3.2-一维双原子链

q 的取值范围
q
a
a
称为布里渊区
q 在布里渊区是怎样分布的?
按照玻恩－卡曼边界条件(即周期性边界条件),
q 在布里渊区均匀分布
q 2 h, h 为－N/2 到 N/2 的整数, 共 N 个
Na
什么是长波极限?
格波的波数满足 q <<π/a, 即波长λ>>a
此时 ω正比于 q，类似于连续介质波的情况
3. 声子 (phonon)
一旦找到简正坐标, 直接可以过渡到量子理论。每 个简正坐标, 对应一个谐振子方程, 波函数是以简 正坐标为宗量的谐振子波函数, 能量本征值为
nq
n
1 2
q
由 N 个原子组成的一维单原子链 其振动模为 N 个格波, 在简谐近似下格波是相互独立的
按量子理论每种简正振动的能级是量子化的，能量激 发的单元是 ħωq
程组
这个方程组有下列形式的格波解
Aei[t(2na)q] 2n
Be 2n1
i[t (2n1)aq]
代入到运动方程得到
m2 A (eiaq eiaq )B 2 A m2B (eiaq eiaq ) A 2 B
方程与 n 无关, 表明所有联立方程对 于格波形式的解都归结为同一对方程
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n mm
n+1 n+2
a
..
m xn xn xn1 xn xn1
x n A e i t naq
2 sin aq
m
2
2 m
πq π
a
a
xn xnN
π a
o
πa
晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数
短波极限
可以证明，q=/2a时，在声学支格波上，质 量为m的轻原子保持不动；在光学支格波上，质 量为M的重原子保持不动。
q π 2a
声学波
q π 2a
光学波
§3-3 一维双原子链 小结
色散关系分为两支, 一个 q 对应两个 ω
2
mM mM
1
1
4mM (m M )2
sin2
aq
1/
2
一维双原子链的布里渊区
如果把 2aq 改变 2π 的整数倍, 所有原子的振动实际上 完全没有任何不同, 这表明 q 的取值只需限制在
2aq
2a
q
2a
范围内
这个范围就是一维双原子链的（第一）布里渊区
这个范围内任意 q 有两个格波解, 它们的频率为 ω＋ 和 ω－
和一般波的解一样, 格波解可以有任意的振幅和位 相, 但是两种原子振动的振幅比和位相差是确定的
2
2 2
mM mM
1
1
4mM (m M )2
sin2
1/ aq
2
带回到方程组，可求出相应的 A 和 B 的解
B A
m2 2 2 cos aq
B A
m2 2 2 cos aq
Aei[t(2na)q] 2n
Be 2n1
i[t (2n1)aq]
由格波解可知相邻原胞之间（相邻原胞 内的同种原 子如P 原子）的位相差为 2aq, (原胞大小为 2a ) 。
2n-2 2n-1 Mm
2n
1
2n+1 2 2n+2
b
a
解:只考虑最近邻原子间的相互作用，
..
