随机信号分析与应用第二章精品PPT课件
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第2章 确知信号与随机信号分析基础课件
此定理的物理意义是 :时域卷积对应频域相乘
七、频域卷积
若 f1(t) F1( j), f2 (t) F2 ( j)
则
f1 (t )
f2 (t)
1
2
[ F1 (
j)
F2 (
j)]
此定理的物理意义是 :时域相乘对应频域卷积
16
§3 信号的分类与特点 一、确定性信号与随机信号
确定性信号：可用确定的数学函数表示的信号， 且信号的取值是确定的。
12
例题： 试利用对称性 求低通滤波器 的付氏变换。
f (t) A
/ 2 0 / 2 t
F (t) ASa t
2
2
0
F (t) 2A0Sa0t
比例特性, 两边
同时除以2
F (t)
A0
Sa0t
F () ASa
2
f () 2A
/ 2 0 / 2 f ()
2A
0 0 0
)dt
2
25
2、若为非周期功率信号，则
T
R12 ( )
lim
T
1 T
2 T
f1 (t )
f2 (t
)dt
2
3、若为能量信号，则
R12 ( ) f1(t) f2 (t )dt
二、自相关函数的定义：若f1(t)=f2(t)=f(t)，上述三个
公式即成为自相关函数的定义，记为R(τ)
26
三、互相关函数与自相关函数的性质 （一）互相关函数的性质
/ 2 0 / 2 t
9
数字信号频带宽度 f 估算
010110
f 1 T
T
数字信号带宽与码元宽度成反比
10
七、频域卷积
若 f1(t) F1( j), f2 (t) F2 ( j)
则
f1 (t )
f2 (t)
1
2
[ F1 (
j)
F2 (
j)]
此定理的物理意义是 :时域相乘对应频域卷积
16
§3 信号的分类与特点 一、确定性信号与随机信号
确定性信号：可用确定的数学函数表示的信号， 且信号的取值是确定的。
12
例题： 试利用对称性 求低通滤波器 的付氏变换。
f (t) A
/ 2 0 / 2 t
F (t) ASa t
2
2
0
F (t) 2A0Sa0t
比例特性, 两边
同时除以2
F (t)
A0
Sa0t
F () ASa
2
f () 2A
/ 2 0 / 2 f ()
2A
0 0 0
)dt
2
25
2、若为非周期功率信号，则
T
R12 ( )
lim
T
1 T
2 T
f1 (t )
f2 (t
)dt
2
3、若为能量信号，则
R12 ( ) f1(t) f2 (t )dt
二、自相关函数的定义：若f1(t)=f2(t)=f(t)，上述三个
公式即成为自相关函数的定义，记为R(τ)
26
三、互相关函数与自相关函数的性质 （一）互相关函数的性质
/ 2 0 / 2 t
9
数字信号频带宽度 f 估算
010110
f 1 T
T
数字信号带宽与码元宽度成反比
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现代通信原理PPT课件第2章+随机信号分析
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12
1)数学期望：随机变量的统计平均值（随机变量所 有可能的取值和它对应概率乘积的和）-----物理意义 平均值
记为： E 、 E 、 E () 、 E [] 、 E [ X ] 等 等
离散型： E n x i Pi i 1
式中 x i ——取值
P i ——取值为 x i 的概率
离 散 随 机 变 量 的 概 率 密 度 函 数 曲 线
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9
概率密度函数特点：
A）由于F ( x )是单调不減函数，所以 f (x) 0 B）离散随机变量的概率密度函数为冲激函数，冲激强度 为对应取该值的概率，见前页曲线。
C） f(x)d xF ( )F ( ) 1-------面积为l
E xf(x)d x E yf(y)dy
例2 证明
, 独 立E ( ) E E
E ()
xyf(x,y)d xd y
因 为 ,独 立 f( x y ) f ( x ) f ( y )
E ( ) xy f(x)f(y)d x d y
xf(x)dx yf(y)dy
5
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6
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7
2)概率密度：分布函数的导数称为概率密度函数，记为 f ( x ) 则：f (x) dF(x) dx
概率密度函数曲线 (见P16)
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8
f (x)
P 1 ( x x 1 ) P 2 ( x x 2 ) P 3 ( x x 3 ) P 4 ( x x 4 ) P 5 ( x x 5 ) P n ( x x n ) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x n x
