空间解析几何复习资料(优.选)

P1 P2
22
P2的坐标为 (2, 2,4), (2, 2,2).
例4 已知两点 M1(2,2, 2) 和 M2(1,3,0), 计算向量
M
1
M
的模
2
,
方向余弦和方向角.
解
M1M2 = {1 − 2, 3 − 2, 0 − 2} = {−1,1, − 2};
M1M2 = (−1)2 + 12 + (− 2)2 = 2;
3．定比分点公式 M ( x, y, z)是 AB的分点： AM = λ ，
MB
点 A, B 的坐标为 A( x1, y1, z1 )， B ( x2 , y2 , z2 )则
x = x1 + λ x2 , y = y1 + λ y2 , z = z1 + λ z2
1+ λ
1+ λ
1+ λ
当 M 为中点时，
（线）的方程。 （2）已知坐标 x, y和 z 间的一个方程（组），研究这方
程（组）所表示的曲面（线）。
2．距离公式 空间两点 A( x1, y1, z1 )与 B ( x2 , y2 , z2 )间的距
离d 为
d = ( x2 − )x1 2 + ( y2 − )y1 2 + ( z2 − )z1 2
向量积的坐标表达式
设 a = axi + a y j + azk , b = bxi + by j + bzk
i jk a × b = ax ay az
bx by bz
4、向量的混合积
设 a = axi + a y j + azk , b = bxi + by j + bzk , c = cxi + cy j + czk,
二、向量的概念
1、向量
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M2 ⋅ ⋅M1
向量的模：向量的大小,记为| a | 或 | M1M2 |
单位向量：模长为1的向量，记为
a0
或
M1
M
0 2
a0 = a |a|
零向量：模长为0的向量，记为 0
注：零向量的方向是任意的
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
cosα = − 1 ,
2
cos β
=
1 ,
2
cosγ = − 2 ;
2
所以 α = 2π , β = π , γ = 3π .
3
3
4
例 5 求与a = 3i − 2 j + 4k ，b = i + j − 2k 都垂
直的单位向量.
解
i jki j k
c = a × b = ax a y az = 3 − 2 4 = 10 j + 5k , bx by bz 1 1 − 2
M1M2 = axi + ay j + azk = ( x2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j + ( z2 − z1 )k
向量的坐标表达式：
a = {ax , a y , az } = { x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 }
在三个坐标轴上的分向量：axi , ay j , azk ,
解 由立体几何知，四面体的体积等于以向量 AB 、 AC 、 AD为棱的平行六面体的体积的六分之一.
V = 1 [ AB AC AD] 6
∵ AB = { x2 − x1, y2 − y1 , z2 − z1 }
AC = { x3 − x1 , y3 − y1 , z3 − z1 }
AD = { x4 − x1, y4 − y1 , z4 − z1}
z
zR
K
H O
x xP
M(x, y,z)
Q y
y
N
r = OM = xi + yj + zk.
这是向径 r 的坐标分解式, x、y、z为向径 r分别 在x、y、z轴上的投影，xi、yj、zk 称为向量沿三个坐 标轴方向的分向量.
设a 是以 M1 ( x1 , y1 , z1 )为起点、 M 2 ( x2 , y2 , z2 ) 为终点的向量，则向量a 的坐标分解式为：
负向量：大小相等但方向相反的向量.− a
向径： 空间直角坐标系中任一点M与原点
构成的向量.OM
2、空间点及向量在轴上的投影
•A
过点 A作轴 u的垂
A′
u
直平面，交点 A′即为 点 A在轴u上的投影.
空间一向量在轴上的投影
B A
A′
u B′
已知向量的起点 A和终点B在 轴 u上的投影分别为 A′, B′那
∵| c |= 102 + 52 = 5 5,
∴ c0 = ± c = ±⎜⎛ 2 j + 1 k ⎞⎟. |c| ⎝ 5 5 ⎠
例 6 已知空间内不在一平面上的四点
A( x1 , y1 , z1 )、B( x2 , y2 , z2 )、C ( x3 , y3 , z3 )、 D( x4 , y4 , z4 ), 求四面体的体积.
