随机信号分析与应用第二章精品PPT课件
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js
SX ()
SX (s) （只是记号相同，函数形式不同）
例：SX()412 0429
j
js
SX(s)s4(1s20s24)9
-3 -2 -1 0 1
2
3
(s2)s(2) (s1)s(1)s(3)s(3)
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
13
三 功率谱密度与自相关函数之间的关系
确定信号： x(t)X(j)
一 预备知识
1 付氏变换 设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足
• x (t )在(,)范围内满足狄利赫利条件 有限个极值
• x (t )绝对可积，即
x(t)dt
有限个断点
• x (t )信号的总能量有限，即
x(t)
2
断点为有限
dt 值
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
3
则x (t ) 的傅里叶变换为：
Q 1
2
SX()d
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
9
➢功率谱密度：SX()描述了随机过程X(t)的 功率在各个不同频率上的分布—— SX()称为 随机过程X(t)的功率谱密度。
➢对 SX()在X(t)的整个频率范围内积分， 便可得到X(t)的功率。
➢对于平稳随机过程，有：
E[X2(t)]21 SX()d
21 XX()XX *()d
1
2
XX()2d
即 [x(t)2 ]d t2 1 XX()2d
29.11.2020
《随机信号分析》教能学量组度谱密
5
二 随机过程的功率谱密度
应用截取函数
x(t) t T
xT(t)
0
t T
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
6
当x(t)为有限值时，xT (t)的傅里叶变换存在
注意：（1）Q为确定性值，不是随机变量
（2）SX()为确定性实函数。
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
8
两个结论：
1 QAE [X2(t) ] A.lim1 . T2T
若平稳
表示时间平均
Q A E [ X 2 ( t ) ] E [ X 2 ( t ) ＝ R ] X ( 0 )
2
T l i m 2 1 TE [X X(T ,)X * X(T ,)]
29.11.2020
lim 1 T 2T
E [ T TX (t1)ejt1d1 T tTX (t2)ejt2d2]t
T l i 2 m 1 T T T T T E [X (t1 )X (t2 )e ]j (t2 t1 )d 1 d t2t
第 2章
平稳随机过程的谱分析
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
1
本章要解决的问题
❖随机信号是否也可以应用频域分析方法? ❖傅里叶变换能否应用于随机信号？ ❖相关函数与功率谱的关系 ❖功率谱的应用 ❖采样定理 ❖白噪声的定义
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
2
2.1 随机过程的谱分析
XX() x(t)ejtdt
其反变换为：
x(t)21 XX()ejtd
称XX()为 x(t )的频谱密度，也简称为频谱。
包含：振幅谱
相位
29.11.2020
《谱随机信号分析》教学组
4
2 帕塞瓦等式
[x (t)2d ] t x (t)2 1 X X ()ej tdd t
21 XX() x(t)ejtdtd
ห้องสมุดไป่ตู้
T l i2 m 1 T 2 2 T T(2 T)R X()ejd T l i m 22 T T(12T)R X()ejd
a222a2sin2(0t2)0 2
a2 2
a2
sin20t
X(t)不是宽平稳的
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QAE[X2(t)]
lim T
1 2T
T T
a2 (
2
a2
s
in20t)dt
a2 2
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《随机信号分析》教学组
12
功率谱密度和复频率面
sj 0
s j
随机信号：平稳随机过程的自相关函数
功率谱密度。
1 维纳—辛钦定理 若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对
可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付 氏变换，即：
29.11.2020
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SX() RX()ejd
RX()21 SX()ejd
2. 证明：SX()T l i m E[XX2(T T,)2]
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
7
令T，再取极限，交换求数学期望和积分的次序
存在
非负
T l i2 1 T m T T E [X 2 (t)d ] 2 t1 T l iE m [X X 2 ( T T , )2 ]d
功率Q
SX()
Q T l i2 1 m T T T E [X 2 (t)d ] t 2 1 S X ()d
XX(T,) xT(t)ejtdt
T x(t)ejtdt T
应用帕塞瓦等式
T Tx2(t)d t2 1 XX(T, )2d
除以2T
2 1 T T Tx2(t)d t41 T X X(T , )2d
取集合平均
E 2 1 T T Tx2(t)d tE 4 1 T X X (T , )2 d
u 2T
u 2T
《随机信号分析》教学组
16
则 S X () T l i2 1 m T { 0 2 T d 2 2 T T 1 2 R X ()e jd u
0 d 2T
22 T T 1 2R X()ejd}u
T l i { m 2 1 T 2 2 T Td 2 2 T T 1 2R X ()ejd}u
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例 皆：是设实随常机数过，程是X(服t) 从a（c0 o ，）0 st上 ( 均)，匀其分中布a的和随0
2
机变量，求随机过程 X (t) 的平均功率。
解： E [X 2 (t) ]E [a 2c2 o (0 ts )]
E a 2{2a 22a [2 120c22 oc2so (02 t s02t( )2])}d
T l i 2 m 1 T T T T TR X (t2 t1 )e j(t2 t1)d1 d t2t
《随机信号分析》教学组
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设 则 所以：
t2 T
t2t1 ut2t1
t1
u
2
t2
2
u
11
J
(t1,
(,
t2) u)
2 1
2 1
1 2
22
u
u 2T
2T
u 2T
-T
-2T
t1
2T
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SX ()
SX (s) （只是记号相同，函数形式不同）
例：SX()412 0429
j
js
SX(s)s4(1s20s24)9
