第4章 Poisson过程

P N t s N s n e
t
t
n!
n
, n 0,1,2,
注：由( 3 )可知过程有平稳增量; 由于E(N(t))=t, 常将称为Poisson过程的速率 或强度，表示单位时间内发生的事件的平均个数。
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Poisson过程在排队论中的应用 顾客到达某商店服从参数 4 人/小时的泊松过程， 已知商店上午9:00开门，试求到9:30时仅到一位顾客， 而到11:30时总计已达5位顾客的概率。 解 设 N (t ) 表示在时间 t 时到达的顾客数, 9:00为0时刻
P( N (0.5) 1, N (2.5) 5)
P( N (0.5) 1, N (2.5) N (0.5) 4) P( N (0.5) 1) P( N (2.5) N (0.5) 4)
(4 0.5) 40.5 e 1!
1
(4 2) 4 42 e 4!
复习
[(0-1)分布] 随机变量 X 只可能有两个值: 0 和 1， 其概率分布为：
P( X 1) p, P( X 0) 1 p q
E ( X ) p, D( X ) pq
[二项分布] 随机变量 X 为n重贝努利试验中事件A 发生的次数，则 X ~ B (n, p)，概率分布为：
为单位). 设8：00为0时刻, 则
P{ N (4) N (0) k } e λ t
n ( λ t )n (12) e 12 , k 0,1, 2, k! k!
其均值为12，即到12：00为止，离去的人数 平均为12人, 有9个人接受过服务的概率为
9 (12) P{ N (4) 9} e 12 . 9!
（3）存在λ 0, 当 h 0 时，
P{N (t h) N (t ) 1} λ h ο (h),
（4）当 h 0时，
P{N (t h) N (t ) 2} ο (h).
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Poisson过程的等价性(说明)
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Poisson过程定义的应用
事件 A 的发生形成强度为 λ 的Poisson过程 {N (t ), t 0}. 如果每次事件发生时以概率 p 能够被记录下来，并以M(t) {M (t ), t 0} 为一个强 表示到 t 时刻被记录的事件总数，则 度为 λ p 的Poisson过程。
P{X1>t}=P{N(t)=0}=e－λt
即X1 服从均值为1/λ的指数分布.
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(2) 由泊松过程的平稳独立增量性,有 P{X2>t|X1=s}=P{在(s, s+t ]内事件A不发生|X1=s } =P{N(s+t) －N(s)=0 |X1=s} = P{N(t) －N(0)=0}
由平稳增量性
m ( λ pt ) 由于每次事件独立，记录与不记录都与其他事件是否被记 分析： 即验证 t 0, P{M (t ) m} e λ pt . m! 录独立。事件发生服从Poisson分布，所以 M(t)具有平稳增 量，只需验证 M(t)服从均值为 的Poisson分布。 λ(tpt P{M (t ) m} P{M (t ) m | N ) m n}P{N (t ) m n}
cN ( s, t ) RN ( s, t ) N ( s ) N (t ) min( s, t ) s , (s t )
泊松过程的特征函数为：
i N t i N ( ) E e exp t e 1 .
15Fra bibliotekPoisson过程定义的应用
设{N( t ), t≥0)是参数为λ的泊松过程, 事件A在[0,τ]时间
区间内出现n次，试求:
P{N(s)=k|N(τ)=n}, 0<k<n,0<s<τ P N ( s ) k , N ( ) n 原式= P { N ( ) n } PN (s) k, N ( ) N (s) n k n!e ( )n
具备以下两个特点：
N(t) ≥0且取值为整数；
若s < t , 则 N(s) ≤N(t) 且N(t)－ N(s)表示(s , t]时
间内事件A发生的次数。
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Poisson过程定义
计数过程{N(t)，t≥0}称为参数为0的Poisson 过程，如果： (1) N(0)=0; (2) 过程有独立增量; (3) 对任意的 s，t ≥0，
1800年毕业后留校任教，1802年任副教授, 1806年接替傅 里叶任该校教授. 1808年任法国经度局天文学家,1809年任巴黎 理学院力学教授. 1812年当选为巴黎科学院院士. 泊松的科学生涯开始于研究微分方程及其在摆的运动和声 学理论中的应用 . 他工作的特色是应用数学方法研究各类力学 和物理问题，并由此得到数学上的发现 . 他对积分理论、行星 运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论 2 都有重要贡献.
