3.2-一维双原子链
一维双原子链色散关系的非线性拟合分析
一维双原子链色散关系的非线性拟合分析一维双原子链是固体物理学中一个重要的模型系统，它可以用来研究晶格振动、声子色散关系等现象。
对于一维双原子链的色散关系进行非线性拟合分析，可以帮助我们更好地理解系统的动力学性质，揭示其内在规律。
在本文中，我们将介绍一维双原子链的基本模型和色散关系，然后利用非线性拟合方法对其进行分析，并探讨其应用和意义。
一、一维双原子链的模型$H = \frac{1}{2} \sum_{n} m_1 (\frac{du_n}{dt})^2 +\frac{1}{2} \sum_{n} m_2 (\frac{dv_n}{dt})^2 + \frac{1}{2} K (\Delta u_n)^2 + \frac{1}{2} K (\Delta v_n)^2 + \frac{1}{2} K' (\Delta u_{n-1}-\Delta u_n)^2 + \frac{1}{2} K' (\Delta v_{n-1}-\Delta v_n)^2$其中，$u_n$和$v_n$分别表示第$n$个原子的位移，$m_1$和$m_2$分别为两种原子的质量，$K$和$K'$为弹簧常数，$\Delta u_n = u_n -u_{n-1}$为相邻原子之间的位移差。
通过求解以上哈密顿量的运动方程，可以得到一维双原子链的色散关系。
在实际的研究中，我们通常会通过实验或计算得到一维双原子链的色散关系数据。
为了更好地理解和描述这些数据，我们需要进行非线性拟合分析。
一般来说，我们可以通过最小二乘法来拟合色散关系的数据，找到最优的拟合曲线。
首先，我们需要选择一个适当的拟合函数。
对于一维双原子链的色散关系，通常可以采用简谐振动模型来拟合：$\omega(q) = \sqrt{\frac{2K}{m_1}} ，sin(\frac{qa}{2})，$其中，$q$为波数，$a$为晶格常数。
然后，我们可以将实验或计算得到的色散关系数据代入上述拟合函数中，通过最小二乘法来得到最优的拟合参数$K$和$m_1$。
高二物理竞赛课件一维双原子链(基元由两种原子组成)
之间根本就没有原子!
假设上方程的解为
u2n u2n,0 expi 2kna t , u2n 1 u2n 1,0 expi k 2n 1a t ,
u2n ,0 u2n 2,0 AM , u2n 1,0 u2n 1,0 Am .. 将以上所设的方程的解代入运动方程，可
动方程.因此,驻波不会沿z方向传播.群速
度为零,这表示驻波能量稳定！！！
●平移倒格矢 G
2l
a
l 取整),色散曲
线可以从第一布里渊区移到第一布里渊
区之外.但是，
k G
4D M
sin
k
G a
2
4D M
sin
k
2 a
2
l a
4D M
sin
ka
2l
2
4D M
sin
ka
2
k .
k k G 格波频率相同.
一维双原子链（基元由两种原 子组成）
一维双原子链（基元由两种原子组成）
晶格常数为a 2a.
运动方程为
M
2u 2n 2t
D u2n 1 2u2n
u2n 1 .
m
2u2n 1 2t
D u2n 2
2u2n 1
u2n .
A 0 处,波节；A 2E0 处,波腹.