二维概率密度：
f
(x1,
x2)
第二章 随机信号分析
SCUT DT&P Labs
5
2.2 随机过程的一般表述
自相关函数 R (t1, t2), 衡量同一个过程的相关程度。 R(t1 , t 2 ) E[x (t1 ) x (t 2 )]
x1 x2 f 2 (x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
自协方差B (t1, t2), 衡量同一个过程的相关程度。
Ps () ＝
∞
-∞
R ( ) e -j d
∞
R ( ) ＝ (1/2) -∞ Ps () e j d (逆变换)
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SCUT DT&P Labs
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课堂练习
例2.4.1 x (t) sin(0 t + )，求x (t)的功率谱密度函数。 思路：首先证明x (t) 是平稳随机过程，然后对自相关函 数R ( ) 进行傅立叶变换，求得功率谱密度函数Ps () 。 其步骤为： 1，求数学期望 E[x (t)] ＝0，自相关函数R (t1, t2) ＝ 0.5 cos0 ，因此数学期望与时间无关，相关函数仅与时间 间隔有关，因此x (t) 是平稳随机过程。 2，对R ( ) 进行傅立叶变换，求得Ps ()
P ( ) E[ Ps ( )] lim x E FT ( ) T
2 T
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SCUT DT&P Labs
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可以证明：平稳随机过程的功率谱密度 等于该过程的自相关函数的富里叶变换。
P ( ) R( ) 表示富里叶变换 x
复习：富里叶变换。
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第2章随机信号分析
第二章随机信号分析随机信号分析确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析、确定性信号分析的不同与联系：随机信号分析的主要内容：随机过程的一般表述平稳随机过程高斯过程窄带随机过程正弦波加窄带高斯过程稳随机过过线性系平稳随机过程通过线性系统2010-9-271引言信号：一般是时间的函数确定信号：可以用确定的时间函数表示的信号 周期信号和非周期信号能量信号和功率信号基带信号和频带信号模拟信号和数字信号随机信号：具有随机性，可用统计规律来描述 通信过程中要发送的信号是不可预知的，因此具有随机性，是随机信号，但信号的统计特性具有规律性。
噪声和干扰是随机的信号噪声和干扰是随机的信号；无线信道特性（可理解为系统传递函数）也是随机变2010-9-272化的。
随机过程：与时间有关的函数，但任一时刻的取值不确定(随机变量)随机过程可以看成对应不同随机试验的时间过程的集合。
如n(或无数）台性能完全的接收机输出的噪声波形，每个波形都是一个确定函数，为一个样本函数，各波形又各不相同。
也可看成一个接收机，不同实验输出不同的样本函数。
随机过程是所有样本函数的集合。
2010-9-2731随机过程的一般表述1 随机过程的般表述(1)样本函数：随机过程的具体实现样本空间所有实现构成的全体~()i x t )()t 样本空间：所有实现构成的全体所有样本函数及其统计特性构成了随机过程{}1~(),,),i S x x t =……~()t ξ2010-9-274随机过程是随机变量概念的延伸，即随机变量引入时间变量，成为随机过程。
每一个时刻，对应每个样本函数的取值{i(),,,,}{x(t),i=1,2,…,n}是一个随机变量。
固定时刻t1的随机变量计为ξ(t1)。
随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
2010-9-27511随机过程的n维分布函数或概率密度函数往往不容易或不需要得到，常常用数字特征部分地表述随机过程的主要特征。
《随机信号分析》课件
表示随机信号的波动范围，即信号值偏离均值的程度。
方差
均值
自相关函数描述了随机信号在不同时间点之间的相关性。
自相关函数可以用于分析信号的周期性和趋势性。
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数，可以了解信号在不同频率下的强度和分布。
04
CHAPTER
随机信号的频域分析
傅立叶变换是信号处理中的基本工具，用于将时间域的信号转换为频域的表示。通过傅立叶变换，我们可以分析信号的频率成分和频率特性。
02
时间变化特性
由于随机信号的取值是随机的，因此其时间变化特性也是随机的，表现为信号的幅度、频率和相位都是随机的。