-3 -2 -1 0 1
2
3
(s2)s(2) (s1)s(1)s(3)s(3)
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13
三 功率谱密度与自相关函数之间的关系
确定信号： x(t)X(j)
一 预备知识
1 付氏变换 设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足
• x (t )在(,)范围内满足狄利赫利条件 有限个极值
• x (t )绝对可积，即
x(t)dt
有限个断点
• x (t )信号的总能量有限，即
x(t)
2
断点为有限
dt 值
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3
则x (t ) 的傅里叶变换为：
Q 1
2
SX()d
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9
➢功率谱密度：SX()描述了随机过程X(t)的 功率在各个不同频率上的分布—— SX()称为 随机过程X(t)的功率谱密度。
➢对 SX()在X(t)的整个频率范围内积分， 便可得到X(t)的功率。
➢对于平稳随机过程，有：
E[X2(t)]21 SX()d
21 XX()XX *()d
1
2
XX()2d
即 [x(t)2 ]d t2 1 XX()2d
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5
二 随机过程的功率谱密度
应用截取函数
x(t) t T
xT(t)
0
t T
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6
当x(t)为有限值时，xT (t)的傅里叶变换存在
注意：（1）Q为确定性值，不是随机变量
（2）SX()为确定性实函数。
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8
两个结论：
1 QAE [X2(t) ] A.lim1 . T2T
若平稳
表示时间平均
Q A E [ X 2 ( t ) ] E [ X 2 ( t ) ＝ R ] X ( 0 )
2
T l i m 2 1 TE [X X(T ,)X * X(T ,)]
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lim 1 T 2T
E [ T TX (t1)ejt1d1 T tTX (t2)ejt2d2]t
T l i 2 m 1 T T T T T E [X (t1 )X (t2 )e ]j (t2 t1 )d 1 d t2t
第 2章
平稳随机过程的谱分析
29.11.2020
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1
本章要解决的问题
❖随机信号是否也可以应用频域分析方法? ❖傅里叶变换能否应用于随机信号？ ❖相关函数与功率谱的关系 ❖功率谱的应用 ❖采样定理 ❖白噪声的定义
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2
2.1 随机过程的谱分析
XX() x(t)ejtdt
其反变换为：
x(t)21 XX()ejtd
称XX()为 x(t )的频谱密度，也简称为频谱。
包含：振幅谱
相位
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4
2 帕塞瓦等式
[x (t)2d ] t x (t)2 1 X X ()ej tdd t
21 XX() x(t)ejtdtd
ห้องสมุดไป่ตู้
T l i2 m 1 T 2 2 T T(2 T)R X()ejd T l i m 22 T T(12T)R X()ejd
a222a2sin2(0t2)0 2
a2 2
a2
sin20t
X(t)不是宽平稳的
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QAE[X2(t)]
lim T
1 2T
T T
a2 (
2
a2
s
in20t)dt
a2 2
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12
功率谱密度和复频率面
sj 0
s j
随机信号：平稳随机过程的自相关函数
功率谱密度。
1 维纳—辛钦定理 若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对
可积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付 氏变换，即：
29.11.2020
《随机信号分析》教学组
14
SX() RX()ejd
RX()21 SX()ejd
2. 证明：SX()T l i m E[XX2(T T,)2]
29.11.2020
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7
令T，再取极限，交换求数学期望和积分的次序
存在
非负
T l i2 1 T m T T E [X 2 (t)d ] 2 t1 T l iE m [X X 2 ( T T , )2 ]d
功率Q
SX()
Q T l i2 1 m T T T E [X 2 (t)d ] t 2 1 S X ()d
XX(T,) xT(t)ejtdt
T x(t)ejtdt T
应用帕塞瓦等式
T Tx2(t)d t2 1 XX(T, )2d
除以2T
2 1 T T Tx2(t)d t41 T X X(T , )2d
取集合平均
E 2 1 T T Tx2(t)d tE 4 1 T X X (T , )2 d
u 2T
u 2T
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16
则 S X () T l i2 1 m T { 0 2 T d 2 2 T T 1 2 R X ()e jd u
0 d 2T
22 T T 1 2R X()ejd}u
T l i { m 2 1 T 2 2 T Td 2 2 T T 1 2R X ()ejd}u
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例 皆：是设实随常机数过，程是X(服t) 从a（c0 o ，）0 st上 ( 均)，匀其分中布a的和随0
2
机变量，求随机过程 X (t) 的平均功率。
解： E [X 2 (t) ]E [a 2c2 o (0 ts )]
E a 2{2a 22a [2 120c22 oc2so (02 t s02t( )2])}d
T l i 2 m 1 T T T T TR X (t2 t1 )e j(t2 t1)d1 d t2t
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设 则 所以：
t2 T
t2t1 ut2t1
t1
u
2
t2
2
u
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J
(t1,
(,
t2) u)
2 1
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u
u 2T
2T
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t1
2T
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