sin t 与 sinkz t 不同,是z=0处振
即k
2l 1
a
2l
1
2a
,l
0,1,2,
l
0,k
a
2a
（. 第一布里渊边界）
2
D
1
m
1
M
D
一维双原子链
—— ω 与q之间存在着两 种不同的色散关系 —— 一维复式格子存在 两种独立的格波
2 − 2β B mω + —— 光学波 ( )+ = − A 2β cos aq
2 B mω − − 2β —— 声学波 ( )− = − A 2 β cos aq
05/ 20
q的取值 M和 m原子振动方程 相邻原胞之间位相差 波矢 q的值
2 ω− =β
(m + M ) 4mM {1 − [1 − sin 2 aq ]2 } mM ( m + M )2
1 (m + M ) 4mM {1 + [1 − sin 2 aq ] 2 } mM (m + M )2
1
2 ω+ =β
—— A、 B有非零的解，系数行列式为零
1
2 ω− =β
1 (m + M ) 4mM {1 − [1 − sin 2 aq] 2 } mM (m + M )2
33一维双原子链声学波和光学波一维复式格子的情形一维无限长链两种原子m和m构成一维复式格子m原子位于2n12n12n3同种原子间的距离2a晶格常数系统有n个0120n个原胞有2n个独立的方程两种原子振动的振幅a和b一般来说是不同的第2n1个m原子的方程第2n个m原子的方程方程解的形式iaqiaqiaqiaqab有非零的解系数行列式为零第2n1个m原子第2n个m原子方程的解aqaqmmaqmmmmaqmmmmaqmm与q之间存在着两种不同的色散关系一维复式格子存在两种独立的格波光学波声学波0520mmaqmmmmaqmm光学波声学波mmaqmm相邻原胞之间位相差aqm和m原子振动方程q的取值布里渊区大小2aq第一布里渊区允许的q值的数目晶体中的原胞数目对应一个q有两支格波
最新固体物理一维双原子链课件PPT
1 2
1 2
2122 m mM M m m M M m m22 M M22 22m mM M ccoo22ssqq(()a)a1212
两 种 色 散 关系12 qq::声 光学 学波 波 设M m， 则 ：
1min 0 1max
2
M
2min
2max
2
m
2(m M)
mM
3.2.3 声学波和光学波
找和明确与主要话题（主概念）相对应的谓语动词或总结性的词语。
• 3．将几个词语连缀成句(主谓结构)。话题和谓语等词句选定后，我们 可将几个词语稍稍连缀成一个谓结构的句子。
• 4．筛选，提炼出关键词。最后，我们把连缀成的句子放入文段中检验， 如能基本表达出文段的中心内容，即可筛选并敲定关键词。
• 二：寻找中心句入手具体阐释：把握语段的中心， 关键是找到中心句。中心句往往是语段中表示中 心语义的句子，是语段的核心。中心句有时是起 始句，有时是终止句，有时又可能在展开部分。 这些句子，或提起下文，或总结上文，或承上启 下，我们要特别关注。在筛选时，我们可抓住这 个句子，顺藤摸瓜找到相关关键词。
你高到云层时，还会想到泥土的气息；也愿你低到 泥土中，还会留有云层的味道。
• 检测问题2： • 材料里对象是什么？ • 关键词、关键句是什么？
•
• 检测2答案：对象是人生处境的“高与低”
• 关键词、句是：词：云层和泥土；句子： 愿你高到云层时，还会想到泥土的气息； 也愿你低到泥土中，还会留有云层的味道.
•
• 找到主要对象和关键词句的方法：
• 一：从语段中心话题入手 • 解题基本流程：明确话题—寻找谓语—连缀成句—提取关键词 • 1.明确陈述的话题（对象）。任何语段，无论是记叙、议论或说明，它
一维双原子链色散关系
一维双原子链色散关系
一维双原子链是指由两种不同原子组成的周期性排列的链状结构。
考虑这个链的色散关系，可以通过考虑光子在这个链上的传播来推导。
我们可以定义一个周期长度为a的单元胞，其中含有两个原子
A和B。
假设原子A和B分别具有质量mA和mB，以及势能
函数V(x)，其中x表示原子的位置。
根据牛顿第二定律和胡克定律，可以得到链中原子A和B的
运动方程。
假设原子A和B的位移分别为uA(x, t)和uB(x, t)，则有以下运动方程：
mA∂²uA(x, t)/∂t² = - ∂V(x)/∂uA - ∂V(x)/∂uB + K(uB(x, t) - uA(x, t - a))
mB∂²uB(x, t)/∂t² = - ∂V(x)/∂uB - ∂V(x)/∂uA + K(uA(x, t) - uB(x, t - a))
其中K为劲度系数，表示原子之间的相互作用强度。
为了求解这个运动方程，我们可以假设原子位移的时间和空间依赖关系为：
uA(x, t) = A exp(i(qx - ωt))
uB(x, t) = B exp(i(qx - ωt))
将这些位移形式代入运动方程，并解出A、B和ω之间的关系，就得到了这个双原子链的色散关系。
色散关系描述了光子在固体中传播的频率与波矢之间的关系。
对于一维双原子链，色散关系可以通过求解运动方程得到，具体形式会依赖于势能函数V(x)的具体形式以及链的结构。
固体物理学第三章
3 1 !(d d 3 U 3)r a 3 ..... .n 1 !.(d d .n U .n)r .a.n
