρA =2sin(α+π3)，与C 交于另一点B ．所以{ρ=2sinθθ=α，整理得ρB ＝2sin α，所以|OB||OA|=2sinα2sin(α+π3)=sinα⋅sin(α+π3)=12sin(2α−π6)+14， 由于π6≤α≤5π12， 所以π6≤2α−π6≤2π3， 所以12≤sin(2α−π6)≤1， 所以12≤12sin(2α−π6)+14≤34 故求|OB||OA|的取值范围[12，34]． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23．不等式|x +2|+|x +4|＜8的解集为（n ，m ）．（1）求m 的值；（2）设a ，b ，c ∈R *，且a 2+b 2+c 2＝m ，求a +2b +3c 的最大值．【分析】（1）根据|x +2|+|x +4|＜8，利用零点分段法得到不等式的解集，再结合条件求出m 的值；（2）由（1）知m ＝1，然后利用柯西不等式根据a 2+b 2+c 2＝1，求出a +2b +3c 的最大值．解：（1）|x +2|+|x +4|={2x +6，x ＞−22，−4≤x ≤−2−2x −6，x ＜−4． ∵|x +2|+|x +4|＜8，∴{2x +6＜8x ＞−2或﹣4≤x ≤﹣2或{−2x −6＜8x ＜−4，∴﹣2＜x＜1或﹣4≤x≤﹣2或﹣7＜x＜﹣4，∴﹣7＜x＜1，∴|x+2|+|x+4|＜8的解集为（﹣7，1），∴m＝1．（2）由（1）知m＝1，∴a2+b2+c2＝m＝1，∵a，b，c∈R*，∴由柯西不等式，得：a+2b+3c⩽√12+22+32⋅√a2+b2+c2=√14，当且仅当a=b2=c3时，即a=√1414，b=2√1414，3√1414等号成立，∴a+2b+3c的最大值为√14．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和利用柯西不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。