在通信领域，随机信号可以用于扩频通信、信道编码等，以提高通信的可靠性和抗干扰能力。
通信
在雷达领域，随机信号可以用于雷达测距、目标跟踪等，以提高雷达的抗干扰能力和探测精度。
雷达
在地球物理学领域，随机信号可以用于地震勘探、矿产资源探测等，以提高探测的精度和可靠性。
线性系统的输出信号的统计特性与输入信号的统计特性和系统的传递函数有关。通过分析线性系统对随机信号的作用，我们可以了解系统对信号的影响和信号经过系统后的变化情况。
05
CHAPTER
随机信号的变换域分析
总结词
拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复平面上的函数的方法，用于分析信号的稳定性和可预测性。
详细描述
详细描述
06
CHAPTER
随机信号处理的应用
信号传输
随机信号分析在通信系统中用于信号传输的调制和解调过程，通过对信号的随机性进行编码和解码，实现可靠的信息传输。
目标检测
01
随机信号分析在雷达系统中用于目标检测和跟踪，通过对接收到的回波信号进行分析和处理，实现高精度和高可靠性的目标定位和识别。
方差
均值
自相关函数描述了随机信号在不同时间点之间的相关性。
自相关函数可以用于分析信号的周期性和趋势性。
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数，可以了解信号在不同频率下的强度和分布。
04
CHAPTER
随机信号的频域分析
傅立叶变换是信号处理中的基本工具，用于将时间域的信号转换为频域的表示。通过傅立叶变换，我们可以分析信号的频率成分和频率特性。
02
时间变化特性
由于随机信号的取值是随机的，因此其时间变化特性也是随机的，表现为信号的幅度、频率和相位都是随机的。
在通信领域，随机信号可以用于扩频通信、信道编码等，以提高通信的可靠性和抗干扰能力。
通信
在雷达领域，随机信号可以用于雷达测距、目标跟踪等，以提高雷达的抗干扰能力和探测精度。
雷达
在地球物理学领域，随机信号可以用于地震勘探、矿产资源探测等，以提高探测的精度和可靠性。
线性系统的输出信号的统计特性与输入信号的统计特性和系统的传递函数有关。通过分析线性系统对随机信号的作用，我们可以了解系统对信号的影响和信号经过系统后的变化情况。
05
CHAPTER
随机信号的变换域分析
总结词
拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复平面上的函数的方法，用于分析信号的稳定性和可预测性。
详细描述
详细描述
06
CHAPTER
随机信号处理的应用
信号传输
随机信号分析在通信系统中用于信号传输的调制和解调过程，通过对信号的随机性进行编码和解码，实现可靠的信息传输。
目标检测
01
随机信号分析在雷达系统中用于目标检测和跟踪，通过对接收到的回波信号进行分析和处理，实现高精度和高可靠性的目标定位和识别。
随机信号分析课件2
mX(t2)E[X(t1)]mX(t1)mX(t2) R X (t1 ,t2 ) m X (t1 )m X (t2 )
当 t1 t2 t 时，有
KX(t1,t2)KX(t,t) E[(X(t)mX(t))2]
D[X(t)]X 2(t)
推导可得
X 2(t)E [X2(t)]m数字特征都可以通过二者 间接求得。
4、 L fX (x 1 ,x 2 ,L ,x n ;t1 ,t2 ,L ,tn )d x 1 d x 2 L d x n 1 n 重
5、
L
(nm )重
fX(x1,x2,L,xn;t1,t2,L,tn)dxm 1dxm 2Ldxn
fX(x1,x2,L,xm ;t1,t2,L,tm )
称为随机过程X(t)的n维特征函数。
傅立叶反变换为
fX(x1,x2,L,xn;t1,t2,L,tn)
(21)n
L
n重
CX(u1,u2,L,un;t1,t2,L,tn)
exp((ju1x1ju2x2 L junxn))du1du2Ldun
2.2平稳性随机过程和遍历性过程 2.2.1平稳随机过程
fX (x1;t1)
1
2
eju1x1CX(u1;t1)du1
随机过程X(t)的n阶原点矩函数为
E [X n(t)] xnfX(x;t)d x(j)nn C X u (n u ;t) u 0
二、二维随机过程
C X(u1,u2;t1,t2)E[exp(ju1X(t1)ju2X(t2))]
6、如果 X(t1),X(t2),L,X(tn)统计独立，则有 fX(x1,x2,L,xm;t1,t2,L,tm) fX(x1;t1)fX(x2;t2)LfX(xn;tn)
随机信号分析课件第2章
2.4 平稳过程的各态历经性
集合平均
mX E[ X (t )]
mX是随机过程的均值，即任意时刻的过程取值的统计 平均。
1 X (t ) l.i. m T 2T
T
时间平均
T
X (t )dt
<X(t)> 是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，
它随样本不同而不同，是个随机变量。
时间平均
