【夺分天天练】(新课标)2014中考数学总复习 第36讲 操作探究题课件(含13年试题)

第36讲┃ 操作探究题
探究二
折叠形操作题
例 2 [2012· 兰州] 如图 36－ 1①，矩形纸片 ABCD，把它沿对
角线 BD 向上折叠． (1)在图②中用实线画出折叠后得到的图形 (要求尺规作图，保 留作图痕迹，不写作法 )； (2)折叠后重合部分是什么图形？说明理由．
第36讲┃ 操作探究题
【例题分层探究】 (1)图形的折叠，能得到哪些性质？ (2)折叠前后两个图形与折叠之间有什么关系？ (3)若利用轴对称如何作出折叠后的图形？ (4)若利用角平分线性质如何作出折叠后的图形？
第36讲┃ 操作探究题
【例题分层探究】 (1)等腰三角形有哪些性质？ (2)在图 36－ 3①中，若过点 C 作一条直线，交 AB 于点 M， 使∠ACM＝ 24° ，那么△BCM 的三个内角分别是多少度？可能 为等腰三角形吗？用类似的方法，过点 B 和点 A 可以吗？ (3)在图②和图③中，类似(1)，探究△ ABC 可能分为两个等 腰三角形吗？若能，请指出如何作．
第36讲┃ 操作探究题
[ 解析] 如图，有三种拼接方式，前一种拼接方式的周长 为 4＋ 2 3，后两种拼接方式的周长均为 8，故选 D.
第36讲┃ 操作探究题
3．如图 36－ 6，菱形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A 在 x 轴上，∠ B＝ 120°， OA＝ 2，将菱形 OABC 绕原点顺时针旋 转 105°至 OA′B′C′的位置，则点 B′的坐标为 ( A ) A． ( 2，－ 2) B． (－ 2， 2) C． (－ 3， 3) D． ( 3，－ 3)
第36讲┃ 操作探究题
④不规则四边形：
连接 DD′交 AB 于点 O.易知，△ ADB∽△ DOB. DO BD DO 6 ∴ ＝ ，即 ＝ .∴ DO＝ 4.8 cm. AD BA 8 10 ∵ DD′＝ 2DO＝ 2×4.8＝ 9.6(cm)， ∴四边形的两条对角线长的和是 AC＋ DD′＝ 10＋ 9.6＝ 19.6(cm)．
(1)当点 D′恰好落在 EF 边上时，求旋转角 α 的值； (2)如图②，G 为 BC 的中点，且 0° ＜α＜90° ，求证：GD′＝ E′D； (3)小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，△ DCD′ 与△ CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角 α 的值；若不能，说 明理由．
第36讲┃ 操作探究题
【解题方法点析】 旋转图形有三个要素：(1)旋转中心；(2)旋转方向；(3)旋转 角．画旋转图形的关键是确定各顶点旋转后的位置，旋转前后 各顶点相互之间的位置关系保持不变．利用这种不变性，可快 速确定某些顶点旋转后的位置．
第36讲┃ 操作探究题
解： (1) ∵ DC∥ EF，∴∠DCD′＝∠ CD′E＝ α. CE CE 1 ∵ sinα＝ ＝ ＝ ，∴α＝ 30° . CD′ CD 2 (2) ∵ G 为 BC 中点，∴ GC＝ CE′＝ CE＝ 1. ∵∠ D′ CG＝∠ DCG＋∠ DCD′＝ 90°＋ α， ∠ DCE′＝∠ D′CE′＋∠ DCD′＝ 90°＋α， ∴∠ D′ CG＝∠ DCE′. 又∵ CD′＝ CD, ∴△GCD′≌△ E′ CD, ∴ GD′＝ E′D. (3) 能．α＝ 135°或 α＝ 315° .
第36讲┃ 操作探究题
探究三
图形分割操作题
例 4 (1)如图 36－3①，在△ABC 中，∠C＝90°，请用直 尺和圆规作一条直线， 把△ABC 分割成两个等腰三角形(不写作法， 但须保留作图痕迹)； (2)已知内角度数的两个三角形如图②、图③所示．请你判断， 能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能， 请写出 分割成的两个等腰三角形顶角的度数．
第36讲┃ 操作探究题
②平行四边形 1：
连接 BC，过点 C 作 CE⊥BD 交 BD 的延长线于点 E， ∵ BC＝ BE2＋CE2＝ 122＋82＝ 4 13(cm)， ∴四边形的两条对角线长的和是 BC＋AD＝ (4 13＋8)(cm)；
第36讲┃ 操作探究题
③平行四边形 2：
连接 AA′，过点 A′作 A′E⊥AD 交 AD 的延长线于点 E， ∵ AA′＝ AE2＋ A′E2＝ 162＋ 62＝ 2 73(cm)， ∴四边形的两条对角线长的和是 BD＋AA′＝(6＋2 73)(cm)；
方法 3：作∠ BDG＝∠ BDC，过 B 点作 BH⊥ DG，垂足为 E； 方法 4：作∠ DBH＝∠ DBC，过 D 点作 DG⊥ BH，垂足为 E； ∴△ DEB 为所求作的图形 .