简谐近似—— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项。
U (r) U (a ) (d)U 1(d 2 U ) 2 da r 2 !d2ra U(r)U(a)1 2(dd2U 2r)a2
此处N=5,代入上式即得：
ei(5a)q 1 5aqn2（n为整数）
由于格波波矢取值范围：
q
a
a
则：5n5
22
故n可取－2，－1，0，1，2这五个值
相应波矢：4,2,0,2,4
5a 5a 5a 5a
由于，2 sinqa
m2
代入，β，m及q值 则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位） 8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×1013
f du(d2u) d 2u 为恢复力常数
dr d2r
dr 2
周期边界条件
N 2 a l q l 为 整 N /2 h N 数 /2 且
3.1 一维单原子链的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
设原子链为一维，则：原子间距为a; 第n个原子的平衡位置为rn=na 第n个原子离开平衡位置的位移为xn
格波的应用：
晶体的弹性力常数β约为15N/m，若一个原 子的质量为6×10-27Kg，则晶格振动的最大圆频 率为ωm=1014弧度/秒，最大频率γm约为1013Hz即 10THz。THz波段在微波与红外光之间。
不同材料的晶格振动频谱具有各自的特征， 可以作为这个材料的 “指纹”，THz谱技术作为 一种有效的无损探测方法，通过晶格振动频谱可 以鉴别和探测材料。
3.1.2 格波频率与波矢关系——色散关系
半导体物理：2.2 一维双原子链(复式格)的振动
π q π
2a
2a
q 0时 :
o max
2(m M )
mM
2
Amin 0
折合质量
2
2
O
m
A
2
M
π
o
πq
2a
2a
q
π 时: 2a
o min
2
m
A max
2
M
这部分频率通 常对应红外
(2)波矢q的取值
由玻恩----卡门边界条件，设晶体有N个原胞，则：
x2n x2(n N ) ,
A e 2 i t ( n 1)aq
将试探解代入方程得:
M 2 A 1( A B) 2 ( A Beiaq ) m 2B 2 (B Aeiaq ) 1(B A)
1 2 M 2
A
1
eiaq 2
B0
1
eiaq
2
A
2 1 m 2
B0
1 2 M 2 1 2eiaq
x2n-2
x2n-1
x2n
x2n+1
x2n+2
(2)方程和解
m
..
xn
nk x n
xk
k
若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：
..
M x 2n x2n x2n1 x 2n x2n1
x2n1 x2n1 2 x2n
..
x m 2n1 x2n1 x2n2 x 2n1 x2n
xn*(t) xn(t)
Qq(t) Qq*(t)
则：
T
1 m
2n
.
x
n
2
1
2q
.
2
固体物理-一维双原子链 声学波和光学波
的声子所用的
对应电磁波的能量和波长
EO max
0.442 eV
2.8 m
E v 2 2c T
—— 要激发的声子所用的电磁波波长在近红外线波段 （Near Infrared）(NIR)
1 2
)i
本征态函数 ni (Qi )
i
exp(
2
2
)
H
ni
(
)
m d 2n
dt 2
(n1 n1 2n )
(n 1, 2, 3 , N )
得到
2 4 sin2( aq)
m
2
§3.3 一维双原子链 声学波和光学波 一维复式格子的情形 —— 一维无限长链 —— 两种原子m和M _( M > m) ____ 构成一维复式格子 —— M原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… —— m原子位于2n， 2n+2， 2n+4 …… —— 同种原子间的距离2a____晶格常数
4) 如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波
波长在什么波段？
1) 声学波的最大频率
A max
3 1014
rad / s
光学波的最大频率
O max
5
2
M
6.7 1014
rad / s
光学波的最小频率
O min
2
m
6 1014 rad / s
2）相应声子的能量
EA max
0.198 eV
EO max
0.442 eV
EO min
0.396 eV
3) 某一特定谐振子具有激发能
的几率
根据归一化条件
归一化常数
固体物理基础第3章 晶格振动理论
第3章 晶格振动理论
3.1 一维单原子链 3.2 一维双原子链 3.3 三维晶格的振动 3.4 声子 3.5 晶格振动谱的实验测定 3.6 晶格热容的量子理论 3.7 晶体的非简谐效应 热膨胀和热传导
1
第3章 晶格振动理论
2
第3章 晶格振动理论
3
第3章 晶格振动理论
图3.1 一维单原子链模型
6