γ = 2π . 3
设 P2的坐标为( x, y, z),
cosα = x − 1 ⇒ x − 1 = 1 ⇒ x = 2,
P1 P2
22
cos β = y − 0 ⇒ y − 0 = 2 ⇒ y = 2,
P1 P2
22
cosγ = z − 3 ⇒ z − 3 = ± 1 ⇒ z = 4, z = 2,
建立了空间直角坐标系，称 O 为坐标原点。
空间两点间的距离公式
设 M1 ( x1 , y1 , z1 ) 和 M 2 ( x2 , y2 , z2 ) 为空间两点.
z
M2 M1
P
N
O
y
x M1 M 2 = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 . 空间两点间距离公式
a⋅b+λ b2 = 0
由于 b 为非零向量，因而应有 λ
=
−
a ⋅ b ，故应选（B）。 b2
例 2 已知a = {1,1,−4}，b = {1,−2,2}，求（1） a ⋅ b ；（2）a 与b 的夹角；（3）a 在b 上的投影.
解 (1) a ⋅ b = 1⋅ 1 + 1⋅ (−2) + (−4) ⋅ 2 = −9.
3、向量的外积(向量积)
二、两向量的向量积
向量a 与b 的向量积为 c = a × b
| c |=| a || b | sinθ (其中θ 为a 与b 的夹角)
c 的方向既垂直于a ，又垂直于b ，指向符合右手系.
关于向量积的说明：
(1) a × a = 0. (2) a //b ⇐⇒ a × b = 0.
o
y az =| a | cosγ
量 的 方 向 余
x
弦
方向余弦通常用来表示向量的方向.
向量方向余弦的坐标表示式
当 ax2 + a y2 + az2 ≠ 0 时，
cosα =
ax
,
ax2 + ay2 + az2
cosβ =
ay
,
ax2 + ay2 + az2
cos γ =
az
.
ax2 + ay2 + az2
4、向量的方向角和方向余弦
非零向量 a 的方向角： α、β 、γ
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为其方向角.
z
0 ≤ α ≤ π,
γ
•M2
M1• α β
0 ≤ β ≤ π, 0 ≤ γ ≤ π.
o
y
x
z
R
由图分析可知 向
γ M1• α
β
• M2
Q
P
ax =| a | cosα ay =| a | cos β
一、空间直角坐标系
竖轴 z
三个坐标轴的正方 向符合右手法则：
k
定点O i
j纵轴 y
横轴 x
从空间某定点 O 作三条互相垂直的数轴，都 以 O 为原点，有相同的长度单位，分别称为
即以右手握住 z
轴，当右手的四个
手指从正向 x轴以
π 角度转向正向 y
2
轴时，大拇指的指
向就是z 轴的正向.
x 轴， y 轴， z 轴，符合右手法则，这样就
和
y
轴的夹角分别为π
3和π4，Fra bibliotek果P1
的坐标为
(1,0,3)，求 P2的坐标.
解 设向量 P1 P2的方向角为 α 、 β 、γ
α = π , cosα = 1 ,
β= π,
cosβ =
2 ,
3
2
4
2
∵cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1, ∴cos γ = ± 1 . 2
⇒ γ = π, 3
a⋅b ab
a与b垂直 a ⋅ b = 0
a 与b平行
a×b = 0或
b = λa
向量坐标表示
cosϕ =
a1b1 +a2b2 +a3b3
a12 + a22 + a32 ⋅ b12 + b22 + b32
a1b1 + a2b2 + b3b3 = 0
a1 = a2 = a3 b1 b2 b3
五、典型例题
ax ay az [abc ]= (a × b ) ⋅ c = bx by bz
cx cy cz
混合积的坐标表达式
关于混合积的说明：
（1）向量混合积的几何意义：
向量的混合积
a×b
[abc]= (a × b) ⋅ c 是这样
的一个数，它的绝对值
表示以向量a、b 、c 为
棱的平行六面体的体积.