第36讲┃ 操作探究题
(2)等腰三角形． ∵△ BDE 是△ BDC 沿 BD 折叠而成， ∴△ BDE≌△ BDC， ∴∠ FDB＝∠ CDB. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AB∥ CD， ∴∠ ABD＝∠ BDC， ∴∠ FDB＝∠ ABD， ∴△ BDF 是等腰三角形．
第36讲┃ 操作探究题
(1)①对应点到旋转中心的距离相等； ②任意一对对应点与 旋转中心的连线所成的角都相等，都是旋转角；③旋转只改变 图形的位置，不改变图形的大小和形状 (旋转前后的两个图形 全等 )，对应线段相等，对应角相等． (2)根据旋转的性质得 CD′＝CD＝ 2，在 Rt△ CED′中， CD′＝ 2，CE＝1，则∠ CD′E＝30°，然后根据平行线的性质 即可得到 α＝ 30° . (3)由 G 为 BC 中点可得 CG＝CE，根据旋转的性质得 CE ＝ CE′，又∠ D′ CE′＝∠ DCE＝90°，则∠ GCD′＝∠ DCE′ ＝ 90°＋ α，然后根据“ SAS”可判断△GCD′≌△ E′CD. (4)根据正方形的性质得 CB＝CD， 而 CD＝ CD′， 则△ DCD′ 与△ CBD′为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全 等，若△ DCD′与△ CBD′为钝角三角形，可计算出 α＝135°； 若△ DCD′与△ CBD′为锐角三角形时，可计算出 α＝315°.
第36讲┃ 操作探究题
【解题方法点析】 分割问题通常是先给出一个图形(这个图形可能是规则的， 也有可能不规则)，然后用直线、线段等把该图形分割成面积相 同、形状相同的几部分．解决这类问题的时候可以借助对称的 性质、面积公式等进行分割．
第36讲┃ 操作探究题
解： (1)如图，直线 CM 即为所求；
第36讲┃ 操作探究题
探究三
平移和旋转型操作题
例 3 如图 36－2①所示，将一个边长为 2 的正方形 ABCD 和一个长为 2、宽为 1 的长方形 CEFD 拼在一起，构成一个大的 长方形 ABEF.现将小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CE′ F′D′， 旋转角为 α.
第36讲┃ 操作探究题
(2)图②能画一条直线分割成两个等腰三角形， 分割成 的两个等腰三角形的顶角分别是 132°和 84°，图③不 能分割成两个等腰三角形．
第36讲┃ 操作探究题
┃考题实战演练┃
1．如图 36－4，从边长为 (a＋ 4)cm 的正方形纸片中剪去一个 边长为 (a＋1)cm 的小正方形(a>0)，剩余部分沿虚线剪拼成 一个矩形(不重叠无缝隙 )，则矩形的面积为 ( D )
第36讲┃ 操作探究题
【例题分层探究】 (1)图形的旋转有哪些特征？ (2)在图 36－ 2①中，当点 D′恰好落在 EF 边上时，如何 求旋转角 α 的值？ (3)在图 36－ 2②中，G 为 BC 的中点，如何证明△ GCD′ ≌△E′CD? (4)小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中， △ DCD′与△ CBD′在什么情况下可以全等？此时的旋转角 α 的值是多少？
(1)图形的折叠可得到全等形，即相等的边和角． (2)折叠前后两个图形关于折痕成轴对称，其中折痕所 在的直线就是它们的对称轴． (3)先作点 C 关于 BD 的对称点 E， 然后连接 DE 和 BE， 所得的三角形为所求作的折叠图形． (4)先作∠ BDG＝∠BDC，然后过 B 点作 BH⊥DG，垂 足为 E，所得的三角形为所求作的折叠图形．
A．(2a2＋5a)cm2 C．(6a＋9)cm2
B．(3a＋15)cm2 D． (6a＋15) cm2
第36讲┃ 操作探究题
[ 解析] 矩形的面积为大正方形与小正方形的面积之差， 即 (a＋ 4)2－(a＋ 1)2＝(6a＋ 15)cm2，故答案选 D.