第3章 晶格振动理论 将μ(x-Δx，t)和μ(x+Δx，t)在x处泰勒展开，并且只保留到二 阶项，这种假设称为简谐近似，于是有
(x-x, t)(x, t)-12dd(xt,t)x-12d2d(t2x,t)x2 (x+x, t)(x, t)+12dd(xt,t)x+12d2d(t2x,t)x2
把这些连续量带入方程(3.1)整理后即可得到：
率。
根据这种长波近似的极限情形，就可以设想，当长波近
似的条件λ>>a不成立时，方程(3.1)的解仍应具有类似的形式，
即只需在式(3.4)的简谐波的解中用na替代x即可，也就是式
(3.2)
8
第3章 晶格振动理论
3.1.3 色散关系 为了进一步研究一维单原子链振动的特点，可以将式
(3.2)所示的格波ห้องสมุดไป่ตู้式的解代入振动方程(3.1)，得：
10
第3章 晶格振动理论
-π＜qa≤π
即
-π q π
(3.6)
a
a
而
-
π a
，π a
正好是一维单原子链的第一布里渊区。该范围以
外的q并不能提供其他不同的波。晶体中的格波之所以具有
这样的特点，可以用图3.2来说明。为了便于图示，图中把
高二物理竞赛课件：一维双原子链模型
4mM (m M )2
sin2
1
aq
2
独立的格波：
• 声学波（频率较低）
• 光学波（频率较高）
2 m
• 频率的禁带区
2
• 命名主要根据两种格波在长
M
波极限 ( q→0 ) 的性质
一维双原子链模型
声学波的长波极限
• 频率 q 0,
2 sin(aq) a
mM
2 q
mM
• 两种原子振幅比值
• 慢中子的能量：0.02~0.04 eV，与声子的能量同数量级； 中子的德布罗意波长：2~3×10-10 m（2~3 Å），与晶格常 数同数量级；可直接准确地给出晶格振动谱的信息
• 局限性：不适用于原子核对中子有强俘获能力的情况
典型晶格振动谱
Pb
Cu
典型晶格振动谱
Si GaAs
典型晶格振动谱
一维双原子链模型
一维双原子链模型
• 两种原子m和M (M > m) 构成一维复式格子
• M原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3 … m原子位于2n, 2n+2, 2n+4…
• 晶格常数、同种原子间的距离：2a
• 第2n+1个M原子的方程
M
d 22n1
dt 2
(22n1 2n2
2n )
• 第2n个m原子的方程
• 离子晶体中光学波的共振能引 起对远红外光的强烈吸收，可
应用于红外光谱学
• 晶格振动谱可以利用中子、可见光光子或X光光子受晶格的 非弹性散射来测定。
• 中子（或光子）与晶格的相互作用即中子（或光子）与晶 体中声子的相互作用。中子（或光子）受声子的非弹性散 射表现为中子吸收或发射声子的过程。
§3-2 一维双原子链的晶格振动
允许的波矢数＝晶体的初基原胞数 格波总数＝晶体振动的总自由度数
以后可以看到，此结论对三维晶体也是适用的。
(二) .长波极限
当|q∣→0, λ→∞时, 相邻原胞间的振动相位差qa→0。 利用 cosqa ≈1 －（1/2）（qa）2 （1－x）1/2 ≈1－(x/2) （x为小量） 式（3－23）中 ωA2=（β1＋β2）/m- (β12＋β22＋2β1β2cosqa)1/2 /m 可简化为
2 1 A＝ m
12
(3-33)
即在第一布里渊区边界上，存在格波频率“间隙” 在第一布里渊区边界上，由式（3－30）
A2 1e 2 iqd e iqa A 1e 2 1
iqa
可得 对光学支 A2＝－A1 e iqd 当d＜＜a , A2≈－A1 对声学支 A2＝A1 e iqd 当d＜＜a , A2≈A1 由于q→π/a，相邻原胞运动的相位差 qa→π。
(3-30)自推
正号对应声学支，负号对应光学支。当q→0时 A 2＝A 1 声学支 A2＝－A1 光学支 在长波极限情况下，
声学格波描写原胞内原子的同相运动， 光学格波描写原胞内原子的反相运动。
两支格波最重要的差别：
分别描述了原子不同的运动状态。
参见FD动画
45
（三）. q趋近第一布里渊区边界
三维晶体：原胞的总自由度数为3S,则 晶体中原子振动可能存在的运动形式 就有3S种，用3S支格波来描述。其中 在三维空间定性地描述原胞质心运动 的格波应有3支，也就是说应有3支声 学格波，其余3（S-1）支则为光学格 波。例如硅晶体属于金刚石结构，每 个初基原胞含两个原子，即S=2 , 它有 3支声学格波和3支光学格波。
一维双原子链声学波和光学波
一维双原子链声学波和光学波1.双原子链模型一维双原子链模型是近代物理学中非常重要的模型之一，它可以用来研究固体中原子之间的相互作用及其导致的声学波与光学波的传播。
在双原子链模型中，两个原子之间由劲度系数$k$连接，两个原子之间的距离为$a$，另外一个原子的质量可以看作是无穷大，即它不参与振动。
因为只有一维，所以每个原子只能向左或向右振动。
2.声学波与光学波的区别声学波和光学波是通过双原子链模型分析得到的两种不同类型的波动。
声学波是一种可以在固体内部自由传播的机械波，它的传播需要原子之间的相互作用。
在双原子链模型中，声学波的速度为$\sqrt{\frac{k}{m}}$，其中$k$表示劲度系数，$m$表示质量。