h 0
则称 X(t) 在 t 点均方连续，记作 l.i.m X (t h) X (t )
若T中一切点都均方连续，则称 X(t) 在T上均方连续。
均方导数 定义6.7
设 {X(t),t∈T} 为二阶矩过程，若存在另一个随机过
程X’(t)，满足
X (t h ) X (t ) lim E[ X (t )]2 0 h 0 h
E|
X (t )dt | R
a a a
b b
X
(t1 , t 2 )dt1dt2
结论：数学期望和积分运算可以交换顺序。
定理6.9
设{X(t),t∈T}为二阶矩过程在区间[a,b]上均方连续， 则
Y (t ) X ( )d
a
t
在均方意义下存在，且随机过程 {Y(t), t∈T} 在区间[a,b] 上均方可微，且有 Y’(t)=X(t)。
称为随机分析。
处处收敛
对于概率空间 (Ω,F,P) 上的随机序列 {Xn} 每个试验
结果 e 都对应一序列，如果该序列对每个 e 都收敛，则称 随机序列 {Xn} 处处收敛，即满足：
n
lim X n X
其中，x为随机变量。
以概率1收敛
二阶矩随机序列 { Xn(e) }，二阶矩随机变量X(e)，若
随机信号分析与估计第2章
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 随 机试验所研究的随机现象,其所有可能结果,都可以利用概率空间上 的随机变量或随机向量的取值来定量表示。随机变量本质上相应于某 个随机试验的一次观察结果,随机向量也只对应于某个多维随机试验 的一次观察结果。有时这些随机变量会随着某些参量变化,或者说是 某些参量的函数。在概率论中,所研究的随机变量在试验中的结果与 每次试验ξ 有关而与时间t 无关。在实际中,经常会遇到随机变量在试 验中的结果不仅与每次试验ξ 有关,而且与时间t 有关。这样的随机变 量的集合就构成了随机信号,可记为X (ξ,t)。
• 为随机信号的二维概率密度函数。
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 随机信号的二维分布律不仅表征了随机信号在两个时刻上的统计特性, 还可表征随机信号两个时刻间的关联程度。通过计算边缘分布,由二 维分布可以得出一维分布的结果,因此,二维分布比一维分布包含了更 多的信息,对随机信号的阐述要更细致,但也更为复杂。但是,二维分布 还不能反映随机信号在两个以上时刻的取值之间的联系,不能完整地 反映出随机信号的全部统计特性。
• 1. 一维概率分布和概率维概率分布函数定义为
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 因此,FX (x;t)是t 时刻的随机变量直至x 的累积概率值。 • 若FX (x;t)的偏导数存在,则称
• 为随机信号的一维概率密度函数。 • 随机信号的一维概率分布是随机信号最简单的统计特性,它只能反映
• 以上两种定义从不同的角度来描述随机信号,但本质是相同的,互为补 充。在对随机信号做实际观测时,常用定义1,随着观测次数的增加,所 得的样本数目也越多,则越能掌握随机信号的统计规律。在对随机信 号做理论分析时,常用定义2,这样随着采样间隔的减小,所得的维数就 变大,则越能掌握随机信号的统计规律。
2.1 随机信号的基本概念及特征
• 随 机试验所研究的随机现象,其所有可能结果,都可以利用概率空间上 的随机变量或随机向量的取值来定量表示。随机变量本质上相应于某 个随机试验的一次观察结果,随机向量也只对应于某个多维随机试验 的一次观察结果。有时这些随机变量会随着某些参量变化,或者说是 某些参量的函数。在概率论中,所研究的随机变量在试验中的结果与 每次试验ξ 有关而与时间t 无关。在实际中,经常会遇到随机变量在试 验中的结果不仅与每次试验ξ 有关,而且与时间t 有关。这样的随机变 量的集合就构成了随机信号,可记为X (ξ,t)。
• 为随机信号的二维概率密度函数。
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 随机信号的二维分布律不仅表征了随机信号在两个时刻上的统计特性, 还可表征随机信号两个时刻间的关联程度。通过计算边缘分布,由二 维分布可以得出一维分布的结果,因此,二维分布比一维分布包含了更 多的信息,对随机信号的阐述要更细致,但也更为复杂。但是,二维分布 还不能反映随机信号在两个以上时刻的取值之间的联系,不能完整地 反映出随机信号的全部统计特性。
• 1. 一维概率分布和概率维概率分布函数定义为
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2.1 随机信号的基本概念及特征
• 因此,FX (x;t)是t 时刻的随机变量直至x 的累积概率值。 • 若FX (x;t)的偏导数存在,则称
• 为随机信号的一维概率密度函数。 • 随机信号的一维概率分布是随机信号最简单的统计特性,它只能反映