(2) 泊松过程的另一个等价定义：
如果每次事件发生的时间间隔X1,X2,…,相互
独立，且服从同一参数 的指数分布，则计数过
程{N(t),t≥0}是参数为 的泊松过程.
(3)上述定义提供模拟泊松过程的途径.
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例题
甲、乙两路公共汽车都通过某一车站，两路汽车的到达分别 服从10分钟1辆(甲)，15分钟1辆(乙)的泊松分布. 假定车总不 会满员，试问可乘坐甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站所 需等待时间的概率分布及其期望.
N ( t ) E[ N ( t )] t
(t ) Var[ N (t )] t
2 N
自相关函数
RN ( s, t ) E[ N ( s ) N (t )] min( s, t ) 2 st s( t 1) , (s t )
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泊松过程的数字特征 协方差函数
解: 甲、乙两路公共汽车到达情况的泊松分布 X 1 (t ) 和X 2 (t ) 1 2 1 / 6 的参数分别为1 1 / 10 ， 2 1 / 15 公共汽车的到达时间间隔服从均值为 6分钟的指数
两路车混合到达过程为 X (t ) X1 (t ) X 2 (t ) ， 分布。 再由指数分布的无记忆性， 这位乘客的等待时间 因为 X (t ) = X6 t ) + X 2 (t ) 是独立增量，且 也服从均值为 分钟的指数分布。 1( X (t s) X (t ) = [ X1 (t s) X1 (t )] [ X 2 (t s) X 2 (t )]
n k nk P( X k ) p q , k 0,1,, n k E ( X ) np, D( X ) npq
3
[泊松定理] 在二项分布中，设 np= 是常数，则有
k! [泊松分布] 随机变量X 的所有可能取值为0, 1, 2, … ，
n
lim P{ X k }
m n m n ( λ t ) ( λ pt ) [ λ (1 p ) t ] m m n λt λt Cm p (1 p ) e e n (m n)! m !n ! n 0 n 0
n 0
e
λt
( λ pt )m [ λ (1 p)t ]n λ pt )m λ (1 p )t λ pt ) m λt ( λ pt ( e e e . m! n 0 n! m! m!
(4 12)n 412 P{N (12) N (0) n} e , n!
均值
E[ N (12) N (0)] 4 12 48.
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Poisson过程的等价定义 设{N (t ), t 0} 是一个计数过程，它满 （1） N (0) 0; （2）过程有平稳独立增量，
Fn t P X n t 1 et ,
t 0.
故Xn与X1 ,… Xn-1相互独立，且Xn也服从均值为1/λ的
指数布.
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注 (1) 上述定理的结果应该在预料之中,因为泊
松过程有平稳增量,过程在任何时刻都“重新开
始”,这恰好就是“无记忆性”的体现,正好与指
数分布的“无记忆性”是对应的.
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4.2 与Poisson过程相联系的若干分布
4.2.1 Xn和Sn的分布 4.2.2 事件发生时刻的条件分布
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4.2.1 Xn和Sn的分布 N(t)
是跃度为1 的阶梯函数
S0
S1
S2
S3
S4
…
t
Sn表示事件A 第n次发生的时刻,或者第n次发生的等待 时间，Xn表示事件第n-1次与第n次发生的时间间隔.
第 4章

Poisson过程
4.1 Poisson过程 4.2 与Poisson过程相联系的若干分布 4.3 Poisson过程的推广 4.4 更新过程
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法国数学家 . 1781年6月21日生于法国卢瓦 雷省的皮蒂维耶，1840年4月25日卒于法国索镇.
1798年入巴黎综合工科学校深造. 在毕业时， 因优秀的研究论文而被指定为讲师, 受到拉普拉 斯、拉格朗日的赏识.
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0.0155
事故的发生次数和保险公司接到的索赔数 若以N(t)表示[0,t]时间内发生事故的次数. Poisson过 程 {N (t ), t 0} 是很好的一种近似. 考虑保险公司每次 赔付都是1, 每月平均4次接到索赔要求，则一年中它 要付出的平均金额为多少？ 解: 设一年开始为0时刻，1月末为时刻1，则年末 为时刻12：
e
s
解:
( s)k ( s ) [ ( s)]nk e n!e ( ) n k! (n k )!
k