光学波则是一种电磁波动，在固体内的传播需要原子中的电子参与，因此它的速度和谐振器中的电磁波速度相近。
在双原子链模型中，光学波的速度为$\sqrt{\frac{2k}{m}}$。
3.声学波与光学波的特征由于声学波和光学波的速度不同，它们在固体中的传播也存在差异。
当固体内没有缺陷时，声学波和光学波的传播是分离的。
当一个声学波到达固体表面时，它会被反射成相同的声学波，而当一个光学波到达固体表面时，它会被反射成相反的光学波。
此外，声学波可以在固体内部的任何位置传播，而光学波则不能。
在一个均匀无缺陷的双原子链中，只有声学波是存在的，光学波是不存在的。
4.应用双原子链模型和声学波与光学波的理论分析对于材料科学领域中的材料表征、纳米结构研究和器件设计等方面有很重要的应用价值。
例如，在纳米结构研究中，声学波能够帮助我们研究纳米材料的结构特征，而光学波则可以用来研究这些材料的光学性质。
总之，双原子链模型中的声学波和光学波不仅在理论上有很重要的应用价值，也在实践中发挥了重要作用。
固体物理(第6课)一维双原子链
r i (ωt −kna)
r r R0 (l, m) = Rl + rm
其中k为波矢量，即波传播的方向。在三维情况下， 每个允许的波长，都有两个横波和一个纵波。横波的速 度相同，纵波的速度大于横波，是由于纵向弹性系数大 于横向弹性系数。 上式中j,k是晶格平面波解的参数，其中j代表3na支具 有不同频率ωj(k)的晶格振动波。。 当波矢K在FBZ中取值时，每个K对应3na振动模式， 故格波分为3na支，每一支有自己的色散关系，它们分为 3na –3只光学支和3 只声学支，其中声学支的特点是在 FBZ的中心，谐振频率为零，即 ω（q=0）=0。
返回
光学波可用光波的电磁场激发，即称为光学波。
3. 晶格振动的一般结论*
一维单原子链 一维双原子链 N(1) N(2) 波矢数 模式数 格波支数 N N 1(声) 声 N 2N 2 1:声 声 1:光 光 三维晶体 N(n) N 3nN 3n 3:声 声 3(n-1):光 光
(1)晶格振动的波矢数＝晶体中的原胞数 (2)晶格振动的模式数＝晶体中原子的自由度数 (3)晶格振动的格波支数＝晶体原胞的自由度数
v 2π ⋅ nx v 2π ⋅ ny v 2π ⋅ nz v I+ K k= J+ L L L
v k空间 波矢空间 状态空间
声学波 横波 光学波 2. 声学波 纵波 光学 波
3nN 3nN
TA(transvers e acoustical w ave) TO(transvers e optical w ave) LA(longitudin al acoustical w ) ave LO(longitudin al optical w ave)
一维双原子链的晶格振动
22 //N aa N
2020/4/1
注意:
• 这里的N为一维晶格的初基原胞数。每个q对 应两个频率（ωA和ω0），则共有2N组ω,q）， 所以一维双原子链有2N个格波，或说有2N个 简正模式。晶体中任何一原子的运动，为这 2N个格波所确定的谐振动的线性叠加。这时 ，晶体的总自由度数也为2N，推广的结论：
入射红外光波与离子晶体中长光学波的共振 能够引起对入射波的强烈吸收，这是红外光 谱学中一个重要的效应。因为长光学波的这 种特点，所以称ω0 所对应的格波为光学波。 现在来考察一下两种原子的振幅比。把
式（3－23）代入（3－22）可得
A2 A1
2020/4/1
1eiq a 1eiq a
e 2 iqd
§3－2 一维双原子链的晶格振动
一、模型与色散关系
设一维晶体由N个初基原胞组成，每个初基 原胞有二个质量相等的原子，分别用A与B表 示，每个原子和它的左右近邻间距不等，弹 性系数也不等。晶格常数为a 。原子A与其右 侧B原子距离为d，弹性系数为β2 ，与其左侧 B原子的距离为（a-d）弹性系数为β1，为确定 起见，并设d<（a-d），β1<β2。
（3－23）
即有两支ω～q 的色散关系。
当取“－”号时，ω记为ωA，称为声学支 取“＋”号时，ω记为ω0，称为光学支
2020/4/1
2020/4/1
声学支（Acousticbranch）
ωA2=（β1＋β2）/m -(β12＋β22＋2β1β2cosqa)1/2 /m
它具有q=0时，ωA ＝0的特征。 而光学支（Optical branch）格波
2020/4/1
允许的波矢数＝晶体的初基原胞数 格波总数＝晶体振动的总自由度数
毕业设计论文：一维双原子链的色散关系
一维双原子链的色散关系The dispersion relation of the one-dimensionaldiatomic chain摘要物理学中对晶格振动的研究一直是一个重要且有意义的课题。
关于晶格振动的研究通常建立在原子链的研究上。
本文在介绍关于原子链研究基础理论的基础上，讨论了一维单原子链晶格的色散关系，从一维双原子链的角度介绍了晶格的色散关系，然后在前面讨论的基础上对三维晶格的色散关系进行了推导。
关于原子链色散关系的研究，让我们对于晶格振动有个更加清楚地认识。
论文重点介绍了一维双原子链的色散关系，在公式推导的基础上，作者完成计算机编程和模拟计算，得到色散关系的曲线。
