圆锥曲线离心率的求解举例——椭圆(附详解解答)

圆锥曲线离心率的求解举例

——椭圆的离心率

椭圆离心率的定义：我们把椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，记做a

c

a c e e ==

22,则，(0

如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e.

证明（并记忆）：①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜

｜AO ｜

1．以O 为中心，F1，F2为两个焦点的椭圆上存在一个点M ，满足|1MF |＝2|MO →|＝2|2MF |，则该椭圆的离心率为( )

A ．33

B ．23

C ．63

D ．25

5

[答案] C

[解析] 过M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为(2

c ，0)，并设|1MF |

＝2||＝2|2MF |＝2t ，根据勾股定理可知， |1|2

－|1|2

＝|2MF |2

－|2NF |2

， 解得到c ＝62t ，而a ＝3t 2，则e ＝c a ＝6

3

.故选C ．

2．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲

线”．已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当2

1PF F ∠＝60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是( ) A ．33 B ．2

2

C ．32

D ．21

[答案] A

[解析] 设椭圆的半长轴为1a ，椭圆的离心率为1e ，则1

111e e c

a a c =⇒=

；双曲线的实半轴长为a ，双曲线的离心率为e ，e ＝e c

a a c =⇒，a ＝c e .设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝

y ，(x>y>0)，则由余弦定理得4c 2

＝x 2

＋y 2

－2xycos60°＝x 2

＋y 2

－xy ，当点P 看做是椭圆上的点时，有4c 2

＝(x ＋y)2－3xy ＝421a －3xy ， 当点P 看做是双曲线上的点时，有 4c2＝(x －y)2＋xy ＝42a ＋xy ， 两式联立消去xy 得4c 2

＝21a ＋32a ，

即4c 2

＝(1

c e )2

＋3(c e )2，所以(1e1)2＋3(1e )2＝4，

又因为

1

e 1

＝e ，所以e 2＋2e 3＝4，整理得e 4－4e 2＋3＝0，解得e 2＝3，所以e ＝3，

即331=e ，亦即椭圆的离心率为3

3

.选A ．

3．如图，已知抛物线y 2

＝2px(p>0)的焦点恰好是椭圆22a x ＋22

b

y ＝1(a >b >0)的右

焦点F ，且这两条曲线交点的连线过点F ， 则该椭圆的离心率为________．

[答案] 2－1

[解析] 如图，设F ′为椭圆的左焦点，椭圆与抛物线在x 轴上方的交点为A ，连接AF ′，所以|FF ′|＝2c ＝p ，因为|AF|＝p ，所以|AF ′|＝2p.因为|AF ′|＋|AF|＝2a ，所以2a ＝2p ＋p ，所以e ＝a

c

＝2－1.

4.椭圆（a >b >0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切

圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是________． [答案]

2

1

-5 [解析] 一条边所在直线的方程是ab ay bx =+，由条件可知，圆心到该直线的距

离和半径等于c,也就是：

c b a ab =+-+2

2|

00|2

22111c b a =+⇒

2

2244224)2

15(452625301303-=-=-=⇒=+-⇒=+-⇒e e e a c a c

⇒2

1

5-=e

5.已知是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率为________．

122

22=+b

y a x 21F F 、 75,151221=∠=∠F PF F PF

[答案]

3

6 [解析] 易得02190PF F =∠，又a PF PF 2||||21=+，c c PF 24

2

615sin 2||01⨯-=

=，c c PF 242675sin 2||02⨯+=

=，所以，3

6

26=

⇒=e a c

6.若椭圆短轴端点为满足，则椭圆的离心率为

________. [答案]

2

2 [解析] 易知2

2

2=

=

⇒=⇒=a c e c a c b (注意：在椭圆中，，)

7.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于________． [答案]

2

3 [解析] 由椭圆的性质及对应有2222243(42b a c a a b a =⇒-=⇒=）， 所以，离心率2

3=e

8.已知矩形ABCD ，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________．

)0(,122

22>>=+b a b

y a x P 21PF PF ⊥a c e =22

222221a

b a b a a

c a c e -=-===