• 以上两种定义从不同的角度来描述随机信号,但本质是相同的,互为补 充。在对随机信号做实际观测时,常用定义1,随着观测次数的增加,所 得的样本数目也越多,则越能掌握随机信号的统计规律。在对随机信 号做理论分析时,常用定义2,这样随着采样间隔的减小,所得的维数就 变大,则越能掌握随机信号的统计规律。
第02章 随机信号分析 67页 1.4M PPT版
主要内容
第二章 随机信号分析
• 2.1、引言 • 2.2、随机过程的一般表述 • 2.3、平稳随机过程 • 2.4、平稳随机过程的相关函数与概率谱密度 • 2.5、高斯过程 • 2.6、窄带随机过程 • 2.7、正弦波加窄带高斯过程 • 2.8、随机过程通过线性系统
•2.1 引言
•通信过程是有用信号通过通信系统的过程, 在这一过程中常伴有噪声的传输. 分析与研 究通信系统,离不开对信号和噪声的分析.通 信系统中的信号通常具有某种随机性.他们 的某个或几个参数不能预知或不能完全预 知.如果能预知,通信就失去了意义
• 随机过程§(t)的定义:
• 设随机试验E的可能结果为§(t),试验的样本空 间S为｛ x1(t) ,x2(t), … xi(t)… ｝
• xi(t): 第i个样本函数 (实现) • 每次试验后, §(t)取空间S中的某一样本函数
• 称此§(t)为随机函数
• 当t 代表时间量时,称此§(t)为随机过程
一维分布函数： F1(x1,t1) P (t1) x1
x
F(x)
1
2
exp
(z )2 2 2
dz
概率积分函数：
(x)
1
• 随机过程的统计特性的表述 • 概率分布 （分布函数、概率密度函数） • 数字特征 • （数学期望、方差、相关函数）
• 一维分布函数：
•
设§(t)表示一个随机过程 §(t1)是一个随机变量，
，则在任一时刻t1
上
• 称分布F1函（数x1,t1)=P｛ §(t1) ≤ x1 ｝为§(t)的一维
• 即§(随t1)机的过分程布§函(t数)在t1时刻所对应的随机变量 • 如果存在ə F1（ x1,t1)/ ə x1 = f1（ x1,t1) • 则称f1（ x1,t1)为§(t)的一维概率密度函数
第二章 随机信号分析
• 2.1、引言 • 2.2、随机过程的一般表述 • 2.3、平稳随机过程 • 2.4、平稳随机过程的相关函数与概率谱密度 • 2.5、高斯过程 • 2.6、窄带随机过程 • 2.7、正弦波加窄带高斯过程 • 2.8、随机过程通过线性系统
•2.1 引言
•通信过程是有用信号通过通信系统的过程, 在这一过程中常伴有噪声的传输. 分析与研 究通信系统,离不开对信号和噪声的分析.通 信系统中的信号通常具有某种随机性.他们 的某个或几个参数不能预知或不能完全预 知.如果能预知,通信就失去了意义
• 随机过程§(t)的定义:
• 设随机试验E的可能结果为§(t),试验的样本空 间S为｛ x1(t) ,x2(t), … xi(t)… ｝
• xi(t): 第i个样本函数 (实现) • 每次试验后, §(t)取空间S中的某一样本函数
• 称此§(t)为随机函数
• 当t 代表时间量时,称此§(t)为随机过程
一维分布函数： F1(x1,t1) P (t1) x1
x
F(x)
1
2
exp
(z )2 2 2
dz
概率积分函数：
(x)
1
• 随机过程的统计特性的表述 • 概率分布 （分布函数、概率密度函数） • 数字特征 • （数学期望、方差、相关函数）
• 一维分布函数：
•
设§(t)表示一个随机过程 §(t1)是一个随机变量，
，则在任一时刻t1
上
• 称分布F1函（数x1,t1)=P｛ §(t1) ≤ x1 ｝为§(t)的一维
• 即§(随t1)机的过分程布§函(t数)在t1时刻所对应的随机变量 • 如果存在ə F1（ x1,t1)/ ə x1 = f1（ x1,t1) • 则称f1（ x1,t1)为§(t)的一维概率密度函数
随机信号分析第二章
2
显然，n取得愈大，随机过程的n维分布律描述随机 过程的特性也愈趋完善。
两个随机过程X(t)和Y(t)的联合分布函数与 联合概率密度函数的定义：
' FX ,Y ( x1 ,..., x n , y1 ,..., y m ; t1 ,...,t n , t1' ,...,t m ) ' P{ X (t1 ) x1 ,..., X (t n ) x n , Y (t1' ) y1 ,...,Y (t m ) y m }
2 X 2
它的平方根称为随机过程的标准离差或标准差，即
2 X (t ) X (t ) D[ X (t )]
它表示随机过程在t 时刻对于均值mX(t)的偏离程度。
方差描述了随机过程诸样本函数围绕数学期望 mX(t)的分散程度。若X(t)表示噪声电压，那么均方 值就表示消耗在单位电阻上的瞬时功率的统计平均 值，而方差σ X2(t)则表示瞬时交流功率的统计平均值。
随机过程的分类
对某一台确定的接收机而言， 其接收的信号幅度ai 和相位Φi 是 确定的； 但对不同的接收机，接收的信号幅度与相位是随机的。因此， 在不同的时间里对所有的接收机来讲，它们所接收的信号的总体 就是随机过程，用解析式表示为：
X (t ) A cos(0t )