x M 2n 1 x2n x2n1 2 x 2n x2n1
以上的结论，可以用声子的“语言”来表述
声子是指格波的量子, 它的能量等于 ħωq 一个格波，也就是一种振动模，称为一种声子
当这种振动模处于 nq
1 2
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本q 征态时,
称有 nq 个声子, nq 为声子数
当电子(或光子)与晶格振动相互作用, 交换能量以 ħωq 为单元, 若电子从晶格获得 ħωq 能量, 称为吸收一个
q
2a
2a
周期性边界条件下 N 个 q 在布里渊区均匀分布
根据长波极限的行为, 两支格波分别称声学波和光学波
例:一维无限长原子链，原子质量为m和M，且m<M 。靠得
较近的两个原子构成一个分子。设一个分子内两原子平衡位置
的距离为b，恢复力系数为1，分子间两原子间的恢复力系数为 2，晶格常量为a(如图所示)，求色散关系。
2. 简正坐标
上述根据牛顿定理用直接求解运动方程的方法, 求链的振动模, 与根据分析力学原理, 引入简正 坐标是等效的。这里讨论二者之间的关系
前面得到的本征解
A ei(qtnaq)
nq
q
表示第 q 个格波引起第 n 个原子的位移
原子的总位移为所有格波的叠加
变换一下形式
n
nq
A ei(qtnaq) q
'
q'
1 2
qq '
Q(q)Q(q
')
1 N
eian ( q q ')
n
1 2
Q(q)Q(q) q
1 Q(q)Q*(q) 1
2
Q(q)
2q
2q
U 1
2
n
(n n1)2
势能
1 2
n
1
Nm
q
Q(q)einaq
1 eiaq
Q(q ')einaq' 1 eiaq'
§3-2 一维单原子链 小结
2 sin 1 aq 色散关系
m2
格波、布里渊区
q
q 2 h
a
玻恩－卡曼（周期性）边界条件
a
Na
长波极限
q , a
a
Q(q) NmAqeiqt 简正坐标与格波振幅
声子, 格波的量子
q
§3-3 一维双原子链 声学波和光学波
一维双原子链可以看作最简单的复式晶格： 每个原胞含 2 个不同的原子 P 和 Q
1
Q(q)einaq
Nm q
1
Q* (q)einaq
Nm q
μn 是实数
n
* n
可知 Q*(q) Q(q)
第二个关系式实际上是线性变换系数的正交条件
N 1
1 e ina(qq ') N n0
qq '
q = q’时, 式子两边都等于 1, 显然是正确的 q ≠ q’ 时, 令 q’－q = s, 注意到 q h 2, h 为整数
加起来共有 2N 个不同的格波， 数目正好等于链的自由度, 这表明已得到
链的全部振动模
2. 声学波和光学波
2
2 属于ω＋ 的格波称为光学波
m 属于ω－ 的格波称为光学波
2
q≈0 的长波在许多实际问
M
题中具有特别重要的作用
光学波和声学波的命名也 主要是由于它们在长波极
限的性质
声学波的长波极限 当 q→0时, ω－ →0. 当 q 很小时,
看作连续介质时的弹性波, 这也就是为什么称 ω－ 支 称为声学波的原因
对于长声学波, 当 q→0 时, ω－→0. 当 q 很小时, 因此
B A
1
B A
m2 2 2 cos aq
表明在长声学波时，原胞中两种原子的运 动是完全一致的，振幅和位相都没有差别
长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同 原子以相同的振幅和位相作整体运动。因此，可以说 ，长声学波代表了原胞质心的运动。
4mM (m M
)2
sin 2
aq
4mM (m M
)2
(aq)2
1
将根式对 q² 展开
2
mM mM
1
1
4mM (m M )2
sin2
aq
1/
2
mM mM
1
1
1 2
4mM (m M )2
(aq)2
2
mM
(aq)2
2
2
mM
(aq)2
或
a
2 q
mM
可见声学波频率正比于波数, 长声学波就是把一维链
anq
1 einaq N
Q(q) 是否确实是简正坐标，需要证明经过 变换后，动能和势能都具有平方和的形式
证明需要利用两个关系式
Q*(q) Q(q)
1
N
N 1
eina(qq ')
n0
qq'
第一个关系式可以从原子位移为实数的条件得到
n
写成 n
1
Q(q)einaq
Nm q
取复共轭 n*
交点对应 于共振
与光波共振的将是 q≈0 的 长光学波, 实际晶体的长光 学波频率在 1013 1014 / s 的范 围, 对应于远红外的光波
离子晶体中的光学波的共振 能够对远红外光在ω+ 附近 的强烈吸收, 是远红外光谱 中一个重要的效应
正是由于长光学波的这种特点, ω+ 的格波支被称为光学波
mA MB 0
光学波的长波极限
对于光学波, 两种原子振动有完全相反的位相, 长 光学波的极限实际上是 P 和 Q 两个格子的相对振 动, 振动中保持他们的质心不变
长光学波，原胞的质心保持不动。所以定性地说 ，长光学波代表原胞中两个原子的相对振动。
光学波
声学波
光学支格波，相邻原
声学支格波，相邻原子振
光学波的长波极限 当 q→0时, 频率趋于下列有限值
2
mM
m M
2
mM mM
1
1
4mM (m M )2
sin2
aq
1/
2
m M 2
mM
得到
B A
m M
mA MB 0
B A
m2 2 2 cos aq
2m m M
mM
2
2
m
M M
1
m M
B A
m M
1. 运动方程及格波解
m
M
平衡时相邻原子间的距离 a, P、 Q 的质量分别用 m 和 M 表示
m
M
类比一维单原子链的情况, 可以得到原子的运动方程
P 原子 Q原子
m2n (22n 2n1 2n1) M 2n1 (22n1 2n2 2n )
这是两个典型的运动方程,当原子链包含 N 个原胞 ( N 个 P 原子和 N 个 Q 原子),它实际代表 2N 个方程的联立方
可以看作是以 A、B 为未知数的线性齐次方程
m2 2 A 2 cos aqB 0
2 cos aqA M2 2 B 0
它的有解条件是
m2 2 2 cos aq 2 cos aq M2 2
mM4 2 (m M )2 4 2 sin2 aq 0
可以看成是决定 ω2 的方程, 从而得到两个 ω2 值
q = 9π/2a的格波与 q = π /2a 的格波等价吗?
