第5章_运输问题a资料
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• 平衡型运输问题和不平衡型运输问题。
平衡型运输问题：
m
n
ai bj
i1
j1
m
n
不平衡型运输问题： ai bj
i1
j1
对于不平衡型运输问题通常通过设立虚拟供应节点或 虚拟需求节点将其转化为平衡型运输问题求解。
6
产销平衡运输问题的数学模型：
nm
minz
cij xij
j1 i1
m
n
ai bj
销地
产地
B1
A1
3
A2
5
A3
4
需要量
5
表1
B2
B3
2
6
3
8
1
2
7
8
B4
产量
3
10
2
8
9
5
3
23
11
解：设xij ( i =1,2,3；j =1,2,3,4)为i个产粮地运往第j个需求地的 运量，这样得到下列运输问题的数学模型：
Min z = 3x11+ 2x12+ 6x13+ 3x14+ 5x21+ 3x22+ 8x23+ 2x24 + 4x31+ x32+ 2x33+ 9x34
第五章 运输问题
5.1 运输问题的数学模型 5.2 初始基可行解的确定 5.3 最优性检验与基可行解的改进 5.4 其他运输问题
1
§5.1 运输问题的数学模型及其特征
●有m个产地A1, A2, … , Am生产某种物资，另有n个销 地B1, B2, … , Bm 需要该类物资； ●令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表示各 销地的销量, 若ai=bj ，则称产销平衡； ●设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量，cij表示对应的 单位运费。
cij xij
j1 i1
Ai的产品全 部供应出去
n
xij ai
j 1
i 1,2, , m
m
Bj的需求没有
全部得到满足
xij bj
i1
j 1,2, , n
m
n
ai bj
i1
j1
xij 0 i 1,2, , m; j 1,2, , n
以下主要讨论产销平衡运输问题的数学模型
10
例1. 现有A1，A2，A3三个产地，可供应物资分别为10，8，5个 单位，现将物资运往B1，B2，B3，B4四个销地，销量分别为5， 7，8，3个单位。产地到销地的单位运价 cij 如表1所示，问如何 安排一个运输计划，使总的运输费用最少。
例2. 有三台机床加工三种零件，计划第i台的生产任务为ai (i=1,2,3)个零件，第j种零件的需要量为bj (j=1,2,3)，第i台机床 加工第j种零件需要的时间为cij ，如表2所示。问如何安排生产 任务使总的加工时间最少？
零件
机床
B1
表2 B2
B3 生产任务
A1
5
2
3
50
A2
6
4
1
60
A3
2
供需平衡表
需方 供方
B1
B2
…
Bn
产量
A1
c11
c12
…
c1n
a1
A2
c21
c22
…
c2n
a2
Am 销量
cm1
cm2
…
cmn
am
m
n
b1
b2
…
bn
ai bj
i 1
j 1
如何调运，使总的运输费用最小？
3
平衡表、运价表合二为一
销 产
B1
B2
…
A1
c11 x11 c12 x12
…
Bn c1n x1n
cij xij
m
百度文库
n
ai bj
i1
j1
j1 i1
Ai的产品没有 全部供应出去
n
xij ai
j 1
i 1,2, , m
Bj的需求全 部得到满足
m
xij bj j 1,2, , n
i1
xij 0 i 1,2, , m; j 1,2, , n
9
销大于产运输问题的数学模型：
nm
minz
x11 x12 x13 x14 10
x21
x22
x23
x24
8
x31
x32
x33
x34
5
s.t. x11 x21 x31 5
x12
x22
x32
7
x13 x23 x33 8
x14
x24
x34
3
xij 0, i =1, 2, 3; j =1, 2, 3, 4
12
有些问题表面上与运输问题没有多大关系，但经过转换，也可 以建立与运输问题形式相同的数学模型。
j 1,2, , n
i1
xij 0,
对所有的i和j
xij —— 供应节点i至需求节点j的运输量； aij —— 供应节点i的可供应量，i=1,2, …,m； bij —— 需求节点j的需求量，j=1,2,…,n； cij —— 供应节点i至需求节点j的单位运输成本。
5
(2) 运输问题的分类
• 根据运输问题中总供应量与总需求量的关系可将 运输问题分为两类：
i1
j1
Ai的产品全 部供应出去
Bj的需求全 部得到满足
n
xij ai
j 1
m
xij bj
i1
i 1,2, , m j 1,2, , n
xij 0 i 1,2, , m; j 1,2, , n
7
平衡型运输问题的数学模型
mn
Min z
cij xij
i1 j1
n
s.t.