ϕc
hb a
(a ≠ 0, b ≠ 0)
（3）| a × b |表示以a 和b 为邻边的平行四边形的面积.
b h = b sinθ θ
a 向量积符合下列运算规律：
（1） a × b = −b × a. 交换律对向量积不成立. （2）分配律：(a + b) × c = a × c + b × c.
（3）若 λ为数： (λa) × b = a × (λb) = λ(a × b).
= (ax − bx )i + (a y − by ) j + (az − bz )k;
λa = {λax , λay , λaz }
= (λax )i + (λay ) j + (λaz )k.
2、向量的内积(数量积)
a ⋅ b =| a || b | cosθ (其中θ 为a 与b 的夹角)
设 a = axi + a y j + azk , b = bxi + by j + bzk a ⋅ b = axbx + a yby + azbz 数量积的坐标表达式
方向余弦的特征 cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
三、向量的运算
1、向量的线性运算
a = {ax , a y , az }, b = {bx , by , bz }, a + b = {ax + bx , a y + by , az + bz }
= (ax + bx )i + (a y + by ) j + (az + bz )k; a − b = {ax − bx , a y − by , az − bz }
cosθ = a ⋅ b =
axbx + a yby + azbz
| a || b | ax2 + a y2 + az2 bx2 + by2 + bz2
两向量夹角余弦的坐标表示式
数量积的重要应用：
(1) a ⋅ a =| a |2 . （2）a ⊥ b ⇐⇒ a ⋅ b = 0 ⇐⇒ axbx + a yby + azbz = 0
∴V
=
±1 6
x2 x3
− −
x1 x1
x4 − x1
y2 − y1 y3 − y1 y4 − y1
z2 − z1 z3 − z1 z4 − z1
式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.
2、平面与直线
第一部分、内容要点
一、空间解析几何
1．空间解析几何研究的基本问题 （1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面
么轴 u上的有向线段 A′B′的 值，称为向量在轴 u上的投影
向量 AB在轴u上的投影记为 Pr ju AB = A′B′.
关于向量的投影定理（1）
向量 AB在轴u上的投影等于向量的模乘
以轴与向量的夹角的余弦：
Pr ju AB =| AB | cosϕ
B
Aϕ
B′′
u′ u
A′
B′
3、向量的坐标表示
例 1．设a,b为两个非零向量，λ 为非零常数，若向量a + λ b 垂直于向量b，则λ 等于（ ）。
1 （A） a ⋅ b b2
（B）− a ⋅ b b2
（C）
（D）a ⋅ b
分析：所给向量为抽象向量，宜用向量运算公式。如果
a + λ b垂直于向量b，因此应有(a + λ b) ⋅ b = 0
即
a⋅b+λ b⋅b = 0
(2) [abc]= (a × b) ⋅ c = (b × c) ⋅ a = (c × a) ⋅ b.
（3）三向量a 、b 、c 共面 ⇐⇒ [abc] = 0.
四、两向量之间的关系
设a = {a1,a2 ,a3},b = {b1,b2 ,b3}
关系 向量表示
a , b 间夹角
(ϕ )
cosϕ =
x = x1 + x2 , y = y1 + y2 , z = z1 + z2
(2) cosθ =
axbx + a yby + azbz
ax 2 + a y2 + az 2 bx 2 + by2 + bz 2
=− 1 , 2
(3) a ⋅ b =| b | Pr jba
∴θ = 3π .
4
∴ Pr
jba
=
a⋅b |b|
=
−3.
例 3 设有向量 P1P2，已知 P1P2 = 2，它与 x轴