关键词：晶格振动，一维单原子链，一维双原子链，三维晶格，色散关系AbstractThe study of lattice vibration has been an important and meaningful topic in physics. The investigation of lattice vibration is usually based on the study of atomic chain. With the introduction of the theoretical basis of atomic chain, this thesis discusses the dispersion relation of one-dimensional monatomic chain lattice, as well as the dispersion relation of one dimensional diatomic chain lattice. Based on the knowledge above, the equations for describing the dispersion relation of three dimensional lattice are then derived. The study of dispersion relations allows us to have a more clear understanding of lattice vibration. This thesis mainly presents the study and discussion of the dispersion relation of one dimensional diatomic chain. In addition to the equation derivation, we carry out programming and simulations for obtaining some important dispersion-relation curves.II目录前言 (1)第一章理论基础 (3)第二章一维单原子链的色散关系 (6)2.1 建立振动模型 (6)2.2 建立振动方程并求解 (6)2.3 玻恩-卡曼条件 (8)2.4.qw 的函数关系 (10)第三章一维双原子链的色散关系 (13)3.1建立振动模型 (13)3.2 原子运动方程的求解 (13)3.3 周期性边界条件 (15)3.4 对于声学波和光学波的讨论 (16)第四章三维晶格振动的推导 (21)4.1 一维多原子链问题的处理 (21)4.2 建立三维模型和求解运动方程 (21)4.3 波矢q的取值和范围 (23)4.4 理论上的计算 (25)第五章结论和讨论 (28)致谢 (29)参考文献 (31)III前言讨论晶体结构时，我们把晶体内的原子看作是处于自己的平衡位置上固定不动的。
3.2 一维双原子链
2β ω ≈ (aq) 2 m+M
2 −
或
2β ω− ≈ a q m+M
表明对于声学波频率正比于波数, 长声学波就是把 一维链看作连续介质时的弹性波, 这也就是为什么 称 ω－ 支为声学波的原因 对于长声学波, 当 q→0 时, ω－→0. 当 q 很小时, 因此
B →1 A −
−mω 2 A = β (e −iaq + eiaq ) B − 2β A 2 − iaq iaq −mω B = β (e + e ) A − 2β B
方程与 n 无关, 表明所有联立方程对 于格波形式的解都归结为同一对方程
可以看作是以 A、B 为未知数的线性齐次方程
( mω 2 − 2 β ) A + 2β cos aqB = 0 2β cos aqA + ( M ω 2 − 2β ) B = 0
β
iaq '
1 − ina ( q + q ') ) N ∑ e n
β
2m
Q(q ) (1 − eiaq ) Q(−q ) (1 − e − iaq ) ∑
q *
= ∑ Q(q)Q (q)
q
β
2m
( 2 − 2 cos aq )
1 1 2 2 * 2 = ∑ ωq Q(q )Q (q) = ∑ ωq Q(q) 2 q 2 q
势能
1 1 − inaq iaq − inaq ' iaq ' = β∑ (1 − e ) ∑ Q(q ')e (1 − e ) ∑ Q ( q )e 2 n Nm q q'
=
=
∑ Q(q) (1 − e ) Q(q ') (1 − e 2m
一维单原子链和一维双原子链的色散关系
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§3-2 一维双原子链的晶格振动解析
[mω2－（β1＋β2）]A1＋（β1e-iqa＋β2）eiqdA2＝0 （β1eiqa＋β2）e-iqdA1＋[mω2－（β1＋β2）]A2＝0
（3－22）
注意:该代数方程组与n无关。 A1、A2有非零 解的条件是其系数行列式为零：
mω2 －(β1＋β2) (β1e-iqa＋β2）eiqd ＝0 （β1eiqa＋β2）e-iqd mω2－(β1＋β2)
声学支格波仍描述原胞内原子的同相整体运动 光学支格波仍描述原胞内原子的反相运动。