xij ai
A2
c21 x21 c22 x22
…
c2n x2n
┇
┇
┇
┇
┇
产量 a1 a2 ┇
Am
cm1 xm1 cm2 xm2 …
销量
b1
b1
…
cmn xmn bn
am
4
(1) 运输问题数学模型
mn
Min z
cij xij
i1 j1
n
s.t.
xij ai i 1,2, , m
j 1
m
xij bj
i 1,2, , m
j 1
m
xij bj
j 1,2, , n
i 1
xij 0,
对所有的i和j
模型包含
变量：m×n个
约束方程：m+n个 秩：r(A)=m+n-1
1 1 1
11 1
A
1
1
1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
稀疏矩阵 m行
n行
8
产大于销运输问题的数学模型：
nm
minz
7
3
4
40
需要量
70
30
50
150
13
解： 设 xi j (i=1,2,3；j=1,2,3,)为第i台机床加工第j种零件的数量， 则此问题的数学模型为
min z 5x11 2x12 3x13 6x21 4x22 x23 7x31 3x32 4x33
x11 x12 x13
50
xij ai
i 1,2, ,m
j 1
m
xij bj
j 1,2, ,n
i 1
xij 0,
x21 x22 x23
60
x31 x32 x33 40
s.t
.
x11
x21
x31
70
x12
x22
x32 30
x13
x23
xij
0,
i
1,2,3；j
1,2,3
x33 50
14
(3) 平衡型运输问题的对偶问题
mn
Min Z
cij xij
i 1 j1
n
s.t .
平衡型运输问题：
m
n
ai bj
i1
j1
m
n
不平衡型运输问题： ai bj
i1
j1
对于不平衡型运输问题通常通过设立虚拟供应节点或 虚拟需求节点将其转化为平衡型运输问题求解。
6
产销平衡运输问题的数学模型：
nm
minz
cij xij
j1 i1
m
n
ai bj
销地
产地
B1
A1
3
A2
5
A3
4
需要量
5
表1
B2
B3
2
6
3
8
1
2
7
8
B4
产量
3
10
2
8
9
5
3
23
11
解：设xij ( i =1,2,3；j =1,2,3,4)为i个产粮地运往第j个需求地的 运量，这样得到下列运输问题的数学模型：
Min z = 3x11+ 2x12+ 6x13+ 3x14+ 5x21+ 3x22+ 8x23+ 2x24 + 4x31+ x32+ 2x33+ 9x34
第五章 运输问题
5.1 运输问题的数学模型 5.2 初始基可行解的确定 5.3 最优性检验与基可行解的改进 5.4 其他运输问题
1
§5.1 运输问题的数学模型及其特征
●有m个产地A1, A2, … , Am生产某种物资，另有n个销 地B1, B2, … , Bm 需要该类物资； ●令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表示各 销地的销量, 若ai=bj ，则称产销平衡； ●设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量，cij表示对应的 单位运费。
cij xij
j1 i1
Ai的产品全 部供应出去
n
xij ai
j 1
i 1,2, , m
m
Bj的需求没有
全部得到满足
xij bj
i1
j 1,2, , n
m
n
ai bj
i1
j1
xij 0 i 1,2, , m; j 1,2, , n
以下主要讨论产销平衡运输问题的数学模型
10
例1. 现有A1，A2，A3三个产地，可供应物资分别为10，8，5个 单位，现将物资运往B1，B2，B3，B4四个销地，销量分别为5， 7，8，3个单位。产地到销地的单位运价 cij 如表1所示，问如何 安排一个运输计划，使总的运输费用最少。
例2. 有三台机床加工三种零件，计划第i台的生产任务为ai (i=1,2,3)个零件，第j种零件的需要量为bj (j=1,2,3)，第i台机床 加工第j种零件需要的时间为cij ，如表2所示。问如何安排生产 任务使总的加工时间最少？