对于某个样本（某接收机收到的信号），其未来值可由过 去观测值准确预测。
3．自相关函数
数学期望和方差是描述随机过程在各个孤立时刻的重要数 字特征。它们反映不出整个随机过程不同时间的内在联系
它们具有大致相同的数学期望和方差，但两者的内部结构 却有着非常明显的差别。引入自相关函数来描述随机过程 任意两个不同时刻状态之间联系 。
自相关函数
显然，n取得愈大，随机过程的n维分布律描述随机 过程的特性也愈趋完善。
两个随机过程X(t)和Y(t)的联合分布函数与 联合概率密度函数的定义：
' FX ,Y ( x1 ,..., x n , y1 ,..., y m ; t1 ,...,t n , t1' ,...,t m ) ' P{ X (t1 ) x1 ,..., X (t n ) x n , Y (t1' ) y1 ,...,Y (t m ) y m }
2 X 2
它的平方根称为随机过程的标准离差或标准差，即
2 X (t ) X (t ) D[ X (t )]
它表示随机过程在t 时刻对于均值mX(t)的偏离程度。
方差描述了随机过程诸样本函数围绕数学期望 mX(t)的分散程度。若X(t)表示噪声电压，那么均方 值就表示消耗在单位电阻上的瞬时功率的统计平均 值，而方差σ X2(t)则表示瞬时交流功率的统计平均值。
随机过程的分类
对某一台确定的接收机而言， 其接收的信号幅度ai 和相位Φi 是 确定的； 但对不同的接收机，接收的信号幅度与相位是随机的。因此， 在不同的时间里对所有的接收机来讲，它们所接收的信号的总体 就是随机过程，用解析式表示为：
X (t ) A cos(0t )
对于某个样本（某接收机收到的信号），其未来值可由过 去观测值准确预测。
3．自相关函数
数学期望和方差是描述随机过程在各个孤立时刻的重要数 字特征。它们反映不出整个随机过程不同时间的内在联系
它们具有大致相同的数学期望和方差，但两者的内部结构 却有着非常明显的差别。引入自相关函数来描述随机过程 任意两个不同时刻状态之间联系 。
自相关函数
随机信号分析(2-4章)
求： 解：
1 1 F ( , x ), F (1, x ), F ( ,1, x1 , x2 ) 2 2
1 0 cos , 1 2 2 t 时，X ( 1 ) 2 1 2 1 2 , 1 2 2
1 - 1 cos( t ), 2 t 1时，X（ 1 ） 2 2 1, 1 2
例3 求随机二进制信号的均值和自相关函数
半随机独立二进制（观察信号的起始时刻为每个时 隙的起点）
随机二进制信号（观察信号的起始时刻在一个时隙 均匀分布）
解：
E[ X (t0 )] 0 q 1 p p R X (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] E[ X (t1 ) X (t2 )] E ( R半随机 (t1 , t2 )) E E X [ X (t1 ) X (t2 ) / ]
一维分布函数
FX ( x1, n1 ) P{ X ( n1 ) x} 0, x 0 q,1 x 0 1, x 1
一维密度函数
f x ( x1, n1 ) q ( x) p ( x 1)
例2 利用投掷硬币的实验 定义R.S
cost X (t ) 2t 1 2 1 硬币出现反面而且概率 为 2 硬币出现正面而且概率 为
2 密度函数
F ( x, t ) x F ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) f X ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) x1x 2 f X ( x, t ) F ( x, t )
2.1.3 随机过程的数字特征
第二章随机信号分析
• 无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。
2011-2-23
CP 第二章 随机信号分析
5
样本空间
S1 S2 Sn x 2(t) t x 1(t) t
ξ (t)
x n(t) t tk
• 样本函数的总体
2011-2-23 CP 第二章 随机信号分析 6
2.1.1 随机过程
• 随机过程具有随机变量和时间函数的特 点。 • 在进行观测前是无法预知是空间中哪一 个样本。 • 全体样本在t1时刻的取值ξ(t1)是一个不含t 变化的随机变量。
2011-2-23
CP 第二章 随机信号分析
13
2.2.1定义 定义
2011-2-23
CP 第二章 随机信号分析
14
2.2.3平稳随机过程自相关 平稳随机过程自相关 函数的性质
• 平稳随机过程的自相关函数特别重要。
– 其统计特性，可通过自相关函数来描述； – 自相关函数与谱特性有着内在的联系。
• 设ξ(t)为实平稳随机过程， 则它的自相关 函数 R (τ ) = E [ξ ( t )ξ ( t + τ )]
自协方差函数和自相关函数
B(t1 , t2 ) = E {x (t1 ) - a (t1 ) ] x (t2 ) - a (t2 ) ] [ [ }
=
蝌
- ?