三 、三维晶格振动
设实际三维晶体沿基矢 a1、a2、a3 方向的初基 原 胞 数 分 别 为 N1、N2、N3， 即 晶 体 由 N＝ N1·N2·N3初基原胞组成，每个初基原胞内含 s个原子。 1 .原子振动方向 一维情况下，波矢 q 和原子振动方向相同， 所以只有纵波。 三维情况下，有纵波也有横波。
当q→π/a时， 因 β2 >β1， 由式（3－23） ωO2 =（β1＋β2）/m+(β12＋β22＋2β1β2cosqa)1/2 /m 可得对于光学支格波
2 2 0＝ m
12
(3-32)
对于声学支格波,由(3-23)式 ωA2=（β1＋β2）/m (β12＋β22＋ 2β1β2cosqa)1/2 /m
2 / a N 2 / Na
注意:
这里的N为一维晶格的初基原胞数。每个q对 应两个频率（ωA和ω0），则共有2N组ω,q）， 所以一维双原子链有2N个格波，或说有2N个 简正模式。晶体中任何一原子的运动，为这 2N个格波所确定的谐振动的线性叠加。这时， 晶体的总自由度数也为2N，推广的结论：
允许的波矢数＝晶体的初基原胞数 格波总数＝晶体振动的总自由度数
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以上的结论，可以用声子的“语言”来表述
声子是指格波的量子, 它的能量等于 ħωq 一个格波，也就是一种振动模，称为一种声子
当这种振动模处于 nq
1 2
本q 征态时,
称有 nq 个声子, nq 为声子数
当电子(或光子)与晶格振动相互作用, 交换能量以 ħωq 为单元, 若电子从晶格获得 ħωq 能量, 称为吸收一个
anq
1 einaq N
Q(q) 是否确实是简正坐标，需要证明经过 变换后，动能和势能都具有平方和的形式
证明需要利用两个关系式
Q*(q) Q(q)
1
N
N 1
eina(qq ')
n0
qq'
第一个关系式可以从原子位移为实数的条件得到
n
写成 n
1
Q(q)einaq
Nm q
取复共轭 n*
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n mm
n+1 n+2
a
..
m xn xn xn1 xn xn1
x n A e i t naq
2 sin aq
m
2
2 m
πq π
a
a
xn xnN
π a
o
πa
晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数
也可以写出实数形式的简正坐标，令
Q(q) 1 a(q) ib(q)
2
a(q) 和 b(q) 分别表 示其实部和虚部
Q*(q) Q(q) 1 a(q) ib(q)
2
代回到动能和势能的表达式中得
T
1 2
q0
a2 (q)
b2 (q)
U
1 2
q2
q0
a2 (q)
b2 (q)
可见 a(q)，b(q) 即为实数形式的简正坐标
短波极限
可以证明，q=/2a时，在声学支格波上，质 量为m的轻原子保持不动；在光学支格波上，质 量为M的重原子保持不动。
q π 2a
声学波
q π 2a
光学波
§3-3 一维双原子链 小结
色散关系分为两支, 一个 q 对应两个 ω
2
mM mM
1
1
4mM (m M )2
sin2
aq
1/
2
一维双原子链的布里渊区
看作连续介质时的弹性波, 这也就是为什么称 ω－ 支 称为声学波的原因
对于长声学波, 当 q→0 时, ω－→0. 当 q 很小时, 因此
B A
1
B A
m2 2 2 cos aq
表明在长声学波时，原胞中两种原子的运 动是完全一致的，振幅和位相都没有差别
长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同 原子以相同的振幅和位相作整体运动。因此，可以说 ，长声学波代表了原胞质心的运动。
2. 简正坐标
上述根据牛顿定理用直接求解运动方程的方法, 求链的振动模, 与根据分析力学原理, 引入简正 坐标是等效的。这里讨论二者之间的关系
前面得到的本征解
A ei(qtnaq)
nq
q
表示第 q 个格波引起第 n 个原子的位移
原子的总位移为所有格波的叠加
变换一下形式
n
nq
A ei(qtnaq) q
1
Q(q)einaq
Nm q
1
Q* (q)einaq
Nm q
μn 是实数
n
* n
可知 Q*(q) Q(q)
第二个关系式实际上是线性变换系数的正交条件
N 1
1 e ina(qq ') N n0
qq '
q = q’时, 式子两边都等于 1, 显然是正确的 q ≠ q’ 时, 令 q’－q = s, 注意到 q h 2, h 为整数
4mM (m M
)2
sin 2
aq
4mM (m M
)2
(aq)2
1
将根式对 q² 展开
2
mM mM
1
1
4mM (m M )2
sin2
aq
1/
2
mM mM
1
1
1 2
4mM (m M )2
(aq)2
2
mM
(aq)2
2
2
mM
(aq)2
或
a
2 q
mM
可见声学波频率正比于波数, 长声学波就是把一维链
子振动方向是相反的。 动方向是相同的。
q 0 光学波 q 0 声学波
动画：晶体中的格波.
