第七章 静电场

第七章 静电场

一、基本要求

1．掌握静电场的电场强度的概念以及点电荷、点电荷系，简单连续带电体的电场强度的计算。

2．理解电场强度通量的概念，理解高斯定理的意义。掌握用高斯定理求解具有特定对称性的电荷分布的电场的方法。

3．理解静电场力做功的特点。理解静电场环路定理的意义。

4．掌握利用场强线积分和电势叠加求已知电荷分布的电势的方法。 5．掌握场的叠加原理，并能用于计算场强和电势。 6．了解电场强度与电势的微分关系 二、本章要点

1．库仑定律

真空中两点电荷之间的作用力

r r

q q F

2

210

41πε

=

2．电场强度

q

F

E = 点电荷产生的电场

r r

q E 20

41πε

=

场强叠加原理

∑

=

i

i E E 或 ⎰

=

E d E

各点电荷产生的电场E d

方向不同时，需分解后再积分。

3．高斯定理

∑⎰⎰

=

⋅i

i

s

q

s d E 0

1ε

4．静电场的环路定理

⎰

=⋅l

l d E 0

5．电势

⎰

⋅=

零势点

a

a l d E U

电势差

⎰

⋅=

-b

a

b a l d E U U

电势叠加原理

∑=

i

i

U

U

点电荷的电势

r

q U 0

41πε

=

电荷连续分布带电体的电势

⎰=

r

dq

U 0

4πε

由a 到b 移动电荷电场力做的功

)(b a

ab U U

q W -=

6．电场强度与电势的微分关系 x

U E x ∂∂-=，y

U E x ∂∂-

=，z

U E x ∂∂-

=

三、例题

7-1 一个+π介子由一个ｕ夸克和一个反ｄ夸克组成，二者的电荷分别是3/2e 和

3/e 。将夸克按经典带电粒子处理，试计+π介子中两夸克间的库仑力（+

π

介子的线度为

15

10

-m ）。

解：两夸克间的作用力

)10941(2.511

290

2

-⨯==

==c

Nm k N r

q q K

F d u πε

7-2 分别带有等量异号电荷±q 的两个点电荷，彼此间相

隔一定距离l ，当l 比从它们到所讨论的场点的距离小得多时，

此电荷系统称为电偶极子。若用l

表示从负电荷到正电荷的矢

量，电量q 与l 的乘积叫做电偶极矩，用p

表示，即l q p =。

如图所示的电偶极子在场强为E

的均匀电场中受的外力矢量和为________，偶极子所受的合力矩为_______。（图中θ为已

知）

解：电偶极子所受外力的矢量和为 0)(21=-+=+=E q E q F F F

所受的合力矩大小为

θθsin sin pE Fl M ==

方向垂直纸面向里。

7-3 ＹＺ平面内有一边长为a 的正方形均匀带电板，电荷面密度为σ。有人得出轴线上与正方形中心的距离为x 处场强大小的表达式为])(4/[20x a ax E +=πεσ，但此式是错误的，因为______________。

解：利用极限情形推广的方法。

当a x >>时，带电平板可视为点电荷，应有2024/x a E πεσ=；当a x <<时，带电平板可视为无限大带电平面，应有02/εσ=E 。

而题中给出的])(4/[2

0x a ax E +=πεσ在a x >>时x

a

E 04πεσ=

；在a x <<时

a

x

E 04πεσ=

。得不出正确的极限结论，由此它是错的。

7-4 正电荷均匀分布在长L 的直棒上，线密度为λ，如图，

求Ｑ点的电场强度E

。

解：建立如图所示的坐标系。棒上取微元dl ，带电量即为=dq dl λ，它在Q 点激发的场强为

2

02

044r

dl

r

dq dE πελπε=

=

把它分解到x 、y 轴上，得

θsin dE dE x =θπελsin 42

0r

dl

=

θcos dE dE

y

=θπελcos 42

0r

dl

=

下面统一变量

由θatg l =得，θθd a dl 2

sec =；且θ

cos a r =

。代入上式并积分得

)1(4sin 42

2

0arcsin

02

2

L

a a a

d a

dE E L

a L x x +-

=

==

⎰

⎰+πελθθπελ

2

2

0arcsin

04cos 42

2

L

a a L

d a

dE

E L

a L y

y +=

=

=

⎰

⎰+πελθθπελ

写成矢量形式

+

+-

=

i L

a a a

E )1(42

2

0πελj L

a a L 2

2

04+πελ

7-5 将一根绝缘棒弯成半径为Ｒ的半圆环，环上一半带正电，一半带负电，电量都

是均匀分布，线密度分别为＋λ和—λ，求圆心处的电场强度E

。

解：环可看做由无数对称微元组成，任取一对对称的微元1ds 、2ds ，带电量分别为1ds λ、 -2ds λ，在中心产生场

强分别为1E d 、2E d

，则

21E d E d E d +=

显然，E d 沿x 轴正方向。由对称性知，圆心O 点的场强E

沿

x 正向。

θπελcos 422

021R

ds dE dE dE x x =

+=θπεθλcos 420R

d =

a

d R

dE E 02

02cos 2πελ

θθπελ

π

=

==

⎰

⎰

方向向右。

7-6 一宽度为ｄ的很长薄片，均匀分布着正电荷，面电荷密度为σ，如图。求Ｐ点的

电场强度E

。（Ｐ点与薄片在同一平面内，并在薄片之外。）

解：我们可以认为长直带电薄片是由许多平行长直窄条组成。任取一宽dx 的带电窄条，看做长直带电直线，则它在p 点产生的场强为

)

(2)

(200b x dx

b x d dE +=

+=

πεσπελ

由于各E d

方向都沿水平向右，所以P 点合场强为