三角函数的奇偶性
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正弦函数、余弦函数的性质
高一级数学备课组
教学目标
1.会判断函数的奇偶性
2.会利用对称性求相关函数的对称轴和对称中心
2.奇偶性
(1) f ( x ) sin x , x R
任意x R
f ( x ) sin( x ) sin x f ( x )
f ( x ) sin x , x R 为奇函数 (2) f ( x ) cos x , x R
y sin z
2x
的对称轴为 z
3
2
k , k Z
2
k
x
解得：对称轴为
(2) y sin z
12
k
2
,k Z
的对称中心为 ( k ,0) , k Z
2x
z k
3
k
x
6
k
2
对称中心为 (
6
k
2
,0) , k Z
2
2
O
2
余弦函数的图象
1
3 2
2
5 2
3
x
问题：它们的图象有何对称性？
正弦函数的图象
3 5 2
2 3
2
y
1
P
2
P' 2
O
1
3 2
2
5 2
3
x
5 3 1 1 3 x , , , , 对称轴： 2 2 2 2 2 x
小结：这节课你收获了什么？
1 • 求 y cos( x ) 函数的对称轴和对称中心 2 4 1 1 解（1）令 z x 则 y cos( x ) cos z 2 4 2 4 y cos z 的对称轴为 z k
1 x k x 2k , k Z 2 4 2 解得：对称轴为 x 2k , k Z 2 (2) y cos z 的对称中心为 ( k ,0), k z 2 z k , 1 x k 2 2 2 4 x 2k , k Z 2 对称中心为 (2k ,0), k Z 2
任意x R
f ( x ) cos( x ) cos x
f ( x)
f ( x ) cos x , x R 为偶函数
例1
2 015 (1)函数 y＝sin 2 π －2 016x是(
)
A．奇函数 C．非奇非偶函数 A．0 C．－1 (3)判断下列函数的奇偶性： ①f(x)＝|sin x|＋cos x. ②f(x)＝ 1－cos x＋ cos x－1.
2
k , k Z
对称中心： ( 来自百度文库 ,0),(0,0),( ,0),(2 ,0)
( k ,0) k Z
余弦函数的图象
3 5 2
' P 2 3
y
1
2
O
2
2
1
3 2
2
P
5 2
3
x
对称轴： x ,0, , 2
B．偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 ) B．1 D．±1
(2)已知 a∈R，函数 f(x)＝sin x－|a|(x∈R)为奇函数，则 a 等于(
2.奇偶性
探究
y
1
2 3
2
3 5 2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
正弦函数的图象
y
1
3 5 2
2 3
y
1
O
2
3 5 2
2 3
2
2
1
3 2
2
5 2
3
x
解：经验证，当
x
x
12
时
2x
3
2
12
为对称轴
• 求 y sin(2 x ) 函数的对称轴和对称中心
3
例题
3
解（1）令
z 2x
则
y sin(2 x
3
) sin z
x k , k Z
3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2 (
2
k ,0) k Z
练习
• 为函数 y sin(2 x ) 的一条对称轴的是（ ）
3
4 A. x 3 B. x
2
C.x
12
D. x 0
高一级数学备课组
教学目标
1.会判断函数的奇偶性
2.会利用对称性求相关函数的对称轴和对称中心
2.奇偶性
(1) f ( x ) sin x , x R
任意x R
f ( x ) sin( x ) sin x f ( x )
f ( x ) sin x , x R 为奇函数 (2) f ( x ) cos x , x R
y sin z
2x
的对称轴为 z
3
2
k , k Z
2
k
x
解得：对称轴为
(2) y sin z
12
k
2
,k Z
的对称中心为 ( k ,0) , k Z
2x
z k
3
k
x
6
k
2
对称中心为 (
6
k
2
,0) , k Z
2
2
O
2
余弦函数的图象
1
3 2
2
5 2
3
x
问题：它们的图象有何对称性？
正弦函数的图象
3 5 2
2 3
2
y
1
P
2
P' 2
O
1
3 2
2
5 2
3
x
5 3 1 1 3 x , , , , 对称轴： 2 2 2 2 2 x
小结：这节课你收获了什么？
1 • 求 y cos( x ) 函数的对称轴和对称中心 2 4 1 1 解（1）令 z x 则 y cos( x ) cos z 2 4 2 4 y cos z 的对称轴为 z k
1 x k x 2k , k Z 2 4 2 解得：对称轴为 x 2k , k Z 2 (2) y cos z 的对称中心为 ( k ,0), k z 2 z k , 1 x k 2 2 2 4 x 2k , k Z 2 对称中心为 (2k ,0), k Z 2
任意x R
f ( x ) cos( x ) cos x
f ( x)
f ( x ) cos x , x R 为偶函数
例1
2 015 (1)函数 y＝sin 2 π －2 016x是(
)
A．奇函数 C．非奇非偶函数 A．0 C．－1 (3)判断下列函数的奇偶性： ①f(x)＝|sin x|＋cos x. ②f(x)＝ 1－cos x＋ cos x－1.
2
k , k Z
对称中心： ( 来自百度文库 ,0),(0,0),( ,0),(2 ,0)
( k ,0) k Z
余弦函数的图象
3 5 2
' P 2 3
y
1
2
O
2
2
1
3 2
2
P
5 2
3
x
对称轴： x ,0, , 2
B．偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 ) B．1 D．±1
(2)已知 a∈R，函数 f(x)＝sin x－|a|(x∈R)为奇函数，则 a 等于(
2.奇偶性
探究
y
1
2 3
2
3 5 2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
正弦函数的图象
y
1
3 5 2
2 3
y
1
O
2
3 5 2
2 3
2
2
1
3 2
2
5 2
3
x
解：经验证，当
x
x
12
时
2x
3
2
12
为对称轴
• 求 y sin(2 x ) 函数的对称轴和对称中心
3
例题
3
解（1）令
z 2x
则
y sin(2 x
3
) sin z
x k , k Z
3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2 (
2
k ,0) k Z
练习
• 为函数 y sin(2 x ) 的一条对称轴的是（ ）
3
4 A. x 3 B. x
2
C.x
12
D. x 0