等价, aq 相差 2π整数倍的格波就原子的振动来 看是相同的波
什么是格波的色散关系?
格波的 ω (频率)与 q(波矢) 之间的关系
什么是布里渊区?
对于格波来说, aq 相差 2π整数倍就原子的振动来 看是相同的波, 可以将 aq 限制在一定范围之内
Na
1
N 1
einas
1
N 1
(eias )n
N n0
N n0
1 1 eiNas N 1 eias
iNa h 2
1 1 e Na N 1 e2ih / N
0
利用这二个关系式化简系统动能和势能的表达式
动能
T 1 m
2
n
n2
1 m 1
2 Nm
n
q
Q(q)einaq
Q(q
')einaq
子振动方向是相反的。 动方向是相同的。
q 0 光学波 q 0 声学波
动画：晶体中的格波.
离子晶体中的长光学波有特别重要的作用, 因为，不同离子间的相对振动产生一定的 电偶极矩, 从而可以和电磁波相互作用
具体分析证明对于单声子过程的一级谱，电磁 波只和波数相同的格波相互作用，如果它们具 有相同的频率就可以发生共振
也可以写出实数形式的简正坐标，令
Q(q) 1 a(q) ib(q)
2
a(q) 和 b(q) 分别表 示其实部和虚部
Q*(q) Q(q) 1 a(q) ib(q)
2
代回到动能和势能的表达式中得
T
1 2
q0
a2 (q)
b2 (q)
U
1 2
q2
q0
a2 (q)
b2 (q)
可见 a(q)，b(q) 即为实数形式的简正坐标
声子, 若电子给晶格 ħωq 能量, 称为发射一个声子
利用声子的“语言”来描述晶格振动不仅可 以使表述简化, 而且有深刻的理论意义
声子不是真实的粒子，称为“准粒子”，它 反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元
多体系统集体运动的激发单元，常称为元激发
在固体中有很多种类型的元激发, 处理这些元激发 的理论方法是相类似的, 声子是一种典型的元激发
q'
Q(q) 1 eiaq 2m qq'
Q(q ') 1 eiaq'
1 N
n
eina(qq
')
Q(q) 1 eiaq Q(q) 1 eiaq 2m q
q
Q(q)Q*
(q)
2m
2
2
cos
aq
1
2
q
q2Q(q)Q* (q)
1 2
q
q2 Q(q) 2
因此 Q(q) 确实是系统复数形式的简正坐标
仍采用周期性边界条件
N(2aq) 2 h, (h 整数） 即
q h 2
2Na
由于 q 的取值范围是由 －π/2a 到 π/2a , 所以上面 的 h 只能取由–N/2 到 N/2, 一共有 N 个不同取值
所以， 由 N 个原胞组成的一维双原子链
q 可以取 N 个不同的值， 每个 q 对应两个解，
q
q
n
1
Q(q)einaq
Nm q
mn
1 N
Q(q)einaq
q
3N
mi i aijQj
Q(q) NmAqeiqt
j 1
anq
1 einaq N
Q(q) NmAqeiqt
因此 Q(q) 就是简正坐标, 它表示了格波的振 幅, 而线性变换（因为是复数解的形式, 线性 变换为么正变换）系数为