ゥ
[ x1 - a (t1 )][ x2 - a (t2 )] f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
R(t1 , t2 ) = E [ (t1 )x (t2 ) ]= x
通信原理
第二章 随机信号分析 刘柏森
2011-2-23 CP 第二章 随机信号分析 1
随机信号分析 第二章随机信号概论
C XY (t1 , t 2 ) E[{X (t1 ) m X (t1 )}{Y (t 2 ) mY (t 2 )}]
[x m
X
(t1)][ y mY (t 2 )] p XY ( x, y; t1 , t 2 )dxdy
且有 C
XY (t1 , t 2 )
（2）如果X(t)和Y(t)的互协方差函数CXY(t1,t2)=0,我们称 他们互不相关的.并有 RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mY (t2 ) （3）若两个过程X(t)和Y(t)之间的互相关函数等于零，即 对任意t1,t2有RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]=0, 则称两个过程正交。
2 X (t ) D[ X (t )] D[V sin w0t ] sin 2 w0tD[V ] sin 2 w0t
RX (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )] E[V sin w0t1 V sin w0t 2 ]
.
sin w0t1. sin w0t 2 E[V 2 ] sin w0t1. sin w0t 2 C X (t1 , t 2 ) E[( X (t1 ) m X (t1 ))(X (t 2 ) m X (t 2 ))] E[ X (t1 ) X (t 2 )] RX (t1 , t 2 ) sin w0t1. sin w0t 2
FX ( x1 , t1 ) p X ( x1 , t1 ) x1
为随机过程的概率密度函数.
二维分布律:随机过程X(t)在任意时刻t1,t2, 是一个二 维随机变量{X(t1),X(t2)},定义t=t1时X(t1) ≤x1和 t=t2时 X(t2) ≤x2的概率为随机过程X(t)的二维概率分布函 数
[x m
X
(t1)][ y mY (t 2 )] p XY ( x, y; t1 , t 2 )dxdy
且有 C
XY (t1 , t 2 )
（2）如果X(t)和Y(t)的互协方差函数CXY(t1,t2)=0,我们称 他们互不相关的.并有 RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mY (t2 ) （3）若两个过程X(t)和Y(t)之间的互相关函数等于零，即 对任意t1,t2有RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]=0, 则称两个过程正交。
2 X (t ) D[ X (t )] D[V sin w0t ] sin 2 w0tD[V ] sin 2 w0t
RX (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )] E[V sin w0t1 V sin w0t 2 ]
.
sin w0t1. sin w0t 2 E[V 2 ] sin w0t1. sin w0t 2 C X (t1 , t 2 ) E[( X (t1 ) m X (t1 ))(X (t 2 ) m X (t 2 ))] E[ X (t1 ) X (t 2 )] RX (t1 , t 2 ) sin w0t1. sin w0t 2
FX ( x1 , t1 ) p X ( x1 , t1 ) x1
为随机过程的概率密度函数.