第36讲┃ 操作探究题
2． [2013· 深圳 ] 如图 36－ 5，有一张一个角为 30°，最小边 长为 2 的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后， 将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是 ( D ) A． 8 或 2 3 B． 10 或 4＋ 2 3 C． 10 或 2 3 D． 8 或 4＋ 2 3
第36讲┃ 操作探究题
解：如图， ∵等腰三角形的周长为 32 cm，底比一腰多 2 cm， ∴AB＝ AC＝ 10 cm， BD＝ CD＝ 6 cm， AD＝ 8 cm.
第36讲┃ 操作探究题
拼成的各种四边形如下： ①矩形：
∵ AB＝ 10， ∴四边形的两条对角线长的和是 10×2＝20(cm)．
第36讲┃ 操作探究题
(1)设等腰三角形的腰为 x cm，可建立方程求出三角形的 三条边为 10 cm， 10 cm，12 cm. (2)矩形、平行四边形、不规则四边形． (3)略．
第36讲┃ 操作探究题
【解题方法点析】 图形拼凑问题的关键是找到所拼凑的图形中的对应 线段，利用对应线段能够重合这一特点，将分割的图形重 新组合， 在解此类题时经常结合图形的平移、 旋转等性质．
腰多 2 cm，若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四 边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的 各个四边形的两条对角线长的和．
第36讲┃ 操作探究题
【例题分层探究】 等腰三角形是轴对称图形，如果沿对称轴剪开可以 得到两个全等的直角三角形． (1)利用给出的等腰三角形周长为 32 cm，底比腰多 2 cm，是否可以求出三角形的三条边？ (2)将两个全等的直角三角形进行拼凑，可以得到什 么样的四边形？ (3)在拼凑的图形中，如何利用已知边长求出四边形 对角线的长度？
第36讲┃ 操作探究题
(1)①等腰三角形的两个底角相等，简称等角对等边；②等腰三 角形的顶角平分线垂直平分底边 (也即顶角的平分线，底边上的高， 底边上的中线互相重合 )． (2)由∠ A＝ 24°，∠ ACB＝ 90°可知∠ B＝ 66°，∠ BCM＝ 90° －∠ ACM＝ 66°，∠ BMC＝∠ A＋∠ ACM＝ 48°，所以△ BCM 是 等腰三角形 . 过点 B 和点 A 作直线都不能将△ ABC 分割成两个等腰 三角形． (3)图②过点 B 作一条直线交 AC 于 M 点，使∠ ABM＝ 24°，可 得到顶角分别是 132°和 84°的两个等腰三角形，图③无论过哪个 顶点都不能分割成两个等腰三角形．
第36讲┃ 操作探究题
【解题方法点析】 在解决有关折叠问题时，关键要抓住折叠的性质，在 图形的折叠过程中，折叠前后的两个图形全等，且关于折 痕成轴对称．
第36讲┃ 操作探究题
解： (1)作法参考： 方法 1：作∠ BDG＝∠ BDC，在射线 DG 上截取 DE＝ DC，连接 BE； 方法 2：作∠ DBH＝∠ DBC，在射线 BH 上截取 BE＝ BC，连接 DE；
第36讲┃ 操作探究题
[解析 ] 连接 OB，OB′，过点 B′作 B′E⊥ x 轴于 E， 根据题意得∠ BOB′＝105° . ∵四边形 OABC 是菱形， 1 ∴ OA＝ AB，∠ AOB＝ ∠AOC＝ 2 1 1 ∠ ABC＝ × 120°＝60°， 2 2 ∴△OAB 是等边三角形， ∴ OB＝ OA＝2， ∴∠AOB′＝∠BOB′－∠AOB＝105°－60°＝45°，OB′＝ OB＝2， 2 ∴ OE＝ B′E＝ OB′· sin45°＝ 2× ＝ 2， 2 ∴点 B′的坐标为 ( 2，－ 2)．故应选 A.
第36讲
操作探究题
操作探究题可分为折叠操作题、平移旋转变换题和图、综合、抽象和概括等实践活动和思维过程，灵活 运用所学知识和生活经验，探索和发现结论，从而解决问题．
第36讲┃ 操作探究题
┃考向互动探究┃ 探究一 图形剪拼
例 1 现有一块等腰三角形板，量得周长为 32 cm，底比一