零件
机床
B1
表2 B2
B3 生产任务
A1
5
2
3
50
A2
6
4
1
60
A3
2
供需平衡表
需方 供方
B1
B2
…
Bn
产量
A1
c11
c12
…
c1n
a1
A2
c21
c22
…
c2n
a2
Am 销量
cm1
cm2
…
cmn
am
m
n
b1
b2
…
bn
ai bj
i 1
j 1
如何调运，使总的运输费用最小？
3
平衡表、运价表合二为一
销 产
B1
B2
…
A1
c11 x11 c12 x12
…
Bn c1n x1n
cij xij
m
百度文库
n
ai bj
i1
j1
j1 i1
Ai的产品没有 全部供应出去
n
xij ai
j 1
i 1,2, , m
Bj的需求全 部得到满足
m
xij bj j 1,2, , n
i1
xij 0 i 1,2, , m; j 1,2, , n
9
销大于产运输问题的数学模型：
nm
minz
x11 x12 x13 x14 10
x21
x22
x23
x24
8
x31
x32
x33
x34
5
s.t. x11 x21 x31 5
x12
x22
x32
7
x13 x23 x33 8
x14
x24
x34
3
xij 0, i =1, 2, 3; j =1, 2, 3, 4
12
有些问题表面上与运输问题没有多大关系，但经过转换，也可 以建立与运输问题形式相同的数学模型。
j 1,2, , n
i1
xij 0,
对所有的i和j
xij —— 供应节点i至需求节点j的运输量； aij —— 供应节点i的可供应量，i=1,2, …,m； bij —— 需求节点j的需求量，j=1,2,…,n； cij —— 供应节点i至需求节点j的单位运输成本。
5
(2) 运输问题的分类
• 根据运输问题中总供应量与总需求量的关系可将 运输问题分为两类：
i1
j1
Ai的产品全 部供应出去
Bj的需求全 部得到满足
n
xij ai
j 1
m
xij bj
i1
i 1,2, , m j 1,2, , n
xij 0 i 1,2, , m; j 1,2, , n
7
平衡型运输问题的数学模型
mn
Min z
cij xij
i1 j1
n
s.t.
xij ai
A2
c21 x21 c22 x22
…
c2n x2n
┇
┇
┇
┇
┇
产量 a1 a2 ┇
Am
cm1 xm1 cm2 xm2 …
销量
b1
b1
…
cmn xmn bn
am
4
(1) 运输问题数学模型
mn
Min z
cij xij
i1 j1
n
s.t.
xij ai i 1,2, , m
j 1
m
xij bj
i 1,2, , m
j 1
m
xij bj
j 1,2, , n
i 1
xij 0,
对所有的i和j
模型包含
变量：m×n个
约束方程：m+n个 秩：r(A)=m+n-1
1 1 1
11 1
A
1
1
1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
稀疏矩阵 m行
n行
8
产大于销运输问题的数学模型：
nm
minz
7
3
4
40
需要量
70
30
50
150
13
解： 设 xi j (i=1,2,3；j=1,2,3,)为第i台机床加工第j种零件的数量， 则此问题的数学模型为
min z 5x11 2x12 3x13 6x21 4x22 x23 7x31 3x32 4x33
x11 x12 x13
50
xij ai
i 1,2, ,m
j 1
m
xij bj
j 1,2, ,n
i 1
xij 0,
x21 x22 x23
60
x31 x32 x33 40
s.t
.
x11
x21
x31
70
x12
x22
x32 30
x13
x23
xij
0,
i
1,2,3；j
1,2,3
x33 50
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(3) 平衡型运输问题的对偶问题
mn
Min Z
cij xij
i 1 j1
n
s.t .