二维分布律:随机过程X(t)在任意时刻t1,t2, 是一个二 维随机变量{X(t1),X(t2)},定义t=t1时X(t1) ≤x1和 t=t2时 X(t2) ≤x2的概率为随机过程X(t)的二维概率分布函 数
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u 2T
u 2T
《随机信号分析》教学组
16
则 S X () T l i2 1 m T { 0 2 T d 2 2 T T 1 2 R X ()e jd u
0 d 2T
22 T T 1 2R X()ejd}u
T l i { m 2 1 T 2 2 T Td 2 2 T T 1 2R X ()ejd}u
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
7
令T，再取极限，交换求数学期望和积分的次序
存在
非负
T l i2 1 T m T T E [X 2 (t)d ] 2 t1 T l iE m [X X 2 ( T T , )2 ]d
功率Q
SX()
Q T l i2 1 m T T T E [X 2 (t)d ] t 2 1 S X ()d
一 预备知识
1 付氏变换 设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足
• x (t )在(,)范围内满足狄利赫利条件 有限个极值
• x (t )绝对可积，即
x(t)dt
有限个断点
• x (t )信号的总能量有限，即
x(t)
2
断点为有限
dt 值
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
3
则x (t ) 的傅里叶变换为：
T l i 2 m 1 T T T T TR X (t2 t1 )e j(t2 t1)d1 d t2t
《随机信号分析》教学组
15
设 则 所以：
t2 T
t2t1 ut2t1
t1
u
2
t2
2
u
11
J
(t1,
(,
t2) u)
2 1
2 1
1 2
22
u
u 2T
2T
u 2T
-T
-2T
t1
2T
29.11.2020
XX() x(t)ejtdt
其反变换为：
x(t)21 XX()ejtd
称XX()为 x(t )的频谱密度，也简称为频谱。
包含：振幅谱
相位
29.11.2020
《谱随机信号分析》教学组
4
2 帕塞瓦等式
[x (t)2d ] t x (t)2 1 X X ()ej tdd t
21 XX() x(t)ejtdtd
随机信号：平稳随机过程的自相关函数
功率谱密度。
1 维纳—辛钦定理 若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对
可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付 氏变换，即：
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
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SX() RX()ejd
RX()21 SX()ejd
2. 证明：SX()T l i m E[XX2(T T,)2]
21 XX()XX *()d
1
2
XX()2d
即 [x(t)2 ]d t2 1 XX()2d
29.11.2020
《随机信号分析》教能学量组度谱密
5
二 随机过程的功率谱密度
应用截取函数
x(t) t T
xT(t)
0
t T
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
6
当x(t)为有限值时，xT (t)的傅里叶变换存在
第 2章
平稳随机过程的谱分析
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
1
本章要解决的问题
❖随机信号是否也可以应用频域分析方法? ❖傅里叶变换能否应用于随机信号？ ❖相关函数与功率谱的关系 ❖功率谱的应用 ❖采样定理 ❖白噪声的定义
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
2
2.1 随机过程的谱分析
T l i m 2 1 TE [X X(T ,)X * X(T ,)]
29.11.2020
lim 1 T 2T
E [ T TX (t1)ejt1d1 T tTX (t2)ejt2d2]t
T l i 2 m 1 T T T T T E [X (t1 )X (t2 )e ]j (t2 t1 )d 1 d t2t
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
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例 皆：是设实随常机数过，程是X(服t) 从a（c0 o ，）0 st上 ( 均)，匀其分中布a的和随0
2
机变量，求随机过程 X (t) 的平均功率。
解： E [X 2 (t) ]E [a 2c2 o (0 ts )]
E a 2{2a 22a [2 120c22 oc2so (02 t s02t( )2])}d
注意：（1）Q为确定性值，不是随机变量
（2）SX()为确定性实函数。
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
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两个结论：
1 QAE [X2(t) ] A.lim1 . T2T
若平稳
表示时间平均
Q A E [ X 2 ( t ) ] E [ X 2 ( t ) ＝ R ] X ( 0 )
2
js
SX ()
SX (s) （只是记号相同，函数形式不同）
例：SX()412 0429
j
js
SX(s)s4(1s20s24)9
-3 -2 -12) (s1)s(1)s(3)s(3)
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
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三 功率谱密度与自相关函数之间的关系
确定信号： x(t)X(j)
T l i2 m 1 T 2 2 T T(2 T)R X()ejd T l i m 22 T T(12T)R X()ejd
a222a2sin2(0t2)0 2
a2 2
a2
sin20t
X(t)不是宽平稳的
29.11.2020
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QAE[X2(t)]
lim T
1 2T
T T
a2 (
2
a2
s
in20t)dt
a2 2
29.11.2020
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功率谱密度和复频率面
sj 0
s j
XX(T,) xT(t)ejtdt
T x(t)ejtdt T
应用帕塞瓦等式
T Tx2(t)d t2 1 XX(T, )2d
除以2T
2 1 T T Tx2(t)d t41 T X X(T , )2d
取集合平均
E 2 1 T T Tx2(t)d tE 4 1 T X X (T , )2 d
Q 1
2
SX()d
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
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➢功率谱密度：SX()描述了随机过程X(t)的 功率在各个不同频率上的分布—— SX()称为 随机过程X(t)的功率谱密度。
➢对 SX()在X(t)的整个频率范围内积分， 便可得到X(t)的功率。
➢对于平稳随机过程，有：
E[X2(t)]21 SX()d