离子晶体中的长光学波有特别重要的作用, 因为，不同离子间的相对振动产生一定的 电偶极矩, 从而可以和电磁波相互作用
具体分析证明对于单声子过程的一级谱，电磁 波只和波数相同的格波相互作用，如果它们具 有相同的频率就可以发生共振
加起来共有 2N 个不同的格波， 数目正好等于链的自由度, 这表明已得到
链的全部振动模
2. 声学波和光学波
2
2 属于ω＋ 的格波称为光学波
m 属于ω－ 的格波称为光学波
2
q≈0 的长波在许多实际问
M
题中具有特别重要的作用
光学波和声学波的命名也 主要是由于它们在长波极
限的性质
声学波的长波极限 当 q→0时, ω－ →0. 当 q 很小时,
可以看作是以 A、B 为未知数的线性齐次方程
m2 2 A 2 cos aqB 0
2 cos aqA M2 2 B 0
它的有解条件是
m2 2 2 cos aq 2 cos aq M2 2
mM4 2 (m M )2 4 2 sin2 aq 0
可以看成是决定 ω2 的方程, 从而得到两个 ω2 值
'
q'
1 2
qq '
Q(q)Q(q
')
1 N
eian ( q q ')
n
1 2
Q(q)Q(q) q
1 Q(q)Q*(q) 1
2
Q(q)
2q
2q
U 1
2
n
(n n1)2
势能
1 2
n
1
Nm
q
Q(q)einaq
1 eiaq
Q(q ')einaq' 1 eiaq'
q'
Q(q) 1 eiaq 2m qq'
Q(q ') 1 eiaq'
1 N
n
eina(qq
')
Q(q) 1 eiaq Q(q) 1 eiaq 2m q
q
Q(q)Q*
(q)
2m
2
2
cos
aq
1
2
q
q2Q(q)Q* (q)
1 2
q
q2 Q(q) 2
因此 Q(q) 确实是系统复数形式的简正坐标
mA MB 0
光学波的长波极限
对于光学波, 两种原子振动有完全相反的位相, 长 光学波的极限实际上是 P 和 Q 两个格子的相对振 动, 振动中保持他们的质心不变
长光学波，原胞的质心保持不动。所以定性地说 ，长光学波代表原胞中两个原子的相对振动。
光学波
声学波
光学支格波，相邻原
声学支格波，相邻原子振
2
2 2
mM mM
1
1
4mM (m M )2
sin2
1/ aq
2
带回到方程组，可求出相应的 A 和 B 的解
B A
m2 2 2 cos aq
B A
m2 2 2 cos aq
Aei[t(2na)q] 2n
Be 2n1
i[t (2n1)aq]
由格波解可知相邻原胞之间（相邻原胞 内的同种原 子如P 原子）的位相差为 2aq, (原胞大小为 2a ) 。
仍采用周期性边界条件
N(2aq) 2 h, (h 整数） 即
q h 2
2Na
由于 q 的取值范围是由 －π/2a 到 π/2a , 所以上面 的 h 只能取由–N/2 到 N/2, 一共有 N 个不同取值
所以， 由 N 个原胞组成的一维双原子链
q 可以取 N 个不同的值， 每个 q 对应两个解，
程组
这个方程组有下列形式的格波解
Aei[t(2na)q] 2n
Be 2n1
i[t (2n1)aq]
代入到运动方程得到
m2 A (eiaq eiaq )B 2 A m2B (eiaq eiaq ) A 2 B
方程与 n 无关, 表明所有联立方程对 于格波形式的解都归结为同一对方程
声子, 若电子给晶格 ħωq 能量, 称为发射一个声子
利用声子的“语言”来描述晶格振动不仅可 以使表述简化, 而且有深刻的理论意义
声子不是真实的粒子，称为“准粒子”，它 反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元
多体系统集体运动的激发单元，常称为元激发
在固体中有很多种类型的元激发, 处理这些元激发 的理论方法是相类似的, 声子是一种典型的元激发
光学波的长波极限 当 q→0时, 频率趋于下列有限值
2
mM
m M
2
mM mM
1
1
4mM (m M )2
sin2
aq
1/
2
m M 2
mM
得到
B A
m M
mA os aq
2m m M
mM
2
2
m
M M
1
m M
B A
m M